随机凸幂凝聚算子的随机不动点定理
不动点定理研究
前言不动点理论的研究兴起于20世纪初,荷兰数学家布劳维在1909年创立了不动点理论[1]．在此基础上，不动点定理有了进一步的发展，并产生了用迭代法求不动点的迭代思想．美国数学家莱布尼茨在1923年发现了更为深刻的不动点理论，称为莱布尼茨不动点理论[2]．1927年，丹麦数学家尼尔森研究不动点个数问题，并提出了尼尔森数的概念[3]．我国数学家江泽涵、姜伯驹、石根华等人则大大推广了可计算尼森数的情形，并得出了莱布尼茨不动点理论的逆定理[4]．最后给出结果的是波兰数学家巴拿赫(Bananch)[6]，他于1922年提出的压缩映像（俗称收缩映射）原理发展了迭代思想，并给出了Banach不动点定理[6]．这一定理有着及其广泛的应用，像代数方程、微分方程、许多着名的数学家为不动点理论的证明及应用作出了贡献.例如，荷兰数学家布劳威尔在1910年发表的《关于流形的映射》[2]一文中就证明了经典的不动点定理的一维形式.即,设连续函数()fx()fx把单位闭区间[0,1]映到[0,1][0,1]中，则有0[0,1]x，使00()fxx.波利亚曾经说过：“在问题解决中，如果你不能解答所提的问题，那么就去考虑一个适当的与之相关联的辅助问题”.“不动点”就是一个有效的可供选择的辅助问题。
作为Brouwer不动点定理从有限维到无穷维空间的推广，1927年Schauder 证明了下面不动点定理，我们称其为Sehauder不动点定理I：定理2设E是Banach 空间，X为E中非空紧凸集，XXf:是连续自映射，则f在X中必有不动点.Sehauder 不动点定理的另一表述形式是将映射的条件加强为紧映射(即对任意Xx，xf是紧的)，这时映射的定义域可不必是紧集，甚至不必是闭集。
1935年，Tyehonoff进一步将Sehauder不动点定理I推广到局部凸线性拓扑空间，得到了下面的不动点定理，我们称其为Tyehonoff不动点定理（吉洪诺夫不动点定理）。
φ凹(-φ凸)算子不动点定理及其应用
文献标识码： Ａ
一 。￡一 。 ）这一条件， （ ＋ 从而改进和推
广了相关结果．作为应用， 给出了一类的 Ｓ ｕ ｍ— ｉｕ ｉｅ边值 问题的正解的存在唯—性结果． ｔ ｒ Ｌ ｏ ｖｌ ｌ
中图分类号：Ｏ１ ５８ １ ７９ ７ ．； ７ ．１
１ 引言
近年来， 很多学者对凹 凸算子进 行了广泛研究， 文献 ｆ ０ 取得 了比较丰富的结果．李福义 ， １ 】 —１ 梁
（ ） （ ＋ｖｔ ） 即算子为 ｅ ＝ｔ ， １ （ ） ， 一 凹算子时， ｔ ０ ， 令 一 ＋ 则条件
一０ 不能满足．
因此我们的工作弥补了文献 ［ ７ 中的不足． ６ ］ — 作为应用， 我们讨论了一类 Ｓｕｍ Ｌ ｕ ｉ 两点边 ｔｒ －ｉ ｖ ｌ ｏ ｌ ｅ
值问题 的正解存在 唯一 陛． 本 文设 Ｅ 是实 Ｂ ｎｃ ａａｈ空间， 为 Ｅ 的正规锥 ．用 ≤ 表 示 Ｅ 中 由 Ｐ 导 出的半序关系， Ｐ 即对
展东在文献 ［ 提 出了 凹 （ 凸） ６ ］ 一 算子的概念， 并且指出 ｑ （ 凸） ｏ凹 一 算子能够包含其他类型的 凹凸算子 （ 例如 凹 （Ｏ 凸 ［ ｉ ，一 Ｇ ｏ凸 ［ ５等）但美中不足的是文献 ［ 中的有关结果 一 Ｌ ９ ０ ｅ凹 ） －］ ｕ ４】 ． － ６ 】
不动点定理漫谈1
不动点定理漫谈!"#钱定边!苏州大学数学科学学院$"%&&’#数学大师陈省身先生曾说过数学有好(坏之分)*好的数学就是有开创性的+有发展前途的,好的数学可以不断深入+有深远意义+能够影响许多学科)-并且举例说+*解方程就是好的数学+搞数学都要解方程+一次方程容易解+二次方程就不同+等等)这一类的数学是不断发展的+有永恒价值+所以是好的)-不动点定理正是现代解方程的最主要的工具之一)著名应用数学家卡斯蒂!.)/0123#在其科普著作4$&世纪数学的五大指导理论5中把最经典的不动点定理66布劳威尔!.)789:;<8#不动点定理作为五大指导理论之一)本文向从事中学数学教学的朋友们介绍几个经典的不动点定理以及相关的趣事)这些不动点定理从几何上(拓扑上看非常漂亮(直观+体现了纯数学的优美和精致,同时只要稍作设计+就可用来解决自然科学或者经济(政治生活中的大问题!见后面的例子#+展现了数学在自然科学和社会发展中的高度的应用)因此这些不动点定理称得上是数学定理的典范)=什么是不动点在中学我们知道二次方程>?$@A ?@B C &有求根公式"+$CD AE A$F DG >B $>+其中"+$是方程的根)另一方面+我们也知道%次以上的代数方程没有象二次方程那样的求根公式+求一般的超越方程的根就更困难+因此我们换个角度来解释"+$)考察一个定义在实轴H 上的映射I J ?K >?$@A?@B @?+则"+$满足I !?"+$#C ?"+$)这样的?"+$称为映射I 的不动点)一般地+有如下定义?&N M 称为L 的不动点)容易看到+求L 的不动点也相当于求方程L !?#C ?在M 中的解)当然+这儿的方程可以是代数方程+也可以是微分方程(算子方程+或者是一些随机方程)因此+M 的元素可以是数(向量+也可以是函数+或者是一些特定的集合等等)在M 中寻找L 的不动点就好比大海捞针)如果大海里根本就没有针+所有的工作都是徒劳)同样在找不动点前最好能够知道M 中是否存在L 的不动点)从数学上看+搞清楚在什么条件下集合M 对怎样的映射L 有不动点就有十分重要的意义)O 布劳威尔不动点定理图"我们从一个简单情况谈起)在数学分析中有一个熟知的命题J 设连续函数I 把单位闭区间P &+"Q 映到P &+"Q 中+则有?&N P&+"Q +使I !?&#C &!其证明是连续函数介值定理的一个简单应用)设R !?#C I !?#D ?+则R !&#S &+R !"#T &+故存在?&N P &+"Q 使R !?&#C &#)从图上看I 的不动点?&对应到连续曲线与对角线交点的横坐标)这个命题就是经典的布劳威尔不动点定理的一维形式)荷兰数学家布劳威尔在"U "&年发表了一篇题为*关于流形的映射-的文章)这是一篇奠定了许多近代拓扑学基础的开创性论文)特别是+布劳威尔在这篇论文中证明了如下经典的不动点定理)定理=设V 是H W中非空紧凸集+L 是V 到V 的连续映射+则L 在V 中至少有一个不动点)X"X $&&%年第""期中学数学月刊果!"#$"%&’$对任意(&)*$#+$有("#,-#.(/"%&’-即连结"#$"%的线段也在’中/$则称’是凸集0在12中紧凸集的例子有单位闭球-三维几何体/$单位闭球中任意一个大圆盘-二维几何体/$或者单位闭球中的某根轴-一维几何体/0图%下面我们举出一些应用布劳威尔不动点定理的例子0非负矩阵的特征值设345##5#%65#75%#5%%65%7666657#57%6589:;77是一个7<7的非负矩阵$即5=>?*$=$>4#$%$6$70证明3必有非负的特征值和非负的特征向量$即存在(?*及非零向量@$其分量@#$@%$6$@7均非负$使3@4(@0为此$我们定义集合0’4A -@#$@%$6$@7/&17B @=?*$=4#$%$6$7$@#,@%,6,@74#C $如果3@4*对某个非零向量@&’成立$则(4*就是3的零特征值0如果3@D *$对@&’均成立$则由于’是17中的有界闭集$并且3的每个元素均非负$故E 7=4#F =?G H *$其中F #$F %$6$F 7是非负向量F43@的分量$@&’0定义’上的映射I J @K-E 7=4#F=/.#F $则I 是’到’的连续映射0易见’是闭凸集0故由布劳威尔不动点定理$L@*&’$使I -@*/4@*0取(4E 7=4#F *=-其中F *#$F *%$6$F *7是F *43@*的7个分量/$就有3@*点定理证明了一个很漂亮的代数结果0应该指出这个结果在规划论中很重要0如果讲上面的例子和直接的应用还有一点距离的话$下面的例子就直接来自社会与经济学问题0职业流动考虑上-#/M 中-%/M 下-2/三种不同职业阶层在下一代职业选择上的流动0用"=$>表示第=种职业阶层从业者的子女转入第>种职业的概率-这是国外某个研究所的数据/$那么职业流动就可以用下列状态转移矩阵表示#%2N4#%2*O P P Q *O P Q P *O *R Q *O *S P *O R T T *O %P U 89:;*O *##*O S *2*O P Q R 0社会学家关心是否存在一个稳定的流动状态0为此$以@-V /4-@#-V /$@%-V /$@2-V //表示在V 代时三种职业阶层中劳动者的百分比$就有@#$@%$@2&)*$#+且@#,@%,@24#0并且@-#/4@-*/N $即初始的职业分布@-*/经过一代以后转移为@-#/0同理两代后的分布为@-%/4@-#/N4@-*/N %一般地$@-V /4@-*/NV$并且满足@-V ,#/4@-V /N 0如果@-V /当V K,W 有一个极限值@X$就有@X 4@X N 0因此以I J @K @N 表示’4A -@#$@%$@2/B @#$@%$@2?*Y @#,@%,@24#C 上的连续映射0由布劳威尔不动点定理可以得到I 的不动点@X 存在0容易看到@X就是稳定的职业选择分布0均衡经济经济学家关心市场供求关系中是否存在使得供给正好等于需求的均衡价格0#T 2Q 年$冯Z 诺伊曼-[0\]^_‘a b c ^^/发表题为d 经济方程组和布劳威尔不动点定理的推广e 的文章$开始把不动点定理引入经济学的研究0阿罗-f 0g h h ]i /于#T U 2年$德勃罗-j 0k ‘l h ‘^/于#T Q 2年先后以d 一般均衡理论e 的工作获得诺贝尔经济学奖0不动点理论在其中起着非常关键的作用0下面是一个均衡经济的简单例子0它表明供应M 需求和价格的概念是如何与不动点的存在性联o%o 中学数学月刊%**S 年第##期三种商品的数量为!"#$"#%"和!&#$&#%&’!#$#%的初始市场定价分别为(!#($#(%#并给予标准化#即设(!)($)(%*"#(!#($#(%+,’假定甲-乙会出售!#$#%#他们得到的收入分别为./"*!"(!)$"($)%"(%#/&*!&(!)$&($)%&(%’根据各自的情况#甲-乙分别希望以其收入的0"1!2和0&1!2买进!#0"1$2和0&1$2买进$#0"1%2和0&1%2买进%#其中031!2)031$2)031%2*"#3*"#&’这样#对应于商品!#$#%的市场期望货币分别为/"0"1!2)/&0&1!2#/"0"1$2)/&0&1$2#/"0"1%2)/&0&1%2’除掉相应的商品总数#得期望定价分别为4!*/"0"1!2)/&0&1!2!")!$*/"0"1$2)/&0&1$2$")$%*/"0"1%2)/&0&1%2%")%&’按照关系(5!)(5$)(5%*"#(5!#(5$#(5%+,#(5!6(5$6(5%*4!64$64%定义新的标准价(5!#(5$#(5%’如果新的标准价与原始的标准价一致#即(5!*(!#(5$*($#(5%*(%#则可以证明期望定价就是初始定价’事实上#此时可以假设4!*7(!#4$*7($#4%*7(%#于是7(!*/"0"1!2)/&0&1!2!")!($*/"0"1$2)/&0&1$2$")$(%*/"0"1%2)/&0&1%2%")%&’即71(!!")(!!&2*/"0"1!2)/&0&1!2#71($$")($$&2*/"0"1$2)/&0&1$2#71(%%")(%%&2*/"0"1%2)/&0&1%2’相加得一致#并且甲#乙所持有的商品!的总数/"0"1!2)/&0&1!2(!*!")!&应保持不变#同理#商品$#%的总数也保持不变#这就是均衡价格#也就可以使商品能够按照人们的财富和愿望进行分配’容易看到新的标准价(5!#(5$#(5%是由原始的标准价(!#($#(%惟一定义的’随意取(!#($#(%#不见得就有(5!*(!#(5$*($#(5%*(%’如果记8为从三维向量1(!#($#(%2到三维向量1(5!#(5$#(5%2的映射#从数学上看寻求均衡价格就转化为找8的不动点’下面我们就用布劳威尔不动点原理证明8的不动点的存在性#从而得到均衡价格的存在性’可见8是三维连续映射#且8把集合9*:1/#;#<2=/);)<*"#/#;#<+,>映到自身’而9是?@中平面/);)<*"在第一卦限的部分#所以9是一个凸的有界闭集’由布劳威尔不动点定理#存在不动点1/,#;,#<,2A 9#使81/,#;,#<,2*1/,#;,#<,2#取初始价格为(!*/,#($*;,#(%*<,#则这个价格就是均衡价格’当然#这里讨论的只是一种具有启发意义的理想模型#我们并没有考虑实际经济生活中的商品消耗等诸多动态因素’同样在职业流动问题中我们考虑的只是最基本的模型#没有考虑社会发展等诸多因素’图@图B豪猪和旋风我们以C "记单位圆周#C&记单位球面#C D 为?D )"中的单位球的边界曲面’容易看到这些E 曲面F 是可以E 定向F 的’比如我们可以记C&的外表面为正向的#内表面是反向的’不可定向的曲面的最著名的例子是莫比乌斯带1G ’HI J K L M N 2#即把长方形O@O &,,P 年第""期中学数学月刊如果!把"#的正面映到正面$称一个从"#到"#的连续映射!是保向的%如果!把"#的正面映到反面$称!是反向的&布劳威尔还证明了如下曲面上连续映射的不动点定理&定理’设!是"#到"#的连续映射$若#为偶数且!是保向的$或者#为奇数且!是反向的$则!在"#上有一个不动点&我们用上述定理来解释自然界的一些有趣现象&考虑一个浑身长满刺的豪猪$如果长得足够丰满$它的表面可看成是一个球面&我们可以把豪猪的刺(连续)梳平$也就是说$假如刺的根部很靠近$它们被梳平后的头部也很靠近&这样就给出了从球面上每一点的刺的根部到刺的头部所在位置的连续映射!*+,!-+.&如果根部在+点的刺被梳平了$就必有!-+./+&而由定理0$必存在+1 2"0$使!-+1.3+1&因此必然有某根刺是垂直的$不可梳平的&或者硬要梳平$!就不是连续的$也就会出现类似于人头发上的(旋)或者(路)-见图4.&如果把"0看成空气的流动$则这种流动必定会有某一处的风向是垂直$即有旋风模式&-未完待续.高中数学课程标准实验教学案例选编-0.江苏教育出版社高中数学课标实验教材编写组课题5平面的基本性质教学目标-6.初步理解平面的概念%-7.了解平面的基本性质-公理89公理:.%-;.能正确使用集合符号表示有关点<线<面的位置关系%-=.能应用平面的基本性质解决一些简单的问题&教学重点平面的基本性质教学难点平面的无限延展性%正确使用图形语言<符号语言表示平面的基本性质&教学过程>问题情境情境8*平静的水面<广阔的平原<平坦的足球场地<平滑的桌面<黑板的表面等&情境0*棱柱的表面<圆柱和圆台的底面&问题8*这些事物给我们一种怎样的形象学生活动棱柱<圆柱等几何体和已知的点<直线的概念$归纳<抽象出平面的基本特征*平坦的$没有厚薄$是无限延展的&5建构数学问题0*可以用怎样的数学语言描述上述事物?-8.平面的概念*我们将上述事物用平面表示$和点<直线一样$平面也是从现实世界中抽象出来的几何概念$它没有厚薄$是无限延展的&情境:*电脑演示课件-如图0.问题:*我们可以通过怎样的方式形成平面图0通过观察$发现*平面可以看成是一条直线沿着某一方向平移得到的&问题4*直线可以看成是以点作为元素的集合$平面是否可视为点构成的集合可以用怎样的数学符号@4@中学数学月刊011A年第88期。
凸度量空间中的不动点定理
凸度量空间中的不动点定理不动点问题一直是泛函分析中研究的主要方向之一,并且在代数方程、微分方程、积分方程等有着广泛的应用.本文主要针对凸度量空间,通过构造不同的条件,得出一些不动点方面的定理.第一章,介绍了凸度量空间的概念,以及凸度量空间中一些已有的不动点定理.第二章,给出了公共不动点的定义,并且得到了凸度量空间中单值映射在不同条件下的公共不动点定理,其主要内容如下：第一部分,(X,d)为具有I性质的凸度量空间,c为X的紧子集.映射T,G：C→X是可交换映射而且满足T是G非扩张的以及G2=G.如果G是连续的、仿射的,子集C是G星形的,那么T和G在C中有唯一的公共不动点.第二部分,(X,d)是具有凸结构W 的凸度量空间.K是X的一个非空闭子集,映射f,g是K上可相容的映射而且对于所有的x,y∈K,有d(fx,fy)≤ad(gx,gy)+b max{d(gx,fx),d(gy,fy)}+cmax{d(gx,fx)+d(gy,fy),d(gx,gy)+d(gy,fx)},其中a,b,c≥0而且a+b+2c=1,b(1-b)/(2+b)>c.如果f(K)∈g(K),g既是W仿射又是连续的,那么存在一个唯一的f和g的公共不动点z,而且f在z这一点连续.第三章,介绍了凸度量空间中的多值映射的概念,得到了多值映射在凸度量空间中的共同点定理,即：(X,d)是凸度量空间且K为X的闭子集.令T,S：K→CB(X)是一对多值映射,f,g：K→X是一对单值映射,对于任意x,y∈X满足：H(Sx,Ty)≤ad(fx,gy)+βmax{D(fx,Sx),D(gy,Ty)}+γmax{D(fx,Sx)+D(gy,Ty),D(fx,Ty)+D(gy,Sx)}其中α,β,γ≥0且满足：λ=α+2β+3γ+αγ<1.(ⅰ)(?)K∈fk∩gK；(ⅱ)Sk∩K∈gK,TK∩K∈fK；(ⅲ)fx∈(?)K推出Sx∈K,gx∈(?)K推出Tx∈K.f(K)和g(K)是完备的,那么在K中存在u和w使得：fu∈Su,gw∈Tw,fu=gw和Su=Tw.第四章,介绍了(E.A)性质,得到了具有(E.A)性质映射的公共不动点定理：(X,d)是凸度量空间,K为X的一个非空闭子集.映射f和g是K上的自映射,满足不等式.：d(fx,fy)≤ab(gx,gy)+b max {d(gx,gy),d(gy,fy)}+cmax{d(gx,fx)+d(gy,fy),d(gx,gy)+d(gy,fx)}其中a,b,c为非负实数,且满足a+b+2c=1.若g是W仿射的,fK∈gK且gK(或fK)是X的完备子集,那么(ⅰ)f和g 存在一个共同点v;(ⅱ)若f,g是弱相容的,那么fv=u是f和g的公共不动点；(ⅲ)若映射g在u点连续,那么f在u点连续.。
φ序lipschitz算子的不动点定理及其迭代逼近
φ序lipschitz算子的不动点定理及其迭代逼近Lipschitz算子的不动点定理和迭代逼近是求解可微函数最小值问题的一种重要方法。
下面给出Lipschitz算子不动点定理及其迭代逼近机制的原理与应用：一、 Lipschitz算子的不动点定理以一阶Lipschitz算子为例，它是指无约束的可微的函数（例如f:R^n→R）的梯度函数||∇f(x)||，其梯度的L-Lipschitz常数满足关系为：||∇f(x)-∇f(y)|| ≤ L||x-y||如果f是满足L-Lipschitz条件的一阶可微函数，给定 L-Lipschitz常数L > 0，你就可以根据其梯度来定义一个具有不动点的收敛序列：x(k+1) = x(k) - 1/L∇f(x(k)）上式的证明就是经典的Lipschitz算子不动点定理。
该定理显示，在满足一定约束条件时，满足L–Lipschitz算子的可微函数的梯度函数将产生一种不动点的收敛序列；因此，可以使用极小化序列来找到最小值。
二、Lipschitz算子的迭代逼近Lipschitz算子的迭代逼近是指使用L-Lipschitz常数逐步近似最小值的逐渐进行函数极小化的方法。
这是由于：当f是Lipschitz算子连续且可微的，且存在极值点时，其偏导数需满足L-Lipschitz条件，满足此条件的f的梯度的norm满足L-Lipschitz，即：||∇f(x)-∇f(y)|| ≤ L||x-y||, L>0因此当x在空间（R^n）中满足L-Lipschitz关系，不动点序列可迭代至最小值。
它是一种计算最小值的标准迭代方法，通过一系列不动点逼近f（x）的最小值。
三、 Lipschitz算子的应用Lipschitz算子的最小值收敛序列在实际应用中有很多。
在优化学习模型中，Lipschitz算子可用于改进优化技术，如梯度下降，随机梯度下降和Adam算法。
同时，Lipschitz算子的最小值收敛序列也被用于机器学习，模式识别和计算机视觉等领域。
一类广义凝聚算子的不动点定理
一类广义凝聚算子的不动点定理邢慧【摘要】给出广义凝聚算子和广义凸幂凝聚算子的概念,并证明这类新算子的最小和最大不动点的存在性.作为应用,研究了Banach空间中一类半线性发展方程初值问题的最小最大mild解的存在性.%The concepts of generalized condesion operator and generalized convex power condesion operator are introduced,and the existence of the maximal and minimal fixed point of this kind of new operator is proved.As an application,the existence of the maximal and minimal mild solution of the initial problem for a class of semilinear evolution equation is obtained in Banach space.【期刊名称】《西北大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(047)005【总页数】4页(P639-642)【关键词】广义凝聚算子;非紧性测度;最小最大不动点;半线性发展方程;mild解【作者】邢慧【作者单位】西安工程大学理学院,陕西西安710048【正文语种】中文【中图分类】O177.91非线性算子的不动点理论在数学的许多领域有着广泛的应用,特别是用于研究各种非线性微分方程和非线性积分方程解的存在性 [1-6]。
1930年,J.Schauder得到了在现代数学领域中处于重要地位的Schauder不动点定理。
但是,这一结论要求算子是全连续的,这是一个很重要的约束条件。
为了克服这一限制,人们提出了凝聚算子的概念,把Schauder不动点定理中的全连续算子的条件放宽为凝聚算子,得到了著名的Sadovskii不动点定理[1-4]。
不动点定理研究
前言不动点理论的研究兴起于20世纪初,荷兰数学家布劳维在1909年创立了不动点理论1．在此基础上,不动点定理有了进一步的发展,并产生了用迭代法求不动点的迭代思想．美国数学家莱布尼茨在1923年发现了更为深刻的不动点理论,称为莱布尼茨不动点理论2．1927年,丹麦数学家尼尔森研究不动点个数问题,并提出了尼尔森数的概念3．我国数学家江泽涵、姜伯驹、石根华等人则大大推广了可计算尼森数的情形,并得出了莱布尼茨不动点理论的逆定理4．最后给出结果的是波兰数学家巴拿赫Bananch6,他于1922年提出的压缩映像俗称收缩映射原理发展了迭代思想,并给出了Banach不动点定理6．这一定理有着及其广泛的应用,像代数方程、微分方程、许多着名的数学家为不动点理论的证明及应用作出了贡献.例如,荷兰数学家布劳威尔在1910年发表的关于流形的映射2一文中就证明了经典的不动点定理的一维形式.即,设连续函数fxfx把单位闭区间0,1映到0,10,1中,则有00,1x,使00fxx.波利亚曾经说过：“在问题解决中,如果你不能解答所提的问题,那么就去考虑一个适当的与之相关联的辅助问题”.“不动点”就是一个有效的可供选择的辅助问题;作为Brouwer不动点定理从有限维到无穷维空间的推广,1927年Schauder 证明了下面不动点定理,我们称其为Sehauder不动点定理I：定理2设E是Banach 空间,X为E中非空紧凸集,XXf:是连续自映射,则f在X中必有不动点.Sehauder 不动点定理的另一表述形式是将映射的条件加强为紧映射即对任意Xx,xf是紧的,这时映射的定义域可不必是紧集,甚至不必是闭集;1935年,Tyehonoff进一步将Sehauder不动点定理I推广到局部凸线性拓扑空间,得到了下面的不动点定理,我们称其为Tyehonoff不动点定理吉洪诺夫不动点定理;1950年,Hukuhara将Schauder不动点定理II与Tyehonoff不动点定理结合起来得到面的定理,我们称其为Sehauder--Tychonoff不动点定理：1941年,kllcIltani把Bmuwer不动点定理推广到集值映射的情形,得到下面的不动点定理,我们称其为Kakutani不动点定理：克莱尼1950年,Botmenblust,Karlin把Sehauder不动点定理I推广到集值映射的情形：1952年,Fan,Glicksberg分别把Tyehonoff不动点定理推广到集值映射的情形,成为Kakutani-Fan-Glicksberg不动点定理或K-F—G不动点定理.即1968年,Browder又证明了另一种形式的关于集值映射的不动点定理,本文称此定理为Fan-Browder不动点定理：布劳德不动点定理 : 由布劳德Browder,.提出的带边界条件的集值映射不动点定理.设X是局部凸拓扑线性空间,C为X中非空紧凸集,F:C→2X具非空闭凸值且上半连续.记δC={x∈C|存在X的有限维线性子空间E,使得x属于C∩E在E中的边界}.若F满足下述两边界条件之一,则F有不动点:角谷静夫1911年8月28日 - 2004年8月17日 ,着名;教授;毕业于东北帝国大学理学部数学科;府出生;1941年发表了;角谷的不动点定理将布劳威尔的不动点定理一般化;在经济学和博弈论中,角谷的不动点定理现在被频繁使用;莱夫谢茨证明,Lf是整数,且如Lf≠0,则f至少有一个不动点．其后莱夫谢茨对他的不动点定理进行一系列推广,先是推广到有边界流形1926,在H．霍普夫Hopf推广到n维复形的特殊情形1928之后,莱夫谢茨又在1930年推广到具有有限贝蒂数的有限维紧度量空间,在1933年对有限维复形给出简单而漂亮的证明,最后他推广到所谓广义流形及局部连通空间．以不动点定理为中心,莱夫谢茨把代数拓扑学推进到一个新阶段．对于交截、乘积和上同调,对于对偶定理、相对同调和奇异同调以及局部连通集都做出系统的发展．原始的莱夫谢茨不动点定理不能包括布劳威尔不动点定理．为了把不动点定理推广到有边界流形相对流形,他引入了相对同调群,并把庞加莱对偶定理推广到相对情形,得出莱夫谢茨对偶1374 定理．这不仅是一种推广,而且把以前两个互不相关的庞加莱对偶定理和亚力山大对偶定理统一在一起．不动点定理在数学中占有重要地位,它在无穷维空间被推广成为分析的重要工具,M．F阿蒂亚Atiyah及R．鲍特Bott把莱夫谢茨不动点定理推广到椭圆复形．江泽涵和姜伯驹等对不动点理论亦有重大发展．的和值得注意,它在某种意义上给出了一种计算不动点的方法;存在对博拉奇空间的概括和一般化,适用于偏微分方程理论一、不动点算法又称固定点算法;所谓不动点,是指将一个给定的区域A,经某种变换x,映射到A时,使得x=x成立的那种点;最早出现的是布劳威尔定理1912：设A为R n中的一紧致凸集, 为将A映射到A的一连续函数,则在A中至少存在一点x,使得x=x;其后,角谷静夫于1941年将此定理推广到点到集映射上去;设对每一x∈A ,x为A 的一子集;若x具有性质：对A上的任一收敛序列x i→x0,若y i∈x i且y i→y0,则有y0∈x0,如此的x称为在A上半连续,角谷静夫定理：设A为R n中的一紧致凸集,对于任何x∈A,若x为A的一非空凸集,且x在A上为上半连续,则必存在x∈A,使x∈x;.绍德尔和又将布劳威尔定理推广到巴拿赫空间;不动点定理在代数方程、微分方程、积分方程、数理经济学等学科中皆有广泛的应用;例如,关于代数方程的基本定理,要证明ƒx=0必有一根,只须证明在适当大的圆│x│≤R内函数ƒx+x有一不动点即可；在运筹学中,不动点定理的用途至少有二：一为对策论中用来证明非合作对策的平衡点的存在和求出平衡点；一为数学规划中用来寻求数学规划的最优解;对于一个给定的凸规划问题：min{ƒx│g i x≤0,i=1,2,…,m},在此,ƒ和g1,g2,…,g m皆为R n中的凸函数;通过适当定义一个函数φ,可以证明：若上述问题的可行区域非空,则φ的不动点即为该问题的解;H.斯卡夫的证明是基于一种所谓本原集,后来的各种发展皆基于某种意义下的三角剖分;现以n维单纯形S n为例来说明这一概念,在此,;对每一i, 将区间0≤x i≤1依次分为m1,m2…等分,m1<m2<…,m i→,是给定的一列正整数;对于固定的i,过分点依次作平行于x i=0的平面; 这些平面将S n分成若干同样大小的n 维三角形;它们的全体作成的集 G i,称为S n的一三角剖分;设ƒx为S n→S n的一连续函数,x＝x1,x2,…,x n+1,ƒx=ƒ1x,ƒ2x,…,ƒn+1x;定义;由于ƒx和x皆在S n上,若有则显然有ƒx=x,即x为ƒx的一不动点;对每一点y∈S n赋与标号ly=k=min{j│y∈C j,且y j>0};由著名的施佩纳引理,在G i中必存在一三角形σi,它的n+1个顶点y i k的标号分别为kk=1,2,…,n+1k→y k,k=1,2,…,n+1;根据σi的作法,当i j→于是可得一列正数ij j→,使得时,收敛成一个点x;故y k=x,k=1,2,…,n+1;因k的标号为k,故y k∈C k,因而即x为所求的不动点;因此,求ƒx:S n→S n的不动点问题就化为求σi i=1,2,… 的问题;为了计算上的效果,除了上述的标号法之外,还有标准整数标号法、向量标号法等等;关于如何求σi,有变维算法、三明治法、同伦算法、变维重始法等等,通过适当定义,可将上之S n改为R n或R n中之一凸集;求一凸函数在一凸集上的极值问题也可化为求不动点问题;一般说来,这条途径适用于维数不高但问题中出现的函数较为复杂的情况;参考书目Variable Dimension Fixed Point Algorithms and Triangulations, Mathematisch Centrum, Amsterdam, 1980.二、Prof. Yuguang Xu 徐裕光教授 Kunming University, China 雲南省昆明學院Fixed point theory and its applications在台湾成功大学所作的报告不动点理论研究的内容属于数学的非线性泛函分析和一般拓扑学范畴;研究出的结果被广泛应用于分析数学,力学,微分方程,控制理论,最优化理论,非线性规划,数理经济学和博弈论等应用性学科;一．不动点理论的发展进程• 一个简单的不动点问题微积分中；• 1909 年, Brouwer 的著名的不动点定理及一系列的论文创立了不动点理论；• 1922 年 , 波兰著名数学家 S. Banach 给出了一个既简单又实用的压缩映射原理, 它也是一个不动点定理;在简单的条件下, Banach 压缩映射原理不仅指出了映射不动点的存在性和唯一性,还提供了一种逼近不动点的方法；• 1967 年,美国数学家 H. E. Scarf 找到了计算单纯形连续映射不动点的组合拓扑有限算法,这也就是 Brouwer 不动点定理的构造性证明；• 1941 年,日本数学家角谷静夫 Kakutani 的集值不动点定理为博弈论建立在数学基础上作了理论准备；• 1968 年的 Fan － Browder 不动点定理, 1972 年的 Himmelberg 不动点定理以及 Tarafdar 在 1987 年和 1992 年分别在拓扑线性空间和 H －空间建立的不动点定理；• 美国数学家 Michael 1956 年, Deutsch 和 Kenderov 1983 年,应用集值分析中的连续选择原理在拓扑空间建立集值不动点定理和几乎不动点定理；• 1990 年以后,关于不动点理论的研究达到一个高潮,在各种映射或空间条件下,讨论不动点,随机不动点,几乎不动点等,每年有上百篇论文发表,新的不动点定理和各种迭代逼近方法不断涌现;二．不动点理论的四个研究方向1、在拓扑空间研究“不动点性质”使用同伦群,不动点的有限算法组合拓扑；2 、丹麦数学家 Nielsen 研究不动点的个数 Nielsen 数,开创不动点类理论的研究,大陆数学家的工作；3、一般度量空间或拓扑向量空间的连续映射的不动点问题4、应用集值分析中的连续选择原理在拓扑空间建立集值不动点定理和几乎不动点定理并应用于博弈论研究;三．不动点理论主流方向的研究现状,及研究前沿期待解决的问题“ 一般度量空间或拓扑向量空间映射的不动点问题”是研究的主流;近20 年来的研究发展主线：• 迭代逼近算法的研究从 Mann 迭代到杂交迭代等；• 强伪压缩映射的不动点,强增生算子方程的迭代解两者的联系；• 迭代误差分析和稳定性研究；• 有待解决的几个问题一般情况下的收敛性问题, 迭代收敛的等价性问题,不动点存在性和迭代逼近的条件的协调性问题,关于 Schauder 猜想;其次为“应用连续选择原理建立集值不动点定理和几乎不动点定理”的研究;现有的最好结果和需要解决的问题：a 上下半连续集值映射与其不动点存在性的拓扑同伦关系；b 具备弱于上下半连续性的集值映射与其不动点的存在唯一性的充要条件；c 探索几乎均衡解与几乎不动点存在性的关系;三、维基百科中关于Kakutani fixed point theorem应用领域之一：博弈论Mathematician used the Kakutani fixed point theorem to prove a major result in . Stated informally, the theorem implies the existence of a in every finite game with mixed strategies for any number of players. This work would later earn him a .In this case, S is the set of of chosen by each player in a game. The function φx gives a new tuple where each player's strategy is her best response to other players' strategies in x. Since there may be a number of responses which are equally good, φ is set-valued rather than single-valued. Then the of the game is defined as a fixed point of φ, .a tuple of strategies where each player's strategy is a best response to the strategies of the other players. Kakutani's theorem ensures that this fixed point exists.翻译：数学家约翰.纳什应用角谷静夫不动点理论证明了博弈论中的大量的结论;可以说角谷静夫不动点理论意味着在每个具有任意数量玩家的混合策略有限博弈中纳什均衡是存在的此项工作将在未来1994年为他赢得诺贝尔经济学奖;在这种情况下,S是博弈中每个玩家所选择的混合策略元组的集合;方程φx给出一个新的元组,其中每个玩家的策略是在X中她对其他玩家所选策略的最优选择;由于可能有许多选择是不相上下的,所以φ是集值而不是单值;博弈中的纳什均衡被定义为φ的不动点,比如,一个策略元组,其中针对其他玩家的策略每个玩家的策略都是最优的;角谷静夫的理论确保了此不动点是存在的四、我的理解角谷静夫不动点理论的重要性在与将布劳威尔定理中的存在某一个点x∈A,使得x=fx在A范围中成立扩展到存在A上的一个子集X使得x=fx,x∈X;数学表达不准确,大概是这个意思;O∩_∩O~这个理论正好为纳什证明“所有有限博弈至少有一个纳什均衡”提供了有力的理论工具五、有趣的地方在纳什博弈论论文集序言部分第七页最下边的注释,序言作者Ken Binmore 讲了一个小故事,有次角谷静夫做演讲,演讲结束后,角谷静夫问Kin Binmore为啥这么多人来听演讲,Ken Binmore解释说：今天来的许多经济学家是来看创造出如此重要的角谷静夫不动点理论的作者的;角谷静夫却回答说：“什么是角谷静夫不动点理论”;看完这里,我笑半天,角谷静夫都不知道自己的理论被别人叫啥了,也许可能太谦虚了,也许故意为之想不明白。
不动点定理及其应用
不动点定理及其应用一、不动点定理不动点定理fixed —point theorem ：如果f 是1n +维实心球1{,11}n B x R n x +=∈+≤ 到自身的连续映射(1,2,3)n =⋅⋅⋅，则f 存在一个不动点1n x B +∈（即满足(0)0f x x =）。
（一）、压缩算子:1、定义： 设（1)X距离空间；（2）算子:T X X →的映射。
若(01),..,s t x y X θθ∃≤<∀∈，恒有(,)(,)Tx Ty x y ρθρ≤， 则称T 是X 上的压缩算子.θ为压缩系数.2、性质：压缩算子T 是连续的 证 ：若nx x →，即(,)0n x x ρ→，则(,)(,)0n n Tx Tx x x ρθρ≤→例:11:T R R →，则 ①12Tx x =是压缩算子因为1111(,)(,),2222Tx Ty Tx Ty x y x y ρρθ=-=-==②0Tx x =是压缩算子（0θ= ） ③Tx x =不是压缩算子（1θ= )（二）、不动点定理1、定义：设（1）X --—— 是完备的距离空间；（2):T X X →的压缩算子.则T 在X 上存在唯一的不动点*x ，即***,..x X s t x Tx ∃∈=2、注意（1）定理的证明过程就是求不动点的方法,称为构造性的证明. （2）定理的条件是结论成立的充分非必要条件。
（3）迭代的收敛性和极限点与初始点无关。
但T 的选取及初始点0x 的选取对迭代速度有影响。
初始点离极限点越近，其收敛速度越快，而不影响精确度。
（4）误差估计①事前(或先验）误差:根据预先给出的精确度,确定计算步数。
此方法有时理论上分析困难。
设迭代到第n 步，将*n xx ≈，则误差估计式为*0010(,)(,)(,)11n nn x x Tx x x x θθρρρθθ≤=--②事后(或后验）误差：计算到第n 步后,估计相邻两次迭代结果的偏差1(,)n n x x ρ-，若该值小于预定的精度要求，则取*n x x ≈。
几类不动点定理的推广及证明
几类不动点定理的推广及证明引言：不动点定理是数学中一个重要的定理，它在浩繁领域都有广泛的应用。
不动点，顾名思义，是指函数中某一点在映射后仍保持不变的点。
不动点定理从不动点的角度给出了函数存在或唯一性的条件。
本文将介绍几类不动点定理的推广，并给出证明。
一、Banach不动点定理的推广及证明：Banach不动点定理是最经典的不动点定理之一。
它适用于完整器量空间中的压缩映射，并保证了该映射存在唯一的不动点。
然而，在非完整器量空间中的压缩映射是否存在不动点呢？为了解决这个问题，可以引入相似性映射的观点。
相似性映射是指满足$d(f(x),f(y))\leq k\cdot d(x,y)$的映射，其中$k\in(0,1)$，$d$表示器量空间中的距离函数。
依据较弱的条件，我们可以推广Banach不动点定理到非完整器量空间中的相似性映射，并得到存在不动点的结论。
证明：设$X$为一个非完整器量空间，$f:X\rightarrow X$为一个相似性映射，即存在$k\in(0,1)$，使得$d(f(x),f(y))\leqk\cdot d(x,y)$对任意$x,y\in X$成立。
我们需要证明$f$存在一个不动点。
起首选取$X$中的任意点$x_0$，定义序列$\{x_n\}$如下：$$x_n=f(x_{n-1}),\ n=1,2,3,\cdots$$接下来，我们证明$\{x_n\}$是一个Cauchy序列。
由相似性映射的性质可知：$$d(x_{n+1},x_n)=d(f(x_n),f(x_{n-1}))\leq k\cdotd(x_n,x_{n-1})$$不妨设$m>n$，则有：$$d(x_m,x_n)\leq\sum_{i=n}^{m-1}d(x_{i+1},x_i)\leq\sum_{i=n}^{m-1}k^{i-n}d(x_1,x_0)$$利用等比数列求和公式，可以得到：$$d(x_m,x_n)\leq\frac{k^n}{1-k}\cdot d(x_1,x_0)$$ 由于$k\in(0,1)$，故$\frac{k^n}{1-k}$是一个有界数列。
Banach空间中抽象半线性发展方程的初值问题
丁 ￡ （≥０ ． （） ｆ ） 关于 Ｃ 算 子半群 的定义 可参见 文献 ［］ ０ ２．
Ｉ ｝ 构 ａ ａｈ空 间． 设 记ｃ ， Ｕ Ｅ］为定 义在 Ｊ取值 于 Ｅ 的全 体连续 函数按 范数 Ｊ“ｌ ：ｍａ ｘＪ （）Ｊ 成 的 Ｂ ｎ ｃ ｌ Ｊ ｃ
— ．
ｑ ｌ ， ， ∈Ｅ， 虑线性 发展方程 初值 问题 Ｅｅ ｉＥ］ 。 考
ｔｏ ｔ ｎｏ ｏｍ ｐ ｅ ｅ ｉ ｒ ｉｎｓ ｗｉｈ ｎｃ ａ ｔｓ ｍ ｇ ｏｕｐ ｉ Ｂａ ｃ ｓ ｃ ｓ ｎ ｎａ ｈ ｐａ ｅ ．
Ｋｅ ｒ ｓ ａ ａ ｈ ｓ ａ ｅ ｂ ｔａ ｔｅ ｏ ｕ ｉｎ ｅ ｕ ｔｏ ｙ ｗｏ ｄ ：Ｂ ｎ ｃ ｐ ｃ ；ａ ｓ ｒ ｃ ｖ ｌ ｔｏ ｑ ａ ｉ ｎ；ｅ ｉｔ ｎ ｅｏ ｏ ｕ ｉ ｎ ｘ ｓｅ ｃ ｆｓ ｌ ｔ ｏ
Ａｂ ｔ ａ ｔ ｎ ｔ ｉ ｐ ｐ ｒ ｓｎ ｈ ｉ ｅ ｏｎ ｈ ｏ ｅ ｏ ｏ ｖ ｘ ｐ ｗｅ ｏ ｄ ｎ ｉ ｇ ｏ ｅ ａ ｏ ，ｗｅｓ ｕ ｙ ｔ ｅ ｅ ｉｔ ｎ ｅ ｓｒ ｃ ：Ｉ ｈ ｓ ａ ｅ ，ｕ ｉｇ ｔ ｅｆｘ ｄ ｐ ｉ ｔｔ ｅ ｒ ｍ ｆｃ ｎ ｅ － ｏ ｒ ｃ ｎ ｅ ｓｎ ｐ ｒ ｔ ｒ ｔ ｄ ｈ ｘ ｓｅ ｃ
ｏ ｌ ｂ ｌ ｌ ｏ ｕ ｉｎ ｎ ｏ ｉｉｅ ｍｉ ｏ ｕ ｉ ｎ ｆｉ ｉ ｌｖ ｌ ｅ ｐ ｏ ｌ ｍ ｏ ｌ ｓ ｆｓ ｍｉ ｎ ａ ｖ ｌ ｔ ｎ ｅ ｕ — ｆｇ ｏ ａ ｄ ｓ ｌ ｔ ｓ ａ ｄ ｐ ｓｔｖ ｌ ｓ ｌ ｔ ｓ ｏ ｎ ｔ ａ ｕ ｒ ｂ ｅ ｆ ｒ ａ ｃａ ｓｏ ｅ ｌ ｅ ｒ ｅ ｏ ｕ ｉ ｑ ａ ｍｉ ｏ ｄ ｏ ａ ｉ ｏ
第 ２ 卷 第 １期 ８ ２ １ 年 ３月 ＯＯ
3.4 不动点理论
3.4 不动点理论3.4.1 不动点定理定义 3.4.1 设(,)X ρ是度量空间，:A X X →是一个映射。
若存在数,01αα≤<，使对任意,x y X ∈，有(,)(,)Ax Ay x y ραρ≤ (3.4.1)则称A 是X 上的一个压缩映射 (Contraction Mapping ).若X 是线性空间，则称A 是X 上的一个压缩算子(Contraction Operator ).注 为简明起见，这里用A x 记()A x .由定义知：一个点集经压缩映射后，集中任意两点的距离缩短了，至多等于原象距离的(01)αα≤<倍。
定理3.4.1 压缩映射是连续映射。
证 证明压缩映射A 是连续映射，即证明：对任意收敛点列0()n x x n →→∞，必有()n Ax Ax n →→∞.因为点列0()n x x n →→∞，即：0(,)0()n x x n ρ→→∞, 又因为A 是压缩映射，即存在数,01αα≤<，使得00(,)(,)n n Ax Ax x x ραρ≤,所以0(,)0()n Ax Ax n ρ→→∞,即：()n Ax Ax n →→∞.证毕！定义3.4.2 设X 是一集，:A X X →是一个映射。
若*x X ∈，使得**Ax x =, (3.4.2)则称*x 为映射A 的一个不动点(Fixed Point ).设:A X X →是一个映射，即：:()A x Ax x X ∈ ，定义：2:A x AAx ， 3:,,:kk A x A A A x A x AA x个， 1,2,3,k = .定理3.4.2 (Banach fixed point theorem, Banach, 1922) 设(,)X ρ是完备的度量空间，:A X X →是一个压缩映射，则X 中必有A 的唯一不动点。
证 先证明映射A 在X 中存在不动点。
在X 中任取一点0x ，从0x 开始，令21021010,,,,,1,2,nn n x Ax x Ax A x x Ax A x n -======= ，这样得到X 中的一个列点{}n x . 往证{}n x 是基本点列。
一类随机减算子随机不动点存在唯一性定理及应用
３４ ７
数
学
物
理
学
报
Ｖ１２ ０３ ＿． Ａ
假设 （ ） Ｅ — Ｅ为随机算子 ， ： 若存在 Ｅ一 随机变 量 （ ）使得 Ａ（ ） （ ） ） ∈ ， ｗｘｗ ＝ ， Ｖ Ｑ， 称 ｘｗ 为算 子 Ａ ）的随机 不动点 ． 则 （） 设 是 Ｅ 中的零元 素， Ｐ 是 Ｅ 中的锥 ，由 Ｐ 引出 Ｅ 中的半序关 系如下 ， ， Ｙ∈Ｅ， Ｘ Ｙ铮 Ｙ一 ∈Ｐ 锥 Ｐ 称 为正规 的 ，若 ３ ＞０ 对 Ｖ ， Ｎ ， ｘＹ∈Ｅ， Ｘ Ｙ 有 Ｉ ｌ Ｎｌ ｌ其 ， Ｉｌ ｘ ｌＩ Ｙ， 中 Ⅳ 称 为 正规 常数 ．如 果 随机算 子 （ ： — 满 足 当 Ｘ≤ Ｙ时 ，有 Ａ（） Ａ（）， ） Ｅ Ｅ ｗｘ ｗｙ 我 们称算 子 Ａ（）为一 个 随机增 算子 ；如果 随机算 子 （ ： — 满足 当 ｚ Ｙ时 ，有 ） Ｅ Ｅ Ａ（ ） Ａ ｗ ｙ 我们称算 子 （ ） 一个 随机减算 子 ． ｗｘ （ ）， 为 为证 明定理 ，我们需 要下 列引理 ． 引理 １１ ］ 设 Ｐ 是实 Ｂ ｎｃ ．［ ａ ａｈ空间 Ｅ 中 的正规锥 ， ｛ ）是单 调序列 ．设 ｛ ）有一 个子 列 ｛ ） 敛于某个 ， ｛ ） 身 必收敛 于 ， 收 则 本 并且 ，若 ｛ ）是单调 增序 列，则有 Ｘ （ １２ ３ … ）若 ｛ ） 单调 增减 列，则有 Ｘ Ｘ （ １２３ … ） ｎ＝ ，，， ； 是 礼＝ ， ，， ． 引理 １２０ （ 定理） 设 Ｅ 是 可分 的 Ｂ ｎｅ ＿［ 复合 ］ ａａｈ空间 ， Ｂ 是 Ｅ 上 的 Ｂ ｒｌ 类 ， Ａ（） ｏｅ集 ｕ 是 Ｑ到 Ｂ（ 的 随机 算子 ， Ｅ） ） Ｅ 一 随机变 量 ．若令 （ ＝ 是 值 ） ） ） 则 （ 是一 （ ， ） Ｅ 一 随机变 量 ． 值
随机算子的若干新结果
ｙｎ）一 １ Ｄ是 Ｅ 的 一 个有 界 凸 开集 ． Ｐ， （ （ ， 设 一 ｚ∈ Ｐ Ｉ ｌ ＜ ｒ ， ０ ， ｛ ∈ Ｐ Ｉｌ ｌ Ｉ ｌ ｚ ）则 Ｐ 一 ｚ Ｉ ｌ ｌ ｚ
— ｒ ， 一 ｛ ∈ Ｐ Ｉｌ ） Ｐ， ｚ ｌ Ｉ ｌ≤ ｒ ． ｚ ） 定 义 １ 如 果 ａ： × Ｐ一 ［ ， Ｃ ） 一个 随机 连续 泛 函 ， 且 满 足 下 面 不 等 式 ： ｎ ０＋ × 是 。 并
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第 ４期
朱传 喜 ： 机 箅子 的若 干新 结果 随
３ ５
故 对 每 个 ｔ∈ ［ ，３ Ｈ ： × （ ）一 Ｐ 是 一个 随机 半 闭 １ 压 缩 算 子 ． ０１， ｎ Ｐｎ 一集
同 时 ， （ ・ 对 于 ｔ 随 机 连 续性 关 ＝ Ｈ ） 的 ｊ ∈ Ｐ ｎ Ｄ 是 一 致 的．
Ａ（ ｚ）一 ｐ ｚ ∈ Ｐ Ｎ ０ ， ∈ ｎ ∞， ｘ， Ｒ Ａ（ ） Ｐ Ｎ Ｐ）一 １ ．
证 令 Ｈ ∞， ）一 以 （ ， ） 则 Ｈ ： （ ｚ ∞ｚ ， ｎ×Ｅ ， ３ （ ） Ｐ随 机 连 续 ， 每 个 ｔ ［ ， ｏ １ × ＰＮ 一 对 ∈ ０
Ｊ Ｈ 一 Ｊ— ｔ ＝ Ｊ — Ａ — ＋ Ｊ— ｔ ＝ （ １ Ｊ一 ￡ ）＋ 一 ｔ 一 （ Ｊ Ａ １一 ） Ｊ＋ ￡ Ｊ— Ａ ） （ ，
由 已知 条 件 可 知 卜一 是 随机 闭算 子 ， 知 Ｐ Ｎ 是 凸集 ． 而 Ｈ ： × （ ）一 Ｐ是 一 Ａ 又 因 ｎ ＰＮ 个 随机 半 闭算 子 ．
１ ， ： × （ ］ Ｈ ｎ Ｐ Ｎ Ｄ）一 Ｐ是 随机 半 闭 １ 集 压 缩算 子 ， 实 上 ， 一 事
卢 Ｈ ・ Ｄ） ［ （ ， ］一 卢ｔ ・Ｄ） ［ Ａ（ ， ］一 ［ ・Ｄ） Ａ（ ， ］≤ （ Ｄ）≤ （ ， Ｄ）
随机半闭1-集压缩算子随机不动点指数的计算
随机半闭1-集压缩算子随机不动点指数的计算尹建东;刘晓晔【摘要】This paper mainly studies the existence of random fixed points of random semi-closed 1-set contractive operators by means of the fixed point index theory of random semi-closed 1-set contractive operators in real separable Banach spaces under some new boundary conditions which are established by usual functions,and some new results are obtained. Part of presented results in the paper generalize and improve the corresponding results in recent papers.%在实可分的Banach空间中,由泛函所创立的边界条件下,利用随机半闭1-集压缩算子不动点指数理论,研究随机半闭1-集压缩算子方程解的存在性问题,得到了一些新的结果.所得结论推广了最近一些文献中的相关结论.【期刊名称】《南昌大学学报（理科版）》【年(卷),期】2012(036)004【总页数】5页(P307-311)【关键词】实Banach空间;随机半闭1-集压缩算子;随机不动点指数【作者】尹建东;刘晓晔【作者单位】南昌大学数学系,江西南昌 330031;南昌大学数学系,江西南昌330031【正文语种】中文【中图分类】O211.51 引言与预备知识随机非线性泛函分析作为数学的一个新兴分支，起源于非线性分析和概率论，并且在求解非线性随机微分方程和非线性随机积分方程时起着重要的作用（见文献［1－4］）。
Altman型不动点定理的一些注记
Altman型不动点定理的一些注记张国伟;张秀萍【摘要】针对Altman型不动点定理,讨论了在第一个指数参数分别大于1和在0和1之间,而第二个指数参数不小于0指数情形范数不等式条件下全连续算子不动点的存在性.证明了几个新的不动点定理.这些不等式条件与文献中已有条件不同,推广和补充了这些文献中的结果.结论对于更一般的半闭1-集压缩、凸幂凝聚和半闭凸幂1-集压缩算子也是成立的.【期刊名称】《东北大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2013(034)004【总页数】3页(P602-604)【关键词】不动点;全连续算子;1-集压缩;凸幂凝聚;凸幂1-集压缩【作者】张国伟;张秀萍【作者单位】东北大学理学院,辽宁沈阳110819;东北大学理学院,辽宁沈阳110819【正文语种】中文【中图分类】O177.91设E是实的Banach空间，Ω是E中有界开集，θ∈Ω，其中θ表示E中的零元素，A:Ω→E是全连续算子.下面首先叙述著名的Altman不动点定理.定理A［1］如果满足条件则A在中存在不动点.不动点理论是非线性泛函分析的主要内容之一，具有多方面的应用，见文献［1－7］.在含有指数参数α＞1，β≥0的不等式条件下，文献［8］证明了下面的不动点定理，推广和改进了Altman不动点定理.定理B 如果存在α＞1和β≥0，使得∀x∈∂Ω满足下列条件之一:则A在中存在不动点.显然，当α=2和β=0时，定理B中的条件(i)和(ii)即是式(1).文献［9］中的结论可改写为含有指数参数0＜α＜1，β≥0的情形.定理C 如果存在0＜α＜1和β≥0使得∀x∈∂Ω满足下列条件之一:则A在中有不动点.本文继续讨论在含有指数参数α＞1，β≥0和0＜α＜1，β≥0，并且与已有文献中不等式不相同的条件下，Altman型不动点定理.1 主要定理引理1［1］如果A满足Leray－Schauder条件:则A在Ω中有不动点.定理1 若存在常数α＞1和β≥0，使得∀x∈∂Ω满足下列条件之一:则A在中有不动点.证明可设Ax≠x，∀x∈∂Ω.假若算子A不满足Leray－Schauder条件，于是存在x0∈∂Ω，μ0≥1，使得Ax0=μ0 x0.显然μ0＞1，x0≠θ.(i)定义函数于是故 f'(t)＜0，t∈(1，+∞)，即f(t)在(1，+∞)上严格单调递减.因此f(t)＜f(1+)=0，t∈(1，+∞)，即从而与条件(i)矛盾.(ii)定义函数于是故f'(t)＜0，t∈(1，+∞)，即f(t)在(1，+∞)上严格单调递减.因此 f(t)＜f(1+)=0，即(t－1)α＜tα+β －tβ.从而与条件(ii)矛盾.(iii)定义函数f(t)=(t－1)α－tα(t+1)β+(t+1)β，t∈(1，+∞).于是故f'(t)＜0，t∈(1，+∞)，即 f(t)在(1，+∞)上严格单调递减.因此f(t)＜f(1+)=0，从而与条件(iii)矛盾.(iv)定义函数于是故f'(t)＞0，t∈(1，+∞)，即 f(t)在(1，+∞)上严格单调递增.因此即(t+1)αtβ ＞tα+β+1，t∈(1，+ ∞)，从而与条件(iv)矛盾.通过上面的证明，算子A满足Leray－Schauder条件，于是从引理1可知结论成立.定理2 若存在常数0＜α＜1和β≥0使得满足下列条件之一:则A在中有不动点.证明可设Ax≠x，∀x∈∂Ω.假若算子A不满足Leray－Schauder条件，于是存在x0∈∂Ω，μ0≥1，使得 Ax0=μ0x0.显然μ0＞1，x0≠θ.(i)定义函数于是故 f'(t)＞0，t∈(1，+∞)，即 f(t)在(1，+∞)上严格单调递增.因此 f(t)＞f(1+)=0，即(t－1)αtβ ＞tα －1，t∈(1，+ ∞)，从而与条件(i)矛盾.(ii)定义函数于是故 f'(t)＞0，t∈(1，+∞)，即 f(t)在(1，+∞)上严格单调递增.因此f(t)＞f(1+)=0，即从而与条件(ii)矛盾.(iii)定义函数于是故f'(t)＞0，t∈(1，+∞)，即f(t)在(1，+∞)上严格单调递增.因此 f(t)＞f(1+)=0，即(t－1)α＞tα －tβ，t∈(1，+∞)，从而与条件(iii)矛盾.(iv)定义函数于是故 f'(t)＜0，t∈(1，+∞)，即 f(t)在(1，+∞)上严格单调递减.因此即(t+1)α ＜tα+β+1，t∈(1，+ ∞)，从而与条件(iv)矛盾.通过上面的证明，算子A满足Leray－Schauder条件，于是从引理1可知结论成立.2 结语本文的定理1和定理2分别补充了定理B和定理C的结论.作为定理1中的条件(i)及条件(iv)的特殊情况，可知当∀x∈∂Ω分别满足时，A在中存在不动点，所以本文定理1推广了文献中α＜0情形的结论.对于文献中讨论的半闭1－集压缩算子和凸幂凝聚算子，甚至更一般的半闭凸幂1－集压缩算子，与本文相同的结论也成立. 参考文献:［1］郭大钧.非线性泛函分析［M］.第2版.济南:山东科学技术出版社，2001.(Guo Da-jun.Nonlinear functional analysis［M］.2nded.Jinan:Shandong Science and Technology Press，2001.)［2］孙经先.非线性泛函分析及其应用［M］.北京:科学出版社，2007.(Sun Jing-xian.Nonlinear functional analysis and its applications［M］.Beijing:Science Press，2007.)［3］赵义纯.非线性泛函分析及其应用［M］.北京:高等教育出版社，1989.(Zhao Yi-chun.Nonlinear functional analysis and its applications［M］.Beijing:Higher Education Press，1989.)［4］Granas A，Dugundji J.Fixed point theory［M］.New York:Springer-Verlag，2003.［5］Zhang G W，Zhang T S，Zhang T.Fixed point theorems of Rothe and Altman types about convex-power condensing operator and application ［J］.Applied Mathematics and Computation，2009，214(2):618 －623. ［6］Zhao L H Z，Sun J X.Fixed point theorems of convex-power 1-set contraction operators in Banach spaces［J］.Fixed Point Theory and Applications，2012，56:1 －8.［7］赵吕慧子，孙经先.Banach空间中Rothe及Altman型凸幂1集压缩算子的不动点定理［J］.山东大学学报:理学版，2011，46(4):49 －52.(Zhao Lyu-hui-zi，Sun Jing-xian.Fixed point theorems of Rothe and Altman type convex-power 1-set contraction operators in Banach spaces［J］.Journal of Shandong University:Natural Science，2011，46(4):49 －52.)［8］Xu S Y.New fixed point theorems for 1-set-contractive operators in Banach spaces［J］.Nonlinear Analysis，2007，67(3):938－944.［9］张国伟，山珊.Altman型不动点定理［J］.东北大学学报:自然科学版，2009，30(12):1800 －1802.(Zhang Guo-wei，Shan Shan.On the theorems of Altman-type fixed point［J］.Journal of Northeastern University:Natural Science，2009，30(12):1800 －1802.)。
凝聚随机算子的一个不动点定理
凝聚随机算子的一个不动点定理
朱雯;何明星
【期刊名称】《电子科技大学学报》
【年(卷),期】2000(29)3
【摘要】利用拓扑度的基本性质,给出了凝聚随机算子的一个不动点定理,由此推广了Altman定理,为进一步研究随机算子方程解的存在唯一性及解的近似方法提供了一个有力的工具.
【总页数】3页(P303-305)
【作者】朱雯;何明星
【作者单位】四川工业学院计算机系,成都,611744;四川工业学院计算机系,成都,611744
【正文语种】中文
【中图分类】O152.7
【相关文献】
1.Banach空间中随机单调减算子的随机不动点定理 [J], 杨云苏;邓志云;王志伟
2.一个关于凝聚算子的不动点定理 [J], 韩逢庆;
3.随机凸幂凝聚算子的随机不动点定理 [J], 刘春晗;王建国
4.一个一般的多值随机算子的随机不动点定理 [J], 侯友良
5.随机凝聚算子的随机不动点定理及其应用 [J], 许绍元
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凸可分离优化问题的原始对偶不动点算法及其应用
凸可分离优化问题的原始对偶不动点算法及其应用在基于有界变差的图像处理领域，很多问题可以表示为求解两个可分离的凸函数的最小化问题，近年来该问题得到了广泛研究与应用.本文从原始对偶不动点算法的观点提出一系列的算法求解两个可分离的凸函数的最小化问题，问题中一个函数为凸函数和线性变换的复合，一个函数的梯度是Lipschitz连续的.所提出的算法具体包括基于邻近算子的原始对偶不动点算法（PDFP~2O）、凸集上的基于邻近算子的原始对偶不动点算法（PDFP~2O_C）、基于邻近算子和预处理算子的原始对偶不动点算法（PDFP~3O）.在基于邻近算子的前向后向算子分裂算法（PFBS）和基于邻近算子的不动点算法（FP~2O）的基础上，首先从直观上得到PDFP~2O.然后利用一阶优化条件，通过引入对偶变量，利用邻近算子与次梯度的等价关系，通过两步额外的迭代，可以将提出的算法表示成算子的不动点迭代形式，并因此得到PDFP~2O的拓展版本PDFP~2Oκ.利用邻近算子的强非扩张性，在特殊构造的范数的帮助下，证明了PDFP~2Oκ的收敛性.在稍强的条件下，进一步给出了算法PDFP~2Oκ的收敛速度.接下来，通过等价变形，进一步解释了算法PDFP~2O，并给出了与其他已有算法的联系和区别.最后通过关于图像放大、CT重构、并行核磁共振成像的数值实验说明了算法的有效性.总体来说，PDFP~2O 的性能和当前顶尖的算法的性能是可比较的，而PDFP~2O的参数的选择相对容易，这在求解具体的实际问题中是很有意义的.对于很多实际问题，根据不同的物理背景，解的取值都有一定的限制.所以，进一步考虑求解带凸集约束的可分离凸优化问题.通过将凸集的约束表示成示性函数而加入目标函数中的技巧，适当重新组合，可直接利用PDFP~2O求解，利用函数的可分离性，得到PDFP~2O_C.因为PDFP~2O_C本质上就是利用PDFP~2O求解与原问题等价的无约束优化问题，根据PDFP~2O的证明结果，可以方便的得到PDFP~2O_C的收敛性以及收敛速度.在解位于凸集内部的假设条件下，利用示性函数的邻近算子为投影算子，类似于PDFP~2O的推导，通过算子的不动点迭代得到求解解位于凸集内部的可分离凸优化问题的基于邻近算子的原始对偶不动点算法（PDFP~2O_C0）.利用投影算子也是强非扩张算子的性质，并利用PDFP~2O的证明结果，得到PDFP~2O_C0的收敛性以及收敛速度.一般来说，算法PDFP~2O_C具有很好的通用性，算法PDFP~2O_C0只适用于解位于凸集内部的情形，但其迭代形式更简单、直观.最后通过CT重构和并行核磁共振成像说明了算法PDFP~2O_C和PDFP~2O_C0的有效性.从收敛速度的估计中，以及CT重构的数值实验结果中，可以看出PDFP~2O的收敛速度和相应矩阵的条件数有关，当其中一个矩阵的条件数变差时，PDFP~2O的收敛速度会变慢.所以，进一步考虑利用预处理算子来加速，提出PDFP~3O.类似于PDFP~2O 的推导，通过额外引入两个预处理算子可以得到PDFP~3O.通过引入另一个特殊构造的范数，类似于PDFP~2O的证明，可以证明PDFP~3O的收敛性与收敛速度.并进一步将PDFP~3O与精确Uzawa、不精确Uzawa算法和非线性不精确Uzawa算法比较，并利用不动点算法框架导出这些算法.最后，通过第二类椭圆变分不等式中的两个实例，说明当问题条件数较差时，PDFP~3O的确优于PDFP~2O.在简化的摩擦问题中，根据一阶优化条件，将退化的问题转化为非退化的问题；根据新问题中的迭代矩阵的内蕴性质，给出了选择预处理矩阵的方法.在管中的粘塑性流体问题中，尝试采用共轭梯度法获得预处理矩阵的效果.。
集压缩算子的两点拉伸型不动点定理
集压缩算子的两点拉伸型不动点定
理
集压缩算子的两点拉伸型不动点定理是指：在集压缩算子中，如果有两个不同的输入，该算子的输出就一定会发生变化。
这两个输入必须要有两个不同的输入才能使输出产生变化，当其中一个输入保持不变时，另一个输入的改变幅度必须比前者大，否则输出不会发生变化。
也就是说，在集压缩算子中存在两个不同的输入，它们的输出必须在输入两个不同的值的情况下才会发生变化，且另一个输入的改变幅度必须比前者大。
不动点数学原理
不动点数学原理不动点法 已知数列{}n a 递推公式1122...n k n k n k k n a C a C a C a ++-+-=+++，① 则方程 1212...k k k k x C x C x C --=+++称①特征方程，方程的根称特征根。
定理 若特征方程有k 个相异根12,,...k x x x ，则数列{}n a 通项公式为1122...n n n n k k a A x A x A x =+++12,...k A A A 由初值确定。
有重根的情况，这里略去了。
不失一般性，我们取二阶常系数递推公式12(3)n n n a pa qa n --=+≥为例来研究。
我们知道，n a 是n 的函数，当n 取n ，1n -，2n -时，对应的函数值满足递推关系12n n n a pa qa --=+。
我们不妨想想，哪种函数满足这个性质？答案是：指数函数。
令n n a x =，其中x 是待求的常数。
代入递推公式，得12n n n x px qx --=+即2x px q =+（看看这结果熟悉不？）此方程有两个根12,x x ，任一个都可以使n n a x =满足递推关系，即1n n a x =，2n n a x =都是递推公式12n n n a pa qa --=+的解。
那么，可以证明1122n n n a C x C x =+（C1,C2是常数）也是递推公式12n n n a pa qa --=+的解。
（这个结论很好证，代入递推公式提取出常数C1,C2，就会发现其余的部分都是0，是一个恒等式。
）证明这个结论干嘛？我们知道，对于二阶递推，需要两个初值12,a a ，它的通项公式才能唯一确定。
而1n n a x =，2n n a x =这两个解均不能保证对任意给出的初值12,a a 都成立。
而反观1122n n n a C x C x =+，代入12,a a ，解方程组，可以确定唯一一对C1,C2,这也就保证了求出的通项公式对任意n N +∈均成立。
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设 Ｅ是可分的 Ｂ ａ ｎ ａ ｃ ｈ空间， （ Ｅ ， Ｂ ） 是一个可测空间， 其中 Ｂ表示 由Ｅ 中所有开集产生的 Ｂ ｏ ｒ ｅ ｌ 子 集 之 矿代数 ， 又设 （ ， Ｕ， ） 是一 个完 全 的概 率测 度空 间 ， 表示概 率测 度 ， （ ｎ） 一１ ．
２ ０ １ ５年 ５月
安徽大学学报 （ 自然科学 版）
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ａｎ ｈ ｕ ｉ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ（ Ｎａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｅｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ）
Ｍａ ｙ ２Ｏ １５
第３ ９ 卷第３ 期
定义 １ ［ 设 Ｄ 为 实可分 Ｅ 中的有 界开集 ， 一个 随机连续 有界 算子 Ａ： ×Ｄ—Ｅ 称为 是 随 机凝 聚算子 ， 若对 任意 的 ｃ Ｕ Ｅ￣ ２ ， Ａ（ ∞， ・） 是 Ｄ 上凝 聚算 子 ， 且 对 任意 的 － ｚ ∈ ， Ａ（・， ｚ ） ： — Ｅ 是 Ｐ 值 随机 算子． 下 面 给 出一 个记 号 ， 设 ＤＣ Ｅ， Ａ： Ｄ＿ 一Ｅ， 存在 ｚ 。 ∈Ｄ， 对任 给 的 Ｓ ＣＤ， ａ ， Ｅ ， 令
（ Ｓ ｃ ｈ ｏ ｏ ｌ ｏ ｆ Ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ｓ ，Ｑｉ ｌ ｕ Ｎｏ ｒ ｍａ ｌ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ，Ｊ ｉ ｎ ａ ｎ ２ ５ ０ ０ １ ３ ，Ｃｈ ｉ ｎ ａ ）
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ： Ｉ ｎ ｔ ｈ ｉ ｓ ｐ ａ ｐ ｅ ｒ ，ｔ ｈ ｅ ｅ ｘ ｉ ｓ ｔ ｅ ｎ ｃ ｅ ｏ ｆ ｆ ｉ ｘ ｅ ｄ ｐ ｏ ｉ ｎ ｔ ｓ ｏ ｆ ｒ ａ ｎ ｄ ｏ ｍ ｃ ｏ ｎ ｖ ｅ ｘ － ｐ ｏ ｗｅ ｒ ｃ ｏ ｎ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｐ ｅ ｒ ａ ｔ ｏ ｒ ｓ ｉ ｎ Ｂａ ｎ ａ ｃ ｈ ｓ ｐ ａ ｃ ｅ ｗａ ｓ ｓ ｔ ｕ ｄ ｉ ｅ ｄ ａ ｎ ｄ ｓ ｅ ｖ ｅ ｒ ａ ｌ ｃ ｏ ｎ ｖ ｅ ｒ ｇ ｅ ｎ ｔ ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｅ ｍｓ ｆ ｏ ｒ ｒ ａ ｎ ｄ ｏ ｍ ｆ ｉ ｘ ｅ ｄ
基金项 目： 国家 自然科学基金资助项 目（ １ ０ ９ ７ １ １ ７ ９ ） ； 山东省高等学校科 技计 划项 目（ Ｊ １ ２ Ｌ Ｉ ５ ３ ） ； 齐鲁师范学 院青年教
ｏ ｐｅ ｒ ａ ｔ ｏ ｒ ｓ ．
Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄ ｓ ： ｒ ａ ｎ ｄ ｏ ｍ ｃ ｏ ｎ ｖ ｅ ｘ － ｐ ｏ ｗｅ ｒ ｃ ｏ ｎ ｄ ｅ ｎ ｓ ｉ ｎ ｇ ｏ ｐ ｅ ｒ ａ ｔ ｏ ｒ ｌ ｒ ａ ｎ ｄ ｏ ｍ ｆ ｉ ｘ ｅ ｄ ｐ ｏ ｉ ｎ ｔ ； ｒ ａ ｎ ｄ ｏ ｍ ｒ ｅ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ；
摘 要： 在Ｂ ａ ｎ ａ ｃ ｈ 空间研究了随机凸幂凝聚算子不动点的存在性问题， 获得了几个新的不动点定理． 并推广
了随机凝聚算子的不动点定理． 关键词 ： 随机凸幂凝 聚算子 ； 随机不动点 ； 随机收缩核 ； 非紧性测 度 ￣ Ｂ ａ ｎ ａ ｃ ｈ空间
中 图分 类 号 ： Ｏ ２ １ １ ． ５ 文献 标 志码 ： Ａ 文章 编 号 ： １ ０ ０ ０ — ２ １ ６ ２ （ ２ ０ １ ５ ） ０ ３ — ０ ０ １ ０ — ０ ５
Ｔｈｅ ｒ ａ ｎｄ ｏ ｍ ｆ ｉ ｘ ｅ ｄ ｐ ｏ ｉ ｎｔ ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｅ ｍｓ ｏ ｆ ｒ ａ ｎ ｄ ｏ ｍ ｃ ｏ ｎ ｖ ｅ ｘ － ｐｏ ｗｅ ｒ ｃ ｏ ｎｄ ｅ ｎ ｓ ｉ ｎｇ ｏ ｐｅ ｒ ａ ｔ ｏ ｒ
ＬＩ ｕ Ｃｈ ｕ ｎ — ｈ ａ ｎ，Ｗ ＡＮＧ Ｊ ｉ ａ ｎ － ｇ ｕ ｏ
Ａ‘ ， ｘ ｏ ） （ ∞ ， Ｓ ） 一Ａ （ ， Ｓ ） ， Ａ ｎ Ｏ ， ｘ ｏ ） （ ， Ｓ ） 一Ａ（ ， 一 Ｃ Ｏ ｛ Ａ（ ｎ ０ － １ ， （ ∞ ， Ｓ ） ， ｏ ｝ ） ， ” 一２ ， ３ ， …．
定义 ２ 设 Ｄ 为实可 分 Ｅ 中的有 界 开集 ， 一 个 随机连 续有 界算 子 Ａ： ×Ｄ—Ｅ称 为 是 值 随机 凸 幂凝 聚算 子 ， 任何有界集 Ｓ 即对 任意 ＣＤ， ∞ ∈ｎ， 的都有 ｘＥＤ， Ａ（ ， ｚ ） ： —Ｅ是 随机算子． 若存在 。 Ｅ Ｄ 以及正整数 ” 。 ， 使得对
ａ （ Ａ‘ ， （ ， Ｓ） ）＜ （ Ｓ） ，
其 中： ａ （ Ｓ ） 表示 有界 集 Ｓ的非 紧性ｉ 贝 ０ 度．
注１ 随机凝聚算子一定是 随机凸幂凝 聚算子， 随机 凸幂凝聚算子是比随机凝聚算子更广泛的算
收稿 Ｅ ｔ 期： ２ ０ பைடு நூலகம் ４ — １ ２ — ０ ３
ｐ ｏ ｉ ｎ ｔ ｓ ｗｅ ｒ ｅ ｇ ｉ ｖ ｅ ｎ ． Ｔｈ ｅ ｒ ｅ ｓ ｕ ｌ ｔ ｓ ｇ ｅ ｎ ｅ ｒ ａ ｌ ｉ ｚ ｅ ｆ ｉ ｘ ｅ ｄ ｐ ｏ ｉ ｎ ｔ ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｅ ｍｓ ｏ ｆ ｒ ａ ｎ ｄ ｏ ｍ ｃ ｏ ｎ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ
Ｖｏ １ ． ３ ９ Ｎｏ ． ３
ｄ ｏ ｉ ： １ ０ ． ３ ９ ６ ９ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ０ ０ ０ — ２ １ ６ ２ ． ２ ０ １ ５ ． ０ ３ ． ０ ０ ３
随 机 凸幂 凝 聚 算 子 的随 机 不动 点定 理
刘春 晗 ， 王 建 国
（ 齐鲁师范学 院 数学学 院， 山东 济南 ２ ５ ０ ０ １ ３ ）