【考点5】导数及其应用

2010年高考数学试题分类解析
【考点5】导数及其应用
1、（18）（重庆理）（本小题满分13分，（I ）小问5分，（II ）小问8分）
已知函数()()1
ln 1,x f x x x a
-=
+++其中实数.1-≠a （Ⅰ）若a=-2，求曲线()y f x =在点()()
0,0f 处的切线方程； （Ⅱ）若()f x 在x=1处取得极值，试讨论()f x 的单调性。

解：（I ）.11
)(111)()1()('22
++++=+++--+=
x a x a x a x x a x x f 当a=2时，21
)0(,47101)
20(12)0('2
-==++++=
f f 而， 因此曲线)(x f y =在点))0(,0(f 处的切线方程为)0(4
7
)2
1
(-=--x y ， 即.0247=--y x
（II ）因,1-≠a 由（I ）知.21
11111)
1(1)1('2
++=++++=
a a a f 又因1)(=x x f 在处取得极值，所以0)1('=f
即
.3,02
1
11-==++a a 解得 此时),1ln(3
1
)(++--=
x x x x f 其定义域为),3()3,1(+∞- ，且
,)
1()1()
7)(1(11)3(2)('22+---=++--=
x x x x x x x f
由.7,10)('=-==x x x f 得
当711><<-x x 或时，171,0)('≠<<>x x x f 且当
时，.0)('<x f 由以上讨论知，)(x f 在区间(]),7(,1,1+∞-上是增函数，在区间（1，3）上是减函数
2、（22）（浙江)（本题满分14分）已知a 是给定的实常数，设函数
,,)()()(2R b e b x a x x f x ∈+-=a x =是)(x f 的一个极大值点.
（I ）求b 的取值范围;
（II ）设321,,x x x 是)(x f 的3个极值点，问是否存在实数b ，可找到R x ∈4，使得4321,,,x x x x 的某
种排列432,,,i i i i x x x x （其中}4,3,2,1{},,,{4321=i i i i ）依次成等差数列？若存在，示所有的b 及相应的;4x 若不存在，说明理由.
（Ⅰ）解：22()()[(3)2]f x c x a x a b x b ab a '=-+-++-- 令2()(3)2g x x a b x b ab a =+-++--
则22(3)4(2)(1)80.a b b ab a a b ∆=-+---=+-+>
于是可设12,x x 是()0g x =的两实根，且12,x x
（1）当12x a x a ==或时，则x a =不是()f x 的极值点，此时不合题意 （2）当12x a x a ≠≠且时，由于x a =是()f x 的极大值点， 故12.x a x << 即()0g a <
即2(3)20a a b a b ab a +-++--< 所以b a <-
所以b 的取值范围是（-∞，a -）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，假设存了b 及b x 满足题意，则 （1）当21x a a x -=-时，则424122x x a x x a =-=-或 于是122 3.x x a b -=+=-- 即 3.b a =--
此时4223x x a a b a a =-=--+=+
或4123x x a a b a a =-=---=-
（2）当21x a a x -≠-时，则21222()()2()x a a x a x x a -=--=-或
①若2
2122(),2
a x x a a x x +-=-=
则
于是1232a x x =+=
3(3)a b =-++
于是1a b +-=
此时222(3)3(3)13242
a x a a
b a b x b a ++---+++=
==--=+
②若1
1222(),2
a x a x x a +-=+=
则x
于是2132a x x =+=
3(3)a b =++
于是1a b +-=
此时122(3)3(3)324a x a a b a b x b a ++---++=
==--=+ 综上所述，存在b 满足题意
当43,b a x a =--=±时
当471,22b a x a ++=--
=+
当4713113
,22
b a a a --=--
=+ 3、（21）（天津）（本小题满分14分）
已知函数()()x
f x xc x R -=∈
（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间和极值；
（Ⅱ）已知函数()y g x =的图象与函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，证明当1x >时，
()()f x g x >
（Ⅲ）如果12x x ≠，且12()()f x f x =，证明122x x +> （Ⅰ）解：f ’()(1)x x x e -=- 令f ’（x ）=0,解得x=1
所以f （x ）在（,1-∞）内是增函数，在（1,+∞）内是减函数。

函数f （x ）在x=1处取得极大值f （1）且f （1）=
1
e
（Ⅱ）证明：由题意可知g （x ）=f （2-x ）,得g （x ）=（2-x ）2
x e -
令F （x ）=f （x ）-g （x ）,即2()(2)x
x F x xe x e --=+-
于是22
'()(1)(1)x x F x x e
e --=--
当x>1时，2x-2>0,从而2x-2
e
10,0,F x e -->>又所以’（x ）>0,从而函数F （x ）在[1,+∞）是增函数。

又F （1）=-1
-1
e e 0-=，所以x>1时，有F （x ）>F （1）=0,即
f （x ）>
g （x ）． （Ⅲ）证明：（1）
若121212(1)(1)0,)), 1.x x x x x x --=I ===≠12由（）及f(x f(x 则与矛盾。

（2）若121212(1)(1)0,)),.x x x x x x -->I ==≠12由（）及f(x f(x 得与矛盾。

根据（1）（2）得1212(1)(1)0,1, 1.x x x x --<<>不妨设
由（Ⅱ）可知，)2f(x >)2g(x ,则)2g(x =)2f(2-x ，所以)2f(x >)2f(2-x ,从而)1f(x >)2f(2-x ．因为21x >，所以221x -<，又由（Ⅰ）可知函数f （x ）在区间（-∞，1）内事增函数，所以1x >22x -,即12x x +>2．
4、（22）（四川）（本小题满分14分）
设11x
x
a f (x )a
+=-（0a >且1a ≠），g (x )是f (x )的反函数．
（Ⅰ）设关于x 的方程2
17a
t
log g(x )(x )(x )
=--在区间[]26,上有实数解，求t 的取值范围； （Ⅱ）当a e =（e
为自然对数的底数）时，证明：2
2
n
k g(k )=>∑；
（Ⅲ）当1
2
0<α≤
时，试比较1
n
k f (k )n =∣-∣∑与4的大小，并说明理由．
解：（Ⅰ）由题意，得,01
1
>+-=
y y a n
故).,1()1,(,1
1
log )(+∞⋃--∞∈+-=x x x x g a
由11
log )
7)(1(log 2
+-=--x x x x t a a
得
).
5)(1(315183]
6,2[),7()1(2
2---=-+-='∈--=x x x x t x x x t 则
列表如下：
所以32,5==最大值最小值t t
所以t 的取值范围为[5，32]………………………………（5分）
（Ⅱ）
11
1531421311)(2
+-+++=∑=n n n n n n k g n
n
2
)1(1)
1
1
534231(1=-=+-⨯⨯⨯⨯=n n n
n n n
.
),0()(.0)1
1(112)(,
0,1
2111)(2222
上是增函数在所以则令+∞≥-==+-='>-+-=---=z u z z
z z u z z
z nz z z nz z u
)
9()1(22)(,02
)
1(2)1(1)1(210)1()2
)
1((,012)1(2
2分即却所以又因为
+-->>++--+=>+>>+∑=n n n n k g n n n n n n n n n n n n n n
n （Ⅲ）
1
)1(2
1)1()1()(,*,2,
2.
422
1)1(,132
111)1(1,1,1111-++
=++=∈≥≥<≤=-=≤+=-+=<≥+=-+k k k p p p k f N k k n p f n n
n n f p p n 则时设时当时当则设
n
P
C P C P C 24224242
1++++
=
∑∑==+≤++<<+<+-+=+-+
-≤<-+-+=++=++
≤<n
n n
n n n f k f n n n n n n k f n k k k k C C k f 1
22
4
144
1)1()(.11
4114241)(114
41)1(4121)(1所以从而所以 综上，总有
.4)(1
<-⎰∑=n
n n k ……………………………………（14分）
5、（陕西21．）（本小题满分14分）
已知函数f （x ）
g （x ）=a lnx ，a ∈R.
（I ）若曲线y=f (x )与曲线y=g(x )相交，且在交点处有相同的切线，求a 的值及该切线的方程；
（II ）设函数h(x )=f (x )－ g(x ),当h(x )存在最小值时，求其最小值ϕ（a ）的解析式；
（III ）对（2）中的ϕ（a ），证明：当).2(2)()()2(b
a ab
b a b a +'≤'+'-≤+'φφφφ 解:（I ）),0()(,21)(>=
'=
'x x
a
x g x
x f
由已知得
a ln x ，
a x ， 解得a =2
e
,x =e 2, 两条曲线交点的坐标为（e 2，e ） 切线的斜率为e
e f k 21
)(2='=
切线的方程为y －e =1
2e (x － e 2).
（II ）由条件知.2221)(),0(ln )(x
a
x x a x
x h x x a x x h -=-
=
'∴>-=
（i ）当a .>0时，令h '
( x )=0,解得x =2
4a ,
所以当0 < x < 24a 时 h '( x )<0，h (x )在（0，2
4a ）上递减； 当x >2
4a 时，h '
( x )>0，h (x )在（0，2
4a ）上递增。

∴x >24a 是h (x )在（0， +∞ ）上的唯一极致点，且是极小值点，从而也是h (x )的最小值点. ∴最小值ϕ（a ）=h(2
4a )= 2a － a ln 2
4a =2
（ii ）当a ≤ 0时，),0()(,022)(+∞>-=
'在x h x
a
x x h 递增，无最小值. 故 h(x ) 的最小值ϕ（a ）的解析式为2a (1－ln2a ) (a >0) （III ）由（II ）知ϕ （a ）=－2ln2a . 对任意的,0,0>>b a
ab b
a b a 4ln 22ln 22ln 22)
()(-=+-
='+'φφ ， ①
,4ln )ln()2
2ln(2)22(2ab b a b a ab -≤+--+⋅-='φ②
ab ab
ab
b a ab b a ab 4ln 24ln 2)22ln(2)2(
-=-≥+⋅-=+'φ③
故由①，②，③得).2(2)()()2(
b
a ab
b a b a +'≤'+'-≤+'φφφφ 6、（7）（山东5分）由曲线32,x y x y ==围成的封闭图形面积为
（A ）
12
1
（B ）
4
1 （C ）
3
1 （D ）
12
7 答案：Ａ 7、（山东22）（本小题满分14分）
已知函数)(111)(R a x
a
ax nx x f ∈---
-=. （Ⅰ）当2
1
≤a 时，讨论)(x f 的单调性； （Ⅱ）设4
1.42)(2
=+-=a bx x x g 当时，若对任意)2,0(1∈x ，存在]2,1[2∈x ，使)()(21x g x f ≥，
求实数b 的取值范围.
解：（Ⅰ）因为1()ln 1a
f x x ax x
-=-+-
所以222
111()(0,)a ax x a
f x a x x x x
--+-'=-+=∈+∞ 令2()1,(0,)h x ax x a x =-+-∈+∞
（1）当0,()1,(0,)a h x x x ==-+∈+∞时
所以，当(0,1),()0,()0x h x f x '∈><时此时，函数()f x 单调递减；
当(1,)x ∈+∞时，()0h x <，此时()0,f x '>函数f(x)单调递
（2）当0a '≠时,由f (x)=0 即2
10ax x a -+-=，解得1211,1x x a
==
- ①当1
2
a =
时，12,()0x x h x =≥恒成立， 此时()0f x '≤，函数()f x 在（0，+∞）上单调递减； ②当11
0,1102a a
<<
->>时 (0,1)x ∈时，()0,()0,()h x f x f x '><此时函数单调递减；
1
(1,
1)x a
∈-时，()0,()0,()h x f x f x '<>此时函数单调递增；
1
(1,),()0x h x a
∈-+∞>时，此时()0f x '<，函数()f x 单调递减；
③当0a <时，由于1
10a
-<
(0,1)x ∈时，()0h x >，此时()0f x '<，函数()f x 单调递减； (1,)x ∈+∞时，()0h x <，此时()0f x '>，函数()f x 单调递增。

综上所述：
当0a ≤时，函数()f x 在（０，１）上单调递减； 函数()f x 在（１，＋∞）上单调递增；
当1
2
a =
时，函数()f x 在（0，+∞）上单调递减； 当1
02
a <<时，函数()f x 在（0，1）上单调递减；
函数()f x 在1
(1,1)a -上单调递增；
函数1
()(1,)f x a -+∞在上单调递减，
（Ⅱ）因为11
(0,)22
a =∈，由（Ⅰ）知，
121,3(0,2)x x ==∉，当(0,1)x '∈时,f (x)<0，
函数()f x 单调递减；当(1,2)x ∈时，()0f x '>
函数()f x 单调递增，所以()f x 在（0，2）上的最小值为1
(1)2
f =-
由于“对任意1(0,2)x ∈，存在2[1,2]x ∈，使12()()f x g x ≥”等价于 “()g x 在[1，2]上的最小值不大于()f x 在（0，2）上的最小值1
2
-” （*） 又2
2
()()4,[1,2]g x x b b x =-+-∈，所以
①当1b <时，因为min [()](1)520g x g b ==->，此时与（*）矛盾； ②当[1,2]b ∈时，因为2
min [()]40,g x b =-≥，同样与（*）矛盾；
③当(2,)b ∈+∞时，因为min [()](2)84g x g b ==-
解不等式1842b -≤-
，可得17
.8b ≥
综上，b 的取值范围是17
[,).8
+∞
8、（全国I ，20）（本小题满分12分）
已知函数.1ln )1()(+-+=x x x x f
（Ⅰ）若1)(2++≤'ax x x f x ，求a 的取值范围； （Ⅱ）证明：.0)()1(≥-x f x 解：（Ⅰ）,1
ln 1ln 1)(x
x x x x x f +=-++=' ()1xf x xlnx '=+
题设1)(2++≤'ax x x f x 等价于.ln a x x ≤- 令.11
)(,ln )(-=
'-=x
x g x x x g 则 当10<<x 时，0)(>'x g ； 当1≥x 时，0)(≤'x g ，
)(1x g x 是=的最大值点，.1)1()(-=≤g x g
综上，a 的取值范围是).,1[+∞-
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，.1)1()(-=≤g x g 即.01ln ≤+-x x 当10<<x 时，.0)1(ln ln 1ln )1()(≤+-+=+-+=x x x x x x x x f 当1≥x 时；
)1ln (ln )(+-+=x x x x x f )11
(ln ln -+
+=x x x x )11
1(ln ln +--=x
x x x
.0≥
所以.0)()1(≥-x f x
9、（全国2，22）（本小题满分12分）
设函数()1x
f x e -=-．
（Ⅰ）证明：当x ＞-1时，()1
x f x x ≥+； （Ⅱ）设当0x ≥时，()1
x
f x ax ≤+，求a 的取值范围． 解：（I ）当1->x 时，
1
)(+≥
x x x f 当且仅当.1x e x
+≥ 令.1)('.1)(-=--=x x e x g x e x g 则
…………2分
当0)('0≥≥x g x 时，[)+∞,0)(在x g 是增函数； 当(]0,)(,0)('0∞-≤≤在时x g x g x 是减函数。

于是)(x g 在x=0处达到最小值，因而当R x ∈时，.1),0()(x e g x g x +≥≥即 所以当.1
)(,1+≥
->x x x f x 时 …………6分、
（II ）由题设.0)(,0≥≥x f x 此时
当1
)(,01,1,0+≤<+-
><ax x x f ax x a x a 则若时不成立； 当,)()()(,x x f x axf x h a -+=≥令时则
1
)(+≤
ax x
x f 当且令当.0)(≤x h ).
()()(1
)(')(')()('x f ax x axf x af x f x af x af x h -+-=-++=
…………8分
（i ）当2
1
0≤
≤a 时，由（I ）知),()1(x f x x +≤ ),()()1()()()('x f x f x a x axf x af x h -++-≤ ,0)()12(≤-=x f a
[)+∞,0)(在x h 是减函数，.1
)(,0)0()(+≤
=≤ax x
x f h x h 即…………10分 （ii ）当2
1
>
a 时，由（I ）知).(x f x ≥ ),()()()('x f ax x axf x af x h -+-= )()()()(x f x af x axf x af -+-≥
).()12(x f ax a --=
当a a x 120-<
<时，.1
)(,0)0()(,0)('+>
=>>ax x
x f h x h x h 即所以 综上，a 的取值范围是].2
1
,0[
10、（全国新，21）（本小题满分12分）
设函数f （x ）=2
1x
e x ax ---.
（Ⅰ）若a=0,求f （x ）的单调区间;
（Ⅱ）若当x ≥0时f （x ）≥0，求a 的取值范围. 解：（I ）a=0时，.1)(',1)(-=--=x x e x f x e x f
当;0)(',)0,(<-∞∈x f x 时 当.0)(',),0(>+∞∈x f x 时
故)0,()(-∞在x f 单调减少，在),0(+∞单调增加. （II ）.21)('ax e x f x --=
由（I ）知,1x e x +≥当且令当x=0时等号成立，故
,)21(2)('x a ax x x f -=-≥
从而当,0)0(),0(0)(',2
1
,021=≥≥≤
≥-f x x f a a 而时即 于是当0)(,0≥≥x f x 时
由)0(1≠+>x x e x 可得)0(1≠->-x x e x 从而当2
1
>
a 时， ),2)(1()1(21)('a e e e e a e x f x x x x x --=-+-<--
故当,0)0(,0)(',)2ln ,0(=<∈f x f a x 而时 于是当.0)(,)2ln ,0(<∈x f a x 时
综合得a 的取值范围为.2
1,⎥⎦
⎤ ⎝
⎛∞-
11、（3）（全国新，5分）曲线2
x
y x =+在点()1,1--处的切线方程为 （A ）21y x =+ （B ）21y x =-
（C ）23y x =--
（D ）22y x =--
答案：A 12、（辽宁，21）（本小题满分12分）
已知函数1ln )1()(2+++=ax x a x f
（I ）讨论函数)(x f 的单调性；
（II ）设1-<a ．如果对任意),0(,21+∞∈x x ，||4)()(|2121x x x f x f -≥-，求a 的取值范围。

解：（Ⅰ） f （x ）的定义域为（0,+∞），2
1
21()2a a x a f x
a x x
x
+++'=+=．
当a ≥0时，()f x '＞0，故f （x ）在（0,+∞）单调增加；
当a ≤－1时，()f x '＜0, 故f （x ）在（0,+∞）单调减少；
当－1＜a ＜0时，令()f x '＝0,解得x
当x ∈（0,
, ()f x '＞0；
x ∈+∞）时，()f x '＜0,
故f （x ）在（0,
+∞）单调减少． （Ⅱ）不妨假设x 1≥x 2．由于a ≤－1, 由（Ⅰ）知)(x f 在（0，+∞）单调减少，从而
||4|)()(|),,0(,212121x x x f x f x x -≥-+∞∈∀
等价于
.4)(4)(),,0(,112221x x f x x f x x +≥++∞∈∀
①
令x x f x g 4)()(+=,
则.421
)(+++=
'ax x
a x g ①等价于)(x g 在（0，+∞）单调减少，即
0421
≤+++ax x
a 从而.21
2)12(1224)12(121422
2222-+-=+---=+--≤
x x x x x x x a
故a 的取值范围为]2,(--∞
…………12分
13、（10）（辽宁5分）已知点P 在曲线y =
4
e 1
x +上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是
（A ）)4
,
0(π
（B ）)2
,4[
π
π （C ）]4
3,2(
π
π （D ）),4
3[
ππ
答案：A
14、（江西）19．（本小题满分12分）设函数()ln ln(2)(0)f x x x ax a =+-+>． （1）当1a =时，求()f x 的单调区间； （2）若()f x 在(]0,1上的最大值为1
2
，求a 的值． 解：函数()f x 的定义域为（0，2），
11
()2f x a x x
'=
-+-
（1）当1a =时，22
()(2)
x f x x x -+'=-，
所以()f x 的单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）当22(0,1],()0(2)
x
x f x a x x -'∈=
+>-时
即()f x 在(0,1]上单调递增，故()f x 在(0,1]上的最大值为(1)f a =，
因此1.2
a =
15、（江西5分）5．等比数列{}n a 中，182,4a a ==，函数
128()()()()f x x x a x a x a =--⋅⋅⋅-，则'(0)f =
A ．6
2 B ．9
2
C ．12
2
D ．15
2
答案：Ｃ
16、（江苏）20．（16分）设)(x f 使定义在区间),1(+∞上的函数，其导函数为)('x f ．如果存在实数a 和
函数)(x h ，其中)(x h 对任意的),1(+∞∈x 都有)(x h >0，使得
)1)(()('2+-=ax x x h x f ，则称函数)(x f 具有性质)(a P ．
（1）设函数)(x f )1(1
2
)(>+++
=x x b x h ，其中b 为实数 ①求证：函数)(x f 具有性质)(b P ②求函数)(x f 的单调区间
（2）已知函数)(x g 具有性质)2(P ，给定为实数，设m x x x x ,),,1(,2121<+∞∈
21)1(x m mx -+=α，21)1(mx x m +-=β，且1,1>>βα，若|)()(βαg g -|
<|)()(21x g x g -|,求m 的取值范围
解：（1）1
()ln (1)1
f x x x x =+
>+；则有如下解答： ①222121()(1)(1)(1)
b f x x bx x x x x +'=
-=-+++ 3
1
1,()0,(1)()();
x h x x x f x P b >=
>+∴ 时恒成立函数具有性质
②设2
()1,()()x x bx f x x ϕϕ'=-+则与同号，
22[2,2],()10,()(1,);(,2),()10,()(1,);(2,),(),).
b x x bx f x b x x bx f x b f x ϕϕ∈-=-+>∴+∞∈-∞-=-+>∴+∞∈+∞+∞当时恒成立在上单调递增当时恒成立在上单调递增当时在上单调递减在上单调递增 （2）
依据题意2
()()(1),g x h x x '=-
1212()(1,),,(21)().g x x x m x x αβαβ∴+∞+=+-=--在单调递增且有
当1
1,,2
m m αβ>
≠<且时 且112212(1)(1),(1)(1),x m x m x x m x m x αβ-=-+--=-+-
221212121212121211212122
()()(1)()0,,
,()()()(),()()()(),
(1)1
,,1, 1.
(1)2x x m x x x x x x x x f f x f x f g g g x g x x mx m x x x m m m x mx x αβαβαβαβαβαβαβ∴--=---<∴<<<<<<<<<<<<∴->-<+-⎧∴<<<<∴<<⎨-+<⎩或若则不合题意即解得
121
,,|()()|()()2m g g g x g x αβαβ===-<-当时且,符合题意，
当2121211
,,(),(),2
m x m x x x m x x αβαβ<>-=--=--时且
同理有11212122
(1)1
,,0,0,(1)2x m x mx x x m m mx m x x βα<-+⎧<
<<>∴<<⎨
+-<⎩即解得
综上0 1.m <<
17、8．（江苏5分）函数y=x 2（x>0）的图像在点（a k ,a k 2）处的切线与x 轴交点的横坐标为a k+1,k 为正整
数，a 1=16，则a 1+a 3+a 5=___ 答案：21 18、湖南5分）5．4
2
1
d x x
⎰
等于
A ．2ln 2-
B ．2ln 2
C ．ln 2-
D ．ln 2
答案：Ｄ
19、（湖北）21．（本小题满分14分）
已知函数)0()(>++
=a c x
b
ax x f 的图象在点))1(,1(f 处的切线方程为.1-=x y （I ）用a 表示出b ，c ；
（II ）若[
)+∞≥,1ln )(在x x f 上恒成立，求a 的取值范围； （III ）证明：).1()
1(2)1ln(131211≥+++>++++
n n n n n 解：（I ）⎩
⎨⎧-=-=⎩⎨⎧=-==++=-
=.21,1,1)1(',0)1(,)('2
a c a
b b a f
c b a f x b
a x f 解得则有
（II ）由（I ）知，.211
)(a x a ax x f -+-+
= 令[),,1,ln 211
ln )()(2+∞∈--+-+=-=x x a x
a ax x x f x g
则,)1)(1()
1(11)(',0)1(2
222x a a
x x a x a x ax x x a a x g g --
-=
---=---==
（i ）当.11,
210>-<<a a
a 时 若)(,0)(',11x g x g a
a
x <-<<则是减函数，所以,0)1()(=<g x g 即[)+∞≥<,1ln )(,ln )(在故x x f x x f 上不恒成立. （ii ）当.11,21≤-≥
a
a a 时 若)(,0)(',1x g x g x >>则是增函数，所以,0)1()(=>g x g 即1,ln )(≥>x x x f 故当时，.ln )(x x f ≥
综上所述，所求a 的取值范围为.,21
⎪⎭
⎫⎢⎣⎡+∞ （II ）解法一：由（II ）知：当)1(ln )(,2
1
≥≥≥
x x x f a 有时 令).1(ln )1
(21)(,21≥≥-==
x x x
x x f a 有 且当.ln )1
(21,1x x x x >->时
令)],1
1
1()11[(21]11[211ln ,1+--+=+--<++=k k k k k k k k k x κ有 即.,,3,2,1),1
1
1(21ln )1ln(n k k k k k =++
<-+ 将上述n 个不等式依次相加得
,)
1(21)13121(21)1ln(++++++<
+n n n 整理得
.)
1(2)1ln(131211+++>++++
n n n n 解法二：用数学归纳法证明.
（1）当n=1时，左边=1，右边,14
1
2ln <+
=不等式成立. （2）假设n=k 时，不等式成立，就是、
.)
1(2)1ln(131211+++>++++
k k k k 那么1
1
)1(2)1ln(11131211+++++>++++++
k k k k k k .)
1(22
)1ln(+++
+=k k k
由（II ）知：当2
1
≥
a 时，有).1(ln )(≥≥x x x f 令).1(ln )1
(21)(,21≥≥-==x x x x x f a 有
令).1ln()2ln(1
2
ln )2112(21:,12+-+=++≥++-++++=
k k k k k k k k k k x 得 .
)2(21)2ln(11131211.
)
2(21
)2ln()1(22)1ln(++++>++++++∴++++≥+++
+∴k k k k k k k k k k k
这就是说，当n=k+1时，不等式也成立.
根据（1）和（2），可知不等式对任何*
N n ∈都成立. 20、（福建）20．（本小题满分14分）
（1）已知函数f （x ）=x 3=x ，其图像记为曲线C ． （i ）求函数f （x ）的单调区间；
（ii ）证明：若对于任意非零实数x 1，曲线C 与其在点P 1（x 1,f （x 1）处的切线交于另一点P 2（x 2,f （x 2）．曲
线C 与其在点P 2处的切线交于另一点P 3 （x 3，f （x 3）），线段P 1P 2,P 2P 3与曲线C 所围成封闭图形的面积分别记为S 1,S 2，则1
2s s 为定值： （Ⅱ）对于一般的三次函数g （x ）=ax 3+bx 2
+cx+d （a ≠0），请给出类似于（Ⅰ）（ii ）的正确命题，并予以证明。

解法一：
（Ⅰ）（i ）由3
()f x x x =-得233
()313(33
f x x x x '=-=-
+
当(,)x ∈-∞+∞和时，()0f x '>；
当(x ∈时，()0.f x '< 因此，)(x f 的单调递增区间为),33()33,(+∞--∞和，单调递减区间为).3
3,33(- （ii ）曲线C 在点P 1处的切线方程为
,))(13(13
1121x x x x x y -+--= 即.2)13(2121x x x y --= 由⎪⎩⎪⎨⎧-=--=x
x y x x y 3
3
121,2)13( 得,2)12(31213x x x x x --=-
即,0)2()(121=+-x x x x 解得,211x x x x -==或 故.212x x -=
进而有.4
27||)22341(||)23(|
41213
1221421
31213111
x x x x x x dx x x x x S x x x x =+-=+-=-⎰ 用2x 代替1x ，重复上述计算过程，可得.4
2724
2223x S x x =-=和 又0212≠-=x x ，所以.16
1
,0416*******=≠⨯=
S S x S 因此有 （II ）记函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x g 的图象为曲线C ，类似于（I ）（ii ）的正确命题为：若
对于任意不等于a
b
3-
的实数,1x 曲线'C 与其上点P 1（)(,11x g x ）处的切线交于另一点))(,(122x g x P 曲线'C 与其在点P 2处的切线交于另一点))(,(331x g x P ，线段P 1P 2、P 2P 3与曲线'C 所围成封闭图形的面积分别记为2
1
21,,S S S S 则为定值。

证明如下：
因为平移变换不改变面积的大小，故可将曲线)(x g y =的对称中心))3(,3(a
b
g a b --平移至坐标原点，因而不妨设.0,)(13
≠+=x hx ax x g 且
故
.16
121=S S 解法二：
（I ）同解法一。

（II ）记函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x g 的图象为曲线C ，类似于（I ）（ii ）的正确命题为：若
对于任意不等式a
b
3-
的实数1x ，曲线'C 与其在点))(,(111x g x P 处的切线交于另一点))(,(222x g x P ，曲线'C 与其在点P 2处的切线交于另一点))(,(333x g x P ，线段P 1P 2，P 2P 3与曲线C 所围成封闭图形的面积分别记为2
1
21,,S S S S 则为定值。

证明如下：
由)0()(23≠+++=a d cx bx ax x g 的得,23)('2c bx ax x g ++=所以曲线C 在点))(,(11x g x 处的切
线方程为.2)23(213
1121d bx ax x c bx ax y +--++=
由⎪⎩⎪⎨⎧+--++=+++=d
bx ax x c bx ax y d cx bx ax y 2
1311212
32)23(,得,0])2([)(121=++-b x x a x x ,2,21211x a
b
x x a b x x x --=--
==∴即或故 ,12)3(]2)23([|32
4
121
31
12
1
2
3
1a b ax dx bx ax x bx ax bx ax S x
x ⎰+=
+++-+=
用,32112a
b x x a b x -≠--
=且 所以012)3(1612)26(12)3(3
4
13413422≠+=--=+=
a b ax a b ax a b ax S ， 21、（北京）（18）（本小题共13分）已知函数f （x ）=In （1+x ）-x +2
2
x k （k ≥0）。

（Ⅰ）当k =2时，求曲线y =f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程； （Ⅱ）求f （x ）的单调区间。

解：（Ⅰ）当2=k 时，x x
x f x x x x f 2111
)(,)1ln()(2
+-+=
'+-+= 由于2
3)1(,2ln )1(=
'=f f
所以曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程为
)1(2
3
2ln -=
-x y
即.03ln 223=-+-w y x
（Ⅱ）),1(,1)
1()(+∞-∈+-+='x x
k kx x x f
当0=k 时，x
x
x f +-='1)(
所以，在区间（-1，0）上，0)(>'x f ； 在区间（0，+∞）上，0)(<'x f
故)(x f 的单调递增区间是（-1，0），单调递减区间是（0，+∞） 当10<<k 时，由01)
1()(=+-+='x
k kx x x f
得01,021>-=
=k
k
x x 所以，在区间（-1，0）和),1(+∞-k
k
上，0)(>'x f ； 在区间)1,
0(k
k
-上，0)(<'x f
故)(x f 的单调递增区间是（-1，0）和),1(
+∞-k k ，单调递减区间是)1,0(k
k
-。

当1=k 时，.1)(2
x
x x f +=
' 故)(x f 的单调递增区间是（-1，+∞） 当1>k 时，由01)
1()(=+-+='x
k kx x x f
得0),0,1(121=-∈-=
x k
k
x 所以，在区间)1,1(k
k
--和（0，+∞）上，0)(>'x f ；
在区间)0,1(k
k
-上，.0)(<'x f 故)(x f 的单调递增区间是)1,1(k k --和（0，+∞），单调递减区间是)0,1(k
k
-。

22、（安徽）（17）（本小题满分12分）
设a 为实数，函数.,22)(R x a x e x f x
∈+-=
（I ）求)(x f 的单调区间与极值；
（II ）求证：当012ln >->x a 且时，22 1.x e x ax >-+ （I ）解：由()22,()2,.x x f x e x a x f x e x '=-+∈=-∈R R 知
令()0,ln 2.,(),()f x x x f x f x ''==得于是当变化时的变化情况如下表：
故()f x 的单调递减区间是(,ln 2)-∞，单调递增区间是(ln 2,)+∞，
()ln 2f x x =在处取得极小值，
极小值为ln 2(ln 2)2ln 222(1ln 2).f e a a =-+=-+ （II ）证：设2
()21,,x
g x e x ax x =-+-∈R
于是()22,.x
g x e x a x '=-+∈R
由（I ）知当ln 21,()(ln 2)2(1ln 2)0.a g x g a ''>-=-+>时最小值为
,()0,()x g x g x '∈>R R 于是对任意都有所以在内单调递增,
于是当ln 21,(0,),()(0),a x g x g >-∈+∞>时对任意都有 而(0)0,(0,),()0.g x g x =∈+∞>从而对任意 即2
2
210,2 1.x
x
e x ax e x ax -+->>-+故
23、（（重庆文）(19) (本小题满分12分), (Ⅰ)小问5分，(Ⅱ)小问7分.)
已知函数32
()f x ax x bx =++(其中常数a,b ∈R),()()()g x f x f x '=+是奇函数. (Ⅰ)求()f x 的表达式;
(Ⅱ)讨论()g x 的单调性，并求()g x 在区间上的最大值和最小值.
解：（Ⅰ）由题意得.23)(2
b x ax x f ++='
因此)(.)2()13()()()(22x g b x b x a ax x f x f x g 因为函数+++++='+=是奇函数，所以
,),()(x x g x g 即对任意实数-=-有
],)2()13([))(2())(13()(2223b x b x a ax b x b x a x a +++++-=+-++-++-
从而的解析表达式为因此解得)(,0,3
1
,0,013x f b a b a =-===+
.3
1
)(23x x x f +-=
（Ⅱ）由（Ⅰ）知2,0)(,2)(,23
1)(122
-=='+-='+-
=x x g x x g x x x g 解得令所以，),2[],2,()(,0)(,22,22+∞--∞<'>-<=在区间从而时或则当x g x g x x x 上是减函数；
当,22时<<-x ,0)(>'x g 从而)(x g 在区间]2,2[-上是增函数。

由前面讨论知，,2,2,1]2,1[)(时取得能在上的最大值与最小值只在区间=x x g 而
.3
4
)2(,324)2(,35)1(===g g g 因此上的最大值为在区间]2,1[)(x g
3
2
4)2(=
g ，最小值为.34)2(=g
24、（浙江文）（21）（本题满分15分）已知函数f （x ）＝（x －a ）（a －b ）（a ，b ∈R ，a <b ）．
（Ⅰ）当a ＝1，b ＝2时，求曲线y ＝f （x ）在点（2，f （2））处的切线方程;
（Ⅱ）设x 1，x 2是f （x ）的两个极值点，x 3是f （x ）的一个零点，且x 3≠x 1，x 3≠x 2．
证明：存在实数x 4，使得x 1，x 2，x 3，x 4按某种顺序排列后构成等差数列，并求x 4．
（Ⅰ）解：当a =1,b =2时， 因为f '（x ）=（x -1）（3x -5）． 故f '（2）=1．
又f （2）＝0，
所以f （x ）在点（2，0）处的切线方程为y ＝x －2．
（Ⅱ）证明：因为f '（x ）＝3（x －a ）（x －23
a b
+）， 由于a <b ． 故a <
23
a b
+．
所以f （x ）的两个极值点为x ＝a ，x ＝
23
a b
+．
不妨设x 1＝a ，x 2＝
23
a b
+， 因为x 3≠x 1，x 3≠x 2，且x 3是f （x ）的零点， 故x 3＝b ．
又因为
23a b +－a ＝2（b －23a b
+）， x 4＝12（a ＋23a b +）＝23
a b +，
所以a ，23a b +，23
a b
+，b 依次成等差数列，
所以存在实数x 4满足题意，且x 4＝23
a b
+．
25、（天津文）（20）（本小题满分12分）
已知已知函数3
2
3()1(),2
f x ax x x R =-
+∈其中a ＞0。

（Ⅰ）若a =1，求曲线()y f x =在点（2，()2f ）处的切线方程： （Ⅱ）若在区间11,22⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上，()f x ＞0恒成立，求a 的取值范围。

（Ⅰ）解：当a=1时，f （x ）=3
2
3x x 12
-
+，f （2）=3；f ’（x ）=233x x -, f ’（2）=6.所以曲线y=f （x ）在点（2，f （2））处的切线方程为y-3=6（x-2），即y=6x-9.
（Ⅱ）解：)(x f '=2
333(1)ax x x ax -=-.令)(x f '=0，解得x=0或x=
1a
. 以下分两种情况讨论：
若11
0a 2
<≤≥，则
，当x 变化时，f ’（x ），f （x ）的变化情况如下表：
当11x f x 22⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，时，（）>0等价于5a 10,()0,82
15a ()0,0.28f f -⎧⎧>->⎪⎪⎪⎪⎨⎨+⎪⎪>>⎪⎪⎩⎩
即
解不等式组得-5<a<5.因此0a 2<≤.
若a>2，则11
<
<.当x 变化时，f ’（x ）,f （x ）的变化情况如下表：
当11x 22⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦，时，f （x ）>0等价于1
f(-)21f()>0,a ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩>0,即2
5811->0.
2a a -⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩>0,
5a <<或a <.因此2<a<5. 综合（1）和（2），可知a 的取值范围为0<a<5.
26、（四川文）（22）（本小题满分14分）
设11x
x
a f (x )a +=-（0a >且1a ≠），g (x )
是f (x )的反函数．
（Ⅰ）求);(x g
（Ⅱ）当恒有时,]6,2[∈x )
7)(1(log )(2
x x t
x g n -->成立，求t 的取值范围； （Ⅲ）当1
2
0<α≤时，试比较)()2()1(n f f f +++ 与4+n 的大小，并说明理由．
解：（Ⅰ）由题意得，,1
1
+-=
y y a n
故).,1()1,9,1
1
log )(+∞-∞-∈+-= x x x x g a
……………………（3分） （Ⅱ）由)
7)(1(log 11log )(2x x t
x x x g a a
-->+-=得
①当0)
7)(1(11,
12>-->+->x x t x x a 时
又因为).7()1(0],6,2[2
x x t x --<<∈所以
).
5)(1(315183)(]6,2[,7159)7()1()(2
232---=-+-='∈+-+-=--=x x x x x h x x x x x x x h 则令
列表如下：
所以.5)(=最小值x h 所以.50<<t
②当.)
7)(1(110102x x t
x x a --<+-<
<<时 又因为0)7()1(],6,2[2
>-->∈x x t x 所以 令]6,2[),7()1()(2
∈--=x x x x h 由①知.32)(=最在值x h 所以.32>t
综上，当.32,10;50,1><<><>t a t a 时当时……………………（9分）
（Ⅲ）
1
)1(2
111)(,*,2,
2.532
1)1(,1,1,11
-++
=-+=∈≥≥<≤+==≥+=
k k k p a a k f N k k n p
f n p p
a 则时设时当时当则设
k
k k k P
C P C P C 22212
1++++
=
4
1)1()()2()1(11
4
241)()3()2(14
41)1(4121)(2
1
+≤++<++++<+-+
-≤++++-+=++=++
≤n n f n f f f n n n n f f f k k k k C C k f k k 所以从而所以 综上，总有.4)()2()1(+<+++n n f f f ……………………………………（14分） 27、（陕西文）21．（本小题满分14分）
已知函数f （x ）
g （x ）=alnx ，a ∈R 。

（Ⅰ）若曲线y=f （x ）与曲线y=g （x ）相交，且在交点处有相同的切线，求a 的值及该切线的方程； （Ⅱ）设函数h （x ）=f （x ）- g （x ）,当h （x ）存在最小值时，求其最小值ϕ（a ）的解析式； （Ⅲ）对（Ⅱ）中的ϕ（a ），证明：当a ∈（0，+∞）时， ϕ（a ）≤1． 解：（1）f ’（x ）
=
’（x ）=
a
x
（x>0）,
由已知 得
，
=
a x ， 解得a=2
e
,x=e 2,
两条曲线交点的坐标为（e 2
,e ） 切线的斜率为k=f ’（e
2）=
12e
, 切线的方程为y-e=1
2e （x- e 2）.
（2）由条件知),0(1)(>-=
x nx a x x h ,2221)(x
a
x x a x
x h -=-
=
'∴ （Ⅰ）当a.>0时，令h '
（x ）=0,解得x=2
4a ,
∴当0 < x< 24a 时 h '（x ）<0，h （x ）在（0，24a ）上递减；
当x >2
4a 时，h '
（x ）>0，h （x ）在（0，2
4a ）上递增。

∴x >24a 是h （x ）在（0，+∞ ）上的唯一极致点，且是极小值点，从而也是h （x ）的最小值点。

所以ϕ'（a ）=h （2
4a ）= 2a －aln 2
4a =2).211(2a n a -
（Ⅱ）当a ≤0时，),0()(,022)(+∞>-=
'在x h x
a
x x h 递增，无最小值。

故 h （x ） 的最小值Φ（a ）的解析式为2a （1－ln2a ）（a>o ）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知ϕ'（a ）=2a （1－ln 2－1n a ） 则 ϕ'（a ）=－2ln2a ，
令ϕ'（a ）=0 解得21=
a .当210<<a 时，φ'（a ）>0，∴ϕ'（a ）在（0,2
1
）上递增 当),21()(,0)(,21+∞∴<'>在时a a a ϕϕ上递减。

)(a ϕ∴在21=a 处取得极大值,1)2
1
(=ϕ
)(a ϕ 在（0, +∞）上有且只有一个极致点，所以1)2
1
(=ϕ也是)(a ϕ的最大值
.1)(,),0(≤+∞∈∴a a ϕ总有时当
28、（山东文)（21）（本小题满分12分）
已知函数).(111)(R a x
a
ax nx x f ∈--+
-= （Ⅰ）当处的切线方程；，在点（时，求曲线))2(2)(1f x f y a =-= （Ⅱ）当1
2
a ≤时，讨论()f x 的单调性．
解：（Ⅰ） 当=-=)(1x f a 时，),,0(,12
ln +∞∈-+
+x x
x x 所以 )('x f 222
,(0,)x x x x +-=
∈+∞ 因此，，）（12=f
即 曲线.1))2(2)(，处的切线斜率为，在点（f x f y = 又 ,22ln )2(+=f
所以曲线
.
02ln ,
2)22(ln ))2(2)(=+--=+-=y x x y f x f y 即处的切线方程为，在点（
（Ⅱ）因为 11ln )(--+
-=x
a
ax x x f ，
所以 211)('x a a x x f -+-=2
21x
a
x ax -+--= ),0(+∞∈x ， 令 ,1)(2
a x ax x g -+-=),,0(+∞∈x
（1）当0,()1,(0,)a h x x x ==-+∈+∞时
所以，当(0,1),()0,()0x h x f x '∈><时此时，函数()f x 单调递减；
当(1,)x ∈+∞时，()0h x <，此时()0,f x '>函数f(x)单调递
（2）当0a '≠时,由f (x)=0 即2
10ax x a -+-=，解得1211,1x x a
==
- ①当1
2
a =
时，12,()0x x h x =≥恒成立， 此时()0f x '≤，函数()f x 在（0，+∞）上单调递减； ②当11
0,1102a a
<<
->>时 (0,1)x ∈时，()0,()0,()h x f x f x '><此时函数单调递减； 1
(1,
1)x a
∈-时，()0,()0,()h x f x f x '<>此时函数单调递增； 1
(1,),()0x h x a
∈-+∞>时，此时()0f x '<，函数()f x 单调递减；
③当0a <时，由于1
10a
-<
(0,1)x ∈时，()0h x >，此时()0f x '<，函数()f x 单调递减； (1,)x ∈+∞时，()0h x <，此时()0f x '>，函数()f x 单调递增。

综上所述：
当0a ≤时，函数()f x 在（０，１）上单调递减； 函数()f x 在（１，＋∞）上单调递增；
当1
2
a =
时，函数()f x 在（0，+∞）上单调递减； 当1
02
a <<时，函数()f x 在（0，1）上单调递减；
函数()f x 在1
(1,1)a -上单调递增；
函数1
()(1,)f x a
-+∞在上单调递减，
29、(全国Ⅰ文)（21）（本小题满分12分）
已知函数.4)13(23)(2
4
x x a ax x f ++-=
（Ⅰ）当6
1
=
a 时，求)(x f 的极值； （Ⅱ）若)(x f 在（-1，1）上是增函数，求a 的取值范围。

解：（Ⅰ）)133)(1(4)(2-+-='ax ax x x f 当6
1
=
a 时，)(,)1)(2(2)(2x f x x x f -+='在（-∞，-2）内单调减， 在（-2，+∞）内单调增，在2-=x 时，)(x f 有极小值。

所以)(12)2(x f f 是-=-的极小值。

（Ⅱ）在（-1，1）上，)(x f 单调增加当且仅当 0)133)(1(4)(2≥-+-='ax ax x x f
即,01332≤-+ax ax ①
（i ）当0=a 时，①恒成立；
（ii ）当0>a 时①成立，当且仅当.0113132
≤-⋅+⋅a a
解得.6
1≤
a （iii ）当0<a 时①成立，即014
3)2
1(32
≤--
+a
x a 成立， 当且仅当.0143≤--
a
解得.3
4
-≥a
综上，a 的取值范围是].6
1,34[-
30、(全国Ⅱ文5分)（21）（本小题满分12分）
已知函数.133)(2
2
+--=x ax x x f （I ）设a=2，求)(x f 的单调区间；
（II ）设)(x f 在区间（2，3）中至少有一个极值点，求a 的取值范围. 解：（I ）当a=2时，.136)(2
3
++-=x x x x f )32)(32(3)('--+-=x x x f
…………2分
当)32,(--∞∈x 时)32,()(.0)('--∞>在x f x f 单调递增； 当)32,32()(,0)(')32,32(+-<+-∈在时x f x f x 单调减少； 当),32()(.0)('),32(+∞+>+∞+∈在时x f x f x 单调增加. 综上，)(x f 的单调增区间是),32()32,(+∞+--∞和 )(x f 的单调减区间是)32,32(+-
…………6分
（II ）].1)[(3)('22a a x x f -+-=
当)(.0)(',012x f x f a ≥≥-时为增函数，故)(x f 无极值点…………8分 当0)(',012=<-x f a 时有两个根 .1,12221-+=--=a a x a a x 由题意知，
,3122<--<a a ①
或
.3122<-+<a a ② ①式无解，②式的解为
.3545<<a 因此a 的取值范围是)3
5
,45( …………12分
31、(全国Ⅱ文5分)（7）若曲线b ax x y ++=2
在点（0，b ）处的切线方程是,01=+=y x 则
（A ）a=1，b=1
（B ）a=-1，b=1
（C ）a=1，b =－1
（D ）a=-1，b=-1
答案：Ａ
32、(全国新文)（21）本小题满分12分）
设函数()()
2
1x x f x e ax =--
（Ⅰ）若a=
1
2
，求()x f 的单调区间； （Ⅱ）若当x ≥0时()x f ≥0，求a 的取值范围 解：（I ）,2
1
)1()(,212x e x x f a x --==
时
).
1)(1(1)(+-=-+-='x e x
xe e x f x
x x
.
)0,1(,),0(),1,()(.0)(,),0(;0)(,)0,1(;0)(,)1,(单调减少在单调增加在故时当时当时当-+∞--∞>'+∞∈<'-∈>'--∞∈x f x f x x f x x f x
（II ）).1()(ax e x x f x --= 令.)(,1)(a e x g ax e x g x x -='--=则
若时从而当而为增函数时则当0,0)0(,)(,0)(,),0(,1≥=>'+∞∈≤x g x g x g x a
.0)(,0)(≥≥x f x g 即
若a >1，则当)(,0)(,)ln ,0(x g x g a x <'∈时为减函数，而,0)0(=g 从而当.0)(,0)()ln ,0(<<∈x f x g a x 即时
综合得a 的取值范围为].1,(-∞
33、(全国新文5分)（4）曲线123+-=x x y 在点（1,0）处的切线方程为 （A ）1y x =- （B ）1y x =-+
（C ）22y x =-
（D ）22y x =-+
答案：Ａ 34、（辽宁文）（21）（本小题满分12分） 已知函数f （x ）=（a +1）ln x +ax 2+1． （Ⅰ）讨论函数f （x ）的单调性；
（Ⅱ）设a ≤-2，证明：对任意x 2,x 2∈（0,+∞），|f （x 1）-f （x 2）|≥4|x 1-x 2|．
解：（Ⅰ） f （x ）的定义域为（0,+∞），2
1
21()2a a x a f x
a x x
x
+++'=+=．
当a ≥0时，()f x '＞0，故f （x ）在（0,+∞）单调增加；
当a ≤－1时，()f x '＜0, 故f （x ）在（0,+∞）单调减少；
当－1＜a ＜0时，令()f x '＝0,解得x。