江苏省无锡市锡山区届九年级上学期期末考试数学试卷
2019-2020学年江苏省无锡市锡山区九年级(上)期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年江苏省无锡市锡山区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（共10小题）.1．（3分）一元二次方程29x =的根是( ) A ．3B ．3±C ．9D ．9±2．（3分）如图，以AB 为直径的O 上有一点C ，且50BOC ∠=︒，则A ∠的度数为( )A ．65︒B ．50︒C ．30︒D ．25︒3．（3分）为了比较甲乙两足球队的身高谁更整齐，分别量出每人身高，发现两队的平均身高一样，甲、乙两队的方差分别是1.7、2.4，则下列说法正确的是( ) A ．甲、乙两队身高一样整齐B ．甲队身高更整齐C ．乙队身高更整齐D ．无法确定甲、乙两队身高谁更整齐4．（3分）抛掷一枚质地均匀的硬币，若抛掷6次都是正面朝上，则抛掷第7次正面朝上的概率是( ) A ．小于12B ．等于12C ．大于12D ．无法确定5．（3分）下列方程有两个相等的实数根是( ) A ．230x x -+=B ．2320x x -+=C ．2210x x -+=D ．240x -=6．（3分）如图，在ABC ∆中，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，下列说法中不正确的是( )A ．:1:2ADE ABC S S ∆∆=B ．AD AEAB AC=C．ADE ABC∆∆∽D．12 DE BC=7．（3分）如图，已知O的内接正方形边长为2，则O的半径是()A．1B．2C．2D．228．（3分）已知Rt ABC∆中，90C∠=︒，2AC=，3BC=，则下列各式中，正确的是( )A．2sin3B=B．2cos3B=C．2tan3B=D．以上都不对9．（3分）如图，在Rt ABC∆中，90ACB∠=︒，6AC=，8BC=，点M是AB上的一点，点N是CB上的一点，43BMCN=，当CAN∠与CMB∆中的一个角相等时，则BM的值为()A．3或4B．83或4C．83或6D．4或610．（3分）如图1，S是矩形ABCD的AD边上一点，点E以每秒kcm的速度沿折线BS SD DC--匀速运动，同时点F从点C出发点，以每秒1cm的速度沿边CB匀速运动并且点F运动到点B时点E也运动到点C．动点E，F同时停止运动．设点E，F出发t秒时，EBF∆的面积为2ycm．已知y与t的函数图象如图2所示．其中曲线OM，NP 为两段抛物线，MN为线段．则下列说法：①点E运动到点S时，用了2.5秒，运动到点D时共用了4秒②矩形ABCD的两邻边长为6BC cm=，4CD cm=；③3 sin ABS∠=；④点E的运动速度为每秒2cm．其中正确的是()A ．①②③B ．①③④C ．①②④D ．②③④二、填空题（本大题共8题，每空2分，共16分．）11．（2分）二次函数2(5)3y x =-+-，图象的顶点坐标是 ． 12．（2分）一元二次方程2x x =的解为 ．13．（2分）如图，转动转盘一次，当转盘停止后（指针落在线上重转），指针停留的区域中的数字为偶数的概率是 ．14．（2分）为了解某校九年级学生每天的睡眠时间，随机调查了其中20名学生，将所得数据整理并制成如表，那么这些测试数据的中位数是 小时． 睡眠时间（小时）6 7 8 9 学生人数864215．（2分）已知圆锥的底面半径为3，母线长为7，则圆锥的侧面积是 ．16．（2分）如图，半径为3的O 与边长为8的等边三角形ABC 的两边AB 、BC 都相切，连接OC ，则sin OCB ∠= ．17．（2分）如图，在平面直角坐标系中，直线:28l y x =+与坐标轴分别交于A ，B 两点，点C 在x 正半轴上，且OC OB =．点P 为线段AB （不含端点）上一动点，将线段OP 绕点O顺时针旋转90︒得线段OQ ，连接CQ ，则线段CQ 的最小值为 ．18．（2分）如图，直线123////l l l ，A ，B ，C 分别为直线1l ，2l ，3l 上的动点，连接AB ，BC ，AC ，线段AC 交直线2l 于点D ．设直线1l ，2l 之间的距离为m ，直线2l ，3l 之间的距离为n ，若90ABC ∠=︒，3BD =，且12m n =，则m n +的最大值为 ．三、解答题（本大题共10题，共84分．）19．（8分）（1）计算：04sin 30(23)2tan 45︒-+︒； （2）解方程：267x x -=．20．（8分）某校九年级学生某科目期末评价成绩是由完成作业、单元检测、期末考试三项成绩构成的，如果期末评价成绩80分以上（含80分），则评定为“优秀”，下面表中是小张和小王两位同学的成绩记录： 完成作业 单元测试 期末考试 小张 70 90 80 小王6075若按完成作业、单元检测、期末考试三项成绩按1:2:7的权重来确定期末评价成绩． （1）请计算小张的期末评价成绩为多少分？（2）小王在期末（期末成绩为整数）应该最少考多少分才能达到优秀？ 21．（6分）已知ABC ∆三顶点的坐标分别为(0,2)A 、(3,3)B 、(2,1)C ． （1）画出ABC ∆；（2）以B 为位似中心，将ABC ∆放大到原来的2倍，在右图的网格图中画出放大后的图形△11A BC ；（3）写出点A 的对应点1A 的坐标： ．22．（8分）某市有A 、B 、C 三个公园，甲、乙两位同学随机选择其中一个公园游玩． （1）甲去A 公园游玩的概率是 ；（2）求甲、乙恰好在同一个公园游玩的概率．（请用“画树状图”或“列表”或“列举”等方法给出分析过程）23．（8分）如图，在矩形ABCD 中，已知AD AB >．在边AD 上取点E ，连结CE ．过点E 作EF CE ⊥，与边AB 的延长线交于点F ． （1）求证：AEF DCE ∆∆∽．（2）若3AB =，4AE =，6DE =，求线段BF 的长．24．（8分）已知：如图，在ABC ∆中，AB AC =，以AB 为直径的O 交BC 于点D ，过点D 作DE AC ⊥于点E ．（1）求证：DE 是O 的切线．（2）若O 的半径为3cm ，30C ∠=︒，求图中阴影部分的面积．25．（8分）如图1是超市的手推车，如图2是其侧面示意图，已知前后车轮半径均为5cm ，两个车轮的圆心的连线AB 与地面平行，测得支架60AC BC cm ==，AC 、CD 所在直线与地面的夹角分别为30︒、60︒，50CD cm =．（1）求扶手前端D 到地面的距离；（2）手推车内装有简易宝宝椅，EF 为小坐板，打开后，椅子的支点H 到点C 的距离为10cm ，20DF cm =，//EF AB ，45EHD ∠=︒，求坐板EF 的宽度．（本题答案均保留根号） 26．（10分）某公司研制出新产品，该产品的成本为每件2400元．在试销期间，购买不超过10件时，每件销售价为3000元；购买超过10件时，每多购买一件，所购产品的销售单价均降低5元，但最低销售单价为2600元．请解决下列问题： （1）直接写出：购买这种产品 件时，销售单价恰好为2600元；（2）设购买这种产品x 件（其中10x >，且x 为整数），该公司所获利润为y 元，求y 与x 之间的函数表达式；（3）该公司的销售人员发现：当购买产品的件数超过10件时，会出现随着数量的增多，公司所获利润反而减少这一情况．为使购买数量越多，公司所获利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元？（其它销售条件不变）27．（10分）在平面直角坐标系中，二次函数22y ax bx =++的图象与x 轴交于(3,0)A -，(1,0)B 两点，与y 轴交于点C ．（1）求这个二次函数的解析式，并直接写出当x 满足什么值时0y <？（2）点P 是直线AC 上方的抛物线上一动点，是否存在点P ，使ACP ∆面积最大？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点M 为抛物线上一动点，在x 轴上是否存在点Q ，使以A 、C 、M 、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．28．（10分）【问题发现】如图1，半圆O的直径10AB=，点P是半圆O上的一个动点，则∆的面积最大值是；PAB【问题探究】如图2所示，AB、AC、BC是某新区的三条规划路，其中6=，AC kmAB km=，3∠=︒，BC所对的圆心角为60︒．新区管委会想在BC路边建物资总站点P，在AB、BAC60AC路边分别建物资分站点E、F，即分别在BC、线段AB和AC上选取点P、E、F．由于总站工作人员每天要将物资在各物资站点间按P E F P→→→的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路PE、EF和FP．显然，为了快捷环保和节约成本，就要使线段PE、EF、FP之和最短（各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计）．可求得PEF∆周长的最小值为km；【拓展应用】如图3是某街心花园的一角，在扇形OAB中，90∠=︒，12OA=米，在AOB围墙OA和OB上分别有两个入口C和D，且4AC=米，D是OB的中点，出口E在AB 上．现准备沿CE、DE从入口到出口铺设两条景观小路，在四边形CODE内种花，在剩余区域种草．①出口E设在距直线OB多远处可以使四边形CODE的面积最大？最大面积是多少？（小路宽度不计）②已知铺设小路CE所用的普通石材每米的造价是200元，铺设小路DE所用的景观石材每米的造价是400元．请问：在AB上是否存在点E，使铺设小路CE和DE的总造价最低？若存在，求出最低总造价和出口E距直线OB的距离；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（本大题共10题，每题3分，共30分．） 1．（3分）一元二次方程29x =的根是( ) A ．3 B ．3± C ．9 D ．9±解：29x =，3x ∴=±，故选：B ．2．（3分）如图，以AB 为直径的O 上有一点C ，且50BOC ∠=︒，则A ∠的度数为( )A ．65︒B ．50︒C ．30︒D ．25︒解：50BOC ∠=︒， 150252A ∴∠=⨯︒=︒． 故选：D ．3．（3分）为了比较甲乙两足球队的身高谁更整齐，分别量出每人身高，发现两队的平均身高一样，甲、乙两队的方差分别是1.7、2.4，则下列说法正确的是( ) A ．甲、乙两队身高一样整齐B ．甲队身高更整齐C ．乙队身高更整齐D ．无法确定甲、乙两队身高谁更整齐 解：甲、乙两队的方差分别是1.7、2.4，22S S ∴<乙甲，∴甲队身高更整齐；故选：B ．4．（3分）抛掷一枚质地均匀的硬币，若抛掷6次都是正面朝上，则抛掷第7次正面朝上的概率是( ) A ．小于12B ．等于12C ．大于12D ．无法确定解：因为每次抛掷概率相同，则第7次抛掷这枚硬币，正面朝上的概率为：12， 故选：B ．5．（3分）下列方程有两个相等的实数根是( ) A ．230x x -+= B ．2320x x -+= C ．2210x x -+= D ．240x -=解：A 、230x x -+=， △2(1)413110=--⨯⨯=-<，所以方程没有实数根，故本选项不符合题意； B 、2320x x -+=，△2(3)41210=--⨯⨯=>，所以方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意； C 、2210x x -+=，△2(2)4110=--⨯⨯=，所以方程有两个相等的实数根，故本选项符合题意； D 、240x -=，△2041(4)160=-⨯⨯-=>，所以方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意； 故选：C ．6．（3分）如图，在ABC ∆中，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，下列说法中不正确的是( )A ．:1:2ADE ABC S S ∆∆=B ．AD AEAB AC=C ．ADE ABC ∆∆∽D ．12DE BC =解：D，E分别是AB，AC的中点，DE∴是ABC∆的中位线，// DE BC ∴，12 AD AE DEAB AC BC===，ADE ABC∴∆∆∽，12DE BC=，∴2211()()24ADEABCS ADS AB∆∆===．故选：A．7．（3分）如图，已知O的内接正方形边长为2，则O的半径是()A．1B．2C．2D．22解：如图所示，四边形ABCD是正方形，90B∠=︒，AC∴是O的直径，222AB BC AC+=，AB BC=，2222228AB BC∴+=+=，22AC∴=，O∴的半径是2，故选：C．8．（3分）已知Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，2AC =，3BC =，则下列各式中，正确的是( )A ．2sin 3B =B ．2cos 3B =C ．2tan 3B =D ．以上都不对解：如图：由勾股定理得：22222313AB AC BC =+=+=， 所以313cos 13BC B AB ==，213sin 13AC B AB ==，2tan 3AC B BC ==，所以只有选项C 正确；故选：C ．9．（3分）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，点M 是AB 上的一点，点N 是CB 上的一点，43BM CN =，当CAN ∠与CMB ∆中的一个角相等时，则BM 的值为( )A ．3或4B ．83或4C ．83或6D ．4或6解：CMB CAB CAN ∠>∠>∠，CAN CAB ∴∠≠∠，设3CN k =，4BM k =，①当CAN B ∠=∠时，可得CAN CBA ∆∆∽， ∴CN ACAC CB =， ∴3668k =， 32k ∴=， 6BM ∴=．②当CAN MCB ∠=∠时，如图2中，过点M 作MH CB ⊥，可得BMH BAC ∆∆∽，∴MB MH BHAB AC BC ==， ∴41068k MH BH==， 125MH k ∴=，165BH k =， 1685CH k ∴=-， MCB CAN ∠=∠，90CHM ACN ∠=∠=︒， ACN CHM ∴∆∆∽， ∴CN MHAC CH=， ∴123516685kk k=-， 1k ∴=或0，4BM ∴=．综上所述，4BM =或6． 故选：D ．10．（3分）如图1，S 是矩形ABCD 的AD 边上一点，点E 以每秒kcm 的速度沿折线BS SD DC --匀速运动，同时点F 从点C 出发点，以每秒1cm 的速度沿边CB 匀速运动并且点F 运动到点B 时点E 也运动到点C ．动点E ，F 同时停止运动．设点E ，F 出发t 秒时，EBF ∆的面积为2ycm ．已知y 与t 的函数图象如图2所示．其中曲线OM ，NP 为两段抛物线，MN 为线段．则下列说法：①点E 运动到点S 时，用了2.5秒，运动到点D 时共用了4秒 ②矩形ABCD 的两邻边长为6BC cm =，4CD cm =； ③3sin ABS ∠=； ④点E 的运动速度为每秒2cm ．其中正确的是( )A ．①②③B ．①③④C ．①②④D ．②③④解：由图象可知点E 运动到点S 时用了2.5秒，运动到点D 时共用了4秒．故①正确． 设AB CD acm ==，BC AD bcm ==， 由题意，1( 2.5)721(4)42a b a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得46a b =⎧⎨=⎩，所以4AB CD cm ==，6BC AD cm ==，故②正确， 2.5BS k =， 1.5SD k =， ∴53BS SD =，设3SD x =，5BS x =， 在RT ABS ∆中，222AB AS BS +=，2224(63)(5)x x ∴+-=，解得1x =或134-（舍)， 5BS ∴=，3SD =，3AS =，3sin 5AS ABS BS ∴∠==故③错误， 5BS =， 5 2.5k ∴=，2/k cm s ∴=，故④正确，故选：C ．二、填空题（本大题共8题，每空2分，共16分．）11．（2分）二次函数2(5)3y x =-+-，图象的顶点坐标是 (5,3)-- ． 解：2(5)3y x =-+-，∴二次函数2(5)3y x =-+-的图象的顶点坐标是(5,3)--故答案为：(5,3)--．12．（2分）一元二次方程2x x =的解为 10x =，21x = ． 解：2x x =， 移项得：20x x -=， (1)0x x ∴-=， 0x =或10x -=，10x ∴=，21x =．故答案为：10x =，21x =．13．（2分）如图，转动转盘一次，当转盘停止后（指针落在线上重转），指针停留的区域中的数字为偶数的概率是14．解：1占圆50%，2与3占25%， ∴把数字为1的扇形可以平分成2部分，转动转盘一次共有4种等可能的结果，分别是1，1，2，3； ∴当转盘停止后，指针指向的数字为偶数的概率是：14． 故答案为：14． 14．（2分）为了解某校九年级学生每天的睡眠时间，随机调查了其中20名学生，将所得数据整理并制成如表，那么这些测试数据的中位数是 7 小时． 睡眠时间（小时）6 7 8 9 学生人数8642解：共有20名学生，把这些数从小到大排列，处于中间位置的是第10和11个数的平均数，∴这些测试数据的中位数是7772+=小时； 故答案为：7．15．（2分）已知圆锥的底面半径为3，母线长为7，则圆锥的侧面积是 21π ． 解：圆锥的侧面积1237212ππ=⨯⨯⨯=． 故答案为21π．16．（2分）如图，半径为3的O 与边长为8的等边三角形ABC 的两边AB 、BC 都相切，连接OC ，则sin OCB ∠=2114．解：连接OB ，作OD BC ⊥于D ，如图所示： ABC ∆是边长为8的等边三角形， 60ABC ∴∠=︒，8BC =，O 与等边三角形ABC 的两边AB 、BC 都相切， OD ∴是O 的半径，1302OBC OBA ABC ∠=∠=∠=︒， tan ODOBC BD∠=， 33tan 3033ODBD ∴===︒，835CD BC BD ∴=-=-=，2222(3)527OC OD CD =+=+=，321sin 1427OD OCB OC ∴∠===．17．（2分）如图，在平面直角坐标系中，直线:28l y x =+与坐标轴分别交于A ，B 两点，点C 在x 正半轴上，且OC OB =．点P 为线段AB （不含端点）上一动点，将线段OP 绕点O 顺时针旋转90︒得线段OQ ，连接CQ ，则线段CQ 的最小值为455．解：直线:28l y x =+与坐标轴分别交于A ，B 两点， (0,8)A ∴，(4,0)B -，点P 为线段AB （不含端点）上一动点，将线段OP 绕点O 顺时针旋转90︒得线段OQ ， 作PE x ⊥轴于E ，QF y ⊥轴于F ，由旋转可知，OP OQ =，90POQ AOB ∠=∠=︒， EOP FOQ ∴∠=∠，在EOP ∆和FOQ ∆中， PEO QFO EOP FOQ OP OQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()EOP FOQ AAS ∴∆≅∆， OE OF ∴=，PE FQ =，∴设(,28)P x x +，则(28,)Q x x +-．Q ∴点是直线142y x =-+上的点，设直线142y x =-+与x ，y 轴的交点为N 、M 点，则(0,4)M ，(8,0)N ，224845MN ∴=+=根据垂线段最短可知当CQ MN ⊥时，CQ 的长最短， 如图，CQ MN ⊥， 90CQN MON ∴∠=∠=︒， CNQ MNO ∠=∠， CNQ MNO ∴∆∆∽，∴CQ CNOM MN=， 4OC OB ∴==，8ON =，4OM =， 4CN ∴=， ∴4445CQ =， 455CQ ∴=， ∴线段CQ 的最小值为455， 故答案为455．18．（2分）如图，直线123////l l l ，A ，B ，C 分别为直线1l ，2l ，3l 上的动点，连接AB ，BC ，AC ，线段AC 交直线2l 于点D ．设直线1l ，2l 之间的距离为m ，直线2l ，3l 之间的距离为n ，若90ABC ∠=︒，3BD =，且12m n =，则m n +的最大值为274．解：解：过B 作1BE l ⊥于E ，延长EB 交3l 于F ，过A 作2AN l ⊥于N ，过C 作2CM l ⊥于M ，设AE x =，CF y =，BN x =，BM y =， 3BD =，3DM y ∴=-，3DN x =-，90ABC AEB BFC CMD AND ∠=∠=∠=∠=∠=︒，90EAB ABE ABE CBF ∴∠+∠=∠+∠=︒， EAB CBF ∴∠=∠， ABE BFC ∴∆∆∽， ∴AE BEBF CF=，即x m n y =， xy mn ∴=，ADN CDM ∠=∠， CMD AND ∴∆∆∽， ∴AN DN CM DM =，即12m n =， 92y x ∴=-， 12m n =， 2n m ∴=，()3m n m ∴+=，22(92)922mn xy x x x x m ==-=-=，2298122()48m x ∴=--+，∴当94x =时，94m =最大， m n ∴+的最大值2734m ==， 故答案为：274． 三、解答题（本大题共10题，共84分．）19．（8分）（1）计算：04sin 30(22tan 45︒-+︒； （2）解方程：267x x -=． 解：（1）原式1412121232=⨯-+⨯=-+=； （2）2670x x --=，(7)(1)0x x ∴-+=，则70x -=或10x +=， 解得：7x =或1x =-．20．（8分）某校九年级学生某科目期末评价成绩是由完成作业、单元检测、期末考试三项成绩构成的，如果期末评价成绩80分以上（含80分），则评定为“优秀”，下面表中是小张和小王两位同学的成绩记录： 完成作业 单元测试 期末考试 小张 70 90 80 小王607585若按完成作业、单元检测、期末考试三项成绩按1:2:7的权重来确定期末评价成绩． （1）请计算小张的期末评价成绩为多少分？（2）小王在期末（期末成绩为整数）应该最少考多少分才能达到优秀？ 解：（1）小张的期末评价成绩为70190280781127⨯+⨯+⨯=++（分)；（2）设小王期末考试成绩为x 分， 根据题意，得：601752780127x⨯+⨯+++，解得84.3x ，∴小王在期末（期末成绩为整数）应该最少考85分才能达到优秀．故答案为：85．21．（6分）已知ABC ∆三顶点的坐标分别为(0,2)A 、(3,3)B 、(2,1)C ． （1）画出ABC ∆；（2）以B 为位似中心，将ABC ∆放大到原来的2倍，在右图的网格图中画出放大后的图形△11A BC ；（3）写出点A 的对应点1A 的坐标： (3,1)- ．解：（1）根据(0,2)C．B、(2,1)A、(3,3)在坐标系中找出连接即可；（2）把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形．所画图形如下所示：它的三个对应顶点的坐标分别是：(3,1)-．-、(3,3)、(1,1)（3）利用（2）中图象，直接得出答案．故答案为：(3,1)-．22．（8分）某市有A、B、C三个公园，甲、乙两位同学随机选择其中一个公园游玩．；（1）甲去A公园游玩的概率是3（2）求甲、乙恰好在同一个公园游玩的概率．（请用“画树状图”或“列表”或“列举”等方法给出分析过程）解：（1）有A、B、C三个公园，∴甲去A 公园游玩的概率是13； 故答案为：13；（2）画树状图如下：共有9种等可能结果，其中甲、乙恰好在同一个公园游玩的有3种，则甲、乙恰好在同一个公园游玩的概率3193=． 23．（8分）如图，在矩形ABCD 中，已知AD AB >．在边AD 上取点E ，连结CE ．过点E 作EF CE ⊥，与边AB 的延长线交于点F ．（1）求证：AEF DCE ∆∆∽．（2）若3AB =，4AE =，6DE =，求线段BF 的长．【解答】（1）证明：四边形ABCD 是矩形，90A D ∴∠=∠=︒，90AEF F ∴∠+∠=︒EF CE ⊥，1809090CED AEF ∴∠+∠=︒-︒=︒，CED F ∴∠=∠，又90A D ∠=∠=︒，AFE DEC ∴∆∆∽．（2）AFE DEC ∆∆∽，∴AE AF DC ED=，3AB CD ==，4AE =，6DE =， ∴4336BF +=， 解得5BF =． 答：线段BF 的长为5．24．（8分）已知：如图，在ABC ∆中，AB AC =，以AB 为直径的O 交BC 于点D ，过点D 作DE AC ⊥于点E ．（1）求证：DE 是O 的切线．（2）若O 的半径为3cm ，30C ∠=︒，求图中阴影部分的面积．【解答】（1）证明：连接OD ，如图1所示：OD OB =，B ODB ∴∠=∠．AB AC =，B C ∴∠=∠．ODB C ∴∠=∠．//OD AC ∴．DE AC ⊥，DE OD ∴⊥，DE ∴是O 的切线．（2）解：过O 作OF BD ⊥于F ，如图2所示：30C ∠=︒，AB AC =，OB OD =，30OBD ODB C ∴∠=∠=∠=︒，120BOD ∴∠=︒，在Rt DFO ∆中，30FDO ∠=︒，1322OF OD cm ∴==， ，22332DF OD OF cm ∴=-=， 233BD DF cm ∴==， 211393332224BOD S BD OF cm ∆∴=⨯⨯=⨯⨯=， 2212033360BOD S cm ππ⨯==扇形， 29334BODBOD S S S cm π∆-⎛⎫∴===- ⎪ ⎪⎝阴扇形．25．（8分）如图1是超市的手推车，如图2是其侧面示意图，已知前后车轮半径均为5cm ，两个车轮的圆心的连线AB 与地面平行，测得支架60AC BC cm ==，AC 、CD 所在直线与地面的夹角分别为30︒、60︒，50CD cm =．（1）求扶手前端D 到地面的距离；（2）手推车内装有简易宝宝椅，EF 为小坐板，打开后，椅子的支点H 到点C 的距离为10cm ，20DF cm =，//EF AB ，45EHD ∠=︒，求坐板EF 的宽度．（本题答案均保留根号） 【解答】（1）如图2，过C 作CM AB ⊥，垂足为M ，又过D 作DN AB ⊥，垂足为N ，过C 作CG DN ⊥，垂足为G ，则60DCG ∠=︒． 60AC BC cm ==，AC 、CD 所在直线与地面的夹角分别为30︒、60︒，30A B ∴∠=∠=︒，则在Rt AMC ∆中，1302CM AC cm ==． 在Rt CGD ∆中，sin DG DCG CD ∠=，50CD cm =， 3sin 50sin 6050253DG CD DCG ∴=∠=︒=⨯=． 又30GN CM cm ==，前后车轮半径均为5 cm ，∴扶手前端D 到地面的距离为525330535253()DG GN cm ++=++=+；（2）////EF CG AB ，60EFH DCG ∴∠=∠=︒，50CD cm =，椅子的支点H 到点C 的距离为10 cm ，20DF cm =，20FH cm ∴=，如图2，过E 作EQ FH ⊥，垂足为Q ，设FQ x =，在Rt EQF ∆中，60EFH ∠=︒，22EF FQ x ∴==，3EQ x =，在Rt EQH ∆中，45EHD ∠=︒，3HQ EQ x ∴==，20HQ FQ FH cm +==，∴320x x +=，解得10310x =-．2(10310)20320EF ∴=-=-．答：坐板EF 的宽度为(20320)cm -．26．（10分）某公司研制出新产品，该产品的成本为每件2400元．在试销期间，购买不超过10件时，每件销售价为3000元；购买超过10件时，每多购买一件，所购产品的销售单价均降低5元，但最低销售单价为2600元．请解决下列问题：（1）直接写出：购买这种产品 90 件时，销售单价恰好为2600元；（2）设购买这种产品x 件（其中10x >，且x 为整数），该公司所获利润为y 元，求y 与x 之间的函数表达式；（3）该公司的销售人员发现：当购买产品的件数超过10件时，会出现随着数量的增多，公司所获利润反而减少这一情况．为使购买数量越多，公司所获利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元？（其它销售条件不变）解：（1）购买这种产品x 件时，销售单价恰好为2600元，由题意得：30005(10)2600x --=，解得：90x =，故答案为：90；（2）由题意得：2[30005(10)2400]5650(10)y x x x x x =---=-+>；（3）要满足购买数量越大，利润越多．故y 随x 的增大而增大， 200y x =，y 随x 的增大而增大，230005(10)5650y x x x =--=-+，当1065x 时，y 随x 的增大而增大， 若一次购买65件，设置为最低售价，则可以避免y 随x 增大而减小的情况发生， 故65x =时，设置最低售价为30005(6510)2725-⨯-=（元)， 答：公司应将最低销售单价调整为2725元．27．（10分）在平面直角坐标系中，二次函数22y ax bx =++的图象与x 轴交于(3,0)A -，(1,0)B 两点，与y 轴交于点C ．（1）求这个二次函数的解析式，并直接写出当x 满足什么值时0y <？（2）点P 是直线AC 上方的抛物线上一动点，是否存在点P ，使ACP ∆面积最大？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点M 为抛物线上一动点，在x 轴上是否存在点Q ，使以A 、C 、M 、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）将(3,0)A -，(1,0)B 代入22y ax bx =++，得932020a b a b -+=⎧⎨++=⎩， 解得，23a =-，43b =-， ∴抛物线解析式为：224233y x x =--+， 在224233y x x =--+中， 当0y =时，13x =-，21x =，由二次函数的图象及性质知，当3x <-或1x >时，0y <；（2）存在，理由如下：如图1，过点P 作平行于y 轴的直线交AC 于点H ，将点(3,0)A -、(0,2)C 代入y kx b =+，得，302k b b -+=⎧⎨=⎩， 解得，23k =，2b =， ∴直线AC 的解析式为223y x =+， 设224(,2)33P x x x --+，则2(,2)3H x x +， ACP ∴∆的面积22211242393(22)3()2233324S PH OA x x x x x x ==⨯--+--=--=-++， 10-<，∴当32x =-时，S 有最大值为94，此时3(2P -，5)2；（3）如图2，当//AQ CM 且AQ CM =时，2C y =，2M y ∴=，在224233y x x =--+中， 当2y =时，10x =，22x =-，1(2,0)M ∴-，2CM ∴=，2AQ ∴=，(3,0)A -，(5,0)Q ∴-或(1,0)-；当//AM CQ 时，2C A y y -=，2Q M y y ∴-=，2M y ∴=-， 在224233y x x =--+中， 当2y =-时，117x =--，217x =-+，2(17M ∴--，2)-，3(17M -+，2)-，3C A x x -=，3Q M x x ∴-=，27Q x ∴=-或27+，(27Q ∴-，0)或(27+，0)，综上所述，点Q 的坐标为(1,0)-或(5,0)-或(27,0)+或(27,0)-．28．（10分）【问题发现】如图1，半圆O 的直径10AB =，点P 是半圆O 上的一个动点，则PAB ∆的面积最大值是 25 ；【问题探究】如图2所示，AB 、AC 、BC 是某新区的三条规划路，其中6AB km =，3AC km =，60BAC ∠=︒，BC 所对的圆心角为60︒．新区管委会想在BC 路边建物资总站点P ，在AB 、AC 路边分别建物资分站点E 、F ，即分别在BC 、线段AB 和AC 上选取点P 、E 、F ．由于总站工作人员每天要将物资在各物资站点间按P E F P →→→的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路PE 、EF 和FP ．显然，为了快捷环保和节约成本，就要使线段PE 、EF 、FP 之和最短（各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计）．可求得PEF ∆周长的最小值为 km ；【拓展应用】如图3是某街心花园的一角，在扇形OAB 中，90AOB ∠=︒，12OA =米，在围墙OA 和OB 上分别有两个入口C 和D ，且4AC =米，D 是OB 的中点，出口E 在AB 上．现准备沿CE 、DE 从入口到出口铺设两条景观小路，在四边形CODE 内种花，在剩余区域种草．①出口E 设在距直线OB 多远处可以使四边形CODE 的面积最大？最大面积是多少？（小路宽度不计）②已知铺设小路CE 所用的普通石材每米的造价是200元，铺设小路DE 所用的景观石材每米的造价是400元．请问：在AB 上是否存在点E ，使铺设小路CE 和DE 的总造价最低？若存在，求出最低总造价和出口E 距直线OB 的距离；若不存在，请说明理由． 解：【问题发现】如图1，点P 运动至半圆O 的中点时，底边AB 上的高最大，即5P O r '==， 此时PAB ∆的面积最大值，1105252P AB S '∴=⨯⨯=， 故答案为：25；【问题探究】如图2，假设P 点即为所求，分别作点P 关于AB 、AC 的对称点P '、P ''， 连接PP '，分别交AB 、AC 于点E 、F ，连接PE ，PF ， 由对称性可知，PE EF PF P E EF FP P P ''''''++=++=，且P '、E 、F 、P ''在一条直线上， P P '''∴即为最短距离，其长度取决于PA 的长度，作出BC 的圆心O ，连接AO ，与BC 交于P ，P 点即为使PA 最短的点， 6AB =，3AC km =，60BAC ∠=︒，ABC ∴∆是直角三角形，30ABC ∠=︒，BC = BC 所对的圆心角为60︒，OBC ∴∆是等边三角形，60CBO ∠=︒，BO BC ==，90ABO ∴∠=︒，AO =PA =-P AE EAP '∠=∠，PAF FAP ''∠=∠，2120P AP ABC '''∴∠=∠=︒，P A AP '''=，30AP E AP F '''∴∠=∠=︒，2cos 9P P P A AP E A ''''''=∠==-，PEF ∴∆周长的最小值为9-，故答案为：9-；【拓展应用】①如图31-，作OG CD ⊥，垂足为G ，延长OG 交AB 于点E '，则此时CDE ∆的面积最大，12OA OB ==，4AC =，点D 为OB 的中点，8OC ∴=，6OD =，在Rt COD ∆中，10CD =， 4.8OG =，12 4.87.2GE ∴'=-=，∴四边形CODE 面积的最大值为1168107.26022CDO CDE S S ∆∆'+=⨯⨯+⨯⨯=； 作E H OB '⊥，垂足为H ，90E OH OE H ''∠+∠=︒，90E OH ODC '∠+∠=︒，OE H ODC '∴∠=∠，又90COD E HO '∠=∠=︒，COD OHE '∴∆∆∽， ∴OD E H CD OE '='， ∴61012E H '=， 7.2E H ∴'=；∴出口E 设在距直线OB 的7.2米处可以使四边形CODE 的面积最大为60平方米；②铺设小路CE 和DE 的总造价为200400200(2)CE DE CE DE +=+， 如图32-，连接OE ，延长OB 到点Q ，使12BQ OB ==，连接EQ ， 在EOD ∆与QOE ∆中，EOD QOE ∠=∠，且12OD OE OE OQ ==， EOD QOE ∴∆∆∽，故2QE DE =，2CE DE CE QE ∴+=+，问题转化为求CE QE +的最小值， 连接CQ ，交AB 于点E '，此时CE QE +取得最小值为CQ ， 在Rt COQ ∆中，8CO =，24OQ =， 810CQ ∴=，故总造价的最小值为160010元； 作E H OB '⊥，垂足为H ，连接OE '， 设E H x '=，则3QH x =，在Rt △E OH '中，222OH HE OE ''+=， 222(243)12x x ∴-+=，解得，136665x -=，236665x +=（舍去）， ∴总造价的最小值为160010元，出口E 距直线OB 的距离为36665-米．。
江苏省无锡市锡山区九年级(上)期末数学试卷
九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.方程x（x+2）=0的解是（）A. x=0B. x=2C. x=0或x=2D. x=0或x=−22.如图，点A，B，C都在⊙O上，若∠BAC=36°，则∠BOC的度数为（）A. 75∘B. 72∘C. 64∘D. 54∘3.根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁4.下列调查中，不适合采用抽样调查的是（）A. 了解全国中小学生的睡眠时间B. 了解无锡市初中生的兴趣爱好C. 了解江苏省中学教师的健康状况D. 了解航天飞机各零部件的质量5.若关于x的一元二次方程x2-4x+k=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）A. k≠0B. k>4C. k<4D. k<4且k≠06.已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积是（）A. 10πcm2B. 14πcm2C. 20πcm2D. 28πcm27.已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为（）A. 1B. 3C. 2D. 238.如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，连接AE、AC，分别交BD于M、N，则BM：DN等于（）A. 1：2B. 1：3C. 2：3D. 以上都不正确9.如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=2，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是（）A. πB. 22πC. 2D. 210.已知二次函数y=ax2+bx+c（b＞a＞0）与x轴最多有一个交点，现有以下三个结论：①该抛物线的对称轴在y轴左侧；②关于x的方程ax2+bx+c+1=0无实数根；③4a-2b+c≥0．其中，正确结论的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）11.抛物线y=（x+2）2-5的顶点坐标是______．12.用配方法解一元二次方程x2-2x-4=0时，可变形为（x-1）2=a的形式，则a的值为______．13.已知x2-3x+1=0，则代数式ax2-3ax+a-2019的值为______．14.某地区2017年投入教育经费2500万元，2019年计划投入教育经费3025万元．则2017年至2019年，该地区投入教育经费的年平均增长率为______．15.已知△ABC∽△DEF，其相似比为1：4，则△ABC与△DEF的面积比为______．16.某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动，如图，在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为45°，然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡顶B处，然后再沿水平方向行走4米至大树脚底点D处，斜面AB的坡度（或坡比）i=1：2.4，那么大树CD的高度为______．17.如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角（∠O）为120°，A，B，C都在格点上，则tan∠ABC的值是______．18.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=15，DA=510，则BD的长为______．三、解答题（本大题共10小题，共84.0分）19.（1）计算：（-2）0+cos60°-23sin60°；（2）化简：（18+8-6）÷2．20.解方程或不等式组（1）解方程：（x-3）2=2（x-3）；（2）解不等式组：x−1＜2x+12≥121.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，-4）（1）请画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1；（2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的12，得到△A2B2C2，请在y轴右侧画出△A2B2C2，并求出∠A2C2B2的正弦值．22.快乐的寒假来临啦！小明和小丽计划在假期间去无锡旅游．他们选取鼋头渚（记为A）、梅园（记为B）、锡惠公园（记为C）等三个景点为游玩目标．如果他们各自在三个景点中任选一个作为游玩的第一站（每个景点被选为第一站的可能性相同），那么他们都选择鼋头渚（记为A）景点为第一站的概率是多少？（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）23.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若OB=10，CD=53，求图中阴影部分的面积．24.在某张航海图上，标明了三个观测点的坐标，如图，O（0，0）、B（6，0）、C（6，8），由三个观测点确定的圆形区域是海洋生物保护区．（1）求圆形区域的面积；（2）某时刻海面上出现-渔船A，在观测点O测得A位于北偏东45°，同时在观测点B测得A位于北偏东30°，求观测点B到A船的距离．（3≈1.7，保留三个有效数字）；（3）当渔船A由（2）中位置向正西方向航行时，是否会进入海洋生物保护区？通过计算回答．25.某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销x件．已知产销两种产品的有关信息如表：其中a为常数，且5≤a≤7（1）若产销甲、乙两种产品的年利润分别为y1万元、y2万元，直接写出y1、y2与x的函数关系式；（注：年利润=总售价-总成本-每年其他费用）（2）分别求出产销两种产品的最大年利润；（3）为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由．26.【定义】如图1，点P为∠MON的平分线上一点，以P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，如果∠APB绕点P旋转时始终满足OA•OB=OP2，我们就把∠APB叫做∠MON的智慧角．请利用“智慧角”的定义解决下列两个问题：【运用】如图2，已知∠MON=120°，点P为∠MON的平分线上一点，以点P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，且∠APB=120°．求证：∠APB 是∠MON的智慧角．【探究】如图3，已知∠MON=α（0°＜α＜90°），OP=4，若∠APB是∠MON的智慧角，连接AB，试用含α的代数式分别表示∠APB的度数和△AOB的面积．27.一次函数y=-43x的图象如图所示，它与二次函数y=ax2+2ax+c的图象交于A、B两点（其中点A在点B的左侧），与这个二次函数图象的对称轴交于点C．（1）求点C的坐标；（2）设二次函数图象的顶点为D．若点D与点C关于x轴对称，且△ACD的面积等于163，求此二次函数的关系式．28.已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC=12cm，BD=16cm．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，直线EF从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为1cm/s，EF⊥BD，且与AD，BD，CD分别交于点E，Q，F；当直线EF停止运动时，点P也停止运动．连接PF，设运动时间为t（s）（0＜t＜8）．解答下列问题：（1）当t为何值时，四边形APFD是平行四边形？（2）设四边形APFE的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使S四边形APFE：S菱形ABCD=17：40？若存在，求出t的值，并求出此时P，E两点间的距离；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】解：x=0或x+2=0，所以x1=0，x2=-2．故选：D．利用因式分解的方法得到x=0或x+2=0，然后解两个一次方程即可．本题考查了解一元二次方程-因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．2.【答案】B【解析】解：∵点A、B、C都在⊙O上，∠BAC=36°，∴∠BOC=2∠BAC=72°．故选：B．根据圆周角定理，即可求得∠BOC的度数．此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．3.【答案】B【解析】解：∵=＞=，∴从乙和丙中选择一人参加比赛，∵S乙2＜S丙2，∴选择乙参赛，故选：B．首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加．此题考查了平均数和方差，正确理解方差与平均数的意义是解题关键．4.【答案】D【解析】解：A、了解全国中小学生的睡眠时间，调查范围广适合抽样调查，故A不符合题意；B、了解无锡市初中生的兴趣爱好，调查范围广适合抽样调查，故B不符合题意；C、了解江苏省中学教师的健康状况，调查范围广适合抽样调查，故C不符合题意；D、了解航天飞机各零部件的质量，适合普查，故D符合题意；故选：D．由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．5.【答案】C【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2-4x+k=0有两个不相等的实数根，∴b2-4ac=16-4k＞0，解得：k＜4．故选：C．利用一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：方程有两个不相等的两个实数根，△＞0，进而求出即可．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac，关键是记住当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．反之也成立．6.【答案】A【解析】解：圆锥的侧面积=•2π•2•5=10π（cm2）．故选：A．根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算即可．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．7.【答案】B【解析】解：如图，连接OA、OB，OG；∵六边形ABCDEF是边长为2的正六边形，∴△OAB是等边三角形，∴OA=AB=2，∴OG=OA•sin60°=2×=，∴边长为2的正六边形的内切圆的半径为．故选：B．根据题意画出图形，利用正六边形中的等边三角形的性质求解即可．本题考查学生对正多边形的概念掌握和计算的能力．解答这类题往往一些学生因对正多边形的基本知识不明确，将多边形的半径与内切圆的半径相混淆而造成错误计算，记住基本概念是解题的关键，属于中考常考题型．8.【答案】C【解析】解：∵▱ABCD，∴AD∥BE，AD=BC，BN=ND，∴△ADM∽△EBM，∴，∵E为BC的中点，∴BE=BC=AD，∴=，设BM=1，则MD=2，BD=3，∴DN=，∴==，故选：C．由▱ABCD，推出AD∥BE，BN=ND，进而推得△ADM∽△EBM，根据相似三角形的性质和E为BC的中点可证得=，即可证得结论．本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．9.【答案】B【解析】解：取AB的中点O、AC的中点E、BC的中点F，连接OC、OP、OM、OE、OF、EF，如图，∵在等腰Rt△ABC中，AC=BC=2，∴AB=BC=2，∴OC=AB=，OP=AB=，∵∠ACB=90°∴C在⊙O上，∵M为PC的中点，∴OM⊥PC，∴∠CMO=90°，∴点M在以OC为直径的圆上，点P点在A点时，M点在E点；点P点在B点时，M点在F点，易得四边形CEOF为正方形，EF=OC=，∴M点的路径为以EF为直径的半圆，∴点M运动的路径长=•2π•=π．故选：B．取AB的中点O、AC的中点E、BC的中点F，连接OC、OP、OM、OE、OF、EF，如图，利用等腰直角三角形的性质得到AB=BC=2，则OC=AB=，OP=AB=，再根据等腰三角形的性质得OM⊥PC，则∠CMO=90°，于是根据圆周角定理得到点M在以OC为直径的圆上，由于点P点在A点时，M点在E点；点P点在B点时，M点在F点，则利用四边形CEOF为正方得到EF=OC=，所以M点的路径为以EF为直径的半圆，然后根据圆的周长公式计算点M运动的路径长．本题考查了轨迹：点按一定规律运动所形成的图形为点运动的轨迹．解决此题的关键是利用等腰三角形的性质和圆周角定理确定M点的轨迹为以EF为直径的半圆．10.【答案】D【解析】解：①对称轴为：x=，∵0＜a＜b，∴＜0，∴抛物线的对称轴在y轴的左侧，故①正确；②抛物线开口向上，且与x轴的交点至多一个，∴y≥0，∴方程ax2+bx+c=-1无解，即关于x的方程ax2+bx+c+1=0无实数根，故②正确；③由于抛物线的开口向上，对称轴位于y轴的左侧，∴x=2，y≥0，∴4a-2b+c≥0，故③正确；故选：D．根据二次函数的图象与性质即可求出答案．本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．11.【答案】（-2，-5）【解析】解：∵y=（x+2）2-5为抛物线的顶点式，∴根据顶点式的坐标特点可知，抛物线的顶点坐标为（-2，-5），故答案为：（-2，-5）已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出顶点坐标．考查二次函数的性质，将解析式化为顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．12.【答案】5【解析】解：方程x2-2x-4=0移项，得x2-2x=4，方程的两边都加1，得x2-2x+1=5，配方，得（x-1）2=5．故答案为：5先把常数项移到等号右边，方程的两边都加上一次项系数一半的平方，最后确定a的值．本题考查了一元二次方程的配方法．掌握配方法解一元二次方程的一般步骤是解决本题的关键．13.【答案】-2019【解析】解：∵x2-3x+1=0，∴x2-3x=-1，则原式=a（x2-3x）+a-2019=-a+a-2019=-2019，故答案为：-2019原式变形后，将已知等式变形代入计算即可求出值．此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14.【答案】10%【解析】解：设该地区投入教育经费的年平均增长率为x，由题意得：2500（1+x）2=3025，解得：x1=0.1=10%，x2=-2.1（不合题意，舍去）．故答案为：10%．设该地区投入教育经费的年平均增长率为x，由该地区2017年及2019年投入教育经费的金额，可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．15.【答案】1：16【解析】解：∵△ABC∽△DEF，且相似比为1：4，∴△ABC与△DEF的面积比为1：16，故答案为：1：16．利用相似三角形面积之比等于相似比的平方计算即可．此题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解本题的关键．16.【答案】11米【解析】解：作BF⊥AE于F，如图所示：则FE=BD=4米，DE=BF，∵斜面AB的坡度i=1：2.4，∴AF=2.4BF，设BF=x米，则AF=2.4x米，在Rt△ABF中，由勾股定理得：x2+（2.4x）2=132，解得：x=5，∴DE=BF=5米，AF=12米，∴AE=AF+FE=16米，在Rt△ACE中，CE=AE•tan45°=16×1=16米，∴CD=CE-DE=16米-5米=11米；故答案为：11米．作BF⊥AE于F，则FE=BD=4米，DE=BF，设BF=x米，则AF=2.4米，在Rt△ABF中，由勾股定理得出方程，解方程求出DE=BF和AF的值，得出AE 的长度，在Rt△ACE中，由三角函数求出CE，即可得出结果．本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、三角函数；由勾股定理得出方程是解决问题的关键．17.【答案】36【解析】解：如图，连接EA，EC，设菱形的边长为a，由题意得∠CEF=60°，∠BEF=30°，CE=a，AE=a，EB=2 a，∴∠AEC=90°，∵∠ACE=∠AGF=60°，∴∠EAB=180°，∴E、A、B共线，在Rt△CEB中，tan∠ABC=．故答案为：如图，连接EA、EC，先证明∠AEC=90°，E、A、B共线，再根据tan∠ABC=，求出EC、EB即可解决问题．本题考查菱形的性质，三角函数、特殊三角形边角关系等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．18.【答案】313【解析】解：作DM⊥BC，交BC延长线于M，连接AC，如图所示：则∠M=90°，∴∠DCM+∠CDM=90°，∵∠ABC=90°，AB=3，BC=4，∴AC2=AB2+BC2=25，∵CD=15，AD=5，∴AC2+CD2=AD2，∴△ACD是直角三角形，∠ACD=90°，∴∠ACB+∠DCM=90°，∴∠ACB=∠CDM，∵∠ABC=∠M=90°，∴△ABC∽△CMD，∴===，∴CM=3AB=9，DM=3BC=12，∴BM=BC+CM=13，∴BD===，故答案为：．作DM⊥BC，交BC延长线于M，连接AC，由勾股定理得出AC2=AB2+BC2=25，求出AC2+CD2=AD2，由勾股定理的逆定理得出△ACD是直角三角形，∠ACD=90°，证出∠ACB=∠CDM，得出△ABC∽△CMD，由相似三角形的对应边成比例求出CM=3AB=9，DM=3BC=12，得出BM=BC+CM=13，再由勾股定理求出BD即可．本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、勾股定理的逆定理；熟练掌握相似三角形的判定与性质，证明由勾股定理的逆定理证出△ACD是直角三角形是解决问题的关键．19.【答案】解：（1）原式=1+12-23×32=1+12-3=-32；（2）原式=18÷2+8÷2-6÷2=3+2-3=5-3．【解析】（1）根据零指数幂和特殊角的三角函数值进行计算；（2）根据二次根式的除法法则运算．本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．20.【答案】解：（1）（x-3）2-2（x-3）=0∴（x-3）（x-3-2）=0∴x-3=0或x-5=0∴x1=3，x2=5；（2）x−1＜2①x+12≥1②由①得：x＜3，由②得：x≥1∴原不等式组的解集为：1≤x＜3．【解析】（1）移项后提取公因式，得两个一元一次方程，求解即可；（2）先解组中的两个不等式，再确定不等式组的解集．本题考查了因式分解法解一元二次方程和一元一次不等式组的解法，题目难度较小，掌握因式分解法求解一元二次方程的一般步骤和不等式组的解法是解决本题的关键．21.【答案】解：（1）请画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1，如图1所示，（2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的12，得到△A2B2C2，请在y轴右侧画出△A2B2C2，如图2所示，∵A（2，2），C（4，-4），B（4，0），∴直线AC解析式为y=-3x+8，与x轴交于点D（83，0），∵∠CBD=90°，∴CD=BC2+BD2=4310，∴sin∠DCB=BDCD=4−834310=1010．∵∠A2C2B2=∠ACB，∴sin∠A2C2B2=sin∠DCB=1010．【解析】（1）将A、B、C三点分别向左平移6个单位即可得到的△A1B1C1；（2）连接OA、OC，分别取OA、OB、OC的中点即可画出△A2B2C2，求出直线AC与OB的交点，求出∠ACB的正弦值即可解决问题．本题考查位似变换、平移变换等知识，锐角三角函数等知识，解题的关键是理解位似变换、平移变换的概念，记住锐角三角函数的定义，属于中考常考题型．一共有9种等可能的情况，都选择A为第一站的有1种情况，所以P（都选择鼋头渚为第一站）=19．【解析】根据题意用列表法得出所有等可能的结果以及他们都选择鼋头渚（记为A）景点为第一站的情况，再利用概率公式即可求得答案．本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．23.【答案】（1）证明：连接OD，如图，∵BD为∠ABC平分线，∴∠1=∠2，∵OB=OD，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴OD∥BC，∵∠C=90°，∴∠ODA=90°，∴OD⊥AC，∴AC是⊙O的切线．（2）过O作OG⊥BC，连接OE，则四边形ODCG为矩形，∴GC=OD=OB=10，OG=CD=53，在Rt△OBG中，利用勾股定理得：BG=5，∴BE=10，则△OBE是等边三角形，∴阴影部分面积为60⋅π⋅102360-12×10×53=50π3-253．【解析】（1）欲证明AC是⊙O的切线，只要证明OD⊥AC即可．（2）证明△OBE是等边三角形即可解决问题．本题考查切线的判定和性质，等边三角形的判定和性质，思想的面积公式等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．24.【答案】解：（1）连接CB，CO，则CB∥y轴，∴∠CBO=90°，设O′为由O、B、C三点所确定圆的圆心．则OC为⊙O′的直径．由已知得OB=6，CB=8，由勾股定理得OC=82+62=10半径OO′=5，S⊙O′=π•52=25π．（2）过点A作AD⊥x轴于点D，依题意，得∠BAD=30°，在Rt△ABD中，设BD=x，则AB=2x，由勾股定理得，AD=AB2−BD2=3x，由题意知：OD=OB+BD=6+x，在Rt△AOD中，OD=AD，6+x=3x∴x=3（3+1），∴AB=2x=6（3+1）≈16.2（注：近似计算一定要到最后的结果才可以代入，否则中间就代入，误差会很大）；（3）过点A作AG⊥y轴于点G．过点O′作O′E⊥OB于点E，并延长EO′交AG于点F．由（1）知，OO′=5，由垂径定理得，OE=BE=3．∴在Rt△OO′E中，由勾股定理得，O′E=4∵四边形FEDA为矩形．∴EF=DA，而AD=3x=9+33∴O′F=9+33-4=5+33＞5，∴直线AG与⊙O′相离，A船不会进入海洋生物保护区．【解析】（1）连接CB，CO，则CB∥y轴，由圆周角定理、勾股定理得OC==10，则半径OO′=5，S⊙O′=π•52=25π．（2）过点A作AD⊥x轴于点D，依题意，得∠BAD=30°，在Rt△ABD中，设BD=x，则AB=2x，由勾股定理AD=x，根据图形得到OD=OB+BD=6+x，故AB=2x=6（+1）≈16.2（3）过点A作AG⊥y轴于点G．过点O′作O′E⊥OB于点E，并延长EO′交AG于点F．由垂径定理得，OE=BE=3．在Rt△OO′E中，由勾股定理得，O′E=4．所以O′F=9+3-4=5+3＞5．本题考查了勾股定理的应用、点与圆的位置关系．熟练掌握垂径定理及其推论；圆由半径和圆心确定；会判断点与圆的位置关系．25.【答案】解：（1）y1=（8-a）x-20，（0＜x≤200），y2=10x-30-0.05x2=-0.05x2+10x-30，（0＜x≤90）；（2）对于y1=（8-a）x-20，∵8-a＞0，∴x=200时，y1的值最大=（1580-200a）万元；对于y2=-0.05（x-100）2+470，∵0＜x≤90，∴x=90时，y2最大值=465万元；（3）①（1580-200a）=465，解得a=5.575，②（1580-200a）＞465，解得a＜5.575，③（1580-200a）＜465，解得a＞5.575，∵5≤a≤7，∴当a=5.575时，生产甲乙两种产品的利润相同．当5≤a＜5.575时，生产甲产品利润比较高．当5.575＜a≤7时，生产乙产品利润比较高．【解析】（1）根据利润=销售数量×每件的利润即可解决问题；（2）根据一次函数的增减性，二次函数的增减性即可解决问题；（3）根据题意分三种情形分别求解即可．本题考查二次函数、一次函数的应用，解题的关键是构建函数解决实际问题中的方案问题，属于中考常考题型．26.【答案】【运用】证明：如图2中，∵∠MON=120°，点P为∠MON的平分线上一点，∴∠AOP=∠BOP=12∠MON=60°，∵∠AOP+∠OPA+∠OAP=180°，∴∠OPA+∠OAP=120°，∵∠APB=120°，∴∠APO+∠OPB=120°，∴∠OAP=∠OPB，∴△AOP∽△POB，∴OAOP=OPOB∴OA•OB=OP2∴∠APB是∠MON的智慧角．【探究】如图3中，过点A作AH⊥OB于点H，连接AB．∵∠APB是∠MON的智慧角，∴OP2=OA•OB，即OAOP=OPOB，∵点P为∠MON的平分线上一点，∴∠AOP=∠BOP=12α，∴△AOP∽△POB，∴∠OAP=∠OPB，∴∠APB=∠OPB+∠OPA=∠OAP+∠OPA=180°-12α∴S△AOB=12•OB•AH=12•OB•OA•sinα=12OP2•sinα，∵OP=4，∴S△AOB=8sinα．【解析】【运用】想办法证明△AOP∽△POB，可得=，由此即可解决问题．【探究】如图3中，过点A作AH⊥OB于点H，连接AB．由△AOP∽△POB，推出∠OAP=∠OPB，推出∠APB=∠OPB+∠OPA=∠OAP+∠OPA=180°-α，利用三角形的面积公式可得△AOB的面积．本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形的相似的条件，属于中考压轴题．27.【答案】解：（1）∵抛物线的对称轴为x=−2a2a=-1，∵将x=-1代入y=−43x得：y=43，∴点C的坐标为（-1，43），（2）∵点D与点C关于x轴对称，∴点D的坐标为（-1，-43），∴CD=83．设△ACD的CD边上的高为h，则12×83h=163，解得h=4∴点A的横坐标为-4-1=-5，则点A的纵坐标为−43×(−5)=203．即A（-5，203）设抛物线的解析式为y=a(x+1)2−43，将A（-5，203）代入得：203=a(x+1)2−43．解得：a=12，∴抛物线的解析式为y=12(x+1)2−43．【解析】（1）根据抛物线的对称轴解答即可；（2）根据三角形面积公式和待定系数法得出解析式即可．此题考查待定系数法求二次函数解析式问题，关键是根据三角形面积公式和待定系数法得出解析式．28.【答案】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AC⊥BD，OA=OC=12AC=6，OB=OD=12BD=8．在Rt△AOB中，AB=62+82=10．∵EF⊥BD，∴∠FQD=∠COD=90°．又∵∠FDQ=∠CDO，∴△DFQ∽△DCO．∴DFDC=QDOD．即DF10=t8，∴DF=54t．∵四边形APFD是平行四边形，∴AP=DF．即10-t=54t，解这个方程，得t=409．∴当t=409s时，四边形APFD是平行四边形．（2）如图，过点C作CG⊥AB于点G，∵S菱形ABCD=AB•CG=12AC•BD，即10•CG=12×12×16，∴CG=485．∴S梯形APFD=12（AP+DF）•CG=12（10-t+54t）•485=65t+48．∵△DFQ∽△DCO，∴QDOD=QFOC．即t8=QF6，∴QF=34t．同理，EQ=34t．∴EF=QF+EQ=32t．∴S△EFD=12EF•QD=12×32t×t=34t2．∴y=（65t+48）-34t2=-34t2+65t+48．（3）如图，过点P作PM⊥EF于点M，PN⊥BD于点N，若S四边形APFE：S菱形ABCD=17：40，则-34t2+65t+48=1740×96，即5t2-8t-48=0，解这个方程，得t1=4，t2=-125（舍去）过点P作PM⊥EF于点M，PN⊥BD于点N，当t=4时，∵△PBN∽△ABO，∴PNAO=PBAB=BNBO，即PN6=410=BN8．∴PN=125，BN=165．∴EM=EQ-MQ=3−125=35．PM=BD-BN-DQ=16−165−4=445．在Rt△PME中，PE=PM2+EM2=(445)2+(35)2=19455（cm）．【解析】（1）由四边形ABCD是菱形，OA=AC，OB=BD．在Rt△AOB中，运用勾股定理求出AB=10．再由△DFQ∽△DCO．得出=．求出DF．由AP=DF．求出t．（2）过点C作CG⊥AB于点G，由S菱形ABCD=AB•CG=AC•BD，求出CG．据S梯形APFD=（AP+DF）•CG．S△EFD=EF•QD．得出y与t之间的函数关系式；（3）过点C作CG⊥AB于点G，由S菱形ABCD =AB•CG，求出CG，由S四边形APFE：S菱形ABCD=17：40，求出t，再由△PBN∽△ABO，求得PN，BN，据线段关系求出EM，PM再由勾股定理求出PE．本题主要考查了四边形的综合知识，解题的关键是根据三角形相似比求出相关线段．。
2022-2023学年第一学期无锡市锡山区九年级期末数学试题及解析
2022-2023学年第一学期无锡市锡山区九年级期末数学试题一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）1．请判别下列哪个方程是一元二次方程（ ） A ． 20ax bx c ++= B ．21x =C ．2112x x += D ．3x ＋8＝6x ＋22．在一个不透明的盒子中，装有质地、大小一样的白色乒乓球2个，黄色乒乓球3个，随机摸出一个球，摸到黄色乒乓球的概率是（ ） A ．15B ．13C ．25D ．353．一元二次方程＝0的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．只有一个实数根D ．没有实数根4．九年级（1）班的5名同学参加学校举办的青少年图书教育活动讲故事比赛，他们的成绩（单位：分）分别是9，8，7，8，7，这组数据的中位数和平均数分别为（ ） A ．7，7.8B ．7，7.6C ．8，7.8D ．8，7.65．如果将抛物线y ＝221x x +-向右平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（ ） A ．y ＝B ．y ＝C ．y ＝D ．y ＝6．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB ，他调整自己的位置，设法使斜边DF 保持水平，并且边DE 与点B 在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE ＝60cm ，EF ＝30cm ，测得边DF 离地面的高度AC ＝1.5m ，CD ＝10m ，则树高AB 为（ ） A ．5米B ．6.5米C ．7米D ．7.5米（第6题图） （第8题图） （第9题图） （第10题图）7．圆锥的底面圆半径是3cm ，母线长是4cm ，则圆锥的侧面积是（ ） A ．9π B ．12π C ．15π D ．20π 8．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠OCB ＝40°，则∠A 的度数等于（ ）A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°9．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，CD ⊥AB ，垂足为D ，点E 是⊙O 上的动点（不与C 重合），点F 为CE 的中点，若AD ＝2，CD ＝4，则DF 的最大值为（ ） A ．2B ．25C ．5D ．1010．如图，在正方形ABCD 中，F 是BC 边上一点，连接AF ，以AF 为斜边作等腰直角三角形AEF ．有下列四个结论：①∠CAF ＝∠DAE ；②FC ＝2DE ；③当∠AEC ＝135°时，E 为△ADC 的内心；④若点F 在BC 上以一定的速度，从B 往C 运动，则点E 与点F 的运动速度相等．其中正确的结论为（ ） A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④二、填空题（本大题共8小题，每空3分，共30分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答．题卡上相应的位置．．．．．．．．） 11．若关于x 的一元二次方程有一个根是0，则a 的值为▲．12．已知a 2＝b 3＝c4≠0，则b ＋c a 的值为▲．13．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为点E ，BE ＝14CD ＝4，则OA ＝▲．（第13题图） （第14题图） （第15题图）14．如图的转盘共有红、白两种不同的颜色，已知红色区域的圆心角为120°，自由转动转盘，指针指向白色区域的概率是▲．15．如图，在正五边形ABCDE 中，DM 是边CD 的延长线，连接BD ，则∠BDM 的度数是▲． 16．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，点D 是AC 边上的一点，过点D 作DF ∥AB ，交BC 于点F ，作∠BAC 的平分线交DF 于点E ，连接BE ．若△ABE 的面积是2，则点C 到DF 的距离为▲，DEEF的值是▲．（第16题图） （第17题图）17．如图，在平面直角坐标系中，点A （3，0），点B （0，4），⊙M 的半径为2．当圆心M 与点O 重合时，⊙M 与直线AB 的位置关系为▲；若圆心M 从点O 开始沿x 轴移动，当OM ＝▲时，⊙M 与直线AB 相切．18．若二次函数（a ＞0），当5≤x ≤6时，对应的y 的整数值有4个，则a 的取值范围是▲．三、解答题（本大题共10小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（本题满分8分）解方程：（1）；（2）．20．（本题满分8分）如图，在△ABC 中，D 是BC 边上一点，且∠ADB ＋∠BAC ＝180°．xyOABB ACEDFCDOE（1）求证：△ABC∽△DAC；（2）若AC＝4，BC＝8，求CD的长．21．（本题满分8分）2020年，某贫困户的家庭年人均纯收入为2500元，通过政府产业扶持，发展了养殖业后，到2022年，家庭年人均纯收入达到了4900元．（1）求该贫困户2020年到2022年家庭年人均纯收入的年平均增长率；（2）若年平均增长率保持不变，2023年该贫困户的家庭年人均纯收入是否能达到6800元？22．（本题满分8分）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB＝40°，∠APD＝65°．（1）求∠B的大小；（2）已知圆心O到BD的距离为4，求AD的长．23．（本题满分8分）某中学为了解初三学生参加志愿者活动的次数，随机调查了该年级20名学生，统计得到该20名学生参加志愿者活动的次数如下：3，5，3，6，3，4，4，5，2，4，5，6，1，3，5，5，4，4，2，4根据以上数据，得到如下不完整的频数分布表：次数 1 2 3 4 5 6人数 1 2 a 6 b 2 （1）表格中的a＝▲，b＝▲；（2）在这次调查中，参加志愿者活动的次数的众数为▲，中位数为▲；（3）若该校初三年级共有300名学生，根据调查统计结果，估计该校初三年级学生参加志愿者活动的次数为4次的人数．24．（本题满分8分）2022年冬奥会吉祥物为“冰墩墩”，冬残奥会吉祥物为“雪容融”，如图，现有三张正面印有吉祥物的不透明卡片，卡片除正面图案不同外，其余均相同，其中两张正面印有冰墩墩图案的卡片分别记为、正面印有雪容融图案的卡片记为B，将三张卡片正面向下洗匀，小明同学从中随机抽取一张卡片，记下图案后正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张卡片．（1）从这三张卡片中随机挑选一张，是“冰墩墩”的概率是▲；（2）请用画树状图或列表的方法，求小明同学抽出的两张卡片都是冰墩墩卡片的概率．25．（本题满分8分）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＜B C，BC＝8，点O为边AB中点．（1）请用无刻度的直尺和圆规按要求作图：在BC上作一点D，使得BD＝AC＋CD；（不写作法，保留作图痕迹．）（2）在（1）的条件下，连接OD，若OD＝22，则Rt△ABC的面积为▲．CA26．（本题满分10分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足是点H，过点C作直线分别与AB，AD的延长线交于点E，F，且∠ECD＝2∠BA D．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若AB＝10，CD＝6．求AE的长．27．（本题满分12分）已知抛物线y＝≠0）的顶点为A，与x轴负半轴相交于点B、点C（点B在点C 左侧），与y轴交于点D，连接AO交该抛物线于点E，且AE：OE＝1：3．（1）求点A的坐标和该抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△BDP为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；28．（本题满分12分）已知正方形ABCD的边长为1，点E是射线BC上的动点，以AE为直角边在直线BC 的上方作等腰直角三角形AEF ，∠AEF ＝90°，设BE ＝m . （1）如图1，若点E 在线段BC 上运动，EF 交CD 于点P ，连结CF ． ①当m ＝13时，请直接写出线段CF 的长为▲；②设CP ＝n ，请求出n 与m 的关系式；（2）如图2，AF 交CD 于点Q ，在△PQE 中，设边QE 上的高为h ，求h 的最大值．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B 铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑．．．．．．．．．．．．．） 1．B ； 2．D ； 3．A ； 4．C ； 5．D ；6．B ； 7．B ； 8．C ； 9．C ； 10．A ；二、填空题（本大题共8小题，每空3分，共30分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答．题卡上相应的位置．．．．．．．．） 11．1； 12．72； 13．10； 14．23； 15．144；16．85；23； 17．相离；12或112【有一个答对可得2分】； 18．35≤a ＜45；三、解答题（本大题共10 小题，共90 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（本题满分8分）（1）x 1＝3，x 2＝－1；………………………………4分 （2）x 1＝－5，x 2＝1；………………………………8分 20．（本题满分8分）（1）∵∠ADB ＋∠BAC ＝180°，∠ADB ＋∠ADC ＝180°， ∴∠BAC ＝∠ADC ，………………………………2分又∵∠C ＝∠C ，∴△ABC ∽△DA C ．………………………………4分 （2）∵△ABC ∽△DAC ，∴BC AC ＝ACCD，………………………………6分 ∵BC ＝8，AC ＝4，∴84＝4CD ，解得CD ＝2．………………………………8分∴CD 的长为2．21．（本题满分8分）（1）设该贫困户2020年到2022年家庭年人均纯收入的年平均增长率为x ， 依题意得：2500（1＋x )2＝4900，解得：x 1＝0.4＝40%，x 2＝－2.4（不合题意，舍去）．答：该贫困户2020年到2022年家庭年人均纯收入的年平均增长率为40%；…………………………6分 （2）4900×（1＋40%）＝6860（元），∵6860＞6800，∴2023年该贫困户的家庭年人均纯收入能达到6800元．…………………………8分 22．（本题满分8分）（1）∵∠CAB ＝∠CDB ，∠CAB ＝40°，∴∠CDB ＝40°， 又∵∠APD ＝65°，∠APD ＝∠B ＋∠CDB ，∴∠B ＝65°－40°＝25°；…………………………4分（2）过点O 作OE ⊥BD 于点E ，则圆心O 到BD 的距离OE ＝4，∵AB 是⊙O 的直径，OE ⊥BD ， ∴AE ＝DE ，又∵O 是AB 的中点， ∴OE 是△ABD 的中位线，∴AD ＝2OE ＝8．…………………………8分 23．（本题满分8分）（1）4，5；…………………………2分 （2）4，4；…………………………6分（3）300×620＝90（人）．…………………………8分答：估计该校初三年级学生参加志愿者活动的次数为4次的人数有90人． 24．（本题满分8分）（1）23；…………………………2分（2）画树状图如下：…………………………5分共有9个等可能的结果，小明同学抽出的两张卡片都是冰墩墩卡片的结果有4个，…………………7分 ∴P （小明同学抽出的两张卡片都是冰墩墩卡片）＝49．…………………8分25．（本题满分8分）（1）如图，点D 即为所求；（其它方法参考以下评分标准） CE ＝AC ，…………………………2分 BE 的垂直平分线，…………………………4分 点D ，…………………………5分 （2）16．…………………………8分26．（本题满分10分）（1）证明：连接OC （如图），∵AB 是⊙O 的直径，AB ⊥CD ，∴⌒BC ＝⌒BD ， ∴∠CAB ＝∠DA B ．∵∠COB ＝2∠CAB ，∴∠COB ＝2∠BA D ． ∵∠ECD ＝2∠BAD ，∴∠ECD ＝∠CO B ． ∵AB ⊥CD ，∴∠COB ＋∠OCH ＝90°，∴∠OCH ＋∠ECD ＝90°，即∠OCE ＝90°．∴OC ⊥CF ．又∵OC 是⊙O 的半径，∴CF 是⊙O 的切线；……………………………………5分 （2）∵AB ＝10，∴OA ＝OB ＝OC ＝5，∵AB 是⊙O 的直径，AB ⊥CD ，∴CH ＝DH ＝12CD ＝3．∴OH ＝OC 2－CH 2＝4，∵OC ⊥CF ，CH ⊥OE ，∴△OCH ∽△OEC ， ∴OC OE ＝OHOC ，∴5OE ＝45，解得OE ＝254． ∴AE ＝OA ＋OE ＝5＋254＝454；……………………………………10分27．（本题满分12分）（1）由抛物线y ＝ax 2＋4ax ＋4a －1的对称轴为直线x ＝－2， 当x ＝－2时，y ＝－1，∴A (－2，－1)，……………………………………1分∵AE ：OE ＝1：3，∴OE ：OA ＝3：4，如图，过点E 作EF ⊥x 轴，垂足为点F ，设对称轴与x 轴交点为M ，∵EF ∥AM ，∴△OFE ∽△OMA ，∴EF AM ＝OF OM ＝OE OA ＝34，∴EF ＝34，OF ＝32，∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－34，把点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－34代入抛物线表达式y ＝ax 2＋4ax ＋4a －1，得a ＝1，∴该抛物线的表达式为y ＝x 2＋4x ＋3；……………………………………4分（2）P 1（－2，5），P 2（－2，5），P 3（－2，3＋172），P 4（－2，3－172）……………………12分28．（本题满分12分）（1）①23；……………………………………3分 ②∵∠BAE ＝∠FEC ，∠B ＝∠ECP ＝90°， ∴△BAE ∽△CEP ，∴CP BE ＝CEAB ，即CP m ＝1−m 1，∴CP ＝m －m 2，即n ＝m －m 2；……………………………………7分 （2）如图，将△ADQ 绕点A 顺时针旋转90°得△ABG ，则AG ＝AQ ，∠GAB ＝∠QAD ，GB ＝DQ ，∵∠EAF ＝45°，∴∠BAE ＋∠QAD ＝∠BAE ＋∠GAB ＝90°－45°＝45°，即∠GAE ＝∠EAF ＝45°， ∵∠ABG ＝∠ABE ＝90°，∴B ，G ，E 三点共线， 又∵AE ＝AE ，∴△GAE ≌△EAQ (SAS )， ∴∠AEG ＝∠AEQ ，∴∠QEP ＝∠CEP ，∴h ＝CP ， ∴h ＝－m 2＋m ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫m －122＋14，当m ＝12时，h 有最大值为14．……………………………………12分。
2020-2021学年江苏省无锡市锡山区九年级(上)期末数学试卷及参考答案
2020-2021学年江苏省无锡市锡山区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10题，每题3分，满分30分．）1．（3分）下列方程中，属于一元二次方程的是（）A．x2﹣3x＝0B．x﹣3y＝0C．x2+＝1D．2x﹣3＝0 2．（3分）tan45°的值等于（）A．B．C．1D．3．（3分）如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠BOC＝64°，则∠BAC的度数为（）A．64°B．32°C．26°D．23°4．（3分）积极行动起来，共建节约型社会！我市某居民小区200户家庭参加了节水行动，现统计了10户家庭一个月的节水情况，将有关数据整理如下表：节水量/吨0.51 1.52家庭数/户4321请你估计该200户家庭这个月节约用水的总量是（）A．100吨B．180吨C．200吨D．250吨5．（3分）某班七个兴趣小组人数分别为4，4，5，5，x，6，7，已知这组数据的平均数是5，则这组数据的众数和中位数分别是（）A．4，5B．4，4C．5，4D．5，56．（3分）抛物线y＝x2﹣4x+9的顶点坐标是（）A．（﹣2，5）B．（2，5）C．（2，﹣5）D．（﹣2，﹣5）7．（3分）已知圆锥的底面圆半径为2cm，母线长为6cm，则圆锥的侧面积是（）A．12πcm2B．16πcm2C．20πcm2D．24πcm28．（3分）如图，以线段AB为边分别作直角三角形ABC和等边三角形ABD，其中∠ACB ＝90°．连接CD，当CD的长度最大时，此时∠CAD的大小是（）A．105°B．90°C．135°D．120°9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8．点P是边AC上一动点，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，D为线段PQ的中点，当BD平分∠ABC时，AP的长度为（）A．B．C．D．10．（3分）若min{a，b，c}表示a、b、c三个数中的最小值，则当x≥0且y＝min{x2，x+2，7﹣x}时，y的最大值为（）A．B．4C．D．二、填空题（本大题共8题，每题2分，共16分．）11．（2分）已知2a＝3b，其中b≠0，则＝．12．（2分）在平面直角坐标系中，将函数y＝（x﹣1）2+3的图象向右平移1个单位，得到图象的函数表达式是．13．（2分）如图，正六边形ABCDEF边长为2，若连接对角线AC，则AC的长为．14．（2分）某公司今年销售一种产品，1月份获得利润20万元，由于产品畅销，利润逐月增加，3月份的利润比1月份的利润增加4.2万元，设该产品利润平均每月的增长率为x，则可列方程为．15．（2分）如图，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤⑥中的一个小正方形涂黑，与图中的阴影部分构成轴对称图形的概率是．16．（2分）如图，AB为⊙O的弦，半径OC⊥AB，垂足为D，如果AB＝8cm，CD＝2cm，那么⊙O的半径是cm．17．（2分）如图的正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则tan∠ACB的值为．18．（2分）在数学探究活动中，小明进行了如下操作：如图，将四边形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使得点B落在CD上的点Q处．折痕为AP；再将△PCQ，△ADQ分别沿PQ，AQ折叠，此时点C，D落在AP上的同一点R处．当四边形APCD是平行四边形时，的值为．三、解答题（本大题共10题，共84分．）19．（8分）（1）计算：2cos30°+4sin30°﹣tan60°；（2）解方程：x2﹣8x+3＝0．20．（8分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，正方形DEFG的边长是6cm，且四个顶点都在△ABC的各边上，CE＝3cm．（1）求证：△BDG∽△FEC；（2）求BC的长．21．（8分）甲、乙两名同学分别从《武汉日夜》、《大红包》、《吉祥如意》三部电影中随机选择一部观看．（1）甲同学选择《武汉日夜》的概率是；（2）求甲、乙两名同学恰好选择同一部电影的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）22．（6分）某校随机抽取部分学生，对“学习习惯”进行问卷调查．设计的问题：对自己做错的题目进行整理、分析、改正；答案选项为：A．很少；B．有时；C．常常；D．总是．将调查结果的数据进行了整理、绘制成如图两幅不完整的统计图．请根据图中信息，解答下列问题：（1）填空：a＝%，b＝%；（2）请你补全条形统计图；（3）若该校有2000名学生，请你估计其中“常常”和“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生各有多少名？23．（8分）小红和爸爸绕着小区广场锻炼．如图，在矩形广场ABCD边AB的中点M处有一座雕塑．在某一时刻，小红到达点P处，爸爸到达点Q处，此时雕塑在小红的南偏东45°方向，爸爸在小红的北偏东60°方向，若小红到雕塑的距离PM＝30m，求小红与爸爸的距离PQ．（结果精确到1m，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）24．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，作OD∥BC与过点A的切线交于点D，连接DC并延长交AB的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AE＝6，CE＝2，求线段CE、BE与劣弧BC所围成的图形面积．25．（8分）在图1、2中，⊙O过了正方形网格中的格点A、B、C、D，请你仅用无刻度的直尺分别在图1、图2、图3中画出一个满足下列条件的∠P（1）顶点P在⊙O上且不与点A、B、C、D重合；（2）∠P在图1、图2、图3中的正切值分别为1、、2．26．（10分）2020年是脱贫攻坚决胜年．某地实施产业扶贫种植某种水果，其成本经过测算为20元kg，投放市场后，经过市场调研发现，这种水果在上市的一段时间内的销售单价p（元/kg）与时间t（天）之间的函数图象如图，且其日销售量y（kg）与时间t（天）的关系是：y＝﹣2t+120，天数为整数．（1）试求销售单价p（元/kg）与时间t（天）之间的函数关系式；（2）问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？（3）在实际销售的前20天中，公司决定每销售1kg水果就捐赠n元利润（n＜9）给“精准扶贫“对象．现发现：在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求n的取值范围．27．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，且过点D（2，﹣3）．点P、Q是抛物线y＝ax2+bx+c上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在直线OD下方时，求△POD面积的最大值．（3）直线OQ与线段BC相交于点E，当△OBE与△ABC相似时，求点Q的坐标．28．（10分）问题探究（1）如图1，AB是半圆O的直径，AB＝8．P是上一点，且＝2，连接AP，BP．∠APB的平分线交AB于点C，过点C分别作CE⊥AP、CF⊥BP，垂足分别为E、F．求线段CF的长．问题解决（2）如图2，是某公园内“青少年活动中心”的设计示意图．已知⊙O的直径AB＝70m，点C在⊙O上，且CA＝CB．在AB上任取一点P，连接CP并延长，交⊙O于点D，连接AD、BD．过点P分别作PE⊥AD、PF⊥BD，垂足分别为E、F．按设计要求，四边形PEDF内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区．设AP的长为x（m），阴影部分的面积为y（m2）．①求y与x之间的函数关系式；②按照“青少年活动中心”的设计要求，发现当AP的长度为30m时，整体布局比较合理．当AP＝30m时，试求室内活动区（四边形PEDF）的面积．2020-2021学年江苏省无锡市锡山区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10题，每题3分，满分30分．）1．【分析】利用一元二次方程定义进行解答即可．【解答】解：A、它是一元二次方程，故此选项符合题意；B、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不合题意；C、它是分式方程，不是整式方程，故此选项不合题意；D、未知数次数为1，不是一元二次方程，故此选项不合题意；故选：A．【点评】此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．2．【分析】直接利用特殊角的三角函数值求出答案．【解答】解：tan45°＝1．故选：C．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．3．【分析】利用圆周角定理求解即可．【解答】解：∵∠BAC＝BOC，∠BOC＝64°，∴∠BAC＝32°，故选：B．【点评】本题考查圆周角定理，解题的关键是理解圆周角定理，属于中考常考题型．4．【分析】先求出样本的平均数，再乘以总户数即可．【解答】解：∵抽查的10户家庭这个月节约用水的平均数为＝1（吨），∴估计该200户家庭这个月节约用水的总量是200×1＝200（吨），故选：C．【点评】本题考查用样本估计总体、统计表，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．5．【分析】根据众数、算术平均数、中位数的概念，结合题意进行求解．【解答】解：∵这组数据的平均数是5，∴＝5，解得：x＝4，这组数据按照从小到大的顺序排列为：4，4，4，5，5，6，7，则众数为：4，中位数为：5．故选：A．【点评】本题考查了众数、算术平均数、中位数的知识：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．6．【分析】将抛物线化为顶点式，即可得到该抛物线的顶点坐标．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣4x+9＝（x﹣2）2+5，∴该抛物线的顶点坐标为（2，5），故选：B．【点评】本题考查二次函数的性质，把一般式化成顶点式是关键．7．【分析】由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则直接利用扇形的面积公式可计算出圆锥的侧面积．【解答】解：根据题意，圆锥的侧面积＝×2π×2×6＝12π（cm2）．故选：A．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．8．【分析】利用圆周角定理结合点到直线的距离确定出C点在半圆中点时CD长度最大，进而得到答案．【解答】解：∵AB长固定，∠ACB＝90°，∴A、B、C三点共圆，AB的中点O为圆心，则当D、O、C三点共线时，CD的长度最大，即当C点在C'点时，CD长度最大，此时AC'＝BC'，∴∠BAC'＝45°，又△ABD为等边三角形，∴∠BAD＝60°，∴∠CAD＝∠C'AB+∠BAD＝45°+60°＝105°．故选：A．【点评】此题主要考查了圆周角定理以及点到直线的距离，得到CD最大时C点的位置是关键．9．【分析】根据勾股定理求出AC，根据平行线的性质、角平分线的定义得到QD＝BQ，证明△CPQ∽△CAB，根据相似三角形的性质计算即可．【解答】解：设BQ＝x，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，由勾股定理得：AC＝＝＝6，∵BD平分∠ABC，∴∠QBD＝∠ABD，∵PQ∥AB，∴∠QDB＝∠ABD，∴∠QBD＝∠QDB，∴QD＝BQ＝x，∵D为线段PQ的中点，∴QP＝2QD＝2x，∵PQ∥AB，∴△CPQ∽△CAB，∴＝＝，即＝＝，解得：x＝，CP＝，∴AP＝CA﹣CP＝，故选：B．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、勾股定理、平行线的性质、角平分线的定义，根据平行线的性质、等腰三角形的判定定理求出QD＝BQ是解题的关键．10．【分析】用特殊值法得出答案．【解答】解：方法一、x＝0时，y＝min{0，2，7}＝0．当x＝1时，y＝min{1，3，6}＝1．当x＝2时，y＝min{4，6，5}＝4．当x＝3时，y＝min{9，11，4}＝4．当x＝4时，y＝min{16，6，3}＝3．当x＝2.5时，y＝min{6.25，4.5，4.5}＝4.5．∴y的最大值是．方法二、由图象可得当x＝时，y有最大值＝7﹣＝．故选：D．【点评】本题考查用新定义解决数学问题，理解新定义是求解本题的关键．二、填空题（本大题共8题，每题2分，共16分．）11．【分析】根据比例的性质等式两边都除以2b，即可得出答案．【解答】解：∵2a＝3b，b≠0，∴除以2b，得＝，故答案为：．【点评】本题考查了比例的性质，能选择适当的方法求解是解此题的关键，注意：如果ad＝bc，那么＝．12．【分析】根据“上加下减，左加右减”的法则解答．【解答】解：将抛物线y＝（x﹣1）2+3的图象向右平移1个单位后所得新抛物线的表达式为y＝（x﹣1﹣1）2+3，即y＝（x﹣2）2+3．故答案是：y＝（x﹣2）2+3．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．13．【分析】作BG⊥AC，垂足为G．构造等腰三角形ABC，在直角三角形ABG中，求出AG的长，再乘二即可．【解答】解：作BG⊥AC，垂足为G．∵AB＝BC，∴AG＝CG，∵∠ABC＝120°，∴∠BAC＝30°，∴AG＝AB•cos30°＝2×＝，∴AC＝×2＝2．故答案为2．【点评】本题考查了正多边形和圆，熟悉正六边形的性质是解题的关键．14．【分析】根据该公司销售该种产品1月份及3月份获得的利润，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：依题意得：20（1+x）2＝20+4.2，故答案为：20（1+x）2＝20+4.2．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．15．【分析】直接利用轴对称图形的性质结合概率公式得出答案．【解答】解：只有将②③④中的一个小正方形涂黑，图中的阴影部分才构成轴对称图形，故图中的阴影部分构成轴对称图形的概率为：＝．故答案为：．【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案以及概率公式，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．16．【分析】连接OA，先由垂径定理得AD＝BD＝4（cm），设⊙O的半径为rcm，则OD＝（r﹣2）cm，然后在Rt△AOD中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：连接OA，如图所示：∵半径OC⊥AB，AB＝8cm，∴AD＝BD＝AB＝4（cm），设⊙O的半径为rcm，则OD＝（r﹣2）cm，在Rt△AOD中，由勾股定理得：42+（r﹣2）2＝r2，解得：r＝5，即⊙O的半径为5cm，故答案为：5．【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理等知识；解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．17．【分析】如图，过点A作AH⊥BC于H．利用面积法求出AH，再利用勾股定理求出BH，CH，可得结论．【解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于H．∵AB＝2，BC＝5，＝×2×4＝•BC•AH，∴S△ABC∴AH＝，∴BH＝＝＝，∴CH＝BC﹣BH＝5﹣＝，∴tan∠ACB＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．18．【分析】由折叠的性质可得∠B＝∠AQP，∠DAQ＝∠QAP＝∠PAB，∠DQA＝∠AQR，∠CQP＝∠PQR，∠D＝∠ARQ，∠C＝∠QRP，由平角的性质可得∠D+∠C＝180°，∠AQP＝90°，可证AD∥BC，由平行线的性质可得∠DAB＝90°，由平行四边形和折叠的性质可得AR＝PR，由直角三角形的性质可得AP＝2PB＝2QR，AB＝PB，即可求解．【解答】解：由折叠的性质可得：∠B＝∠AQP，∠DAQ＝∠QAP＝∠PAB，∠DQA＝∠AQR，∠CQP＝∠PQR，∠D＝∠ARQ，∠C＝∠QRP，∵∠QRA+∠QRP＝180°，∴∠D+∠C＝180°，∴AD∥BC，∴∠B+∠DAB＝180°，∵∠DQR+∠CQR＝180°，∴∠DQA+∠CQP＝90°，∴∠AQP＝90°，∴∠B＝∠AQP＝90°，∴∠DAB＝90°，∴∠DAQ＝∠QAP＝∠PAB＝30°，由折叠的性质可得：AD＝AR，CP＝PR，∵四边形APCD是平行四边形，∴AD＝PC，∴AR＝PR，又∵∠AQP＝90°，∴QR＝AP，∵∠PAB＝30°，∠B＝90°，∴AP＝2PB，AB＝PB，∴PB＝QR，∴＝，故答案为：．【点评】本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，直角三角形的性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．三、解答题（本大题共10题，共84分．）19．【分析】（1）根据特殊角的三角函数值分别进行计算，再把所得的结果合并即可；（2）利用配方法求解即可．【解答】解：（1）原式＝2×+4×﹣＝+2﹣＝2；（2）x2﹣8x+3＝0，x2﹣8x＝﹣3，x2﹣8x+16＝﹣3+16，即（x﹣4）2＝13，∴x﹣4＝±，∴x1＝4+，x2＝4﹣．【点评】此题考查了配方法解一元二次方程和特殊角的三角函数值，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．20．【分析】（1）由相似三角形的判定可得出答案；（2）由相似三角形的性质可得出＝，则可得出答案．【解答】（1）证明：∵四边形EFGD是正方形，∴DE＝EF＝DG＝6cm，∠GDE＝∠DEF＝90°，∴∠BDG＝∠CEF＝90°，∵∠B+∠C＝90°，∠C+∠CFE＝90°，∴∠B＝∠CFE，∴△BDG∽△FEC；（2）解：∵△BDG∽△FEC，∴＝，∵EF＝DG＝6，CE＝3，∴＝，解得BD＝12，∴BC＝BD+DE+EC＝12+6+3＝21（cm）．【点评】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明△BDG∽△FEC．21．【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；（2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．【解答】解：（1）甲同学选择《武汉日夜》的概率是，故答案为：；（2）《武汉日夜》、《大红包》、《吉祥如意》三部电影分别用A、B、C表示，列树状图如下：共有9种等可能的情况数，其中甲、乙两名同学恰好选择同一部电影的有3种，则甲、乙两名同学恰好选择同一部电影的概率是＝．【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比，注意此题是放回试验还是不放回试验是解题关键．22．【分析】（1）首先计算出抽查的学生总数，然后再计算a、b的值即可；（2）计算出“常常”所对的人数，然后补全统计图即可；（3）利用样本估计总体的方法计算即可．【解答】解：（1）调查总人数：44÷22%＝200（人），a＝×100%＝12%，b＝×100%＝36%，故答案为：12，36；（2）“常常”所对的人数：200×30%＝60（人），补全统计图如图所示：（3）2000×30%＝600（人），2000×36%＝720（人），答：“常常”对错题进行整理、分析、改正的有600人，“总是”对错题进行整理、分析、改正的有720人．【点评】此题主要考查了条形统计图，关键是读懂统计图，正确从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．23．【分析】作PN⊥BC于N，则四边形ABNP是矩形，得PN＝AB，证出△APM是等腰直角三角形，得AM＝PM＝15m，则PN＝AB＝2AM＝30m，在Rt△PNQ中，由含30°角的直角三角形的性质得NQ＝PN＝10m，PQ＝2NQ≈49m即可．【解答】解：过点P作PN⊥BC于N，如图，则四边形ABNP是矩形，∴PN＝AB，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∵∠APM＝45°，∴△APM是等腰直角三角形，∴AM＝PM＝×30＝15（m），∵M是AB的中点，∴PN＝AB＝2AM＝30m，在Rt△PNQ中，∠NPQ＝90°﹣∠DPQ＝90°﹣60°＝30°，∴NQ＝PN＝10m，PQ＝2NQ＝20≈49（m）；答：小红与爸爸的距离PQ约为49m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题、等腰直角三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识，把实际问题转化为解直角三角形的问题是解题的关键．24．【分析】（1）由题意可证△ADO≌△CDO，可得∠DCO＝∠DAO＝90°，即可证DE是⊙O的切线；（2）由题意可证△CBE∽△ACE，可求BE的长，AB的长，OB的长，OC的长，根据锐角三角函数可求∠COB＝60°，根据线段CE、BE与劣弧BC所围成的图形面积＝△COE 的面积﹣扇形OBC的面积可求解．【解答】证明：（1）连接OC∵AD是⊙O的切线∴∠DAO＝90°∵OC＝OB∴∠OBC＝∠OCB∵OD∥BC∴∠DOC＝∠OCB，∠DOA＝∠OBC∴∠DOA＝∠DOC且AO＝CO，DO＝DO∴△ADO≌△CDO（SAS）∴∠DCO＝∠DAO＝90°∵∠DCO＝90°，OC是半径∴DE是⊙O的切线（2）∵DE是⊙O的切线，BC是弦∴∠ECB＝∠CAB，且∠CEA＝∠CEA∴△CBE∽△ACE∴即∴BE＝2∵AB＝AE﹣BE∴BA＝4∴OB＝2＝AO＝OC∴OE＝4∵sin∠COE＝＝＝∴∠COE＝60°∴线段CE、BE与劣弧BC所围成的图形面积＝×2×2﹣＝2﹣π【点评】本题考查了切线的性质和判定，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，熟练运用相似三角形求线段的长度是本题的关键．25．【分析】①如图1中，∠P即为所求；②如图2中，∠P即为所求；③如图3中，∠EPC即为所求；【解答】解：①如图1中，tan∠P＝1．理由：∵∠P＝∠DOC＝45°，∴tan∠P＝1．∴∠P即为所求；如图2中，tan∠P＝．理由：∵∠P＝∠FAC，∴tan∠P＝tan∠FAC＝＝．∴∠P即为所求．如图3中，tan∠EPC＝2．理由：∵∠E＝∠FAC，PE是直径，∴∠FAC+∠AFC＝90°，∠E+∠EPC＝90°，∴∠AFC＝∠EPC，tan∠EPC＝tan∠AFC＝＝2．∴∠EPC即为所求；【点评】此题考查了圆周角定理与三角函数的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．26．【分析】（1）利用待定系数法求解析式；（2）设日销售利润为w元，分别求出分段函数的中w的最大值，即可求解；（3）先求出每天扣除捐赠后的日销售利润与时间t的关系式，由二次函数的性质列出不等式组，可求解．【解答】解：（1）当0≤t≤40时，设销售单价p（元/kg）与时间t（天）之间的函数关系式为p＝kt+30，∴40＝40t+30，∴t＝，∴p＝t+30，当t＞40时，p＝40，综上所述：p＝；（2）设日销售利润为w元，当0≤t≤40时，w＝（p﹣20）•y＝（t+10）（﹣2t+120）＝﹣（t﹣10）2+1250，∴当t＝10时，w有最大值为1250元，当t＞40时，w＝（p﹣20）•y＝20（﹣2t+120）＝﹣40t+2400＜800，∴第10天时，最大日销售利润为1250元；（3）∵w＝（p﹣20﹣n）（﹣2t+120）＝﹣t2+（2n+10）t+1200﹣120n，∴a＝﹣，对称轴为x＝2n+10，∵每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，∴∴＜n＜9【点评】本题考查了二次函数的应用，熟练运用二次函数的性质是本题的关键．27．【分析】（1）函数的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3），将点D坐标代入上式，即可求解；＝×OG（x D﹣x P）＝（3+2m）（2﹣m）＝﹣m2+m+3，即可求解；（2）S△POD（3）分∠ACB＝∠BOQ、∠BAC＝∠BOQ，两种情况分别求解，通过角的关系，确定直线OQ倾斜角，进而求解．【解答】解：（1）函数的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3），将点D坐标代入上式并解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3…①；（2）设点P（m，m2﹣2m﹣3），①当点P在第三象限时，设直线PD与y轴交于点G，设点P（m，m2﹣2m﹣3），将点P、D的坐标代入一次函数表达式：y＝sx+t并解得：直线PD的表达式为：y＝mx﹣3﹣2m，则OG＝3+2m，S△POD＝×OG（x D﹣x P）＝（3+2m）（2﹣m）＝﹣m2+m+3，②当点P在第四象限时，设PD交y轴于点M，＝×OH（x D﹣x P）＝﹣m2+m+3，同理可得：S△POD＝﹣m2+m+3，综上，S△POD有最大值，当m＝时，其最大值为；∵﹣1＜0，故S△POD（3）∵OB＝OC＝3，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵∠ABC＝∠OBE，故△OBE与△ABC相似时，分为两种情况：①当∠ACB＝∠BOQ时，AB＝4，BC＝3，AC＝，过点A作AH⊥BC于点H，S△ABC＝×AH×BC＝AB×OC，解得：AH＝2，则sin∠ACB＝＝，则tan∠ACB＝2，则直线OQ的表达式为：y＝﹣2x…②，联立①②并解得：x＝或﹣，故点Q（，﹣2）或（﹣，2），②∠BAC＝∠BOQ时，tan∠BAC＝＝3＝tan∠BOQ，则点Q（n，﹣3n），则直线OQ的表达式为：y＝﹣3x…③，联立①③并解得：x＝，故点Q（，）或（，）；综上，当△OBE与△ABC相似时，Q的坐标为：（，﹣2）或（﹣，2）或（，）或（，）．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、三角形相似、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．28．【分析】（1）连接OP，根据圆心角、弧、弦之间的关系定理求出∠ABP，根据三角函数的定义求出AP、PB，根据角平分线的性质定理得到CE＝CF，根据三角形的面积公式计算即可；（2）①在DF上取点A′，使FA′＝EA，证明四边形PEDF是正方形，根据正方形的性质得到∠APE+∠BPF＝90°，∠PEA＝∠PFB＝90°，根据三角形的面积公式计算得出y与x之间的函数关系式；②根据勾股定理求出A′B，根据三角形的面积公式计算，得到答案．【解答】解：（1）如图1，连接OP，∵AB是⊙O的直径，＝2，∴∠AOP＝×180°＝60°，由圆周角定理得：∠ABP＝∠AOP＝30°，在Rt△APB中，∠ABP＝30°，AB＝8，∴AP＝AB＝4，PB＝AB•cos∠ABP＝8×cos30°＝4，∵CP平分∠APB，CE⊥AP，CF⊥BP，∴CE＝CF，＝S△ACP+S△BCP，∵S△APB∴×AP×BP＝×AP×CE+×CF×BP，即×4×4＝×4×CF+×4×CF，解得：CF＝6﹣2；（2）①∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵PE⊥AD，PF⊥BD，∴四边形PEDF是矩形，∵CA＝CB，∴＝，∴∠ADC＝∠BDC，∴CD平分∠ADB，∵PE⊥AD，PF⊥BD，∴PE＝PF，∴矩形PEDF是正方形，∴∠APE+∠BPF＝90°，∠PEA＝∠PFB＝90°，在DF上取点A′，使FA′＝EA，则Rt△APE≌Rt△A′PF，∴∠APE＝∠A′PF，A′P＝AP＝x，∴∠A′PF+∠BPF＝90°，即∠A′PB＝90°，+S△BPF＝S△A′PB＝×A′P×PB＝x（70﹣x），∵S△P AE在Rt△ACB中，AC＝BC＝AB＝×70＝35，＝×AC×BC＝×35×35＝1225，∴S△ACB+S△BPF+S△ACB＝x（70﹣x）+1225＝﹣x2+35x+1225；∴y＝S△P AE②当AP＝30m时，A′P＝30m，PB＝AB﹣AP＝70﹣30＝40（m），在Rt△A′PB中，由勾股定理得：A′B＝＝＝50（m），＝×A′P×PB＝×A′B×PF，∵S△A′PB∴×30×40＝×50×PF，解得：PF＝24，＝PF2＝242＝576（m2），∴S四边形PEDF∴当AP＝30m时．室内活动区（四边形PEDF）的面积为576m2．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦之间的关系定理、圆周角定理、勾股定理、正方形的判定与性质、角平分线的性质、锐角三角函数定义、三角形面积与正方形面积的计算，熟练掌握圆周角定理和正方形的判定与性质是解题的关键．。
江苏省无锡市锡山区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题
江苏省无锡市锡山区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________11．若α为锐角，且tanα=1，则α=度17．请写出一个二次函数的表达式，使它满足以下两个条件：①图像经过原点；②函数三、解答题19．解方程：(1)2x-=；(2)9(2)2450+-=．x x20．已知关于x 的方程：2230x kx k -+-=．(1)若该方程有一个根是2，求该方程的另一个根；(2)证明：无论k 取何值，该方程总有实数根．21．如图，Rt ABC △中，90B ∠=︒，点D 在边AC 上，且DE AC ⊥交BC 于点E ．(1)求证：CDE CBA V V ∽；(2)若35AB AC ==，，E 是BC 中点，求DE 的长．22．随着中考临近，某校九年级学生小刚和小明决定从试题库中提供的三套数学试题（依次记为A 、B 、C ）中，随机抽取一套试题进行模拟测试．(1)小刚从这三套试题中随机抽取一套，恰好抽到A 试题的概率为；(2)小刚和小明各自从这三套试题中随机抽取一套，且所抽取的试题互不影响，求他们抽取到同一套试题的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）23．某大型科技公司上半年新招聘软件、硬件、总线、测试四类专业的毕业生，现随机调查了m 名新聘毕业生的专业情况，并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图．请根据统计图提供的信息，解答下列问题．(1)m = _______，n = _______；(2)请补全条形统计图；(3)若该公司新招聘400名毕业生，请你估计“总线”专业的毕业生约有多少名？ 24．如图，在平面直角坐标系中，线段AB 交x 轴于点D ，请在x 轴上找一点 C （点C 在点D 的左侧），使30BAC ∠=︒．(1)利用无刻度的直尺和圆规在图中作出符合条件的点C ；（不写作法，保留作图痕迹）(2)若点A 的坐标为()1,3，点 B 的坐标为()5,1-，连接BC ，则ABC V 的面积为． 25．如图，四边形ABCD 是O e 的内接四边形，且AC BD ⊥，垂足为E AB DB F =，，为DC 延长线上一点．(1)求证：BC 平分ACF ∠；(2)若32BE DE ==，，求AE 和O e 的半径长．26．某商场出售一种衣服，进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映，如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件：每降价1元，每星期可多卖出20件．(1)求每件衣服涨价多少元时，商场的利润为6250元；(2)若采取降价的方式出售，每星期能否达到6250元的利润？若能，请求出每件降价多少元：若不能，请说明理由．27．如图，在矩形ABCD 中，12AB =，7AD =，点E 为AD 边上的一点，且2AE =，点F 为线段AB 上的动点，设AF x =．现将AEF △沿EF 翻折得到A EF '△，过点F 作PF AB ⊥交EA '的延长线于点P ．(1)当x ＝时，点P 落在CD 边上；(2)设PF 的长为y ，求y 关于x 的函数表达式；(3)PA F 'V 与矩形ABCD 的重叠部分面积为S ，求S 关于x 的函数表达式．28．已知二次函数()2240y ax ax a =+->的图像与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且3OA OB =．(1)求该二次函数的表达式；(2)连接AC ，作BAC ∠的角平分线交抛物线于点D ，求点D 的坐标；(3)在（2）的情况下，若点E 为抛物线的顶点，作直线OE ，将抛物线沿直线OE 平移，点E 平移后的对应点为F ，过点D 作x 轴的垂线与平移后的抛物线交于点G ．在平移过程中，是否存在这样的点F ，使得由三个点D 、G 、F 构成的三角形为直角三角形？若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．。
2023届江苏省无锡锡山区锡东片九年级数学第一学期期末综合测试试题含解析
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题（每题4分，共48分）1．甲、乙、丙、丁四位选手各10次射击成绩的平均数和方差如下表： 选 手甲 乙 丙 丁 平均数(环)9.2 9.2 9.2 9.2 方差(环2)0.0350.0150.0250.027则这四人中成绩发挥最稳定的是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁2．如图，正方形ABCD 中，4AB cm =，以C 为圆心，1cm 长为半径画C ，点P 在C 上移动，连接BP ，并将BP 绕点B 逆时针旋转90︒至BP '，连接CP '．在点P 移动的过程中，CP '长度的最小值是（ ）A ．422B ．321C ．321D ．4213．在一个不透明的盒子中装有8个白球,若于个黄球,它们除颜色不同外,其余均相同.若从中随机摸出一个球,它是白球的概率为23,则黄球的个数为( ) A ．2B ．4C ．12D ．164．一个菱形的边长是方程28150x x -+=的一个根，其中一条对角线长为8，则该菱形的面积为（ ） A ．48B ．24C ．24或40D ．48或805．如图所示，在边长为1的小正方形网格中，两个三角形是位似图形，则它们的位似中心是（ ）A ．点OB ．点PC ．点MD ．点N6．如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 在坐标原点，边OA 在x 轴上，OC 在y 轴上，且点B 的坐标为（6，4），如果矩形OA′B′C′与矩形OABC 关于点O 位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC 面积的14，那么点B′的坐标是（ ）A ．（3，2）B ．（－2，－3）C ．（2，3）或（－2，－3）D ．（3，2）或（－3，－2）7．已知,8,6ABC A B C AB A B ∆∆'''=''=∽，则BCB C =''（ ） A ．2B ．43C ．3D ．1698．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，BC ＝3，则tan A ＝（ ）A ．23B ．32C ．21313D ．313139．二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）和正比例函数y=23x 的图象如图所示，则方程ax 2+（b ﹣23）x+c =0（a≠0）的两根之和（ ）A ．大于0B ．等于0C ．小于0D ．不能确定10．一次函数y ＝（k ﹣1）x +3的图象经过点（﹣2，1），则k 的值是（ ） A ．﹣1B ．2C ．1D ．011．在平面直角坐标系中，以原点为旋转中心，把A(3，4)逆时针旋转180°，得到点B,则点B 的坐标为（） A ．(4，－3)B ．(－4，3)C ．(－3，4)D ．(－3，－4)12．将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形AECF ，若AB=3，则菱形AECF 的面积为（ ）A ．1B ．22C ．23D ．4二、填空题（每题4分，共24分）13．若二次函数2241y x x =--的图象与x 轴交于A ()1x ，０，B ()x ２，０两点，则1211x x +的值为______． 14．如图，A ，B ，C 是⊙O 上三点，∠AOC =∠B ，则∠B =_______度．15．已知点(,)P m n 在直线2y x =-+上，也在双曲线1y x=-上，则m 2+n 2的值为______． 16．某中学为了了解学生数学课程的学习情况，在3000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如图)．根据频率分布直方图推测，这3000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是________．17．从一副没有“大小王”的扑克牌中随机抽取一张，点数为“6”的概率是________．18．在函数y＝42xx--+（x﹣5）﹣1中，自变量x的取值范围是_____．三、解答题（共78分）19．（8分）为了维护国家主权，海军舰队对我国领海例行巡逻．如图，正在执行巡航任务的舰队以每小时50海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔在北偏东30°方向上．（1）求∠APB的度数．（2）已知在灯塔P的周围40海里范围内有暗礁，问舰队继续向正东方向航行是否安全？20．（8分）我市某中学艺术节期间，向全校学生征集书画作品．九年级美术王老师从全年级14个班中随机抽取了4个班，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了如下两幅不完整的统计图．（1）王老师采取的调查方式是（填“普查”或“抽样调查”），王老师所调查的4个班征集到作品共件，其中b班征集到作品件，请把图2补充完整；（2）王老师所调查的四个班平均每个班征集作品多少件？请估计全年级共征集到作品多少件？（3）如果全年级参展作品中有5件获得一等奖，其中有3名作者是男生，2名作者是女生．现在要在其中抽两人去参加学校总结表彰座谈会，请直接写出恰好抽中一男一女的概率．21．（8分）小昆和小明玩摸牌游戏，游戏规则如下：有3张背面完全相同，牌面标有数字1、2、3的纸牌，将纸牌洗匀后背面朝上放在桌面上，随机抽出一张，记下牌面数字，放回后洗匀再随机抽出一张．（1）请用画树形图或列表的方法（只选其中一种），表示出两次抽出的纸牌数字可能出现的所有结果；（2）若规定：两次抽出的纸牌数字之和为奇数，则小昆获胜，两次抽出的纸牌数字之和为偶数，则小明获胜，这个游戏公平吗？为什么？22．（10分）如图，一次函数1122y x =+和反比例函数2(0)ky k x=≠的图象相交于,A B 两点，点A 的横坐标为1．（1）求k 的值及A ，B 两点的坐标 （1）当12y y >时，求x 的取值范围．23．（10分）某商场销售一种成本为每件30元的商品，销售过程中发现，每月销售量y （件）与销售单价x （元）之间的关系可近似看作一次函数10600y x =-+．商场销售该商品每月获得利润为W （元）． （1）求W 与x 之间的函数关系式；（2）如果商场销售该商品每月想要获得2000元的利润，那么每件商品的销售单价应为多少元？ （3）商场每月要获得最大的利润，该商品的销售单价应为多少？24．（10分）如图，已知⊙O 的半径为5 cm ，弦AB 的长为8 cm ，P 是AB 延长线上一点，BP ＝2 cm ，求cos P 的值．25．（12分）如图，△ABC 中（1）请你利用无刻度的直尺和圆规在平面内画出满足PB 2＋PC 2＝BC 2的所有点P 构成的图形，并在所作图形上用尺规确定到边AC 、BC 距离相等的点P ．（作图必须保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，连接BP ，若BC ＝15，AC ＝14，AB ＝13，求BP 的长．26．为了丰富校园文化生活，提高学生的综合素质，促进中学生全面发展，学校开展了多种社团活动．小明喜欢的社团有：合唱社团、足球社团、书法社团、科技社团（分别用字母A ，B ，C ，D 依次表示这四个社团），并把这四个字母分别写在四张完全相同的不透明的卡片的正面上，然后将这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．（1）小明从中随机抽取一张卡片是足球社团B的概率是．（2）小明先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母后不放回，再从剩余的卡片中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母．请你用列表法或画树状图法求出小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团D的概率．参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、B【解析】在平均数相同时方差越小则数据波动越小说明数据越稳定，2、D【分析】通过画图发现，点D'的运动路线为以A为圆心、1为半径的圆，当D'在对角线CA上时，C D'最小，先证明△PBC≌△D'BA，则D'A=PC=1，再利用勾股定理求对角线CA的长，则得出C D'的长．【详解】如图，当D'在对角线CA上时，C D'最小，连接CP，由旋转得：BP=B D'，∠PB D'=90°，∴∠PBC+∠CB D'=90°，∵四边形ABCD为正方形，∴BC=BA，∠ABC=90°，∴∠AB D'+∠CB D'=90°，∴∠PBC=∠AB D'，在△PBC和△D'BA中，BC BA PBC BA BP B ''=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△PBC ≌△D 'BA ， ∴D 'A=PC=1，在Rt △ABC 中，AB=BC=4，由勾股定理得：A C ==∴C D '=AC-D 'A=1， 即C D '长度的最小值为1， 故选：D ． 【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质和最小值问题，寻找点D '的运动轨迹是本题的关键． 3、B【分析】根据题意可知摸出白球的概率=白球个数÷白球与黄球的和，代入求x 即可. 【详解】解：设黄球个数为x,∵在一个不透明的盒子中装有8个白球,若干个黄球,它们除颜色不同外,其余均相同.若从中随机摸出一个球,它是白球的概率为23, ∴23=8÷(8+x) ∴x=4，经检验x=4是分式方程的解， 故选：B 【点睛】本题考查的是利用频率估计概率，正确理解题意是解题的关键. 4、B【解析】利用因式分解法解方程得到x1=5，x2=3，利用菱形的对角线互相垂直平分和三角形三边的关系得到菱形的边长为5，利用勾股定理计算出菱形的另一条对角线为6，然后计算菱形的面积． 【详解】解：()()530x x --=， 所以15x =，23x =， ∵菱形一条对角线长为8，∴菱形的边长为5，∴菱形的另一条对角线为222546-=，∴菱形的面积16824 2=⨯⨯=．故选：B．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了三角形三边的关系．也考查了三角形三边的关系和菱形的性质．5、B【分析】根据位似变换的定义：对应点的连线交于一点，交点就是位似中心．即位似中心一定在对应点的连线上．【详解】解：位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上，点M、N为对应点，所以位似中心(如图)在M、N 所在的直线上，点P在直线MN上，所以点P为位似中心．故选：B．【点睛】此题主要考查了位似变换的性质，利用位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上，点M、N为对应点，得出位似中心在M、N所在的直线上是解题关键．6、D【分析】利用位似图形的性质得出位似比，进而得出对应点的坐标．【详解】解：∵矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的14，∴两矩形面积的相似比为：1：2，∵B的坐标是（6，4），∴点B′的坐标是：（3，2）或（-3，-2）．故选：D．【点睛】此题主要考查了位似变换的性质，得出位似图形对应点坐标性质是解题关键．7、B【解析】直接利用相似三角形的性质求解． 【详解】∵△ABC ∽△A′B′C′, ∴````AB BCA B B C = 又∵AB ＝8，A ’B ’＝6， ∴BC B C ''=43. 故选B. 【点睛】此题考查相似三角形的性质，难度不大 8、B【分析】根据正切的定义tan aA b=计算，得到答案． 【详解】在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，3tan 2BC A AC ==，故选：B ． 【点睛】本题考查正切的计算，熟知直角三角形中正切的表示是解题的关键. 9、A【解析】试题分析：设ax 2+bx+c=1（a≠1）的两根为x 1，x 2，由二次函数的图象可知x1+x2＞1，a ＞1，设方程ax 2+（b ﹣）x+c=1（a≠1）的两根为a ，b 再根据根与系数的关系即可得出结论．设ax 2+bx+c=1（a≠1）的两根为x 1，x 2， ∵由二次函数的图象可知x 1+x 2＞1，a ＞1， ∴﹣＞1．设方程ax 2+（b ﹣）x+c=1（a≠1）的两根为a ，b ，则a+b=﹣=﹣+， ∵a ＞1， ∴＞1，∴a+b ＞1．考点：抛物线与x 轴的交点 10、B【分析】函数经过点（﹣1，1），把点的坐标代入解析式，即可求得k 的值． 【详解】解：根据题意得：﹣1（k ﹣1）+3＝1， 解得：k ＝1． 故选B ． 【点睛】本题主要考查了函数的解析式与图象的关系，满足解析式的点一定在图象上，图象上的点一定满足函数解析式． 11、D【分析】由题意可知点B与点A关于原点O中心对称，根据关于原点对称，横纵坐标均互为相反数可得B点坐标. 【详解】解：因为点B是以原点为旋转中心，把A(3，4)逆时针旋转180°得到的，所以点B与点A关于原点O中心对B--.称，所以点(3,4)故选：D【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中的点对称，理解中心对称的定义是解题的关键.12、C【分析】根据菱形AECF，得∠FCO=∠ECO，再利用∠ECO=∠ECB，可通过折叠的性质，结合直角三角形勾股定理求得BC的长，则利用菱形的面积公式即可求解．【详解】解：∵四边形AECF是菱形，AB=3，∴假设BE=x，则AE=3﹣x，CE=3﹣x，∵四边形AECF是菱形，∴∠FCO=∠ECO，∵∠ECO=∠ECB，∴∠ECO=∠ECB=∠FCO=30°，2BE=CE，∴CE=2x，∴2x=3﹣x，解得：x=1，∴CE=2，利用勾股定理得出：BC2+BE2=EC2，BC=22-=22EC BE21-=3，又∵AE=AB﹣BE=3﹣1=2，则菱形的面积是：AEBC=23．故选C．【点睛】本题考查折叠问题以及勾股定理．解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．二、填空题（每题4分，共24分） 13、﹣4【解析】与x 轴的交点的家横坐标就是求y=0时根，再根据求根公式或根与系数的关系，求出两根之和与两根之积。
无锡市锡山区九年级上册期末考试数学试题有答案【最新】.doc
第一学期期末考试试卷初三数学说明：本卷满分130分，用时120分钟，解答结果除特殊要求外均取精确值，可使用计算器．一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分．）1.下列方程是一元二次方程的是 （ ▲ ）A ．026=+-xB ．0122=+-y x C ．022=+x x D ．212=+x x 2．一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中3个红球，4个白球，从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是 （ ▲ ）A ．37B ．47C ．34D ．133.把抛物线y =122 向下平移2个单位，得到抛物线解析式为( ▲ )A ．y =122+2B ．y =122-2C ．y =12( +2)2D ．y =12( -2)24．已知圆锥的底面半径为6，母线长为8，圆锥的侧面积为 （ ▲ ） A ．60 B ．48 C ．60π D ． 48π5．如图,点P 是△ABC 边AB 上一点（AB ＞AC ），下列条件不一定能使△ACP ∽△ABC 的是（ ▲ ） A.∠ACP ＝∠B B.∠APC ＝∠ACB C.AC AP AB AC = D.ABACBC PC =6．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，连接OC 交⊙O 于点D ，连接BD ，∠B ＝25º，则∠C的度数是 （ ▲ ） A . 40º B . 50º C .30º D .65º7．如图,在5×5正方形网格中，一条圆弧过点A ，B ，C ，则这条圆弧所在圆的圆心是 （ ▲ ）A ．点PB ．点QC ．点RD ．点M8.如图，港口A 在观测站O 的正东方向，OA =4m ，某船从港口A 出发，沿北偏东15°方向航行一段距离（第6题）（第8题）MRQA BCP （第7题）PCBA（第5题）（▲）A．()13+ m B．32 m C ．22 m D．4 m9.如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠B=30°，CE平分∠ACB交⊙O于E，交AB于点D，连接AE，则S△ADE：S△CDB的值等于（▲）A．1：2B．1：3C．1：2 D．2：310.某超市在迎新年促销活动中，推出一种长方体巧克力礼盒，内装两个上下倒置的精品巧克力，且互不挤压，每个高为4cm，底面是个直径为6cm的圆，横截面可以近似地看作一个抛物线，为了美观和节省成本，长方体上底面为玻璃纸，其余各面为纸板，包装要尽可能的小，那么要制作这样一个包装盒至少要纸板（▲）.（图3为俯视图，结果保留一位小数，不计重合部分）A. 252.9 cm2B.288.6 cm2C.191.4 cm2D.206.3 cm2（第10题）二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分.不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在题中的横线上）11.已知2a=3b，则ab的值为▲.12.抛物线y＝(-2)2+3的顶点坐标是▲ .13.已知⊙O的弦AB＝8cm，圆心O到弦AB的距离为3cm，则⊙O的半径为▲cm．14.已知一组数据1,3,5,7，则该组数据的方差S2= ▲.15.如图，在边长为1的正方形格点图中，B、D、E为格点，则∠BAC的正切值为▲．16.如图，正六边形ABCDEF的内切圆和外接圆半径之比为▲.（第17题）A BCDEF（第16题）(第15题)（第9题）(第18题)AC B第一象限，当OA =AB 时，点A 的坐标为 ▲ .18.如图，在平行四边形ABCD 中，BC ＝1，对角线AC ⊥BC ，∠BAC=30°．P 为射线CD 上一点，且AP ＝AB ．则点P 到AC 所在直线的距离是 ▲ .三、解答题（本大题共10小题，共84分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19. 计算（本题满分8分）(1) 2-2 +12 –tan60°（2）(2-y )2 ＋ (＋y )(-y ) .20.解方程（本题满分8分）(1) 2－2－2＝0； (2) 解不等式组：⎩⎨⎧->+≥+33)1(232x x x ．21.（本题满分6分） 某中学举行数学知识竞赛，分别设有一、二、三等奖和纪念奖，获奖情况已汇制成如图所示的两幅不完整的统计图，根据图中所示信息解答下列问题： （1）二等奖所占的比例是多少？（2）这次数学知识竞赛获二等奖人数是多少？ （3）请将条形统计图补充完整；22.（本题满分8分）甲、乙两个袋中均装有三张除数值外完全相同的卡片，甲袋中的三张卡片上所标的三个数值分别为－7，－1，3，乙袋中的三张卡片所标的数值分别为－2，1，6，先从甲袋中随机取出一张卡片，用表示取出的卡片上的数值，再从乙袋中随机取出一张卡片，用y 表示取出卡片上的数(1)用列表或画树形图的方法写出点A （，y ）的所有情况； (2)求点A 落在直线y ＝2上的概率．23. （本题满分8分）已知：如图，△ABC 中，AC ＝BC ，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，交BC 的延长线于点F ． 求证：（1）AD ＝BD ；（2）DF 是⊙O 的切线．FEDCBAO24（本题满分8分）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =4，AC =3，线段AB 为半圆O 的直径，将Rt △ABC 沿射线AB 方向平移，使斜边与半圆O 相切于点G ，得△DEF ，DF 与BC 交于点H ． （1）求BE 的长；（2）求Rt △ABC 与△DEF 重叠（阴影）部分的面积．25. （本题满分8分）要在一块长52m ，宽48m 的矩形绿地上，修建同样宽的两条互相垂直的甬路.下面分别是小亮和小颖的设计方案. （1） 求小亮设计方案中甬路的宽度（2）求小颖设计方案中四块绿地的总面积（友情提示：小颖设计方案中的与小亮设计方案中的取值相同）26．（本题满分10分）“4·20”雅安地震后，某商家为支援灾区人民，计划捐赠帐篷16800顶，该商家备有2辆大货车、8辆小货车运送，计划大货车比小货车每辆每次多运帐篷200顶，大、小货车每天均运送一次，两天恰好运完．（1）求大、小货车原计划每辆每次各运送帐篷多少顶？（2）因地震导致路基受损，实际运送过程中，每辆大货车每次比原计划少运200m顶，每辆小货车每次比原计划少运300顶．为了尽快将帐篷运送到灾区，大货车每天比原计划多跑12m次，小货车每天比原计划多跑m次，一天刚好运送了帐篷14400顶，求m的值．27. （本题满分10分）如图1，抛物线y=－232+b +c 与轴相交于点A 、C ，与y 轴相交于点B ，连接AB ，BC ，点A 的坐标为(2,0)，tan ∠BAO =2.以线段BC 为直径作⊙M 交AB 于点D .过点B 作直线l ∥AC ，与抛物线和⊙M 的另一个交点分别是E 、F . (1)求该抛物线的函数表达式； (2)求点C 的坐标和线段EF 的长；(3)如图2，连接CD 并延长，交直线l 于点N ，在BC 上方的抛物线上能否找到点P ，使得△PBC 与△BNC 面积之比为15，如有，请求出点P 的坐标，如没有，则说明理由。
锡山区初三期末数学试卷
一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列各数中，属于无理数的是（）A. √9B. 0.1010010001...C. -√16D. 3/42. 已知等腰三角形ABC中，AB=AC，AD为底边BC上的高，若∠BAC=30°，则∠BAD的度数是（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°3. 下列函数中，是二次函数的是（）A. y=3x+2B. y=x²-4x+7C. y=2x³-3x²+4x-1D. y=√x4. 若m，n是方程x²-3x+2=0的两根，则m+n的值是（）A. 2B. 3C. 4D. 55. 在平面直角坐标系中，点A（-2，3），点B（4，-1），则线段AB的中点坐标是（）A. (1, 1)B. (1, 2)C. (2, 1)D. (2, 2)6. 已知正方体的对角线长为a，则正方体的体积V是（）A. a²B. a³C. a²/2D. a/27. 若a，b，c是等差数列，且a+b+c=12，则b的值是（）A. 3B. 4C. 5D. 68. 在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，则∠C的度数是（）A. 75°B. 90°C. 105°D. 120°9. 下列命题中，正确的是（）A. 若a>b，则a²>b²B. 若a>b，则a-c>b-cC. 若a>b，则a/c>b/c（c>0）D. 若a>b，则ac²>bc²（c>0）10. 若函数f(x)=x²+2x-3，则f(-3)的值是（）A. 0B. 1C. 4D. 6二、填空题（每题3分，共30分）11. 已知方程x²-5x+6=0的两根分别为m和n，则m+n的值是______。
数学锡山区期末试卷初三
一、选择题（每题4分，共20分）1. 下列各数中，有理数是（）A. √16B. πC. -√9D. 0.1010010001…2. 已知a=2，b=-3，则a² - 2ab + b²的值为（）A. 1B. -1C. 0D. 93. 在直角坐标系中，点P（-2，3）关于x轴的对称点的坐标是（）A.（-2，-3）B.（2，3）C.（-2，3）D.（2，-3）4. 若x² + 2x - 3 = 0，则x的值为（）A. 1或-3B. 1或3C. -1或3D. -1或-35. 在等腰三角形ABC中，AB=AC，若∠BAC=40°，则∠ABC的度数是（）A. 40°B. 50°C. 70°D. 80°二、填空题（每题5分，共25分）6. 若（x+2）² - 3（x+2）+ 2 = 0，则x的值为______。
7. 已知a，b是方程x² - 5x + 6 = 0的两根，则a+b的值为______。
8. 在等边三角形ABC中，若AB=AC=BC，则∠B的度数是______。
9. 若sin∠A = 0.8，且∠A为锐角，则∠A的度数是______。
10. 在一次函数y=kx+b中，若k=2，b=-1，则函数的图像与y轴的交点坐标是______。
三、解答题（每题10分，共30分）11. 解方程：2x² - 5x - 3 = 0。
12. 已知函数y=3x - 2，求函数的图像与x轴、y轴的交点坐标。
13. 在等腰三角形ABC中，AB=AC，若∠BAC=70°，求∠ABC的度数。
四、应用题（每题15分，共30分）14. 小明从家到学校需要经过一段上坡路，已知上坡路的长度为200米，小明上坡时的速度为每分钟20米，下坡时的速度为每分钟30米。
求小明上坡和下坡分别需要多少时间？15. 某工厂生产一批产品，已知生产一批产品需要工人甲和乙合作3天，若只由甲单独生产需要5天，只由乙单独生产需要7天。
江苏省无锡市锡山区锡山高级中学实验学校2022-2023学年九年级上学期期末数学试题
江苏省无锡市锡山区锡山高级中学实验学校2022-2023学年九年级上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．12-的倒数是（ ） A ．-2 B ．2 C ．12- D ．122．下列计算结果正确的是（ ）A ．()326m m -=B ．448m m m +=C ．632m m m ÷=D ．268m m m ⋅=3．有4张卡片（形状、大小、质地都相同），上面分别画有下列图形：①平行四边形，①菱形，①矩形，①正方形，将卡片背面朝上洗匀，从中抽取一张，正面图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是（ ）A ．14B ．12 C ．34 D ．14．在平面直角坐标系中，点()2,3A --位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．某篮球运动员在连续7场比赛中的得分（单位：分）依次为20，18，23，17，20，20，18，则这组数据的众数与中位数分别是（ ）A ．18分，17分B ．20分，17分C ．20分，19分D ．20分，20分 6．如图，已知AB DF ∥，DE 和AC 分别平分CDF ∠和BAE ∠，若46DEA ∠=︒，56ACD ∠=︒，则CDF ∠的度数为（ ）A ．22︒B ．33︒C ．44︒D ．55︒7．《孙子算经》中有一道题，原文是“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长x 尺，绳长y 尺，可列方程组为（ ）A ． 4.5112x y x y =+⎧⎪⎨=+⎪⎩B ． 4.5112y x y x =+⎧⎪⎨=+⎪⎩ C ． 4.5112x y x y =+⎧⎪⎨=-⎪⎩ D ． 4.5112y x y x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩ 8．已知点()1,2A x -，()2,1B x -，()3,1C x 都在反比例函数()0k y k x =<的图像上，则1x ，2x ，3x 的大小关系是（ ）A ．312x x x <<B ．213x x x <<C ．132x x x <<D ．123x x x <<9．如图，直线15y x =-与双曲线()0,0k y k x x =<<交于点A ，将直线15y x =-向上平移1个单位长度后，与y 轴交于C ，与双曲线交于B ，若23OA BC =，则k 的值为（ ）A ．180169-B ．－7C ．365-D ．353- 10．如图，正方形ABCD的边长为EF 经过正方形的中心O ，并能绕着O 转动，分别交AB 、CD 边于E 、F 点，过点B 作直线EF 的垂线BG ，垂足为点G ，连接AG ，则AG 长的最小值为（ ）AB1 CD1二、填空题11．分解因式：2216a b -=______．12．2019年江苏省粮食总产达40540000吨，居全国第四位．用科学记数法表示40540000是______．13．若正多边形的一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是_______． 14．已知方程2202310x x -+=的两根分别为1x 、2x ，则12x x +的值为______． 15．对于抛物线22y ax ax =+，当1x =时，0y >，则这条抛物线的顶点一定在第______象限．16．已知圆锥的母线与高的夹角为30°，母线长为4cm ，则它的底面半径为______cm ，全面积是______2cm （结果保留π）17．如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，90ABC ∠=︒，463AB BC AD ===，，，E 为对角线BD 上的动点，点F 在边AB 上．连接AE EF EC 、、，记AEF △的面积为1S ，BCE 的面积为2S ，若1213S S =，则BF 长为______．18．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD 与正方形EFGH ．连结BD 交AF CH 、于点M 、N ．若DE 平分ADB ∠，现随机向该图形内掷一枚小针，则BG CG=______，针尖落在阴影区域的概率为______．三、解答题19．计算：()10120156tan 302π-⎛⎫-+-︒ ⎪⎝⎭； (2)()()22141a a a +--20．（1）解方程：2440x x --=；（2）解不等式组：()21571023x x x x ⎧+>-⎪⎨+>⎪⎩21．如图是边长为1的正方形网格，每个小正方形的顶点叫格点，ABC 的顶点都在格点上．仅用无刻度的直尺，按要求画出下列图形．(1)ABC 的周长为______；(2)如图，点D 、P 分别是AB 与竖格线和横格线的交点，画出点P 关于过点D 竖格线的对称点Q ；(3)请在图中画出ABC 的角平分线BE ．22．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 为AD 的中点，延长CE 交BA 的延长线于点F ．（1）求证：AB ＝AF ；（2）若BC ＝2AB ，①BCD ＝100°，求①ABE 的度数．23．“低碳环保，你我同行”，两年来，南京市区的公共自行车给市民出行带来切实方便，电视台记者在某区街头随机选取了市民进行调查，调查的问题是“您大概多九使用一次公共自行车？”，将本次调查结果归为四种情况：A 每天都用；B 经常使用；C 偶尔使用；D 从未使用．将这次调查情况整理并绘制如下两幅统计图：根据图中的信息，解答下列问题：（1）本次活动共有 位市民参与调查；（2）补全条形统计图；（3）根据统计结果，若该区有46万市民，请估算每天都用公共自行车的市民约有多少人？24．随着高铁、地铁的大量兴建以及铁路的改扩建，人们的出行方式越来越多，出行越来越便捷．为保障旅客快捷、安全的出入车站，每个车站都修建了如图所示的出入闸口．某车站有四个出入闸口，分别记为A ，B ，C ，D ．(1)一名乘客通过该站闸口时，选择B 闸口通过的概率是___；(2)当两名乘客通过该站闸口时，请用画树状图或列表法求这两名乘客选择不同闸口通过的概率．25．如图，已知①O 是Rt ACB 的外接圆，过点O 作OD BC ⊥于点D ，作BCE BOD ∠=∠交AB 延长线于点E ．(1)求证：CE 是①O 的切线；(2)若tan ∠=BCE BE =CE 的长． 26．六月是水蜜桃大量上市的季节，某果农在销售时发现：若水蜜桃的售价为15元/千克，则日销售量为50千克，若售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克，现设水蜜桃售价为x 元/千克（x ≥15，且x 为正整数）．(1)若某日销售量为40千克，则该日水蜜桃的单价为多少元？(2)若政府将销售价格定为不超过30元/千克，设每日销售额为W 元，求W 关于x 的函数表达式，并求W 的最大值和最小值；(3)为更好地促进果农的种植积极性，市政府加大对果农的补贴，每日给果农补贴a 元后（a 为正整数），果农发现最大日收入（日收入＝销售额+政府补贴）还是不超过910元，并且只有5种不同的单价使日收入不少于900元，请直接写出所有符合题意的a 的值． 27．如图，已知矩形ABCD 中，E 是边AD 上一点，将BDE 沿BE 折叠得到BFE △，连接DF ．(1)如图1，BF 落在直线BA 上时，求证DFA BEA ∽；(2)如图2，当AD AB=BF 与边AD 相交时，在BE 上取一点G ，使BAG DAF ∠=∠，AG 与BF 交于点H ，①求AF AG的值； ①当E 是AD 的中点时，若18FD FH =，求AG 的长．28．在平面直角坐标系中，抛物线223y mx mx m =--与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ，点A 关于BC 所在的直线的对称点A '，连接A B '、A C '．(1)点A 的坐标为______，点B 的坐标为______．(2)若点A '落在抛物线的对称轴上，且在x 轴上方，求抛物线的解析式．(3)设抛物线顶点为Q ，若BCQ △是锐角三角形，直接写出m 的取值范围．。
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20１５年秋学期期末考试试卷初三数学2016．1本试卷分试卷和答题卷两部分，所有答案一律写在答题卷上。
考试时间为120分钟。
试卷满分为130分。
一、选择题（本大题共10题,每小题3分,满分30分) 1．函数yｘ的取值范围是( ▲ ）Ａ.x >２ Ｂ．x ≥2 Ｃ.x ≤２ D ．ｘ≠２2．在正方形网格中，△AB Ｃ如图放置，点Ａ，B ，C 都在格点上，则sin ∠BAC 的值为( ▲ ）ＡB .12ＣD３.已知一组数据：16，1５，16，1４,17,16，１5,则众数是( ▲ )Ａ.17ﻩ Ｂ.１６ﻩ C ．１5 ﻩﻩ D .14４.若关于ｘ的一元二次方程x 2-2x +ｋ=0有两个不相等的实数根，那么ｋ的取值范围是( ▲ ）A .ｋ＜1 Ｂ.k ≠０ C .k ＞１ D ．k <0 5.如图,四边形ABC Ｄ内接于⊙O ，若∠AB Ｃ=40°,则∠A ＤＣ的度数是( ▲ ) A ．90° B .１00°C ．120°D .140° 6．已知圆锥的底面半径为3ｃm ，母线长为6cm ，则圆锥的侧面积是( ▲ ）A ．１8πcm ２ Ｂ．27πｃm 2 Ｃ．36πｃm ２D .５4πcm 2 7．若顺次连接四边形ABCD 各边中点所得四边形是菱形,则四边形ＡBCD 一定是( ▲ )A .矩形B .菱形Ｃ.对角线互相垂直的四边形 D .对角线相等的四边形B第２题 第5题 第10题8．我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆.例如线段A Ｂ的最小覆盖圆就是以线段A Ｂ为直径的圆．若在△ABC 中,ＡＢ＝AC ，BC ＝６，∠BAC =12０°,则△ABC 的最小覆盖圆的半径是（ ▲ )A .3 B． Ｃ.２ D.9.两个不相等的正数a 、b 满足a +b ＝2，ab =ｔ－１,设S ＝2()a b -，则S 关于t 的函数图象是（ ▲ ）A ．射线（不含端点)B ．线段(不含端点) Ｃ.直线ﻩ D ．抛物线的一部分１０．已知二次函数y =ａx 2＋bx +ｃ(ａ≠0)的图象如图，且关于x 的一元二次方程ａx ２＋bx +ｃ﹣m =0没有实数根，有下列结论:①b ２﹣4ac ＞0;②ab ｃ<0;③ｍ<－3；④3ａ+b ＞0． 其中,正确结论的个数是( ▲ )A ．1B ．２ﻩC ．３D .4 二、填空题（本大题共8小题，共8空，每空2分,共16分．)11.抛物线y =(x ﹣2) ２﹣3的顶点坐标是 ▲ .12.一元二次方程x 2﹣ax +a ﹣4=０的一个根为0，则方程的另一个根为 ▲ ．13．甲、乙两同学参加学校运动会铅球项目选拔赛,各投掷6次,记录成绩,计算平均数和方差的结果为：=10.5x 甲，=10.5x 乙,2=0.61S 甲，2=0.50S 乙，则成绩较稳定的是 ▲．14．如果菱形的两条对角线的长为a 和ｂ,且满足2(3)0a -+=,那么菱形的面积等于▲ .１５.如图，河坝横断面迎水坡ＡB 的坡比(坡比是坡面的铅直高度ＢC 与水平宽度AC 之比）,坝高B Ｃ＝３m ,则坡面AB 的长度是 ▲ .16.某公司今年销售一种产品,1月份获得利润3０万元,由于产品畅销，利润逐月增加，3月份的利润比２月份的利润增加3.３万元，假设该产品利润每月增长的百分率都为x ，则列出的方程为： ▲ ．（不要求化简)１７．如图,在边长为4的正方形ABC Ｄ中，P 是ＣD 的中点，连接ＡP 并延长,交BC 的延长线于点F ，作△CPF 的外接圆⊙O ,连接BP 并延长交⊙O 于点E ,连接EF ，则EF 的长为 ▲ ．18.如图,在等腰三角形ＡＢＣ中,AB ＝1,∠A ＝９0°，点E 为腰ＡC 中点，点F 在底边ＢＣ上,且ＦE ⊥BE ，则△ＣEF 的面积为 ▲ . 三、解答题(本大题共84分)1９．(本题共有２小题，每小题4分，共8分)(1）计算:2052--+-（）; （２)化简：11(1)1x x+•-. 20.解方程或不等式组（本题共有2小题,每小题4分,共8分)C(第16题)（第18题）FEBCA（1）解方程:23)3x x -=-（; ﻩ(２）解不等式组： 210,120.2x x -≥⎧⎪⎨-+>⎪⎩２1.（本题满分８分）如图,已知四边形ＡＢCD 是平行四边形，点E 、Ｂ、Ｄ、Ｆ在同一直线上,且ＢE =DF . 求证：AE =CF22．（本题满分8分)在一个不透明的布袋里装有3个标号为1、2、3的小球，它们的材质、形状、大小完全相同，小明从布袋里随机取出一个小球，记下数字为ｘ，小红从剩下的2个小球中随机取出一个小球，记下数字为ｙ，这样确定了点Ｐ的坐标（x ，ｙ）. （1）请你运用画树状图或列表的方法，写出点Ｐ所有可能的坐标； (2）求点（x ,y )在函数y ＝﹣x +5图象上的概率.23.（本题满分8分）某商店从厂家以每件20元的价格购进一批商品,该商店可以自行定价。
据市场调查,该商品的售价与销售量的关系是:若每件售价a 元，则可卖出（360－1０ａ）件,但物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的2５%.（1)如果商店计划要获利４80元，则每件商品的售价a 应定为多少元？(2）当每件商品的售价ａ定为多少元时，商店获利最大？并求此时的最大利润. (每件商品的利润=售价-进货价)24．(本题满分9分）如图，在平面直角坐标系中,⊙P 经过x 轴上一点C ，与y 轴分别交于A 、B 两点,连接AP 并延长分别交⊙P 、x 轴于点D 、E ,连接DC 并延长交y 轴于点F ,若点F 的坐标为(0，１），点D 的坐标为(6，－1)． (１)求证：DC FC =；（２)判断⊙P 与x 轴的位置关系，并说明理由； (3）求⊙P 的半径的长.２5.（本题满分8分)如图，在正方形ABCD中，AＤ=4，Ｅ是AB的中点,将△BＥC绕点Ｂ逆时针旋转9０°后,点E落在CB的延长线上点F处,点C落在点A处.再将线段ＡF绕点Ｆ顺时针旋转90°得线段FＧ,连接EF,CG．(1)求证:ＥＣ∥FG；(２）求点C，点A在旋转过程中形成的弧AC，弧AG与线段CG所围成的阴影部分的面积．26.(本题满分8分）如图(1),一扇窗户垂直打开,即OＭ⊥OP,AC是长度不变的滑动支架,其中一端固定在窗户的点A处,另一端在线段ＯP上滑动,将窗户OM按图示方向向内旋转４５°到达ON位置,如图（2）,此时，点Ａ、C的对应位置分别是点B、D,测量出∠ODＢ为３７°,点D到点O的距离为28cm.(1)求B点到OP的距离．(2）求滑动支架ＡC的长．(参考数据:ｓin３7°=35，cｏｓ3７°=45,tan37°=34）OA CM P PONMDBCA图(1） 图(２)２７．（本题满分9分)如图，已知抛物线的顶点坐标为Ｍ（1，4）,且经过点Ｎ(2，３），与ｘ轴交于A 、B 两点(点Ａ在点B 左侧）,与y 轴交于点C ． (1)求抛物线的解析式；(2）若直线y ＝kx ＋t 经过C 、M 两点，且与x 轴交于点D ,试证明四边形C ＤAN 是平行四边形；(３）点P 在抛物线的对称轴x =1上运动,请探索:在x 轴上方是否存在这样的P 点，使以P为圆心的圆经过A 、Ｂ两点,并且与直线ＣＤ相切?若存在，请求出点Ｐ的坐标;若不存在,请说明理由.２８.（本题满分1０分）如图，在矩形A ＢCD 中,ＡB =4，BC ＝3，点O 为对角线ＢD 的中点,点P 从点A 出发，沿折线ＡD ﹣ＤO ﹣OC 以每秒1个单位长度的速度向终点Ｃ运动,当点P 与点A 不重合时，过点P 作P Ｑ⊥AB 于点Q ,以ＰQ 为边向右作正方形PQMN ，设正方形ＰQ ＭN 与△ABD 重叠部分图形的面积为S (平方单位)，点Ｐ运动的时间为t （秒）． (1）求点Ｎ落在B Ｄ上时t 的值；(2）直接写出点O 在正方形ＰＱＭN 内部时t 的取值范围；(3)当点P 在折线AD ﹣D Ｏ上运动时，求Ｓ与ｔ之间的函数关系式; (4)直接写出直线DN 平分△BCD 面积时t 的值.ﻬ初三数学期末考试参考答案20１6.1一、选择题(每小题３分，共30分)1.Ｂ2．Ｃ3．Ｂ4. A5. D6. A ７．D8.Ａ9. B1０.C二、填空题(每小题2分,共16分)1１. (２,-3）12.４1３．乙14．6 15．６m16. 30(１＋x)２－30（1＋x) =３.3１78518.1 24三、解答题(共8４分)19．（1)原式=25—1+2 …………………………………………………3分=2６…………………………………………………………4分(2）原式＝111()11xx x x-+•--……………………………………………………………1分＝11xx x•- (3)分=11x- (4)分2０.(1）解：(x-３）(x－3-１)＝0 …………………………………………２分x-3=0,x-4=0 …………………………………………………３分123,4x x ==…………………………………………………4分（2）解:由①得:12x ≥………………………………………………………………1分 由②得:4x < ………………………………………………………………3分 ∴原不等式组的解集142x ≤<…………………………………………………4分２1. 解答：证明：∵四边形ABC Ｄ是平行四边形，∴AB=C Ｄ,AB ∥CD, ……………………………………………………………1分 ∴∠ABD ＝∠ＣDB ， ……………………………………………………………２分∴180°-∠ABD ＝180°－∠CDB,即∠ＡBE=∠CDF, ……………………………………………………………４分 在△ＡBE 和△CDF 中, B ＝CD∠ＡBE ＝∠ＣD Ｆ ＝DF ,∴△ABE ≌△CDF(SAS ）,…………………………………………………………… 6分 ∴AE ＝ＣF ． …………………………………………………………… ８分 (3)分所以点P 所有坐标为(1,2)、(１,３)、(２,1）、(2,3）、(3，1)、(3,２) …………４分（２)∵点Ｐ所有可能共有６个,其中在y =﹣ｘ+5图象上的点有(２,３)、(3,2) ２个, 6分∴点（x,y)在y ＝﹣x +5图象上的概率为： 2163= …………………………８分23． (1)解：依题意得:(20)(36010)480a a --= ……………………………２分化简得：2567680a a -+=解得1224,32a a == ………………………………………………………………3分 ∵a ≤２0（１+25%),即a ≤25∴a ＝32不合题意,舍去,取a ＝２4……………………………………………………………４分答：每件商品售价ａ应定为2４元.(2)设：获利为w 元，则w=(20)(36010)a a --……………………………………………5分 配方得:w ＝210(28)640a --+∵-10<0，当ａ＜28时,w 随a 的增大而增大 ……………………………………………6分又∵a ≤25 ，∴当a=25时,ｗ取得最大值, ……………………………………………7分 此时w 最大=210(2528)640--+=5５0（元) ……………………………………………８分答：当ａ=25元时，商店获利最大,最大利润为550元.2４.(1）证明：过点Ｄ作D Ｈ⊥x 轴于点H,则∠ＣH Ｄ=∠ＣOF =9０°． ∵点F 的坐标为(０,1),点Ｄ的坐标为（６，-1)，∴DH=OF ， ∵在△FOC 与△ＤHC 中, ∠FC Ｏ＝∠ＤCH ∠FOC ＝∠DHC=９0° OF ＝HD∴△F ＯC ≌△DHC （AAS ）,∴ＤC ＝F Ｃ； …………………………………………3分（２)答:⊙P 与x 轴相切.理由如下：…………………………………………4分 如图，连接CP.∵A Ｐ＝PD ，D Ｃ＝CF, ∴C Ｐ∥ＡF,∴∠ＰＣE ＝∠A ＯＣ=90°，即P Ｃ⊥ｘ轴. 又PC 是半径，∴⊙P 与x 轴相切;………………6分(３)解:由(2）可知，ＣＰ是△DFA 的中位线, ∴ＡF ＝2CP ．∵AD=2CP, ∴AD=AF.连接ＢＤ. ∵ＡD 是⊙Ｐ的直径, ∴∠ＡＢD=９0°,∴BD=ＯH=6，OB=DH=FO=1.设AD 的长为x ，则在直角△ABD 中，由勾股定理，得Hx2=6２+（ｘ-2)2，解得x=10．………………8分∴⊙P的半径为5．………………９分2５．(1) 解：(1)证明:∵四边形AＢCD是正方形，∴AB＝BC=AD=4,∠ABC=90°.∵△BEＣ绕点B逆时针旋转９0°得△AＢＦ，∴△ABＦ≌△CＢE，∴∠ＦＡB＝∠ECB，…………………………1分∠AＢF=∠CBＥ=90°,∴∠AFＢ＋∠ＦAB=90°．∵线段AF绕点Ｆ顺时针旋转９0°得线段ＦG，∴∠AFB+∠CFG=∠ＡFG= 9０°，∴∠CＦG＝∠FＡB，………………………2分∴∠CＦG=∠EＣＢ.∴EC∥FG．………………………………………………３分（2）∵AF=EC,AＦ＝ＦG，∴EC=ＦＧ，∴四边形ＥＦGC是平行四边形.………………………………………4分∵△ABF≌△CＢE，∴FB=ＢE=12AB＝２,∴AF．在△FEC和△CGF中∵ＥC=ＦG，∠ECF=∠ＧFC,ＦＣ=CF,∴△ＦEC≌△CGF,∴S△ＦEC=Ｓ△CGF. ……………………………………５分∴Ｓ阴影＝S扇形ＢＡC+S△AＢF+Ｓ△FGC-S扇形FＡG=2904360π⋅+12×2×４+12×(2+4）×……………………７分＝10π-. …………………………………………８分２6．(1)作ＢH⊥OP于H,在Rt⊿ＢHD中，∠BDH=37°,由ｔan37°=34 BHDH=，可令ＢＨ=3x,则DH＝4x．……………………………１分由题意∠BＯD＝9０°-4５°=４5°,则ＯＨ=BH=3ｘ……………２分由OD=OＨ+DＨ=28得4x＋3x=28………………３分解得x=４, …………………………………………4分∴BＨ＝3ｘ=1２ (cm) ……………………………………5分x H答：(略）(2）在Rｔ⊿ＢＨＤ中，sin∠BDH=BHBD…………………………………6分得BD＝1220()sin0.6BHcmBDH==∠,即：AC=ＢD＝20(cm）………8分答：（略）2７.（1）解：由抛物线的顶点是Ｍ(1，４)，设解析式为y=ａ(x-1)2＋4(a<0）……………………………………1分又抛物线经过点N(2，３)，所以３=ａ(2-1)2+4，解得a＝-１……………………………………2分所以所求抛物线的解析式为y=-（x-1)２+4=-x2+2x+３………………３分(2)证明:直线ｙ=ｋx+t经过C(0，3)、Ｍ（1，4)两点,∴,即k＝１,t=3,即：直线解析式为y=ｘ＋3…４分求得A(－1，0),Ｄ(-3，0）,∴ＡＤ=2∵Ｃ（０,３), N（2，3)∴CN=2= AD,且CN∥AD∴四边形CDAＮ是平行四边形．……………6分(3)解:假设在x轴上方存在这样的P点,使以P为圆心的圆经过Ａ、B两点,并且与直线C Ｄ相切,设P(1,u）其中u＞0,则PＡ是圆的半径且PＡ２＝u2+22过Ｐ做直线CD的垂线,垂足为Q，则PQ=PA时以P为圆心的圆与直线ＣD相切.由第（2）小题易得：△MDE为等腰直角三角形，故△ＰＱM也是等腰直角三角形，由P（1,u）得ＰE=u,PＭ=|4-ｕ｜，PQ=由ＰQ2=PＡ2得方程：=u2+22, ……………………………………７分解得,舍去负值u=，符合题意的u=,…………8分所以，满足题意的点P存在,其坐标为(1,）.…………………9分２8. (1)（1）当点N落在BD上时，如图１.∵四边形ＰQMN是正方形,∴PN∥QＭ,PＮ=PQ=t．∴△ＤPN∽△DQB.∴DP PN DQ QB=∵PN＝PQ＝PA=t，DP=3-ｔ,ＱB=AB=4，---- ∴334t t -=，∴t=127……………………………………2分(2）2<t ＜112……………………………………………………………4分 (3) ①当0＜t≤时,如图２, S ＝S 正方形P ＱMN =ＰＱ2=ＰA 2=t ２．…………………５分 ②当＜t≤3时,如图3,重叠部分是五边形PQM ＦG.S ＝ Ｓ正方形PQMN -NFG S ＝ ｔ2－1747(3)(3)2434t t -⨯-=2257624t t -+-…………………6分 ③当３<t≤时,如图4,重叠部分是直角梯形PQMF.213339[(8)(8)](8)(8)2205540S t t t t =-+-⨯-=-…………………７分 (4）当t=2436171173或或时，ＤN 平分∠BCD ． …………………10分。