(第43讲) 平面的法向量在立体几体中的应用
平面法向量在立体几何中的应用
平面法向量在立体几何中的应用作者：张凤丽来源：《新课程·中学》2014年第04期高中数学提出了法向量的概念，它在立体几何研究中有着重要应用。
法向量从另一个角度描述了平面的具体位置关系，因而一部分与平面有关的问题，若能借助于法向量来解决，往往能避开传统方法中的诸多不便。
下面就具体来谈一谈法向量的应用。
一、法向量在直线与平面所成的角中的应用如图，平面α与平面α的一条斜线AB，n为平面α的法向量，■为直线AB的方向向量，易得：直线AB与平面α所成的角等于■-或等于-■。
■例1.在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB与C1D1的中点，求A1B1与截面A1ECF所成角的正弦值。
解：如图，以A为原点，分别以AB，AD，AA1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则有E（■，0，0），A1（0，0，a），F（■，a，a），B1（a，0，a），■设截面A1ECF的法向量为n=（x，y，z）因为■=（■，0，-a），■=（■，a，0），■=（a，0，0），所以：■·n=（■，0，-a）·（x，y，z）=0，■·n=（■，a，0）·（x，y，z）=0即：■x-az=0且■x+ay=0，解得x=2z，y=-z，令z=1，则n=（2，-1，1），∵cos=■=■=■，设A1B1与截面A1ECF所成角为θ，易知θ=■，∴sinθ=cos=■。
二、法向量在有关平面与平面所成角问题中的应用如图，设n1，n2分别为二面角α-l-β的两个半平面α、β的法向量，易知：与二面角α-l-β的平面角θ之间的关系为：θ=π-或者θ=，因此只要确定了两平面的法向量，即可求出二面角的大小。
■例2.如图在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=2AD，求平面SCD与平面SBA所成的二面角θ的正切值。
■分析：此题若用传统的“一作，二证，三计算”的方法去解，过程很繁杂，利用向量来解就较简单。
法向量在立体几何中的应用总
法向量在立体几何中的应用（一）
1．向量法求夹角
直线a 与直线b 所成的角就是直线a 与b 的方向向量的夹角或补角。
2．向量法求线面角
如图，PA 是平面α的斜线，n
为平面α的法向量，设PA 与平面α所成的角是θ，
则sin AP n
AP n
θ=
3．法向量证明线面平行、面面平行和面面垂直
（1）已知n 为平面α的法向量，a 为平面α外直线a 的方向向量，若a n ⊥
，则//a α； （2）已知1n 、2n 分别为平面α、β的法向量，若12//n n ，则//αβ；若12n n ⊥
，则αβ⊥
法向量在立几中的应用（三）——求二面角的平面角
1．法向量求二面角的平面角
如图，平面α、β的法向量分别为1n 、2n
，则二面角的平面角θ与两个法向量的夹角12,n n α=<>
之间的关系为θα=或θπα=-
法向量在立体几何中的应用（二）
1．法向量求点面距
如图，PA 为平面α的一条斜线，n
为平面α的法向量，则 ()
cos 0AP n AO OP n OP n OP n OP n =+===
⇒ A P n OP n =
即点P 到平面α的距离公式为AP n d n
=
θ
3．异面直线的距离
如图，异面直线a 、b 的距离可以转化为两平行平面α、β的距离，n
为同时与a 、
b 的方向向量垂直的向量（即法向量）
，因此异面直线a 、b 的距离为 EF n d n =
其中，E 、F 分别为异面直线a 、b 上的任意点。
平面几何中的向量与立体几何体的位置关系
平面几何中的向量与立体几何体的位置关系在平面几何中，向量与立体几何体的位置关系是一个重要的研究领域。
向量是平面几何的基础概念，而立体几何体则是空间中的实体物体。
在这篇文章中，我们将探讨向量与立体几何体之间的关系，并探索它们在几何学中的应用。
一、向量的定义与性质向量是由大小和方向决定的量，用有向线段表示。
在二维平面中，向量通常由两个坐标表示，分别为横坐标和纵坐标。
例如，向量AB可以表示为(1,2)。
向量的性质包括加法、减法、数量乘法、数量除法等。
二、向量的运算在平面几何中，向量的运算是基本操作之一。
向量的加法是指将两个向量按照一定的规则相加，得到一个新的向量。
向量的减法和数量乘法也是类似的操作。
通过向量的运算，我们可以获得两个向量之间的关系，例如平行、垂直等。
三、向量的模与方向角向量的模表示向量的大小，而方向角表示向量与横轴之间的夹角。
向量的模可以使用勾股定理计算，方向角可以使用三角函数计算。
通过向量的模与方向角，我们可以准确地描述向量在平面中的位置与方向。
四、向量的应用在几何学中，向量有着广泛的应用。
例如，我们可以使用向量来表示线段，通过线段的向量运算可以得到线段的长度、方向等信息。
此外，向量还可以用来表示平面中的直线和曲线，通过向量的性质可以判断直线的平行、垂直关系，计算曲线的斜率等。
五、向量与立体几何体的位置关系在立体几何中，向量与几何体的位置关系是一个研究的重点。
通过向量的表示，我们可以描述几何体在空间中的方位与位置。
例如，我们可以通过指定一个点和一个向量来表示一条直线，通过两个向量来表示一个平面。
通过向量的运算，可以判断几何体之间的相对位置，例如平面与平面的交角、直线与平面的垂直关系等。
六、应用实例例如，我们可以通过向量的运算来计算一个立方体的体积。
假设立方体的一条边长为a，我们可以将其表示为向量OA，其中O是立方体的一个顶点。
那么立方体的体积可以表示为V=a^3，其中a是向量的模。
再例如，我们可以通过向量的运算来判断一个平面是否位于一个平行六面体的底面上。
法向量在立体几何中的应用
浅谈法向量在立体几何中的妙用引进空间向量，用向量代数来处理立体几何问题，体现了数与形的结合，避免了传统几何中复杂的空间想象、减少了辅助线的添加和降低解题思维难度等作用。
在求解某些常见的立体几何问题如“点到平面的距离”、“异面直线间的距离”、“直线与平面所成的角”、“二面角的大小”、“证明两平面平行或垂直”时，若能充分灵活运用法向量，则能使解题显得更加简单化，学生更易于接受，这是用法向量来解立体几何题的独到之处。
现举例说明如下： 一、以平面法向量为载体求点到平面的距离。
平面外一点A 到这个平面的距离d 等于以A 和平面内一点P 分别为起点和终点的向量Ap 在这个平面的法向量n 上的射影的绝对值,即d=''AP n A P n∙=。
特别地，若n 为单位法向量，则''d A P AP n ==∙。
例1：已知在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是B 1C 1和C 1D 1的中点，求点A 1到平面DBEF 的距离。
解：如图建立空间直角坐标系，＝（1，1，0） ，＝（0，21，1）， 1DA ＝（1，0，1）设平面DBEF 的法向量为＝（x ，y ，z ），则有：n 0=⋅DB 即 x ＋y ＝00=⋅ 21y ＋z ＝0令x ＝1, y=－1, z=21, 取n ＝（1，－1，21），则A 1到平面DBEF 的距离11n DA d n⋅==注：此题A 1在平面DBEF 的射影难以确定，给求解增加难度，若利用法向量求解，关键是求出平面DBEF 的法向量。
法向量的求解有多种，可直接利用向量积，在平面内找两个不共线的向量，例如和DF ，那么n ＝DB ×DF 。
但高中教材未曾涉及向量积，这里根据线面垂直的判定定理，设n ＝（x ，y ，z ），通过建立方程组求出一组特解。
二、以平面法向量为载体求异面直线间的距离。
用法向量求异面直线a 和b 间的距离的一般过程是：（1）作异面直线a 、b 的方向向量,a b ,求,a b 的法向量.此即异面直线a 、b 公垂线的方向向量； （2）在直线a 、b 上各取一点A 、B ，作向量AB ；（3）求向量AB 在n 上射影d AB n n∙=， 此即异面直线a 与b 间的距离。
第43讲 │ 立体几何中的向量方法(二)——空间角与距离求解
第43讲 │ 要点探究
[思路]
建立恰当的空间直角坐标系，求出直线的方向向量
和平面的法向量，使用公式进行计算，
[答案] A
第43讲 │ 要点探究
[解析] 设正三棱柱所有棱长均为a，以C为顶点，CA为x
轴，CC1为z轴建立空间直角坐标系如图，
第43讲 │ 要点探究
1 则A(a,0,0)，B1 a， 2 1 3 3 → a，a ，所以AB1 ＝ － a， a，a ， 2 2 2
第43讲 │ 问题思考 问题思考
► 问题1 (1)两直线的方向向量所成的角就是两条直 ) )
线所成的角；( 与平面所成的角；( 角．( )
(2 (3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的
[答案] (1)错
(2)错
(3)错
第43讲 │ 问题思考
第43讲 │ 要点探究
第43讲 │ 要点探究
→ → → → 同方法1，作AM⊥A1N于M，AM＝AC＋CD＋λDA1 ＝(－1＋λ，1＋λ，－ 3＋ 3λ)， → · 1＝0得λ＝3， → 由AM DA 5
2 8 2 3 → 所以AM＝－ ， ，－ . 5 5 5
→ → → → BN＝BC＋CD＋μDA1＝(－2＋μ，1＋μ， 3μ)， → · 1＝0得μ＝1， → 由BN DA 5
第43讲 │ 要点探究
→ → → [解答] 方法1：设不共面的向量CB＝a、CD＝b、CA＝c为 → → → 基向量，则DA1＝CA1－CD＝b＋c， 过点A作AM⊥DA1于点M， → → → → 则AM＝AC＋CD＋DM → → → ＝AC＋CD＋λDA1 ＝－c＋b＋λ(b＋c) ＝(λ＋1)b＋(λ－1)c， → → → DA → 因为AM⊥DA1，所以AM· 1＝0，
法向量在立体几何中的应用.
法向量在立体几何中的应用查宝才（扬州市新华中学，江苏 225002）向量在数学和物理学中的应用很广泛，在解析几何与立体几何里的应用更为直接，用向量的方法特别便于研究空间里涉及直线和平面的各种问题。
将向量引入中学数学后，既丰富了中学数学内容，拓宽了中学生的视野；也为我们解决数学问题带来了一套全新的思想方法——向量法。
下面就向量中的一种特殊向量——法向量，结合近几年的高考题，谈谈其在立体几何有关问题中的应用。
1 法向量的定义1.1 定义1 如果一个非零向量n 与平面α垂直，则称向量n 为平面α的法向量。
1.2 定义2 任意一个三元一次方程：0=+++D Cz By Ax ，222(C B A ++)0≠都表示空间直角坐标系内的一个平面，其中),,(C B A n =为其一个法向量。
]1[事实上，设点),,(0000z y x P 是平面α上的一个定点，),,(C B A n =是平面α的法向量，设点),,(z y x P 是平面α上任一点，则总有n P P ⊥0。
∴ 00=⋅n P P ， 故 0),,(),,(000=---⋅z z y y x x C B A ， 即 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A ， ∴ 0000=---++Cz By Ax Cz By Ax ，……① 设 000Cz By Ax D ---=，则 ① 式可化为0=+++D Cz By Ax )0(222≠++C B A ，即为点P 的轨迹方程。
从而，任意一个三元一次方程：0=+++D Cz By Ax )0(222≠++C B A ， 都表示一个平面的方程，其法向量为),,(C B A =。
2 法向量在立体几何中的应用 2.1 利用法向量可处理线面角问题 设θ为直线l 与平面α所成的角，ϕ为直线l 的方向向量v 与平面α的法向量n 之间的夹角，则有θπϕ-=2（图1）或θπϕ+=2（图2）图1 图2特别地 0=ϕ时，2πθ=，α⊥l ；2πϕ=时，0=θ，α⊆l 或α//l例1（2003年, 新课程 、江苏 、辽宁卷高考题）如图3，在直三棱柱111C B A ABC -中，底面是等腰直角三角形，ο90=∠ACB ，侧棱21=AA ，D ，E 分别是1CC 与B A 1的中点，点E 在平面上的射影是ABD ∆的重心G 。
平面向量与立体几何的应用
平面向量与立体几何的应用一、简介平面向量和立体几何是数学中重要的概念和工具，广泛应用于物理学、工程学和计算机图形等领域。
本文将探讨平面向量和立体几何在实际问题中的应用。
二、平面向量的应用1. 平面向量的表示平面向量可以由坐标表示，也可以由大小和方向表示。
在几何问题中，通常使用大小和方向表示平面向量，可以方便地进行运算和分析。
2. 平面向量的加法和减法平面向量的加法和减法可以用几何方法和分量法进行计算。
在物理学中，平面向量的加法和减法常用于求合力和分解力的问题。
3. 平面向量的数量积和向量积平面向量的数量积可以用于计算向量的夹角和判断两个向量是否垂直。
向量积可以用于计算面积、判断点与线的位置关系等问题。
4. 平面向量在图形设计中的应用平面向量在图形设计和计算机图形中有广泛的应用。
例如，通过向量的加法和减法可以进行图形的平移、旋转和缩放；通过向量的数量积可以计算图形的面积和判断图形的位置关系。
三、立体几何的应用1. 空间直线和平面的表示空间直线可以由两个点或者一点和一个方向向量表示。
空间平面可以由三个不共线的点或者一个点和两个方向向量表示。
2. 空间点与直线、平面的位置关系在立体几何中，经常需要判断一个点与直线或者平面的位置关系。
可以通过计算点到直线或者平面的距离来判断位置关系。
3. 空间直线和平面的交点求空间直线和平面的交点是立体几何中常见的问题。
可以通过解方程组或者利用向量运算来求解交点的坐标。
4. 立体几何在几何体表面积和体积计算中的应用立体几何的一个重要应用是计算几何体的表面积和体积。
通过划分为平面图形或者使用向量法，可以求解复杂几何体的表面积和体积。
四、实际问题中的应用举例1. 物体运动的分析物体运动的分析常常涉及到向量和几何的应用。
通过建立坐标系和运动方程，可以计算物体的位移、速度和加速度。
2. 工程结构的设计在工程结构的设计中，平面向量和立体几何的应用十分重要。
例如，在桥梁的设计中，需要计算桥墩和桥梁的位置关系以及桥面的斜率。
立体几何中的向量直线的方向向量和平面的法向量
l
给定一点A和一个向量 n,那么过点A, 以向量 n 为法向量的平面是完全确定的.
几点注意：
n
1.法向量一定是非零向量;
A 2.一个平面的所有法向量都互相平行;
3.向量 n是平面的法向量，向量 m 是
与平面平行或在平面内，则有
nm 0
例 1:在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，求
证： DB1 是平面 ACD1 的法向量
见，取z=1较合理。 其实平面的法向量不
（ x，y，z）(2, 2,1) 0，
是惟一的。
（x，y，z）(4,5,3) 0,
即24xx
2y 5y
z0 ,
3z 0
取z
1，得
x y
1 2 1
n (1 , 1,1), | n | 3
2
2
求平面ABC的单位法向量为
(1，- 2，2）
3 33
证：设正方体棱长为 1，
以 DA, DC, DD1 为单位正交基底，建立如 图所示空间坐标系 D xyz ，则 A(1,0,0), C(0,1,0),D1(0,0,1),B1(1,1,1) DB1 (1,1,1) ， AC (1,1, 0) ， AD1 (1,0,1) DB1 AC 0， 所以 DB1 AC ,同理 DB1 AD1 又因为 AD1 AC A
1 ,2 的法向量分别为 n1, n2 ，则
线线垂直 l1 l2 e1 e2 e1 e2 0 ； 线面垂直 l1 1 e1 // n1 e1 n1 ；
面面垂直1 2 n1 n2 n1 n2 0.
若e (a1,b1,c1), n (a2,b2,c2),则
l e // n e n a1 a2,b1 b2,c1 c2.
法向量在立体几何中的重要作用及拓展
法向量在立体几何中的重要作用及拓展数学教研组 罗树锋人教版的新教材在引入空间向量后使原本较为复杂的几何问题得到了不少简化，特别是向量几何中的一个重要的工具——法向量引入，更使得许多原本复杂难繁的题变得简单易解，笔者通过日常教学活动中接触到的例子，进行了归纳和总结，将法向量的应用归结为以下几种。
法向量定义：与平面垂直的非零向量n 叫做平面的法向量。
一：利用法向量求线面所成角按照定义，我们只需在一个平面内找出两不共线向量，利用垂直向量的数量积等于零易求出一个平面的法向量。
由于向量的方向性，我们求出来的法向量与斜线的方向向量所成的角是线面所成角的余角（或补角）是线面所成角的余角。
并且角的大小只与法向量的方向有关，与其模无关。
设a 为平面α的斜线的方向向量，n 为平面α的法向量，则斜线与平面所面角的正弦值||sin =θ（证略）。
例1： 在矩形ABC中，已⊥===，P A ，Q C ，B Q AB 121平面A B C D ，1=PA ，求AD与平面PDQ 所成角的正弦值。
)1,0,0(),0,3,0(),0,2,1(),0,0,0(P D Q A ，则0,3,0(=AD 面PDQ 的法向量为),,(z y x n =，则),3,3(0z z z n PD n PQ n =⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅，不妨取)1,31,31(=n ，则1111||,sin =>=<AD n 。
所以AD 与平面PDQ 所成角的正弦值为。
1111此题利用法向量和斜线所成的角与斜线与平面所成的角的关系将题中很难作出的线面角回避，从而降低了解题难度，对学生来说也是比较容易接受的。
二、利用法向量求解面面所成角及探索性问题面面所成的角既二面角一直是高中立体几何的重点和难点，在历年的高考中也不乏其身影。
传统的方法在解这种题型的时候的繁琐是可想而知的，而探索性问题是在引入九B 教材后兴起的一种新的题型，对学生的认知水平的要求比较高，而引入法向量后，一切便迎刃而解了。
平面向量在立体几何中的应用
平面向量在立体几何中的应用立体几何是几何学中的一个重要方向，它是研究空间中的物体的形态、大小和位置关系的学科。
而平面向量是空间几何学中的一个基本概念，它在立体几何中也有很重要的应用。
下面我将从距离、角度、点和面积四个方面介绍平面向量在立体几何中的应用。
一、距离平面向量在立体几何中最常见的应用之一就是计算空间中两点之间的距离。
对于空间中的两个点P(x1,y1,z1)和Q(x2,y2,z2)，它们之间的距离可以用如下公式来计算：|PQ| = sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2)其中|PQ|表示P和Q之间的距离。
如果我们用向量来表示P和Q，则可以将公式改写成如下形式：|PQ| = |→PQ| = sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2)此处的|→PQ|表示从P指向Q的向量。
二、角度除了距离，平面向量还可以用来计算空间中向量之间的夹角。
设两个非零向量→a和→b，它们之间的夹角θ用下面的公式来计算：θ = arccos((→a·→b)/(∥→a∥∥→b∥))其中，'·'表示向量的点积，'∥→a∥'表示向量→a的模长（即向量的长度）三、点空间中的点可以用向量表示。
例如，对于点P(x,y,z)，我们可以用向量→OP=<x,y,z>来表示它。
对于空间中给定的三个点A、B、C和一个普通点P，我们可以使用向量来判断P是否在ABC三角形内部。
具体方法是：将A、B、C三点看作向量，再将P点看作三条边组成的三角形的顶点向量，通过向量的叉积计算出向量→AP和→AB，→AP和→AC，→AP和→BC的方向，如果三个向量的方向都一致，那么P就在ABC三角形内部。
四、面积平面向量在立体几何中还可以用来计算三角形的面积。
设三角形ABC的顶点坐标分别为A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，C(x3,y3,z3)。
平面向量在立体几何中的应用
为实数，
证明：当口≤ｏ或口＝ｌ时，不等式显然成立． 当口＞ｌ时．函数ｙ＝口。在Ｒ上是增函数ｉ ．．．口８＞ｎ５＇口２＞口，．．．口８—４５＋矿一口＋１＞Ｏ， 当ｏ＜口＜１时，函数ｙ一矿在Ｒ上是减函数， ．．．４２＞口５。ｌ＞口，又口８＞Ｏ．．．．口８一口５＋口２—４＋１＞Ｏ．
故对一切口∈Ｒ。不等式口。一口５＋口２一口＋１＞Ｏ成立． 六、求参数范围
ＡｏＢ所成角的大小．（结果用反三角 函数值表示） 解析：以０为原点建立空间直角
坐标系，则Ｂ（３，ｏ，ｏ），Ｄ（軎。２，４），
又二面角Ａ—ＤＦ—Ｂ是锐二面角，故所求二面角Ａ—
ＤＦ—Ｂ的大小是６０。． ３．求点面距离的大小
设Ｐ（３。ｏ，ｚ）。则商＝（一导，２，４），碲一（３．ｏ，ｚ），因为ｏＰ
若平面口的法向量为一，直线ＡＢ与平面ｎ交于Ａ，点Ｂ
一、求值 例
ｌ
解：由已知条件得矿＋ｌｏ勘ｚ＞ｎ’＋ｌｏ＆了． 引入函数厂（ｔ）一∥＋Ｉｏ＆ｔ，则上式即为，（ｚ）＞八ｙ）． 易知函数，（ｔ）＝口Ｉ＋ｌｏ＆ｆ在（Ｏ，＋ｏ。）上是增函数，所以
工＞弘 五、证明不等式
设
工。
ｙ
擎一譬黑芝芝＿１’则ｚ＋ｙ：一．
Ｉ（ｊＩ—１）３＋１９９７（ｙ一１）＝１，
～
倒５设口∈Ｒ．求证：口Ｉ一口５＋口２一口＋１＞０．
√－－—＿—’・———－一＝—＿ ’‰
ｌ一・蘸Ｉ
２
２￣／玎
ｌ露Ｉ／ｒ『
１１‘
类似．（２）两平行平面的距离就是一个平面内任意一点到另一 个平面的距离ｔ同样可以转化为点面距问题加以解决．
作者单位：江苏省宿豫中学
说明：（１）直线与平面平行时．直线到平面的距离就是直
万方数据
平面向量在立体几何中的应用
高中数学 第43讲 立体几何中的向量方法(一)平行与垂直的证明配套课件 理 新人教B版
[答案] (1) × (2)√
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第43讲 立体几何中的向量方法(一)——平行与垂直
的证明
双 向
[解析] (1)只要是与直线平行的非零向量都是直线的方向
固 基 础
向量． (2)∵v2＝－2v1，∴v1∥v2，l1∥l2.
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第43讲 立体几何中的向量方法(一)——平行与垂直
的证明
双 向
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第43讲 立体几何中的向量方法(一)——平行与垂直的证明
双 向
固
基 础
1．直线的方向向量
l 是空间一直线• —，—A，知B 是 识 直梳线理l —上—任意两点，则称A→B
• 为直一线、直l 的线的方方向向向向量量，与与平A面→B的_平_法_行向_的_量任__的意_非确_零_定_向_量__________也是
方法二：∵M→N＝C→1N－C→1M＝12C→1B1－12C→1C＝12(D→1A1－D→1D)
3.利用空间向量解决探索 性问题
解答(2)
2012年福建T18(B)， 2012年北京T16(B)
• • • 说明：A表示简单题，B表示中等题，C表示难题，考频分析2012年
课标地区真题卷情况．
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第43讲 立体几何中的向量方法(一)——平行与垂直的证明
点• ► 探例究1点一[2012利·福用州空二间模向] 量如证图明7－平4行3－问1题，在正方体 ABCD
固 基
1．设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1
础与l2重合) ⇒__v_1_∥__v_2_．
2．设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共
线 向 量 v1 和 v2 ， 则 l∥α 或 l⊂α⇒ 存 在 两 个 实 数 x ， y ， 使 _v_＝__x_v_1_＋_y_v_2______．
法向量在立体几何中的运用
法向量在立体几何中的运用Corporation standardization office #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8法向量在立体几何中的运用孟志霞河北省三河市第一中学 065200在高中立体几何中引入了空间向量，大大降低了立体几何解题的难度．法向量的引入，对于解决空间的角与距离提供了很大的帮助．下面简单介绍法向量在立体几何中运用．一、点到平面的距离.（先确定平面的法向量，再求点与平面上一点连结线段在平面的法向量上的射影长．设是平面α的一个法向量，0P 是平面α外一点，P 是平面α内一点，则点0P 到平面α的距离d =）．例１.如图,在四棱锥S -平面ABCD ,且a BC AB SA ===,AD 2=解：取AS AB AD ,,角坐标系，则()0,,0a B ，()0,,a a C ，()0,0,2a D ()a S ,0,0.()a a SD -=,0,2,()a a a SC -=,, 设平面SCD 的法向量为()z y x n ,,=，02,,0,=-⊥=-+⊥az ax az ay ax 即即.所以可令()2,1,1=，点A 到y平面SCD的距离d ==a 36.二、两条异面直线间的距离.（先求两条异面直线的一个公共法向量，再求两条异面直线上两点的连结线段在公共法向量上的射影长．设b a ,是异面直线，n 是b a ,公共法向量，点,,b F a E ∈∈则异面直线b a 与之间的距离d =）。
例２.如图，已知ABCD 是正方形，⊥PD 平面ABCD ，1==AB PA ，F E ,分别是PD PB ,的中点，求异面直线AE 与CF 之间的距离。
解：以D 为原点，建立空间直角坐标系，(),0,0,1,,C z y x DP DC DA 轴，则轴，轴，为()()()1,0,0,0,1,0,0,1,1P A B ⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,21,21E ，⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0,0F ，=∴AE ⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,21,21，⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21,0,1CF ，⎪⎭⎫ ⎝⎛--=0,21,21EF ，()z y x ,,=是异面直线AE 与CF 的公共法向量，则n ⊥CF 即+-x 210=z ；n ⊥AE 即21x 21-y ＋z21=0.所以=()2,3,1,所以异面直线AE 与CF之间的距离714142===d ．三、直线与平面的夹角．（求斜线与平面的法向量夹角的余角）.例３.如图,在直三棱柱111C B A ABC -中,底面是等腰直角三角形,01CC与B A 1的中点,点E 在平面ABD ()1求(结果用反三角函数值表示); ()2(1)()0,0,0C ,()0,,0a B ,()a a A ,0,,()2,0,01C ,()2,0,1a A ,Da a E ,1,2,2⎪⎭⎫ ⎝⎛()1,0,0,⎪⎭⎫ ⎝⎛31,3,3a a G 则1BA =()0,,a a -，⎪⎭⎫ ⎝⎛=32,6,6a a GE()1,,0a -=， 0=⋅GE BD 203262=∴=+-∴a a ，则1BA =()2,2,2-，⎪⎭⎫⎝⎛=32,31,31,取平面ABD 法向量为⎪⎭⎫ ⎝⎛=32,6,6a a ，则与1BA 夹角为B A 1与平面ABD 所成角的余角.所以cos 32==,所以B A 1与平面ABD 所成角为32arcsin.(2)由(1)知()()()1,1,1,1,1,1,1,0,21-=-=-=A ,设平面AED 的法向量为()z y x ,,=,⊥,即02=+-z x ,,⊥即0=++-z y x ,所以令法向量()2,1,1-=.所以点1A 到平面AED 的距离为62==d yz四、两个平面的夹角.（求两个平面的法向量的夹角）。
24688-平面的法向量在立体几体中的应用
题目 平面法向量的求法及其应用引言：本节课介绍平面法向量的三种求法,并对平面法向量在高中立体几何中的应用作归纳和总结。
其中重点介绍外积法求平面法向量的方法，因为此方法比内积法更具有优越性,特别是在求二面角的平面角方面。
此方法的引入，将对高考立体几何中求空间角、求空间距离、证明垂直、证明平行等问题的解答变得快速而准确，那么每年高考中那道12分的立体几何题将会变得更加轻松。
一、 平面的法向量1、定义：如果α⊥→a ，那么向量→a 叫做平面α的法向量。
平面α的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。
2、平面法向量的求法方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面α的法向量(,,1)n x y =[或(,1,)n x z =，或(1,,)n y z = ]，在平面α内任找两个不共线的向量,a b。
由n α⊥ ，得0n a ⋅= 且0n b ⋅= ，由此得到关于,x y 的方程组，解此方程组即可得到n。
方法二：任何一个z y x ,,的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是z y x ,,的一次方程。
0=+++D Cz By Ax )0,,(不同时为C B A ，称为平面的一般方程。
其法向量),,(C B A n =→;若平面与3个坐标轴的交点为),0,0(),0,,0(),0,0,(321c P b P a P ,如图所示,则平面方程为:1=++cz b y a x ,称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。
方法三(外积法): 设, 为空间中两个不平行的非零向量，其外积→→⨯b a 为一长度等于θsin ||||→→b a ，（θ为,两者交角，且πθ<<0），而与, 皆垂直的向量。
通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由的方向转为的方向时，大拇指所指的方向规定为→→⨯b a 的方向,→→→→⨯-=⨯a b b a 。
:),,,(),,,(222111则设z y x b z y x a ==→→ ⎝⎛=⨯→→21y yb a,21z z 21x x -,21z z 21x x⎪⎪⎭⎫21y y （注：1、二阶行列式:ca M =cb ad db -=；2、适合右手定则。
平面法向量在解立体几何题中的应用探究
平面法向量在解立体几何题中的应用探究摘要―几何发展的根本出路是代数化,引入向量研究是几何代数化的需要‖。
随着平面法向量这个概念在新教材的引入,应用平面法向量解决立体几何中空间线面位置关系的证明、空间角和距离的求解等高考热点问题的方法更具灵活性和可操作性,其主要特点是用代数方法解决几何问题,无需考虑如何添加辅助线,避开抽象的几何推理和繁杂的几何计算,使解题更显简洁明。
关键词法向量;代数法;线面位置;空间角;空间距离平面法向量就是垂直于平面的直线的方向向量。
一个平面的法向量有无数个,按方向可分为两大类。
随着平面法向量这个概念在新教材的引入,立体几何中证明空间线面的位置关系、求解空间角和距离等高考热点问题的方法更具灵活性和多样性。
应用平面法向量求解立体几何问题,其主要特点是用代数方法解决几何问题,其作用是无需考虑如何添加辅助线,避开抽象的几何推理和繁杂的几何计算,从而降低解题的难度,增强解题的可操作性和准确性。
下面重点以2009年高考题为例,探讨平面法向量在求解立体几何问题中的应用。
1 应用于证明空间线面的位置关系1.1 证明空间中的平行关系1)证明线面平行直线的方向向量为,平面α的法向量为n,且α,则//α//αn=0。
2)证明面面平行平面α的法向量为n1 ,平面β的法向量为n2 ,则α/ /βn1=λn2(λR)。
例1(2009年高考,宁夏卷,理19)如图1-1,四棱锥S—ABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面变长的倍,P为侧棱SD上的点。
(1)求证:AC ⊥SD;(2)若SD⊥平面PAC,求二面角P—AC—D的大小;图1-1(3)在(2)的条件下,侧棱SC上是否存在一点E,使得BE∥平面PAC?若存在,求SE :EC的值;若不存在,试说明理由。
解:(1)(2)略。
(3)连结BD交AC于O,依题意可知SO⊥平面ABCD。
以O为坐标原点, , , 分别为x轴,y轴,z轴的正方向,建立如图的空间直角坐标系O—xyz。
法向量在立体几何中的妙用
龙源期刊网
法向量在立体几何中的妙用
作者：邹师华
来源：《双语学习》2014年第08期
【摘要】平面法向量作为一种数学工具解决立体几何中一些用纯几何方法较难解决的问题，特别是对空间距离、二面角的求解更能显示其巧妙之处。
文〔1〕、〔2〕、〔3〕、〔4〕中都作了相应的阐述。
因此，在高考中灵活运用平面法向量，可以给人耳目一新的感觉，为立体几何的解决开拓一条全新的思路。
【关键词】平面法向量、距离、二面角
随着课程改革的深入，高考命题中向量知识的考查将是不可缺少的命题热点，向量的数量积和坐标运算充分体现了数形结合思想。
对于立体几何中经常出现的距离，二面角等问题用传统的纯几何方法求解，已远远不能适应高考的要求，而用平面法向量求解，就可以避免较复杂的空间想象和繁琐的运算，从而更能突出平面法向量在解决立体几何有关问题中地位和重要作用。
我们通过上述例子可以看出，巧用平面法向量求解立体几何问题，常常有独到之处，其解题方法为程序化，易于下手，若能在图形中恰到好处地建立空间直角坐标系，把图形中有关点的坐标表示出来，那么图形中的有关问题就可以用向量知识求解，这样就能避免较为复杂的空间想象和繁琐的运算，从而培养了学生分析问题和解决问题的能力。
【参考文献】
[1] 《中学数学教与学》江苏省扬州大学出版社出版，2013年第1、3、 6期
[2] 《试题研究》中学生学习出版社，2009年第13、14、15期
[3] 《高中数学考点教与学》中国青年出版社出版，2010年3月
[4] 《极品教程》光明日报出版社出版，2011年3月。
〖2021年整理〗《平面的法向量在立几计算中的应用》优秀教案
平面的法向量在立几计算中的应用摘要：随着新教材中向量工具的引入，立体几何的解题更加灵活多样，这为那些空间想象能力较差的同学提供了机遇。
利用平面的法向量几乎可以解决所有的立几问题，尤其在求角和距离时，一些空间直角坐标系容易建立，但线面角及二面角或点在面上的射影不易寻找时，法向量有着它独有的优势——不用作图而直接计算。
关键词：平面的法向量；线面角；二面角；点到面的距离。
一、利用平面的法向量求线面角、二面角、点到面的距离的原理 1、利用平面的法向量，求直线与平面所成的角如图①：n 是平面α的一个法向量，l 是直线l 的方向向量，设θ是l 与α所成角的大小，把n 、l 及l 的射影平移在同一平面中。
如图②∵n 、l 都有两个方向，它们的坐标各相差一个符号，可以发现,2l n πθ=+或,2l n πθ=-。
∴cos ,cos()sin 2l n πθθ=+=-或cos ,cos()sin 2l n πθθ=-=。
∵090θ≤≤，∴sin cos ,n l l n n lθ⋅==，从而进一步求出θ或其他三角函数值。
2、利用平面的法向量，求二面角如图③：1n 、2n 分别是α及β的任一法向量，把它们平移在同一平面中，如图④，根据圆内接四边形的有关性质可知，设用ψ表示二面角α－l －β的值，当二个法向量的方向是这样配置时：即α或β半平面绕着其棱l 转动到另一个半平面重合时，这两个方向一致的条件下有12,n n ψ=，∴121212cos cos ,n n n n n n ψ⋅==这两个法向量1n 、2n 的方向满足的条件也可以这样理解，即一个法向量的方向应该从二面角的外部指向它的内部，另一个必须从它的内部指向它的外部，否则，求出的角是二面角的补角，在解题①n l 的射影 αθ②nl 的射影θ ll 的射影的平行线θ中常选择法向量的某个坐标的正负来判断它的方向是否符合配置的条件。
③利用平面的法向量，求平面外一点到平面的距离，如图⑤设n 是平面α的一个法向量，P 是平面α外一点，P 到平面α的距离设为d ，A 为α上的任一点，可知向量AP 在α的法单位向量0n 的射影长就是d ，即0AP n d AP n n⋅=⋅=。
平面法向量在解立体几何题中的应用探究
平面法向量在解立体几何题中的应用探究
梁毅麟
【期刊名称】《科技传播》
【年(卷),期】2010(0)3
【摘要】"几何发展的根本出路是代数化,引入向量研究是几何代数化的需要".随着平面法向量这个概念在新教材的引入,应用平面法向量解决立体几何中空间线面位置关系的证明、空间角和距离的求解等高考热点问题的方法更具灵活性和可操作性,其主要特点是用代数方法解决几何问题,无需考虑如何添加辅助线,避开抽象的几何推理和繁杂的几何计算,使解题更显简洁明.
【总页数】5页(P73-76,68)
【作者】梁毅麟
【作者单位】恩平市华侨中学,广东江门529400
【正文语种】中文
【中图分类】O18
【相关文献】
1.例谈平面法向量在立体几何问题中的应用 [J], 许铃;
2.例谈平面法向量在立体几何问题中的应用 [J], 许铃;
3.用平面法向量解立体几何题 [J], 张家瑞
4.矢量叉乘法在求解高考数学立体几何题中的应用探究——以求解2019年高考立体几何题为例 [J], 杨承翰
5.平面法向量在高中立体几何解题中的妙用 [J], 张颖天
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题目 平面法向量的求法及其应用嵩明县一中 吴学伟引言：本节课介绍平面法向量的三种求法,并对平面法向量在高中立体几何中的应用作归纳和总结。
其中重点介绍外积法求平面法向量的方法，因为此方法比内积法更具有优越性,特别是在求二面角的平面角方面。
此方法的引入，将对高考立体几何中求空间角、求空间距离、证明垂直、证明平行等问题的解答变得快速而准确，那么每年高考中那道12分的立体几何题将会变得更加轻松。
一、 平面的法向量1、定义：如果α⊥→a ，那么向量→a 叫做平面α的法向量。
平面α的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。
2、平面法向量的求法方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面α的法向量(,,1)n x y =[或(,1,)n x z =，或(1,,)n y z = ]，在平面α内任找两个不共线的向量,a b 。
由n α⊥ ，得0n a ⋅= 且0n b ⋅= ，由此得到关于,x y 的方程组，解此方程组即可得到n 。
方法二：任何一个z y x ,,的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是z y x ,,的一次方程。
0=+++D Cz By Ax )0,,(不同时为C B A ，称为平面的一般方程。
其法向量),,(C B A n =→;若平面与3个坐标轴的交点为),0,0(),0,,0(),0,0,(321c P b P a P ,如图所示,则平面方程为:1=++czb y a x ,称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。
方法三(外积法): 设, 为空间中两个不平行的非零向量，其外积→→⨯b a 为一长度等于θsin ||||→→b a ，（θ为,两者交角，且πθ<<0），而与, 皆垂直的向量。
通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由的方向转为的方向时，大拇指所指的方向规定为→→⨯b a 的方向,→→→→⨯-=⨯a b b a 。
:),,,(),,,(222111则设z y x b z y x a ==→→⎝⎛=⨯→→21y y b a ,21z z 21x x - ,21z z 21x x⎪⎪⎭⎫21y y （注：1、二阶行列式:c a M = cb ad db -=；2例1、 已知，)1,2,1(),0,1,2(-==→→b a ，试求（1）：;→→⨯b a （2）：.→→⨯a bKey: (1) )5,2,1(-=⨯→→b a ;)5,2,1()2(-=⨯→→a b例2、如图1-1,在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，求平面AEF 的一个法向量n。
二、 平面法向量的应用1、 求空间角(1)、求线面角：如图2-1，设→n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条斜线，α∈A ，则AB 与平面α所成的角为： 图2-1-1:2,2→→→→->=<-=AB n ππθ图2-1-2:2,πθ=->=<→→AB n (2)、求面面角:设向量→m ，→n 分别是平面α、β的法向量，则二面角βα--l 的平面角为：||||arccos,→→→→→→⋅⋅>==<n m nm n m θ（图2-2）;||||arccos,→→→→→→⋅⋅->==<n m nm n m πθ(图2-3)两个平面的法向量方向选取合适,可使法向量夹角就等于二面角的平面角。
约定，在图2-2中，→m 的方向对平面α而言向外，→n 的方向对平面β而言向内；在图2-3中，→m 的方向对平面α而言向内，→n 的方向对平面β而言向内。
我们只要用两个向量的向量积（简称“外图2-3|,cos |><=→→AB n θ)2,2,1(:=⨯=→→→AE AF n key 法向量积”，满足“右手定则”）使得两个半平面的法向量一个向内一个向外，则这两个半平面的法向量的夹角即为二面角βα--l 的平面角。
2、 求空间距离 （1）、异面直线之间距离:方法指导：如图2-4,①作直线a 、b 的方向向量→a 、→b ， 求a 、b 的法向量→n ，即此异面直线a 、b②在直线a 、b 上各取一点A 、B ，作向量→AB ；③求向量→AB 在→n 上的射影d ，则异面直线a 、b ||||→→→∙=n n AB d ,其中b B a A b n a n ∈∈⊥⊥→→,,,（2）、点到平面的距离:方法指导：如图2-5,若点B 为平面α外一点，点A 为平面α内任一点，平面的法向量为n ，则点P 到 平面α的距离公式为||||→→→∙=n n AB d（3）、直线与平面间的距离:方法指导：如图2-6,直线a 与平面α之间的距离：||AB n d n ⋅= ，其中a B A ∈∈,α。
n是平面α的法向量（4）、平面与平面间的距离:方法指导：如图2-7,两平行平面,αβ之间的距离：||||→→→∙=n n AB d ，其中,A B αβ∈∈。
n是平面α、β3、 证明（1）、证明线面垂直：在图2-8中,→m 向是平面α的法向量，→a 是直线a 的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量共线（→→=a m λ）。
（2）、证明线面平行：在图2-9中,→m 向是平面α的法向量，→a 是直线an的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量垂直（0=∙→→a m ）。
（3）、证明面面垂直：在图2-10中，→m 是平面α的法向量，→n 是平面β的法向量，证明两平面的法向量垂直（0=∙→→n m ）（4）、证明面面平行：在图2-11中, →m 向是平面α的法向量，→n 是平面β的法向量，证明两平面的法向量共线（→→=n m λ）。
三、高考真题新解1、（2005全国I ，18）（本大题满分12分）已知如图3-1,四棱锥P-ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ，⊥=∠PA DAB ,90底面ABCD ，且PA=AD=DC=21AB=1，M 是PB 的中点（Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ；（Ⅱ）求AC 与PB 所成的角； （Ⅲ）求面AMC 与面BMC 所成二面角的大小解:以A 点为原点,以分别以AD ，AB ，AP 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系A-xyz 如图所示.)1,0,0().(=→AP I ，)0,0,1(=→AD ，设平面PAD 的法向量为)0,1,0(-=⨯=→→→AD AP m )0,1,0(=→DC 又，)1,0,1(-=→DP ，设平面PCD 的法向量为)1,0,1(=⨯=→→→DP DC n 0=∙∴→→n m ，→→⊥∴n m ，即平面PAD ⊥平面PCD 。
).(II )0,1,1(=→AC ，)1,2,0(-=→PB ，510arccos ||||arccos ,=⋅∙>=∴<→→→→→→PB AC PB AC PB AC ).(III )21,0,1(-=→CM ，)0,1,1(--=→CA ，设平在AMC 的法向量为)1,21,21(-=⨯=→→→CA CM m .又)0,1,1(-=→CB ,设平面PCD 的法向量为)1,21,21(---=⨯=→→→CB CM n .)32arccos(||||arccos ,-=⋅∙>=∴<→→→→→→n m n m n m .∴面AMC 与面BMC 所成二面角的大小为)32arccos(-.]32arccos [-π或2、(2006年云南省第一次统测19题) (本题满分12分)如图3-2，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， 已知AB ＝AA 1＝a ，B C，M 是AD 的中点。
(Ⅰ)求证：AD ∥平面A 1BC ； (Ⅱ)求证：平面A 1MC ⊥平面A 1BD 1； (Ⅲ)求点A 到平面A 1MC 的距离。
解:以D 点为原点,分别以DA,DC,DD 1为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系D-xyz 如图所示. ).(I )0,0,2(a BC -=→ ,),,0(1a a BA -=→,设平面A 1BC 的法向量为)2,2,0(221a a BA BC n =⨯=→→→又)0,0,2(a AD -=→,0=∙∴→→AD n ,→→⊥∴n AD ,即AD//平面A 1BC.).(II ),0,22(a a MC =→,)0,,22(1a a MA -=→,设平面A 1MC 的法向量为:)22,22,(2221a a a MA MC m -=⨯=→→→, 又),,2(1a a a BD --=→,),,0(1a a BA -=→,设平面A 1BD 1的法向量为:)2,2,0(2211a a BA BD n =⨯=→→→,0=∙∴→→n m ,→→⊥∴n m ,即平面A 1MC ⊥平面A 1BD 1.).(III 设点A 到平面A 1MC 的距离为d,)22,22,(2221a a a MA MC m -=⨯=→→→是平面A 1MC 的法向量, 又)0,0,22(a MA =→,∴A 点到平面A 1MC 的距离为:a m MA m d 21||||=∙=→→→. 四、 用空间向量解决立体几何的“三步曲”(1)、建立空间直角坐标系(利用现有三条两两垂直的直线，注意已有的正、直条件,相关几何知识的综合运用，建立右手系)，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）图3-2（2）、通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）（3）、把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。
（回到图形问题）。