2021年全国高中数学联赛甘肃赛区预赛
2021年全国高中数学联赛试卷及答案(Word可编辑版)
2021年全国高中数学联赛试卷及答案（最新版）-Word文档，下载后可任意编辑和处理-2021年全国高中数学联合竞赛试卷得分评卷人一．选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6小题，每题均给出A、B、C、D四个结论，其中有且仅有一个是正确的，请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分)。
1．删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个新数列的第2021项是A．2046B．2047 C．2048 D．2049 答（）2．设a，b∈R，ab≠0，那么直线ax－y＋b＝0和曲线bx2＋ay2＝ab 的图形是A B C D答（）3．过抛物线y2＝8(x＋2)的焦点F作倾斜角为60o的直线，若此直线与抛物线交于A、B两点，弦AB的中垂线与x轴交于P点，则线段PF的长等于A．B．C． D．答（）4．若，则的最大值是A．B．C． D．答（）5.已知x，y都在区间(－2，2)内，且xy＝－1，则函数的最小值是A．B．C． D．答（）6.在四面体ABCD中，设AB＝1，CD＝，直线AB与CD的距离为2，夹角为，则四面体ABCD的体积等于A． B．C．D．答（）得分评卷人二．填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。
7．不等式 x 3－2x2－4 x ＋3 < 0 的解集是____________________．8．设F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且PF1 : PF2＝2 : 1，则三角形PF1F2的面积等于______________．9．已知A＝{x｜x2－4x＋3＜0，x∈R}，B＝{x｜21－x＋a≤0，x2－2(a＋7)＋5≤0，x∈R}，若AB，则实数a的取值范围是___________________．10．已知a，b，c，d均为正整数，且，若a－c＝9，则b－d ＝________．11．将8个半径都为1的球分两层放置在一个圆柱内，并使得每个球和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于______________．12．设M n ＝{(十进制)n位纯小数｜ai只取0或1（i＝1，2，…，n－1，an＝1}，Tn是Mn中元素的个数，Sn是Mn中所有元素的和，则＝_______．得分评卷人三．解答题（本题满分60分，每小题20分）13．设≤x≤5，证明不等式．14．设A，B，C分别是复数Z0＝ai，Z1＝＋bi，Z2＝1＋ci（其中a，b，c都是实数）对应的不共线的三点，证明：曲线Z＝Z0cos4t＋2Z1cos2t sin2t＋Z2sin4t （t∈R）与ABC中平行于AC的中位线只有一个公共点，并求出此点．15. 一张纸上画有半径为R的圆O和圆内一定点A，且OA＝a. 拆叠纸片，使圆周上某一点A/ 刚好与A点重合，这样的每一种拆法，都留下一条直线折痕，当A/取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合．2021年全国高中数学联合竞赛加试试卷得分评卷人一．（本题满分50分）过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线，切点为A，B所作割线交圆于C，D两点，C在P，D之间，在弦CD上取一点Q，使∠DAQ＝∠PBC．求证：∠DBQ＝∠PAC．得分评卷人二．（本题满分50分）设三角形的三边分别是整数l，m，n，且l ＞m＞n，已知，其中{x}＝x－[x]，而[x]表示不超过x的最大整数．求这种三角形周长的最小值．得分评卷人三．（本题满分50分）由n个点和这些点之间的t条连线段组成一个空间图形，其中n＝q2＋q＋1，t≥，q≥2，q∈N，已知此图中任圆点不共面，每点至少有一条连线段，存在一点至少有q＋2条连线段，证明：图中必存在一个空间四边形(即由四点A，B，C，D和四条连线段AB，BC，CD，DA组成的图形）．2021年全国高中数学联合竞赛试卷试题参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准．选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两；其它各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时可参照本评分标准当划分档次评分，5分为一个档次。
2021年全国高中数学联赛甘肃赛区预赛试卷、参考答案及评分标准
二Ｏ二一年全国高中数学联赛甘肃赛区预赛试卷参考答案及评分标准一、填空题（共10小题，每小题7分，满分70分。
请直接将答案写在题中的横线上）2sin sin A B 二、解答题（共6小题，满分80分。
要求写出解题过程）11、（13 分）∆ABC 的内角 A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，设sin 2A +sin 2B −sin 2C =．（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若3cos 5B =，D 是边BC 上一点，且4CD BD =，ACD ∆的面积为75，求AC ．sin sin sin a b cA B C==，2sin sin A B 解析（1）由正弦定理知， ∵sin 2A +sin 2B −sin 2C =，2ab ∴a 2 +b 2 −c 2=，由余弦定理知，2222cos 22a b c C ab +-==，∴4C π=．………5分（2）设AC ＝x ，BD ＝y ，则CD ＝4y ，BC ＝5y ，∵S △ACD ＝AC •CD •sin C ，∴7124522x y =⋅⋅，即7210xy =，①∵3cos 5B =，4C π=，∴sin ∠BAC ＝sin （B +C ）＝sin B cos C +cos B sin C ＝423272525210⨯+⨯=，在△ABC 中，由正弦定理知，sin sin BC AC BAC B=∠，题号12345678910答案1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦52322+1320(),1-∞202122i+233472510x=，即510x y =，②由①②得，x ＝2，∴AC ＝2．………13分12、（13分）为了释放学生压力，某校高三年级一班进行了一个投篮游戏，其间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛（每人各投一次为一轮）．在相同的条件下，每轮甲乙两人站在同一位置上，甲先投，每人投一次篮，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得1-分；两人都命中或都未命中，两人均得0分．设甲每次投篮命中的概率为23，乙每次投篮命中的概率为12，且各次投篮互不影响．（Ⅰ）经过1轮投篮，记甲的得分为X ，求X 的分布列及期望；（Ⅱ）若经过n 轮投篮，用i p 表示第i 轮投篮后，甲的累计得分低于乙的累计得分的概率．①求123,,p p p ；②规定00p =，经过计算机模拟计算可得11(1,)i i i p ap bp i i N +-=+≥∈，请根据①中123,,p p p 值求出a ，b 的值，并由此求出数列{}n p 的通项公式．解析（Ⅰ）X 的可能取值为1-，0，1．111(1)326P X =-=⨯=；12121(0)(1)(1)23232P X ==⨯+--=；211(1)323P X ==⨯=．∴X 的分布列为：X 1-01p161213期望1()6E X =．即经过1轮投篮，甲得分的期望为16分．………5分（Ⅱ）①由（1）知116p =，经过两轮投球，甲的累计得分低于乙的累计得分的有两种情况：一是甲两轮都得分为1-分：二是两轮中甲一轮得0分，另一轮得1-分．21221117()62636p C =+⨯=．经过三轮投球，甲累计得分低有四种情况：111---；110--+；100-++；111--+．32212223333111111143(()()()6626263216p C C C =+⨯+⨯+⨯=②将0123,,,p p p p 的值分别代入11i i i p ap bp +-=+，得176367431362166a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得61,77a b ==．∴116177i i i p p p +-=+，即111()6i i i i p p p p +--=-又1016p p -=，所以1{}n n p p --是首项16、公比都是16的等比数列．∴11(6nn n p p --=，∴11210011(1)1166()()()(1)15616n n n n n n n p p p p p p p p ----=-+-++-+==-- ，∴数列{}n p 的通项公式为11(1)56n n p =-．………13分13、（13分）等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的,n N *∈，点(.)n n S 均在函数(01,,x y b r b b b r =+>≠且均为常数)的图象上.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）当b =2时，记22(log 1)()n n b a n N *=+∈证明：对任意的n N *∈，不等式成立1212111n nb b b b b b +++⋅⋅⋅>…成立．解析（Ⅰ）因为对任意的n N *∈,点(,)n n S ，均在函数(0xy b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数的图像上.所以得nn S b r =+,当1n =时,11a S b r ==+,当2n ≥时,1111()(1)nn n n n n n n a S S b r br b b b b ----=-=+-+=-=-,又因为{n a }为等比数列,所以1r =-,公比为b ,数列{}n a 的通项公式为1(1)n n a b b -=-………5分本题第（Ⅱ）问，实质是证明不等式)35721462N 2n n n*+⋅⋅⋅⋅>∈ 成立，可以从多角度揭示此类问题的方法和规律.证法一：（构造数列）：令357212462n n n A +⋅⋅⋅⋅= ，由于，1232312212n n A n n A n n n +++===++++，可得，数列{}n A 为递增数列，即3572124621n n +⋅⋅⋅⋅> ，从而,)35721462N 2n n n*+⋅⋅⋅⋅>∈ ………13分证法二：（构造对偶式）：令3572146822,246235721n n P Q n n ++=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅+ .由于0,0.b b ma b m a a m+>>>⇒>+故3456782122,,,,023*******n n n n ++>>>>>+ ，由不等式性质可得：234567821221234567221n n P PQ n n n ++>=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=++，即P >从而,)35721462N 2n n n*+⋅⋅⋅⋅>∈ 证法三：（累乘法）21n +=>所以：212n n +>，令1,2,3,,n n = 分别代入上式，然后累乘得之.证法四（数学归纳法）：当b =2时，11(1)2n n n a b b --=-=，1222(log 1)2(log 21)2n n n b a n-=+=+=则1212n n b n b n ++=,所以121211135721·······2462n n b b b n b b b n++++=⋅⋅下面用数学归纳法证明不等式121211135721·······2462n n b b b n b b b n++++=⋅⋅> 成立.①当1n =时,左边=32,右边,因为32>,所以不等式成立.②假设当n k =时不等式成立,即121211135721·······2462k k b b b k b b b k++++=⋅⋅> .则当1n k =+时,左边=11212111113572123 (246222)k k k k b b b b k k b b b b k k ++++++++=⋅⋅⋅⋅⋅+2322kk+>=+所以当1n k=+时,不等式也成立.由①、②可得不等式恒成立.证法五：（反证法）假设不等式)35721462N2n nn*+⋅⋅⋅⋅>∈不成立，则取使不等式不成立的最小自然数()001λλ>（显然1n=时不等式不成立），所以有：0213572462λλ+⋅⋅⋅⋅≤1）2135724622λλ-⋅⋅⋅⋅>-（2）同时成立，但是由于0212λλ+>3）（2）⨯（3）得：00002121357246222λλλλ-+⋅⋅⋅⋅⋅>-1）矛盾，故原不等式成立.14、（13分）如图，在多面体ABCDEF中，矩形BDEF所在平面与正方形ABCD所在平面垂直，1AB=，点M为AE的中点．（Ⅰ）求证：//BM平面EFC；（Ⅱ）若DE AD=，求二面角M BD A--的正弦值．解析（Ⅰ）证法一：设DE的中点为N，BC的中点为G，FC的中点为H，连接MN，NG，GH，EH，由中位线可得∴四边形MNGB为平行四边形，四边形NEHG为平行四边形，∴////BM NG EH，∵BM⊄平面EFC，EH⊂平面EFC，∴//BM平面EFC………5分证法二：由题知平面BDEF⊥平面ABCD，BD ED⊥，平面BDEF 平面ABCD BD=，DE⊂平面BDEF，∴DE⊥平面ABCD，以D 为原点，DA 、DC 、DE 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设DE t =，则(1,1,0)B ，(1,0,0)A ，(0,0,)E t ，1(,0,22t M ，(1,1,)F t ，(0,1,0)C ，∴1(,1,)22tMB =- ，(1,1,0)EF = ，(0,1,)EC t =- ，设平面EFC 的法向量(,,)n x y z =，则0EF n x y EC n y tz ⎧=+=⎪⎨=-=⎪⎩，取y ＝1，得1(1,1,n t =- ，∵0MB n =，∵BM ⊄平面EFC ∴//BM 平面EFC ．（Ⅱ）∵1DE AD ==，∴(1,1,0)DB =，11(,0,22DM = ，设平面DBM 的法向量(,,)m a b c =，则011022DB m a b DM m a c ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩，取1a =，得(1,1,1)m =-- ，平面ABD 的法向量(0,0,1)p =，设二面角M BD A --的平面角为θ，则||cos ||||m p m p θ==，sin 3θ=．∴二面角二面角M BD A --正弦值为63．………13分15、（13分）如图，曲线C 由上半椭圆1C ：22221(0,0)y x a b y a b+=>>≥和部分抛物线2C ：21(0)y x y =-+≤连接而成，12,C C 的公共点为,A B ，其中1C 的离心率为32．（Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）过点B 的直线l 与12,C C 分别交于,P Q （均异于点,A B ），若AP AQ ⊥，求直线l 的方程．解析（Ⅰ）易知曲线12,C C 的结合点,A B 的坐标分别为(1,0)-和(1,0)，于是可得1b =，再由1C 的离心率为32可得2a =．所以，2a =，1b =．………5分（Ⅱ）显然直线l 的斜率存在，故设其方程为(1)y k x =-，将其代入曲线2C 的方程中可得210x kx k +--=，知该方程的一个根为1，由韦达定理可得点Q 的横坐标为1k --，于是点Q 的坐标为2(1,2)k k k ----；把直线l 的方程代入曲线1C 的方程中，可得2222(4)240k x k x k +-+-=，知该方程的一个根为1，由韦达定理可得点P 的横坐标为2244k k -+，于是点P 的坐标为22248(,)44k kk k --++．由APAQ ⊥可得：4(2)1k k -⋅+=-，解得83k =-．所以，直线l 的方程为8(1)3y x =--，即8380x y +-=．………13分第8页，共8页16、（15分）已知函数()2ln(1)(0)f x a x x a =+->.（Ⅰ）求()f x 的单调区间和极值；（Ⅱ）求证：11114ln(1)(1)23n n n n ++++>+++ *()n N ∈．解：（Ⅰ）定义域为()1,-+∞，2'()11a f x x =-+………2分令'()0121f x x a >⇒-<<-，令'()021f x x a <⇒>-故()f x 的单调递增区间为()1,21a --，()f x 的单调递减区间为()21,a -+∞…………4分()f x 的极大值为2ln 221a a a -+…………………………………………6分（Ⅱ）证：令12a =，由（Ⅰ）可知()f x 在(0,)+∞上递减，故()(0)0f x f <=即ln(1)x x +<，令*1()x n N n =∈，故111ln(1ln ln(1)ln n n n n n n ++==+-<累加得，111ln(1)123n n +<+++⋅⋅⋅+………………………………11分1111ln(1)ln(1)1(1)3n n e n n n n +<⇒+<⇒+<<故111113ln(1)(1)23n n n n +++⋅⋅⋅++>+++，得证………………15分法二：1(1n n +=0122111n n n n n n C C C C n n n +++⋅⋅⋅+11122!3!!n <+++⋅⋅⋅+21112222n <+++⋅⋅⋅+1111(1)1222331212n n ---=+=-<-…………11分，其余相同证法.。
高中数学竞赛-集合(含解析)
集合练习1.【2021年新疆预赛】若实数集合{3,6,9,x}的最大元素与最小元素之积等于该集合的所有元素之和，则x的值为 .【答案】94【解析】若x是最大元素，则3x=18+x,解得x=9,不合题意；；若x是最小元素，则9x=18+x,解得x=94若x既不是最大元素也不是最小元素，则27=18+x,解得x=9,不合题意；.所以x=942.【2021年全国高中数学联赛A卷一试】设集合A={1,2,m},其中m为实数.令B={a2∣a∈A},C=A∪B.若C的所有元素之和为6,则C的所有元素之积为.【答案】−8【解析】由条件知1,2,4,m,m2(允许有重复）为C的全部元素.注意到,当m为实数时,1+2+4+m+m2>6,1+2+4+m2>6,故只可能是C={1,2,4,m},且1+2+4+m=6.于是m=−1(经检验符合题意),此时C的所有元素之积为1×2×4×(−1)=−8.3.【2020高中数学联赛B卷（第01试）】设集合X={1,2,⋯,20},A是X的子集,A的元素个数至少是2,且A的所有元素可排成连续的正整数,则这样的集合A的个数为 . 【答案】190【解析】每个满足条件的集合A可由其最小元素a与最大元素b唯一确定,其中a,b∈X,a<b,这样的(a,b)的取法共有C202=190种,所以这样的集合A的个数为190.4.【2020年福建预赛】已知[x]表示不超过实数x的最大整数,集合A={x∣x2−x−6<0},B= {x∣2x2−3[x]−5=0}.则A∩B= .}【答案】{−1,√222【解析】易知,A=(−2,3).若x∈A,则[x]=−2,−1,0,1,2.当[x]=−2时,若x∈B,则2x2+6−5=0,x不存在.当[x]=−1时,若x∈B,则2x2+3−5=0⇒x=±1.经检验,x=1不符合要求,x=−1符合要求.当[x]=0时,若x∈B,则2x2−0−5=0⇒x=±√102，均不符合要求.当[x]=1时,若x∈B,则2x2−3−5=0⇒x=±2,均不符合要求.当[x]=2时,若x∈B,则2x2−6−5=0⇒x=±√222.经检验,x=√222符合要求,x=−√222不符合要求.故A∩B={−1,√222}.5.【2020年甘肃预赛】设集合:A={(x,y)∣log a x+log a y>0},B=|(x,y)|x+y<a}.若A∩B=∅,则a的取值范围是 .【答案】(1,2]【解析】若a>1,则A={(x,y)∣xy>1}.而当x+y=a与xy=1相切时，x+1x=a⇒x2−ax+1=0⇒a=2.于是,当a∈(1,2]时,A∩B=∅.若a<1,则A={(x,y)∣xy<1},此时，A∩B≠∅.综上,a∈(1,2].6.【2020年浙江预赛】一个正整数若能写成20a+8b+27c(a ,b ,c∈N)形式,就称其为“好数".则集合{1,2,⋯,200}中好数的个数为 .【答案】153【解析】先考虑20a+8b=4(5a+2b).5a+2b可取2,4,5,6,⋯,50.则20a+8b可取8,16,20,24,⋯,200.故当c=0时共有48个非零好数(4k型）；c=1时共有42个好数(4k+3型),此时好数为27,35,43,47,⋯,199;c=2时共有35个好数(4k+2型),此时好数为54,62,70,74,⋯,198;c=3时共有28个好数(4k+1型),此时好数为81,89,97,101,⋯,197.综上,共有48+42+35+28=153个好数.7.【2020年新疆预赛】已知集合A={1,2,3,⋯,2020},对于集合A的每一个非空子集的所有元素，计算它们乘积的倒数.则所有这些倒数的和为 .【答案】2020【解析】集合A的22020−1个非空子集中，每一个集合的所有元素之积分别为：1，2，…，2020,1×2,1×3⋯,2019×2020,⋯,1×2×⋯×2020,它们的倒数和为1+12+⋯+12020+11×2+11×3+⋯+12019×2020+⋯+11×2×⋯×2020=(1+1)(1+12)⋯(1+12020)−1=2×32×⋯×20212020−1=2020.8.【2019年全国】若实数集合{1,2,3,x}的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和，则x的值为 .【答案】−32【解析】由题意知，x为负值，∴3−x=1+2+3+x⇒x=−32.9.【2019年江苏预赛】已知集合A={x|x2−3x+2≥0}，B={x|√x−a≥1}，且A∩B= {x|x≥3}，则实数a的值是 .【答案】2【解析】A={x|x≥2或x≤1}，B={x|x≥a+1}.又A∩B={x|x≥3}，故a+1=3，解得a=2.10.【2019年江西预赛】将集合{1,2,⋯,19}中每两个互异的数作乘积,所有这种乘积的和为.【答案】16815【解析】所求的和为12[(1+2+⋯+19)2−(12+22+⋯+192)]=12[36100−2470]=1681511.【2019年浙江预赛】已知集合A ={k +1,k +2,⋯,k +n },k,n 为正整数，若集合A 中所有元素之和为2019，则当n 取最大值时，集合A = .【答案】A ={334,335,336,337,338,339} 【解析】由已知2k+n+12⋅n =3×673.当n =2m 时，得到(2k +2m +1)m =3×673⇒m =3,n =6,k =333; 当n =2m +1时，得到(k +m +1)(2m +1)=3×673⇒m =1,n =3. 所以n 的最大值为6，此时集合A ={334,335,336,337,338,339}.12.【2019年福建预赛】已知f (x )=x 2-2x ，集合A ={x |f (f (x ))=0}，则集合A 中所有元素的和为.【答案】4【解析】方程f (f (x ))=0化为f (x 2-2x )=0，即(x 2−2x )2−2(x 2−2x )=0.∴ (x 2−2x )(x 2−2x −2)=0.解得，x 1=0, x 2=2, x 3=1−√3, x 4=1+√3. ∴A ={0,2,1−√3,1+√3}，A 中所有元素的和为4.13.【2019年福建预赛】已知集合U ={1，2，3，4，5}，I ={X|X ⊆U}，从集合I 中任取两个不同的元素A 、B ，则A ∩B 中恰有3个元素的概率为 .【答案】562【解析】当A ∩B 确定后，如A ∩B ={3，4，5}时，设A =A ′∪{3,4,5}，B =B ′∪{3,4,5}. ，A ′∩B ′=∅，则{A ′,B ′}的情况有:{∅,{1}}，{∅,{2}}，{∅,{1,2}}，{{1},{2}}，共4种情形. ∴所求的概率为C 53×4C 322=10×4×232×31=562.14.【2019年贵州预赛】已知集合A ={1,2,3,……,2019},对于集合A 的每一个非空子集的所有元素,计算它们乘积的倒数.则所有这些倒数的和为.【答案】2019【解析】解法1:集合A 的22019−1个非空子集中,每一个集合的所有元素之积分别为: 1,2,…,2019,1×2,1×3,2018×2019,……，1×2×⋯×2019,它们的倒数和：1+12+⋯+12019+11×2+11×3+⋯+12018×2019+⋯+11×2×⋯×2019 =(1+1)(1+12) (1)12019)−1=2×32×⋯×20202019−1=2019解法2:当A={1}时,结果是1;当A={1,2}时,结果是1+12+11×2=2；当A={1,2,3}时,结果是1+12+13+11×2+11×3+12×3+11×2×3=3.由数学归纳法可证(省略):当A={1,2,3,…,2019}时,结果是2019.15.【2019高中数学联赛B卷（第01试）】已知实数集合{1，2，3，x}的最大元素等于该集合的所有元素之和，则x的值为 .【答案】−3【解析】条件等价于1，2，3，x中除最大数以外的另外三个数之和为0.显然x<0，从而1+2+x=0，得x=－3.16.【2018年江苏预赛】在1，2，3，4，…，1000中，能写成a2−b2+1(a∈N)的形式，且不能被3整除的数有________个。
第三章-培优帮-章末总结高中数学必修第一册北师大版
= 32− ，作出两函数的图象，如图3-2所示，由
图可知方程5 − 32− = 1有1个实数解.（【巧转换】
将方程解的问题转变为函数图象相交问题）
图3-2
−1
的性质研究不难猜测
+1
= 1, = −1,代
例4 函数 =
(
+
【解析】方法1 =
=
−1
+1
> 0,且 ≠
+
=
( ， )
1)图象的对称中心是_______.
1
−2
1
−2
+1
1
2
= ×
1
−2
−1+
2
在区间
+1
所以−1 < 1 −
2
+1
2
−
，
+1
0, +∞ 上单调递增，
< 1，故 的值域为 −1,1 .
例2 函数 =
A.
2 +2−
的大致图象为(
2 −2−
B.
A
)
C.
D.
【解析】要使函数式有意义,则2 − 2− ≠ 0,即 ≠ 0，故其定义域为{| ≠ 0}.
由于所有选项中的图象都具有对称性，因此可考虑函数 的奇偶性:因为
− =
2− +2
2− −2
= − ，所以函数 为奇函数，所以函数 的图象关于原点对称.
再考虑单调性： =
条件的函数图象只有A.
2021年全国高中数学联赛竞赛大纲(修订稿)及全部定理内容
全国高中数学联赛竞赛大纲及全部定理内容欧阳光明（2021.03.07）一、平面几何1、数学竞赛大纲所确定的所有内容。
补充要求：面积和面积方法。
2、几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
3、几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点。
到三角形三顶点距离的平方和最小的点--重心。
三角形内到三边距离之积最大的点--重心。
4、几何不等式。
5、简单的等周问题。
了解下述定理：在周长一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的面积最大。
在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大。
在面积一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的周长最小。
在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。
6、几何中的运动：反射、平移、旋转。
7、复数方法、向量方法。
平面凸集、凸包及应用。
二、代数1、在一试大纲的基础上另外要求的内容：周期函数与周期，带绝对值的函数的图像。
三倍角公式，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。
2、第二数学归纳法。
递归，一阶、二阶递归，特征方程法。
函数迭代，求ｎ次迭代，简单的函数方程。
3、ｎ个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用。
4、复数的指数形式，欧拉公式，棣美弗定理，单位根，单位根的应用。
5、圆排列，有重复的排列与组合，简单的组合恒等式。
6、一元n次方程（多项式）根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成对定理。
7、简单的初等数论问题，除初中大纲中所包括的内容外，还应包括无穷递降法，同余，欧几里得除法，非负最小完全剩余类，高斯函数，费马小定理，欧拉函数，孙子定理，格点及其性质。
三、立体几何1、多面角，多面角的性质。
三面角、直三面角的基本性质。
2、正多面体，欧拉定理。
3、体积证法。
4、截面，会作截面、表面展开图。
四、平面解析几何1、直线的法线式，直线的极坐标方程，直线束及其应用。
2、二元一次不等式表示的区域。
3、三角形的面积公式。
4、圆锥曲线的切线和法线。
5、圆的幂和根轴。
五、其它抽屉原理。
专题01集合第一缉(解析版)-备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)
备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)专题01集合第一缉1．【2021年江西预赛】集合M 是集合A={1，2，…，100}的子集，且M 中至少含有一个平方数或者立方数，则这种子集M 的个数是.【答案】288(212‒1).【解析】集合 中的平方或者立方数构成集合 ,100},A ={1,2,⋯,100}B ={1,4,8,9,16,25,27,36,49,64,81其中有12个元素,从 中挖去集合 后剩下的元索构成集合 ,则 中有88个元索,A B C C 由于 的子集有 个, 的非空子集有 个,C 288B 212‒1集 可表示为 形式,其中 是 的任一非空子集, 是 的任一子集,因此 的个数为M M =B 0∪C 0B 0B C 0C M 288(212‒1).2．【2021年浙江预赛】给定实数集合A,B,定义运算 .设A ⊗B ={x∣x =ab +a +b,a ∈A,b ∈B} ,则 中的所有元素之和为.A ={0,2,4,⋯,18},B ={98,99,100}A ⊗B 【答案】29970【解析】由 ,x =(a +1)(b +1)‒1则可知所有元素之和为 .(1+3+⋯+19)×300‒3×10=299703．【2021年广西预赛】集合 的所有子集的元素的和等于 .M ={1,2,3,4,5,6}【答案】672【解析】所有子集的元素的和为 .25(1+2+3+4+5+6)=6724．【2021年新疆预赛】若实数集合 的最大元素与最小元素之积等于该集合的所有元素之和，则{3,6,9,x}x 的值为 .【答案】94【解析】若 是最大元素，则 ,解得 ,不合题意；x 3x =18+x x =9若 是最小元素，则 ,解得 ；x 9x =18+x x =94若 既不是最大元素也不是最小元素，则 ,解得 ,不合题意；x 27=18+x x =9所以 .x =945．【2021年全国高中数学联赛A 卷一试】设集合,其中为实数.令.若的A ={1,2,m }mB ={a 2∣a ∈A },C =A ∪B C 所有元素之和为6,则的所有元素之积为 .C【答案】‒8【解析】由条件知(允许有重复）为的全部元素.1,2,4,m ,m 2C 注意到,当为实数时,,故只可能是,且m 1+2+4+m +m 2>6,1+2+4+m 2>6C ={1,2,4,m }1+2+4+m =6.于是(经检验符合题意),此时的所有元素之积为.m =‒1C 1×2×4×(‒1)=‒86．【2020高中数学联赛B 卷（第01试）】设集合,A 是X 的子集,A 的元素个数至少是2,且A X ={1,2,⋯,20}的所有元素可排成连续的正整数,则这样的集合A 的个数为 .【答案】190【解析】每个满足条件的集合A 可由其最小元素a 与最大元素b 唯一确定,其中a ,b ∈X ,a <b ,这样的的(a,b)取法共有种,所以这样的集合A 的个数为190.C 220=1907．【2020年福建预赛】已知[x]表示不超过实数的最大整数,集合,x A ={x∣x 2‒x ‒6<0}B =则.{x∣2x 2‒3[x]‒5=0}.A ∩B =【答案】{‒1,222}【解析】易知, .若 ,则A =(‒2,3)x ∈A [x]=‒2,‒1,0,1,2.当 时,若 ,则 ,[x]=‒2x ∈B 2x 2+6‒5=0 不存在.x 当 时,若 ,则[x]=‒1x ∈B 2x 2+3‒5=0⇒x =±1.经检验, 不符合要求, 符合要求.x =1x =‒1当 时,若 ,则 ，[x]=0x ∈B 2x 2‒0‒5=0⇒x =±102均不符合要求.当 时,若 ,则 ,[x]=1x ∈B 2x 2‒3‒5=0⇒x =±2均不符合要求.当 时,若 ,则 .[x]=2x ∈B 2x 2‒6‒5=0⇒x =±222经检验, 符合要求, 不符合要求.故 .x =222x =‒222A ∩B ={‒1,222}8．【2020年甘肃预赛】设集合: , 若 ,则 的取值范A ={(x,y)∣log a x +log a y >0}B =|(x,y)|x +y <a}.A ∩B =∅a 围是.【答案】(1,2]【解析】若 ,则 a >1A ={(x,y)∣xy >1}.而当 与 相切时，x +y =a xy =1.x +1x =a⇒x 2‒ax +1=0⇒a =2于是,当 时, .若 ,则 ,此时， .a ∈(1,2]A ∩B =∅a <1A ={(x,y)∣xy <1}A ∩B ≠∅综上, .a ∈(1,2]9．【2020年广西预赛】已知集合 ,对 的任意非空子集 为集合 中最大数与最小数的M ={1,2,⋯,2020}M A,λA A 和.则所有这样的 的算术平均数为 .λA 【答案】2021【解析】考虑 的子集 若 ,则 若 ,设 中最大数为 ,最小M A '={2021‒x∣x ∈A}.A '=A λA'=λA =2021.A '≠A A a 数为 ,则 '中最大数为 ,最小数为2021- ，此时,b A 2021‒b a λA'+λA2=2021.故所求算术平均数为2021.10．【2020年广西预赛】设集合 ,且对集合 中的任意元素 则集合 的元索M ={1,2,⋯,2020},A ⊆M A x,4x ∉A.A 个数的最大值为 .【答案】1616【解析】首先,构造404个集合 ,其中，{k,4k}k =1;8,9,⋯,31;127,128,⋯,505.其次,集合 中的数除前述已提到的808个外,剩下的每个数 单独构成一个集合 ,有1212个.M x {x}共 个集合.404+1212=1616据抽臣原理,知若集合 中有多于1616个数,则必有两个数取自上述同一集合.从而,存在 ,矛盾.A x,4x ∈A 故集合 中至多有1616个数,满足条件的一个集合是A .A ={2,3,⋯,7,32;33,⋯,126,506,507,⋯,2020}11．【2020年吉林预赛】已知集合 若 ,则 的取值范围是 .A ={x∣log a (ax ‒1)>1}.2∈A a 【答案】(12,1)∪(1,+∞).【解析】由题意,得log 则 或a (2a ‒1)>1.{0<a <1,0<2a ‒1<a {a >1,2a ‒1>a.解得 或12<a <1a >1.12．【2020年浙江预赛】一个正整数若能写成形式,就称其为“好数".则集合20a +8b +27c (a ,b ,c ∈N) 中好数的个数为.{1,2,⋯,200}【答案】153【解析】先考虑 20a +8b =4(5a +2b). 可取5a +2b 2,4,5,6,⋯,50.则 可取 .20a +8b 8,16,20,24,⋯,200故当 时共有48个非零好数 型）；c =0(4k 时共有42个好数 型),此时好数为 ;c =1(4k +327,35,43,47,⋯,199 时共有35个好数 型),此时好数为 c =2(4k +254,62,70,74,⋯,198; 时共有28个好数 型),此时好数为c =3(4k +181,89,97,101,⋯,197.综上,共有 个好数.48+42+35+28=15313．【2020年新疆预赛】已知集合 ,对于集合 的每一个非空子集的所有元素，计算它们A ={1,2,3,⋯,2020}A 乘积的倒数.则所有这些倒数的和为 .【答案】2020【解析】集合的 个非空子集中，每一个集合的所有元素之积分别为：1，2，…，2020,1×2,1A 22020‒1 ,它们的倒数和为×3⋯,2019×2020,⋯,1×2×⋯×2020 1+12+…+12020+11×2+11×3+…+12019×2020+⋯+11×2×⋯×2020 .=(1+1)(1+12)⋯(1+12020)‒1=2×32×⋯×20212020‒1=202014．【2019年全国】若实数集合的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和，则x 的值{1,2,3,x }为.【答案】‒32【解析】由题意知，x 为负值，.∴3‒x =1+2+3+x⇒x =‒3215．【2019年江苏预赛】已知集合，，且，则实数A ={x|x 2‒3x +2≥0}B ={x|x ‒a ≥1}A ∩B ={x|x ≥3}a 的值是 .【答案】2【解析】，.又，故，解得.A ={x|x ≥2或x ≤1}B ={x|x ≥a +1}A ∩B ={x|x ≥3}a +1=3a =216．【2019年江西预赛】将集合中每两个互异的数作乘积,所有这种乘积的和为 .{1,2,⋯,19}【答案】16815【解析】所求的和为12[(1+2+⋯+19)2‒(12+22+⋯+192)]=12[36100‒2470]=1681517．【2019年新疆预赛】已知集合，，，则是集合的子集但U ={1,2,3,4,5,6,7,8}A ={1,2,3,4,5}B ={4,5,6,7,8}U 不是集合的子集，也不是集合B 的子集的集合个数为 .A B 【答案】196【解析】解法一:因为，且，所以满足题意的集合所含的元素至少在中取一个A ∪B =U A ∩B ={4,5}{1,2,3}且至少在中取一个，集合中的元素可取或不取，于是满足题意的集合共有{6,7,8}{4,5}(23‒1)(23‒1)×22个.=196解法二:集合的子集个数为，其中是集合或集合的子集个数为.所以满足条件的集合个数为U 28A B 25+25‒22个.28‒(25+25‒22)=19618．【2019年浙江预赛】已知集合为正整数，若集合中所有元素之和为，A ={k +1,k +2,⋯,k +n },k,n A 2019则当取最大值时，集合A =.n 【答案】A ={334,335,336,337,338,339}【解析】由已知.2k +n +12⋅n =3×673当时，得到;n =2m (2k +2m +1)m =3×673⇒m =3,n =6,k =333当时，得到.n =2m +1(k +m +1)(2m +1)=3×673⇒m =1,n =3所以的最大值为，此时集合.n 6A ={334,335,336,337,338,339}19．【2019年重庆预赛】设为三元集合（三个不同实数组成的集合），集合，若A B ={x +y|x,y ∈A, x ≠y}，则集合________.B ={log 26, log 210, log 215}A =【答案】{1, log 23, log 25}【解析】设，其中A ={log 2a, log 2b, log 2c}0<a <b <c.则解得，从而。
第4章-培优帮-章末总结高中数学必修第一册湘教版
后，需要分类讨论,的取值范围．
现在对条件进行等价变形，由 > 可得 lg
lg + lg (lg − lg ) > 0，
所以lg ⋅ lg
> 0.
因为0 < < ，则0 <
所以lg
< 1，
< 0，则lg < 0,即0 < < 1．
2 − = ，因为 > 0，所以 − 1 = ，从而解得 = 或 = .
例3 设函数 = lg ，若0 < < ，且 > ,则( C
A. ≥ 1
B. > 1
C.0 < < 1
)
D.0 < ≤ 1
lg , ≥ 1,
【解析】如果是常规做法，将 写成分段函数的形式 = ቊ
2
2
− 6log 3 + + 1 = [ log 3
2
− 6log 3 + 1] −
+ 1，
由题意可知当 ∈ [0,1]时, > 0恒成立.由于 是关于的一次函数，由一次
0 > 0, − log 3 2 + 1 > 0,
1
函数的性质可知,只需满足ቊ
即ቊ
解得 < <
例2 若函数 =
或
的值为_____.
(
> 0，且 ≠
1)在[1,2]上的最大值与最小值的差为 ，则实数
2
【解析】对于指数函数 = ，要么单调递增，要么单调递减，因此最大值与最小
2021年全国高中数学联赛陕西赛区预赛 Word版无答案
2021年全国高中数学联赛陕西省预赛一 试一、 填空题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,请将答案填在答题卡的相应位置.1.已知集合{1,3,5,7,9},{2,4,6,8,10}A B ==,若集合{|,,}C x x a b a A b B ==+∈∈,则集合C 中元素的个数是2.已知函数0,0()1,0x f x x <⎧=⎨≥⎩,则[()]f f x =3.已知sin 3sin 1,cos 3cos 3αβαβ+=+=,则cos()αβ-=4.在三棱锥S ABC -中,,AB AC SB SC ==,则直线SA 与BC 所成的角的大小为5.如图,以双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上一点M 为圆心的圆与x 轴恰好相切于双曲线的一个焦点F ,且与y 轴交于,P Q 两点,若MPQ ∆为正三角形,则该双曲线的离心率是6.设O 为ABC ∆的外心,且满足OA OB OC +=,则ACB ∠=7.在ABC ∆中,tantan 122A B +=,则tan 2C的最小值是8.某人抛掷一枚硬币,消灭正面对上和反面对上的概率都是12,构造数列{}n a ,使1,n n n a ⎧=⎨⎩第次正面向上-1,第次反面向上,记12n n S a a a =+++,则20S ≠且82S =的概率是 (用最间分数作答)9.若正整数,m n 满足()!5040!m n n +=,则!m n ⋅的值为 10.设单调递增数列{}n a 的各项均为正整数,且*721120,()n n n a a a a n N ++==+∈,则8a =二 试二、 本大题共6小题,共100分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 11(本小题满分15分)设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且*112()2n n a S n N +=+∈. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)在n a 与1n a +之间插入n 个实数,,使这(2)n +个数依次组成公差为组成公差为n d 的等差数列,设数列1{}nd 的前n 项和为n T ,求证:*15()4n T n N <∈12(本小题满分15分)设ABC ∆的三内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且满足sin sin (cos cos )sin A B A B C +=+ (Ⅰ)求证:ABC ∆为直角三角形;(Ⅱ)若12a b c ++=+,求ABC ∆面积的最大值.13(本小题满分15分)如图,设H 为锐角ABC ∆的垂心,过点H 且垂直于BH 的直线交AB 于点D ,过点H 且垂直于CH 的直线交AC 于点E ,,过点C 且垂直于BC 的直线交直线DE 于点F ,求证:.FH FC =14(本小题满分15分)如图,,在直角坐标系xOy 中,圆22:4O x y +=与x 轴的正半轴交于点A ,以A 为圆心的圆222:(2)(0)A x y r r -+=>与圆O 交于,B C 两点.(Ⅰ)求AB AC ⋅的最小值;(Ⅱ)设P 是圆O 上异于,B C 的任意一点,直线,PB PC 与x 轴分别交于点,M N ,求POM PON S S ∆∆⋅的最大值(其中,POM PON S S ∆∆分别表示,POM PON ∆∆的面积)15(本小题满分20分)已知函数2()ln ,()-3f x x x g x x ax a R ==-+∈，.(Ⅰ)若对任意(0,),x ∈+∞不等式1()()2f x g x ≥恒成立,求实数a 的取值范围; (Ⅱ)证明:对任意(0,),x ∈+∞,有12ln x x e ex>-.16(本小题满分20分)设[]x 表示不超过实数x 的最大整数,已知222111,1,2,3,1(1)1k a k k k k =+++=++-求和:1111([][])2nk kk aa =++∑。
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2021年全国高中数学联赛甘肃赛区预赛
一、填空题(每小题7分,共56分)
3 4
中等数学
2 1年全国高中数学联赛甘肃赛区预赛 0 1中圈分类号：4 4 7 G 2 .9文献标识码：
A文章编号：0 5― 4 6 2 1 )6―03 10 6 1( 0 2 0 0 4―0 3
一
、
填空题 (每小题 7分， 5 )共 6分
() 3数列{,// 是公比不大于 1 '一凡}/ t, 0的等比数列.
1已知集合 .A={ 一) 6 I 3∈Z 0 7 l( 2 ( )I, I一>,≤≤
求数列{的通项公式. a}1. 1 0 ( 4分 )已知、为双曲线 C:,一
则 A的非空子集的个数为―― .2若 g x )=s x . () i2, n
Y=1 的左、右焦点， P在曲线 C上 .点若
gx=a () t n÷(< 7, 0<c )
s FF= 。
0 Fp 2 3,之 F.
则譬= )3若底边长为 2的正四棱锥恰内切一半 .
1 . I )设a,:…,为正数， 1 ( 8分，a, a且 a -口+…+ .明： 1I
2 -口=1证+
径为÷的球，则此正四棱锥的体积是―― .4在平面直角坐标系中， A(,, .点 1 2)
B( 1, 4,)圆+ 5上的动点 P( Y与 Y=2, )
去≥ . )
1 . 1 ) n凡≥1 )正整数 .由
2 (8分设 ( 1是不大于/的连续 1正整数的和组成集
合/, 0个
A,由不大于 n的连续 1正整数的和组成 1个集合 B若 AnB的元素个数是 11求/的 . 8, 7,最大值和最小值.
点、形成三角形. 则
的最大值为
5将正整数 12,,意分成两组，.,… 7任使
得每组至少有一个数.则第一组数的和与第二组数的和相等的概率是―― .
参考答案因为 A={,,, 5 7}所以，非 0 134,,, A的空子集的个数为 2一1= 3 6., '
6数列满足Ⅱ=及对于自. 0÷,然数，a n￣ l=
2+ an￣
则
的整数部分是
注意到，
7四次多项式 f )四个实根构成公 . (的差为 2的等差数列.则 (的所有根中最 )大根与最小根之差是
, g x )=s x= s‘O (() i 2 2i CS n n
8[表示不超过实数的最大整数. .] 在平面上由满足[+[
]] Y=5 0的点所形成的图形的面积是―― .
^2号 lt詈 t -―n a a_ n 2 1t号1t詈+n+n a a 2
二、答题 ( 6解共 4分 )
9 (4已知正项数列{满足： . 1分)口}( ) l 20 2 1Ⅱ= 1;
嘲嵩毒竽36 1
( ) a是整数； 2 a、3
感谢您的阅读，祝您生活愉快。