【复旦版线代】线性代数第七章课后习题及详细解答
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习题 七
1. 求下列λ-矩阵的Smith 标准型.
2322
2222
12(1);(2);
531(1)0
00(1)
0(3);(4).000100(1)002λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ⎡⎤
-⎡⎤
-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥+⎣⎦
⎢⎥+-⎣⎦
++⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦
⎣⎦
【解】(1)对λ-矩阵作初等变换，得
322223
23232
235()53203501030103().
λλλλλλλλλλλ
λλλλλλλλλλλλλ⎡⎤⎡⎤
-+=→→⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦⎣⎦⎡⎤+⎡⎤
→⎢⎥⎢⎥----⎣
⎦⎣⎦=A B ()B λ即为所求.
(2) 对λ-矩阵作初等变换得
22222222
2
11()1
11
10
010
00000000().
A B λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ⎡⎤⎡⎤
-⎢⎥⎢⎥
=→→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+--⎣⎦⎣⎦
⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥→-⎢⎥⎢
⎥
⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦=
()B λ即为所求.
(3) 不难看出，原λ-矩阵的行列式因子为
231231,
(1),(1).D D D λλλλ==+=+
所以不变因子为
232
12312
1,(1),(1).D D D D λλλλ==
=+==+d d d
故所求的Smith 标准形是2
1000(1)000(1)λλλλ⎡⎤
⎢⎥+⎢⎥
⎢⎥+⎣⎦
(4) 对λ-矩阵作初等变换，得
0(1)
00(1)0()0101002002101000(1)00(1)020000(2)100
1
000(1)
0000(2)0(1)(2)0100000
0(1)(2)λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=→→+⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦
⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥→→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦
⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥→→-⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎡--A ().λ⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
B
()B λ即为所求.
2. 求下列λ-矩阵的不变因子.
102
0001(1);(2).120000120
0a
b b a a b b a λλλλλλλ+⎡⎤-⎡⎤⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥--⎢⎥
⎢⎥+⎢⎥--⎢⎥
⎣⎦
-+⎣⎦ 【解】(1) 显然，原λ-矩阵中左下角的二阶子式为1，所以
D 1=1, D 2=1, D 3=(λ-2)3.
故所求的不变因子为
d 1=1, d 2=1, d 3=(λ-2)3.
(2) 当b ≠0时，
2
22
4,()D λλλλλ++=
⋅
=⎡⎤++⎣⎦-+-+a
b
a
b
a b b
a
b a
且在λ-矩阵中右上角的三阶子式
1
2(),010λλλ=-+++b
b a a
a b
而4(,2())1D λ-+=b a ,所以D 3=1.故所求的不变因子为
d 1=d 2=d 3=1, d 4= [(λ+a )2+b 2]2.
3. 证明
12
211
00
0010000000001n n n a a a a a λλλλλ---⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥
⎢
⎥⎢⎥⎢⎥
-⎢⎥
+⎢⎥⎣⎦
L L
L M M
M M M L L
的不变因子为
d 1(λ)=…=d n -1(λ)=1,d n (λ)=λn +a 1λn -1+…+a n -1λ+a n .
【证明】由于该矩阵中右上角的n -1阶子式等于非零常数(-1)n -1,所以
D 1(λ)=D 2(λ)=…=D n -1(λ)=1.
而该矩阵的行列式为
D n (λ)=λn +a 1λn -1+…+a n -1λ+a n ,
故所给矩阵的全部不变因子为
d 1(λ)=…=d n -1(λ)=1, d n (λ)=λn +a 1λn -1+…+a n -1λ+a n .
4. 证明00
000
00
01000
1
a a
λλλλλλ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
与（a 为任一非零实数）相似. 【证明】
记
000
00
01
0,00
1
A B λλλλλλ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
a a
经计算得知，λE -A 与λE -B 的行列式因子均为D 1=D 2=1,D 3=(λ-λ0)3,所以它们的不变因子
也相同，即为d 1=d 2=1,d 3=(λ-λ0)3,故A 与B 相似.