平稳随机过程谱分析共40页文档
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平稳随机过程
பைடு நூலகம்
e
2
只与 有关.
{X (t ), t 0}是平稳过程.
例4 设{Y(t),t≥0}是正态过程.且 a mY (t ) t, CY (t, t ) e , 其中，，a 0,
令 X (t ) Y (t b) Y (t ), t 0, 其中b 0, 试证明 {X (t ), t 0}是一严平稳过程.
试讨论{X(t),t≥0}的平稳性.
mX (t ) 0 常数.
RX (t, t ) E[ X (t ) X (t )]
P( X (t ) X (t ) 1) P( X (t ) X (t ) 1)
P( X (t ) X (t ) 1) P( X (t ) X (t ) 1)
n
由于 mX (tk ) mX mX (tk )
RX (tk , tl ) RX (tl tk ) RX (tk , tl ) k , l 1, 2,, n
(t1 , t2 ,, tn ; u1, u2 ,, un )
例1 设S(t)是周期为T的可积函数.令X(t)=S(t+Θ) t∈(-∞,+ ∞), Θ～U[0,T].称{X(t), -∞<t<+ ∞} 为随机相位周期过程,试讨论它的平稳性.
mX (t ) E[X(t)]
T 0
1 t T s( )d 为常数 T t
1 T R（t , t ) s(t )s(t )d X T 0 1 t T s( )s( )d 只与 有关系. T t 它是平稳过程
由于mX (t ) E[ X (t )] E[W (t a) W (t )] 0, t 0
e
2
只与 有关.
{X (t ), t 0}是平稳过程.
例4 设{Y(t),t≥0}是正态过程.且 a mY (t ) t, CY (t, t ) e , 其中，，a 0,
令 X (t ) Y (t b) Y (t ), t 0, 其中b 0, 试证明 {X (t ), t 0}是一严平稳过程.
试讨论{X(t),t≥0}的平稳性.
mX (t ) 0 常数.
RX (t, t ) E[ X (t ) X (t )]
P( X (t ) X (t ) 1) P( X (t ) X (t ) 1)
P( X (t ) X (t ) 1) P( X (t ) X (t ) 1)
n
由于 mX (tk ) mX mX (tk )
RX (tk , tl ) RX (tl tk ) RX (tk , tl ) k , l 1, 2,, n
(t1 , t2 ,, tn ; u1, u2 ,, un )
例1 设S(t)是周期为T的可积函数.令X(t)=S(t+Θ) t∈(-∞,+ ∞), Θ～U[0,T].称{X(t), -∞<t<+ ∞} 为随机相位周期过程,试讨论它的平稳性.
mX (t ) E[X(t)]
T 0
1 t T s( )d 为常数 T t
1 T R（t , t ) s(t )s(t )d X T 0 1 t T s( )s( )d 只与 有关系. T t 它是平稳过程
由于mX (t ) E[ X (t )] E[W (t a) W (t )] 0, t 0
第二章 平稳随机过程的谱分析
u 2T
2T
2015-2-10
u 2T
u 2T
17
《随机信号分析》教学组
则
2T 1 1 2T S X ( ) lim { 0 d 2T RX ( )e j du T 2T 2
0 2T 1 2T d 2T RX ( )e j du} 2
对 S X ( ) 在X(t)的整个频率范围内积分， 便可得到X(t)的功率。 对于平稳随机过程，有：
1 E[ X ( t )] 2
2
2015-2-10
S X ( )d
14
《随机信号分析》教学组
三、功率谱密度与自相关函数之间的关系
确定信号： x(t ) X ( j) 随机信号：平稳随机过程的自相关函数
率。 2 解： E[ X (t )] E[a 2 cos2 (0t )]
a2 E{ [1 cos(20t 2)]} 2 2 2 a a 22 cos(20t 2 )d 0 2 2
a2 a2 sin(20 t 2 ) 02 2 2 a2 a2 sin 20t 2
S X ( ) 2 RX ( ) cosd
0
RX ( )
2015-2-10
1
0
S X ( ) cos d
19
《随机信号分析》教学组
3．单边功率谱
由于实平稳过程x(t)的自相关函数 RX ( ) 是实偶函数，功率谱密度也一定是实偶函 数。有时我们经常利用只有正频率部分的 单边功率谱。
2T 1 1 2T lim{ d RX ( )e j du} 2T 2 T 2T 2T 1 2T j lim ( 2 T ) R ( ) e d X T 2T 2T 2T lim (1 ) RX ( )e j d T 2T 2T 2T j RX ( )e j d RX ( )e d lim
随机数学 第12讲 第七章平稳过程的谱分析(1)
简称谱密度。
2 即有： Ψ X =
求期望,再求极限，得随机过程的平均功率：
T →+∞
⎧ 1 lim E ⎨ ⎩ 2T
∫
T
−T
1 2 ⎫ 1 +∞ X 2 (t )dt ⎬ = ∫ lim E FX (ω , T ) dω ⎭ 2π −∞ T →+∞ 2T
1 +∞ S (ω )dω 2π ∫− ∞ X
性质2 S X (ω )是 ω的实的、非负的函数，对于实平稳过程，
S X (ω )还是偶函数.
注2： 由于
若X ( t ) 是实平稳过程，则S (ω ) 为偶函数.
S X (ω ) = ∫
+∞ −∞
RX (τ ) e − iωτ dτ
+∞ −∞
证明： 由定义 S (ω ) = Tlim 2T E FX (ω , T ) →+∞
+∞
−∞
X T2 (t )dt =
T −T
∫
T
−T
X 2 (t )dt =
1 +∞ 2 FX (ω , T ) dω. 2π ∫−∞
1 2T
∫
X 2 (t )dt =
1 +∞ 1 2 FX (ω , T ) dω. 2π ∫−∞ 2T
⎧ 1 T 2 ⎫ ⎬ ∫ X (t )dt ⎭ 称为X(t)的平均功率， ⎩ 2T −T 1 2 S X (ω ) = lim E FX (ω , T ) 称为X(t)的功率谱密度， T →+∞ 2T
lim 1 2 Fx (ω , T ) 为 x(t) 的功率谱密度 2T
称
T →+∞
称上面的等式 为 x(t) 的平均功率的谱表达式。 下面，讨论随机过程X(t)的平均功率及谱表达式
第四章 平稳随机过程的谱分析
1 2
S
X
(
)e
j
d
自相关函数和功率谱密度皆为偶函数
若随机过程X t是平稳的，自相关函数绝对可积，则自相关函数
jt
ddt
1
2
XX
()
x(t)e jt dtd
1
2
X
X
()X
* X
()d
1
2
X
X
()
2d
4.1、平稳随机过程的功率谱密度 ❖功率谱
功率型信号：能量无限、平均功率有限的信号
P lim 1 T s(t) 2 dt T 2T T 其能谱不存在，而功率谱存在
持续时间无限长的信号一般能量无限
4.1、平稳随机过程的功率谱密度
❖如何计算随机信号的平均功率？
2）时域计算方法
任一样本函数的平均功率为
W
lim
T
1 2T
T x2(t, )dt
T
随机过程的平均功率为
W
E[W
]
lim
T
1 2T
T E{X 2(t)}dt
T
若为各态历经过程：
W =W
4.1、平稳随机过程的功率谱密度 ❖如何计算随机信号的平均功率？
2020/5/20
6
4.1、平稳随机过程的功率谱密度
❖傅立叶变换
则 x(t)的傅立叶变换为：
X () x(t)e jt dt
其反变换为：
x(t) 1 X ()e jt d
2
频谱密度存在的条件为：
频谱密度
x(t)dt
2020/5/即20 信号为绝对可积信号
包含：振幅谱 相位谱
求各样本函数功率谱密度的统计平均
随机过程5.4 平稳过程的谱分析简介
1) S(ω)为实值非负函数，即
S() S() 0.
2)又若{X(t), t∈R}是实过程, 则S(ω)是偶 函数. 证 1) S() lim 1 E[ F(,T ) 2 ] S() 0;
T 2T
2) 实平稳过程的相关函数是偶函数, 由(5) 式可得
S() R()e jd R()e jd
2T T
2 2T
成立.
上式两边求均值再取极限, 左端为
lim
T
E
1 2T
T
X
2
(t
)dt
T
(4)
电子科技大学
称为平稳过程X(t) 的平均功率.
若(4)中的积分与求均值可交换顺序, 则
1
lim T 2T
T
E{
T
X (t )
2 }dt
E[
X (t )
注
RX
(
)
1
2
e
jt
dFX
(
),
R
称为平稳过程相关函数的谱展式.
定义5.4.1 称FX(ω)为过程{X(t),t∈T}的谱函
数，若存在SX (ω)，使
FX () SX (1 )d1, R
电子科技大学
称SX(ω)为过程的谱密度. 利用特征函数和分布函数之间的关系,可
S() R()e jd, (5)
R()
1 2ຫໍສະໝຸດ S ()ejd,(6)
平稳过程的相关函数与功率谱密度构成一
对Fourier变换.
注 (6) 式称为相关函数的谱分解式.
推论1 {X(t), t∈R}是平稳过程, 则其谱密 度S(ω) 满足
随机信号分析_第三章_平稳随机过程的谱分析
A RX (t , t ) e j d
说明如果A<RX(t,t+τ)>绝对可积，那自 相关函数的时间平均与功率谱密度是傅 里叶变换对。
对于平稳随机过程，由于： A<RX(t,t+τ)>＝ A<RX(τ)>＝ RX(τ) 所以: j S X ( ) RX ( )e d
S X ( ) R X ( )e
0
j
d
0
Ae e
j
d Ae
e
j
d
1 1 A[ ] j j 2 A 2 2
例3.4 P203 设随机相位信号X(t)＝Acos(ω0t+θ)， 其中A, ω0为常数； θ为随机相位，在（0， 2π）均匀分布。可以计算初其自相关函 数RX(τ)=[A2cos (ω0τ)]/2, 求X(t)的功率谱 密度。 解：引入δ函数。 1 1 j ()e d 2 2
3.2.1 功率谱密度的性质
1. 功率谱密度的非负性。即： SX(ω)>=0 2. 功率谱密度是ω的实函数。即： SX(ω)= SX(ω)
3. 对于实随机过程来讲，功率谱密度是ω 的偶函数。即： SX(ω)＝ SX(－ω) 4. 功率谱密度可积。即：
S X ( )d
3.2.2 谱分解定理
满足上述条件的x(t)的傅利叶变换为：
Fx ( ) x(t )e
jt
dt
称为x(t)的频谱。为一复数，有 Fx(ω)= Fx(-ω)
Fx(ω)的傅利叶反变换为：
1 x(t ) 2
随机过程Ch7 平稳过程的谱分析
2T
=
1 2
lim
4 T
1
T→∞ 2 T
|Fx(ω,T)|2dω
显然上式左边可以看做是x(t)消耗在1Ω电阻上的平均功 率,相应地,称右边的被积函数 lim |Fx(ω,T)|2 T→∞ 2 T 为功率密度. 以上讨论的是普通时间的实质函数的频谱分析,对于随 机过程{X(t),-≦<t<≦}可以作类似的分析.
T→∞ 2 T
E[X2(t)]dt T
T
=lim
T→∞
1 2T
[
T T
a
2
-
a
2
=
a
2
2
sin(2ω0t)]dt
.
2
以上讨论了平稳过程的谱密度,对于平稳随机序列的谱 分析,我们类似地给出以下结果.
平稳过程的谱密度
设{Xn,n=0,±1,±2,…}为平稳随机序列,均值为零.若 τ只取离散值,且相关函数RX(τ)满足 |RX(n)|＜≦.当 n ω在[-π,π]上取值时,若 sx(ω)= RX(n)e-inω (△) n 绝对一致收敛,则sx(ω)是[-π,π]上的连续函数, 且对 上式取绝对值再积分,有 |sx(ω)|dω≤ |RX(n)| |e-inω|dω＜≦, 故 sx(ω)einωdω存在.于是(△)是以 1 RX(n)= sx(ω)einωdω, n=0,±1,±2,…(△)
T→∞ 2 T
T
1
T
=RX(0). (◇) 由(◇)式和(◇)式看出,平稳过程的平均功率等于该过程 的均方值,或等于它的谱密度在频域上的积分,即 2= 1 S (ω)dω. ψ X
该式是平稳过程X(t)的平均功率的频谱展开式,sX(ω)描 述了各种频率成分所具有的能量大小. 例7.1 设有随机过程X(t)=acos(ω0t+Θ), a,ω0为常数,
=
1 2
lim
4 T
1
T→∞ 2 T
|Fx(ω,T)|2dω
显然上式左边可以看做是x(t)消耗在1Ω电阻上的平均功 率,相应地,称右边的被积函数 lim |Fx(ω,T)|2 T→∞ 2 T 为功率密度. 以上讨论的是普通时间的实质函数的频谱分析,对于随 机过程{X(t),-≦<t<≦}可以作类似的分析.
T→∞ 2 T
E[X2(t)]dt T
T
=lim
T→∞
1 2T
[
T T
a
2
-
a
2
=
a
2
2
sin(2ω0t)]dt
.
2
以上讨论了平稳过程的谱密度,对于平稳随机序列的谱 分析,我们类似地给出以下结果.
平稳过程的谱密度
设{Xn,n=0,±1,±2,…}为平稳随机序列,均值为零.若 τ只取离散值,且相关函数RX(τ)满足 |RX(n)|＜≦.当 n ω在[-π,π]上取值时,若 sx(ω)= RX(n)e-inω (△) n 绝对一致收敛,则sx(ω)是[-π,π]上的连续函数, 且对 上式取绝对值再积分,有 |sx(ω)|dω≤ |RX(n)| |e-inω|dω＜≦, 故 sx(ω)einωdω存在.于是(△)是以 1 RX(n)= sx(ω)einωdω, n=0,±1,±2,…(△)
T→∞ 2 T
T
1
T
=RX(0). (◇) 由(◇)式和(◇)式看出,平稳过程的平均功率等于该过程 的均方值,或等于它的谱密度在频域上的积分,即 2= 1 S (ω)dω. ψ X
该式是平稳过程X(t)的平均功率的频谱展开式,sX(ω)描 述了各种频率成分所具有的能量大小. 例7.1 设有随机过程X(t)=acos(ω0t+Θ), a,ω0为常数,
刘次华版 平稳随机过程的谱分析
平稳过程的谱分析
指导教师：卢玉贞
主讲人：柳 毅 团队成员：郑蓉蓉 潘智慧 李朝阳 李 阳 LOGO
7.3 窄带过程及白噪声过程的功率谱密度
窄带随机过程：谱密度限制在很窄的一段频率范围内。
求该过程的均方值及相关函数。 解 均方值为
S0 -2 1 例1: 已知窄带平稳过程的谱密度为 s X ( ) S0 1 2 0 其它
1 s XY ( )ei d 2 1 a ib i e d 2 0 1 [(a0 b) sin( 0 ) b0 cos(0 )]. 2
0 0
解： RXY ( )
0
7.5 平稳过程通过线性系统的分析
1 E[ X 2(t )] RX (0) 2
相关函数为
s X ( )d
2
1
1
2
1
s0 d
1
s0 (2 1 )
R X ( )
1
0
s X ( ) cos( )d 2 s0
1
s0 cos( )d 2 ) sin(
yt L e
H e
jt
jt
其中
H L e jt
t 0
对线性时不变系统输入一谐波信号时，其输出也是同频率的谐波， 只不过振幅和相位有所改变。其中H表示了这个变化，称它为系统的频 率响应函数一般地，它是复值函数。
7.5 平稳过程通过线性系统的分析
s XY ( )
2
s X ( ) sY ( ) .
(4) 若 X t 和 Y t 相互正交，则
指导教师：卢玉贞
主讲人：柳 毅 团队成员：郑蓉蓉 潘智慧 李朝阳 李 阳 LOGO
7.3 窄带过程及白噪声过程的功率谱密度
窄带随机过程：谱密度限制在很窄的一段频率范围内。
求该过程的均方值及相关函数。 解 均方值为
S0 -2 1 例1: 已知窄带平稳过程的谱密度为 s X ( ) S0 1 2 0 其它
1 s XY ( )ei d 2 1 a ib i e d 2 0 1 [(a0 b) sin( 0 ) b0 cos(0 )]. 2
0 0
解： RXY ( )
0
7.5 平稳过程通过线性系统的分析
1 E[ X 2(t )] RX (0) 2
相关函数为
s X ( )d
2
1
1
2
1
s0 d
1
s0 (2 1 )
R X ( )
1
0
s X ( ) cos( )d 2 s0
1
s0 cos( )d 2 ) sin(
yt L e
H e
jt
jt
其中
H L e jt
t 0
对线性时不变系统输入一谐波信号时，其输出也是同频率的谐波， 只不过振幅和相位有所改变。其中H表示了这个变化，称它为系统的频 率响应函数一般地，它是复值函数。
7.5 平稳过程通过线性系统的分析
s XY ( )
2
s X ( ) sY ( ) .
(4) 若 X t 和 Y t 相互正交，则
精品文档-随机过程——计算与应用(研究生)(冯海林)-平稳过程1
随机过程引论——西安电子科技大学数学与统计学院 冯海林
平稳过程的定义 定义 5.1.1 设X={Xt,t∈T}是随机过程,如果对任意的
n 1, t1, t2 , , tn T和实数，当t1 ,t2 , , tn T时，
n维随机变量 (Xt1 , Xt2 , , Xtn )和 (Xt1 , Xt2 , , Xtn ) 有相同的联合分布函数,即
则
mX (t)
xdFt (x)
xdF (x)与t无关，为常数
RX (s,t )
x1x
2d
Fs,t (x1, x2 )
x1
x2
dF0,t
s
(
x1,
x2
)，仅与时间间隔有关系
随机过程引论——西安电子科技大学数学与统计学院 冯海林
用定义判断一个过程的严平稳性是困难的. 在理论与应用上多的是宽平稳过程.
Ft1,t2 , ,tn (x1, x2 , , xn ) Ft1 ,t2 , ,tn ( x1, x2 , , xn )
则称X是严平稳过程.
随机过程引论——西安电子科技大学数学与统计学院 冯海林
例5.1.1 设N={Nt,t≥0}是参数为λ 的泊松过程，对任意固定 的常数a>0,令
Xt =Nta Nt ,
例5.1.6 设{An,n=1,2,…N} 和{Bn,n=1,2,…N}是两列实值 随机变量序列.且
E[An ] E[Bn ] 0, E[AnBm ] 0,
E[AnAm ] E[BnBm ] n2mn , 设n >0,定义随机过程：
N
Xt [Ak cos(kt) Bk sin(kt)], t (, ), k 1
2[a 2 min(0, ) min(a, ) min(0, a)]
平稳过程的定义 定义 5.1.1 设X={Xt,t∈T}是随机过程,如果对任意的
n 1, t1, t2 , , tn T和实数，当t1 ,t2 , , tn T时，
n维随机变量 (Xt1 , Xt2 , , Xtn )和 (Xt1 , Xt2 , , Xtn ) 有相同的联合分布函数,即
则
mX (t)
xdFt (x)
xdF (x)与t无关，为常数
RX (s,t )
x1x
2d
Fs,t (x1, x2 )
x1
x2
dF0,t
s
(
x1,
x2
)，仅与时间间隔有关系
随机过程引论——西安电子科技大学数学与统计学院 冯海林
用定义判断一个过程的严平稳性是困难的. 在理论与应用上多的是宽平稳过程.
Ft1,t2 , ,tn (x1, x2 , , xn ) Ft1 ,t2 , ,tn ( x1, x2 , , xn )
则称X是严平稳过程.
随机过程引论——西安电子科技大学数学与统计学院 冯海林
例5.1.1 设N={Nt,t≥0}是参数为λ 的泊松过程，对任意固定 的常数a>0,令
Xt =Nta Nt ,
例5.1.6 设{An,n=1,2,…N} 和{Bn,n=1,2,…N}是两列实值 随机变量序列.且
E[An ] E[Bn ] 0, E[AnBm ] 0,
E[AnAm ] E[BnBm ] n2mn , 设n >0,定义随机过程：
N
Xt [Ak cos(kt) Bk sin(kt)], t (, ), k 1
2[a 2 min(0, ) min(a, ) min(0, a)]
平稳随机过程的谱分析
a
a2 ( 0 )2 a2 ( 0 )2
设平稳过程 X(t)的谱密度是 SX ，
若 Y(t)＝X(t)+ X(t－T), 其中 T 为已知
求 Y(t) 的谱密度 SY
联合平稳过程的互谱密度
[定义] 设 X (t) 和 Y (t) 是两个平稳过程，且它们是联合
平稳（平稳相关）的，若它们的互相关函数 RXY() 满
n1
由欧拉公式 f (t) Fne jn1t
n
其中 F (0) a0
Fn
1 2
(an
jbn ),n
0
引入了负频率
1 Fn 2 (an jbn ),n 0
12
指数形式的傅里叶级数的系数
Fn
1 T
T
2 T
f ( )e jn1 dt
2
f (t) 1
T
n
T
2 T
2
f
(
)e
一种测量声音的相对响度的单位 巴斯卡＝牛顿/平方米 ( N/m2) 人类最小感知 20个微巴斯卡，用巴斯卡(Pa)来表达声音或噪音， 须处理小至20，大至2,000,000,000的数字
白噪声，就是说功率谱为一常数；也就是说，其协方差函 数在delay=0时不为0，在delay不等于0时值为零； 换句 话说，样本点互不相关。
2
f
(
)e
jn1
d
e
jn1t
n
f (t) 1
2
∞ -∞
f(τ)e-jωτdτe
jt
d
傅立叶变换将平方可积且满足狄利赫利条件的函数f（t）表 示成复指数函数的积分或级数形式。
F () ∞ f(τ)e-jωτdτ -∞
第二章平稳随机过程的谱分析
第二章平稳随机过程的谱分析本章要解决的问题：●随机信号是否也可以应用频域分析方法?●傅里叶变换能否应用于随机信号？●相关函数与功率谱的关系●功率谱的应用●采样定理●白噪声的定义2.1 随机过程的谱分析2.1.1 预备知识1、付氏变换:对于一个确定性时间信号x(t)，设x(t)是时间t的非周期实函数，且x(t) 满足狄利赫利条件（有限个极值，有限个断点，断点为有限值）且绝对可积，能量有限，则x(t)傅里叶变换存在。
即：满足上述三个条件的x(t)的傅里叶变换为：其反变换为：2、帕赛瓦等式由上面式子可以得到：——称为非周期性时间函数的帕塞瓦(Parseval)等式。
物理意义：若x(t)表示的是电压(或电流)，则上式左边代表x(t)在时间(- ,)区间的总能量（单位阻抗）。
因此，等式右边的被积函数表示了信号x(t)能量按频率分布的情况，故称为能量谱密度。
2.1.2、随机过程的功率谱密度一个信号的付氏变换是否存在，需要满足三个条件，那么随机信号是否满足这三个条件从而存在付氏变换呢？随机信号持续时间无限长，因此，对于非0的样本函数，它的能量一般也是无限的，因此，其付氏变换不存在。
但是注意到它的平均功率是有限的，在特定的条件下，仍然可以利用博里叶变换这一工具。
为了将傅里叶变换方法应用于随机过程，必须对过程的样本函数做某些限制，最简单的一种方法是应用截取函数。
截取函数(t):图2.1(t)及其截取函数当x(t)为有限值时，裁取函数(t)满足绝对可积条件。
因此，(t)的傅里叶变换存在，有很明显，(t)也应满足帕塞瓦等式，即：（注意积分区间和表达式的变化）用2T除上式等号的两端，可以得到等号两边取集合平均，可以得到:令，再取极限，便可得到随机过程的平均功率。
交换求数学期望和积分的次序，可以得到：(注意这里由一条样本函数推广到更一般的随机过程，即下面式子对所有的样本函数均适用)上式等号的左边表示的正是随机过程消耗在单位电阻上的平均功率（包含时间平均和统计平均），以后我们将简称它为随机过程的功率并记为Q。
第7章平稳过程的谱分析资料
sX () = N0 ( < < ) ，则称 X (t) 为白噪声过程。
相关函数：
RX
(
)
1
2
s
X
(
)
ei
d
N0
2
ei d
N0
(
)
[定义′] 称均值为零、相关函数 RX () = N0 () 的实平
稳过程为白噪声过程。
目录
7.4 联合平稳过程的互谱密度
频率响应与脉冲响应
对于线性时不变系统，输出 y (t) 等于输入 x (t)与单位 脉冲响应 h (t) 的卷积，
y(t) x(t) h(t)
傅式变换——输出频谱Y () 与输入频谱 X () 的关系：
Y () X () H ()
定理1
设L为线性时不变系统，当输入一个谐波信号 x(t)=eit 时，则输出为
对平稳随机序列 X n , n 0,1,2, ，均值为0，如果
| RX (n) |
n
当 在 [ , ] 上取值时，若
sX () RX (n)ein n
绝对一致收敛，则sX () 是[ , ] 上的连续函数，称
sX () RX (n)ein ,
L[a1x1(t) a2 x2 (t)] a1L[x1(t)] a2 L[x2 (t)] a1 y1(t) a2 y2 (t)
时不变系统： y(t ) L[x(t )]
下列微分算子和积分算子是线性时不变的
（1） （2）
L d dt
t
L ( )du
a0
2m
相关函数：
RX
(
)
1
2
s
X
(
)
ei
d
N0
2
ei d
N0
(
)
[定义′] 称均值为零、相关函数 RX () = N0 () 的实平
稳过程为白噪声过程。
目录
7.4 联合平稳过程的互谱密度
频率响应与脉冲响应
对于线性时不变系统，输出 y (t) 等于输入 x (t)与单位 脉冲响应 h (t) 的卷积，
y(t) x(t) h(t)
傅式变换——输出频谱Y () 与输入频谱 X () 的关系：
Y () X () H ()
定理1
设L为线性时不变系统，当输入一个谐波信号 x(t)=eit 时，则输出为
对平稳随机序列 X n , n 0,1,2, ，均值为0，如果
| RX (n) |
n
当 在 [ , ] 上取值时，若
sX () RX (n)ein n
绝对一致收敛，则sX () 是[ , ] 上的连续函数，称
sX () RX (n)ein ,
L[a1x1(t) a2 x2 (t)] a1L[x1(t)] a2 L[x2 (t)] a1 y1(t) a2 y2 (t)
时不变系统： y(t ) L[x(t )]
下列微分算子和积分算子是线性时不变的
（1） （2）
L d dt
t
L ( )du
a0
2m
平稳随机过程的谱分析1
解：
S ( z)
' X
m
RX (m) z
m 0
E[ X 2 (t )]
1 j S X ( s)ds j 2j
利用留数定理，考虑沿着左半平面上的一个半径为无穷大的半圆积分
3.2平稳随机过程的功率谱密度性质
左半平面有两个极点，在－1和－3处，于是，可以 分别计算两个极点的留数为
K 1 K 3
故
( s 2)(s 2) 3 |s 1 ( s 3)(s 1)(s 3) 16 ( s 2)(s 2) 5 |s 3 ( s 1)(s 1)(s 3) 48
j
5 6 2 5
2 6
习
3.1
题
设平稳随机过程X(t)的功率密度为
25 2 16 S X ( ) 4 34 2 225
求用复频率s=j表示的SX(s)，并在复频率面上画出SX(s) 的零、极点图。
3.2平稳随机过程的功率谱密度性质
2
a 2 1 j0 j0 j ( e e ) e d 2 2 a 2 j ( 0 ) j ( 0 ) [ e e ]d 4 a 2 [ ( 0 ) ( 0 )] 2
3.3平稳随机过程的功率谱密 度与自相关函数之间的关系
1 ' m 1 S ( z ) z dz D X 2j
式中D为收敛区中的简单闭合围线。
3.4 离散时间随机过程的功率谱密度
（二）平稳过程的采样定理
若零均值的限带平稳过程X(t)的功率谱密度为
S X ( ), S X ( ) 0, | | c | | c