2017-2018学年高中数学(北师大版)选修4-4 同步精练：2.4平摆线和渐开线 Word版含解析

§4平摆线和渐开线

课后篇巩固探究

A组

1.已知圆的渐开线的参数方程(φ为参数),则此渐开线对应基圆的面积是()

B.π

C.2

D.2π

1,故其面积为π.

2.下列各点中,在圆的摆线(φ为参数)上的是()

A.(π,0)

B.(π,1)

C.(2π,2)

D.(2π,0)

.

3.

如图,ABCD是边长为1的正方形,曲线AEFGH…叫作“正方形的渐开线”,其中AE,EF,FG,GH…的圆心依次按B,C,D,A循环,它们依次相连接,则曲线AEFGH的长是() A.3π B.4π

D.6π

,是半径为1的圆周长,长度为,继续旋转可得是半径为2的圆周长,长度为π;是半径为3的圆周长,长度为是半径为4的圆周长,长度为2π.所以曲线AEFGH的长是5π.

4.导学号73144041我们知道关于直线y=x对称的两个函数互为反函数,则圆的平摆线(φ为参数)关于直线y=x对称的曲线的参数方程为()

A.(φ为参数)

B.(φ为参数)

C.(φ为参数)

(φ为参数)

y=x对称的函数互为反函数,而求反函数的过程主要体现了x与y的互换.所以要写出平摆线方程关于直线y=x的对称曲线方程,只需把其中的x与y互换.

时,圆的平摆线(φ为参数)上对应的点的坐标是.

π-4,4)

6.已知一个圆的平摆线方程是(φ为参数),则该圆的面积为,对应圆的

渐开线方程为.

π(φ为参数)

80 mm,写出平摆线的参数方程,并求其一拱的拱宽和拱高.

平摆线的生成圆的半径r=40 mm,

∴此平摆线的参数方程为(t为参数),它一拱的拱宽为2πr=2π×40=80π(mm),拱高为2r=2×40=80(mm).

8.已知圆的渐开线(φ为参数,0≤φ<2π)上有一点的坐标为(3,0),求渐开线对应的基圆的面积.

(3,0)代入参数方程得

解得

所以基圆的面积S=πr2=π×32=9π.

9.已知圆C的参数方程是(α为参数),直线l对应的普通方程是x-y-6=0.

(1)如果把圆心平移到原点O,请问平移后圆和直线有什么关系?

(2)写出平移后圆的摆线方程.

x轴的交点.

圆C平移后圆心为O(0,0),圆心到直线x-y-6=0的距离为d==6,恰好等于圆的半径,所以直线和圆是相切的.

(2)因为圆的半径是6,所以可得摆线方程是(φ为参数).

(3)令y=0,得6-6cos φ=0⇒cos φ=1,所以φ=2kπ(k∈Z).代入x=6φ-6sin φ,得x=12kπ(k∈Z),即圆的摆线和x轴的交点为(12kπ,0)(k∈Z).

B组

1.半径为4的圆的平摆线的参数方程为()

A.(φ为参数)

B.(φ为参数)

C.(φ为参数)

(φ为参数)

2.给出下列说法:

①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程;

②圆的渐开线的参数方程可以转化为普通方程,但是转化后的普通方程比较麻烦,且不容易看出坐标之间的关系,所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题;

③在求圆的平摆线和渐开线方程时,如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同,可能会得到不同的参数方程;

④圆的渐开线和x轴一定有交点而且是唯一的交点.

其中正确的说法有()

B.②④

C.②③

D.①③④

,只要半径确定,渐开线和平摆线的形状就是确定的,但是随着选择坐标系的不同,其在坐标系中的位置也会不同,相应的参数方程也会有所不同,至于渐开线和坐标轴的交点要看选取的坐标系的位置.

3.已知半径为3的圆的摆线上某点的纵坐标为0,则其横坐标可能是()

B.2π

C.12π

D.14π

(φ为参数),把y=0代入可得cos φ=1,

所以φ=2kπ(k∈Z).

而x=3φ-3sin φ=6kπ(k∈Z).根据选项可知应选C.

4.已知圆的渐开线(φ为参数,0≤φ<2π)上有一点的坐标为(3,0),求渐开线对应的基圆的面积.

(3,0)代入参数方程得

解得

所以基圆的面积S=πr2=π×32=9π.

(2,0),请写出当圆的半径最大时对应的圆的渐开线的标准方程.

y=0,得r(1-cos φ)=0,即得cos φ=1.

所以φ=2kπ(k∈Z).

代入x=r(2kπ-sin 2kπ)=2,即得r=(k∈Z).

又由实际可知r>0,所以r=(k∈N+).

易知,当k=1时,r最大,最大值为.

故圆的渐开线的参数方程是

(φ为参数).

6.导学号73144042一个圆沿着一条定直线作无滑动的滚动时,求圆内一定点M 的轨迹方程.

x轴,点C在x轴上时的一个位置为原点,建立如图所示的直角坐标系.

设点M(x,y)为轨迹上任一点.

取圆的转动角∠ABM=φ为参数.

设圆半径为r,点M到圆心的距离为d(d

开始时定点位于点M0,滚动φ角后处于图中点M,

此时=rφ,得|OA|=rφ,=(rφ,r).

由α=-φ,得=(d cos α,d sin α)

=

=(-d sin φ,-d cos φ).

由此得=(rφ-d sin φ,r-d cos φ),

又=(x,y),

故所求摆线的参数方程为

(φ为参数).