补差2直线的方程
直线的两点式方程公式例题及解析
直线的两点式方程公式例题及解析直线是解析几何中的基础概念之一，对于直线而言，最常见的表示方法是使用方程来描述。
而直线的两点式方程公式是常用的一种写法。
本文将通过例题来介绍直线的两点式方程公式及其解析过程。
例题一已知直线上两点A(1, 2)和B(3, 4)，求直线的两点式方程。
解析直线的两点式方程公式的一般形式为：(y-y1)/(x-x1) = (y-y2)/(x-x2)其中，(x1, y1)和(x2, y2)分别为直线上的两个点。
代入已知条件，得到：(y-2)/(x-1) = (y-4)/(x-3)为了将方程转化为一般形式，我们可以通过交叉相乘的方法进行简化：(y-2)(x-3) = (y-4)(x-1)展开得：xy - 3y - 2x + 6 = xy - y - 4x + 4*化简后可得：-2x + 2y - 2 = 0这就是直线的两点式方程。
例题二已知直线上两点A(-2, 3)和B(4, -1)，求直线的两点式方程。
解析同样地，代入已知条件，得到：(y-3)/(x+2) = (y+1)/(x-4)交叉相乘进行简化：(y-3)(x-4) = (y+1)(x+2)展开得：xy - 4y - 3x + 12 = xy + y + 2x + 2*化简后可得：-5x - 5y + 10 = 0这就是直线的两点式方程。
例题三已知直线上两点A(0, 1)和B(2, 9)，求直线的两点式方程。
解析同样地，代入已知条件，得到：(y-1)/(x-0) = (y-9)/(x-2)交叉相乘进行简化：(y-1)(x-2) = (y-9)(x-0)展开得：xy - 2y - x + 2 = xy - 9y*化简后可得：7y - x - 2 = 0这就是直线的两点式方程。
结论通过以上例题及解析，我们可以得出结论：直线的两点式方程公式可以通过已知直线上的两个点的坐标来确定。
可以根据两点式方程公式将直线转化为一般形式的方程，方便进行进一步的计算与研究。
数学必修二直线方程知识点
数学必修二直线方程知识点
1. 直线的一般方程：一般地，直线的一般方程可表示为Ax + By + C = 0，其中A、B
和C为实数且A和B不同时为0。
2. 斜率截距方程：斜率截距方程是直线的另一种常用表示方法，可表示为y = mx + b，其中m为直线的斜率，b为直线与y轴的截距。
3. 斜率公式：直线的斜率可通过两点的坐标（x1, y1）和（x2, y2）计算，斜率m = (y2 - y1)/(x2 - x1)。
4. 点斜式方程：点斜式方程是直线的一种特殊表示方法，可表示为y - y1 = m(x - x1)，其中(x1, y1)为直线上的一点，m为直线的斜率。
5. 两直线的关系：两条直线可以相交、平行或重合。
两条直线平行的条件是它们的斜
率相等，两条直线重合的条件是它们的斜率相等且有一个公共点。
6. 垂直平分线：两条直线相互垂直的条件是它们的斜率的乘积为-1。
7. 两点间的距离公式：可以使用两点的坐标（x1, y1）和（x2, y2）来计算两点间的距离d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)。
8. 角的平分线：直线和另一条直线的夹角的平分线将夹角分成两个相等的角。
9. 线段的中点：直线的中点是指直线上且离两个端点等距离的点。
10. 线段的延长线：直线上的延长线是指直线上的一条线段，其中一端点在直线上，另一端点在直线的外部。
这些是数学必修二中关于直线方程的一些重要知识点。
2019-2020年高中数学《直线的方程(二)》导学案 北师大版必修2
2019-2020年高中数学《直线的方程（二）》导学案北师大版必修21.掌握直线的截距式方程和一般式方程,归纳直线方程的五种形式各自的特点及适用范围.2.能根据具体问题的特点选择恰当的直线方程解决问题.同学们,前面我们学习了直线的点斜式,斜截式,两点式,可以发现它们都是二元一次方程.现在请同学们思考一下,在平面直角坐标系中的每一条直线是否都可以用一个关于x,y 的二元一次方程表示.问题1:直线方程的截距式(1)通常称为直线方程的截距式.其中,a为直线在上的截距,b为直线在上的截距,且a≠0,b≠0.截距式是两点式的特殊情况.(2)“截距”是直线与坐标轴交点的,有正有负.而“距离”是一个,两者是不同的概念.问题2:(1)关于x,y的二元一次方程(其中A,B不同时为0)叫作直线的一般式方程,简称一般式.(2)当B≠0时,其斜率是,在y轴上的截距是-;当B=0时,这条直线垂直于轴,没有斜率;特别地,当A=0时,直线垂直于轴,斜率为.问题3:直线方程的五种形式及适用的条件?(1)点斜式:已知直线过点P(x0,y0),斜率为k,则直线方程为y-y0=k(x-x0),其存在条件是斜率存在.(2)斜截式:已知直线的斜率为k,在y轴上的截距为b,则直线方程为y=kx+b,其存在条件是斜率存在,它是点斜式的特殊情形.(3)两点式:已知直线经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则直线方程为=,其存在条件是x1≠x2,且y1≠y2,它是由点斜式推得的.(4)截距式:已知直线在x轴、y轴上的截距分别为a、b,则直线方程为+=1,其存在条件是截距存在且不为0,它是两点式的特殊情形.(5)一般式:任何直线方程均可表示为Ax+By+C=0(其中A、B不全为0)的形式,在求直线方程时,常把结果整理为一般式.问题4:如何求直线的方程?(1)待定系数法:待定系数法是求直线方程最基本、最常用的方法之一.(2)方程形式的选择:①已知一点通常选择点斜式;已知斜率选择斜截式或点斜式;已知截距或两点选择截距式或两点式.②与ax+by+c=0(a、b不同时为0)平行的直线可设为ax+by+m=0(m≠c).③与ax+by+c=0(a、b不同时为0)垂直的直线可设为bx-ay+p=0.注意:涉及斜率时要讨论存在和不存在的情况;涉及截距时要讨论为0和不为0的情况.1.直线y-1=4(x+2)化为一般式方程为().A.4(x+2)-y+1=0B.4x-y+9=0C.y=4x+9D.=42.直线l:2x-y+1=0不经过().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.直线2x+3y-6=0的斜率是,在y轴上的截距是,它的截距式方程是.4.直线4x+3y+d=0与两坐标轴围成的三角形的面积为6,求此直线在x轴上的截距.考查截距求经过点A (-3,4),且在坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程.求直线的一般式方程根据下列条件求解直线的一般式方程:(1)直线的斜率为2,且经过点A(1,3);(2)斜率为,且在y轴上的截距为4;(3)经过两点A(2,-3),B(-1,-5);(4)在x,y轴上的截距分别为2,-4.考查直线系方程已知直线l:5ax-5y-a+3=0.(1)求证:不论a为何值,直线l总经过第一象限;(2)为使直线不经过第二象限,求a的取值范围.已知直线l过点P(-5,4),且与两坐标轴正半轴围成的三角形的面积为5,求直线l的方程.根据下列各条件写出直线的一般式方程.(1)斜率是-,经过点A(8,-2);(2)经过点B(4,2),平行于x轴;(3)在x轴和y轴上的截距分别是、-3;(4)经过两点P1(3,-2),P2(5,-4).设直线l的方程为(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6,根据下列条件分别确定m的值.(1) l在x轴上的截距是-3;(2) l的斜率是-1.1.如果直线l:Ax+By+C=0的倾斜角为45°,则有().A.A=BB.A=-BC.AB=1D.AB=-12.若a-b+c=0,则直线ax+by+c=0必经过的一个定点是().A.(1,1)B.(-1,1)C.(1,-1)D.(-1,-1)3.直线l:ax+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距相等,则a= .4.已知直线ax+by+c=0,其中a,b,c同号,求直线与两坐标轴围成的三角形的面积.(2013年·上海卷)已知直线l1:(k-3)x+(4-k)y+1=0,与l2:2(k-3)x-2y+3=0平行,则k 的值是().A.1或3B.1或5C.3或5D.1或2考题变式(我来改编):第3课时直线的方程(二)知识体系梳理问题1:(1)+=1x轴y轴(2)横(纵)坐标非负数问题2:(1)Ax+By+C=0(2)-x y 0基础学习交流1.B y-1=4(x+2)⇒y-1=4x+8⇒4x-y+9=0.2.D直线l:2x-y+1=0与x轴、y轴的交点分别为(-,0)、(0,1),则直线l不经过第四象限.故选D.3.-2+=1直线2x+3y-6=0可化为y=-x+2,故斜率为-,在y轴上的截距为2,截距式方程为+=1.4.解:令x=0,y=0得直线在y轴,x轴上的截距分别为-,-.∴×|-|×|-|=6,解得d=±12,∴直线在x轴上的截距为3或-3.重点难点探究探究一:【解析】设方程为+=1.将A(-3,4)代入上式,有+=1,解得a=-7.代入整理得所求直线方程为x-y+7=0.[问题]上述解法正确吗?当直线l在坐标轴上的截距互为相反数时,方程一定为+=1吗?[结论]不一定,0的相反数也为0,但分母不能是0.于是,正确解答如下:当直线l在坐标轴上的截距都不为零时,设其方程为+=1.将A(-3,4)代入方程,有+=1,解得a=-7,代入整理得所求直线方程为x-y+7=0.当直线l在坐标轴上的截距都为零时,设其方程为y=kx.将A(-3,4)代入方程,得4=-3k,即k=-.∴所求直线方程为y=-x,即4x+3y=0.故所求直线l的方程为x-y+7=0或4x+3y=0.【小结】涉及在两坐标轴上的截距是倍数关系(包括相等关系,互为相反数关系等)时,不要遗漏截距均为零这一情形.探究二:【解析】 (1)因为k=2,且经过点A(1,3),由直线的点斜式可得y-3=2(x-1),整理可得直线的一般式方程为2x-y+1=0.(2)由直线的斜率k=,且在y轴上的截距为4,故直线的斜截式为y=x+4,整理可得直线的一般式方程为x-y+4=0.(3)由直线的两点式可得=,整理得直线的一般式方程为2x-3y-13=0.(4)由直线的截距式可得+=1,整理得直线的一般式方程为2x-y-4=0.【小结】利用直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式求解直线的方程时,一定要注意每种方程形式的适用范围,要注意对斜率是否存在,截距是否为0进行分类讨论,最后将方程形式转化为一般式.探究三:【解析】(1)直线l的方程可化为y-=a(x-),∴直线l的斜率为a,且过定点A(,),而点A(,)在第一象限内,故不论a为何值,直线l恒过第一象限.(2)直线OA的斜率为k==3.如图所示,要使l不经过第二象限,需斜率a≥k OA=3,∴a的取值范围为[3,+∞).【小结】含有一个参数的直线方程,一般是过定点的,这里对一般式灵活变形是解决问题的关键.思维拓展应用应用一:由已知得直线在两坐标轴上的截距不为0,∴可设直线l的方程为+=1(a>0,b>0),由直线l过点P(-5,4),得+=1.①直线l与两坐标轴正半轴围成的三角形的面积为5,即ab=5,ab=10.②解①②得a=5,b=2.∴直线l的方程为+=1,即2x+5y-10=0.应用二:(1)由点斜式得y-(-2)=-(x-8),化成一般式为x+2y-4=0.(2)由斜截式得y=2,即一般式为y-2=0.(3)由截距式得+=1,即一般式为2x-y-3=0.(4)由两点式得=,即一般式为x+y-1=0.应用三:(1)由题意得由①可得m≠-1且m≠3.由②得m=3或m=-,∴m=-.(2)由题意得由③得m≠-1且m≠.由④得m=-1或m=-2.∴m=-2.基础智能检测1.B直线l的斜率k=-,又k=tan 45°=1,得A=-B.故选B.2.C由a-b+c=0,知点(1,-1)满足方程ax+by+c=0.故选C.3.-2或1由题意知a≠0,令x=0,得y=2+a;令y=0,得x=,故2+a=,解得a=-2或a=1.4.解:设直线与x轴交于点A(-,0),与y轴交于点B(0,-),所以S△AOB=·|-|·|-|=.全新视角拓展C当k=3时,两直线平行,当k≠3时,由两直线平行斜率相等,得:=k-3,解得k=5.思维导图构建y-y0=k(x-x0)y=kx+b =(x1≠x2,y1≠y2)。
直线方程的两点式
直线方程的两点式直线方程的两点式是高中数学中常见的一种求解直线方程的方法，它通过两点来求解直线方程的斜率和截距，是高中数学解决实际问题的简便方法。
本文就来介绍这一重要的数学概念，具体内容分别有以下几点：一、什么是直线方程的两点式？直线方程的两点式即过两点求解直线方程的斜率和截距的方法。
它的具体形式为：y=kx+b即：直线的斜率k为两点的纵坐标之差除以横坐标之差，截距b 为(0,b)是直线和y轴的交点，即纵坐标b等于：纵坐标加斜率乘以相应横坐标。
二、求解直线方程的两点式步骤在求解直线方程的两点式时，首先要弄清楚问题所涉及的两个点的坐标，一般给定的两个点的坐标形式是：A(x1,y1)，B(x2,y2)。
（1）先求斜率：将两点的纵坐标之差除以横坐标之差，即可求得斜率k：k=（y2-y1）/（x2-x1）（2）再求截距：将斜率k带入直线方程：y=kx+b可有：y=（y2-y1）/（x2-x1）x+b将(x1,y1)代入上式，即可求得截距b：b=y1-（y2-y1）/（x2-x1）x1三、直线方程的两点式的应用直线方程的两点式可以帮助我们更好的去解决实际问题，可以用它来求解图形问题，坐标轴问题，几何问题，解决日常生活中的实际问题等等。
比如：在一个游乐园里，有一堆沙子，人们想用算法来知道一共有多少沙子，此时可以使用两点式来解决，具体步骤如下：（1）首先在沙子的一端画一个点P，然后在另一端画另一个点Q，这两个点就是我们计算两点式的两个点；（2）求出这两点的纵坐标和横坐标，即：P(x1,y1)，Q(x2,y2)，然后求出两点式的斜率和截距，即k和b；（3）最后用求出的斜率和截距来算出沙子的数量，即：横坐标乘以斜率加上截距等于纵坐标，然后分段求和即可得出沙子的总数量。
四、总结通过上面我们可以了解到，直线方程的两点式是一种通过两点求解直线方程的斜率和截距的简便方法，它可以帮助我们更好的解决实际问题，如求图形面积，求坐标轴问题，几何问题等等。
直线的方程知识点及题型归纳总结
直线的方程知识点及题型归纳总结知识点精讲一、基本概念 斜率与倾斜角我们把直线y kx b =+中k 的系数k （k R ∈）叫做这条直线的斜率，垂直于x 轴的直线，其斜率不存在。
x 轴正方向与直线向上的方向所成的角叫这条直线的倾斜角。
倾斜角[)0,απ∈，规定与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为0，倾斜角不是2π的直线的倾斜角的正切值叫该直线的斜率，常用k 表示，即tan k α=。
当0k =时，直线平行于轴或与轴重合；当0k >时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随k 的增大而增大； 当0k <时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角k 随的增大而减小； 二、基本公式1. 111222(,),(,)P x y P x y 两点间的距离公式12||PP =2. 111222(,),(,)P x y P x y 的直线斜率公式121212tan (,)2y y k x x x x παα-==≠≠-3.直线方程的几种形式（1）点斜式：直线的斜率k 存在且过00(,)x y ，00()y y k x x -=- 注：①当0k =时，0y y =；②当k 不存在时，0x x = （2）斜截式：直线的斜率k 存在且过(0,)b ，y kx b =+（3）两点式：112121y y x x y y x x --=--，不能表示垂直于坐标轴的直线。
注：211121()()()()x x y y x x y y --=--可表示经过两点1122(,),(,)P x y Q x y 的所有直线 （4）截距式：1x ya b+=不能表示垂直于坐标轴及过原点的直线。
（5）一般式：220(0)Ax By C A B ++=+≠，能表示平面上任何一条直线（其中，向量(,)n A B =是这条直线的一个法向量）题型归纳及思路提示题型1 倾斜角与斜率的计算 思路提示正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，熟记斜率公式1212y y k x x -=-，根据该公式求出经过两点的直线斜率，当1212,x x y y =≠时，直线的斜率不存在，倾斜角为90求斜率可用tan (90)k αα=≠，其中α为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互关联，不可分割。
高中直线方程知识点总结
直线方程.一．直线的倾斜角：一条直线向上的方向与轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与轴平行或重合时，其倾斜角为0， 直线的倾斜角（0°≤＜180°）、斜率:注：①当或时，直线垂直于轴，它的斜率不存在. 二．直线方程的几种形式：x ααtan =k 90=α12x x =l x(三）位置关系判定方法：当直线不平行于坐标轴时（要特别注意这个限制条件）直线过定点 如直线（3m+4）x+(5-2m)y+7m-6=0,不论m 取何值恒过定点（-1，2） 四. 直线的交角：⑴直线到的角（方向角）；直线到的角，是指直线绕交点依逆时针方向旋转到与重合时所转动的角，它的范围是，当时. ⑵两条相交直线与的夹角：两条相交直线与的夹角，是指由与相交所成的四个角中最小的正角，又称为和所成的角，它的取值范围是，当，则有.1l 2l 1l 2l 1l 2l θ),0(π 90≠θ21121tan k k k k +-=θ1l 2l 1l 2l 1l 2l θ1l 2l ⎝⎛⎥⎦⎤2,0π 90≠θ21121tan k k k k +-=θ五. 点到直线的距离：⑴点到直线的距离公式：设点，直线到的距离为，则有.1. 两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的距离公式：. 特例：点P(x,y)到原点O 的距离：2. 过两点.当（即直线和x 轴垂直）时，没有斜率⑵两条平行线间的距离公式：设两条平行直线，它们之间的距离为，则有.注；直线系方程1. 与直线：A x +B y +C= 0平行的直线系方程是：A x +B y +m =0.( m ∊R, C ≠m ).2. 与直线：A x +B y +C= 0垂直的直线系方程是：B x -A y +m =0.( m ∊R)3. 过定点（x 1,y 1）的直线系方程是： A(x -x 1)+B(y -y 1)=0 (A,B 不全为0)4. 过直线l 1、l 2交点的直线系方程：（A 1x +B 1y +C 1）+λ( A 2x +B 2y +C 2）=0 (λ∊R ） 注：该直线系不含l 2.六. 关于点对称和关于某直线对称：⑴关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等. ⑵关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称直线距离相等.若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线.⑶点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程①），过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直（方程②）①②可解得所求对称点.),(00y x P P C By Ax l ,0:=++l d 2200BA C By Ax d +++=21221221)()(||y y x x P P -+-=||OP =1212222111),(),,(x x y y k y x P y x P --=的直线的斜率公式：12()x x ≠2121,y y x x ≠=)(0:,0:212211C C C By Ax l C By Ax l ≠=++=++d 2221BA C C d +-=。
高中数学直线方程知识点
高中数学直线方程知识点导语：在进行高中数学教学的时候,直线方程在教学中一直都扮演很重要的地位,在高考的时候,也是作为必考内容出现的。
以下是小编给大家整理的高中数学直线方程知识点，欢迎大家参考！从平面解析几何的角度来看，平面上的直线就是由平面直角坐标系中的一个二元一次方程所表示的图形。
求两条直线的交点，只需把这两个二元一次方程联立求解，当这个联立方程组无解时，两直线平行；有无穷多解时，两直线重合；只有一解时，两直线相交于一点。
常用直线向上方向与X轴正向的夹角（叫直线的倾斜角）或该角的正切（称直线的斜率）来表示平面上直线(对于X轴)的倾斜程度。
可以通过斜率来判断两条直线是否互相平行或互相垂直，也可计算它们的交角。
直线与某个坐标轴的交点在该坐标轴上的坐标，称为直线在该坐标轴上的截距。
直线在平面上的位置，由它的斜率和一个截距完全确定。
在空间，两个平面相交时，交线为一条直线。
因此，在空间直角坐标系中，用两个表示平面的三元一次方程联立，作为它们相交所得直线的方程。
高中数学知识点一：直线方程的一般式关于x和y的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为Ax+By+C=0，这个方程(其中A、B 不全为零)叫做直线方程的一般式．高中数学知识点二：直线方程的不同形式间的关系直线方程的五种形式的比较如下表：1．已知所求曲线是直线时，用待定系数法求．2．根据题目所给条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程．对于两直线的平行与垂直，直线方程的形式不同，考虑的方向也不同．高中数学知识点1：一般式:Ax+By+C=0(A、B不同时为0)【适用于所有直线】高中数学知识点2：点斜式:y-y0=k(x-x0)【适用于不垂直于x轴的直线】表示斜率为k，且过（x0,y0）的直线高中数学知识点3：截距式:x/a+y/b=1【适用于不过原点或不垂直于x轴、y轴的直线】表示与x轴、y轴相交，且x轴截距为a，y轴截距为b的直线高中数学知识点4：斜截式:y=kx+b【适用于不垂直于x轴的直线】表示斜率为k且y轴截距为b的直线高中数学知识点5：两点式:【适用于不垂直于x轴、y轴的直线】表示过（x1,y1）和(x2,y2)的直线(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)(x1≠x2，y1≠y2)高中数学知识点6：交点式:f1(x,y)*m+f2(x,y)=0【适用于任何直线】表示过直线f1(x,y)=0与直线f2(x,y)=0的交点的直线高中数学知识点7：点平式:f(x,y)-f(x0,y0)=0【适用于任何直线】表示过点（x0,y0）且与直线f（x,y）=0平行的直线高中数学知识点8：法线式：x·cosα+ysinα-p=0【适用于不平行于坐标轴的直线】过原点向直线做一条的垂线段，该垂线段所在直线的倾斜角为α，p是该线段的长度高中数学知识点9：点向式：(x-x0)/u=(y-y0)/v(u≠0,v≠0)【适用于任何直线】表示过点(x0,y0)且方向向量为（u,v）的直线高中数学知识点10：法向式：a（x-x0）+b（y-y0）=0【适用于任何直线】表示过点（x0，y0）且与向量（a，b）垂直的直线。
高中数学必修二直线的方程课后训练
直线的方程1．经过点()1,1M 且在两坐标轴上截距相等的直线是（ ） A ．2x y +=B ．1x y +=C ．2x y +=或y x =D ．1x =或1y =【解析】当直线过原点时，斜率为1，由点斜式求得直线的方程是 y -1=x -1，即y=x ； 当直线不过原点时，设直线的方程是：1x ya a+=，把点M （1，1）代入方程得 a=2，直线的方程是 x+y=2． 综上，所求直线的方程为y=x 或x+y=2故选C.2．若直线()120x m y ++-=和直线240mx y ++=平行，则m 的值为（ ） A ．1B ．2-C ．1或2-D ．23-【解析】直线()120x m y ++-=和直线240mx y ++=平行，可得()1212m m m ⎧⨯=+⎨≠-⎩，得1m =-.故选：A.3．如果0AC <且0BC <，那么直线0Ax By C ++=不通过的象限是（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】0Ax By C ++=化为A Cy x B B =--， 0AC <且0BC <，0,0,0A CAB B B>∴-<->，直线0Ax By C ++=不通过第三象限.故选:C.4．抛物线上任意两点A ､B 处的切线交于点P ，称PAB △为“阿基米德三角形”.当线段AB 经过抛物线焦点F 时，PAB △具有以下特征：①P 点必在抛物线的准线上；②PAB △为直角三角形，且PA PB ⊥；③PF AB ⊥.若经过抛物线24y x =焦点的一条弦为AB ，阿基米德三角形为PAB △，且点P 的纵坐标为4，则直线AB 的方程为（ ）A ．210x y --=B ．220x y +-=C ．210x y +-=D ．220x y --=【解析】由题意可知，抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为（1，0），准线方程为：x ＝﹣1，由△P AB 为“阿基米德三角形”，且线段AB 经过抛物线y 2＝4x 焦点，可得：P 点必在抛物线的准线上， ∴点P （﹣1，4），∴直线PF 的斜率为：4011---＝﹣2， 又∵PF ⊥AB ，∴直线AB 的斜率为12，∴直线AB 的方程为：y ﹣0＝1(1)2x -，即x ﹣2y ﹣1＝0，选：A.5．方程1y ax a=-表示的直线可能是（ ） A ． B ． C ． D ．【解析】由题意0a ≠，排除B . 当0a >时，10a >，此时直线与y 轴的交点10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭在y 轴的负半轴上，排除A .当0a <时，10a <，此时直线与y 轴的交点10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭在y 轴的正半轴上，排除D ，选C .6．不论m 为何值，直线()1(21)5m x m y m -+-=-恒过的定点的坐标为（ ） A ．11,2⎛⎫-⎪⎝⎭B ．()2,0-C ．(2,3)D ．(9,4)-【解析】∵直线方程为()1(21)5m x m y m -+-=-∴直线方程可化为(21)(5)0x y m x y +-+--+=∵不论m 为何值，直线()1(21)5m x m y m -+-=-恒过定点∴210{50x y x y +-=--+=∴9{4x y ==-故选D7．经过点()3,0A 且直线斜率1k =的直线方程是（ ） A ．30x y +-= B ．30x y --= C ．30x y ++=D ．30x y -+=【解析】由题意可得直线的点斜式方程为()013y x -=⨯-， 整理为一般式即30x y --=.故选：B.8．直线l 在平面直角坐标系中的位置如图，已知//l x 轴，则直线l 的方程不可以用下面哪种形式写出（ ）．A ．点斜式B ．斜截式C ．截距式D ．一般式【解析】//l x 轴，则l 的横截距不存在，因此不能用截距式表示直线方程．点斜式、斜截式，一般式都可以． 故选：C ．9．若直线:l y kx =-30x y +-=相交，且交点在第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是 （ ） A ．()000,60B ．()0030,60C ．()0030,90D ．()0060,90【解析】联立方程30y kx x y ⎧=-⎪⎨+-=⎪⎩得交点，由交点在第一象限知：00>>⎩解得3k >，即tan ,3αα>是锐角，故3090α︒<<︒ ，选C. 10．已知点()2,0A -，()2,0B ，()1,1C ，()11D -,，直线()0y kx m k =+>将四边形ABCD 分割为面积相等的两部分，则m 的取值范围是（ ） A ．()0,1B ．11,32⎛⎤⎥⎝⎦C．13⎛ ⎝⎦D．12⎤⎥⎝⎦ 【解析】如图，当12k ≥时，因为三角形OGE 与三角形KHE 全等， 所以直线()0y kx m k =+>将四边形ABCD 分割为面积相等的两部分， 所以m 的值始终为12，排除C ；当0k =时，y m =与y 轴交于F 点， 直线()0y kx m k =+>将四边形ABCD分割为面积相等的两部分，计算得，m =， 进一步，当102k <<时，直线()0y kx m k =+>将四边形ABCD 分割为面积相等的两部分，直线与y 轴的交点必须在F 点上方，排除,A B ；所以D 一定正确. 故选D.11．已知A(3,1)，B(－1,2)，若∠ACB 的平分线方程为y ＝x ＋1，则AC 所在的直线方程为( ) A ．y ＝2x ＋4 B ．y ＝12x －3 C ．x －2y －1＝0 D ．3x ＋y ＋1＝0【解析】设点A （3,1）关于直线1y x =+的对称点为11'(,)A x y ，则111111313122y x y x -⎧=-⎪-⎪⎨++⎪=+⎪⎩ ，解得1104x y =⎧⎨=⎩ ，即'(0,4)A ，所以直线'A B 的方程为240x y -+=，联立2401x y y x -+=⎧⎨=+⎩ 解得32x y =-⎧⎨=-⎩ ，即(3,2)C -- ,又(3,1)A ，所以边AC 所在的直线方程为210x y --=，选C.12．数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心（三边中垂线的交点）、重心（三边中线的交点）、垂心（三边高的交点）依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知ABC ∆的顶点为()0,0A ，()5,0B ，()2,4C ，则该三角形的欧拉线方程为（ ）．注：重心坐标公式为横坐标：1233x x x ++； 纵坐标：1233y y y ++A ．2100x y --=B ．250x y --=C ．2100x y +-=D ．250x y +-=【解析】设ABC ∆的重点为G ，外心为M ，则由重心坐标公式得74(,)33G ，并设M 的坐标为5(,)2a ，||||MA MC 222255(0)(0)(2)(4)22aa解得54a =，即55(,)24M4513475232GMk ∴欧拉方程为：417()323y x -=--，即： 250x y +-=故选：D 13．已知直线方程为()()221340m x m y m -++++=. （1）证明：直线恒过定点；（2）m 为何值时，点()3,4Q 到直线的距离最大，最大值为多少？（3）若直线分别与x 轴，y 轴的负半轴交于,A B 两点，求AOB 面积的最小值及此时直线的方程. 【解析】（1）证明：直线方程为()()221340m x m y m -++++=，可化为()()24230x y m x y +++-++=，对任意m 都成立，所以230240x y x y -++=⎧⎨++=⎩，解得12x y =-⎧⎨=-⎩，所以直线恒过定点()1,2--；（2）解：点()3,4Q 到直线的距离最大，可知点Q 与定点()1,2P --的连线的距离就是所求最大值，=423312PQ k +==+， ()()221340m x m y m -++++=的斜率为23-，可得22321m m --=-+，解得47=m .（3）解：若直线分别与x 轴，y 轴的负半轴交于,A B 两点，直线方程为()21y k x +=+，k 0<， 则21,0A k ⎛⎫-⎪⎝⎭，()0,2B k -，()121221212224222AOB k S k k k k k -⎛⎫⎛⎫=--=--=++≥+= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭△，当且仅当2k =-时取等号，面积的最小值为4.此时直线的方程240x y ++=.14．已知ABC ∆的三个顶点坐标分别为()4,2A --，()4,2B ，()13C ，． （1）求边AB 上的高所在直线的一般式方程； （2）求边AB 上的中线所在直线的一般式方程. 【解析】（1）∵()4,2A --，()4,2B ，∴12AB k =， ∴边AB 上的高所在直线的一般式方程为，即250x y +-=（2）AB 的中点为D ，∵()4,2A --，()4,2B ∴()00D ，∴边AB 的中线CD 的斜率为3k =，∴边AB 上的中线CD 的一般式方程为30x y -= 15．已知ABC ∆的三个顶点(),A m n 、()2,1B 、()2,3C -. （1）求BC 边所在直线的方程；（2）BC 边上中线AD 的方程为2360x y -+=，且7ABC S ∆=，求点A 的坐标. 【解析】（1）由()2,1B 、()2,3C -得BC 边所在直线方程为123122y x --=---，即240x y +-=.（2）BC ==A 到BC 边所在直线240x y +-=的距离为d =A 在直线2360x y -+=上，故1722360ABC S BC d m n ∆⎧=⋅⋅=⎪⎨⎪-+=⎩，即2472360m n m n ⎧+-=⎨-+=⎩，解得()3,4A 或()30A -,.16．求适合下列条件的直线方程.（1）经过点(3,2)P 且在两坐标轴上的截距相等；（2）过点(1,1)A -与已知直线1:260l x y +-=相交于B 点且5AB =.【解析】（1）设直线l 在,x y 轴上的截距均为a ，若0a =，即l 过点(0,0)和(3,2)，l ∴的方程为23y x =，即230x y -=.若0a ≠，则设l 的方程为1x ya a +=，l 过点(3,2)，321a a∴+=，5a ∴=，l ∴的方程为50x y +-=，综上可知，直线l 的方程为230x y -=或50x y +-=.（2）①过点(1,1)A -与y 轴平行的直线为1x =.解方程组1,260,x x y =⎧⎨+-=⎩求得B 点坐标为(1,4)，此时5AB =，即1x =为所求. ②设过(1,1)A -且与y 轴不平行的直线为1(1)(2)y k x k +=-≠-，解方程组260,1(1).x y y k x +-=⎧⎨+=-⎩得两直线交点为7,242,2k x k k y k +⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩ 则B 点坐标为742,22k k k k +-⎛⎫ ⎪++⎝⎭.22274211522k k k k +-⎛⎫⎛⎫∴-++=⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 解得34k =-，11(1)4y x ∴+=--，即3410x y ++=.综上可知，所求直线方程为1x =或3410x y ++=. 17．已知平面内两点(8,6),(2,2)A B -. （1）求AB 的中垂线方程；（2）求过点(2,3)P -且与直线AB 平行的直线l 的方程．【解析】（1）8252+=，6222-+=- ∴AB 的中点坐标为()5,2- 624823AB k --==--，∴AB 的中垂线斜率为34∴由点斜式可得()3254y x +=- ∴AB 的中垂线方程为34230x y --=（2）由点斜式()4323y x +=-- ∴直线l 的方程4310x y ++=18．求分别满足下列条件的直线l 的方程．（1）经过直线220x y ++=和直线310x y ++=的交点且与直线2350x y ++=垂直； （2）与直线4310x y --=平行且与坐标轴围成的三角形面积为3． 【解析】（1）将220x y ++=与310x y ++=联立得220310x y x y ++=⎧⎨++=⎩，解得14x x =⎧⎨=-⎩ 所以交点坐标为()1,4-． 由所求直线与直线2350x y ++=垂直，则所求直线斜率为32， 所以方程为)324(1y x +=-，从而所求直线方程为32110x y --=（2）依题意设直线方程为430x y m -+=，则直线过点,04m -⎛⎫⎪⎝⎭、0,3m ⎛⎫⎪⎝⎭所以13243m mS =-=，解得m =±430x y -+=或430x y --= 19．方程y ＝k(x －2)表示( )A ．通过点(－2,0)的所有直线B ．通过点(2,0)的所有直线C ．通过点(2,0)且不垂直于x 轴的所有直线D ．通过点(2,0)且除去x 轴的所有直线 【解析】由方程y=k （x -2）知直线过点（2，0）且直线的斜率存在．故选C ． 20．若0k >，0b <，则直线y kx b =+不经过（ ）． A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】由0k >，0b <， 则直线y kx b =+不经过第二象限，故选B. 21．经过点(2,5)A ,(3,6)B -的直线在x 轴上的截距为( ) A ．2B ．3-C ．27-D ．27【解析】由两点式得直线方程为＝，即x ＋5y －27＝0，令y ＝0得x ＝27．故选D ．22．已知直线20ax y a +-+=在两坐标轴上的截距相等，则实数(a = ) A ．1B ．1-C ．2-或1D ．2或1【解析】由题意，当2a 0-+=，即a 2=时，直线ax y 2a 0+-+=化为2x y 0+=，此时直线在两坐标轴上的截距都为0，满足题意；当2a 0-+≠，即a 2≠时，直线ax y 2a 0+-+=化为122x ya a a+=--，由直线在两坐标轴上的截距相等，可得2a2a a-=-，解得a 1=； 综上所述，实数a 2=或a 1=．故选：D ．。
苏教版高中数学必修2《直线的方程(第1课时)》导学案
直线的方程（1） 导学案学习目标1. 理解直线方程的含义；2. 掌握直线的点斜式方程和斜截式方程，会求直线的点斜式方程和斜截式方 程；3. 了解直线的点斜式方程和斜截式方程适用的条件；4. 体会特殊与一般的关系。
课前准备若三点()4,3A ,()6,5B ,(),4C a 在同一直线上，则a 的值为 。
课堂学习一、重点难点重点：直线的点斜式方程、斜截式方程的形式，根据条件熟练的写出直线的方程。
难点：直线的方程的含义，直线的点斜式方程与斜截式方程适用的条件。
二、知识建构问题1：直线l 经过点(1,3)A -，(0,1)B ，则（1）直线l 的斜率是 ；（2）当(,)P x y 在直线l 上运动，那么点P 的坐标(,)x y 应满足什么条件？ 问题2：直线l 上所有点的坐标都满足这个条件吗？以满足这个条件的所有实数对(,)x y 为坐标的点都在直线l 上吗？问题3：直线l 经过点111(,)P x y ，且斜率为k ，直线l 上所有的点的坐标满足 。
直线方程概念：直线l 上的每个点（包括点()111,P x y 的坐标都是这个方程的解；反过来，以这个方程的解为坐标的点都在直线l 上。
直线l 经过点111(,)P x y ，且斜率为k ，则直线l 的点斜式方程是 。
思考：（1）直线l 经过点111(,)P x y 的倾斜角为0，直线l 的方程是 ； （2）直线l 经过点111(,)P x y 的倾斜角为90，直线l 的方程是 。
直线l 与y 轴交点()0,b 的纵坐标称为直线l 在y 轴上的 。
直线的斜率为k ，在y 轴上的截距为b ，则直线l 的截距式方程为 。
三、典型例题例1．一条直线经过点1(2,3)P -，斜率为2，求这条直线方程。
例2．直线l 斜率为k ，与y 轴的交点是(0,)P b ，求直线l 的方程。
例3．（1）求直线2)y x =-的倾斜角；（2）求直线2)y x =-绕点(2,0)按顺时针方向旋转30所得的直线方程。
最新人教版高中数学必修二直线的一般式方程公开课优质教案
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④待学生通过练习后师生小结：特殊形式必能化成一般式；一般式不一定可以化为其他形式（如特 殊位置的直线） ，由于取点的任意性，一般式化成点斜式、两点式的形式各异，故一般式化斜截式和截
距式较常见；特殊形式的互化常以一般式为桥梁，但点斜式、两点式、截距式均能直接化成一般式
.各种
形式互化的实质是方程的同解变形（如图
x 3 y 11 0, x 2,
解方程组
,得
.
2 x y 1 0,
y3
∴直线恒过 (2,3) 点 .
（六）课堂小结
通过本节学习，要求大家：
（1）掌握直线方程的一般式，了解直角坐标系中直线与关于
x 和 y 的一次方程的对应关系；
（2）会将直线方程的特殊形式化成一般式，会将一般式化成斜截式和截距式；
（3）通过学习，培养相互合作意识 ,培养学生思维的严谨性，注意语言表述能力的训练
§3.2.3 直线的一般式方程
一、教材分析
直线是最基本、最简单的几何图形，它是研究各种运动方向和位置关系的基本工具，它既能为进一 步学习作好知识上的必要准备， 又能为今后灵活地运用解析几何的基本思想和方法打好坚实的基础 方程是这一章的重点内容，在学习了直线方程的几种特殊形式的基础上，归纳总结出直线方程的一般形 式 .掌握直线方程的一般形式为用代数方法研究两条直线的位置关系和学习圆锥曲线方程打下基础
2
答案： -
3
例 2 把直线 l 的方程 x-2y+6=0 化成斜截式，求出直线 l 的斜率和它在 x 轴与 y 轴上的截距，并画出图
形.
解： 由方程一般式 x－ 2y＋ 6=0 ，
①
移项，去系数得斜截式 y= x ＋ 3.
②
直线方程各种表达式
1)一般式:适用于所有直线
Ax+By+C=0 (其中A、B不同时为0)
两直线平行时：A1/A2=B1/B2≠C1/C2
两直线垂直时：A1A2+B1B2=0
两直线重合时：A1/A2=B1/B2=C1/C2
两直线相交时：A1/A2≠B1/B2
(2)点斜式:知道直线上一点(x0,y0),并且直线的斜率k存在，则直线可表示为
y-y0=k(x-x0)
当k不存在时，直线可表示为
x=x0
(3)截距式:不适用于和任意坐标轴垂直的直线和过原点的直线
x/a+y/b=1
知道直线与x轴交于(a,0),与y轴交于(0,b),则直线可表示为
y=kx+b
（4）斜截式: Y=KX+B (K≠０) 当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小。
两直线平行时 K1=K2
两直线垂直时 K1 X K2 = -1
（5）两点式
x1不等于x2 y1不等于y2
(y-y0)/(y0-y1)=(x-x0)/(x0-x1)
法线式
[1]
（6）法线式x·cosα+ysinα-p=0
（7）点到直线方程
两点式
注意：各种不同形式的直线方程的局限性：
(1)点斜式和斜截式都不能表示斜率不存在的直线；
(2)两点式不能表示与坐标轴平行的直线；
(3)截距式不能表示与坐标轴平行或过原点的直线；
(4)直线方程的一般式中系数A、B不能同时为零．
点到直线方程
（8）两平行直线间的距离
IC1-C2I / 根号下A的平方加上B的平方。
高中数学必修二-直线的方程
直线的方程知识集结知识元直线的点斜式方程知识讲解1.定义：方程由直线上一定点及其斜率决定，我们把叫做直线的点斜式方程，简称点斜式.2.注意：（1）.点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在.点斜式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线；（2）.当直线的倾斜角为0°时，直线方程为；（3）.当直线倾斜角为90°时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示.这时直线方程为:.（4）.表示直线去掉一个点；表示一条直线.例题精讲直线的点斜式方程例1.'(1)经过点C(－1，－1)，与x轴平行；(2)经过点D(1,1)，与x轴垂直．'例2.经过点(－3,2)，倾斜角为60°的直线方程是()A．y＋2＝(x－3)B．y－2＝(x＋3)C．y－2＝(x＋3)D．y＋2＝(x－3)例3.已知点A（1，1），B（3，5），若点C（―2，y）在直线AB上，则y的值是（）A．―5B．25C．5D．―2.5例4.斜率与直线的斜率相等，且过点（－4，3）的直线的点斜式方程是________．直线的斜截式方程知识讲解1.定义：如果直线的斜率为，且与轴的交点为，根据直线的点斜式方程可得，即.我们把直线与轴的交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距，方程由直线的斜率与它在轴上的截距确定，所以方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式.2.注意：（1）.b为直线在y轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数；距离必须大于或等于零；（2）.斜截式方程可由过点(0，b)的点斜式方程得到；（3）.当时，斜截式方程就是一次函数的表示形式.（4）.斜截式的前提是直线的斜率存在.斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线.（5）.斜截式是点斜式的特殊情况，在方程中，是直线的斜率，是直线在轴上的截距.例题精讲直线的斜截式方程例1.'已知直线l的斜率为2，在y轴上的截距为m.(1)求直线l的方程；(2)当m为何值时，直线通过(1,1)点．'例2.'写出下列直线的斜截式方程：(1)斜率是3，在y轴上的截距是－3；(2)倾斜角是60°，在y轴上的截距是5；'例3.倾斜角为135°，在y 轴上的截距为－1的直线方程为()A ．x －y ＋1＝0B ．x －y －1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋1＝0例4.在y 轴上的截距为－6，且与y 轴相交成30°角的直线方程是________．直线的两点式方程知识讲解1.定义：经过两点(其中)的直线方程为，称这个方程为直线的两点式方程，简称两点式.2.注意：（1）.这个方程由直线上两点确定；（2）.当直线没有斜率()或斜率为时，不能用两点式求出它的方程.（3）.直线方程的表示与选择的顺序无关.（4）.在应用两点式求直线方程时，往往把分式形式通过交叉相乘转化为整式形式，从而得到的方程中，包含了x 1=x 2或y 1=y 2的情况，但此转化过程不是一个等价的转化过程，不能因此忽略由x 1、x 2和y 1、y 2是否相等引起的讨论．要避免讨论，可直接假设两点式的整式形式．例题精讲直线的两点式方程例1.'三角形的顶点是A(－5,0)、B(3，－3)、C(0,2)．求这个三角形AB和AC所在直线的方程．'例2.'已知三角形的三个顶点A(－4,0)、B(0，－3)、C(－2,1)，求BC边上中线所在直线的方程．'例3.'求经过点M(－1，－2)和N(－1,3)的直线方程．'直线的截距式方程知识讲解1.定义：若直线与x轴的交点为A(a，0)，与y轴的交点为B(0，b)，其中，则过AB两点的直线方程为，这个方程称为直线的截距式方程.a叫做直线在x轴上的截距，b叫做直线在y轴上的截距.2.注意：（1）.截距式的条件是，即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行的直线.（2）.求直线在坐标轴上的截距的方法：令x=0得直线在y轴上的截距；令y=0得直线在x轴上的截距.（3）.截距相等问题中，勿忽略a=b=0即直线过原点时的情况．例题精讲直线的截距式方程例1.'直线l经过点P(2,3)且在x，y轴上的截距相等，求该直线的方程．'例2.若直线的方程是，则它的截距式方程为；直线与轴交点为；与轴的交点为．例3.直线在轴上的截距是()A．B．C．D．.直线的一般式方程知识讲解1.定义：关于x和y的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为Ax+By+C=0，这个方程(其中A、B不全为零)叫做直线方程的一般式．2.注意：（1）.A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线.当B≠0时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线．当B=0，A≠0时，方程可变形为Ax+C=0，即，它表示一条与x轴垂直的直线．由上可知，关于x、y的二元一次方程，它都表示一条直线．（2）.在平面直角坐标系中，一个关于x、y的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于x、y的一次方程（如斜率为2，在y轴上的截距为1的直线，其方程可以是2x―y+1=0，也可以是，还可以是4x―2y+2=0等．）例题精讲直线的一般式方程例1.直线Ax+By+C=0，当A＞0，B＜0，C＞0时，必经过的象限是（）A．第一、二、三象限B．第二、三、四象限C．第一、三、四象限D．第一、二、四象限例2.在x轴和y轴上的截距分别是―2，3的直线方程是（）A．2x―3y―6=0B．3x―2y―6=0C．3x―2y+6=0D．2x―3y+6=0例3.直线方程(3a+2)x+y+8=0，若直线不过第二象限，则a的取值范围是()A．(-∞，-)B．C．(，+∞)D．［，+∞)例4.若三条直线4x+y+4=0，mx+y+1=0，x―y+1=0不能围成三角形，则实数m取值范围是________．备选题库知识讲解本题库作为知识点“直线的方程”的题目补充.例题精讲备选题库例1.过（1，2），（5，3）的直线方程是（）A．=B．=C．=D．=例2.与直线3x-2y=0平行，且过点（4，-3）的直线方程为（）A．y+3=（x-4）B．y-3=（x+4）C．y+3=（x-4）D．y-3=（x+4）例3.已知直线x+ay+4=0与直线ax+4y-8=0互相平行，则实数a的值为（）A．0B．2C．-2D．±2例4.过点（-1，-3）且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为（）A．2x+y-1=0B．x-2y-5=0C．x-2y+7=0D．2x+y+5=0当堂练习单选题练习1.已知直线l1：mx-y+3=0与l2：y=-垂直，则m=（）A．B．C．-2D．2练习2.如果平面直角坐标系内的两点A（a-1，a+1），B（a，a）关于直线l对称，那么直线l的方程为（）A．x-y+1=0B．x+y+1=0C．x-y-1=0D．x+y-1=0练习3.已知△ABC的顶点A（1，2），AB边上的中线CM所在的直线方程为x+2y-1=0，∠ABC的平分线BH所在直线方程为y=x，则直线BC的方程为（）A．2x-3y-1=0B．2x+3y-1=0C．3x-2y-1=0D．3x-2y+1=0练习4.一条光线从点（-2，3）射出，经x轴反射后与圆（x-3）2+（y-2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A．或B．或C．或D．或练习5.已知点A（-2，0），B（2，0），C（1，1），D（-1，1），直线y=kx+m（k>0）将四边形ABCD分割为面积相等的两部分，则m的取值范围是（）A．（0，1）B．C．D．练习6.已知A（3，0），B（0，3），从点P（0，2）射出的光线经x轴反射到时直线AB上，又经过直线AB反射回到时P点，则光线所经过的路程为（）A．B．6C．D．练习7.如果平面直角坐标系内的两点A（a-1，a+1），B（a，a）关于直线l对称，那么直线l的方程为（）A．x-y+1=0B．x+y+1=0C．x-y-1=0D．x+y-1=0填空题练习1.设直线l：x+2y-2=0与x轴、y轴分别交于A，B两点，已知点C的坐标是（3，0），那么∠CAB的正切值是__；过C点且垂直于直线l的方程是__________．练习2.点A（3，-4）与点B（-1，8）关于直线l对称，则直线l的方程为__________．练习3.若直线ax+2y+6=0和直线x+a（a+1）y+a2-1=0垂直，则a=___．练习4.如果平面直角坐标系中的两点A（a-1，a+1），B（a，a）关于直线L对称，那么直线L的方程为_________．练习5.一条光线沿直线2x-y+2=0入射到直线x+y-5=0后反射则反射光线所在直线方程为__________．解答题练习1.'已知△ABC的三个顶点坐标为A（-3，1），B（3，-3），C（1，7）。
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4.斜截式是点斜式的____特__殊__情__况_________
试试自己的能耐
思考1 已知直线l过A（3，-5）和B（-2，5），如何求直 线l的方程.
即 x y 1 0. 综上直线方程为 y 4 x 或 x y 1 0.
5
归纳：各类方程的适用范围 直线方程名称 直线方程形式
适用范围
点斜式 斜截式 两点式 截距式
y y0 k(x x0 )
y kxb
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
x y 1 ab
不垂直x轴 不垂直x轴
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例2 已知三角形的三个顶点A(-5, 0), B (3, -3),
C(0,2). 求BC边和AC边所在直线的方程, 以及BC边上
中线所在直线的方程。
y
补充中点坐标公式:
若点P1(x1, y1), P2(x2, y2) 的
经过直线上两点P1(x1,y1), P2(x2,y2)（其中x1≠x2, y1≠y2 ）的直线方程叫做直线的两点式方程，简称两点式.
记忆特点：
左边全为y，右边全为x 两边的分母全为常数 分子，分母中的减数相同
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学会自己探究
任意一条直线的方程都能写成两点式吗？ 若点P1(x1, y1), P2(x2, y2)中有x1=x2或 y1=y2， 此时过这两点的直线方程是什么 ？
2019-2020年高二数学下册《直线的方程》练习沪教版
2019-2020年高二数学下册《直线的方程》练习沪教版解析几何又称坐标几何，建立坐标系，使得点就具有了坐标，点的运动轨迹就有了方程，用方程的代数性质来研究曲线的几何性质，即用数来研究形。
直线方程11.1直线的方程课标解读：1．掌握由一点和方向向量导出直线方程的方法；2．掌握直线的点方向向式方程，知道与坐标轴垂直的直线方程的表示；3．能根据条件熟练求出直线的方程，并能根据方程提取它的方向向量；4．掌握由一点和法向量导出直线方程的方法；5．掌握直线的点法向式方程，知道与坐标轴垂直的直线方程的表示；6．能根据条件熟练求出直线的方程，并能根据方程提取它的法向量；目标分解：一、直线方程的概念：对于坐标平面内的一条直线，如果存在一个方程，满足：（1）直线上所有的点的坐标都满足方程；（2）以方程的所有的解为坐标的点都在直线上。
那么，我们把方程叫做直线的方程，直线叫做方程的直线。
设集合{}{},(,)(,)0A P P l B x y f x y =∈==，有上述叙述：，所以。
二、一条直线方程可以怎样确定：（1）两点； （2）一点和一个平行方向； （3）一点和一个垂直方向；三、直线的点方向式方程：如图：在直线上任选一点，由的充要条件得：……○1；反之若满足直线的方程，则必有，所以落在直线上。
当且时，上述方程○1可化为：，这就是直线的点方向式方程；当且时，上述方程○1可化为：，它表示垂直于轴的直线；当且时，上述方程○1可化为：，它表示垂直于轴的直线；有上述过程知：一条直线的方向向量并不唯一。
四、直线的点方向式方程：由学生自行推导：五、直线的一般方程：不管是上述的点方向式方程、还是点法向式方程都可以化为：的形式（其中不全为零），我们把这样的直线方程称为一般式方程。
通过它们之间的变换关系，我们不难获得：直线的一个方向向量为，它的一个法向量为：例1．直线经过点，法向量为，求这条直线方程；若把条件法向量改为方向向量呢？例2．写出下列直线的一个方向向量和法向量：（1）； （2）； （3）； （4）例3．将直线分别化为点方向式方程和点法向式方程；例4．（1）求过点且平行于直线的直线方程；（2）求过点且垂直于直线的直线方程；例5．中，已知点，求（1）边所在直线的点方向式方程；（2）边上高所在的直线的点法向式方程；（3）边的中垂线方程；一页纸训练：1．点，则直线的点方向式方程是；2．若直线过点，且它的一个方向向量为，则直线的方程为；3．直线的单位法向量为；4．已知点、，直线过线段的中点，则；5．已知点在点构成线段的中垂线上，则；6．点在直线上移动，则的最小值为；7．过点且垂直于直线的直线一般式方程是；8．已知直线的方程是320()kx y k k R -++=∈，则直线必经过；9．的三个顶点是，直线将分割成面积相等的两部分，则的值为；10．已知直线1:(3)(4)10l k x k y -+-+=与平行，则；11．已知直线，求直线的点法向式方程和点方向式方程；12．已知点和是三角形的三个顶点，求：（1）边上的高所在的直线方程；（2）边的垂直平分线所在的直线方程；13．已知直线1:(3)(1)(25)(1)0l a x a y+-++-=，直线2:(12)(3)(3)l a x a--+-⋅（1）若与的方向向量平行，求的值；（2）若，求的值。
高中数学 同步教学 直线的两点式方程
直线的两点式方程
核心素养培养目标
1.掌握直线的两点式方程和截距式方程.
2.会选择适当的方程形式求直线方程.
3.能用直线的两点式方程与截距式方程解
答有关问题.
核心素养形成脉络
一
二
三
一、直线的两点式方程
1.已知直线上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中x1≠x2,y1≠y2),如何求出过
-(-3)
中线 BE 所在直线的方程为 1
2
化简得7x+6y+18=0.
-(-3)
=
-0
-3-0
,
1
2
,
探究一
探究二
思维辨析
直线的截距式方程
例2 过点P(1,3),且与x轴、y轴的正半轴围成的三角形的面积等于
6的直线方程是(
)
A.3x+y-6=0 B.x+3y-10=0
C.3x-y=0
D.x-3y+8=0
4
为y= 3 x,即4x-3y=0.
综上,直线l的方程为x-y+1=0或4x-3y=0.
答案:x-y+1=0或4x-3y=0
探究一
方程为 .
解析:(1)当直线l在坐标轴上的截距互为相反数,且不为0时,
-
3
4
-
可设直线 l 的方程为 + =1.
又直线 l 过点 A(3,4),所以 + =1,
-1
1
解得 a=-1.所以直线 l 的方程为 + =1,
即x-y+1=0.
(2)当直线l在坐标轴上的截距互为相反数,且为0时,直线l的方程
直线的两点式方程公式例题讲解
直线的两点式方程公式例题讲解直线是数学中的基础概念，它在几何学、物理学和工程学等多个领域中起着重要的作用。
在解题过程中，确定直线方程是一个关键步骤。
本文将以例题的形式详细讲解直线的两点式方程公式。
问题描述给定直线上的两个点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，求解直线AB的方程。
两点式方程公式直线的两点式方程公式是一种简单而常用的确定直线方程的方法。
该公式基于两点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)的坐标来确定直线。
假设直线AB的斜率为k，截距为b，那么直线AB的两点式方程为：y - y₁ = k(x - x₁)其中，(x, y)是直线上的任一点。
解题步骤为了解决问题，我们将按照以下步骤进行：1.计算斜率k：斜率通过两个点的纵坐标和横坐标之差的比值来计算。
即：k = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)如果两点的横坐标相同，则直线是垂直于x轴的，其斜率为无穷大。
2.计算截距b：根据两点式方程公式，将其中一个点的坐标代入，可得到截距：b = y₁ - k*x₁3.写出直线的方程：结合斜率和截距，我们可以得到直线AB的方程：y = k*x + b通过上述步骤，我们可以确定直线AB的方程。
例题解析例题1假设点A(2, 3)和B(4, 7)位于直线上，请确定直线的方程。
步骤1：计算斜率kk = (7 - 3) / (4 - 2)= 4 / 2= 2步骤2：计算截距bb = 3 - 2*2= 3 - 4= -1步骤3：写出直线的方程根据计算结果，直线AB的方程为：y = 2*x - 1例题2假设点A(3, 5)和B(3, -1)位于直线上，请确定直线的方程。
步骤1：计算斜率kk = (-1 - 5) / (3 - 3)= -6 / 0由于分母为0，所以直线与x轴平行，其斜率为无穷大。
步骤2：计算截距b在这种情况下，无法计算截距，因为直线与x轴平行。
直线的方程形式为x = c，其中c为直线与y轴的交点的x坐标。
高中数学2.2直线的方程2.2.3两条直线的位置关系优化训练新人教B版必修2(2021学年)
高中数学２.２直线的方程2.2．3 两条直线的位置关系优化训练新人教B 版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望（高中数学２.2 直线的方程2.2．3 两条直线的位置关系优化训练新人教B版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈,这将是我们进步的源泉，前进的动力。
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2。
2．3 两条直线的位置关系5分钟训练(预习类训练,可用于课前)1.已知点Ａ(1,2),Ｂ(３,1),则线段AB 垂直平分线的方程是（ ）A 。
4x+２ｙ＝5 Ｂ．4x —2y=5 C 。
x+2y=5 D 。
x —2y ＝5解析:可以先求出A Ｂ的中点坐标为（2，23),又直线ＡB 的斜率ｋ=211321-=--,∴垂直平分线斜率为2。
由点斜式方程,可得所求垂直平分线的方程为y —23＝2（ｘ—2）, 即４x —2y=5。
答案:B２.已知直线ax-y=０与直线ａｘ+ｙ＝x ＋1平行，则ａ的值为( )A 。
０ B.１ C 。
21D 。
21-解析:由题设可得两条直线的斜率分别为ａ和1-ａ,由两条直线平行,得a ＝1—a ⇒ａ＝21． 答案:C3.已知两直线l 1：(3+a)x+4y-５+３a=0与ｌ2：2x+(５+a)y —8=0.（１）ｌ1与ｌ２相交时,ａ≠______＿____＿；（2)l １与l 2平行时,ａ=_＿____＿_＿＿__; (3）l １与l 2重合时，a=_______＿_＿__;（4)l 1与ｌ2垂直时，a=____＿__＿＿___。
解：由题意知Ａ1=3+ａ、B 1＝4、C 1=—5+3a,A 2=２、B 2=5+a 、C 2＝—８.则Ｄ１=(3+a).(5+a)—8=ａ2+8a ＋7,D 2=—３2—(-5+3a).（5+ａ)=3a ２＋10a+７.当D 1≠０,即a≠－7或-1时,ｌ１与l ２相交;当D 1=0,D 2≠0,即a=—７时,ｌ１与l 2平行；当D １=0，D ２=0,即a=—1时,l １与l ２重合；当Ａ１Ａ2+B 1B ２=0,即a=313-时，l 1与ｌ2垂直. 答案：(1)—7或-1 （2)-７ (3）－1 （4）313- 10分钟训练（强化类训练，可用于课中）１。
高二数学直线的两点式方程1
当x=-2时，y=1. (-2,1)在直线l上，关于(1,2)的对称点为(4,3).
那么，点 (2,7) ，(4,3)在l 1上
因此，直线l 1的方程为： y 7 x 2
37 42
化简得: 2x + y -11=0
还有其它的方法吗？
∵ l ∥l
∴
1，所以l
与l 1的斜率相同，
kl1=-2
x y 1 a a
1 2 把(1,2)代入得： 1 a a
a=3 所以直线方程为：x+y-3=0
那还有一条呢？ y=2x (与x轴和y轴的截距都为0)
⑵ 过(1,2)并且在两个坐标轴上的截 距的绝对值相等的直线有几条?
解：三条 设
x y 1 a b a b
解得：a=b=3或a=-b=-1 直线方程为：y+x-3=0、y-x-1=0或y=2x
3.2.2 直线的两点式方程
一、复习、引入
复 习
1). 直线的点斜式方程：
y- y0 =k(x- x0 ) k为斜率， P0(x0 ,y0)为经过直线的点
巩 固
2). 直线的斜截式方程：
y=kx+b
k为斜率，b为截距
例1.已知直线经过P1(1,3)和P2(2,4)两点，求直线的方 程． 一般做法： 解：设直线方程为：y=kx+b. 由已知得：
五、直线方程的应用 例4:已知角形的三个顶点是A(－5，0)，
B(3，－3)，C(0，2)，求BC边所在的直线 方程，以及该边上中线的直线方程。 解：过B(3,-3),C(0,2)两点式方程为：
y2 x0 3 2 3 0
整理得：5x+3y-6=0
直线方程的正交条件与计算方法
直线方程的正交条件与计算方法直线是平面几何中的基本概念，其方程的研究对于解决许多几何问题具有重要意义。
在直线方程的研究中，正交条件是一个重要的概念。
本文将介绍直线方程的正交条件以及计算方法。
一、直线方程的正交条件直线的正交条件是指两条直线相交成直角的条件。
设直线L1的方程为y = k1x + b1，直线L2的方程为y = k2x + b2。
则L1与L2正交的条件为k1 * k2 = -1。
这个条件可以解释为：两条直线的斜率的乘积等于-1时，它们相互垂直。
斜率是直线的重要特征之一，它表示了直线的倾斜程度。
当两条直线的斜率满足k1 *k2 = -1时，它们相互垂直，构成了正交关系。
二、直线方程的计算方法1. 已知两点求直线方程若已知直线上的两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，可以通过以下步骤计算直线方程：步骤一：计算斜率k。
斜率k的计算公式为k = (y2 - y1) / (x2 - x1)。
步骤二：计算截距b。
截距b的计算公式为b = y - kx，其中x和y分别为A或B的坐标。
步骤三：写出直线方程。
根据直线方程的一般形式y = kx + b，将斜率k和截距b代入即可得到直线方程。
2. 已知斜率和一点求直线方程若已知直线上的一点A(x1, y1)和斜率k，可以通过以下步骤计算直线方程：步骤一：计算截距b。
截距b的计算公式为b = y - kx，其中x和y分别为A的坐标。
步骤二：写出直线方程。
根据直线方程的一般形式y = kx + b，将斜率k和截距b代入即可得到直线方程。
三、实例分析下面通过一个实例来进一步理解直线方程的正交条件与计算方法。
例：已知直线L1过点A(2, 3)且斜率为2，求L1的方程以及与L1正交的直线L2的方程。
解：根据已知条件，我们可以通过已知斜率和一点求直线方程的方法来求解。
步骤一：计算截距b。
由斜率k = 2和点A(2, 3)可得b = y - kx = 3 - 2 * 2 = -1。
人教课标版高中数学必修2直线的方程的综合应用
直线的方程的综合应用一.直线方程的五种形式直线方程常见有点斜式、斜截式、截距式、两点式和一般式五种形式，除了一般式每一种形式既有它的优越性又有局限性（比如点斜式、斜截式、截距式、两点式不能表示斜率不存在的直线，两点式也不能表示斜率为0的直线，截距式同时还不能表示过原点和斜率为0的直线等），故应在不同的题设下灵活的运用不同的形式，同时要特别注意不能遗漏。
下面举例说明：例1.当直线l 经过点)2,3(P 且与y x ,轴正半轴交于A 、B 两点，当OAB ∆面积最小时求直线l 的方程.解法一：设直线l 的方程为2(3)y k x -=-令0,23x y k ==-得 又令20,3y x k ==-得，由已知显然0k < ()11223322AOB S OA OB k k ⎛⎫∴==-- ⎪⎝⎭ ()141412912922k k k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=+-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦1122⎛≥+ ⎝ 12=（当且仅当429,3k k k -=-=-即时取等号） 所以所求直线方程为22(3)3y x -=--即01232=-+y x 解法二：设直线l 的方程为)0,0(1>>=+b a by a x ， 直线l 过)2,3(P ， 02,03,0,0.123>>∴>>=+∴b a b a b a . 由均值不等式得,41223232=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⨯b a b a 当且仅当2123==b a ，即4,6==b a 时，OAB ∆的面积ab S 21=最小. ∴所求直线的方程为146=+y x ，即01232=-+y x .点评：解法一是注意到直线过一点因此设直线方程的点斜式求解；解法二是注意到直线与两坐标轴的截距，因此设为截距式.例2 求 经过点(-5,2)且横、纵截距相等的直线方程.解：当直线过原点时可设y kx =，将点(-5,2)代入解得直线为：y=52-x . 当直线不过原点时可设直线方程为：1x y a a+=，将点代入解得直线为：03=++y x 综上，所求直线的方程为y=52-x 或03=++y x . 二.直线系方程 具有某种共同特征的一系列直线合在一起组成直线系，常见的直线系有如下三类：① 平行直线系以斜率为0k （常数）的直线系：b x k y +=0（b 为参数）；平行于已知直线00000,(0B A C y B x A =++是不全为0的常数）的直线系：000=++C y B x A (C 为参数)。
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补差2 直线的方程 一、选择题
1．若直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1在x 轴上的截距为1，则实数m 是( )
A ．1
B ．2
C ．－12
D ．2或－12
2．经过点P (1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为
( )
A ．x ＋2y －6＝0
B ．2x ＋y －6＝0
C ．x －2y ＋7＝0
D ．x －2y －7＝0
3．直线2x －y －2＝0绕它与y 轴的交点逆时针旋转π2
所得的直线方程是 ( ) A ．x －2y ＋4＝0 B ．x ＋2y －4＝0 C ．x －2y －4＝0 D ．x ＋2y ＋4＝0
4．若直线y ＝－a b x －c b 经过第一、二、三象限，则 ( )
A ．ab ＞0，bc ＜0
B ．ab ＞0，bc ＞0
C ．ab ＜0，bc ＞0
D ．ab ＜0，bc ＜0
5．已知点A (1,2)、B (3,1)，则线段AB 的垂直平分线的方程是 ( )
A ．4x ＋2y ＝5
B ．4x －2y ＝5
C ．x ＋2y ＝5
D ．x －2y ＝5
6．已知直线l 1的方向向量为a ＝(1,3)，直线l 2的方向向量为b ＝(－1，k )，若直线l 2过点(0,5)，
且l 1⊥l 2，则直线l 2的方程是 ( )
A ．x ＋3y －5＝0
B ．x ＋3y －15＝0
C ．x －3y ＋5＝0
D ．x －3y ＋15＝0
二、填空题
7．经过点(－2,2)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l 的方程为________．
8．求经过点A (－5,2)且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线方程
________________．
9．已知A (3,0)，B (0,4)，动点P (x ，y )在线段AB 上移动，则xy 的最大值等于________________．
三、解答题
10．求倾斜角是直线y ＝－3x ＋1的倾斜角的14
，且分别满足下列条件的直线方程： (1)经过点(3，－1)；
(2)在y 轴上的截距是－5
11．设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．
(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；
(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
12．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0.
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线l交x负半轴于A，交y正半轴于B，△AOB的面积为S，试求S的最小值并求出此时直线l的方程．。