小学数学常用解题技巧(解几何题技巧)

小学数学常用解题技巧:解几何题技巧

解几何题技巧

1.等分图形

【均分整体】有些几何问题，只要把大图形均分为若干个小图形，就能找到问题的答案。

例如，下面两图中的正方形分别内接于同一个等腰直角三角形（内接指四个顶点全在三角形的边上）。已知左图（图4.11）中正方形面积为72平方厘米，求右图（ 4.12）中正方形的面积。

由于左右两个三角形完全相同，我们不妨把这两个图形进行等分，看看这两个正方形分别与同一个等腰直角三角

形有什么样的关系。等分后的情况见图 4.13和图 4.14。

积是

图4.12的正方形面积是

【均分局部】有些几何问题，整体的均分不太方便，或不能够办到，这时可以考虑把它的局部去均分，然后从整

体上去观察，往往也能使问题获得解决。

例如图 4.15，在正方形ABCD中，画有甲、乙、丙三个小正方形。问：乙、丙面积之和与甲相比，哪一个大些？

大家由前面的“均分整体”已经知道，像甲、乙这样的两个正方形，面积不是相等的。如图 4.16，经过等分，正方形甲的面积等于△ABC面积的一半；正方形丙的面积等于△EDF的一半，正方形乙的面积等于梯形ACFE面积的一半。这样，一个大正方形ABCD，就划分成了三个局部：等腰直角△ABC；等腰梯形ACFE；等腰直角△EDF。其中甲、乙、丙的面积分别为各自所在图形的一半，而△EDF的面积加梯形ACFE的面积等于△ADC的面积，即等于△ABC的面积。所以，乙、丙面积之和等于甲的面积。

2.平移变换

【平移线段】有些几何问题，通过线段的上、下、左、右平移以后，能使问题很快地得到正确的解答。

例如，下面的两个图形（图 4.17和图4.18）的周长是否相等？

单凭眼睛观察，似乎图 4.18的周长比图 4.17的要长一些。但把有关线段平移以后，图 4.18就变成了图 4.19，其中的线段，有的上移，有的左移，有的右移，它可移成一个正方形。于是，不难发现两图周长是相等的。

【平移空白或阴影部分】有些求阴影部分或空白部分面积的几何题，采用平移空白部分或平移阴影部分的办法，

往往能化难为易，很快使问题求得解答。例如，计算图 4.20中阴影部分的面积。

圆面积”，然后相加，得整个阴影部分的面积。这显然是很费时费力的。但认真观察一下就会发现，图 4.20左半左上部的空白部分，与右半左上部的阴影部分大小一样，只需将右半左上部的阴影部分，平移到左半左上部的空白部分，所

有的阴影部分便构成一个正方形了（如图 4.21）。所以，阴影部分的面积很快就可求得为5×5=25。

又如，一块长30米，宽24米的草地，中间有两条宽2米的走道，把草地分为四块，求草地的面积（如图 4.22）。

这只要把丙向甲平移靠拢，把丁向乙平移靠拢，题目也就很快能解答出来了。（具体解法略）

3.旋转变换

【旋转成定角】例如下面的题目：

“在图 4.23中，半径为8厘米的圆的内外各有一个正方形，圆内正方形顶点都在圆周上，圆外正方形四条边与圆

都只有一个接触点。问：“大正方形的面积比小正方形的面积大多少？”

按一般方法，先求大、小正方形的面积，再求它们的差，显然是有难度的。若将小正方形围绕圆心旋转45°，使原图变成图 4.24，容易发现，小正方形的面积为大正方形面积的一半。所以，大正方形面积比小正方形的面积大（8×2）×（8×2）÷2

=16×16÷2

=128（平方厘米）

又如，如图 4.25，求正方形内阴影部分的面积。（单位：厘米）

表面上看，题目也是很难解答的。但只要将两个卵叶片形的阴影部分绕正方形的中心，分别按顺时针和逆时针方

向旋转90°，就得到了一个由阴影部分组成的半圆（如图 4.26），于是，阴影部分的面积就很容易解答出来了。（解答略）

【开扇式旋转】有些图形相互交错，增加了解答的难度。若像打开折扇一样，绕着某个定点作“开扇式”旋转，

往往会使人顿开茅塞，使问题很快获得解决。例如，求图 4.27的阴影部分的面积（单位：厘米）。若采用正方形面积减空白部分面积的求法，

计算量是很大的。由于它是由两个形状相同的扇形交叉重叠而成的，我们不妨把右下部的扇形打开，顺时针方向

旋转90°，得到图 4.28；再继续旋转，得到图 4.29。在图 4.29中，阴影部分面积便是半圆面积减三角形面积的差。所

以，阴影部分面积是

42×3.14÷2-（4+4）×4×2

=25.12-16

=9.12（平方厘米）

又如，求图 4.30阴影部分的面积（单位：厘米）。

将这个图从中间剪开，以o为旋转中心，将右半部分按顺时针方向转到左半部下方，便变成了图 4.31。于是，阴影部分的面积便是半圆面积减去两直角边均为2厘米的一个空白等腰直角三角形面积的差。即

（4÷2）2×3.14÷2-2×2÷2

=6.28-2

=4.28（平方厘米）

4.对称变换

【将军饮马】据说古代希腊有一位将军向当时的大学者海伦请教一个问题：从A地出发到河边饮马，再到B地（如