《学考优化指导》2016-2017学年高一数学(人教A版)必修4课件第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换Word
《学考优化指导》2018-2019高一数学(人教A版)必修4课件：第一章 三角函数1.2.2 同角三角函数的基本关系
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思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”. (1)存在 α∈R,使得 sin α= ,且 cos α= . ( (2)存在 α∈R,使得 tan α=2,且
������ 2 cos ������ sin ������ ������ 2 2 1 1
������ α ≠ k������ + ,������∈Z 2
=tan α
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2.同角三角函数基本关系式的变形 (1)sin2α+cos2α=1的变形公式: sin2α=1-cos2α;cos2α=1-sin2α; (sin α+cos α)2=1+2sin αcos α;(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α. (2)tan α= sin������ 的变形公式:
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4sin ������ -3c os ������ cos ������ 6cos ������ +2sin ������ cos ������
4sin ������ -3cos ������ 8 -3 6+4 1 2
高一数学人教A版必修4课件：第三章 三角恒等变换
当 t＝12时，ymax＝54；
当 t＝－ 2时，ymin＝－ 2－1.
∴函数的值域为－
2－1，54.
理网络·明结构
跟踪训练2 求函数f(x)＝sin x＋cos x＋sin x·cos x，x∈R的最值及
取到最值时x的值.
解 设sin x＋cos x＝t，
则 t＝sin x＋cos x＝
＝右边. 2x
∴tan
32x－tan
2x＝cos
2sin x x＋cos
. 2x
理网络·明结构
跟踪训练 3 已知 cosπ4＋x＝35，1172π<x<74π，求sin12－x＋ta2nsxin2x的值.
解
sin
2x＋2sin2x sin ＝
2x＋2sinco2xscxos
x
1－tan x
1＋tan x
理网络·明结构
例 1 已知 α、β 为锐角，cos α＝45，tan(α－β)＝－13，求 cos β 的值. 解 ∵α 是锐角，cos α＝45，∴sin α＝35，tan α＝34. ∴tan β＝tan[α－(α－β)]＝1t＋antαan－αttaannαα－－ββ＝193.
∵β 是锐角，故 cos β＝95010.
理网络·明结构
例2 求函数y＝sin x＋sin 2x－cos x(x∈R)的值域. 解 令sin x－cos x＝t， 则由 t＝ 2sinx－π4知 t∈[－ 2， 2]， 又sin 2x＝1－(sin x－cos x)2＝1－t2. ∴y＝(sin x－cos x)＋sin 2x＝t＋1－t2 ＝－t－122＋54.
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《学考优化指导》2016-2017学年高一数学(人教A版)必修4练习第二章平面向量2.4.2平面向量数量积的坐标表示
2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一、A组1.已知a=(-4,3),b=(1,2),则a2-(a-b)·b=()A.8B.3+C.28D.32解析:a2-(a-b)·b=a2-a·b+b2=25-(-4+6)+5=28.答案:C2.若a=(3,4),则与a共线的单位向量是()A.(3,4)B.C.D.(1,1)解析:与a共线的单位向量是±=±(3,4),即与a共线的单位向量是.答案:C3.已知a=(1,2),b=(-2,m),若a∥b,则|2a+3b|等于()A. B.4C.3D.2解析:∵a∥b,∴m=-4,b=(-2,-4).∴2a+3b=2(1,2)+3(-2,-4)=(-4,-8).∴|2a+3b|==4.答案:B4.(2016·广东深圳南山期末)已知向量a=(1,1),b=(2,-3),若k a-2b与a垂直,则实数k的值为()A.-1B.1C.2D.-2解析:∵向量a=(1,1),b=(2,-3),∴k a-2b=k(1,1)-2(2,-3)=(k-4,k+6).∵k a-2b与a垂直,∴(k a-2b)·a=k-4+k+6=0,解得k=-1.故选A.答案:A5.已知a=(1,),b=(x,2),且b在a方向上的投影为2,则a与b的夹角为()A. B.C.D.解析:∵b在a方向上的投影为2,则=2,∴=2,解得x=-2,∴b=(-2,2).设a,b的夹角为θ,则cos θ=.∵0≤θ≤π,∴θ=.答案:D6.已知向量a=(1,n),b=(-1,n),a·b=2,则|a|=.解析:∵a=(1,n),b=(-1,n),a·b=2,∴-1+n2=2,∴n2=3.∴|a|2=1+n2=4,∴|a|=2.答案:27.已知a=(-1,3),b=(1,y).若a与b的夹角为45°,则y=.解析:a·b=-1+3y,|a|=,|b|=,∵a与b的夹角为45°,∴cos 45°=.解得y=2或y=-(舍去).答案:28.在△ABC中,∠C=90°,=(k,1),=(2,3),则k的值是.解析:∵∠C=90°,∴,∴=0.又=(2-k,2),∴2(2-k)+6=0,k=5.答案:59.在平面直角坐标系内,已知三点A(1,0),B(0,1),C(2,5),求:(1)的坐标;(2)||的值;(3)cos∠BAC的值.解:(1)=(0,1)-(1,0)=(-1,1),=(2,5)-(1,0)=(1,5).(2)因为=(-1,1)-(1,5)=(-2,-4),所以||==2.(3)因为=(-1,1)·(1,5)=4,||=,||=,所以cos∠BAC=.10a=(1,x),b=(2x+3,-x)(x∈R).(1)若a⊥b,求x的值;(2)若a∥b,求|a-b|.解:(1)因为a⊥b,所以a·b=0,即(1,x)·(2x+3,-x)=0.所以x2-2x-3=0,解得x=3或x=-1.(2)因为a∥b,所以1×(-x)-(2x+3)×x=0,即x2+2x=0,所以x=0或x=-2.当x=0时,a=(1,0),b=(3,0),a-b=(-2,0),所以|a-b|=2;当x=-2时,a=(1,-2),b=(-1,2),a-b=(2,-4),所以|a-b|=2.二、B组1.在平行四边形ABCD中,=(1,0),=(2,2),则等于()A.4B.-4C.2D.-2解析:如图所示,由向量的加减,可得=(1,2),-2=(0,2).故=(1,2)·(0,2)=0+4=4.答案:A2.已知向量a=(2,0),|b|=1,|a+2b|=2,则a与b的夹角为()A.30°B.60°C.120°D.150°解析:∵|a+2b|2=a2+4a·b+4b2=4+4a·b+4=12,∴a·b=1.设a与b的夹角为θ,则cos θ=,又0°≤θ≤180°,∴θ=60°.答案:B3.设a=(2,3),a在b方向上的投影为3,b在x轴上的投影为1,则b=()A. B.C. D.解析:由b在x轴上的投影为1,设b=(1,y).∵a在b方向上的投影为3,∴=3,解得y=,则b=.故选A.答案:A4.已知向量a=(2,4),b=(-1,2),若c=a-(a·b)b,则|c|=.解析:∵a=(2,4),b=(-1,2),∴a·b=-2+8=6.∴c=(2,4)-6(-1,2)=(8,-8).∴|c|=8.答案:85.已知向量a=(,1),b是不平行于x轴的单位向量,且a·b=,则b=.解析:设b=(x,y).∵|b|==1,∴x2+y2=1.∵a·b=x+y=,∴x2+[(1-x)]2=1.∴4x2-6x+2=0.∴2x2-3x+1=0.∴x1=1,x2=,∴y1=0,y2=.∵(1,0)是与x轴平行的向量,∴b=.答案:6.已知a=(,-1),b=,且存在实数k和t,使得x=a+(t2-3)b,y=-k a+t b,且x⊥y,试求的最小值.解:∵a=(,-1),b=,∴a·b=-1×=0.∵|a|==2,|b|==1,a·b=0,∴a⊥b.∵x⊥y,∴[a+(t2-3)b]·(-k a+t b)=0,即-k a2+(t3-3t)b2+(t-t2k+3k)a·b=0.∴k=.∴(t2+4t-3)=(t+2)2-.故当t=-2时,有最小值-.7=(1,7),=(5,1),=(2,1),点Q为直线OP上的一个动点.(1)当取最小值时,求的坐标;(2)当点Q满足(1)的条件和结论时,求cos∠AQB的值.解:(1)设=(x,y).∵点Q在直线上,∴向量共线.又=(2,1),∴x=2y,∴=(2y,y).又=(1-2y,7-y),=(5-2y,1-y),∴=(1-2y)(5-2y)+(7-y)(1-y)=5y2-20y+12=5(y-2)2-8,故当y=2时,有最小值-8,此时=(4,2).(2)由(1)知,=(-3,5),=(1,-1),=-8,||=,||=,cos∠AQB==-.。
《优化指导》化学总复习(人教)配套讲义：第三章 基础课4铜金属材料与金属矿物的开发利用 含答案
基础课4铜金属材料与金属矿物的开发利用②常见金属材料及金属的冶炼方法(对应学生用书P61)考点一铜及其化合物的性质及应用1．铜的物理性质紫红色固体，具有良好的导电、导热和延展性.2．铜的化学性质（1)与非金属单质的反应（2)与酸反应(3）与某些盐溶液反应(写离子方程式）3．铜的重要化合物(1)Cu2(OH）2CO3的名称为碱式碳酸铜，是铜绿、孔雀石的主要成分，受热分解可生成黑色的氧化铜，化学方程式：Cu2(OH）2CO3错误!2CuO＋CO2↑＋H2O,可溶于稀硫酸，离子方程式：Cu2(OH)2CO3＋4H＋===2Cu2＋＋CO2↑＋3H2O。
(2）黑色氧化铜在高温下分解为红色的Cu2O，化学方程式为4CuO错误!2Cu2O＋O2↑。
(3）蓝色的硫酸铜晶体受热分解为白色的硫酸铜粉末，化学方程式为CuSO4·5H2O错误!CuSO4＋5H2O。
(4)红色的Cu2O与稀硫酸反应，溶液变蓝,同时生成红色的单质铜，离子方程式为Cu2O＋2H＋===Cu＋Cu2＋＋H2O。
正误判断，正确的划“√”，错误的划“×”(1）Cu2（OH）2CO3是铜锈的主要成分,在干燥的空气中不易生成.(√)(2)过量的铜与浓硝酸反应一定没有一氧化氮生成。
（×)(3）利用无水硫酸铜遇水变成蓝色这一性质，来检验水的存在。
（√）(4）将铁片置于CuSO4溶液中，铁片上有红色物质析出，说明铁比铜活泼。
(√）题组一铜及其化合物的性质1．（2018·兰州质检）下列关于铜的化合物的说法正确的是（）A．蓝色硫酸铜晶体受热转化为白色硫酸铜粉末是化学变化B．常温下将铜丝伸入盛满氯气的集气瓶中,有棕黄色的烟生成C．用稀盐酸除去铜锈的离子方程式为CuO＋2H＋===Cu2＋＋H2OD．向CuSO4溶液中滴入过量NaOH溶液充分反应后，将混合物倒入蒸发皿加热煮沸一会儿，然后冷却、过滤，滤纸上的物质为“蓝色固体"解析：选A蓝色硫酸铜晶体受热失去结晶水转化为白色硫酸铜粉末是化学变化，A正确;常温下铜与氯气不反应，需在点燃条件下才能反应，观察到有棕色的烟生成,B错误;铜锈的成分是碱式碳酸铜，不是氧化铜，C错误;CuSO4溶液中滴入过量NaOH溶液充分反应后生成Cu（OH）2沉淀，加热后过滤，滤纸上留下的是黑色物质CuO,D错误。
《学考优化指导》2016-2017学年高一数学(人教A版)必修4课件第一章三角函数1.1.2弧度制
5������ π 6
3������ 2π
2
5.扇形的弧长及面积公式 设扇形的半径为R,弧长为l,α为其圆心角,则
扇形的弧长 扇形的面积
α 为度数 l=1α8���0���R° S=3α6������0R°2
α 为弧度数
l=αR S=12lR=12αR2
做一做5 扇形的圆心角是72°,半径是5,它的弧长为
4
探究一
探究二
探究三
思维辨析
错因分析:只考虑把360°化为2π,忽视了对45°的要求,出现角度 与弧度混用.
正解:∵与45°角终边相同的角的集合为{α|α=k·360°+45°,k∈Z},
∴与π终边相同的角的集合为
4
������
������
=
2������π
+
π 4
,������∈Z
.
答案:
������
������
=
2������π
+
π 4
,������∈Z
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练 第四象限角的集合可写成( )
A.
������
������·360°-
π 2
< ������
< ������·360°,������∈Z
B.{α|2kπ-90°<α<2kπ,k∈Z}
C.51π8
答案:B
D.9
000 π
4.一些特殊角与弧度数的对应关系
度 0° 1° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
2016版优化方案高一数学人教版必修三课件 第三章 概率3.3.2
3．3.2 均匀随机数的产生
第一页，编辑于星期五：二十三点 三十九分。
第三章 概率
栏目 第二页，编辑于星期五：二十三点导三引十九分。
第三章 概率
2．例题导读 通过例2的学习，学会如何用几何概型的概率公式和随机模拟的方法 求概率； 通过例3的学习，学会如何用随机模拟的方法估计圆周率的值或 不规则图形的相关量的值； 通过例4的学习，学会如何用几何概型的概率公式和随机模拟的 方法近似计算不规则图形的面积．
栏目 第五页，编辑于星期五：二十三点导三引十九分。
第三章 概率
2．下列关于用转盘进行随机模拟的说法中正确的是( B) A．旋转的次数的多少不会影响估计的结果 B．旋转的次数越多，估计的结果越精确 C．旋转时可以按规律旋转 D．转盘的半径越大，估计的结果越精确 解析：旋转时要无规律旋转,否则估计的结果与实际有较大的误 差，所以C不正确；转盘的半径与估计的结果无关,所以D不正 确；旋转的次数越多,估计的结果越精确，所以B正确,A不正确 ．
栏目 第三页，编辑于星期五：二十三点导三引十九分。
第三章 概率
1．均匀随机数的产生 (1)计算器上产生[0，1]区间上均匀随机数的函数_______R_A__N函D数． (2)Excel软件产生[0，1]区间上均匀随机数的函数为“____________”． 2．用模拟的方法近似计算某事件概率的方法 (1)__r_a_n_d_( ___)_____的方法：制作两个转盘模型，进行模拟试验，并统
分。
第三章 概率
栏目 第二十七页，编辑于星期五：二十导三点引三十九
分。
第三章 概率
数学思想 用随机模拟的方法求曲边梯形面积的近似值
栏目 第二十八页，编辑于星期五：二十导三点引三十九
《学考优化指导》2018-2019学年高一数学(人教A版)必修4课件：第二章 平面向量本章整合2
专题归纳
高考体验
专题一
专题二
专���� =λ2������������-λ2������������ .
而������������ + ������������ = ������������ ,
∴������������ +λ2������������-λ2������������ =λ1������������ +
知识网络
专题归纳
高考体验
专题一
专题二
专题三
专题四
例1
如图,在边长为2的菱形ABCD中,∠BAD=60°,E为BC的中点, ������������ ·������������ =( 则 ) A.-3 B.0 C.-1 D.1
知识网络
专题归纳
高考体验
专题一
专题二
专题三
专题四
解析:方法一 :∵������������ = ������������ + ������������ = ������������ + ������������ ,
1 2 1 2 1 2
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高考体验
专题一
专题二
专题三
专题四
方法二 :∵四边形 ABCD 为菱形 ,
∴AC⊥BD.
以 AC,BD 所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系 , 则由菱形 ABCD 的边长为 2,∠BAD=60°,得 A(- 3,0),B(0,1),C( 3,0),D(0,1),中点 E 则������������ =
3 3 1 ,2 2 3 1 ,2 2
,
, ������������ =(0,2),
∴������������ ·������������ =
人教A版高中数学必修四 第三章《简单的三角恒等变换》教案
3.2 简单的三角恒等变换（3个课时）一、课标要求： 本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换，以及三角恒等变换在数学中的应用．二、编写意图与特色本节内容都是用例题来展现的．通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．三、教学目标通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．四、教学重点与难点教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力． 教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力．五、学法与教学用具学法：讲授式教学六、教学设想：学习和（差）公式，倍角公式以后，我们就有了进行变换的性工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富，这为我们的推理、运算能力提供了新的平台．下面我们以习题课的形式讲解本节内容．例1、试以cos α表示222sin ,cos ,tan 222ααα． 解：我们可以通过二倍角2cos 2cos12αα=-和2cos 12sin 2αα=-来做此题． 因为2cos 12sin2αα=-，可以得到21cos sin 22αα-=； 因为2cos 2cos 12αα=-，可以得到21cos cos 22αα+=．又因为222sin 1cos 2tan 21cos cos 2ααααα-==+． 思考：代数式变换与三角变换有什么不同？ 代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点．例２、求证：（１）、()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； （２）、sin sin 2sin cos 22θϕθϕθϕ+-+=． 证明：（１）因为()sin αβ+和()sin αβ-是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-． 两式相加得()()2sin cos sin sin αβαβαβ=++-； 即()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； （２）由（１）得()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=①；设,αβθαβϕ+=-=， 那么,22θϕθϕαβ+-==．把,αβ的值代入①式中得sin sin 2sincos 22θϕθϕθϕ+-+=．思考：在例２证明中用到哪些数学思想？ 例２ 证明中用到换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式．例３、求函数sin y x x =的周期，最大值和最小值．解：sin y x x =这种形式我们在前面见过，1sin 2sin 2sin 23y x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+==+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，所求的周期22T ππω==，最大值为２，最小值为2-．点评：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数()sin y A x ωϕ=+的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用． 小结：此节虽只安排一到两个课时的时间，但也是非常重要的内容，我们要对变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用．作业：157158P P -14T T -。
【优化设计】高一下学期数学(人教版必修4)第三章3.1.3课时作业
[学业水平训练]1.⎝⎛⎭⎫cos π12－sin π12⎝⎛⎭⎫cos π12＋sin π12的值为( ) A ．－32 B ．－12 C.12 D.32解析：选D.原式＝cos 2π12－sin 2π12＝cos π6＝32. 2．已知sin α2＝35，cos α2＝－45，则角α终边所在的象限是( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选D.由题意，得sin α＝2sin α2cos α2＝－2425<0，cos α＝2cos 2α2－1＝725>0，故α是第四象限角．3．下列函数f (x )与g (x )中，不能表示同一函数的是( )A ．f (x )＝sin 2x g (x )＝2sin x cos xB ．f (x )＝cos 2x g (x )＝cos 2x －sin 2xC ．f (x )＝2cos 2x －1 g (x )＝1－2sin 2xD ．f (x )＝tan 2x g (x )＝2tan x 1－tan 2x解析：选D.显然选项A 、B 、C 均正确，对于D ，函数f (x )与g (x )的定义域不同，所以二者表示的函数不同．4．已知cos 2x 2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝15，则sin 2x ＝( ) A ．－2425 B ．－45 C.2425 D.255解析：选A.∵cos 2x 2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝15， ∴cos 2x －sin 2x cos x －sin x ＝15， ∴cos x ＋sin x ＝15， ∴1＋sin 2x ＝125， ∴sin 2x ＝－2425.5．若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且 sin 2α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于( ) A.22 B.33 C. 2D. 3解析：选D.∵sin 2α＋cos 2α＝14， ∴sin 2α＋cos 2α－sin 2α＝cos 2α＝14. ∴cos α＝±12. 又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴cos α＝12，sin α＝32. ∴tan α＝ 3. 6．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55，则tan 2α＝________． 解析：由已知可得cos α＝－255， ∴tan α＝－12， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－43. 答案：－437．已知tan α＝－13，则sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝________． 解析：sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝2sin αcos α－cos 2α1＋2cos 2α－1＝2sin αcos α－cos 2α2cos 2α＝tan α－12＝－56. 答案：－568．已知等腰三角形底角的余弦值等于45，则这个三角形顶角的正弦值为________． 解析：设此三角形的底角为α，顶角为β， 则cos α＝45，sin α＝35， 所以sin β＝sin(π－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α＝2×45×35＝2425. 答案：24259．已知sin α2－cos α2＝－15，π2<α<π，求sin α，tan 2α的值． 解：∵⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22＝15，∴1－sin α＝15. ∴sin α＝45.又∵π2<α<π，∴cos α＝－35. ∴tan α＝－43，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝247. 10．已知角α在第一象限且cos α＝35， 求1＋2cos ⎝⎛⎭⎫2α－π4sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2的值． 解：∵cos α＝35且α在第一象限， ∴sin α＝45. ∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝－725， sin 2α＝2sin αcos α＝2425， 原式＝1＋2⎝⎛⎭⎫cos 2αcos π4＋sin 2αsin π4cos α＝1＋cos 2α＋sin 2αcos α＝145. [高考水平训练]1．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α＝( ) A ．－34B.34 C ．－43 D.43 解析：选B.由sin α＋cos αsin α－cos α＝12，等式左边分子、分母同除以cos α得，tan α＋1tan α－1＝12，解得tan α＝－3，则tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝34. 2．计算cos 10°·cos 80°sin 20°＝________． 解析：原式＝sin 80°·cos 80°sin 20°＝2sin 80°·cos 80°2sin 20°＝sin 160°2sin 20°＝12. 答案：123．已知sin(π4＋x )sin(π4－x )＝16，x ∈(π2，π)，求sin 4x 的值． 解：∵sin(π4＋x )sin(π4－x )＝sin(π4＋x )sin[π2－(π4＋x )]＝sin(π4＋x )cos(π4＋x )＝12sin(π2＋2x ) ＝12cos 2x ＝16， ∴cos 2x ＝13. ∵x ∈(π2，π)，∴2x ∈(π，2π)，∴sin 2x ＝－223. ∴sin 4x ＝2sin 2x cos 2x ＝－429. 4．求证：1＋sin 4θ－cos 4θ2tan θ＝1＋sin 4θ＋cos 4θ1－tan 2θ. 证明：原式变形为1＋sin 4θ－cos 4θ＝tan2θ(1＋sin 4θ＋cos 4θ)，①而①式右边＝tan 2θ(1＋cos 4θ＋sin 4θ)＝sin 2θcos 2θ(2cos 22θ＋2sin 2θcos 2θ) ＝2sin 2θcos 2θ＋2sin 22θ＝sin 4θ＋1－cos 4θ＝左边，∴①式成立，即原式得证．。
《学考优化指导》2016-2017学年高一数学(人教A版)必修4课件第一章三角函数本章整合1
+
π 8
,0
,k∈Z.
∴原点右侧的第一个对称中心为
π 8
,0
.
专题一
专题二
专题三
专题四
变式训练 3
已知函数 f(x)=2sin
2������-
π 6
+a,a 为常数.
(1)求函数 f(x)的最小正周期;
(2)求函数 f(x)的单调递增区间;
(3)若
x∈
0,
π 2
时,f(x)的最小值为-2,求
a
的值.
专题一
专题二
专题三
专题四
1 例
点
P
从点(1,0)出发,沿单位圆
x2+y2=1
逆时针方向运动π弧
3
长到达点 Q,则点 Q 的坐标为( )
A.
1 2
,
3 2
B.
-
3 2
,-
1 2
C.
-
1 2
,-
3 2
D.
-
3 2
,
1 2
解析:设∠POQ=θ,则 θ=π3.
又设 Q(x,y),则 x=cosπ3 = 12,y=sinπ3 = 23.
(1)用“五点法”作 y=Asin(ωx+φ)的图象时,确定五个关键点的方 法是分别令 ωx+φ=0,π2,π,32π,2π.
专题一
专题二
专题三
专四题四
(2)对于 y=Asin(ωx+φ)的图象变换,应注意先“平移”后“伸缩”与 先“伸缩”后“平移”的区别.
(3)已知函数图象求函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的解析式时, 常用的解题方法是待定系数法.
人教A版高中同步学考数学必修4精品课件 第三章 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
课堂篇合作学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
1
1
−
.
1+tan
3
2
(2)1+
2
2
课前篇自主预习
自主检测
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“ ”,错误的打
“×”.
(1)对任意的角,总有sin 2θ=2sin θ. (
)
(2)不存在角α,使得cos 2θ=2cos θ. (
)
2tan
π
(3)公式 tan 2α=
成立的条件是 α≠kπ+ ,k∈Z.
2
1-tan2
S2α
cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α C2α
正切
tan 2α=
2 α
1- 2
T2α
课前篇自主预习
4.公式S2α,C2α,T2α的适用范围
π
在公式 S2α,C2α 中,角 α 可以为任意角;但公式 T2α 只有当 α≠2+kπ,且
π
4
π
π
平方,求得 sin 2x 的值,再求得 cos
课堂篇合作学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
π
解:(方法一)∵0<x< ,
4
π
π
∴4-x∈ 0, 4 .
π
5
又 sin - = ,
4
13
π
12
∴cos 4 - = 13.
π
π
∵cos 2x=sin 2 -2 =2sin 4 -
《学考优化指导》2016-2017学年高一数学(人教A版)必修4课件第二章平面向量2.5.1平面几何中的向量方法
3
3
3
∴点M,A,B三点共线,且M为线段BA靠近B的三等分点.
答案:B
12345
2.已知|a|=2 3,|b|=2,向量 a,b 的夹角为 30°,则以向量 a,b 为邻边 的平行四边形的一条对角线的长度为( )
第二章 平面向量
2.5 平面向量应用举例
2.5.1 平面几何中的向量方法
学习目标
思维脉络
1.会用向量方法解决平面 几何中的平行、垂直、长
度问题. 2.掌握和体会用向量方法 解决平面几何问题的“三步 曲”.
1.由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景,平面几 何图形的许多性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由 向量的线性运算及数量积表示出来,因此,可用向量方法解决平面 几何中的一些问题. 2.用向量方法解决平面几何问题的三步曲: 第一步,建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几 何元素,将平面几何问题转化为向量问题; 第二步,通过向量运算,研究几何元素之间的关系; 第三步,把运算结果“翻译”成几何关系.
.
解析:∵������������ =
2,-
������ 2
, ������������ =
������,
������ 2
, ������������ ⊥ ������������,
∴������������ ·������������=2x-���4���2=0(x≠0). ∴y2=8x(x≠0).
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
变式训练 若四边形 ABCD 满足������������ + ������������=0,(������������ −
2016版高中数学人教A版必修四课件：第三章章末优化总结
所以
tan
α＋tan
β＝3tan
β＋
tan3β＋ tan 1－ tan2β
β－
tan3β＝
2tan
2β.
栏目 第二十页，编辑于星期五：二十三导点 五引十分。
第三章 三角恒等变形
三角恒等变形与三角函数的性质
利用三角公式和基本的三角恒等变形的思想方法，可以化简三 角函数的解析式，进而才能顺利地探求三角函数的有关性 质．反过来，利用三角函数性质，可确定解析式，进而可求出 有关三角函数值，因而三角恒等变形与三角函数的性质是高考 命题的热点．
栏目 第二十三页，编辑于星期五：二十导三点引五十分。
第三章 三角恒等变形
[解] f(x)＝2 3sin xcos x＋2cos2x－1
＝ 3sin 2x＋cos 2x
＝2sin2x＋π6 .
(1)T＝2π＝π . 2
(2)2kπ＋π≤ 2x＋π≤ 2kπ＋3π⇔ kπ＋π≤ x≤ kπ＋2π
2
6
2
2
4
65
65
栏目 第七页，编辑于星期五：二十三点导五十引分。
第三章 三角恒等变形
(2)因为 0°<α<90°，
且 tan
α＝sin
cos
α α＝4
3，sin2α＋cos2α＝1，
所以 cos α＝1，sin α＝4 3.
7
7
因为 cos(α＋β)＝－11，0°<α＋β<180°，
14
栏目 第八页，编辑于星期五：二十三点导五十引分。
第三章 三角恒等变形
所以 sin(α＋β)＝ 1－－11142＝5143.
所以 cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α
2017高中同步创新课堂数学优化方案人教A版必修4课件：第三章3.1.3
60°＝
3 2.
(3)cos 1π2cos 51π2＝cos 1π2sin 1π2＝12sin π6＝14.
第十二页，编辑于星期六：二十点 三十五分。
探究点二 给值求值(倍角公式的应用) (1)已知 α∈π2，π，sin α＝ 55，则 sin 2α＝________，cos 2α＝________，tan 2α＝________． (2)已知 sinπ4－x＝153，0＜x＜π4，求 cos 2x 的值．
倍角公式
名称
公式
推导
记法
二倍角 sin 2α＝ 的正弦 _2_s_i_n_α__co__s_α_
S(α＋β)令―β―＝→αS2α
S2α
第三页，编辑于星期六：二十点 三十五分。
名称
公式
推导
记法
cos 2α＝_c_o_s_2_α_－__s_in_2_α C(α＋β)令―β―＝→αC2α
二倍角 ＝_2_c_o_s_2_α_－__1__＝ 的余弦 __1_－__2_s_i_n_2α__
＝－ 3.
2sin (4)原式＝
π5cos π5cos
2sin
π 5
25π＝sin
25πcos
2sin
π 5
2π 5＝
sin
4sin
4π 5 π 5
π
sin ＝
5π＝14.
4sin 5
第十页，编辑于星期六：二十点 三十五分。
应用二倍角公式化简(求值)的策略 (1) 化 简 求 值 关 注 四 个 方 向 ： 分 别 从 “ 角 ”“ 函 数 名”“幂”“形”着手分析，消除差异． (2)公式逆用：主要形式有 2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝12sin 2α，cos α＝2sisnin2αα，cos2α－sin2α＝cos 2α，1－2tatannα2 α＝tan 2α.
2017高中同步创新课堂数学优化方案人教A版必修4课件：第三章3.2
1．半角公式
第三页，编辑于星期六：二十点 三十五分。
2．辅助角公式 使 asin x＋bcos x＝ a2＋b2sin(x＋φ)＝ a2＋b2cos(x－θ)成立时， cos φ＝ a2a＋b2，sin φ＝ a2b＋b2，sin θ＝ a2a＋b2，cos θ＝
a2b＋b2，其中 φ、θ 称为辅助角，它们的终边所在象限由点(a， b)或(b，a)决定．
第五页，编辑于星期六：二十点 三十五分。
2．若 cos α＝13，且 α∈(0，π)，则 cos α2的值为( )
A．
6 3
B．－
6 3
C．±
6 3
答案：A
D．±
3 3
第六页，编辑于星期六：二十点 三十五分。
3．已知 cos α＝45，α∈32π，2π，则 sin α2等于(
)
A．－
10 10
B．
2．求解三角函数最值问题的常用方法 (1)形如 y＝asin x＋bcos x＋c 的三角函数，可通过引入辅助角 φcos φ＝ a2a＋b2，sin φ＝ a2b＋b2，化为 y＝ a2＋b2sin(x＋φ) ＋c 求解． (2)形如 y＝asin2x＋bsin x＋c 的三角函数，可先设 t＝sin x，化 为二次函数 y＝at2＋bt＋c 在 t∈[－1，1]上的最值求解．
第十四页，编辑于星期六：二十点 三十五分。
所以原式＝－sin α－sin
2sin2
α 2
α＝
－2sin
2sin
α α 2
αα
2 ＝－
2sin
2cos α
2 .
sin
2
因为 0＜α＜π，所以 0＜α2＜π2.所以 sin α2＞0.
2017高中同步创新课堂数学优化方案人教A版必修4课件：第三章3.1.2第2课时
探究点三 给值求角(值) 已知 tan α＝2，tan β＝－13，其中 0＜α＜π2，π2＜β＜π. (1)求 tan(α－β)； (2)求 α＋β 的值． [解] (1)因为 tan α＝2，tan β＝－13， 所以 tan(α－β) ＝1t＋antaαn－αttaannββ＝21＋ －1323＝7.
第十八页，编辑于星期六：二十点 三十五分。
2.(1)若 tan(α＋β)＝25，tanβ－π4＝14，则 tanα＋π4
的值是( )
A．1138
B．1232
C．232
D．16
(2)
已
知
sin sin
α＋cos α－cos
α α
＝
3
，
tan(α
－
β)
＝
2
，
则
tan(βபைடு நூலகம்－ 2α) ＝
________．
第十五页，编辑于星期六：二十点 三十五分。
2．本例(2)中的方程“3x2＋8x－1＝0”改为“3x2－5x＋1＝0”，
则△ABC 是________三角形．(填“锐角”“钝角”或“直
角”)
tan 解析：由根与系数的关系得
tan
A＋tan A·tan
B＝53， B＝13.
5 所以 tan(A＋B)＝1－tatnanA＋A·tatnanBB＝1－3 13＝52，
第三章 三角恒等变换
第2课时 两角和与差的正切公式
第一页，编辑于星期六：二十点 三十五分。
第三章 三角恒等变换
1.能利用两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与 差的正切公式． 2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、 求值、证明． 3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形， 并能灵活应用．
2017高中同步创新课堂数学优化方案人教A版必修4课件：第三章章末复习提升课
三角恒等式的证明 证明三角恒等式实际上就是有目的地化繁为简，最后左右归 一．常用方法： (1)从左边推到右边； (2)从右边推到左边； (3)找中间量，常用技巧：切化弦，降次消元，拆项拆角，“1” 的代换以及公式变形等．指导思想是统一三角函数名称，统一 为相同的角．
第二十八页，编辑于星期六：二十点 三十五分。
所以 tan α＋2 β＝tanα－β2－α2－β ＝1t＋antaαn－αβ2－－β2ttaannα2α2－－ββ ＝1－－4343－×151252＝－6136.
第二十九页，编辑于星期六：二十点 三十五分。
本部分内容讲解结束
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第三十页，编辑于星期六：二十点 三十五分。
2 ＝cos（2A＋2B）＋2 cos（2A－2B） ＝12(cos 2Acos 2B－sin 2Asin 2B＋cos 2Acos 2B＋sin 2Asin 2B) ＝cos 2Acos 2B＝右边， 所以等式成立．
第十四页，编辑于星期六：二十点 三十五分。
(2)法一：因为左边＝cos2θ1－csions22θθ ＝cos2θ－sin2θ＝cos 2θ＝右边， 所以等式成立． 法二：因为右边＝cos 2θ＝cos2θ－sin2θ ＝cos2θ1－csoins22θθ＝cos2θ(1－tan2θ)＝左边， 所以等式成立．
第十页，编辑于星期六：二十点 三十五分。
解决条件求值应学会的三点 (1)分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未 知角． (2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三 角函数值来表示． (3)求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的 某个三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小.
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3.2简单的三角恒等变换
1.cos2的值为()
A. B. C. D.
解析:cos2.
答案:B
2.已知cos,540°<α<720°,则sin等于()
A. B. C.- D.-
解析:∵540°<α<720°,
∴270°<<360°,135°<<180°.
∴sin.
答案:A
3.已知2sin α=1+cos α,则tan等于()
A. B.或不存在
C.2
D.2或不存在
解析:由2sin α=1+cos α,得4sincos=2cos2.当cos=0时,tan不存在,当cos≠0时,tan.答案:B
4.已知tan=3,则cos α=()
A. B.- C.- D.
解析:cos α=cos2-sin2
==-.
答案:B
5.若函数f(x)=(1+tan x)cos x,则f=()
A. B.- C.1 D.
解析:∵f(x)=cos x=cos x+sin x
=2sin,
∴f=2sin=2sin.
答案:D
6.若cos α=-,α是第三象限的角,则等于()
A.-
B.
C.2
D.-2
解析:∵α是第三象限角,cos α=-,
∴sin α=-.
∴
=
==-.
答案:A
7.设5π<θ<6π,cos =a,则sin =.
解析:∵5π<θ<6π,∴<3π,.
又cos =a,∴sin =-
=-=-.
答案:-
8.在△ABC中,若cos A=,则sin2+cos 2A等于.
解析:∵在△ABC中,B+C=π-A,
∴sin2+cos 2A=+cos 2A=+cos 2A=+2cos2A-1=2cos2A+cos A-=-.
答案:-
9sin,0<θ<,则的值等于.
解析:∵sin,0<θ<,
∴cos.
∴
=.
答案:
10.已知函数f(x)=sin [(1-a)x]+cos [(1-a)x]的最大值为2,则f(x)的最小正周期为.解析:∵f(x)=sin [(1-a)x+φ]
,由已知得=2,∴a=3.
∴f(x)=2sin(-2x+φ).∴T==π.
答案:π
11.求-sin 10°的值.
解:原式=-sin 10°×
=
=
122sin=sin θ+cos θ,2sin2β=sin 2θ,求证:sin 2α+cos 2β=0.
证明:∵2sin=sin θ+cos θ,
∴(sin α+cos α)=sin θ+cos θ.
两边平方得2(1+sin 2α)=1+sin 2θ,
∴sin 2θ=1+2sin 2α.
又sin 2θ=2sin2β,
∴sin 2θ=1-cos 2β.
∴1-cos 2β=1+2sin 2α.
∴2sin 2α+cos 2β=0,
∴sin 2α+cos 2β=0.。