高中数学《第一章集合与函数概念1.2函数及其表示习题1.2》343教案教学设计讲
高中数学第一章集合与函数概念1.2函数及其表示1.2.2函数的表示法教学设计新人教A版必修1
1.2.2 函数的表示法整体设计教学分析课本从引进函数概念开始就比较注重函数的不同表示方法：解析法，图象法，列表法．函数的不同表示方法能丰富对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念．特别是在信息技术环境下，可以使函数在形与数两方面的结合得到更充分的表现，使学生通过函数的学习更好地体会数形结合这种重要的数学思想方法．因此，在研究函数时，要充分发挥图象的直观作用．在研究图象时，又要注意代数刻画以求思考和表述的精确性．课本将映射作为函数的一种推广，这与传统的处理方式有了逻辑顺序上的变化．这样处理，主要是想较好地衔接初中的学习，让学生将更多的精力集中理解函数的概念，同时，也体现了从特殊到一般的思维过程．三维目标1．了解函数的一些基本表示法(列表法、图象法、解析法)，会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数，树立应用数形结合的思想．2．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用，提高应用函数解决实际问题的能力，增加学习数学的兴趣．3．会用描点法画一些简单函数的图象，培养学生应用函数的图象解决问题的能力．4．了解映射的概念及表示方法，会利用映射的概念来判断“对应关系”是否是映射，感受对应关系在刻画函数和映射概念中的作用，提高对数学高度抽象性和广泛应用性的进一步认识．重点难点教学重点：函数的三种表示方法，分段函数和映射的概念．教学难点：分段函数的表示及其图象，映射概念的理解．课时安排3课时教学过程第1课时导入新课思路1．语言是沟通人与人之间的联系的，同样的祝福又有着不同的表示方法．例如，简体中文中的“生日快乐！”用繁体中文为：生日快樂！英文为：Happy Birthday！法文是Bon Anniversaire！德文是Alles Gute Zum Geburtstag！印度尼西亚文是Selamat Ulang Tahun！……那么对于函数，又有什么不同的表示方法呢？引出课题：函数的表示法．思路2．我们前面已经学习了函数的定义，函数的定义域的求法，函数值的求法，两个函数是否相同的判定方法，那么函数的表示方法常用的有哪些呢？这节课我们就来研究这个问题(板书课题)．推进新课新知探究提出问题初中学过的三种表示法：解析法、图象法和列表法各是怎样表示函数的？讨论结果：(1)解析法：用数学表达式表示两个变量之间的函数关系，这种表示方法叫做解析法，这个数学表达式叫做函数的解析式．(2)图象法：以自变量x的取值为横坐标，对应的函数值y为纵坐标，在平面直角坐标系中描出各个点，这些点构成了函数的图象，这种用图象表示两个变量之间函数关系的方法叫做图象法．(3)列表法：列一个两行多列的表格，第一行是自变量的取值，第二行是对应的函数值，这种用表格来表示两个变量之间的函数关系的方法叫做列表法．应用示例例1 某种笔记本的单价是5元，买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元．试用函数的三种表示法表示函数y＝f(x)．活动：学生思考函数的表示法的规定．注意本例的设问，此处“y＝f(x)”有三种含义，它可以是解析表达式，可以是图象，也可以是对应值表．本题的定义域是有限集，且仅有5个元素．解：这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5}，用解析法可将函数y＝f(x)表示为y＝5x，x∈{1,2,3,4,5}．用列表法可将函数y＝f(x)表示为图1点评：本题主要考查函数的三种表示法．解析法的特点是：简明、全面地概括了变量间的关系，可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值，便于用解析式来研究函数的性质，还有利于我们求函数的值域；图象法的特点是：直观、形象地表示自变量变化时相应的函数值变化的趋势，有利于我们通过图象来研究函数的某些性质，图象法在生产和生活中有许多应用，如企业生产图、股市走势图等；列表法的特点是：不需要计算就可以直接看出与自变量的值对应的函数值，列表法在实际生产和生活中也有广泛的应用，如银行利率表、列车时刻表等等．并不是所有的函数都能用解析法表示，只有函数值随自变量的变化发生有规律的变化时，这样的函数才可能有解析式，否则写不出解析式，也就不能用解析法表示．例如：张丹的年龄n(n∈N*)每取一个值，那么他的身高y(单位：cm)总有唯一确定的值与之对应，因此身高y是年龄n的函数y＝f(n)，但是这个函数的解析式不存在，函数y＝f(n)不能用解析法来表示．注意：①函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等；②解析法：必须注明函数的定义域，否则使函数解析式有意义的自变量的取值范围是函数的定义域；③图象法：根据实际情境来决定是否连线；④列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征.图2＋c＜0b＝ax2＋bx＋c的性质，易知表：活动：学生思考做学情分析，具体要分析什么？怎么分析？借助什么工具？本题利用表格给出了四个函数，它们分别表示王伟、张城、赵磊的考试成绩及各次考试的班级平均分．由于表格区分三位同学的成绩高低不直观，故采用图象法来表示．做学情分析，具体要分析学习成绩是否稳定，成绩变化趋势．解：把“成绩”y看成“测试序号”x的函数，用图象法表示函数y＝f(x)，如图3所示．图3由图3可看到：王伟同学的数学成绩始终高于班级平均分，学习情况比较稳定而且成绩优秀；张城同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均分水平上下波动，而且波动幅度较大；赵磊同学的数学学习成绩呈上升趋势，表明他的数学成绩稳步提高．点评：本题主要考查根据实际情境需要选择恰当的函数表示法的能力，以及应用函数解决实际问题的能力．通过本题可见，图象法比列表法和解析法更能直观反映函数值的变化趋势．注意：本例为了研究学生的学习情况，将离散的点用虚线连接，这样便于研究成绩的变化特点.图4的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h 所示，那么水瓶的形状是( )图5图6要求由水瓶的形状识别容积V 和高度h 的函数关系，突出了对思维能力的考查．观察图象，根据图象的特点发现：取水深h ＝H 2，注水量V ′＞V 02，知能训练课本本节练习2,3. 【补充练习】1．等腰三角形的周长是20，底边长y 是一腰长x 的函数，则( )A．y＝10－x(0＜x≤10)B．y＝10－x(0＜x＜10)C．y＝20－2x(5≤x≤10)D．y＝20－2x(5＜x＜10)解析：根据等腰三角形的周长列出函数解析式．∵2x＋y＝20，∴y＝20－2x.则20－2x＞0.∴x＜10.由构成三角形的条件(两边之和大于第三边)可知2x＞20－2x，得x＞5，∴函数的定义域为{x|5＜x＜10}．∴y＝20－2x(5＜x＜10)．答案：D2．定义在R上的函数y＝f(x)的值域为[a，b]，则y＝f(x＋1)的值域为( )A．[a，b] B．[a＋1，b＋1]C．[a－1，b－1] D．无法确定解析：将函数y＝f(x)的图象向左平移一个单位得函数y＝f(x＋1)的图象，由于定义域均是R，则这两个函数图象上点的纵坐标的取值范围相同，所以y＝f(x＋1)的值域也是[a，b]．答案：A3．函数f(x)＝11＋x2(x∈R)的值域是( )A．(0,1) B．(0,1] C．[0,1) D．[0,1]解析：(观察法)定义域是R，由于x2≥0，则1＋x2≥1，从而0＜11＋x2≤1.答案：B拓展提升问题：变换法画函数的图象都有哪些？解答：变换法画函数的图象有三类：1．平移变换：(1)将函数y＝f(x)的图象向左平移a(a＞0)个单位得函数y＝f(x＋a)的图象；(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移a(a＞0)个单位得函数y＝f(x－a)的图象；(3)将函数y＝f(x)的图象向上平移b(b＞0)个单位得函数y＝f(x)＋b的图象；(4)将函数y＝f(x)的图象向下平移b(b＞0)个单位得函数y＝f(x)－b的图象．简记为“左加(＋)右减(－)，上加(＋)下减(－)”．2．对称变换：(1)函数y＝f(x)与函数y＝f(－x)的图象关于直线x＝0即y轴对称；(2)函数y ＝f (x )与函数y ＝－f (x )的图象关于直线y ＝0即x 轴对称；(3)函数y ＝f (x )与函数y ＝－f (－x )的图象关于原点对称． 3．翻折变换：(1)函数y ＝|f (x )|的图象可以将函数y ＝f (x )的图象位于x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留y ＝f (x )的x 轴上方部分即可得到．(2)函数y ＝f (|x |)的图象可以将函数y ＝f (x )的图象位于y 轴右边部分翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留y ＝f (x )在y 轴右边部分图象即可得到．函数的图象是对函数关系的一种直观、形象的表示，可以直观地显示出函数的变化状况及其特性，它是研究函数性质时的重要参考，也是运用数形结合思想研究和运用函数性质的基础．另一方面，函数的一些特性又能指导作图，函数与图象是同一事物的两个方面，是函数的不同表现形式．函数的图象可以比喻成人的相片，观察函数的图象可以解决研究其性质，当然，也可以由函数的性质确定函数图象的特点．借助函数的图象来解决函数问题，函数的图象问题是高考的热点之一，应引起重视．课堂小结本节课学习了：函数的三种表示方法，在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示函数．作业课本习题1.2A 组 7,8,9.设计感想本节教学设计容量较大，尽量借助于信息技术来完成．本节的设计重点是函数的三种表示方法，提出了表示法的应用，特别是用图象法求函数的值域，并对求函数值域的方法进行了总结以满足高考的要求．第2课时 作者：刘菲导入新课思路1．当x ＞1时，f (x )＝x ＋1；当x ≤1时，f (x )＝－x ，请写出函数f (x )的解析式．这个函数的解析式有什么特点？教师指出本节课题．思路2．化简函数y ＝|x |的解析式，说说此函数解析式的特点，教师指出本节课题． 推进新课新知探究 提出问题①函数h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，－x ＋1，x <－1，x ≥－1与f (x )＝x －1，g (x )＝x 2在解析式上有什么区别？②请举出几个分段函数的例子．活动：学生讨论交流函数解析式的区别．所谓“分段函数”，习惯上指在定义域的不同部分，有不同对应法则的函数．讨论结果：①函数h (x )是分段函数，在定义域的不同部分，其解析式不同．说明：分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集；生活中有很多可以用分段函数描述的实际问题，如出租车的计费、个人所得税纳税额等等．②例如：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 0，1，x >0，x <0等．应用示例例1 画出函数y ＝|x |的图象．活动：学生思考函数图象的画法：①化简函数的解析式为基本初等函数；②利用变换法画出图象，根据绝对值的概念来化简解析式．解法一：由绝对值的概念，我们有y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，－x ，x ≥0，x <0.所以，函数y ＝|x |的图象如图7所示．图7解法二：画函数y ＝x 的图象，将其位于x 轴下方的部分对称到x 轴上方，与函数y ＝x 的图象位于x 轴上方的部分合起来得函数y ＝|x |的图象如图7所示．点评：函数y ＝f (x )的图象位于x 轴上方的部分和y ＝|f (x )|的图象相同，函数y ＝f (x )的图象位于x 轴下方的部分对称到x 轴上方就是函数y ＝|f (x )|图象的一部分．利用函数y ＝f (x )的图象和函数y ＝|f (x )|的图象的这种关系，由函数y ＝f (x )的图象画出函数y ＝|f (x )|的图象.图821),0,x ≤>的图象．①画整个二次函数y ＝(x ＋1)2的图象，再取其在区间图9(1)乘坐汽车5千米以内(含5千米)，票价2元；(2)5千米以上，每增加5千米，票价增加1元(不足5千米按5千米计算)，如果某条线路的总里程为20千米，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．活动：学生讨论交流题目的条件，弄清题意．本例是一个实际问题，有具体的实际意义，由于里程在不同的范围内，票价有不同的计算方法，故此函数是分段函数．图10解：设里程为x千米时，票价为y元，根据题意得x∈(0,20]．由“招手即停”公共汽车票价制定的规定，可得到以下函数解析式：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2，3，4，5， 0<x ≤5，5<x ≤10，10<x ≤15，15<x ≤20.根据这个函数解析式，可画出函数图象，如图10所示．点评：本题主要考查分段函数的实际应用，以及应用函数解决问题的能力．生活中有很多可以用分段函数描述的实际问题，如出租车的计费、个人所得税纳税额等等．在列出其解析式时，要充分考虑实际问题的规定，根据规定来求得解析式．注意：①本例具有实际背景，所以解题时应考虑其实际意义；②分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写成函数值不同的几种表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况.1．函数f (x )＝|x －1|的图象是( )图11解析：方法一：函数的解析式化为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －1，1－x ， x ≥1，x <1.画出此分段函数的图象，故选B.方法二：将函数f (x )＝x －1位于x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，与f (x )＝x －1位于x 轴上方部分合起来，即可得到函数f (x )＝|x －1|的图象，故选B.方法三：由f (－1)＝2，知图象过点(－1,2)，排除A ，C ，D ，故选B.答案：B2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2， x >0，1， x ＝0，－1x ，x <0.(1)画出函数的图象； (2)求f (1)，f (－1)，f [f (－1)]的值．解：分别作出f (x )在x ＞0，x ＝0，x ＜0上的图象，合在一起得函数的图象．(1)如图12所示，画法略．图12(2)f (1)＝12＝1，f (－1)＝－1－1＝1，f [f (－1)]＝f (1)＝1. 3．某人驱车以52千米/时的速度从A 地驶往260千米远处的B 地，到达B 地并停留1.5小时后，再以65千米/时的速度返回A 地．试将此人驱车走过的路程s (千米)表示为时间t 的函数．分析：本题中的函数是分段函数，要由时间t 属于哪个时间段，得到相应的解析式．解：从A 地到B 地，路上的时间为26052＝5(小时)；从B 地回到A 地，路上的时间为26065＝4(小时)．所以走过的路程s (千米)与时间t 的函数关系式为s ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 52t ，260，260＋65(t －6.5)， 0≤t <5，5≤t ≤6.5，6.5<t ≤10.5.拓展提升问题：已知函数f (x )满足f (1)＝1，f (n ＋1)＝f (n )＋2，n ∈N *.(1)求：f (2)，f (3)，f (4)，f (5)；(2)猜想f (n )，n ∈N *.探究：(1)由题意得f (1)＝1，则有 f (2)＝f (1)＋2＝1＋2＝3，f (3)＝f (2)＋2＝3＋2＝5，f(4)＝f(3)＋2＝5＋2＝7，f(5)＝f(4)＋2＝7＋2＝9.(2)由(1)得f(1)＝1＝2×1－1，f(2)＝3＝2×2－1，f(3)＝5＝2×3－1，f(4)＝7＝2×4－1，f(5)＝9＝2×5－1.因此猜想f(n)＝2n－1，n∈N*.课堂小结本节课学习了：画分段函数的图象；求分段函数的解析式以及分段函数的实际应用．作业课本习题1.2B组3,4.设计感想本节教学设计容量较大，特别是例题涉及图象，建议使用信息技术来完成．本节重点为分段函数，这是课标明确要求也是高考的重点，通过分段函数问题能够区分学生的思维层次，因此教学中应予以重视．第3课时作者：林大华导入新课思路1．复习初中常见的对应关系1．对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的点P和它对应．2．对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数对(x，y)和它对应．3．对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应．4．某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应．5．函数的概念．我们已经知道，函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种对应就叫映射(板书课题)．思路2．前面学习了函数的概念是：一般地，设A，B是两个非空数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应．(1)对于任意一个实数，在数轴上都有唯一的点与之对应．(2)班级里的每一位同学在教室里都有唯一的座位与之对应．(3)对于任意的三角形，都有唯一确定的面积与之对应．那么这些对应又有什么特点呢？这种对应称为映射，引出课题．推进新课新知探究提出问题①给出以下对应关系：图13这三个对应关系有什么共同特点？②像问题①中的对应我们称为映射，请给出映射的定义？③“都有唯一”是什么意思？④函数与映射有什么关系？讨论结果：①集合A，B均为非空集合，并且集合A中的元素在集合B中都有唯一的元素与之对应．②一般地，设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A 中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B 为从集合A到集合B的一个映射，记作“f：A→B”．如果集合A中的元素x对应集合B中的元素y，那么集合A中的元素x叫集合B中元素y的原象，集合B中元素y叫集合A中的元素x的象．③包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思，即是一对一或多对一．④函数是特殊的映射，映射是函数的推广．应用示例例题下列哪些对应是从集合A到集合B的映射？(1)集合A＝{P|P是数轴上的点}，集合B＝R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；(2)集合A＝{P|P是平面直角坐标系中的点}，集合B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；(3)集合A＝{x|x是三角形}，集合B＝{x|x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；(4)集合A＝{x|x是新华中学的班级}，集合B＝{x|x是新华中学的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生．活动：学生思考映射的定义．判断一个对应是否是映射，要紧扣映射的定义．(1)中数轴上的点对应着唯一的实数；(2)中平面直角坐标系中的点对应着唯一的有序实数对；(3)中每一个三角形都有唯一的内切圆；(4)中新华中学的每个班级对应其班内的多个学生．解：(1)是映射；(2)是映射；(3)是映射；(4)不是映射．新华中学的每个班级对应其班内的多个学生，是一对多，不符合映射的定义.图14答案：(1)不是；(2)是；(3)是．在图15中的映射中，A中元素60°对应的元素是什么？在A中的什么元素与中元素22对应？图1560°对应的元素是32，在A 中的元素1．下列对应是从集合S 到T 的映射的是( )A ．S ＝N ，T ＝{－1,1}，对应法则是(－1)n，n ∈SB ．S ＝{0,1,4,9}，T ＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}，对应法则是开平方C ．S ＝{0,1,2,5}，T ＝{1，12，15}，对应法则是取倒数 D ．S ＝{x |x ∈R }，T ＝{y |y ∈R }，对应法则是x →y ＝1＋x 1－x解析：判断映射的方法简单地说应考虑A 中的元素是否都可以受对应法则f 的作用，作用的结果是否一定在B 中，作用的结果是否唯一这三个方面．很明显A 符合定义；B 是一对多的对应；C 中集合S 中的元素0没有象；D 中集合S 中的元素1也无象．答案：A2．已知集合M ＝{x |0≤x ≤6}，P ＝{y |0≤y ≤3}，则下列对应关系中不能看作从M 到P 的映射的是( )A ．f ：x →y ＝12x B ．f ：x →y ＝13x C ．f ：x →y ＝xD ．f ：x →y ＝16x 解析：选项C 中，集合M 中部分元素没有象，其他均是映射．答案：C3．已知集合A ＝N *，B ＝{a |a ＝2n －1，n ∈Z }，映射f ：A →B ，使A 中任一元素a 与B 中元素2a －1对应，则与B 中元素17对应的A 中元素是( )A．3 B．5 C．17 D．9解析：利用对应法则转化为解方程．由题意得2a－1＝17，解得a＝9.答案：D4．若映射f：A→B的象的集合是Y，原象的集合是X，则X与A的关系是________；Y 与B的关系是________．解析：根据映射的定义，可知集合A中的元素必有象且唯一；集合B中的元素在集合A 中不一定有原象．故象的集合是B的子集．所以X＝A，Y⊆B.答案：X＝A Y⊆B5．已知集合M＝{a，b，c，d}，P＝{x，y，z}，则从M到P能建立不同映射的个数是________．解析：集合M中有4个元素，集合P中有3个元素，则从M到P能建立34＝81个不同的映射．答案：816．下列对应哪个是集合M到集合N的映射？哪个不是映射？为什么？(1)设M＝{矩形}，N＝{实数}，对应法则f为矩形到它的面积的对应．(2)设M＝{实数}，N＝{正实数}，对应法则f为x→1|x|.(3)设M＝{x|0≤x≤100}，N＝{x|0≤x≤100}，对应法则f为开方再乘10.解：(1)是M到N的映射，因为它是多对一的对应．(2)不是映射，因为当x＝0时，集合N中没有元素与之对应．(3)是映射，因为它是一对一的对应．7．设集合A和B都是自然数集，映射f：A→B把A中的元素n映射到B中的元素2n＋n，则在映射f下，A中的元素________对应B中的元素3.( )A．1 B．3 C．9 D．11解析：对应法则为f：n→2n＋n，根据选项验证2n＋n＝3，可得n＝1.答案：A8．已知集合A＝{1,2,3，k}，B＝{4,7，a4，a2＋3a}，且a∈N，k∈N，x∈A，y∈B，映射f：A→B，使B中元素y＝3x＋1和A中元素x对应，求a及k的值．分析：先从集合A和对应法则f入手，同时考虑集合中元素的互异性，可以分析出此映射必为一一映射，再由3→10，求得a值，进而求得k值．解：∵B中元素y＝3x＋1和A中元素x对应，∴A中元素1的象是4；2的象是7；3的象是10，即a4＝10或a2＋3a＝10.∵a∈N，∴由a2＋3a＝10，得a＝2.∵k 的象是a 4，∴3k ＋1＝16，得k ＝5.∴a ＝2，k ＝5.9．已知集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＜3，x ∈N ，y ∈N }，B ＝{0,1,2}，f ：(x ，y )→x ＋y ，则这个对应是否为映射？是否为函数？请说明理由．解：是映射，不是函数．由题意得A ＝{(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(2,0)}，显然对于A 中的每一个有序实数对，它们的和是0或1或2，则在B 中都有唯一一个数与它对应，所以是映射，因为集合A 不是数集而是点集，所以不是函数．拓展提升问题：集合M 中有m 个元素，集合N 中有n 个元素，则从M 到N 能建立多少个不同的映射？探究：当m ＝1，n ＝1时，从M 到N 能建立1＝11个不同的映射；当m ＝2，n ＝1时，从M 到N 能建立1＝12个不同的映射；当m ＝3，n ＝1时，从M 到N 能建立1＝13个不同的映射；当m ＝2，n ＝2时，从M 到N 能建立4＝22个不同的映射；当m ＝2，n ＝3时，从M 到N 能建立9＝32个不同的映射．集合M 中有m 个元素，集合N 中有n 个元素，则从M 到N 能建立n m 个不同的映射． 课堂小结本节课学习了：(1)映射的对应是一种特殊的对应，元素之间的对应必须满足“一对一或多对一”．(2)映射由三个部分组成：集合A ，集合B 及对应法则f ，称为映射的三要素．(3)映射中集合A ，B 中的元素可以为任意的．作业课本本节练习4.补充作业：已知下列集合A 到B 的对应，请判断哪些是A 到B 的映射，并说明理由．(1)A ＝N ，B ＝Z ，对应法则f 为“取相反数”；(2)A ＝{－1,0,2}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，对应法则：“取倒数”； (3)A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝R ，对应法则：“求平方根”；(4)A ＝{0,1,2,4}，B ＝{0,1,4,9,64}，对应法则f ：a →b ＝(a －1)2；(5)A ＝N *，B ＝{0,1}，对应法则：除以2所得的余数．答案：(2)不是映射，(1)(3)(4)(5)是映射．设计感想本节教学设计的内容拓展较深，在实际教学中根据学生实际选取例题和练习．本节重点为映射的概念，对于映射来说，只需要掌握概念即可，不要求拓展其内容，以免加重学生的负担，也偏离了课标要求和高考的方向．备课资料【备选例题】【例1】区间[0，m]在映射f：x→2x＋m下所得的象集区间为[a，b]，若区间[a，b]的长度比区间[0，m]的长度大5，则m等于( )A．5 B．10 C．2.5 D．1解析：函数f(x)＝2x＋m在区间[0，m]上的值域是[m,3m]，则有[m,3m]＝[a，b]，则a＝m，b＝3m，又区间[a，b]的长度比区间[0，m]的长度大5，则有b－a＝(m－0)＋5，即b－a＝m＋5，所以3m－m＝m＋5，解得m＝5.答案：A【例2】设x∈R，对于函数f(x)满足条件f(x2＋1)＝x4＋5x2－3，那么对所有的x∈R，f(x2－1)＝________.解析：(换元法)设x2＋1＝t，则x2＝t－1，则f(t)＝(t－1)2＋5(t－1)－3＝t2＋3t－7，即f(x)＝x2＋3x－7.所以f(x2－1)＝(x2－1)2＋3(x2－1)－7＝x4＋x2－9.答案：x4＋x2－9【知识总结】1．函数与映射的知识记忆口诀：函数新概念，记准要素三；定义域值域，关系式相连；函数表示法，记住也不难；图象和列表，解析最常见；对应变映射，只是变唯一；映射变函数，集合变数集．2．映射到底是什么？怎样理解映射的概念？剖析：对于映射这个概念，可以从以下几点来理解：(1)映射中的两个集合A和B可以是数集、点集或由图形组成的集合等；(2)映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往是不一样的；(3)映射要求对集合A中的每一个元素在集合B中都有元素与之对应，而这个与之对应的元素是唯一的，这样集合A中元素的任意性和在集合B中对应的元素的唯一性构成了映射的核心；(4)映射允许集合B中存在元素在A中没有元素与其对应；(5)映射允高中数学第一章集合与函数概念1.2函数及其表示1.2.2函数的表示法教学设计新人教A版必修1许集合A中不同的元素在集合B中有相同的对应元素，即映射只能是“多对一”或“一对一”，不能是“一对多”；(6)映射是特殊的对应，函数是特殊的映射．3．函数与映射的关系函数是特殊的映射，对于映射f：A→B，当两个集合A，B均为非空数集时，则从A到B 的映射就是函数，所以函数一定是映射，而映射不一定是函数．21 / 21。
高中数学《第一章集合与函数概念1.2函数及其表示阅读与思考函数概念的...》143教案教学设计讲
函数的概念(第一课时)内容来源：高一上期必修1第一章第二节主题：函数的概念授课对象：高一年级学生设计者：目标确定的依据一、课程标准相关要求会用集合与对应的语言来刻画函数,理解函数符号“y=f(x)”的含义;掌握构成函数的三要素,会求一些简单函数的定义域,体会对应关系在刻画函数概念中的作用,使学生感受到学习函数的必要性,激发学生学习的积极性.二、教材分析通过学习函数的概念,培养学生观察问题、提出问题的探究能力,进一步培养学生学习数学的兴趣及抽象概括的能力;启发学生运用函数模型表述、思考和解决现实世界中蕴含的规律,逐渐形成善于提出问题的习惯,学会用数学表达和交流,发展数学的应用意识.三、学情分析学生在初中已经学习过一次函数，二次函数，反比例函数，对函数的概念有所了解；通过本节内容的学习,进一步培养学生学习数学的兴趣及抽象概括的能力;启发学生运用函数模型表述、思考和解决现实世界中蕴含的规律,逐渐形成善于提出问题的习惯,学会用数学表达和交流,发展数学的应用意识.学习目标1.通过集合,会用集合对应的语言来刻画函数,理解函数符号“y=f(x)”的含义;2.通过学习函数的概念，掌握构成函数的三要素,会求简单函数的定义域,体会对应关系在刻画函数概念中的作用,使学生感受到学习函数的必要性,激发学生学习的积极性.评价任务通过学习函数的概念,培养学生观察问题、提出问题的探究能力,进一步培养学生学习数学的兴趣及抽象概括的能力;启发学生运用函数模型表述、思考和解决现实世界中蕴含的规律,逐渐形成善于提出问题的习惯,学会用数学表达和交流,发展数学的应用意识;教学过程学习环节学习活动设计意图引入新知提出问题：某物体从高度为44.1m的空中自由下落，物体下落的距离s(m)与所用时间t(s)的平方成正比，这个规律用数学式子可以描述为s＝12gt2，其中g取9.8m/s2.问题1：时间t和物体下落的距离s有何限制？问题2：时间t(0≤t≤3)确定后，下落的距离s确定吗？问题3：下落后的某一时刻，能同时对应两个距离吗？引入函数概念探索新知1、函数的概念：设A，B是非空的数集，如果按照某种对应关系f，使对于集合A中任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数。
高中数学《第一章集合与函数概念1.2函数及其表示习题1.2》328教案教学设计讲
1《函数的表示法》教学设计中山市杨仙逸中学隋志微一、教材分析本节课是人教版高中数学必修1第一章《集合与函数概念》中1.2.2函数的表示法，学习函数的表示，不仅是研究函数本身和应用函数解决实际问题所必须涉及的问题，而且是加深理解函数概念，丰富对函数的认识的过程，对提升学生数学抽象与数学运算的数学素养很有帮助。
特别是在信息技术环境下，可以使函数在数与形两方面的结合上得到更充分的体现，更有益于提升学生直观想象的数学素养。
学生在初中已经接触过函数的三种表示法：解析法、列表法和图像法，因此教材通过运用三种表示法表示一个函数后，让学生了解三种表示法的各自优缺点，目的在于使学生面对实际情境时，会根据不同的需要选择恰当方法（解析法、图像法、列表法）表示函数。
教材中还介绍了分段函数，在实际问题中，有很多函数是用分段函数来表示的，所以讨论分段函数是很有必要的，在教学中结合教材内容向学生渗透分类讨论思想方法，对培养学生全面分析问题，解决问题的能力是很有帮助的。
根据实际问题中的条件列出函数解析式的训练，是建立函数模型研究实际问题的关键步骤，这种应用意识的培养和应用能力的提高应不断贯穿于教学过程中。
基于高中阶段所接触的许多函数均可用几种不同的方式表示，因而使得学习函数的表示也是向学生渗透数形结合思想的重要过程。
二、学情分析学生为普通高中高一学生，学生在初中已经了解了函数的三种表示法，并在实际生活中积累了一定的关于函数关系的实例，会用函数的三种表示法表示一些简单的函数，但对三种表示法的优缺点与深入运用还有一定的欠缺。
三、教学目标：1.掌握函数的解析法、列表法、图像法三种主要表示方法及其优缺点。
2.在实际情境中，能根据不同的需要，选择恰当方法表示函数。
3.了解分段函数及其简单应用。
2四、教学重难点：重点：1.函数的三种表示法及其特点；2.分段函数的概念及其应用。
难点：1.选择恰当的方法表示函数；2.分段函数的表示及图象。
五、教学过程（一）复习回顾问题1：函数的概念是什么？设A,B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称BAf:为从集合A到集合B的一个函数.记作.,Axxfy问题2：函数的三要素是什么？定义域、值域、对应关系。
高中数学《第一章集合与函数概念1.2函数及其表示习题1.2》342教案教学设计讲
1课题：函数的单调性（第一课时）【教学目标】1．从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和定义判断函数单调性的方法．2．通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合思想方法，培养观察、归纳、抽象和语言表达能力；3．通过知识的探究过程培养细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯。
【教学过程】（一）创设情境：例如:成都市冬天某天的气温变化曲线图：问题：随着时间的变化，温度的变化趋势是？（二）建构定义:1、直观感知定义：观察下列函数的图象,由学生讨论交流并回答下列问题（几何画板动态展示）问题1:这两个函数图象有怎样的变化趋势?问题2:函数2()fxx在区间内y随x的增大而增大，在区间内y随x的增大而减小；总结到一般情况下：在区间D内在区间D内图象图象特征从左到右，图象_____从左到右，图象_____数量特征y随x的增大而_____y随x的增大而_____直观性定义单调递增函数单调递减函数问题：若区间内有两点21xx时，有)()(21xfxf，能否推出()fx是单调递增函数？2(2)()fxx(1)()1fxxy2()fx1()fx1x2xxy2()fx 1()fx 01x2x232yfx-4 215431-1-2-1-5-3-2x2、归纳定义定义：一般地，设函数)(xf的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值12xx、，当21xx时，都有)()(21xfxf，那么就说函数)(xf在区间D上是单调递增函数。
同学们类比得到减函数的定义:________________________________________________ ______________________________________________________ ____________________________注:对增函数,减函数的三点说明①___________________________________________________ ______________②___________________________________________________ ______________③___________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________.(三)定义应用:例、下图是定义在[－5，5]上的函数)(xfy的图象，根据图象说出函数)(xfy的单调区间，以及在每一单调区间上，)(xfy是增函数还是减函数。
高中数学《第一章集合与函数概念1.2函数及其表示习题1.2》340教案教学设计讲
第9课时分段函数与映射1.通过具体实例了解分段函数的概念和意义,会求分段函数的值,绘制分段函数的图象和求分段函数的值域.2.了解映射的概念及表示方法,并知道映射与函数的区别和联系.从A地到B地首先经过一段路程为5km的下坡路,再经过一段路程为4km的上坡路,最后经过一段路程为10km的平路.某同学骑自行车从A地到B地,下坡路的骑车速度为30km/h,上坡路的骑车速度12km/h,平路的骑车速度为20km/h,则该同学骑车从A地到B地的行驶时间t(h)关于行驶的路程S(km)的函数关系式为S=S(t).问题1:(1)该同学下坡路的行驶时间为h,上坡路的行驶时间为h,平路的行驶时间为h,从A地到B地总共所用的时间为h.(2)当0≤t≤时,S(t)=;当<t≤时,S(t)=;当<t≤1时,S(t)=.所以S(t)=-图象如象.问题2:分段函数如何定义?分段函数:一个函数的定义域分成了若干个子区间,而每个子区间的不同,这种函数称为分段函数.分段函数是函数,其定义域是各段自变量取值集合的,其值域是各段函数值集合的.问题3:映射是如何定义的?设A、B是两个,如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的一个元素x,在集合B中都有的元素y与之对应,那么就称对应关系f:A→B为从集合A到集合B的一个映射.记作“”.问题4:映射与函数的关系(1)联系:映射的定义是在函数的现代定义(集合语言定义)的基础上引申、拓展而来的,函数是一种特殊的.(2)区别:函数是从非空数集A到非空数集B的映射;对于映射而言,A和B不一定是数集.分段函数的求值问题已知函数f(x)=--(1)求f(1--),f(f(f(-2)))的值;(2)求f(3x-1)的解析式;(3)若f(a)=,求a的值.映射的概念与判定给出下列四个对应:①A=R,B=R,对应关系f:x→y,y=;②A={aa∈N*},B={bb=,n∈N*},对应关系f:a→b,b=;③A={xx≥0},B=R,对应关系f:x→y,y2=x;④A={xx是平面α内的矩形},B={yy是平面α内的圆},对应关系f:每一个矩形都对应它的外接圆.其中是从A到B的映射为.分段函数的应用某商场在促销期间规定:商场内所有商品按标价的80%出售;同时,当顾客在该商场内消费满一定金额后,按如下方案相应获得第二次优惠:消费金额(元)的范围[200,400)[400,500)[500,700)[700,900)…第二次优惠金额(元)3060100150…根据上述促销方法,顾客在该商场购物可以获得双重优惠,例如:购买标价为600元的商品,则消费金额为480元,480∈[400,500),所以获得第二次优惠金额为60元,获得的优惠总额为:600×0.2+60=180(元).设购买商品的优惠率=购买商品获得的优惠总额商品的标价.试问:(1)购买一件标价为1000元的商品,顾客得到的优惠率为多少?(2)设顾客购买标价为x元(x∈[250,1000])的商品获得的优惠总额为y元,试建立y关于x的函数关系式.1.(2014年·上海卷)设f(x)=-若f(2)=4,则a的取值范围为.考题变式(我来改编):。
高中数学第一章集合与函数概念1.2函数及其表示1.2.1函数的概念教学设计数学教案
1.2.1 函数的概念整体设计教学分析函数是中学数学中最重要的基本概念之一．在中学，函数的学习大致可分为三个阶段．第一阶段是在义务教育阶段，学习了函数的描述性概念，接触了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等最简单的函数，了解了它们的图象、性质等．本节学习的函数概念与后续将要学习的函数的基本性质、基本初等函数(Ⅰ)和基本初等函数(Ⅱ)是学习函数的第二阶段，这是对函数概念的再认识阶段．第三阶段是在选修系列的导数及其应用的学习，这是函数学习的进一步深化和提高．在学生学习用集合与对应的语言刻画函数之前，学生已经把函数看成变量之间的依赖关系；同时，虽然函数概念比较抽象，但函数现象大量存在于学生周围．因此，课本采用了从实际例子中抽象出用集合与对应的语言定义函数的方式介绍函数概念．三维目标1．会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y＝f(x)的含义；通过学习函数的概念，培养学生观察问题、提出问题的探究能力，进一步培养学习数学的兴趣和抽象概括能力；启发学生运用函数模型表述思考和解决现实世界中蕴涵的规律，逐渐形成善于提出问题的习惯，学会数学表达和交流，发展数学应用意识．2．掌握构成函数的三要素，会求一些简单函数的定义域，体会对应关系在刻画函数概念中的作用，使学生感受到学习函数的必要性和重要性，激发学生学习的积极性．重点难点教学重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数．教学难点：符号“y＝f(x)”的含义，不容易认识到函数概念的整体性，而将函数单一地理解成对应关系，甚至认为函数就是函数值．课时安排2课时教学过程第1课时导入新课问题：已知函数y＝1,,0,,xx∈⎧⎨∈⎩RQQ请用初中所学函数的定义来解释y与x的函数关系？先让学生回答后，教师指出：这样解释会显得十分勉强，本节将用新的观点来解释，引出课题．推进新课新知探究提出问题(1)给出下列三种对应：(幻灯片)①一枚炮弹发射后，经过26 s落到地面击中目标．炮弹的射高为845 m，且炮弹距地面的高度h(单位：m)随时间t(单位：s)变化的规律是h＝130t－5t2.时间t的变化范围是数集A＝{t|0≤t≤26}，h的变化范围是数集B＝{h|0≤h≤845}．则有对应f：t→h＝130t－5t2，t∈A，h∈B.②近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题．图1中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积S(单位：106km2)随时间t(单位：年)从1979～2001年的变化情况．图1根据图1中的曲线，可知时间t的变化范围是数集A＝{t|1979≤t≤2001}，臭氧层空洞面积S的变化范围是数集B＝{S|0≤S≤26}，则有对应：f：t→S，t∈A，S∈B.③国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高．下表中的恩格尔系数y随时间t(年)变化的情况表明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化．“八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况化范围是数集B＝{y|37.9≤y≤53.8}.则有对应：f：t→y，t∈A，y∈B.以上三个对应有什么共同特点？(2)我们把这样的对应称为函数，请用集合的观点给出函数的定义.(3)函数的定义域是自变量的取值范围，那么你是如何理解这个“取值范围”的？(4)函数有意义又指什么？(5)函数f：A→B的值域为C，那么集合B＝C吗？活动：让学生认真思考以上三个对应，也可以分组讨论交流，引导学生找出这三个对应的本质共性．解：(1)共同特点是：集合A ，B 都是数集，并且对于数集A 中的每一个元素x ，在对应关系f ：A →B 下，在数集B 中都有唯一确定的元素y 与之对应．(2)一般地，设A ，B 都是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y ＝f (x )，x ∈A ，其中x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．在研究函数时常会用到区间的概念，设a ，b 是两个实数，且a ＜b ，如下表所示：(4)函数有意义是指：自变量的取值使分母不为0；被开方数为非负数；如果函数有实际意义时，那么还要满足实际取值等等．(5)C ⊆B .应用示例例题 题已知函数f (x )＝x ＋3＋1x ＋2， (1)求函数的定义域；(2)求f (－3)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23的值； (3)当a ＞0时，求f (a )，f (a －1)的值．活动：(1)让学生回想函数的定义域指的是什么？函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，故转化为求使x ＋3和1x ＋2有意义的自变量的取值范围.x ＋3有意义，则x＋3≥0，1x ＋2有意义，则x ＋2≠0，转化为解由x ＋3≥0和x ＋2≠0组成的不等式组． (2)让学生回想f (－3)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23表示什么含义？f (－3)表示自变量x ＝－3时对应的函数值，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23表示自变量x ＝23时对应的函数值．分别将－3，23代入函数的对应法则中得f (－3)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23的值．(3)f (a )表示自变量x ＝a 时对应的函数值，f (a －1)表示自变量x ＝a －1时对应的函数值．分别将a ，a －1代入函数的对应法则中得f (a )，f (a －1)的值．解：(1)要使函数有意义，自变量x的取值需满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3≥0，x ＋2≠0，解得－3≤x ＜－2或x＞－2，即函数的定义域是[－3，－2)∪(－2，＋∞)．(2)f (－3)＝－3＋3＋1－3＋2＝－1；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝23＋3＋123＋2＝333＋38. (3)∵a ＞0，∴a ∈[－3，－2)∪(－2，＋∞)，即f (a )，f (a －1)有意义． 则f (a )＝a ＋3＋1a ＋2；f (a －1)＝a －1＋3＋1a －1＋2＝a ＋2＋1a ＋1. 点评：本题主要考查函数的定义域以及对符号f (x )的理解．求使函数有意义的自变量的取值范围，通常转化为解不等式组．f (x )是表示关于变量x 的函数，又可以表示自变量x 对应的函数值，是一个整体符号，分开符号f (x )没有什么意义．符号f 可以看作是对“x ”施加的某种法则或运算．例如f (x )＝x 2－x ＋5，当x ＝2时，看作对“2”施加了这样的运算法则：先平方，再减去2，再加上5；若x 为某一代数式(或某一个函数记号时)，则左右两边的所有x 都用同一个代数式(或某一个函数)来代替．如：f (2x ＋1)＝(2x ＋1)2－(2x ＋1)＋5，f [g (x )]＝[g (x )]2－g (x )＋5等等．符号y ＝f (x )表示变量y 是变量x 的函数，它仅仅是函数符号，并不表示y 等于f 与x 的乘积．符号f (x )与f (m )既有区别又有联系：当m 是变量时，函数f (x )与函数f (m )是同一个函数；当m 是常数时，f (m )表示自变量x ＝m 对应的函数值，是一个常量．已知函数的解析式，求函数的定义域，就是求使得函数解析式有意义的自变量的取值范围，即(1)如果f (x )是整式，那么函数的定义域是实数集R .(2)如果f (x )是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合．(3)如果f (x )是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合．(4)如果f (x )是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合(即求各部分定义域的交集)．(5)对于由实际问题的背景确定的函数，其定义域还要受实际问题的制约.1．已知函数f (x )满足：f (p ＋q )＝f (p )f (q )，f (1)＝3，则f 2(1)＋f (2)f (1)＋f 2(2)＋f (4)f (3)＋f 2(3)＋f (6)f (5)＋f 2(4)＋f (8)f (7)＋f 2(5)＋f (10)f (9)＝________.解析：∵f (p ＋q )＝f (p )f (q )，∴f (x ＋x )＝f (x )f (x )，即f 2(x )＝f (2x )． 令q ＝1，得f (p ＋1)＝f (p )f (1)， ∴f (p ＋1)f (p )＝f (1)＝3. ∴原式＝2f (2)f (1)＋2f (4)f (3)＋2f (6)f (5)＋2f (8)f (7)＋2f (10)f (9)＝2(3＋3＋3＋3＋3)＝30.答案：302．若f (x )＝1x的定义域为A ，g (x )＝f (x ＋1)－f (x )的定义域为B ，那么( )A．A∪B＝B B．A B C．A⊆B D．A∩B＝解析：由题意得A＝{x|x≠0}，B＝{x|x≠0，且x≠－1}．则A∪B＝A，则A错；A∩B ＝B，则D错；由于B A，则C错，B正确．答案：B拓展提升问题：已知函数f(x)＝x2＋1，x∈R.(1)分别计算f(1)－f(－1)，f(2)－f(－2)，f(3)－f(－3)的值；(2)由(1)你发现了什么结论？并加以证明．活动：让学生探求f(x)－f(－x)的值．分析(1)中各值的规律，归纳猜想出结论，再用解析式证明．解：(1)f(1)－f(－1)＝(12＋1)－[(－1)2＋1]＝2－2＝0；f(2)－f(－2)＝(22＋1)－[(－2)2＋1]＝5－5＝0；f(3)－f(－3)＝(32＋1)－[(－3)2＋1]＝10－10＝0.(2)由(1)可发现结论：对任意x∈R，有f(x)＝f(－x)．证明如下：由题意得f(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1＝f(x)．∴对任意x∈R，总有f(x)＝f(－x)．课堂小结本节课学习了：函数的概念、函数定义域的求法和对函数符号f(x)的理解．作业课本习题1.2A组1,5.设计感想本节教学中，在归纳函数的概念时，本节设计运用了大量的实例，如果不借助于信息技术，那么会把时间浪费在实例的书写上，会造成课时不足即拖堂现象．本节重点设计了函数定义域的求法，而函数值域的求法将放在函数的表示法中学习．由于函数是高中数学的重点内容之一，也是高考的重点和热点，因此对函数的概念等知识进行了适当的拓展，以满足高考的需要．第2课时作者：刘玉亭复习1．函数的概念．2．函数的定义域的求法．导入新课思路1．当实数a，b的符号相同，绝对值相等时，实数a＝b；当集合A，B中元素完全相同时，集合A ＝B ；那么两个函数满足什么条件才相等呢？引出课题：函数相等．思路2．我们学习了函数的概念，y ＝x 与y ＝x 2x是同一个函数吗？这就是本节课学习的内容，引出课题：函数相等．推进新课新知探究 提出问题①指出函数y ＝x ＋1的构成要素有几部分？ ②一个函数的构成要素有几部分？③分别写出函数y ＝x ＋1和函数y ＝t ＋1的定义域和对应关系，并比较异同. ④函数y ＝x ＋1和函数y ＝t ＋1的值域相同吗？由此可见两个函数的定义域和对应关系分别相同，值域相同吗？⑤由此你对函数的三要素有什么新的认识？讨论结果：①函数y ＝x ＋1的构成要素为：定义域R ，对应关系x →x ＋1，值域是R . ②一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域，简称为函数的三要素．其中定义域是函数的灵魂，对应关系是函数的核心．当且仅当两个函数的三要素都相同时，这两个函数才相同．③定义域和对应关系分别相同． ④值域相同．⑤如果两个函数的定义域和对应关系分别相同，那么它们的值域一定相等．因此只要两个函数的定义域和对应关系分别相同，那么这两个函数就相等．应用示例例题 题下列函数中哪个与函数y ＝x 相等？(1)y ＝(x )2；(2)y ＝3x 3；(3)y ＝x 2；(4)y ＝x 2x.活动：让学生思考两个函数相等的条件后，引导学生求出各个函数的定义域，化简函数关系式为最简形式．只要它们的定义域和对应关系分别相同，那么这两个函数就相等．解：函数y ＝x 的定义域是R ，对应关系是x →x . (1)∵函数y ＝(x )2的定义域是[0，＋∞)， ∴函数y ＝(x )2与函数y ＝x 的定义域不相同， ∴函数y ＝(x )2与函数y ＝x 不相等． (2)∵函数y ＝3x 3的定义域是R ，∴函数y ＝3x 3与函数y ＝x 的定义域相同．又∵y ＝3x 3＝x ，∴函数y ＝3x 3与函数y ＝x 的对应关系也相同． ∴函数y ＝3x 3与函数y ＝x 相等． (3)∵函数y ＝x 2的定义域是R ，∴函数y ＝x 2与函数y ＝x 的定义域相同． 又∵y ＝x 2＝|x |，∴函数y ＝x 2与函数y ＝x 的对应关系不相同． ∴函数y ＝x 2与函数y ＝x 不相等．(4)∵函数y ＝x 2x 的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，∴函数y ＝x 2x 与函数y ＝x 的定义域不相同，∴函数y ＝x 2x与函数y ＝x 不相等．点评：本题主要考查函数相等的含义．讨论函数问题时，要保持定义域优先的原则．对于判断两个函数是否是同一个函数，要先求定义域，若定义域不同，则不是同一个函数；若定义域相同，再化简函数的解析式，若解析式相同(即对应关系相同)，则是同一个函数，否则不是同一个函数.1．下列给出的四个图形中，是函数图象的是( )图2A ．①B ．①③④C ．①②③ D．③④ 答案：B2．函数y ＝f (x )的定义域是R ，值域是[1,2]，则函数y ＝f (2x －1)的值域是________． 答案：[1,2]3．下列各组函数是同一个函数的有________． ①f (x )＝x 3，g (x )＝x x ；②f (x )＝x 0，g (x )＝1x0；③f (x )＝－2x ，g (u )＝－2u；④f (x )＝－x 2＋2x ，g (u )＝－u 2＋2u .答案：②③④拓展提升问题：函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝m 有几个交点？ 探究：设函数y ＝f (x )定义域是D ， 当m ∈D 时，根据函数的定义知f (m )唯一，则函数y ＝f (x )的图象上横坐标为m 的点仅有一个(m ，f (m ))， 即此时函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝m 仅有一个交点； 当m ∉D 时，根据函数的定义知f (m )不存在，则函数y ＝f (x )的图象上横坐标为m 的点不存在， 即此时函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝m 没有交点．综上所得，函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝m 有交点时仅有一个，或没有交点．课堂小结(1)复习了函数的概念，总结了函数的三要素； (2)判断两个函数是否是同一个函数．作业1．设M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，给出下列4个图形，其中能表示以集合M 为定义域，N 为值域的函数关系的是( )图3答案：B2．某公司生产某种产品的成本为1 000元，以1 100元的价格批发出去，随生产产品数量的增加，公司收入________，它们之间是________关系．解析：由题意，多生产一单位产品则多收入100元．生产产品数量看成是自变量，公司收入看成是因变量，容易得出对于自变量的每一个确定值，因变量都有唯一确定的值与之对应，从而判断两者是函数关系．答案：增加 函数3．函数y ＝x 2与S ＝t 2是同一函数吗？答：函数的确定只与定义域与对应关系有关，而与所表示的字母无关，因此y ＝x 2与S ＝t 2表示的是同一个函数．因此并非字母不同便是不同的函数，这是由函数的本质决定的．设计感想本节教学内容主要是依据高考说明，对课本内容适当拓展，重点对函数的相等问题进行了引申，设计时对拓展的内容采取渐进式，设计时本着逐步提高、拓展，不能急于求成，否则事倍功半．备课资料【备选例题】【例1】已知函数f (x )＝11＋x ，则函数f [f (x )]的定义域是________．解析：∵f (x )＝11＋x ，∴x ≠－1.∴f [f (x )]＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋x ＝11＋11＋x.∴1＋11＋x ≠0，即x ＋2x ＋1≠0.∴x ≠－2.∴f [f (x )]的定义域为{x |x ≠－2，且x ≠－1}．答案：{x |x ≠－2，且x ≠－1}【例2】已知函数f (2x ＋3)的定义域是[－4,5)，求函数f (2x －3)的定义域．解：由函数f (2x ＋3)的定义域得函数f (x )的定义域，从而求得函数f (2x －3)的定义域．设2x ＋3＝t ，当x ∈[－4,5)时，有t ∈[－5,13)，则函数f (t )的定义域是[－5,13)，解不等式－5≤2x －3＜13，得－1≤x ＜8，即函数f (2x －3)的定义域是[－1,8)．【知识拓展】函数的传统定义和近代定义的比较函数的传统定义(初中学过的函数定义)与它的近代定义(用集合定义函数)在实质上是一致的．两个定义中的定义域和值域的意义完全相同；两个定义中的对应法则实际上也一样，只不过叙述的出发点不同．传统定义是从运动变化的观点出发，其中对应法则是将自变量x 的每一个取值与唯一确定的函数值对应起来；近代定义则是从集合、对应的观点出发，其中的对应法则是将原象集合中任一元素与象集合中的唯一确定的元素对应起来．至于函数的传统定义向近代定义过渡的原因，从历史上看，函数的传统定义来源于物理公式，最初的函数概念几乎等同于解析式，要说清楚变量以及两个变量的依赖关系，往往先要弄清各个变量的物理意义，这就使研究受到了不必要的限制．后来，人们认识到了定义域和值域的重要性，如果只根据变量的观点来解析，会显得十分勉强，如：符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，0，－1， x >0，x ＝0，x <0，用集合与对应的观点来解释，就显得十分自然了，用传统定义几乎无法解释，于是就有了函数的近代定义．由于传统的定义比较生动、直观，有时仍然会使用这一定义．。
高中数学《第一章集合与函数概念1.2函数及其表示习题1.2》33教案教学设计讲
习题课集合学习目标1.系统和深化对集合基础知识的理解与掌握.2.重点掌握好集合间的关系与集合的基本运算．1．集合元素的三个特性：确定性，互异性，无序性．2．元素与集合有且只有两种关系：∈，.3．已经学过的集合表示方法有列举法，描述法，Venn图法，常用数集字母代号．4．集合间的关系与集合的运算符号定义Venn图子集ABx∈Ax∈B真子集ABAB且存在x0∈B但x0A并集A∪B{xx∈A或x∈B}交集A∩B{xx∈A且x∈B}补集UA(AU){xx∈U且xA}5.常用结论(1)A；(2)A∪＝A；A∪A＝A；A∪B＝AAB.(3)A∩＝；A∩A＝A；A∩B＝AAB.(4)A∪(UA)＝U；A∩(UA)＝；U(UA)＝A.1．若A＝{}x，x，则x<0.(√)2．任何集合至少有两个子集．(×)3．若{}xax2＋x＋1＝0有且只有一个元素，则必有Δ＝12－4a＝0.(×)4．设A，B为全集的子集，则A∩B＝AA∪B＝BUAUB.(√) 类型一集合的概念及表示法例1下列表示同一集合的是()A．M＝{(2,1)，(3,2)}，N＝{(1,2)}B．M＝{2,1}，N＝{1,2}C．M＝{yy＝x2＋1，x∈R}，N＝{yy＝x2＋1，x∈N}D．M＝{(x，y)y＝x2－1，x∈R}，N＝{yy＝x2－1，x∈R} 考点集合的表示综合题点集合的表示综合问题答案B解析A中M，N两集合的元素个数不同，故不可能相同；B中M，N均为含有1,2两个元素的集合，由集合中元素的无序性可得M＝N；C中M，N均为数集，显然有MN；D中M为点集，即抛物线y＝x2－1上所有点的集合，而N为数集，即抛物线y＝x2－1的y的取值，故选B.反思与感悟要解决集合的概念问题，必须先弄清集合中元素的性质，明确是数集，还是点集等．跟踪训练1设集合A＝{(x，y)x－y＝0}，B＝{(x，y)2x－3y＋4＝0}，则A∩B＝________.考点交集的概念及运算题点无限集合的交集运算答案{(4,4)}解析由x－y＝0，2x－3y＋4＝0，得x＝4，y＝4.∴A∩B＝{(4,4)}．类型二集合间的基本关系例2若集合P＝{xx2＋x－6＝0}，S＝{xax＋1＝0}，且SP，求由a的可能取值组成的集合．考点子集及其运算题点根据子集关系求参数的取值范围解由题意得，P＝{－3,2}．当a＝0时，S＝，满足SP；当a≠0时，方程ax＋1＝0的解为x＝－1a，为满足SP，可使－1a＝－3，或－1a＝2，即a＝13，或a＝－12.故所求集合为0，13，－12.反思与感悟(1)在分类时要遵循“不重不漏”的原则，然后对于每一类情况都要给出问题的解答．(2)对于两集合A，B，当AB时，不要忽略A＝的情况．跟踪训练2下列说法中不正确的是________．(填序号)①若集合A＝，则A；②若集合A＝{xx2－1＝0}，B＝{－1,1}，则A＝B；③已知集合A＝{x1<x<2}，B＝{xx<a}，若AB，则a>2.考点集合的包含关系题点集合包含关系的判定答案③解析是任何集合的子集，故①正确；∵x2－1＝0，∴x＝±1，∴A＝{－1,1}，[来源学*科*网Z*X*X*K]∴A＝B，故②正确；若AB，则a≥2，故③错误.1．已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P 的子集共有()A．2个B．4个C．6个D．8个考点交集的概念及运算题点有限集合的交集运算答案B2．下列关系中正确的个数为()①22∈R；②0∈N*；③{－5}Z.A．0C．2D．3考点元素与集合的关系题点判断元素与集合的关系答案C解析①③正确．3．已知P＝{yy＝a2＋1，a∈R}，Q＝{mm＝x2－4x＋5，x∈R}，则P与Q的关系不正确的是()A．PQB．PQC．P＝QD．P∩Q＝考点集合的包含关系题点集合包含关系的判定D解析∵P＝{}yy≥1，Q＝{}mm＝x－22＋1＝{}mm≥1，∴P＝Q.∴A，B，C皆正确．4．设全集I＝{a，b，c，d，e}，集合M＝{a，b，c}，N＝{b，d，e}，那么(IM)∩(IN)＝________.考点交并补集的综合问题题点有限集合的交并补运算答案解析(IM)∩(IN)＝I(M∪N)＝II＝.5．(2017·烟台检测)已知集合U＝R，集合A＝{}xx<－2或x>4，B＝{}x－3≤x≤3，则(UA)∩B＝________.考点交并补集的综合问题[来源学科网ZXXK]题点无限集合的交并补运算{}x－2≤x≤3解析由图知(UA)∩B＝{}x－2≤x≤3.1．要注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系，二是集合与集合的包含关系．2．在利用集合中元素相等列方程求未知数的值时，要注意利用集合中元素的互异性这一性质进行检验，忽视集合中元素的性质是导致错误的常见原因之一．。
高中数学《第一章集合与函数概念1.2函数及其表示习题1.2》314教案教学设计讲
《函数及其表示习题1.2》教学设计大通二中兰国云一、设计理念数学学习离不开解题，所以数学习题训练是数学课教学的重要环节.《普通高中数学课程标准(实验)指出，高中数学课程应注重提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一.人们在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程.这些过程是数学思维能力的具体体现，有助于学生对客观事物中蕴含的数学模式进行思考和做出判断.数学思维能力在形成理性思维中发挥着独特的作用.众所周知，解题是一种极具主动性的思维活动以活动为中介去理解和掌握知识，积极进行探索，不断地对内容再组织，从中有所领悟，有所发展，解题活动最为根本的功能就是使学生形成良好的思维品质，促进学生思维水平的提升.让学生做“精良的有丰富营养价值”的习题，促进理解内化知识、激发他们的学习兴趣，形成优良的思维品质，进而提高学生的学业成绩，促进他们的学习能力和数学思维水平的提高.二、教材分析函数是高中数学中的一个重要基本概念，函数思想更是重要的数学思想之一、而函数概念是函数思想的基础，它不仅巩固和发展了前面学习的集合，而且是学好后续知识的基础和工具、函数与代数式、方程、不等式、数列、三角函数、解析儿何、导数等内容的联系也非常密切，函数的基础知识在现实生活、社会、经济及其他学科中有着广泛的应用.函数概念及其反映出来的数学思想方法已经广泛渗透到数学的各个领域，是进一步学习数学的基础.函数的表示是本节的主要内容之一.学生在学习用集合与对应的语言刻画函数之前，比较习惯的用解析式表示函数，但这是对函数很不全面的认识.从引进函数概念开始就比较函数的不同表示方法:解析法，图象法，列表法函数的不同表示方法能丰富对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念，特别是在信息技术环境下，可以使函数在数与形两方面的结合得到更充分的表现，使学生通过函数的学习更好地体会数形结合这种重要的数学思想方法.三、学情分析学生在初中初步探讨了函数的相关知识，有一定的基础.通过高一第一节“集合”的学习，学生对集合思想的认识也日渐提高，为重新定义函数，从根本上揭示函数的本质提供了知识保证.学生在本节学习中存在的困难：1.不容易认识到函数概念的整体性，而将函数单一地理解成函数中的对度关系，甚至认为函数是函数值.2.函数符号y＝f(x)是学生难以理解的抽象符号之一，它的内涵是“对于定义域中的任意x，在对应关系f的作用下即可得到y”.在有些问题中，对应关系f可用一个解析式表示，但在不少问题中，对应关系f不便用或不能用解析式表示，这时，就必须采用其他方式，如图象或表格等，这些是学生不容易理解的.四、教学目标1.运用函数的概念求定义域和值域，应用函数的定义解决实际问题.2.注重培养学生的抽象概括能力，启发学生运用函数模型表述、思考和解决现实世界中蕴涵的规律，逐渐形成善于提出问题的习惯，学会数学表达和交流，发展数学应用意识. 五、教学重、难点教学重点：应用函数的定义解决实际问题教学难点：培养学生的抽象概括能力，启发学生运用函数模型表述、思考和解决现实世界中蕴涵的规律，逐渐形成善于提出问题的习惯，学会数学表达和交流，发展数学应用意识六、教学过程（一）本节知识结构函数映射函数的表示定义域对应关系值域解析法图像法列表法（二）习题统计、错因分析1.习题分布函数及其表示函数的概念函数的表示方法分段函数的性质计算推理A组1，2，4，6A组3，5，8，9，10B组2，3，4A组7B组12.错题统计题号A2A8A9A10B1B2B4错误人数56186201921原因函数概念理解不到位,不能形成系统性；抽象概括能力不足，运用函数模型表述、思考和解决现实世界中蕴涵的规律的数学应用意识薄弱. (三)典型错题分析A9:一个圆柱形容器的底部直径是dcm，高是hcm，现在以vcm3/s的速度向容器内注入某种溶液。
高中数学 第一章 集合与函数概念 1.2 函数及其表示教案数学教案
1.2 函数及其表示1.2.1 函数的概念 第一课时 函数的概念 三维目标定向〖知识与技能〗理解函数的概念，能用集合与对应的语言刻画函数，了解构成函数的三要素。
〖过程与方法〗1、通过丰富实例，建立函数概念的背景，体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型。
2、体会对应关系在刻画函数概念中的作用。
〖情感、态度、价值观〗通过从实际问题中抽象概括函数概念的活动，培养学生的抽象思维能力。
教学重、难点〖重点〗体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，正确理解函数的概念。
〖难点〗函数概念及符号的理解。
教学过程设计 一、知识回顾1、初中学习的函数概念是什么？设在一个变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有惟一的值与它对应，则称x 是自变量，y 是x 的函数；其中自变量x 的取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x 的值对应的y 的值叫做函数的值域。
2、思考：（1）y = 1是函数吗？（2）y = x 与2x y x=是同一个函数吗？显然，仅用初中函数的概念很难回答这些问题。
因此，需要从新的高度认识函数。
二、问题情境设疑引例1、（炮弹发射）一枚炮弹发射后，经过26s 落到地面击中目标。
炮弹的射高为845m ，且炮弹距地面的高度h （单位：m ）随时间t （单位：s ）变化的规律是：25130t t h -=（*）。
炮弹飞行时间t 的变化范围是数集A = {t |0 ≤ t ≤ 26}，炮弹距地面的高度h 的变化范围是数集B = {h | 0 ≤ h ≤ 845}。
从问题的实际意义可知，对于数集A 中的任意一个时间t ，按照对应关系（*），在数集B 中都有惟一的高度h 和它对应。
引例2、（南极臭氧空洞）近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题，如图的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979 ~ 2001年的变化情况：根据可图中的曲线可知，时间t 的变化范围是数集A = {t | 1979 ≤ t ≤ 2001}，臭氧层空洞面积S 的变化范围是数集B = {S |0 ≤ S ≤26}。
高中数学《第一章集合与函数概念1.2函数及其表示习题1.2》324教案教学设计讲
高一数学教学案第一学期第周第课时累计课时月日一、自学导航预习课本第33--34页，完成下列问题：1.列表法：用列表来表示两个变量之间的函数关系的方法叫做列表法，其优点是函数的和一目了然.2.解析法：用来表示两个变量之间的函数关系的方法叫做解析法（这个等式通常叫函数的解析表达式，简称），其优点是函数关系清楚，知道自变量的具体值容易求出其对应的，便于用解析式研究函数的性质.3.图像法：用来表示两个变量之间的函数关系的方法叫做图像法，其优点是能直观地反映函数值随变换的趋势.二、自学检测1.1nmile（海里）约合1852m，根据这一关系，则米数y关于海里数x的函数解析式为.2.购买某种饮料x听，所需钱数为y元，若每听2元，试分别用解析法，列表法，图像法将y表示成x（4,3,2,1x）的函数，（1）解析法：（2）列表法：（3）图像法三、合作释疑例1.画出函数xxf)(的图像，并求)1(),1(),3(),3(ffff的值.记录与整理学习目标1.掌握函数的三种常用表示方法；2.理解分段函数的意义，初步学会用函数的知识解决具体问题的方法.重点：函数的三种表示方法难点：分段函数函数的表示方法高一数学教学案第一学期第周第课时累计课时月日例2.某市出租汽车收费标准如下：在3km以内（含3km）路程按起步价7元收费，超过3km以外的路程按2.4元/km收费.试写出收费额（单位：元）关于路程（单位：km）的函数解析式.四、当堂达标1.画出函数3)(xxf的图像.2.（1）用长为30cm的铁丝围成矩形，试将矩形面积S（2cm）表示为矩形一边长x（单位：cm）的函数，并画出函数的图像.（2）用细铁丝围一个面积为12cm的矩形，试将所用铁丝的长度l（单位：cm）表示为矩形一边长x（单位：cm）的函数.3.已知函数2,0()0,01,0xxfxxxx，则[(0)]ff=.记录与整理小结与反思。
高中数学《第一章集合与函数概念1.2函数及其表示习题1.2》374教案教学设计讲
迁安一中数学学科教学案课题函数图像课型新授编写人谌东坡课时班级使用时间2017.7审核人谌东坡学习目标1．掌握作函数图像的两种基本方法：描点法和图像变换法．2．了解图像的平移变换、伸缩变换、对称变换，能利用函数的图像研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式的解，以达到识图、作图、用图的目的.学习重点函数图象的应用学习难点函数图象的应用一、课前预练1.函数y＝(ex－e－x)·sinx的图象大致是( )2、直线y＝1与曲线y＝2x－x＋a有四个交点，则a的取值范围是________．3.已知f(x)＝lgx，x>0，2x，x≤0，则函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点个数是________．二典型题型题型（一）函数图象的画法例1作出下列函数的图象：(1)y＝(12)x-1(2)y＝log2(x＋1)；(3)y＝2x－1x－1；题型（二）识图与辩图例2（1）(2016·全国卷Ⅰ)函数y＝2x2－ex在[－2，2]的图象大致为()（2）函数y＝2xlnx的图象大致为()例3（1）函数f(x)的部分图像如图所示，则函数f(x)的解析式是（）A．F(x)＝x＋sinxB．F(x)＝cosxxC．F(x)＝xcosxD．F(x)＝x·(x－π2)·(x－3π2)（2）、已知下图①的图像对应的函数为y＝f(x)，则图②的图像对应的函数在下列给出的四式中，只可能是（）A．Y＝f(x)B．Y＝f(x)C．Y＝f(－x)D．Y＝－f(x)23（3）若函数f(x)＝(2－m)xx2＋m的图象如图所示，则m的取值范围为()A．(－∞，－1)B．(－1，2)C．(0，2)D．(1，2)题型（三）函数图象的应用例4．（1）已知函数f(x)＝2－x－1，x≤0，f（x－1），x>0，若方程f(x)＝x＋a有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围()A．(－∞，1)B．(－∞，1C．(0，1)D．[1，＋∞)（2）函数y＝11－x的图象与函数y＝2sinπx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于()A．2B．4C．6D．8（3）已知函数y＝f(x)的周期为2，当x∈[－1,1]时f(x)＝x2，那么函数y＝f(x)的图象与函数y＝lgx的图象的交点共有()A．10个B．9个C．8个D．1个三当堂检测已知函数f(x)＝3x，x≤1，log13x，x>1，则函数y＝f(1－x)的大致图象是()板书设计函数图像1.复习。
高中数学《第一章集合与函数概念1.2函数及其表示习题1.2》3教案教学设计讲
BAf:《函数概念之定义域求法》教学设计石家庄第二实验中学任紫璇一．教学内容分析函数是高中数学的重要内容。
虽然教科书采用了集合与对应的语言定义函数的方式介绍函数概念，但函数的概念比较抽象，学生对函数的认识并不全面。
故在本节内容中，旨在让学生把握函数的本质，理解函数定义域的各种求法。
二．课程标准分析本节内容希望学生能将初中所学的用自变量和因变量的对应关系定义函数的方式，上升到原象集合中任一元素与象集合中的唯一确定的元素对应起来的函数定义方法。
函数定义域的求法更体现了函数数集对应关系的本质。
三．学情分析学生对于定义域的理解比较浅显，无法通过函数的本质理解同一函数式下不同的表示方式下x的取值不同的意思。
四．重难点分析本节教学的重点是使学生在已有认识的基础上，学会用集合与对应的语言的语言刻画函数概念，理解函数定义域求解得本质。
五．教学过程设计（一）知识回顾意义：强调函数的定义为集合与对应语言。
（二）概念深入，引发思考函数概念的本质是两个非空数集之间的对应关系。
故相等的两个函数，它们所对应的数集A以及对应关系应该是完全一样的。
（三）课堂引入，活化知识如何求函数的定义域？函数的定义域是指能使式子有意义的x的集合。
常见的求函数定义域方法R.23)()(.1定义域为是整式。
Xxfxf3.31)(.)(.22xxxxfxf定义域为是分式33,3)(.)(.32xxxxxfxf或定义域为是根式（四）题型剖析，发现逻辑例1若函数)(xf的定义域为[1,4],求函数)2(xf的定义域。
解：考虑到函数的本质为数集与数集之间的对应。
函数不变，那么数集和对应关系都不变例2若函数)2(xf的定义域为[1,4],求函数)(xf的定义域。
8,2(）的定义域为函数xf4,1)(中元素的取值范围即中的元素，故数集表示数集中用AAxxf4,122)2(的取值范围为中的元素，故表示数集中用xAxxf2,21)2(的定义域为函数xf8,2)(8,22)2(的取值范围该为中的元素，故表示数集中用中元素的取值范围即中的元素，故数集表示数集中用解：xAxxfAAxxfABfABfxx24,1x2x8,21xx25,2例3若函数)1(xf的定义域为[1,4],求函数)2(xf的定义域。
高中数学《第一章集合与函数概念1.2函数及其表示习题1.2》399教案教学设计讲
函数概念一、知识梳理1．概念：一般地，设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中任意一个数x，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称BAf:为从集合A到集合B的一个函数，记作.),(Axxfy其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（注意定义域的写法）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合})({Axxf 叫做函数的值域.注意：⑴定义域,值域,对应关系f称为函数的三要素.B不一定是函数的值域,值域由定义域和对应关系f确定.⑵两个函数相同必须是它们的定义域和对应关系分别完全相同.函数一次函数二次函数反比例函数0a对应关系定义域值域2、区间的概念明确以下几点：1>区间的左端点必小于右端点2>以“”或“”为区间一端时，这一端必须是小括号二、同步题型分析1：下列图像中不能作为函数y=f(x)图像的是（）2：集合22Mxx，02Nyy，给出下列四个图形，其中能表示以M为定义域，N为值域的函数关系的是（）xyOxOxyOABCDxyO3：下列四个图象中，不是函数图象的是（）.4、函数1262xxy的定义域是__________5、函数54xxy的定义域是__________6：函数y＝23x＋30323xx）（的定义域是________.7、求定义域221533xxyx三、同步跟踪1．下列四组中f(x)，g(x)表示相等函数的是(x y 0 -2 2 x y 0 -2 2 2 x y 0 -2 2 2 x y 0 -22 A.B.C .D. x O y x x x y y y OOA.B.C.D.A．F(x)＝x，g(x)＝(x)2B．F(x)＝x，g(x)＝3x3C．F(x)＝1，g(x)＝xxD．F(x)＝x，g(x)＝x2．下列各组函数表示相等函数的是( )A．Y＝x2－4x－2与y＝x＋2B．Y＝x2－1与y＝x－1C．Y＝(x0－1)0(x≠1)与y＝1(x≠1) D．Y＝2x＋1，x∈Z与y＝2x－1，x∈Z 3.下面各组函数中为相同函数的是（）A．1)(,)1()(2xxgxxfB．11)(,1)(2xxxgxxfC．22)1()(,)1()(xxgxxfD．21)(,21)(22xxxgxxxf4.设有函数组：①yx，2yx；②yx，33yx；③yx，xyx；④1(0),1(0),xyx，xyx；其中表示同一个函数的有_______．四、专题精讲1.已知f(x)=3x2－5x+2,求f(3),f(－2),f(a),f(a+1),f[f(a)].2.已知函数f(x)＝x2＋x－1.(1)求f(2)，f(1x)，f(a)．(2)若f(x)＝5，求x.3.已知()fx＝2x＋x＋1，则(2)f＝______；f［(2)f］＝______．4.已知f(x)＝2x＋a，g(x)＝14(x2＋3)，若g[f(x)]＝x2＋x＋1，求a的值5.已知函数0),4(0),4()(xxxxxxxf求f(1),f(-3),f(a-1)的值。
高中数学《第一章集合与函数概念1.2函数及其表示习题1.2》39教案教学设计讲
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课后提升作业三集合间的基本关系(45分钟70分)一、选择题(每小题5分，共40分)1.下列说法正确的是()A.0∈B.={0}C.中元素的个数为0D.没有子集【解析】选C.空集是不含任何元素的集合，故中元素的个数为0.2.(2016·菏泽高一检测)集合A={-1，0，1}，A的子集中，含有元素0的子集共有()A.2个B.4个C.6个D.8个【解题指南】根据题意，列举出A的子集中含有元素0的子集，进而可得答案.【解析】选B.根据题意，在集合A的子集中含有元素0的子集有{0}，{0，1}，{0，-1}，{-1，0，1}，4个.3.设B={1，2}，A={xxB}，则A与B的关系是()A.ABB.BAC.A∈BD.B∈A【解题指南】由xB，可知x为集合B的子集，即可求出A中元素，从而判断A，B关系.圆学子梦想铸金字品牌-2-【解析】选D.因为B的子集为{1}，{2}，{1，2}，，所以A={xxB}={{1}，{2}，{1，2}，}.所以B∈A.【误区警示】本题易错选B，错选的原因是不能分清集合B 是集合A的元素还是子集.4.(2016·铜陵高一检测)集合A={yy=-x2+4，x∈N，y∈N}的真子集的个数为()A.9B.8C.7D.6【解析】选C.由x∈N，y∈N，所以当x=0时，y=4，当x=1时，y=3，当x=2时，y=0.所以集合A={yy=-x2+4，x∈N，y∈N}={0，3，4}中有3个元素，则其子集有23=8个，真子集的个数为8-1=7.5.(2016·贵阳高一检测)设A={1，4，2x}，B={1，x2}，若BA，则x=()A.0B.-2C.0或-2D.0或±2【解析】选C.因为A={1，4，2x}，B={1，x2}，若BA，则x2=4或x2=2x，解得x=2或x=-2或x=0.当x=2时，集合A={1，4，4}不成立.当x=-2时，A={1，4，-4}，B={1，4}，满足条件BA.当x=0时，A={1，4，0}，B={1，0}，满足条件BA.故x=0或x=-2.6.已知A={x1<x<2015}，B={xx≤a}，若AB，则实数a的取值范围为()圆学子梦想铸金字品牌-3-A.a≥2015B.a>2015C.a≥1D.a>1【解析】选A.由A={x1<x<2015}，B={xx≤a}，且AB，所以有a≥2015.7.(2016·济南高一检测)设集合M=，N=，则()A.M=NB.MNC.MND.以上都不对【解析】选B.对于集合M中元素x=+=，k∈Z，集合N中元素x=+=，k∈Z，所以MN.8.已知集合A={-1，1}，B={xax+1=0}，若BA，则实数a的所有可能取值的集合为()A.{-1}B.{1}C.{-1，1}D.{-1，0，1}【解析】选D.当a=0时，B=，满足题意，当a≠0时，B=，由BA，所以-=1或-=-1，故a=-1或a=1.故a的取值集合为{-1，0，1}.【补偿训练】(2016·广州高一检测)已知集合M={a，b，c}，集合A={xxM}，则集合A有几个元素()A.3B.6C.7D.8【解题指南】由结论求出集合M={a，b，c}的子集个数，再由集合A中元素的特圆学子梦想铸金字品牌-4-征求出元素的个数.【解析】选D.因为集合M={a，b，c}的子集个数是23=8个，所以集合A={xxM}中有8个元素.二、填空题(每小题5分，共10分)9.(2016·杭州高一检测)设集合A={x-3≤x≤2}，B={x2k-1≤x≤2k+1}，且BA，则实数k的取值范围是.【解析】因为B={x2k-1≤x≤2k+1}，故B≠，又BA，所以有即-1≤k≤.答案：-1≤k≤【补偿训练】(2016·南京高一检测)已知A={xx≤-2}，B={xx<m}，若BA，则实数m的取值范围是.【解析】因为A={xx≤-2}，B={xx<m}，又BA，故得m≤-2.答案：m≤-210.(2016·成都高一检测)已知集合A={x∈Rx2-3x+4=0}，则A的子集个数为.【解析】集合A中元素为方程x2-3x+4=0的根，由于Δ=(-3)2-4×4=-7<0，所以方程x2-3x+4=0无解，故A=，所以A的子集个数为1.答案：1【延伸探究】若“集合A={x∈Rx2-3x+4=0}”改为“集合A={x ∈Rx2-3x-4=0}”，圆学子梦想铸金字品牌-5-则结论如何？【解析】集合A中元素为方程x2-3x-4=0的根，即(x-4)(x+1)=0，所以x=-1或x=4，所以A={-1，4}，因此集合A的子集为：，{-1}，{4}，{-1，4}共4个.答案：4三、解答题(每小题10分，共20分)11.设集合A={xx2-5x+6=0}，B={xx2-(2a+1)x+a2+a=0}，若BA，求a的值.【解析】A={xx2-5x+6=0}={2，3}，B={xx2-(2a+1)x+a2+a=0}={x(x-a)(x-a-1)=0}={a，a+1}.因为a≠a+1，所以当BA时，只有a=2且a+1=3，所以a=2.12.已知集合A={x1≤x≤2}，B={x1≤x≤a，a≥1}.(1)若AB，求a的取值范围.(2)若BA，求a的取值范围.【解题指南】利用数轴分析法求解.【解析】(1)若AB，由图可知，a>2.(2)若BA，由图可知，1≤a≤2.。
高中数学《第一章集合与函数概念1.2函数及其表示习题1.2》238教案教学设计讲
1.2.1函数的概念引入;在初中,我们把函数看成是刻画和描述两个变量之间依赖关系的数学模型.设在某变化过程中有两个变量x，y。
如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量。
在现实生活中,我们可能会遇到下列问题:(1)我国人口随年份的变化而变化,如:见书你根据这个表说出在这几年中我国人口的变化情吗?这是通过1969—1999年我国人口数据表来体现人口随年份的变化而变化在现实生活中,我们可能会遇到下列问题:(2)一物体从静止开始下落,下落的距离y(m)与下落时间x(s)之间近似地满足关系式y=4.9x2.(3)若一物体下落2s,你能求出它下落的距离吗?(4)这是通过代数表达式来体现:距离随时间的变化而变化在现实生活中,有时我们还用图象来表达两个变量之间的变化关系,如:见书(1)上午6时的气温约是多少?全天的最高、最低气温分别是多少?(2)在什么时刻,气候为00C?(3)在什么时段内,气温在00C以上?新课讲解一般地,设A,B是两个非空的数集,如果按某种对应法则f,对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)与它对应,这样的对应叫做从A到B的一个函数(functin),通常记为:y=f(x),x∈A.其中,所有的输入值x组成的集合A叫做函数y=f(x)的定义域(domain).所有的输出值y组成的集合C叫做函数y=f(x)的值域(range).一个变量的取值确定后，另一个变量的值也随之确定，则他们都是函数。
对于函数的意义，应从以下几个方面去理解：（2）对于变量y可能取到的每一个值组成的集合B为函数y=f(x)的值域.（2）变量x与y有确定的对应关系，即对于x允许取的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应。
判断标准：两个非空数集A、B，一个对应法则f，A中任一对B中唯一。
几类函数的定义域：（1）如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R （2）如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合（3）如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合（4）如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合.（即求各集合的交集）（5）满足实际问题有意义例3见书怎样理解相同的函数:由函数的概念可以知道，若变量x与变量y之间有着某种特殊的对应关系（即对应法则），且变量x在它的取值范围内任取一个值，变量y都有唯一确定的值与它对应，则变量y是变量x的函数。
高中数学《第一章集合与函数概念1.2函数及其表示习题1.2》349教案教学设计讲
第一节函数及其表示教学目的：掌握函数的概念，理解函数的表示法教学重点：求一些简单函数的定义域和值域教学难点：求函数的解析式及相关应用教学过程：一、复习1．函数与映射的概念函数映射定义建立在两个非空数集A到B的一种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应建立在两个非空集合A到B的一种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应记法y＝f(x)，x∈Af：A→B2.函数的三要素函数由定义域、对应关系和值域三个要素构成，对函数y＝f(x)，x∈A，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做定义域，与x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)x ∈A}叫做值域。
3．函数的表示法表示函数的常用方法：解析法、列表法、图象法。
4．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数。
分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数。
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数。
二、自我检测1、若函数y＝f(x)的定义域为{x－3≤x≤8，x≠5}，值域为{y－1≤y≤2，y≠0}，则y＝f(x)的图象可能是()答案B2、如图是张大爷晨练时离家距离(y)与行走时间(x)之间的函数关系的图象。
若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是(答案D3、设函数f(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则g(x)的表达式是()A．G(x)＝2x＋1B．G(x)＝2x－1C．G(x)＝2x－3D．G(x)＝2x＋7答案B4、设函数f(x)＝1－x，x≥0，2x，x<0，则f(f(－2))等于()A．－1B．14C．12D．32答案C5、下列四组函数中，表示同一函数的是(A．Y＝x－1与y＝x－12B．Y＝x－1与y＝x－1x－1C．Y＝4lgx与y＝2lgx2D．Y＝lgx－2与y＝lgx100答案D6、设函数f(x)＝x，x≥0，－x，x<0，若f(a)＋f(－1)＝2，则a＝________。
高中数学《第一章集合与函数概念1.2函数及其表示习题1.2》381教案教学设计讲
永城市第一高级中学付华3解析]设f(x)＝ax＋b，则ff(x)]＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x ＋ab＋b＝4x＋3，所以a2＝4且ab＋b＝3，解得a＝－2，b ＝－3或a＝2，b＝1.故所求的函数为f(x)＝－2x－3或f(x)＝2x＋1.(2)求下列函数的解析式：①已知f(x)＝x2＋2x，求f(2x－1)；②已知f(x－1)＝x＋2x，求f(x)；③设f(x)是定义在区间(1，＋∞)上的一个函数，且有f(x)＝2xf1x－1，求f(x)．②令t＝x－1，则t≥－1，且x＝t＋1，所以f(t)＝(t＋1)2＋2(t＋1)＝t2＋4t＋3.故所求的函数为f(x)＝x2＋4x＋3(x≥－1)．③因为f(x)＝2xf1x－1，所以用1x代换x，得f1x＝21xf(x)－1.消去f1x，得f(x)＝4f(x)－2x－1，所以f(x)＝23x＋13.又因为x∈(1，＋∞)，所以f(x)＝23x＋13，x∈(1，＋∞)．变式(1)已知f(x)＋3f(－x)＝2x＋1，则f(x)的解析式是()A．F(x)＝x＋14B．F(x)＝－2x＋14C．F(x)＝－x＋14D．F(x)＝－x＋12答案]C解析]因为f(x)＋3f(－x)＝2x＋1，①所以把①中的x换成－x得f(－x)＋3f(x)＝－2x＋1.②由①②解得f(x)教师：运用ppt演示给出变式训练题学生：独立思考并独立完成解答过程师生共同归纳总结出求函数解析式的几种常用方法：(1)待定系数法：当已知函数类型时，常用待定系数法．(2)代入法：已知y＝f(x)的解析式，求函数y＝fg(x)]的解析式时，可直接用新自变量g(x)替换y＝f(x)中的x. (3)换元法：已知y＝fg(x)]的解析式，求y＝f(x)的解析式，可用换元法，即令g(x)＝t，反解出x，然后代入y＝fg(x)]中，求出f(t)，即得f(x)．(4)构造方程组法：当同一个对应关系中的两个自变量之间有互为相反或者互为倒数关系时，构造方程组求解．用，培养学生应用知识能力和创新能力。
高中数学《第一章集合与函数概念1.2函数及其表示习题1.2》313教案教学设计讲
1第一节函数及其表示[基础知识填充]1．函数与映射的概念函数映射两集合A，B设A，B是两个非空的数集设A，B是两个非空的集合对应关系f：A→B如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射记法函数y＝f(x)，x∈A映射：f：A→B2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，自变量x的取值范围(数集A)叫做函数的定义域；函数值的集合{f(x)x∈A}叫做函数的值域．(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．(3)相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数．(4)函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．3．分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．[知识拓展]21．函数与映射的本质是两个集合间的“多对一”和“一对一”关系．2．分段函数是高考必考内容，常考查(1)求最值；(2)求分段函数单调性；(3)分段函数解析式；(4)利用分段函数求值，解题的关键是分析用哪一段函数，一般需要讨论．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数是特殊的映射．()(2)函数y＝1与y＝x0是同一个函数．()(3)与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点．( )(4)分段函数是两个或多个函数．()[答案](1)√(2)×(3)√(4)×2．(教材改编)函数y＝2x－3＋1x－3的定义域为()A．32，＋∞B．(－∞，3)∪(3，＋∞)C．32，3∪(3，＋∞)D．(3，＋∞)C[由题意知2x－3≥0，x－3≠0，解得x≥32且x≠3.]3．如图2-1-1所示，所给图象是函数图象的有()图2-1-1A．1个B．2个C．3个D．4个B[①中，当x＞0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此①不是函数图象；②中，当x＝x0时，y的值有两个，因此②不是函数图象；③④中，每一个x的值对应唯一的y值，因此③④是函数图象，故选B．]4．设函数f(x)＝x2＋1，x≤1，2x，x＞1，则f(f(3))＝________.3139[f(3)＝23，f(f(3))＝232＋1＝139.]5．(2015·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝ax3－2x的图象过点(－1,4)，则a＝________.－2[∵f(x)＝ax3－2x的图象过点(－1,4)，∴4＝a×(－1)3－2×(－1)，解得a＝－2.]求函数的定义域(1)(2018·济南一模)函数f(x)＝2x－12＋3x＋1的定义域为________．(2)若函数y＝f(x)的定义域为[0,2]，则函数g(x)＝f2xx－1的定义域是________．(1)(－1，＋∞)(2)[0,1)[(1)由题意得2x－12≥0，x＋1≠0，解得x＞－1，所以函数f(x)的定义域为(－1，＋∞)．(2)由0≤2x≤2，得0≤x≤1，又x－1≠0，即x≠1，所以0≤x＜1，即g(x)的定义域为[0,1)．][规律方法]函数定义域问题的类型及求解策略1已知函数解析式，构造使解析式有意义的不等式组求解. 2实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式组求解.3抽象函数：①若已知函数fx的定义域为[a，b]，其复合函数fgx的定义域由不等式a≤gx≤b求出；②若已知函数fgx的定义域为[a，b]，则fx的定义域为gx 在x∈[a，b]时的值域.③已知f[φx]定义域为[m，n]，求f[hx]定义域，先求φx 值域[a，b]，令a≤hx≤b，解出x即可.4[跟踪训练](1)函数f(x)＝3x21－x＋lg(3x＋1)的定义域是()A．－13，1B．－13，＋∞C．－13，13D．－∞，－13(2)已知函数f(2x)的定义域为[－1,1]，则f(x)的定义域为________.(1)A(2)12，2[(1)由题意可知1－x＞0，3x＋1＞0，解得x＜1，x＞－13，∴－13＜x＜1，故选A．(2)∵f(2x)的定义域为[－1,1]，∴12≤2x≤2，即f(x)的定义域为12，2.]求函数的解析式(1)已知fx＋1x＝x2＋1x2，求f(x)的解析式；(2)已知f2x＋1＝lgx，求f(x)的解析式；(3)已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，求f(x)的解析式；(4)已知f(x)＋2f1x＝x(x≠0)，求f(x)的解析式．[解](1)由于fx＋1x＝x2＋1x2＝x＋1x2－2，令t＝x＋1x，当x ＞0时，t≥2x·1x＝2，当且仅当x＝1时取等号；当x＜0时，t＝－－x－1x≤－2，当且仅当x＝－1时取等号，∴f(t)＝t2－2t∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．综上所述．F(x)的解析式是f(x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．(2)令2x＋1＝t，由于x＞0，∴t＞1且x＝2t－1，5∴f(t)＝lg2t－1，即f(x)＝lg2x－1(x＞1)．(3)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝2，得c＝2，f(x ＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)－ax2－bx＝x－1，即2ax ＋a＋b＝x－1，∴2a＝1，a＋b＝－1，即a＝12，b＝－32，∴f(x)＝12x2－32x＋2.(4)∵f(x)＋2f1x＝x，∴f1x＋2f(x)＝1x.联立方程组fx＋2f1x＝x，f1x＋2fx＝1x，解得f(x)＝23x－x3(x≠0)．[规律方法]求函数解析式的常用方法1待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法.2换元法：已知复合函数fgx的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.3构造法：已知关于fx与f1x或f－x的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出fx.[跟踪训练](1)已知f(x＋1)＝x＋2x，求f(x)的解析式；(2)设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等实根，且f′(x)＝2x＋2，求f(x)的解析式．[解](1)法一：(换元法)设x＋1＝t(t≥1)，则x＝t－1，所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)，所以f(x)＝x2－1(x≥1)．。
高中数学《第一章集合与函数概念1.2函数及其表示习题1.2》32教案教学设计讲
1《函数及其表示》习题课一、基础知识1、映射一般地，设A、B是两个集合，如果按照对应法则f，对于集合A中的______元素a在集合B中都有________的元素b和它对应，那么这样的对应叫做集合A到集合B的映射。
记作f：A→B。
元素b叫做元素a的象，a叫做b的原象。
练习：设A、B都是自然数集N，映射f:A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2n+n，则在映射f下，象20的原象为（）A2B3C4D52、函数：如果A、B都是_______的集合，那么A到B的映射f：AB就叫做A到B的函数，记作y=f（x）,（x∈A,y∈B）其意义是：y等于x在法则f下的对应值。
（1）原象的集合A叫做函数y=f（x）的________，象的集合C叫做函数y=f（x）的值域，有CB；研究函数遵循“____________________”的原则；（2）函数的三要素：_________,____________,_____________。
三要素中，只要有一个不同的两个函数，就是不同的函数。
（3）分段函数：若函数在定义域的不同子集上对应法则不同，可以有几个式子来表示，这种形式的函数叫分段函数。
如：)0(,)0(,)(xxxxxf，求)2(),1(ff.（4）复合函数：若y=f（u）,u=g（x）,那么y=f[g（x）]叫做复合函数，其中u=g（x）叫内函数，y=f（x）叫外函数。
U为中间变量。
3、函数的表示方法有：___________,___________,_____________.练习1、下列对应是否为从A到B的映射？能否构成函数?①A=R,B=R,f:xy=11x②A=R,B={1},f:xy=1③A={xx≥0},B=R,f:xy,y2=x④A={x*21Nx},B={yy=*,1Nnn},f:xy=x1练习2、在映射f:AB中，X是原象集合，Y是象的集合，则A_____X,B___Y练习3、已知函数f（x）的定义域为[-1，5]，在同一坐标系下，函数y=f（x）的图像与直线x=1交点的个数为（）A0个B1个C2个D0个或1个均有可能（回到定义去）练习4、下列函数中，与函数y=x是同一函数的是（）xxyxyxyxy223323)4(;)3(;)2(,)1(A（1）B（2）C（3）D（4）二、几点注意1、“一对一”“多对一”两对应为映射，函数是特殊的映射，是非空数集到非空数集的映射。
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任意角的三角函数教学设计
鲁史中学
李冬梅
一、教学内容解析
本节课是必修4第一章《三角函数》第1.2节的内容，三角函数是描述客观世界中周期性变化规律的重要数学模型，在其它学科领域也有着广泛的应用.任意角的三角函数是函数的下位概念，它建立在锐角三角函数概念的基础上，是对锐角三角函数概念的推广.
引入锐角三角函数的概念，目的是为了研究三角形中的边角关系，定义侧重于从几何的角度，在直角三角形中得到角与边的比值之间的确定关系.而引入任意角三角函数的概念，是为了研究周期变化现象，定义借助平面直角坐标系后，侧重于从代数的角度，以单位圆为工具，得到角和其终边与单位圆交点坐标的确定关系.在弧度制下，是数集到数集的映射.
本节课是在学习完“任意角和弧度制”后的第一节新授课，教材中对任意角的三角函数的定义有两种——在单位圆下的定义法和一般的定义（推广定义）.从研究任意角的三角函数作用看，单位圆定义法显得更为简单直观，为后续研究
三角函数性质埋下伏笔；从数学史发展看，单位圆定义法对描述周期性变化规律模型起到推动作用.因此，本教学设计从学生已有的反映周期现象变化的日常经验出发，以数学实际应用为线索，完成任意角的三角函数的建构过程.
二、教学目标
知识与技能：理解任意角三角函数的一般定义和单位圆下的定义，并会运用定义求解对应练习。
过程与方法：经历任意角的三角函数的定义，培养合情猜测的能力，体会函数模型的作用,分类讨论的数学思想.
情感、态度与价值观：通过学生积极参与知识“发现”与“形成”的过程，加深对数学概念本质的理解，感悟数学概念的严谨性与科学性.
重点:
任意角三角函数的两种定义.
难点：任意角三角函数概念的建构过程.
三、教学流程
(一)1、创设情境、引出主题
PPT图片展示一年春夏秋冬四季轮回，月像的周期变化现象，一天的昼夜更替，和一天二十四小时的周期现象。
师：在我们的生活中存在着很多的周期现象，而我们今天就要来学习一种新的函数来描述这种周期现象，这就是这节课我们要学习的内容，任意角的三角函数.
设计意图
让学生从实际经验出发，以解决实际问题为背景，引入任意角三角函数概念，突出研究问题的“周期性”特点.让学生体会本节课的重要意义，同时产生浓厚的兴趣。
2、复习巩固，导入新课
（1）在初中我们是如何定义锐角三角函数的？
(2)你能用锐角三角函数的定义计算?32sin
师：显然，32已经超出了锐角的范围，锐角被推广到了任意角，已不能找到对边，邻边与斜边了，无法借助边的关系来计算，所以我们需要借助更具一般性的东西重新扩充定义三角函数。
设计意图
为引出任意角的三角函数做准备，按照从特殊到一般地策略来探究，对任意角概念的理解是
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yxαOP=rtanα=yxcosα=xrsinα=yrOP(x,y)学习本节课的基础.让学生感受到接下来学习新知识的必要性.
（二）诱思探究，讲授新课
探究一：任意角三角函数的一般定义
问题1：我们探究任意角时借助了什么数学工具？
生：平面直角坐标系
问题2：在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？
师：接下来，我们把角放在平面直角坐标系中，以原点为圆心，半径为r做圆，与角的终边交于点P，假设点P坐标为(,)xy，利用初中对锐角三角函数定义，MPsin=OP，MP即y，即r.
得到，sin=yr.
师：三角函数只有这一个吗？OP
生：还有余弦，正切.
师：你能仿照正弦利用坐标给出它们的类似定义吗？
生：cosxr，tanyx
师：这样就将边的关系转变为坐标的关系，更具有一般性。
问题3：如果改变点Ｐ在终边上的位置，这三个比值会改变吗？
生：不会，由相似三角形知识，比值是唯一确定的.
师：从高中函数定义来看，他们是真正意义上的函数吗？生：是的，任意给定角，其终边唯一确定，终边与圆的交点P就唯一确定，比值随之唯一确定.
概念生成：
任意角的三角函数的一般定义（推广）：设角
是一个任意角，),(yxp
是终边上的任意一点（异于原点），点
p
与原点的距离022yxr
那么：)0(;cos;sinxxyrxry的正切，即：的余弦，即：的正弦，即：
设计意图
让学生感受到任意角三角函数定义中，坐标系的引入是自然的，有必要的.，让学生感受将边的关系转变为坐标的关系的过程。
探究二：任意角的三角函数在单位圆下的定义
问题1：三角函数值与点p在终边上的位置无关，那点P是否有一个比较合适的位置，使得三角函数的定义式更加简洁？
诱导：利用单位圆,
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生：另=1r，则sin=y，cosx，tanyx
师：此时点P具有什么特点？
生：点P即是角终边与单位圆的交点.
师：我们就把上面这三个函数称为任意角的三角函数.我们又利用了单位圆又重新定义了任意角的三角函数。
其实，我们可以发现，任意角的三角函数是以角作为自变量，以坐标或者坐标的比值为函数值的函数，即从角的集合到实数集的一种对应关系.
设计意图
这里采用概念同化的学习方式，让学生理解定义的合理性，
理解概念的背景和生成过程.
（三）例题剖析
例1：?32sin
总结：针对已知终边上的点的坐标，求三角函数值的题型，一般采用单位圆下的定义。
例2.已知角的终边经过点)4,3(0p
，求角的正弦、余弦和正切值。
总结：针对已知终边上的点的坐标，求三角函数值的题型，一般采用一般的定义。
设计意图
让学生学会选用合适的定义去解题。
（四）巩固提高
(五）小结反思
通过本节课的学习，谈谈你对三角函数有哪些新的认识？在认知过程中有哪些体会？
设计意图
让学生回顾所学内容，体会任意角三角函数是刻画圆周运动的重要数学模型，它实质上就是以
角为自变量，以角的终边与单位圆交点坐标或坐标比为函数值的函数.体会数形结合、化归等思想方法的
应用.
练习1.求
的正弦、余弦和正切值.
练习2.已知角α的终边上一点P(-15a,8a）（0aRa且），求角的值的tan,cos,sin。
练习3、已知角.tan,cos,sin2的上，求角的终边在直线xy 设计意图
巩固练习，加强重点知识的掌握，变式训练锻炼学生思维，加强分类讨论的数学思想。
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（六）作业布置
设计意图
巩固知识，为下节课内容做好准备。
(七）板书设计
设计意图
简洁明了，重点明确，思路清晰。
1、基础题
2、思考题
（1）三角函数在弧度制下的定义域
（2）三角函数在各象限的符号
(1)平面直角坐标系中，角α的终边与单位圆的交点A，点A 的纵坐标为
，求tanα.
53标题
（2）若点P(2，y）是角α终边上的一点，且满足y<0，cos α=
,则tanα=______.
53一、一般定义
二、单位圆下的定义
例题
练习。