2017版高考数学一轮总复习第6章数列第四节数列求和数列的综合应用AB卷文

【大高考】2017版高考数学一轮总复习 第6章 数列 第四节 数列
求和、数列的综合应用AB 卷 文 新人教A 版
1.(2012·新课标全国，12)数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)n
a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为( ) A.3 690 B.3 660 C.1 845
D.1 830
解析 ∵a n ＋1＋(－1)n
a n ＝2n －1，
∴a 2＝1＋a 1，a 3＝2－a 1，a 4＝7－a 1，a 5＝a 1，
a 6＝9＋a 1，a 7＝2－a 1，a 8＝15－a 1，a 9＝a 1， a 10＝17＋a 1，a 11＝2－a 1，a 12＝23－a 1，…， a 57＝a 1，a 58＝113＋a 1，a 59＝2－a 1，a 60＝119－a 1，
∴a 1＋a 2＋…＋a 60＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋a 7＋a 8)＋…＋(a 57＋a 58＋a 59＋a 60)＝10＋26＋42＋…＋234 ＝
15×（10＋234）
2
＝1 830.
答案 D
2.(2016·新课标全国Ⅰ，17)已知{a n }是公差为3的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝1
3
，
a n
b n ＋1＋b n ＋1＝nb n .
(1)求{a n }的通项公式； (2)求{b n }的前n 项和.
解 (1)由已知，a 1b 2＋b 2＝b 1，b 1＝1，b 2＝1
3，得a 1＝2.
所以数列{a n }是首项为2，公差为3的等差数列， 通项公式为a n ＝3n －1.
(2)由(1)和a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n 得b n ＋1＝b n 3，因此{b n }是首项为1，公比为1
3
的等比数列.
记{b n }的前n 项和为S n ，则
S n ＝
1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫13n
1－13
＝32－12×3n －1. 3.(2014·新课标全国Ⅰ，17)已知{a n }是递增的等差数列，a 2，a 4是方程x 2
－5x ＋6＝0的根.
(1)求{a n }的通项公式； (2)求数列{a n
2
n }的前n 项和.
解 (1)方程x 2
－5x ＋6＝0的两根为2，3，由题意得a 2＝2，a 4＝3. 设数列{a n }的公差为d ， 则a 4－a 2＝2d ， 故d ＝12，从而a 1＝32
.
所以{a n }的通项公式为a n ＝1
2
n ＋1.
(2) 设{a n 2n }的前n 项和为S n ，由(1)知a n 2n ＝n ＋2
2
n ＋1，则
S n ＝32
2＋42
3＋…＋n ＋12
n ＋n ＋2
2
n ＋1，
12S n ＝323＋424＋…＋n ＋12n ＋1＋n ＋22n ＋2. 两式相减得
12S n ＝34＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋12n ＋1－n ＋22n ＋2＝34＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －1－n ＋22n ＋2.所以S n ＝2－n ＋42
n ＋1
.
1.(2015·江苏，11)设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *
)，则数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n 前10项
的和为________.
解析 ∵a 1＝1，a n ＋1－a n ＝n ＋1，∴a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n ，将以上n －1个式子相加得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ＝（2＋n ）（n －1）2，即a n ＝n （n ＋1）2，令b n ＝1
a n
，
故b n ＝
2n （n ＋1）＝2⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1
n －1n ＋1，故S 10＝b 1＋b 2＋…＋b 10
＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－12＋12－1
3＋…＋110－111＝2011.
答案
20
11
2.(2016·浙江，17)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，
n ∈N *.
(1)求通项公式a n ；
(2)求数列{|a n －n －2|}的前n 项和.
解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝4，a 2＝2a 1＋1，则⎩
⎪⎨⎪⎧a 1＝1，
a 2＝3.又当n ≥2时，
由a n ＋1－a n ＝(2S n ＋1)－(2S n －1＋1)＝2a n ，得a n ＋1＝3a n . 所以，数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1
，n ∈N *
.
(2)设b n ＝|3
n －1
－n －2|，n ∈N *
，b 1＝2，b 2＝1，
当n ≥3时，由于3n －1
＞n ＋2，故b n ＝3
n －1
－n －2，n ≥3.
设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 1＝2，T 2＝3， 当n ≥3时，T n ＝3＋9（1－3n －2
）1－3－（n ＋7）（n －2）
2
＝3n
－n 2
－5n ＋11
2
，
所以T n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧2， n ＝1，3n －n 2
－5n ＋112，n ≥2，n ∈N *
. 3.(2015·安徽，18)已知数列{a n }是递增的等比数列，且a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，b n ＝
a n ＋1
S n S n ＋1
，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)由题设知a 1·a 4＝a 2·a 3＝8.
又a 1＋a 4＝9.可解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 4＝8或⎩
⎪⎨⎪⎧a 1＝8，a 4＝1(舍去). 由a 4＝a 1q 3得公比q ＝2，故a n ＝a 1q
n －1
＝2
n －1
.
(2)S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝2n －1，又b n ＝a n ＋1
S n S n ＋1
＝
S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1S n －1S n ＋1
，
所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1S 1－1S 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1S 2－1S 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1S n －1S n ＋1＝1S 1－1S n ＋1
＝1－12n ＋1
－1.
4.(2015·福建，17)在等差数列{a n }中，a 2＝4，a 4＋a 7＝1
5. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝2a n －2＋n ，求b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10的值. 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，
由已知得⎩
⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝4，
（a 1＋3d ）＋（a 1＋6d ）＝15，
解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝1.
所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ＋2.
(2)由(1)可得b n ＝2n
＋n ，
所以b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10＝(2＋1)＋(22
＋2)＋(23
＋3)＋…＋(210
＋10) ＝(2＋22
＋23
＋…＋210
)＋(1＋2＋3＋…＋10) ＝2（1－210）1－2＋（1＋10）×102＝(211
－2)＋55
＝211
＋53＝2 101.
5.(2015·天津，18)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，{b n }是等差数列，且a 1＝b 1＝1，
b 2＋b 3＝2a 3，a 5－3b 2＝7.
(1)求{a n }和{b n }的通项公式；
(2)设c n ＝a n b n ，n ∈N *
，求数列{c n }的前n 项和.
解 (1)设数列{a n }的公比为q ，数列{b n }的公差为d ，由题意q ＞0.
由已知，有⎩
⎪⎨⎪⎧2q 2
－3d ＝2，q 4－3d ＝10，消去d ，整理得q 4－2q 2
－8＝0，
又因为q ＞0，解得q ＝2，所以d ＝2. 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1
，n ∈N *；数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1，n ∈N *
.
(2)由(1)有c n ＝(2n －1)·2
n －1
，设{c n }的前n 项和为S n ，则
S n ＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n －3)×2n －2＋(2n －1)×2n －1，
2S n ＝1×21
＋3×22
＋5×23
＋…＋(2n －3)×2n －1
＋(2n －1)×2n
，
上述两式相减，得
－S n ＝1＋22
＋23
＋…＋2n －(2n －1)×2n ＝2n ＋1
－3－(2n －1)×2n ＝－(2n －3)×2n
－3，
所以，S n ＝(2n －3)·2n
＋3，n ∈N *
.
6.(2015·山东，19)已知数列{a n }是首项为正数的等差数列，数列⎩⎨
⎧
⎭
⎬⎫
1a n ·a n ＋1的前n 项和为
n 2n ＋1
. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝(a n ＋1)·2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)设数列{a n }的公差为d ，
令n ＝1，得
1
a 1a 2＝13， 所以a 1a 2＝3. 令n ＝2，得
1
a 1a 2
＋
1
a 2a 3＝25
， 所以a 2a 3＝15.解得a 1＝1，d ＝2，所以a n ＝2n －1. (2)由(1)知b n ＝2n ·2
2n －1
＝n ·4n
，
所以T n ＝1·41
＋2·42
＋…＋n ·4n
， 所以4T n ＝1·42
＋2·43
＋…＋n ·4
n ＋1
，
两式相减，得－3T n ＝41
＋42
＋ (4)
－n ·4n ＋1
＝4（1－4n
）1－4－n ·4n ＋1＝1－3n 3×4n ＋1－43.
所以T n ＝3n －19×4n ＋1＋49＝
4＋（3n －1）4n ＋1
9
.
7.(2015·浙江，17)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝2，b 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *
)，b 1＋12b 2＋
13
b 3＋…＋1
n
b n ＝b n ＋1－1(n ∈N *).
(1)求a n 与b n ；
(2)记数列{a n b n }的前n 项和为T n ，求T n . 解 (1)由a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，得a n ＝2n
(n ∈N *). 由题意知：
当n ＝1时，b 1＝b 2－1，故b 2＝2. 当n ≥2时，1
n
b n ＝b n ＋1－b n ，整理得
b n ＋1n ＋1＝b n
n
，所以b n ＝n (n ∈N *). (2)由(1)知
a n
b n ＝n ·2n .
因此T n ＝2＋2·22
＋3·23
＋…＋n ·2n
， 2T n ＝22
＋2·23
＋3·24
＋…＋n ·2
n ＋1
，
所以T n －2T n ＝2＋22
＋23
＋ (2)
－n ·2n ＋1
.
故T n ＝(n －1)2
n ＋1
＋2(n ∈N *
).
8.(2015·湖南，19)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2＝3S n －S n ＋1＋3, n ∈N *
.
(1)证明：a n ＋2＝3a n ； (2)求S n .
(1)证明 由条件，对任意n ∈N *
，有a n ＋2＝3S n －S n ＋1＋3， 因而对任意n ∈N *
，n ≥2，有a n ＋1＝3S n －1－S n ＋3. 两式相减，得a n ＋2－a n ＋1＝3a n －a n ＋1，即a n ＋2＝3a n ，n ≥2. 又a 1＝1，a 2＝2，所以a 3＝3S 1－S 2＋3＝3a 1－(a 1＋a 2)＋3＝3a 1， 故对一切n ∈N *
，a n ＋2＝3a n . (2)解 由(1)知，a n ≠0，所以
a n ＋2
a n
＝3.于是数列{a 2n －1}是首项a 1＝1，公比为3等比数列；数列{a 2n }是首项a 2＝2，公比为3的等比数列.因此a 2n －1＝3n －1
，a 2n ＝2×3
n －1
.于是S 2n ＝a 1
＋a 2＋…＋a 2n
＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n ) ＝(1＋3＋…＋3
n －1
)＋2(1＋3＋…＋3n －1
)
＝3(1＋3＋…＋3n －1
)
＝3（3n
－1）2
.
从而S 2n －1＝S 2n －a 2n ＝3（3n
－1）2－2×3n －1＝32(5×3n －2
－1).
综上所述，
S n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧32（5×3n －3
2－1），当n 是奇数，32（3n
2
－1），当n 是偶数.
9.(2014·山东，19)在等差数列{a n }中，已知公差d ＝2，a 2是a 1与a 4的等比中项. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝a
n （n ＋1）
2
，记T n ＝－b 1＋b 2－b 3＋b 4－…＋(－1)n
b n ，求T n .
解 (1)由题意知(a 1＋d )2
＝a 1(a 1＋3d )， 即(a 1＋2)2
＝a 1(a 1＋6)， 解得a 1＝2.
所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n . (2)由题意知b n ＝a
n （n ＋1）
2
＝n (n ＋1).
所以T n ＝－1×2＋2×3－3×4＋…＋(－1)n
n ×(n ＋1). 因为b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)， 可得当n 为偶数时，
T n ＝(－b 1＋b 2)＋(－b 3＋b 4)＋…＋(－b n －1＋b n )
＝4＋8＋12＋…＋2n ＝n
2（4＋2n ）2＝n （n ＋2）2，
当n 为奇数时，
T n ＝T n －1＋(－b n )
＝
（n －1）（n ＋1）
2
－n (n ＋1)
＝－（n ＋1）2
2
.
所以T n
＝⎩⎪⎨⎪⎧－（n ＋1）2
2
，n 为奇数，
n （n ＋2）
2，n 为偶数.
10.(2015·浙江，10)已知{a n }是等差数列，公差d 不为零.若a 2，a 3，a 7成等比数列，且2a 1＋a 2＝1，则a 1＝________，d ＝________. 解析 因为a 2，a 3，a 7成等比数列，
所以a 2
3＝a 2a 7，即(a 1＋2d )2
＝(a 1＋d )(a 1＋6d )， ∴a 1＝－2
3d ，∵2a 1＋a 2＝1，
∴2a 1＋a 1＋d ＝1即3a 1＋d ＝1，
∴a 1＝2
3，d ＝－1.
答案 2
3
－1
11.(2016·山东，19)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2
＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1.
(1)求数列{b n }的通项公式；
(2)令c n ＝（a n ＋1）
n ＋1
（b n ＋2）n .求数列{c n }的前n 项和T n .
解 (1)由题意知，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝6n ＋5. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝11，符合上式. 所以a n ＝6n ＋5. 设数列{b n }的公差为d ， 由⎩⎪⎨
⎪⎧a 1＝b 1＋b 2，
a 2＝
b 2＋b 3，即⎩⎪⎨⎪⎧11＝2b 1＋d ，
17＝2b 1＋3d ，
可解得b 1＝4，d ＝3.所以b n ＝3n ＋1.
(2)由(1)知c n ＝（6n ＋6）n ＋1
（3n ＋3）n ＝3(n ＋1)·2
n ＋1.. 又T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n .
得T n ＝3×[2×22
＋3×23
＋…＋(n ＋1)×2n ＋1
].
2T n ＝3×[2×23
＋3×24
＋…＋(n ＋1)×2n ＋2
].
两式作差，得
－T n ＝3×[2×22
＋23
＋24
＋…＋2
n ＋1
－(n ＋1)×2
n ＋2
]
＝3×⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋4（1－2n ）1－2－（n ＋1）×2n ＋2＝－3n ·2n ＋2. 所以T n ＝－3n ·2
n ＋2
.
12.(2016·四川，19)已知数列{a n }的首项为1，S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＋1＝qS n ＋1，其中q >0，n ∈N *
.
(1)若a 2，a 3，a 2＋a 3成等差数列，求数列{a n }的通项公式；
(2)设双曲线x 2
－y 2a 2n
＝1的离心率为e n ，且e 2＝2，求e 21＋e 22＋…＋e 2
n .
解 (1)由已知，S n ＋1＝qS n ＋1，S n ＋2＝qS n ＋1＋1， 两式相减得到a n ＋2＝qa n ＋1，n ≥1.
又由S 2＝qS 1＋1得到a 2＝qa 1，故a n ＋1＝qa n 对所有n ≥1都成立.所以，数列{a n }是首项为1，
公比为q 的等比数列. 从而a n ＝q
n －1
.由a 2，a 3，a 2＋a 3成等差数列，可得2a 3＝a 2＋a 2＋a 3，所以a 3＝2a 2，故q ＝2.所以a n ＝2
n －1
(n ∈N *
).
(2)由(1)可知，a n ＝q
n －1.
所以双曲线x 2
－y 2a 2n
＝1的离心率e n ＝1＋a 2n ＝1＋q 2（n －1）
.
由e 2＝1＋q 2
＝2解得q ＝3， 所以e 2
1＋e 2
2＋…＋e 2
n
＝(1＋1)＋(1＋q 2
)＋…＋[1＋q 2(n －1)
]
＝n ＋[1＋q 2
＋…＋q
2(n －1)]
＝n ＋q 2n －1q 2－1＝n ＋12
(3n
－1).
13.(2015·北京，16)已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＝10，a 4－a 3＝2. (1)求{a n }的通项公式；
(2)设等比数列{b n }满足b 2＝a 3，b 3＝a 7；问：b 6与数列{a n }的第几项相等？ 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 4－a 3＝2，所以d ＝2.
又因为a 1＋a 2＝10，所以2a 1＋d ＝10，故a 1＝4. 所以a n ＝4＋2(n －1)＝2n ＋2(n ＝1，2，…). (2)设等比数列{b n }的公比为q . 因为b 2＝a 3＝8，b 3＝a 7＝16， 所以q ＝2，b 1＝4. 所以b 6＝4×2
6－1
＝128.
由128＝2n ＋2，得n ＝63， 所以b n 与数列{a n }的第63项相等.
14.(2015·重庆，18)已知等差数列{a n }满足a 3＝2，前3项和S 3＝9
2.
(1)求{a n }的通项公式；
(2)设等比数列{b n }满足b 1＝a 1，b 4＝a 15，求{b n }的前n 项和T n . 解 (1)设{a n }的公差为d ，则由已知条件得
a 1＋2d ＝2，3a 1＋
3×22d ＝9
2
，
化简得a 1＋2d ＝2，a 1＋d ＝32，解得a 1＝1，d ＝1
2，
故通项公式a n ＝1＋
n －1
2
，即a n ＝
n ＋1
2
.
(2)由(1)得b 1＝1，b 4＝a 15＝
15＋1
2
＝8. 设{b n }的公比为q ，则q 3
＝b 4b 1
＝8，从而q ＝2， 故{b n }的前n 项和
T n ＝b 1（1－q n ）1－q ＝1×（1－2n ）1－2
＝2n
－1.
15.(2015·广东，19)设数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *
.已知a 1＝1，a 2＝32，a 3＝54
，且当
n ≥2时，4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1.
(1)求a 4的值；
(2)证明：⎩
⎨⎧⎭⎬⎫
a n ＋1－12a n 为等比数列；
(3)求数列{a n }的通项公式.
(1)解 当n ＝2时，4S 4＋5S 2＝8S 3＋S 1，
即4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＋54＋a 4＋5⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＝8⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋32＋54＋1，
解得：a 4＝78
.
(2)证明 因为4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1(n ≥2)，所以4S n ＋2－4S n ＋1＋S n －S n －1＝4S n ＋1－4S n (n ≥2)，即4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1(n ≥2)，因为4a 3＋a 1＝4×5
4＋1＝6＝4a 2，所以4a n ＋2＋a n
＝4a n ＋1，因为a n ＋2－12a n ＋1
a n ＋1－12
a n
＝4a n ＋2－2a n ＋1
4a n ＋1－2a n
＝
4a n ＋1－a n －2a n ＋14a n ＋1－2a n ＝2a n ＋1－a n 2（2a n ＋1－a n ）＝12，所以数列⎩
⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 是以a 2－1
2a 1＝1为首项，公比
为1
2
的等比数列. (3)解 由(2)知；数列⎩
⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 是以a 2－12a 1＝1为首项，公比为1
2的等比数列，所以a n
＋1－12a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，即a n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－a n ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n ＝4，所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫
a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 是以a 112＝2为首项，公差为4的
11 等差数列，所以a n
⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n ＝2＋(n －1)×4＝4n －2，
即a n ＝(4n －2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝(2n －1)×⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n －1，所以数列{a n }的通项公式是a n ＝(2n －1)×⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n －1
. 16.(2015·湖北，19)设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q ，已知b 1＝a 1，b 2＝2，q ＝d ，S 10＝100.
(1) 求数列{a n }，{b n }的通项公式；
(2) 当d >1时，记c n ＝a n b n
，求数列{c n }的前n 项和T n .
解 (1)由题意有⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋45d ＝100，a 1d ＝2， 即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋9d ＝20，a 1d ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，
d ＝29
. 故⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝2n －1，b n ＝2n －1
或⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝19（2n ＋79），b n ＝9·⎝ ⎛⎭⎪⎫29n －1. (2)由d >1，知a n ＝2n －1，b n ＝2n －1，故c n ＝2n －12n －1，于是 T n ＝1＋32＋522＋723＋924＋…＋2n －12
n －1，① 12T n ＝12＋322＋523＋724＋925＋…＋2n －12n .② ①－②可得12T n ＝2＋12＋122＋…＋12n －2－2n －12n ＝3－2n ＋32n ， 故T n ＝6－2n ＋32
n －1.。