2016届四川省成都七中高三(下)入学数学试卷(文科)(解析版)

2015-2016学年四川省成都七中高三（下）入学数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．若集合A={x|x2﹣4x﹣5=0}，B={x|x2=1}，则A∩B=（）
A．﹣1 B．{﹣1}C．{5，﹣1} D．{1，﹣1}
2．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=（）
A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i
3．已知向量=（3，4），=（x，1），且（+）•=||，则实数x的值为（）A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．﹣3或0
4．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为（）
A．B．C．D．
5．已知等差数列=（）
A．B．C．D．
6．函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则此函数的解析式可为（）
A．y=2sin（2x﹣）B．y=2sin（2x﹣）C．y=2sin（4x﹣）D．y=2sin（4x+）7．AB是半径为1的圆的直径，在AB上的任意一点M，过点M垂直于AB的弦，则弦长
大于的概率是（）
A．B．C．D．
8．阅读如图所示的程序框图，若输入的k=10，则该算法的功能是（）
A．计算数列{2n﹣1}的前10项和B．计算数列{2n﹣1}的前9项和
C．计算数列{2n﹣1}的前10项和D．计算数列{2n﹣1}的前9项和
9．设函数f（x）在R上可导，其导函数f′（x），且函数f（x）在x=﹣2处取得极小值，则函数y=xf′（x）的图象可能是（）
A．B．C．
D．
10．设F1，F2是双曲线的两个焦点，P在双曲线上，若
，（c为半焦距），则双曲线的离心率为（）
A．B．C．2 D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．命题“∀x≥1，x＞2”的否定形式是．
12．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=cos3x+sin2x，则当x ＜0时，f（x）的表达为．
13．已知a＞0，x，y满足约束条件若z=2x+y的最小值为1，则a=．
14．设θ为第二象限角，若，则sinθ+cosθ=．
15．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S．则下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）．
①当0＜CQ＜时，S为四边形；
②当CQ=时，S不为等腰梯形；
③当CQ=时，S与C1D1的交点R满足C1R=；
④当＜CQ＜1时，S为六边形；
⑤当CQ=1时，S的面积为．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）=1．（I）求A角的大小；
（II）若△ABC的面积S=5，b=5，求a的值．
17．某校高一某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图因故都受到不同程度的损坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：
（Ⅰ）求分数在[50，60）的频率及全班人数；
（Ⅱ）求分数在[80，90）之间的频数，并计算频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高；
（Ⅲ）若规定：90分（包含90分）以上为优秀，现从分数在80分（包含80分）以上的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中至少有一份优秀的概率．
18．如图1，在等腰直角三角形ABC 中，∠A=90°，BC=6，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，
，O 为BC 的中点．将△ADE 沿DE 折起，得到如图2所示的四棱锥A ′﹣BCDE ，
其中．
（Ⅰ）证明：A ′O ⊥平面BCDE ； （Ⅱ）求O 到平面A ′DE 的距离．
19．已知数列{a n }满足：a 1=1，2a n +1=2a n +1，n ∈N +．数列{b n }的前n 项和为S n ，S n =9﹣
，n ∈N +．
（Ⅰ）求数列{a n }，{b n }的通项公式；
（Ⅱ）设c n =a n •b n ，n ∈N +．求数列{c n }的前n 项和T n ．
20．设函数f （x ）=e x +ax +b 在点（0，f （0））处的切线方程为x +y +1=0． （Ⅰ）求a ，b 值，并求f （x ）的单调区间； （Ⅱ）证明：当x ≥0时，f （x ）＞x 2﹣4．
21．在平面直角坐标系中，长度为3的线段AB 的端点A 、B 分别在x ，y 轴上滑动，点M 在线段AB 上，且|AM |=2|MB |，
（1）若点M 的轨迹为曲线C ，求其方程；
（2）过点P （0，1）的直线l 与曲线C 交于不同两点E 、F ，N 是曲线上不同于E 、F 的动点，求△NEF 面积的最大值．
2015-2016学年四川省成都七中高三（下）入学数学试卷
（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．若集合A={x |x 2﹣4x ﹣5=0}，B={x |x 2=1}，则A ∩B=（ ） A ．﹣1 B ．{﹣1} C ．{5，﹣1} D ．{1，﹣1} 【考点】交集及其运算．
【分析】分别求出集合A 和B 中一元二次方程的解，确定出两集合，找出两集合的公共元素，即可求出两集合的交集．
【解答】解：由集合A 中的方程x 2﹣4x ﹣5=0， 变形得：（x ﹣5）（x +1）=0， 解得：x=5或x=﹣1， ∴集合A={﹣1，5}， 由集合B 中的方程x 2=1， 解得：x=1或x=﹣1， ∴集合B={﹣1，1}， 则A ∩B={﹣1}． 故选B
2．设复数z 满足（1﹣i ）z=2i ，则z=（ ） A ．﹣1+i B ．﹣1﹣i C ．1+i D ．1﹣i 【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】根据所给的等式两边同时除以1﹣i ，得到z 的表示式，进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理成最简形式，得到结果． 【解答】解：∵复数z 满足z （1﹣i ）=2i ，
∴z=
=﹣1+i
故选A ．
3．已知向量=（3，4），=（x ，1），且（+）•=||，则实数x 的值为（ ） A ．﹣3 B ．﹣2 C ．0 D ．﹣3或0 【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】运用向量的数量积的坐标表示和向量模的公式，及向量的平方即为模的平方，解方程即可得到．
【解答】解：向量=（3，4），=（x ，1），
∴
=3x +4，||=5，||=
∵（+）•=||，
∴+2=||，
即3x+4+1+x2=5，
解得x=0或﹣3，
故选：D．
4．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为（）
A．B．C．D．
【考点】简单空间图形的三视图．
【分析】由题意画出几何体的直观图，然后判断以zOx平面为投影面，则得到正视图即可．【解答】解：因为一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），几何体的直观图如图，是正方体的顶点为顶点的一个
正四面体，所以以zOx平面为投影面，则得到正视图为：
故选A．
5．已知等差数列=（）
A．B．C．D．
【考点】等差数列的性质．
【分析】根据等差数列的性质S4，S8﹣S4，S12﹣S8，S16﹣S12也成等差数列，结合，
我们易根据等差数列的性质得到S8=3S4，S16=10S4，代入即可得到答案．
【解答】解：根据等差数列的性质，
若数列{a n}为等差数列，则S4，S8﹣S4，S12﹣S8，S16﹣S12也成等差数列；
又∵，则数列是以S4为首项，以S4为公差的等差数列
则S8=3S4，S16=10S4，
∴=
故选D
6．函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则此函数的解析式可为（）
A．y=2sin（2x﹣）B．y=2sin（2x﹣）C．y=2sin（4x﹣）D．y=2sin（4x+）【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【分析】由图知，A=2，T=，从而可求ω，再由ω+φ=2kπ+（k∈Z），结合
﹣＜φ＜可求得φ，从而可得此函数的解析式．
【解答】解：由图知A=2，T=﹣（﹣）=，
∴T=π，故ω==2，
又ω+φ=2kπ+（k∈Z），即×2+φ=2kπ+（k∈Z），
∴φ=2kπ﹣（k∈Z），
又﹣＜φ＜，
∴φ=﹣，
∴y=2sin（2x﹣）．
故选B．
7．AB是半径为1的圆的直径，在AB上的任意一点M，过点M垂直于AB的弦，则弦长
大于的概率是（）
A．B．C．D．
【考点】几何概型．
【分析】根据几何概型的概率公式，即可得到结论．
【解答】解：当CD=时，OM=，
即弦长大于，M到圆心O的距离|OM|，
∴根据几何概型的概率可得弦长大于的概率是，
故选：C
8．阅读如图所示的程序框图，若输入的k=10，则该算法的功能是（）
A．计算数列{2n﹣1}的前10项和B．计算数列{2n﹣1}的前9项和
C．计算数列{2n﹣1}的前10项和D．计算数列{2n﹣1}的前9项和
【考点】程序框图．
【分析】从赋值框给出的两个变量的值开始，逐渐分析写出程序运行的每一步，便可得到程序框图表示的算法的功能．
【解答】解：框图首先给累加变量S和循环变量i赋值，
S=0，i=1；
判断i＞10不成立，执行S=1+2×0=1，i=1+1=2；
判断i＞10不成立，执行S=1+2×1=1+2，i=2+1=3；
判断i＞10不成立，执行S=1+2×（1+2）=1+2+22，i=3+1=4；
…
判断i＞10不成立，执行S=1+2+22+…+29，i=10+1=11；
判断i＞10成立，输出S=1+2+22+ (29)
算法结束．
故则该算法的功能是计算数列{2n﹣1}的前10项和．
故选A．
9．设函数f（x）在R上可导，其导函数f′（x），且函数f（x）在x=﹣2处取得极小值，则函数y=xf′（x）的图象可能是（）
A．B．C．
D．
【考点】利用导数研究函数的极值；函数的图象．
【分析】由题设条件知：当x＞﹣2时，xf′（x）＜0；当x=﹣2时，xf′（x）=0；当x＜﹣2时，xf′（x）＞0．由此观察四个选项能够得到正确结果．
【解答】解：∵函数f（x）在R上可导，其导函数f′（x），
且函数f（x）在x=﹣2处取得极小值，
∴当x＞﹣2时，f′（x）＞0；
当x=﹣2时，f′（x）=0；
当x＜﹣2时，f′（x）＜0．
∴当x＞﹣2时，xf′（x）＜0；
当x=﹣2时，xf′（x）=0；
当x＜﹣2时，xf′（x）＞0．
故选A．
10．设F1，F2是双曲线的两个焦点，P在双曲线上，若
，（c为半焦距），则双曲线的离心率为（）
A．B．C．2 D．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】由，可得△PF1F2是直角三角形，由勾股定理得（2c）
2=|PF
1|2+|PF
2|
2=|PF
1﹣PF2|
2﹣2|PF
1||PF2|=4a
2﹣4ac，即可求出双曲线的离心率．
【解答】解：由题意得，△PF1F2是直角三角形，
由勾股定理得（2c）2=|PF1|2+|PF2|2=|PF1﹣PF2|2﹣2|PF1||PF2|=4a2﹣4ac，
∴c2﹣ac﹣a2=0，
∴e2﹣e﹣1=0，
∵e＞1，
∴e=．
故选：D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．命题“∀x≥1，x＞2”的否定形式是∃x≥1，x≤2．
【考点】命题的否定．
【分析】利用全称命题对方的是特称命题，写出结果即可．
【解答】解：因为全称命题对方的是特称命题，所以，命题“∀x≥1，x＞2”的否定形式是：∃x≥1，x≤2成立．
故答案为：∃x≥1，x≤2．
12．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=cos3x+sin2x，则当x ＜0时，f（x）的表达为f（x）=sin2x﹣cos3x．
【考点】正弦函数的奇偶性；函数奇偶性的性质．
【分析】令x＜0⇒﹣x＞0，利用当x＞0时，f（x）=cos3x+sin2x与函数f（x）是定义在R 上的奇函数，即可求得答案．
【解答】解：若x＜0，则﹣x＞0，
∵当x＞0时，f（x）=cos3x+sin2x，
∴f（﹣x）=cos（﹣3x）+sin（﹣2x）=cos3x﹣sin2x，
又函数f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（﹣x）=﹣f（x），
∴﹣f（x）=cos3x﹣sin2x，
∴f（x）=sin2x﹣cos3x．
即当x＜0时，f（x）的表达为：f（x）=sin2x﹣cos3x．
故答案为：f（x）=sin2x﹣cos3x．
13．已知a＞0，x，y满足约束条件若z=2x+y的最小值为1，则a=．
【考点】简单线性规划．
【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=2x+y过可行域内的点B时，从而得到a值即可
【解答】解：先根据约束条件画出可行域，
设z=2x+y，
将最大值转化为y轴上的截距，
当直线z=2x+y经过点B时，z最小，
由得：，代入直线y=a（x﹣3）得，a=；
故答案为：
14．设θ为第二象限角，若，则sinθ+cosθ=﹣．
【考点】两角和与差的正切函数；同角三角函数间的基本关系．
【分析】已知等式利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简，求出tanθ的值，再根据θ为第二象限角，利用同角三角函数间的基本关系求出sinθ与cosθ的值，即可求出sinθ+cosθ的值．
【解答】解：∵tan（θ+）==，
∴tanθ=﹣，
而cos2θ==，
∵θ为第二象限角，
∴cosθ=﹣=﹣，sinθ==，
则sinθ+cosθ=﹣=﹣．
故答案为：﹣
15．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S．则下列命题正确的是①③⑤（写出所有正确命题的编号）．
①当0＜CQ＜时，S为四边形；
②当CQ=时，S不为等腰梯形；
③当CQ=时，S与C1D1的交点R满足C1R=；
④当＜CQ＜1时，S为六边形；
⑤当CQ=1时，S的面积为．
【考点】平行投影及平行投影作图法．
【分析】由题意作出满足条件的图形，由线面位置关系找出截面可判断选项的正误．
【解答】解：如图
当CQ=时，即Q为CC1中点，此时可得PQ∥AD1，AP=QD1==，
故可得截面APQD1为等腰梯形，故②不正确；
由上图当点Q向C移动时，满足0＜CQ＜，只需在DD1上取点M满足AM∥PQ，
即可得截面为四边形APQM，故①正确；
③当CQ=时，如图，
延长DD1至N，使D1N=，连接AN交A1D1于S，连接NQ交C1D1于R，连接SR，
可证AN∥PQ，由△NRD1∽△QRC1，可得C1R：D1R=C1Q：D1N=1：2，故可得C1R=，故正确；
④由③可知当＜CQ＜1时，只需点Q上移即可，此时的截面形状仍然上图所示的APQRS，
显然为五边形，故错误；
⑤当CQ=1时，Q与C1重合，取A1D1的中点F，连接AF，可证PC1∥AF，且PC1=AF，
可知截面为APC1F为菱形，故其面积为AC1•PF=，故正确．
故答案为：①③⑤
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）=1．（I）求A角的大小；
（II）若△ABC的面积S=5，b=5，求a的值．
【考点】余弦定理．
【分析】（I）利用诱导公式、倍角公式即可得出．
（II）利用三角形面积计算公式、余弦定理即可得出．
【解答】解：（I）由cos2A﹣3cos（B+C）=1，可得：2cos2A+3cosA﹣2=0，解得cosA=，或cosA=﹣2（舍去）．
∵A∈（0，π），∴A=．
（II）由S=bcsinA==5，化为：bc=20，又b=5，解得c=4．
由余弦定理得a2=52+42﹣2×5×4cosA=21，
故a=．
17．某校高一某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图因故都受到不同程度的损坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：
（Ⅰ）求分数在[50，60）的频率及全班人数；
（Ⅱ）求分数在[80，90）之间的频数，并计算频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高；（Ⅲ）若规定：90分（包含90分）以上为优秀，现从分数在80分（包含80分）以上的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中至少有一份优秀的概率．
【考点】频率分布直方图；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】（I）分数在[50，60）的频率为第一组矩形的面积，全班人数为该组的频数与频率的比值；
（II）用全班人数减去其余组的人数即为[80，90）之间的频数，用该组的频率与组距的比值为矩形的高；
（III）对符合条件的试卷进行编号，使用列举法求出基本事件个数和符合条件的基本事件个数，得出概率．
【解答】解：（1）分数在[50，60）的频率为0.008×10=0.08
由茎叶图知：分数在[50，60）之间的频数为2，所以全班人数为=25
（2）分数在[80，90）之间的频数为25﹣2﹣7﹣10﹣2=4
频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高为÷10=0.016
（3）由（2）可知分数分数在[80，100）的人数为4+2=6，设分数在[80，90）的试卷为A，B，C，D，分数在[90，100）的试卷为a，b．
则从6分试卷中任取两份共有15个基本事件，分别是AB，AC，AD，Aa，Ab，BC，BD，Ba，Bb，CD，Ca，Cb，Da，Db，ab．
其中至少有一份优秀共有9个基本事件，分别是Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，Da，Db，ab，
∴抽取的试卷中至少有一份优秀的概率P==．
18．如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=6，D，E分别是AC，AB上的点，
，O为BC的中点．将△ADE沿DE折起，得到如图2所示的四棱锥A′﹣BCDE，
其中．
（Ⅰ）证明：A′O⊥平面BCDE；
（Ⅱ）求O 到平面A ′DE 的距离．
【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定．
【分析】（Ⅰ）利用线面垂直的判定定理证明A ′O ⊥平面BCDE ．
（Ⅱ）利用等体积，求O 到平面A ′DE 的距离．
【解答】（Ⅰ）证明：在图1中，易得OC=3，AC=3，AD=2，
连结OD ，OE ，在△OCD 中，
由余弦定理可得OD==
由翻折不变性可知A'D=2，
∴A'O 2+OD 2=A'D 2，
∴A'O ⊥OD ．
同理可证A'O ⊥OE ，
又OD ∩OE=O ，
∴A'O ⊥平面BCDE ．
（Ⅱ）解：过D 作DH ⊥BC 交OC 于H ，则DH=1，
∵DE=4，∴S △ODE =
=2．
∵S △A ′DE ==4，
∴由等体积可得，O 到平面A ′DE 的距离=
=．
19．已知数列{a n }满足：a 1=1，2a n +1=2a n +1，n ∈N +．数列{b n }的前n 项和为S n ，S n =9﹣
，n ∈N +．
（Ⅰ）求数列{a n }，{b n }的通项公式；
（Ⅱ）设c n =a n •b n ，n ∈N +．求数列{c n }的前n 项和T n ．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【分析】（Ⅰ）根据数列的递推关系即可求数列{a n }，{b n }的通项公式；
（Ⅱ）求出数列{c n }的通项公式，利用错位相减法即可求出数列{c n }的前n 项和T n ．
【解答】解：（Ⅰ）由2a n +1=2a n +1得a n +1﹣a n =，
又a 1=1，所以数列{a n }是以1为首项，为公差的等差数列，
于是a n =a 1+（n ﹣1）d=
，
当n=1时，b 1=S 1=9﹣=9﹣3=6，
=，
当n≥2时，S n
﹣1
=9﹣﹣[]=，
则b n=S n﹣S n
﹣1
又n=1时，=6=b1，
所以b n=．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a n=，b n=，
所以c n=a n•b n=（n+1），
所以T n=2×（）﹣1+3×（）0+4×（）1+...+（n+1）×（）n﹣2 (1)
等式两边同乘以得
T n=2×（）0+3×（）1+4×（）2+...+（n+1）×（）n﹣1 (2)
（1）﹣（2）得
T n=2×（）﹣1+（）0+（）1+…+×（）n﹣2﹣（n+1）×（）n﹣1=6+
﹣（n+1）×（）n﹣1，
所以T n=﹣（）n﹣2．
20．设函数f（x）=e x+ax+b在点（0，f（0））处的切线方程为x+y+1=0．
（Ⅰ）求a，b值，并求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）证明：当x≥0时，f（x）＞x2﹣4．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（Ⅰ）求函数的导数，利用导数的几何意义以及切线方程建立方程关系即可求a，b 值以及f（x）的单调区间；
（Ⅱ）构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值关系即可证明不等式．
【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=e x+a，
由已知，f′（0）=﹣1，f（0）=﹣1，
故a=﹣2，b=﹣2，
f′（x）=e x﹣2，
当x∈（﹣∞，ln2）时，f′（x）＜0，当x∈（ln2，+∞）时，f′（x）＞0，
故f（x）在（﹣∞，ln2）单调递减，在（ln2，+∞）单调递增；…
（Ⅱ）设g（x）=f（x）﹣（x2﹣4）=e x﹣x2﹣2x+2，
g′（x）=e x﹣2x﹣2=f（x）在（ln2，+∞）单调递减，在（﹣∞，ln2）单调递增，
因为g′（0）=﹣1＜0，g′（2）=e2﹣6＞0，0＜ln2＜2，
所以g′（x）在[0，+∞）只有一个零点x0，且x0∈（0，2），=2x0+2，
当x∈[0，x0）时，g′（x）＜0，
当x∈（x0，+∞）时，g′（x）＞0，
即g（x）在[0，x0）调递减，在（x0，+∞）时，单调递增，
当x≥0时，g（x）≥g（x0）==4﹣＞0，
即f（x）＞x2﹣4，…
21．在平面直角坐标系中，长度为3的线段AB的端点A、B分别在x，y轴上滑动，点M 在线段AB上，且|AM|=2|MB|，
（1）若点M的轨迹为曲线C，求其方程；
（2）过点P（0，1）的直线l与曲线C交于不同两点E、F，N是曲线上不同于E、F的动点，求△NEF面积的最大值．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．
【分析】（1）设A，B，M的坐标，根据|AM|=2|MB|，确定坐标之间的关系，利用长度为3的线段AB的端点A、B分别在x，y轴上滑动，求出轨迹方程，即可求出曲线C的方程；（2）分类讨论，直线的斜率存在时，设l：y=kx+1代入椭圆方程，利用弦长公式，求出|EF|，再求出l，l′的距离，表示出△NEF面积，利用导数法，即可得到△NEF面积的最大值．【解答】解：（1）设A（x0，0），B（0，y0），M（x，y）
∵|AM|=2|MB|，
∴，
∴x0=3x，y0=y，
∵长度为3的线段AB的端点A、B分别在x，y轴上滑动，
∴x02+y02=9
∴=1，
∴曲线C的方程是=1 …..
）max=2 …..
（2）当直线的斜率不存在时，即l：x=0，此时（S
△NEF
当直线的斜率存在时，设l：y=kx+1，E（x1，y1），F（x2，y2），
y=kx+1代入椭圆方程，可得（4+k2）+2kx﹣3=0，
有x1+x2=﹣，x1x2=﹣，
∴|EF|=…..
最大，
由题知过N的直线l′∥l，且l′与椭圆切于N点时，S
△NEF
故设l′：y=kx+b（b≤﹣2）
联立l′与椭圆方程得（4+k2）+2kbx+b2﹣3=0，此时△=0，可得k2=b2﹣4
l，l′的距离d=，
=••=（b≤﹣2），….. ∴S
△NEF
）2=4（1+）（b≤﹣2）
∴（S
△NEF
）2，t=（﹣≤t＜0），
设y=（S
△NEF
有y=4（1+t）（1﹣t）3，
∴y′=﹣8（1﹣t）2（2t+1）＜0，
∴函数y在（﹣，0），上单调递减，
）max=＞2
∴当t=﹣时，函数y取得最大值，即b=﹣2时，（S
△NEF
综上所述，（S
）max=…．．
△NEF
2016年10月25日。