对数指数函数优质讲义
【全文】指数函数与对数函数PPT教学课件
(1)
1 x 2
1
x2
2
x
2
x 1
5
1
1
x2 x 2 5
1
(2)（x 2
)3
1
(x 2
)3
1
(x 2
1
x 2 )[( x
x 1 ) 1]
x x1 3 x 0
5(3 1)
6. 4
3
36 3
81 9 2
7. 2 3 3 1.5 6 12 6
8．设 mn>0，x= m n ，化简：A= 2 x2 4 .
y=x y=f(x)
y= f -1(x)
作图练习
1. 在同一坐标系中作y=2x，x=2x+1，y=2x-2的图像
左移1个单位 y=2yx=+12x
y=2x-2
1
右移2个单位
2.
作函数
y
x 1 x 1
的图像
y x 1 1 2 x 1 x 1
y2 x
y 1 2 x 1
y 2 x 1
2. 作出函数 y 1 x 的图像 2
5
1). a 2 a , a 2
11
a3 3 a2 ,
a3
3
a a, a4
3. 计算下列各式（式中字母都是正数）
21
11
15
(1)(2a 3 b 2 )(6a 2 b 3 ) (3a 6 b 6 ); 4a
13
(2)(m 4 n 8 )8.
要点：分别计算系数和指数
m2n3
4. 计算下列各式：
(1) a 2 (a 0); a3 a2
2
x2 x1 0
2
x1 x2 2 0
指数函数与对数函数(讲义)
指数函数与对数函数(讲义)指数函数和对数函数是数学中的基本函数之一。
指数函数的一般形式是$y=a^x$，其中$a$是底数，$x$是指数。
当$01$时，函数图像是上升的。
对数函数的一般形式是$y=\log_a x$，其中$a$是底数，$x$是真数。
当$01$时，函数图像是下降的。
指数函数和对数函数有许多重要的性质，例如它们的定义域和值域，单调性等。
比较大小时，可以利用指数函数和对数函数的单调性。
对于同底指数函数，可以直接比较大小。
对于异底指数函数，可以采用化同底、商比法、取中间值、图解法等方法。
对于同底数对数函数，可以直接利用单调性求解，但如果底数是字母，需要分类讨论。
对于异底数对数函数，可以采用化同底（换底公式）、寻找中间量（-1，1），或者借助图象高低数形结合来比较大小。
换底公式是比较常用的公式之一，可以用于将一个对数函数转化为以另一个底数为底的对数函数。
常用的变形包括$log_c a=\frac{1}{\log_a c}$，$log_a b^m=m\log_a b$，$a^{\log_a b}=b$等。
练题：1.若$3a=4b=6c$，则$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$的值为（B）。
2.计算：1）若集合$\{x,xy,\log(xy)\}=\{0,|x|,y\}$，则$\log_8(x^2+y^2)$的值为$\frac{3}{2}$；2）设$g(x)=\begin{cases}e^x &(x\leq 1)\\ \ln x&(x>1)\end{cases}$，则$g(g(2))=\ln(e^2+1)$；3）若$f(x)=\begin{cases}f(x+3) &(x<6)\\ \log_2 x &(x\geq 6)\end{cases}$，则$f(-1)$的值为$\log_2 5$。
3.（1）函数$f(x)=\log_2(x^2+1-x)$是奇函数；2）设函数$f(x)$在定义域上是奇函数，则$f(0)=0$。
指数函数与对数函数（讲义）
（一）基础知识回顾：1．二次函数：当¹a 0时，y =ax 2+bx +c 或f (x )=ax 2+bx +c 称为关于x 的二次函数，其对称轴为直线x =-a b 2，另外配方可得f (x )=a (x -x 0)2+f (x 0)，其中x 0=-ab 2，下同。
，下同。
2．二次函数的性质：当a >0时，f (x )的图象开口向上，在区间（-∞，x 0]上随自变量x 增大函数值减小（简称递减），在[x 0, -∞）上随自变量增大函数值增大（简称递增）∞）上随自变量增大函数值增大（简称递增）。
当a <0时，情况相反。
情况相反。
3．当a >0时，方程f (x )=0即ax 2+bx +c =0…①和不等式ax 2+bx +c >0…②及ax 2+bx +c <0…③与函数f (x )的关系如下（记△=b 2-4ac ）。
1）当△>0时，方程①有两个不等实根，设x 1,x 2(x 1<x 2)，不等式②和不等式③的解集分别是{x |x <x 1或x >x 2}和{x |x 1<x <x 2}，二次函数f (x )图象与x 轴有两个不同的交点，f (x )还可写成f (x )=a (x -x 1)(x -x 2). 2）当△=0时，方程①有两个相等的实根x 1=x 2=x 0=ab2-,不等式②和不等式③的解集分别是{x |x ab2-¹}和空集Æ，f (x )的图象与x 轴有唯一公共点。
轴有唯一公共点。
3）当△<0时，方程①无解，不等式②和不等式③的解集分别是R 和Æ.f (x )图象与x 轴无公共点。
共点。
当a <0时，请读者自己分析。
时，请读者自己分析。
4．二次函数的最值：若a >0，当x =x 0时，f (x )取最小值f (x 0)=ab ac 442-,若a <0，则当x =x 0=a b 2-时，f (x )取最大值f (x 0)=ab ac 442-.对于给定区间[m,n ]上的二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a >0)，当x 0∈[m, n ]时，f (x )在[m, n ]上的最小值为f (x 0); 当x 0<m 时。
指数函数和对数函数ppt课件
解法 2：a－b＝ln22－ln33＝3ln2－6 2ln3 ＝16(ln8－ln9)<0. ∴a<b.同理可得 c<a，∴c<a<b.故选 C.
[答案]C
4．考查函数的定义域 函数的定义域是历年高考中均考查的知识点，其难度 不大，属中低档题，但在求解时易漏掉部分约束条件造成错 解，因而也是易错题． [例 4] 函数 f(x)＝ 31x－2 x＋lg(3x＋1)的定义域是
[例 1] (1)化简
3 ÷(1－2
ba)×3 ab；
(2)求值：12lg3429－43lg 8＋lg 245.
(2)解法一 12lg3429－43lg 8＋lg 245 ＝lg472－lg4＋lg7 5 ＝lg(472×14×7 5) ＝lg 10＝12lg10＝12.
解法二 原式＝12(5lg2－2lg7)－43·32lg2＋12(2lg7＋lg5) ＝52lg2－lg7－2lg2＋lg7＋12lg5 ＝12lg2＋12lg5 ＝12(lg2＋lg5) ＝12lg10＝12.
[例7]求不等式x－1<log6(x＋3)的所有整数解． [解析]设y1＝x－1，y2＝log6(x＋3)，在同一坐标系中作
出它们的图像如图所示，两图像有两个交点，一交点的横坐标
显然在－3和－2之间，另一个交点设为P.
因为x＝1时，log6(1＋3)－(1－1)>0，x＝2时， log6(2＋3)－(2－1)<0，所以1<xP<2.
2．指数函数的概念与性质 (1)指数函数的定义
一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫作指数函数． (2)y＝ax(a>0，a≠1)的图像
0<a<1
a>1
指数函数与对数函数经典讲义名师优质资料
指数函数与对数函数重点:指数函数、对数函数的图像和性质;指、对数方程（含不等式）的解法;数学思想方法的运用．难点:幂函数、指数函数和对数函数组成的复合函数的性质．一、 指数与对数的运算法则 1、指数的运算法则①m n m n a a a +=⋅②m m nna aa-= ③()()nmmn m n a aa == ④1na=2、对数式与指数式的互换log b a a N b N =⇔=（0a >且1a ≠）、（上式中b R ∈，0N >）3、对数的运算法则（1）对数运算法则 ① ()log log log a a a M N M N ⋅=+②log log log aa a MM N N=- ③log log n a a M n M =④1log log a a M n=（2）几个常用的恒等式 ① log a N a N = ②log N a a N= ③log log log b a b N N a=（换底公式）④1log log a b b a =⑤ log log m n a a n b b m=例1、 求：82log 9log 3的值．解：82lg 9log 9lg 9lg 22lg 3lg 22lg8lg 3log 3lg833lg 2332lg lg lg ==⋅=⋅=．二、 指数函数与对数函数 1、指数函数与对数函数的图像和性质指数函数x y a =和对数函数log a y x =互为反函数，所以它们的图像关于y x =对称．2、指数函数与对数函数的图像的应用例2、 在下列一次函数b ax y +=（10<<a ）与指数函数bx a y =的图像中，正确的是 （ ）解：由()A ，01b <<，则指数函数()xbxb y aa==中底数01ba<<，不吻合；由()B ，0b <，则指数函数()xbx b y a a ==中底数1b a >，不吻合； 由()C ，1b >，则指数函数()xbx b y a a ==中底数01b a <<，不吻合；所以，应该选()D 。
对数函数与指数函数的关系省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
3
例2 写出下列指数函数旳反函数:
(1)y=5x
2y
2
x
.
3
解(1)指数函数y=5x,它旳底数是5 它旳反函数是对数函数 y=log5x;
(2)指数函数
y 2 x 3
,它旳底数是 2 ,
3
它旳反函数是对数函数 y log2 x
指数函数y=ax(a>0,a≠1)
反 函 数
对数函数y=logax(a>0,a≠1)
问题2： 观察在同一坐标系内函数y=log2x与函数y=2x旳 图像,分析它们之间旳关系.
函数y=log2x旳图像与 函数y=2x旳图像有关 直线y=x对称
y y=2x Q(a,b) y=x
函数y=f(x)旳图像和
y
ｙ＝3ｘ－2
0
ｙ＝ｘ
x
ｙ＝ｘ＋2 3
想一想：函数ｙ＝3ｘ－2旳图象和它旳反函数 ｙ＝ｘ＋2 旳图象之间有什么关系？
3
求函数反函数旳环节: 1 反解 2 x与y互换 3 求原函数旳值域
4 写出反函数及它旳定义域
y y=2x
结论:
Q(a,b) (0,1)
O (1,0)
y=x P(b,a) y=log2x
点（a,b）在函数y＝f(x)旳图像上
b＝f(a)
点（b,a）在反函数y＝f－1(x) 旳图像上 a＝f－1(b)
例5：已知函数（ f x） x2 （1 x 2） 求出f （1 4）的值。
解：令 x2 1 4，解之得：x 5 又 x 2， x 5.
点（a,b）在函数y＝f(x)旳图像上
(0,1) O
指数函数、对数函数、幂函数讲义
指数与指数函数知识要点1. 指数(1) n 次方根的定义：若 x n=a ,则称x 为a 的n 次方根，“ n”是方根的记号. 在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数， 0的奇次方根是0;正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数， 0的偶次方根是0,负数没有偶次方根• (2) 方根的性质①当n 为奇数时，n、a n=a .(3) 分数指数幕的意义m①a n =n a m( a >0, m n 都是正整数，n > 1)1 / c =^= (a>0, n m・a2. 指数函数 (1) 指数函数的定义一般地，函数y =a x(a >0且a ^ 1)叫做指数函数(2) 指数函数的图象底数互为倒数的两个指数函数的图象关于 (3) 指数函数的性质 ① 定义域：R. ② 值域：(0 ,+s).③ 过点(0, 1),即x =0时，y =1.②当n 为偶数时,n n、a =| a |=(a 0),(a 0).m n 都是正整数, n > 1)④当a> 1时，在R上是增函数；当0v a v 1时，在R上是减函数经典例题1. 3a • 6a 等于3. 若函数y =a x+b — 1 ( a > 0且1)的图象经过二、三、四象限，则一定有 A.0 v a v 1 且 b > B.a > 1 且 b >0 C.0 v a v 1 且 b v 0D.a > 1 且 b v 04. 函数y =— e x的图象 A.与y =e x的图象关于y 轴对称 B.与y =e x的图象关于坐标原点对称 C.与y =e — x的图象关于y 轴对称 D.与y =e —x的图象关于坐标原点对称5. 下图是指数函数(1)y =a , (2) y =b , (3) y =C , (4) y =d 的图象，贝U a 、b 、c 、d与1的大小关系是A. a v b v 1 v c v dB.b v a v 1v d v cC.1 v a v b v c v dD.a v b v 1 v d v c6、 若直线y =2a 与函数y =|a x— 1| （a >0且a * 1）的图象有两个公共点，则a 的取值范围是 ____________________ .12x2.函数y =237、函数y=（丄）x 2x2的递增区间是________________ .8、已知2x2 x<( 1)「2,求函数y =2x — 2_x的值域.49、要使函数y =1+2x +4xa 在x €( — g, 1 ］上y >0恒成立，求a 的取值范围基础练习1、已知 f (x )=a x，g (x )=— logb x ，且 Ig a +lg b =0，a * 1, 1,贝U y =f (x )与 y =g (x )的图象()A.关于直线x +y =0对称B.关于直线x — y =0对称C.关于y 轴对称D.关于原点对 称 爲3b 2气 (a > o, b > 0)的结果是 3b117、已知9x— 10 • 3x+9< 0,求函数y = ()x — 1— 4 ( ) x+2的最大值和最小值42能力提高118、若 a 2x+_ • a x- - < 0 (a > 0 且 a * 1),求 y =2a 2x— 3 • a x+4 的值域.2、F 列函数中值域为正实数的是 xA. y = — 1 \1—xB.y =()31)x1D.y =1 2x3、 函数f (x )A.丄4x=a +log B.(x+1 )在［0,121 ］上的最大值与最小值的和为 a ,则a 的值为 C.2D.44、a a. a a5、 化简 1 1 可46、 >(m i ) 2的正数m 的取值范围是2 29、解方程 4x+|1 — 2x|=11.创新能力10、若关于x的方程25—|x+11— 4 • 5—|x+11—m=0有实根，求m的取值范围能力拓展1 a b1 若 60a = 3, 60b= 5.求 122(1 b)的值.2方程2x=2 —x的解的个数为________________对数与对数函数概念1. 对数的定义： 如果a b=N (a> 0, 1),那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N=b .易得：alogaNN __对数恒等式2. 指数式与对数式的关系：a b =N log a N =b (a >0, a * 1, N>0).要能灵活运用这个关系，能随时将二者互化。
指数函数、对数函数、幂函数 经典课件(最新)
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知识要点梳理
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(一)指数函数 1．根式 (1)n 次方根：如果 xn＝a，那么 x 叫做 a 的________，其中 n>1，且 n∈N*. ①当 n 为奇数时，正数的 n 次方根是一个________数；负数的 n 次方根是一个________ 数，这时 a 的 n 次方根用符号________表示． ②当 n 为偶数时，正数的 n 次方根有________个，这两个数互为________．这时， 正数 a 的正的 n 次方根用符号________表示，负的 n 次方根用符号________表示．正的 n 次方根与负的 n 次方根可以合并写成________． ③负数没有偶次方根． ④0 的 n(n ∈N*)次方根是________，记作________．
8．对数运算的常用结论 (1)logambn＝________； (2)logab＝________．
答案：mn logab
1 logba
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高频考点透析
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高频考点 1 指数幂的运算 【例 1.1】 (2019 年济宁测试)化简下列各式：
1 23 (1)[(0.0645)－2.5]3－
数时，幂函数在定义域上为偶函数.
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答案
(一)1.(1)n 次方根
①正
负
n a
②两
相反数
n a
－n a
n ±a
④0
n 0＝0
(2)根指数 被开方数 (3)a |a|
2．(1)1
≠
1 (2)an
n (3)
am
1 (4)
n am
(5)0 没有意义 (6)ar＋s ars arbr
第5讲-指数函数与对数函数
指数函数与对数函数学习目标1、了解反函数的概念，以及函数与其反函数的图像关系，会求简单函数的反函数。
2、掌握指数函数、对数函数的定义及相关性质3、会利用指数函数、对数函数的相关性质分析和解决常规问题1、 反函数：对于函数()y f x =，设其定义域为A ，值域为B ，我们知道，按照定义，对任意的a A ∈，都有唯一的b B ∈，满足()b f a =，即点(,)P a b 在()y f x =的图像上。
如果这里的对应关系f 比较特殊，即对于值域B 中的元素b ，在定义域A 中与b 对应的元素只有a 一个元素，这样的话，我们利用f 可得到另外一个从B A →的对应关系：1:fB A -→，满足1()a f b -=，易知1:f B A -→是一个函数，我们记为1()y f x -=，并称其为()y f x =的反函数。
易知1()y f x -=的定义域为B ，值域为A ，满足1()a f b -=，也即点(,)Q b a 在1()y f x -=的图像上，由于(,)a b 与(,)b a 关于直线y x =对称，故函数与其反函数的图像关于直线y x =对称。
从反函数的定义，我们实际上也得到了反函数的求解方法： （1） 从()y f x =中反解出x ，不妨假设的得到()x y ϕ=（2） 将()x y ϕ=中的,x y 交换位置，得到()y x ϕ=，此即为()y f x =的反函数。
很明显，并非每个函数都有反函数。
2、有理数指数幂(1)幂的有关概念①正整数指数幂：n a a a a=⨯⨯⨯（n个a相乘，n∈N*)；②零指数幂：a0＝1(a≠0)；③负整数指数幂：1ppaa-=(a≠0，p∈N*)；④正分数指数幂：mn mna a=(a＞0，m、n∈N*，且n＞1)；⑤负分数指数幂：11mnm n mnaaa-==(a＞0，m、n∈N*且n＞1)．⑥0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．(2)有理数指数幂的性质 ①(0,,)r sr sa a aa r s Q +=>∈ ②()r s rs a a =(0,,)a r s Q >∈ ③()(0,0,)r r rab a b a b r Q =>>∈3、指数函数：形如(0,1)xy a a a =>≠的函数叫指数函数，其中a 叫底数，x 叫指数。
对数函数讲义(可直接使用)
一、教学目标：1．理解对数的概念，掌握对数的运算性质；2．掌握对数函数的概念、图象和性质；能利用对数函数的性质解题．二、教学重、难点：运用对数运算性质进行求值、化简、证明、运用对数函数的定义域、单调性解题三、命题规律：主要考察指数式ba N =与对数式log a Nb =的互化，对数函数的图像和性质或由对数函数复合成的函数，主要涉及比较大小、奇偶性、过定点、单调区间以及运用单调性求最值等，主要以填空为主。
四、教学内容：【知识回顾】 1.对数的概念如果 ,那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作 ，其中a 叫做对数的 ，N 叫做对数的 。
即指数式与对数式的互化：log ba aN b N =⇔=2.常用对数：通常将以10为底的对数10log N 叫做常用对数，记作lg N 。
自然对数：通常将以无理数 2.71828e =⋅⋅⋅为底的对数叫做自然对数，记作ln N 。
3.对数的性质及对数恒等式、换底公式（1）对数恒等式：①log Na a = (01,0)a a N >≠>且②log N a a =(01,0)a a N >≠>且（2）换底公式：log a N =log log b b Na（3）对数的性质：①负数和零没有对数 ② 1的对数是零，即log 10a =③底的对数等于1，即log 1a a = ④log log log a b c b c d ⋅⋅=log a d4.对数的运算性质如果01,0,0a a M N >≠>>且，那么（1）log ()a MN = ； （2）log aMN= ； （3）log n a M = ； （4）log na m M = 。
（5）log log a b b a ⋅= ； （6）log a b =1log b a5.对数函数函数log (01)a y x a a =>≠且做对数函数，其定义域为(0，+∞)，值域为(-∞，+∞).、6.对数函数图像与性质注：对数函数1log log (01)a ay x y x a a ==>≠与且的图像关于x 轴对称。
指数函数与对数函数一对一辅导讲义
【 例 3】比较下列各数的大小：
2
① (－2) 5 ；② ( )
2
3
1 － 2
；③ (－ )
2
3
2 － 5
；④ (－ ) ；⑤ (－ ) 5 ．
3 3
1
3
2
4
思路： 先利用分数指数幂的性质对各个数进行化简，
2 2
① (－2) 5 ＝ 2 5 ；② ( )
2 1 1 27
3
1 － 2
＝ ( ) 2 ；③ (－ )
a
（
1
b
）
A.log C. log
a
a
1 b
log b
a
log
1
b
b
B. log D.
b 1
b
log
1
a
b 1
a
log
b
b
log
1
b
b
log
1
a
b
log
b
log
b
log b
a
第三课时
对数函数与指数函数的关系
一、“对指互化”（底数不动、结果和次方互换位置）
1 ( ) 2
2
5
32
2
4；
log 3 81 4 ；
x
0且 a 1) ，总有 f (1)
a；
【例 1】化简下列各式：
－ 1 4
（ 1） (0.0081)
4
－［ 3×（
1
7
）］ ・ ［ 81
0
－1
－ 0.25
＋ (3 )
8
3
－
1 3
－
1 2
1
《对数的概念》指数函数与对数函数PPT优秀课件
思维脉络
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课前篇
自主预习
一
二
三
一、对数的概念
1.(1)某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,…依次类
推,那么1个这样的细胞分裂x次后,得到的细胞个数N是多少?
提示:N=2x.
(2)上述问题中,若已知分裂后得到的细胞的个数分别为8个,16个,
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课标阐释
1.理解对数的概念,掌握对数的
基本性质.
2.掌握指数式与对数式的互化,
能应用对数的定义和性质解方
程.
3.理解常用对数和自然对数的
定义形式以及在科学实践中的
应用.
4.了解对数的发展历史,了解数
学文化.
公开课课件优质课课件PPT优秀课件PP T免费 下载《 对数的 概念》 指数函 数与对 数函数P PT
(3)ln M=n用指数式如何表示?
提示:en=M.
2.填空
常用对数 以 10 为底数,记作 lg N
自然对数 以 e 为底数,记作 ln N,其中 e=2.718 28…
3.做一做
(1)lg 105=
答案:(1)5 (2)1
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(1)负数和零没有对数.
(2)loga1=0(a>0,a≠1).
(3)logaa=1(a>0,a≠1).
(4)对数恒等式log =N(a>0,且 a≠1,N>0).
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4.2 对数与对数函数 4.2.3 对数函数的性质与图像 第1课时 对数函数的性质与图像
第四章 指数函数、对数函数与幂函数
考点
学习目标
核心素养
理解对数函数的概念，会 对数函数的概念
判断对数函数
数学抽象
初步掌握对数函数的图
对数函数的图像
直观想象、数学运算
像与性质
对数函数的简单 能利用对数函数的性质
数学建模、数学运算
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问题导学
预习教材 P24－P27 的内容，思考以下问题： 1．对数函数的概念是什么？它的解析式具有什么特点？ 2．对数函数的图像是什么，通过图像可观察到对数函数具有哪 些性质？
栏目 导引
第四章 指数函数、对数函数与幂函数
对数函数
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第7讲指数函数与对数函数(学生版)
第7讲 指数函数与对数函数一．基础知识回顾1．指数函数的定义：函数 叫作指数函数，自变量x 在指数位置上，底数a ( )的常量．2．指数函数的图象与性质y ＝a x a >1 0<a <1图象定义域值域性质 过定点( )当x >0时， ； 当x <0时， 当x >0时， 当x <0时， ；在R 上是 函数 在R 上是 函数3. 当0<a <1时，指数函数的底数越小函数图像越接近坐标轴，当a >1，指数函数的底数越大函数图像越接近坐标轴4．对数函数的定义：一般地，我们把函数 (a>0，a≠1)叫作对数函数，a 叫作对数函数的 ，x 是 5．对数函数的图象与性质a >1 0<a <1图象性 质 定义域：值域：过点 ，即x ＝1时，y ＝0当x >1时， 当0<x <1时， 当x >1时，当0<x <1时，是(0，＋∞)上的 函数 是(0，＋∞)上的 函数6．当0<a 大函数图像越接近坐标轴7．反函数：指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线 对称．二．典例精析题型一：指数函数的性质及应用例1：(1)已知a ＝32)21(，b ＝234-，c ＝31)21(，则下列关系式中正确的是( ) A ．c <a <b B ．b <a <c C ．a <c <b D ．a <b <c(2)设偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，则{x |f (x －2)>0}＝( )A ．{x |x <－2或x >4}B ．{x |x <0或x >4}C ．{x |x <0或x >6}D ．{x |x <－2或x >2}(3)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12－x 2＋2x ＋1的单调减区间为______.变式训练1：(1)已知a ＝2，b ，c ，则( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．b >c >a(2)已知函数y ＝2－x 2 ＋ax ＋1在区间(－∞，3)内递增，则a 的取值范围为 ．（3）函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫14x －⎝⎛⎭⎫12x ＋1在x ∈[－3，2]上的值域是________题型二：指数型函数的综合问题例2：已知f (x )＝a a 2－1(a x －a －x )(a >0且a ≠1)． (1)判断f (x )的奇偶性；(2)讨论f (x )的单调性；(3)当x ∈[－1,1]时f (x )≥b 恒成立，求b 的取值范围．变式迁移2：已知函数f (x )＝(12x －1＋12)x 3. (1) 求f (x )的定义域；(2)证明：f (－x )＝f (x )； (3)证明：f (x )>0.题型三：对数函数的性质及应用 例3：已知a ＝231-，b ＝log 312，c ＝log 3121，则( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．c >a >b D ．c >b >a(2)定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上递增，f (13)＝0，则满足)(log 81x f >0的x 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(0，12)∪(2，＋∞)C ．(0，18)∪(12，2)D ．(0，12) (3)已知函数f (x )＝lg ax ＋a －2x在区间[1,2]上是增函数，则实数a 的取值范围是______ 变式训练3：(1)设函数f (x )＝log a |x |在(－∞，0)上单调递增，则f (a ＋1)与f (2) 的大小关系是( A )A ．f (a ＋1)>f (2)B ．f (a ＋1)<f (2)C ．f (a ＋1)＝f (2)D ．不能确定(2)已知函数f (x )＝a x ＋log a x (a >0，a ≠1)在[1，2]上的最大值与最小值之和为log a 2＋6，则a 的值为( C )A.12B.14C ．2D ．4 (3)已知函数f (x )＝ln(1－a 2x )的定义域是(1，＋∞)，则实数a 的值为________． 题型四：对数型函数的综合问题例4：已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a >0且a ≠1.(1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明；(3)若a >1时，求使f (x )>0的x 的解集．变式训练4：已知f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,9]，求y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值及y 取最大值时x 的值．三．方法规律总结2．比较两个指数幂大小时，尽量化同底数或同指数，当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后比较大小；当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小．3．指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如图所示，则0<c <d <1<a <b .在y 轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y 轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小；即无论在y 轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．4．求解与对数函数有关的复合函数的单调性的步骤：(1)确定定义域；(2)弄清函数是由哪些基本初等函数复合而成的，将复合函数分解成基本初等函数y ＝f (u )，u ＝g (x )；(3)分别确定这两个函数的单调区间；(4)若这两个函数同增或同减，则y ＝f (g (x ))为增函数，若一增一减，则y ＝f (g (x ))为减函数，即“同增异减”．5．用对数函数的性质比较大小：(1)同底数的两个对数值的大小比较例如，比较log a f (x )与log a g (x )的大小，其中a >0且a ≠1.①若a >1，则log a f (x )>log a g (x )⇔f (x )>g (x )>0.②若0<a <1，则log a f (x )>log a g (x )⇔0<f (x )<g (x )．(2)同真数的对数值大小关系如图：图象在x 轴上方的部分自左向右底逐渐增大，即0<c <d <1<a <b .6．常见对数方程式或对数不等式的解法：(1)形如log a f (x )＝log a g (x )(a >0且a ≠1)等价于f (x )＝g (x )，但要注意验根．对于log a f (x )>log a g (x )等价于0<a <1时，⎪⎩⎪⎨⎧<>>);()(,0)(,0)(x g x f x g x f a >1时，⎪⎩⎪⎨⎧>>>).()(,0)(,0)(x g x f x g x f (2)形如F (log a x )＝0、F (log a x )>0或F (log a x )<0，一般采用换元法求解．四．课后练习作业一．选择题1．函数f (x )＝ln （x ＋3）1－2x的定义域是( ) A ．(－3，0) B ．(－3，0] C ．(－∞，－3)∪(0，＋∞) D ．(－∞，－3)∪(－3，0)2．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝( )A ．log 31x B.12x C ． log 2x D ．2x －23．在同一坐标系中，函数y ＝2x 与y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象之间的关系是( ) A ．关于y 轴对称 B ．关于x 轴对称C ．关于原点对称 D ．关于直线y ＝x 对称4．已知f (x )＝3x －b (2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2，1)，则f (x )的值域为( )A ．[9，81]B ．[3，9]C ．[1，9]D ．[1，＋∞)5．函数f (x )＝a |x ＋1|(a ＞0，a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则f (－4)与f (1)的关系是( )A 不确定．B ．f (－4)＝f (1)C ．f (－4)＜f (1)D f (－4)＞f (1)6．函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋1的图象关于直线y ＝x 对称的图象大致是( )7．当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x<0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－2，1)B ．(－4，3)C ．(－1，2)D ．(－3，4)8．已知函数f (x )＝ln e x －e －x2，则f (x )是( ) A ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增B ．奇函数，且在R 上单调递增C ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减D ．偶函数，且在R 上单调递减9．设f (x )＝ln x,0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( )A.q ＝r ＜pB.p ＝r <qC.q ＝r >pD.p ＝r ＞q10．已知函数f (x )＝log a (2x －a )在区间⎣⎡⎦⎤12，23上恒有f (x )>0，则实数a 的取值范围是( B )A. ⎣⎡⎭⎫13，1B. ⎝⎛⎭⎫13，1C.⎝⎛⎭⎫23，1D.⎣⎡⎭⎫23，1 11．偶函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且在x ∈[0，1]时，f (x )＝x ，则关于x 的方程f (x )＝⎝⎛⎭⎫110x在x ∈[0，4]上解的个数是( B )A ．0B ．4C ．6D ．812．已知函数f (x )＝e x ＋m e x ＋1，若对于任意a ，b ，c ∈R ，都有f (a )＋f (b )>f (c )成立，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤12，2B.[0,1] C .[1,2] D.⎣⎡⎦⎤12，1 二．填空题13．已知正数a 满足a 2－2a －3＝0，函数f (x )＝a x ，若实数m 、n 满足f (m )＞f (n )，则m 、n 的大小关系为________．14．已知函数f (x )＝a 2x －4＋n (a >0且a ≠1)的图象恒过定点P (m ，2)，则m ＋n ＝________．15．函数y ＝log 3(x 2－2x )的单调减区间是________．16．已知函数f (x )＝|log 2x |，正实数m ，n 满足m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，则n ＋m ＝________．三．解答题17．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b 2x ＋1＋a是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围．18．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13ax 2－4x ＋3.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )有最大值3，求a 的值；(3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值．19．已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)．(1)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间；(2)是否存在实数a ，使f (x )的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．20．已知函数f (x )＝lg(a x －b x )(a >1>b >0)．(1)求y ＝f (x )的定义域；(2)在函数y ＝f (x )的图象上是否存在不同的两点，使得过这两点的直线平行于x 轴；(3)当a ，b 满足什么条件时，f (x )在(1，＋∞)上恒取正值．。
《指数与对数函数》课件
对数函数是一 种数学函数， 其定义域为所
有正实数。
对数函数的一 般形式为
y=loga(x)， 其中a为底数，
x为真数。
对数函数的值 域为所有实数。
对数函数的图 像是一条向右 下方倾斜的曲 线，其斜率随 着x的增大而减
小。
对数函数的图像：一条曲线， 斜率为1/b，b为底数
指数函数的图像：一条直线， 斜率为1/b，b为底数
指数函数：定义域为全体实数， 值域为全体正实数
对数函数：定义域为正实数， 值域为全体实数
比较：指数函数的定义域更广， 对数函数的值域更广
应用：指数函数常用于描述增 长和衰减，对数函数常用于描 述对数运算和转换
指数函数： y=a^x， a>0，y随x 增大而增大
对数函数： y=loga(x)， a>0，y随x 增大而减小
对数函数的性质：单调递增， 值域为R，定义域为(0, ∞)
对数函数的应用：在科学、工 程、经济等领域有广泛应用
科学计算：用于计算自然对数、 对数函数等
工程计算：用于计算电路、机 械、电子等领域的物理量
经济分析：用于计算经济增长 率、通货膨胀率等经济指标
生物学：用于计算种群数量、 基因频率等生物学指标
指数函数与对数函数的定义和性质
指数函数与对数函数的应用实例
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指数函数与对数函数的图像和性质
指数函数与对数函数的综合应用技 巧
求指数函数y=2^x与对数函数y=log2(x)的交点坐标 求指数函数y=3^x与对数函数y=log3(x)的交点坐标 求指数函数y=4^x与对数函数y=log4(x)的交点坐标 求指数函数y=5^x与对数函数y=log5(x)的交点坐标
指数与对数讲义
21、.已知函数 ，若 ，则 .
22、
六、对数函数的图像：
1、.若函数 （ ，且 ）的图像经过二、三、四象限，则一定有（）
A. 且 B. 且 C. 且 D. 且
2、.函数 的图像是（）
A B C D
3、.已知函数
（1）证明：函数 在 上是增函数；
（2）证明方程 没有负数根
A．lgB．lg5 C．2lg5 D．2lg
2、3log9(lg2－1)2＋5log25(lg0.5－2)2等于()
A．1＋2lg2 B．－1－2lg2 C．3 D．－3
3、已知lg2＝a，lg3＝b，则log36＝()
A.B.C.D.
4、.＝()
A．2 B.C．1 D.
5．(log43＋log83)(log32＋log98)等于()
定义域R
定义域R
值域y＞0
值域y＞0
在R上单调递增
在R上单调递减
非奇非偶函数
非奇非偶函数
函数图象都过定点（0，1）
函数图象都过定点（0，1）
注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：
（1）在[a，b]上， 值域是 或 ；
（2）若 ，则 ； 取遍所有正数当且仅当 ；
（3）对于指数函数 ，总有 ；
二、对数函数
2指数函数的图象和性质142142值域y0值域y0非奇非偶函数非奇非偶函数函数图象都过定点01函数图象都过定点01注意
清艳一对一学科教师辅导讲义
学生姓名：老师：上课时间：第课时总课时
【 课前准备】：
课前检查：
作业完成情况：优（）良（）中（）差（）
复习预习情况：优（）良（）中（）差（）
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学员编号： 年 级：高一 课 时 数：3 学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师： 课 题 对 数 函 数教学目标掌握对数函数的基本性质，灵活的运用教学内容知识点梳理 @-@1. 分数指数幂的运算性质：)()(),()(),(Q n b a ab Q n m a a Q n m a a a nn n mn n m n m n m ∈⋅=∈=∈=⋅+2.)10(≠>=a a a y x且的图象和性质： a>10<a<1图象1oy x1oy x性质 （1）定义域：R （2）值域：（0，+∞）（3）过点（0，1），即x=0时，y=1 （4）在 R 上是增函数（4）在R 上是减函数（5）当x>0时，y>1， 当x<0时，0<y<1， （5）当x>0时，0<y<1 当x<0时，y>1 （6）x 轴为渐近线3. 指数式与对数式的互化：log ba a N Nb =⇔=。
4. 重要公式：01log =a ，1log =a a 。
对数恒等式N a Na =log 。
5. 对数的运算法则如果0,1,0,0a a N M >≠>>，有log ()log log a a a MN M N =+log log log aa a MM N N =-log log n m a a mM M n =6. 对数换底公式：a NN m m a log log log =（ a > 0 ，a ≠ 1 ，m > 0 ，m ≠ 1，N>0）。
7. 两个常用的推论：①1log log =⋅a b b a ，1log log log =⋅⋅a c b c b a 。
②b m nb a n a m log log =（ a ，b > 0且均不为1）。
8. 对数函数的性质：a>10<a<1图 象1oyx1oyx性 质（1）定义域：（0，+∞） （2）值域：R（3）过点（1，0），即当1=x 时，0=y （4）)1,0(∈x 时 0<y ),1(+∞∈x 时 0>y（4）)1,0(∈x 时 0>y),1(+∞∈x 时0<y（5）在（0，+∞）上是增函数在（0，+∞）上是减函数（6）y 轴为渐近线9. 指数不等式与对数不等式的类型： （1）a f （x ）＞b ⇔讨论a 是否大于1 （2）a f （x ）＞a g （x ） ）⇔讨论a 是否大于1。
（3）a f （x ）＞b g （x ）⇔f （x ）log m a ＞g （x ）log m b （取对数法m>1）（4）log a f （x ）>log b g （x ）⇔log a f （x ）>log a g （x ）/log a b （换底法）Part 0:热身训练 @ -@1. 指数函数必过定点_____________，对数函数必过定点___________.2.函数f （x ）=|log 2x |的图象是1 1 1-1 1111 1 xxxxy y y y O OOOA BCD3. 函数)1,0(112log ≠〉-+=a a x x y a的图象过定点P ，则P 的坐标为___________ 4. （1）2(lg 2)lg 2lg50lg 25+⋅+； （2）3948(log 2log 2)(log 3log 3)+⋅+5. 已知f （x ）的定义域为［0，1］，则函数y =f ［log 21（3－x ）］的定义域是__________..已知1＜m ＜n ，令a =（log n m ）2，b =log n m 2，c =log n （log n m ），则A.a ＜b ＜cB.a ＜c ＜bC.b ＜a ＜cD.c ＜a ＜bPart 1: 定义域 & 值域例1求下列函数的定义域、值域： （1）)54(log 231++-=x x y ；（2）)(log 2x x y a --=)10(<<a(3))35lg(lg x x y -+=的定义域为_______；（4）312-=x y 的值域为_________；巩固练习：1. 函数)2lg()(-=x x f 的定义域是___________________.2. 函数)2lg()(2x x f -=的定义域是___________________.3. 函数xx x f --=12lg)(的定义域是___________________. 4. 函数)1(log 221-=x y 的定义域是___________________.5. 函数)1lg(2+-=ax x y 的定义域为R ，则实数a 的取值范围是_____________.6. 函数)1lg(2+-=ax ax y 的定义域为R ，则实数a 的取值范围是_____________．Part 2: 单调性质例2、求函数y=21log （322--x x )的单调减区间例3、若函数22log ()y x ax a =---在区间(,13)-∞-上是增函数，则a 的取值范围________________例4、若函数=y )3)1((log 22++-x m x 的值域为R ，求m 的取值范围。
例5、已知y=a log (2-x a )在［0，1］上是x 的减函数，求a 的取值范围。
巩固练习：1不等式1)3(log ≤-x ２的解集是___________________.2. )lg(2x x y +-=的递增区间为___________，值域为___________.3.已知y =log a （3－ax ）在［0，2］上是x 的减函数，求a 的取值范围.4.若函数f （x ）=log a x （0＜a ＜1）在区间［a ，2a ］上的最大值是最小值的3倍，则a 等于( )A.42 B.22 C.41D.21Part 3: 大？小？ 例1．4.0lg 4.0log 4.0log 4.0log 3211.0例2． 求函数6log 2log 2222+-=x x y 在]4,1[∈x 上的最大和最小值。
例3. 若)1(log )2(log +>+a a a a ，求a 的取值范围。
例4. 已知）（），（），（则23141,lg )(f f f x x f =的大小关系为___________________例5．若抛物线82log 2log 22++=a x a x y 的图象在x 轴上方，求实数a 的取值范围。
巩固练习：1． 不等式1)3(log 221-≤-x x 的解集是___________________.2. 若02log 2log <<b a ,则 （ ）Ａ．10<<<b a Ｂ．10<<<a b Ｃ．1>>b a Ｄ．1>>a b 3. 53log a＜1，则a 的取值范围是______________． 4. 若02log )1(log 2<<+a a a a ，求a 的取值范围。
5.函数x y a log =，当43log )1(log 2aa x x ≤+-成立时，a 的取值范围是_________.6．求函数6log 2log 2222+-=x x y 在],1[a x ∈上的最大和最小值。
Part 3: 图像 @-@例题6. 如图，指出函数①y=a x ;②y=b x ;③y=c x ;④y=d x 的图象，则a ，b ，c ，d 的大小关系是 A. a<b<1<c<d B. b<a<1<d<c C. 1<a<b<c<dD. a<b<1<d<c例题7. 如图是对数函数y=log a x 的图象，已知a 取值3，4/3，3/5，1/10，则相应于①，②，③，④的a 值依次是课堂练习： 1．041log 212≤-x ，则________∈x 2．函数)2(log )(π≤≤=x x x f a 的最大值比最小值大1，则__________∈a3．若02log )1(log 2<<+a a a a ，则a 的取值范围是 （ ）（A ）)1,0( （B ）)21,0( （C ）)1,21( （D ）),1(+∞4．若02log 2log <<b a ,则 （ ） （A ）10<<<b a （B ）10<<<a b （C ）1>>b a （D ）1>>a b5．函数)0(1log 2≠-=a ax y 图象的对称轴为2=x ，则a 为 （ ） （A ）21 （B ）21- （C ）2 （D ）2-6．(]2,1∈x 时，不等式x x a log )1(2≤-恒成立，则a 的取值范围是 （ ）（A ）)1,0( （B ）)2,1( （C ）(]2,1 （D ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,217．已知函数3234+⋅-=x x y 的值域为[]7,1，则x 的范围是 （ ） （A ）[]4,2 （B ）)0,(-∞ （C ）[]4,2)1,0(⋃ （D ）(][]2,10,⋃∞-8．已知函数=-=+-=)(,21)(,11lg )(a f a f x x x f 则若（ ） A ．21 B ．－21C ．2D ．－29．函数)1,0(log ≠>=a a x y a 在[]2,1上最大值比最小值大2a，则_________=a10．函数)2lg()(b x f x -=（b 为常数），若[)+∞∈,1x 时，0)(≥x f 恒成立，则（ ） （A ）1≤b （B ）1<b （C ）1≥b （D ）1=b11．已知3log 1)(x x f +=，2log 2)(x x g =，其中1,0≠>x x ，试比较)(x f 与)(x g 的大小关系。
12．求)1,0()(log ≠>-=a a a a y x a 的定义域。
13．设集合⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤+-=03log 14)(log 24221x x x A ，若函数2log log )(a x a a x a x f ⋅=，其中1,0≠>a a ，当Ax ∈时，其值域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-=241y y B ，求实数a 的值。
课后练习 1．3log 9log 28的值是 （ ）A ．32 B ．1 C ．23 D ．2 2．若log 2)](log [log log )](log [log log )](log [log 55153313221z y x ===0，则x 、y 、z 的大小关系是 （ ）A ．z ＜x ＜yB ．x ＜y ＜zC ．y ＜z ＜xD ．z ＜y ＜x 3．已知x =2+1,则lo g 4(x 3－x －6)等于（ ）A.23 B.45 C.0 D.21 4．已知lg2=a ，lg3=b ，则15lg 12lg 等于（ ）A ．ba ba +++12B ．ba ba +++12C ．ba ba +-+12D ．ba ba +-+125．已知2 lg(x －2y )=lg x ＋lg y ，则yx 的值为（ ）A ．1B ．4C ．1或4D ．4 或6.函数y =)12(log 21-x 的定义域为（ ）A ．(21，＋∞) B ．［1，＋∞) C ．( 21，1] D ．(－∞，1) 7．已知函数y =log 21 (ax 2＋2x ＋1)的值域为R ，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．a ＞ 1B ．0≤a ＜ 1C ．0＜a ＜1D ．0≤a ≤18.已知f (e x )=x ，则f (5)等于（ ） A ．e 5B ．5eC ．ln5D ．log 5e9．设集合B A x x B x x A ⋂>=>-=则|},0log |{},01|{22等于 （ ）A ．}1|{>x xB ．}0|{>x xC ．}1|{-<x xD ．}11|{>-<x x x 或10．若22log ()y x ax a =---在区间(,13)-∞-上是增函数，则a 的取值范围是（ ）A ．[223,2]-B ．)223,2⎡-⎣C ．(223,2⎤-⎦D ．()223,2-11．计算：log 2.56.25＋lg1001＋ln e ＋3log 122+= ． 12．已知m ＞1，试比较(lg m )0.9与(lg m )0.8的大小 ．13．函数y =(log 41x )2－log 41x 2＋5 在 2≤x ≤4时的值域为_____ _ ．三、解答题：14．已知y =log a (2－ax )在区间{0，1}上是x 的减函数，求a 的取值范围．15．已知函数f (x )=lg[(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1]，若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围．16．已知f (x )=x 2＋(lg a ＋2)x ＋lg b ，f (－1)=－2，当x ∈R 时f (x )≥2x 恒成立，求实数a 的值，并求此时f (x )的最小值？17．设0＜x ＜1，a ＞0且a ≠1，试比较|log a (1－x )|与|log a (1＋x )|的大小．18．已知函数||1()22x x f x =-． （1）若()2f x =，求x 的值；（2）若2(2)()0t f t mf t +≥对于[12]t ∈，恒成立，求实数m 的取值范围．19．若f（x）=x2－x+b，且f（log2a）=b，log2［f（a）］=2（a≠1）.（1）求f（log2x）的最小值及对应的x值；（2）x取何值时，f（log2x）＞f（1）且log2［f（x）］＜f（1）？小结:。