数值分析第八章New
数值分析课件第八章
1
反幂法可求非奇异实矩阵的按模最小特征值及特征向量。
k 1,2,, vk xn uk . max(vk )
§2
一、幂法
幂法及反幂法
幂法是一种求实矩阵A的按模最大的特征值λ 1及其对 应的特征向量x1的方法。特别适合于大型稀疏矩阵。
设A (aij )nn R nn有一个完全特征向量组, 其特征值 为1, 2 ,, n , 对应的特征向量为x1, x2 ,, xn .
并设A的主特征值是实根，且满足
事实上，对于任给非零向量u0 v0， v1 Au0 Av0 , v1 Av0 u1 , max(v1 ) max(Av0 )
A2v0 v2 A2v0 v2 Au1 , u2 , 2 max( Av0 ) max(v2 ) max( A v0 ) ,
Ak v0 vk Ak v0 vk , uk . k 1 k max(vk ) max(A v0 ) max(A v0 )
1 2 n ,
(2.1)
现在讨论求1及x1的基本方法—幂法.
选取v0 0，则v0 a1x1 a2x2 an xn ,(设a1 0)
v1 Av0 a11 x1 a22 x2 ann xn , v k Av k 1 A k v 0 a11k x1 a2 2k x 2 an nk x n
x0
（3）
( Ax, x) n minn . xR (x,x)
x0
二、特征值估计与扰动
定 义 1 设A (aij ) nn , 令 n （ ）i | aij | (2) Di {z | | z aii | ri , z C}, (i 1, , n) 1 r ， ji 称Di为复平面上以aii为圆心以ri为半径的Gerschgori 圆盘. n
数值分析课后答案8
第八章习题解答1、已知方程3210x x --=在 1.5x =附近有根，将方程写成以下三种不同的等价形式：①211x x=+；②x =x =试判断以上三种格式迭代函数的收敛性，并选出一种较好的格式。
解：①令121()1x x ϕ=+，则'132()x x ϕ=-，'132(1.5)0.592611.5ϕ=≈<，故迭代收敛；②令2()x ϕ=2'2322()(1)3x x x ϕ-=+，'2(1.5)0.45581ϕ≈<，故迭代收敛；③令3()x ϕ='3()x ϕ=，'3(1.5) 1.41421ϕ≈>，故迭代发散。
以上三中以第二种迭代格式较好。
2、设方程()0f x =有根，且'0()m f x M <≤≤。
试证明由迭代格式1()k k k x x f x λ+=-(0,1,2,)k = 产生的迭代序列{}0k k x ∞=对任意的初值0(,)x ∈-∞+∞，当20Mλ<<时，均收敛于方程的根。
证明：设()()x x f x ϕλ=-，则''()1()x f x ϕλ=-，故'1()1M x m λϕλ-<<-，进而可知， 当20Mλ<<时，'1()1x ϕ-<<，即'()1x ϕ<，从而由压缩映像定理可知结论成立。
3、试分别用Newton 法和割线法求以下方程的根cos 0x x -=取初值010.5,4x x π==，比较计算结果。
解：Newton 法：1230.75522242,=0.73914166,=0.73908513x x x =；割线法：23450.73638414,=0.73905814,=0.73908515,=0.73908513x x x x =； 比较可知Newton 法比割线法收敛速度稍快。
数值分析第八章
数值实验:几种不同求数值解公式的误差比较
n h 10 0.2 20 0.1 30 0.0667 40 0.05 2.186e-007
RK4 6.862e-005 3.747e-006 7.071e-007 RK3 0.0012
1.529e-004 4.517e-005 1.906e-005
RK2
Euler
得 yn+1 = yn + 0.5h[f(xn,yn)+f(xn+1, yn+hf(xn, yn))]
f(xn+1, yn+hf(xn, yn))= f(xn+h, yn+hf(xn, yn)) = f (xn, yn)+h[fx’]n + hf(xn,yn) [fy’]n + O(h2)
y( xn ) f ( xn , yn )
(n = 0, 1, 2, · · · · ,N)
yn1
h yn [k1 k 2 ] 2
(n = 0, 1, 2, · · · · · · · ,N)
k1 = f(xn , yn) , k2 = f( xn+1 , yn+ h k1) 一阶常微分方程组 初值问题
dx f1 ( t , x , y ) dt dy f ( t , x , y ) 2 dt
x(t0 ) x0 y(t0 ) y0
17/34
一阶常微分方程组的向量表示
x 记 Y y
f1 ( t , Y ) F (t ,Y ) f ( t , Y ) 2
t0
Y (t0 ) Y0
欧拉公式:
6/34
由梯形公式推出的预-校方法:
数值分析第7-8章
作为主元素 解：选择所有系数中绝对值最大的40作为主元素， 选择所有系数中绝对值最大的 作为主元素， 交换第一、二行和交换第一、 交换第一、二行和交换第一、二列使该主元素位于 对角线的第一个位置上， 对角线的第一个位置上，得 40x2 - 20x1 + x3 =4 -19x2+10x1 - 2x3=3 4x2+ x1 +5x3=5 (4) (5) (6)
(5)- l21(4), (6)- l31(4)得
x2 – 1.5x3=5 选6为主元素 为主元素 6x2 + 5.05x3=5.2 (9) x2 – 1.5x3=5 (10) 计算l 计算 32=1/6=0.16667， ， (10)- l32(9) 得 -2.34168x3=4.13332 (11) (7) 6x2 + 5.05x3=5.2 (8)
记笔记
计算l21=-19/40=0.475， l31=4/40=0.1 (5)- l21(4), (6)- l31(4)得
0.5x1 –1.525x3=4.9 3x1 + 4.9x3=4.6 选4.9为主元素 为主元素 4.9x3 + 3x1=4.6 1.525x3 +0.5x1=4.9 (7) (8) (9) (10)
| a i k , k | = max | a ik | ≠ 0
k ≤i≤n
10 − 9 例： 1
1 1
1 2
⇒
1 10 − 9
1 1
2 1
⇒
1 0
1 1
2 1
⇒
x2 = 1 ,
x1 = 1
注：列主元法没有全主元法稳定。 列主元法没有全主元法稳定。
例：用高斯消去法解方程组
最新(完美版)第八章习题答案_数值分析
第八章习题解答3、设方程()0f x =有根，且'0()m f x M <≤≤。
试证明由迭代格式1()k k k x x f x λ+=- (0,1,2,)k =产生的迭代序列{}0k k x ∞=对任意的初值0(,)x ∈-∞+∞，当20M λ<<时，均收敛于方程的根。
证明：设()()x x f x ϕλ=-，可知()x ϕ在(,)-∞∞上可导对于任意给定的λ值，满足条件'0()m f x M <≤≤时（1）''()1()x f x ϕλ=- 则1'()11M x m λϕλ-≤≤-< 又20Mλ<<，M>0 则02M λ<<时，11M λ-<- 所以11'()11M x m λϕλ-<-≤≤-< 若令max{1,1}L M m λλ=--，则可知'()1x L ϕ≤<（2）由0()(0)'()(0)'()xx x dx x ϕϕϕϕϕε=+=+⎰ 则()lim 1x x L x ϕ→∞⎛⎫≤< ⎪⎝⎭所以，存在一个数a ，当x a >时，()x x ϕ<同时，()x ϕ在[,]a a -内有界，即存在0b >使得[,]x a a ∀∈-，()x b ϕ<我们选取 max{,}c a b =，则对任意x 有0()max{,}x c x ϕ<则对给定的任意初值0x ，设0max{,}d c x =则0[,]x d d ∈-，于是在区间[,]d d -上有()x d ϕ<即满足映内性有（1）、（2）可知，()x ϕ满足收敛定理迭代序列0{}k k x ∞=收敛于方程的根6. 给出计算...222+++=x 的迭代格式，讨论迭代格式的收敛性，并证明2=x解：构造迭代格式10,1,2,k x k +==∙∙∙2k x ≤令()x ϕ=x ⎤∈⎦时，()x ϕ⎤∈⎦'()x ϕ=，当x ⎤∈⎦时，1'()12x ϕ<<所以，迭代格式收敛，且收敛于()x xϕ=在⎤⎦上的根，即x=x=2。
数值分析第八章常微分方程初值问题的数值解法2011.9
西北工业大学理学院欧阳洁1常微分方程初值问题的数值解法§3Runge –Kutta 方法§4单步法的收敛性、相容性和稳定性§5 线性多步法第八章§1常微方分程常微方分程初值问题的数值解法概述§2几种简单的单步法西北工业大学理学院欧阳洁2一问题及基本假设§1 常微方分程常微方分程初值问题的数值解法概述二离散化方法上述定理称为一阶常微分方程初值问题解的适定性（存在性、惟一性与稳定性）定理。
对所讨论的一阶常微分方程初值问题，本章假设该问题是适定的，即解析解y(x)在区间[a,b]上是存在、惟一，且具有充分的光滑度。
因此f(x,y(x))也充分光滑。
西北工业大学理学院欧阳洁4西北工业大学理学院欧阳洁6常微分方程初值问题的数值解法分为：①单(一)步法：计算时，只用到和，即前一步的值。
1+n y n y n n x x ,1+显式单步法的一般形式为②多步法：计算时，除用到和以外，还用到和，即用到前k 步的值。
p n x −)1;1,2,1(>−=−k k p y p n L 1+n y n y n n x x ,1+对单步法与多步法，有显式与隐式方法之分。
显式、隐式多步法的一般形式类似。
隐式单步法的一般形式为),,(1h y x h y y n n n n ϕ+=+),,,(11h y y x h y y n n n n n +++=ϕ数值解法建立的过程：通过一定的离散化方法,将连续性问题的求解转化为有限个离散节点上解析解近似值的求解。
常用的离散化方法：Taylor 展开法；差商直接代替微商；数值积分法。
§2 几种简单的单步法一显式Euler公式二隐式Euler公式三梯形公式四Euler-梯形预测校正公式五单步法的局部截断误差和阶西北工业大学理学院欧阳洁7西北工业大学理学院欧阳洁18设一般的单步法为：显式公式隐式公式定义为某一数值方法在处的整体截断误差。
数值分析第八章
李元庆 (东南大学数学系)
数值分析 Numerical Analysis 7
2012 年 8 月 29 日 2 / 68
偏微分方程的求解
相比常微分方程，偏微分的求解更为困难。 原因有很多，比如说： 求解问题的区域更加不规则 初边值条件更为复杂等。 除少数几种特殊情况，求出偏微分方程的精确解是很困难的。 即使是数值求解，PDEs的求解依然是当今的热门领域。
+
...
,
k = 0, 1, · · · , N − 1.
τf (xM−2, tk )
τf (xM−1, tk ) + r β (tk )
李元庆 (东南大学数学系)
数值分析 Numerical Analysis 7
2012 年 8 月 29 日 18 / 68
古典隐式格式：1
u(a, t) = α(t), u(b, t) = β (t), t ∈ [0, T ].
此时，b2 − 4ac = 0 。 简单地说，抛物型方程描述的是与时间相关的、消耗性的物理 过程，如扩散，它一般都演变到某一稳定状态。 典型代表：热传导方程。
李元庆 (东南大学数学系)
数值分析 Numerical Analysis 7
g
(x0)
=
1 h
[g(x0
+ h/2) − g(x0
− h/2)] −
h2 g
24
(ξ3).
g
(x0) =
1 h2
[g(x0 + h) − 2g(x0) + g(x0 − h)] −
h2 12
g
数值分析第四版课后答案答案第八章
第八章 常微分方程初值问题数值解法1、解：欧拉法公式为221(,)(100),0,1,2+=+=++=n n n n n n n y y hf x y y h x y n代00y =入上式，计算结果为 123(0.1)0.0,(0.2)0.0010,(0.3)0.00501≈=≈=≈=y y y y y y2、解：改进的欧拉法为1112[(,)(,(,))]n n n n n n n n y y h f x y f x y hf x y ++=+++将2(,)=+-f x y x x y 代入上式，得2111111221n n n n n n h hh x x x x y h y +++)+[(-)(+)+(+)]=(-+ 同理，梯形法公式为211122[(1)(1)]-+++++=++++h h n nn n n n h h y y x x x x 将00,0.1y h ==代入上二式，，计算结果见表9—5表 9—5可见梯形方法比改进的欧拉法精确。
3、证明：梯形公式为111[(,)(,)]2n n n n n n hy y f x y f x y +++=++代(,)f x y y =-入上式，得11[]2++=+--n n n n hy y y y解得21110222()()()222n n n n h h h y y y y h h h++----===⋯=+++ 因为01y =，故2()2nn h y h-=+ 对0x∀>，以h 为步长经n 步运算可求得()y x 的近似值n y ，故,,xx nh n h==代入上式有2()2x hn hy h-=+22220000222lim lim()lim(1)lim[(1)]222x x h h xx h h h h hn h h h h h h h y e h h h+-+→→→→-==-=-=+++4、解：令2()xt y x e dt =⎰，则有初值问题2',(0)0x y e y ==对上述问题应用欧拉法，取h=0.5,计算公式为210.5,0,1,2,3n x n n y y e n +=+=由0(0)0,y y ==得1234(0.5)0.5,(1.0) 1.142012708(1.5) 2.501153623,(2.0)7.245021541≈=≈=≈=≈=y y y y y y y y5、解： 四阶经典龙格-库塔方法计算公式见式（9.7）。
《数值分析教程》课件
一种适用于大规模计算的数值方法
详细描述
谱方法适用于大规模计算，通过将问题分解为较小的子问 题并利用多线程或分布式计算等技术进行并行计算，可以 有效地处理大规模的计算任务。
感谢您的观看
THANKS
具有简单、稳定和可靠的优点。
05
数值积分与微分
牛顿-莱布尼兹公式
要点一
总结词
牛顿-莱布尼兹公式是数值积分中的基本公式，用于计算定 积分。
要点二
详细描述
牛顿-莱布尼兹公式基于定积分的定义，通过选取一系列小 区间上的近似值，将定积分转化为一系列小矩形面积之和 ，从而实现了数值积分。
复化求积公式
总结词
算机实现各种算法，为各个领域的科学研究和技术开发提供了强有力的支持。
数值分析的应用领域
总结词
数值分析的应用领域非常广泛，包括科学计算、工程 、经济、金融、生物医学等。
详细描述
数值分析的应用领域非常广泛，几乎涵盖了所有的科学 和工程领域。在科学计算方面，数值分析用于模拟和预 测各种自然现象，如气候变化、生态系统和地球科学等 。在工程领域，数值分析用于解决各种复杂的工程问题 ，如航空航天、机械、土木和电子工程等。在经济和金 融领域，数值分析用于进行统计分析、预测和优化等。 在生物医学领域，数值分析用于图像处理、疾病诊断和 治疗等。总之，数值分析已经成为各个领域中不可或缺 的重要工具。
03
线性方程组的数值解法
高斯消去法
总结词
高斯消去法是一种直接求解线性方程组的方法，通过一系列 行变换将系数矩阵变为上三角矩阵，然后求解上三角方程组 得到解。
详细描述
高斯消去法的基本思想是将系数矩阵通过行变换化为上三角 矩阵，然后通过回带求解得到方程组的解。该方法具有较高 的稳定性和精度，适用于中小规模线性方程组的求解。
数值分析课件第8章3-4节
其中 U 0 U1U 2 U n2 为初等反射阵的乘积.
1. U0 I
2. 对于 k 1,2,, n 2
(1) 计算初等反射阵 Rk 使 Rk ck k e1
11
(2) 约化计算
Ik A U k AU k , U k Rk
(3)
1 4.472136,
T R1 I 11u1u1 .
则有
R1c1 1e1 .
(2) 约化计算 令
1 U1 0 0 , R1
14
则
4 A2 U1 A1U1 4.472136 0 7.602631 7.799999 0.399999 0.447214 0.400000 H . 2.200000
23
对于一般矩阵 A R nn （或对称矩阵），首先用豪斯 霍尔德方法将 A化为上海森伯格阵 B（或对称三对角阵）， 然后再用QR方法计算 B的全部特征值. 设 A R nn ，且对 A进行QR分解，即
A QR,
其中 R为上三角阵，Q 为正交阵. 于是可得到一个新矩阵
B RQ Q T AQ.
20
( 6)
ak , k k uk 1,k
(7)
3)
bk k d
应用变换
(1)
(2)
s0
(k T 计算A22 ) uk 及uk rk
对于i k 1,,n
(a ) bi h
j k 1
a
i
ij
u jk a ji u jk
j i1
5
(2) 第 k 步约化： 重复上述过程，设对 A已完成第1步，…，第 k 1步 正交相似变换
数值分析第八章
解 : 确 定 有 根 区 间 Q f (1 ) = − 9 < 0 , f ( 2 ) = 8 > 0
∴ [1, 2 ]为有根区间
取x n 做为近似值 , 误差为 1 × 10 − 4 , 2 只需
b−a 2 n +1
为使误差不超过
1 1 < × 10 − 4 2 n +1 2
(n + 1) ln 0.5 < ln0.5 − 4 ln10 n≥ − 4ln10 ≈ 13.3 ln0.5
(3) 对∀x0 ∈[ a, b] , 令 x n = ϕ ( x n−1 ) 要证 xn → x *
xn − x
∗
证明 : 对 ∀ x , y ∈ [a , b ], 由微 分中值定理 ϕ ( x) − ϕ ( y) = ϕ′(ξ )(x − y) ξ ∈( x, y)
= ϕ ( xn−1 ) − ϕ ( x )
二分法的误差 :
第八章
非线性方程及非线性方程组解法
a
a2 a1 x0
x* x1 b2 b b1
第八章习题
P288: 3 , 6, 7, 8, 9, 10(计算一个), 11(写公式计算2,3步) 12, 13, 14, 16(1)(写公式计算2,3步)
[a , b ] ⊃ [a1 , b1 ] ⊃ [a 2 , b2 ] ⊃ L ⊃ [an , bn ] ⊃ L
x 15 − x 14 = 0 . 0036223
x 4 = 1 . 5633947 x 7 = 1 . 6081705 x10 = 1 .5884803 x 13 = 1 . 5972529
x 5 = 1 .6178746 x 8 = 1. 5840930 x 11 = 1 .5991837 x14 = 1 .5925061
《数值分析》第8章
假设 ρ (J ) ≥ 1 ，则 J 至少存在一个特征值满足： λ ≥ 1 ，设 x 是相应的特征向量，则 x ≠ 0 ，且
29
n× n
Jx = λ x ⇔ ( D −
⎧ x ( k +1) = Gx ( k ) + f ⎨ (0) ⎩x
7 8
写成分量形式为：
i −1 n ⎧ ( k +1) 1 = (bi − ∑ aij x(jk +1) − ∑ aij x(jk ) ) (i = 1,", n, k = 0,1,") ⎪ xi aii j =1 j = i +1 ⎪ ⎨ ⎪ (0) (0) (0) (0) T ⎪ ⎩ x = ( x1 , x2 ,", xn )
⎡ 0 ⎤ ⎢a ⎥ 0 ⎥ , L = − ⎢ 21 ⎢ # % % ⎥ % ⎢ ⎥ ann ⎦ ⎣ a n1 " a n , n − 1 ⎤ ⎡ 0 a12 " a1n ⎤ ⎥ ⎢ ⎥ 0 % # ⎥ ⎥ ,U = − ⎢ ⎥ ⎢ % an −1, n ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ 0⎦ 0 ⎦ ⎣
§2 Jacobi 迭代法与 Gauss－Seidel 迭代法
1 k
为迭代法的平均收
25
26
Def 3.3 设 A = (aij ) ∈ R ，如果矩阵 A 满足条件
aii > ∑ aij
j≠i
n× n
( i = 1, 2," , n)
Def 3.4 设 A = (aij ) ∈ R 排列阵 P 使
n× n
，当 n ≥ 2 时，如果存在 n 阶
Chap8_基本分析
数据准备
读入顾客消费的原始明细数据 对原始数据进行类型变换 将消费日期的存储类型转换为日期型
RFM汇总
Hale Waihona Puke Calculate recency relative to：指定一个时间点，FRM汇总时将在顾客 消费明细数据中，找到据此时间点最近的消费日期并计算最近一次消费 IDs are contiguous：如果明细数据已按ID框中指定的变量排序，则选中 该框，可提高计算效率，否则不选 ID：指定可识别客户的关键变量，通常为顾客编号 Date、Value：分别指定表示消费日期和消费金额的变量 New field name extension：RFM汇总将自动派生代表RFM的三个变量，名 称分别为Recency、Frequency、Monetary，若需在这三个变量名上添加扩 展名，则在该框后面给出扩展名，并指定扩展名作为前缀还是后缀 Discard records with value below：选中该项表示消费金额低于指定值 的明细数据将不参与RFM汇总 Only include recent transactions：当明细数据较大时，可指定仅最近 的明细数据参与RFM汇总 选中 Transactions date after并给定一个日期，表示该日期以后的 明细数据参与RFM汇总 Transaction within the last：指定上述时间点以前的若干年（月、 周、日）的明细数据参与RFM汇总
数值型变量的基本分析方法
单变量 数值分析 对数值型数据，应计算一些基本描述统计量，以反映变量分布的 集中趋势和离散程度。 描述集中趋势的统计量一般包括：均值、中位数、众数等 描述离散程度的统计量一般包括：方差、标准差、极差等 图形分析 绘制直方图 双变量 计算相关系数 绘制散点图
数值分析课件第八章-数值积分.ppt
g(u)
n (u n j)
n/2
(u j)
j0
2
jn / 2
是奇函数，故R[f]=0。证毕。
8.3 复合求积公式
1、复合梯形公式
将[a,b]n等分，h=(b-a)/n，在每个子区间[xk, xk+1] (k=0,1,…,n-1)上采用梯形公式，得
I
b
n1
f (x)dx
n
Ln (x) lk (x) f (xk )
k 0
(lk (x)
n j0
(x xj) ) (xk x j )
jk
则
b
b
n
b
a f (x)dx a Ln (x)dx f (xk ) a lk (x)dx
k 0
若记
Ak
b
a lk (x)dx
b n (x x j ) dx a j0 (xk x j )
0
32 90
C2( 4 )
1 4 2!2!
4
t(t 1)(t 3)(t 4)dt
0
12 90
C3( 4 )
1 4 3!
4
t(t 1)(t 2)(t 4)dt
0
32 90
C4( 4 )
1 4 4!
4
t(t 1)(t 2)(t 3)dt
0
7 90
求积公式为
4
I4 ( f ) (b a)
定义1. 若求积公式
b
f (x)dx
a
n
i f (xi )
i0
对所有次数不超过 m次的代数多项式 Pk (x)(k m)都准确成立 ,即
b
n
a Pk (x)dx i Pk (xi )
数值分析原理第八章
148 第八章 矩阵特征值和特征向量的计算对于n ×n 阶的实矩阵A ，线性代数理论中是通过求解特征多项式)det(I A λ-的零点而得到特征值λ，然后通过求得齐次线性方程组0x I A =-)(λ的非零向量x 而得到矩阵A 的相应于特征值λ的特征向量．当矩阵阶数较高时，这种方法计算量很大，故常用数值方法近似求解特征值与特征向量．目前常用的数值方法有迭代法(幂法)和变换法(Jacobi 方法等)两类．§8.1 乘幂法与反幂法一、乘幂法乘幂法是求矩阵按模最大的特征值(主特征值)和相应的特征向量的一种迭代法． 设nn ⨯∈R A ，初始向量)()0()0(0V R V ≠∈n ，令)1()(-=k k AV V(8.1)生成迭代向量序列{})(k V ．由递推公式(8.1)，知)0()2(2)2()()(V A V A AV A V k k k k ====--(8.2)这表明)(k V 等于用矩阵A 的k 次幂左乘)0(V，故称此方法为乘幂法．下面分析当k →∞时，向量序列{})(k V 的变化规律． 设1λ，2λ，…，n λ为矩阵nn ⨯∈R A 的n 个特征值，且满足n λλλ≥≥> 21(8.3)相应于特征值1λ，2λ，…，n λ的n 个线性无关的特征向量n x x x ,,,21 构成向量空间nℜ上的一组基．任取非零的初始向量n R V ∈)0(，则)0(V 可由这组特征向量线性表出∑==+++=nj j j n n c c c c 12211)0(x x x x V(8.4)其中n c c c ,,,21 为线性组合系数．将式(8.4)代入式(8.2)，得149)(11)(j knj j j n j j kk c c x A x AV∑∑==== (8.5)由j k j j k x x A λ=和式(8.5)，得j k j nj j k c x Vλ∑==1)((8.6)当01=λ时，由式(8.3)知，特征值0n 21====λλλ ．下面针对01≠λ进行讨论． 由式(8.6)有⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∑=j k j n j j kk c c x x V 12111)(λλλ由于n j j,,3,2,11 =<λλ，故若01≠c ，当k 充分大时，0x ε≈⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∑=j kij nj j k c λλ2，此时有111)(x V c kk λ≈(8.7)上式表明，)(k V与1x 只近似相差一个常数因子，故可取)(k V作为矩阵A 的相应于主特征值1λ的近似特征向量．当k 充分大时，若0)(≠k i V ，则有11111111)()1()()(λλλ=≈++ikik k i k i c c V V x x (8.8)这表明主特征值1λ可由式(8.8)近似求得．如果矩阵A 的特征值满足n l l λλλλλλ≥≥>===+ 1121,则根据式(8.6)有⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∑∑+==j kj nl j j j lj j kk c c x x V 1111)(λλλ(8.9)则当k 充分大时，由于),,1(11n l j j+=<λλ，故有150 jlj j k k c xV∑=≈11)(λ(8.10)由于l x x x ,,,21 都是矩阵A 的特征值1λ对应的特征向量，故0x≠∑=jlj j c 1也是矩阵A 的特征值1λ对应的特征向量．由式(8.10)知，k 较大时，)(k V就是与主特征值1λ的对应的近似特征向量．类似于式(8.8)，可求得主特征值的近似．由于此时1λ的特征向量子空间不是一维的，故由式(8.10)得到的近似特征向量只是该子空间的一个特征向量，对于不同的初始向量)0(V 可能得到1λ的特征向量空间中线性无关的近似特征向量．对于矩阵A 的其它主特征值情形，如21λλ-=，21λλ=等，同样可以用乘幂法求解，具体过程可参阅文献[6]． 以上讨论说明了乘幂法的基本原理．通过上述对乘幂法过程的分析可知，乘幂法是一种迭代法，公式计算简单，便于上机实践，可以方便地用于近似求矩阵按模最大的一个(或几个)特征值及相应的特征向量．需要注意的是：(1) 从理论上讲，对于任意给定的初始向量)0(V，有可能使式(8.4)中的01=c ，但因舍入误差的存在，随着迭代过程的进行，等效于从01≠c 的)0(V 出发进行迭代．(2) 在用乘幂法(8.1)进行迭代计算时，迭代向量)(k V的分量的绝对值可能会出现非常大(当11>λ)或者非常小(当11<λ)的现象，甚至出现溢出．为此，实用中每进行m 步就需要对迭代向量)(k V进行一次规范化，即用)()()(max ~k k k VV V =(其中)(max k V 表示向量)(k V 的按模最大的分量)代替)(k V继续迭代．由于特征向量允许相差一个常数因子，故按前面乘幂法的理论依然得到正确的近似特征向量．在每次规范化后，用乘幂计算前后两个向量的分量的比值作为主特征值的近似，这种规范化并不影响主特征值的近似计算。
数值分析PPT课件
03
数值分析的方法和技巧广泛应用于科学计算、工程、经 济、金融等领域。
主题的重要性
随着计算机技术的不断发展， 数值计算已经成为解决实际问 题的重要手段。
数值分析为各种数学问题提供 了有效的数值计算方法和技巧， 使得许多问题可以通过计算机 得以解决。
掌握数值分析的知识和方法对 于数学建模、科学计算、数据 分析等领域具有重要意义。
意义。
未来数值分析的发展方向
随着计算机技术的不断发展，数值分析 将更加依赖于计算机实现，因此数值算 法的优化和并行化将是未来的重要研究
方向。
随着大数据时代的到来，数值分析将更 加注重对大规模数据的处理和分析，因 此数据科学和数值分析的交叉研究将成
为一个新的研究热点。
随着人工智能和机器学习的发展，数值 分析将更加注重对非线性、非平稳问题 的处理，因此新的数值算法和模型将不
数值积分和微分
矩形法
将积分区间划分为若干个小的矩形区域，求 和得到近似积分值。
辛普森法
梯形法
利用梯形公式近似计算定积分，适用于简单 的被积函数。
利用三个矩形区域和一个梯形区域的面积近 似计算定积分。
02
01
高斯积分法
利用高斯点将积分区间划分为若干个子区间， 通过求和得到近似积分值。
04
03
矩阵的特征值和特征向量
数值分析ppt课件
目录
• 引言 • 数值分析的基本概念 • 数值分析的主要算法 • 数值分析的误差分析 • 数值分析的实例和应用 • 结论
01
引言
主题简介
01
数值分析是数学的一个重要分支，主要研究如何利用数 值计算方法解决各种数学问题。
02
它涉及到线性代数、微积分、微分方程、最优化理论等 多个数学领域。
数值分析第8章
n
1
k
,
xn uk
35
对给定的误差 ，当 | k – k 1 | < 时，得
k
k
j 1 j 2,, n , 所以 lim k 0 由假设条件 k 1
从而
lim
k
vk
k 1
a1 x1
k 1 1 1
17
所以当k充分大时，有
vk a x
vk a x
且
k 1 1 1
即为矩阵 A 的对应特征值 1 的近似特征向量。
vk 1 Avk a x 1vk
1 2 n1 n 0
Axi i xi A xi x
1
1 i i
其相应的特征向量 x1 , x2, …, xn 线性无关,则 A-1 的特 征值为1/ i ，对应的特征向量仍为 xi (i=1,2, …,n).
33
此时,A-1 的特征值满足
1
5 6.7500, 13.5000, 10.1250
13.5007
13.5000
0.5, 1, 0.7500
0.5, 1, 0.7500
可得到B的主特征值 113.5000 特征向量 v1 (0.5 ,1.0, 0.7500)T 因此,A的主特征值为 1 = 1 +p 11.0000, 特征向量仍为v1 =(0.5,1,0.7500)T。
k 1 1 1 k 2 2 2 k
k n n n k
k n 2 1 a1 x1 a2 x a 2 n xn 1 1 k 1 a1 x1 k
16
电子社数值分析教学课件第八章
幂法和反幂法
8.1.1 幂法
{(xi , yi ), i 1, 2, , m}
幂法是一种求矩阵 A按模最大的特征值（称为主特征值）及其对应的特征
向量的迭代方法.
幂法的主要思想是通过矩阵 A的乘幂 Ak构造一个迭代序列， 再利用该序
列来计算主特征值及其对应的特征向量.
8.1.1 幂法
设实矩阵 A(a ) 有一个完备的特征向量组， 即 A有 n 个线性无关的 ij nn
v1 Av0 v2 Av1 A2v0
(8.3)
vk Avk 1 Ak v0
称{ v k }为迭代向量.
8.1.1 幂法
由假设，v 0 可表示为
{(xi , yi ),i 1, 2, , m}
v0 1x1 2 x2 n xn (设1 0 ) (8.4)
于是
vk Avk1 Akv0 Ak (1x1 2 x2
1, 则适当的选择参数
, 使其
满足
（1）1 是 B 的主特征值，即 |1 |>|2 |
（2）|
2 1
|
<| 2 1
|
|n | .
再利用幂法计算 B 的主特征值 , 使得计算得到加速.
一般而言, 参数 的选择有赖于对 A的特征值分布的大致了解. 但遗憾的是, 我们很 难得到 A的特征值分布的足够信息, 因此选择适当的 是很困难的.
11
(-0.707 106 81,1.000 000 00,-0.707 106 81)
mk max{vk} 1.000 000 00 1.000 000 00 2.000 000 00 -4.000 000 00 3.500 000 00 3.428 571 43 3.416 666 67 3.414 634 15 3.414 285 71 3.414 225 94 3.414 215 69 3.414 213 93
数值分析第8章-1
(x)dx
b
an1
a
(x
x0 )(x
x1 ) ( x
xn )dx
2k
an1 hn2t(t 1)(t 2)(t n)dt
0
2k
下面我们证明 t(t 1)(t 2)(t n)dt 0
0
作变换u=t-k，则
2k
t(t 1)(t k 1)(t k)(t k 1)(t 2k 1)(t 2k)dt
例1 利用梯形公式计算
解:
I
1 0 2
4 1 02
I
1 0
1
4 x
2
dx
4 1 12
1 2
(4
2)
3.
10
结束
8.2.2 抛物形（辛卜生）公式
取a=x0,(a+b)/2=x1,b=x2,(即n=2)，代入(8.9)式得
(1)2 h 2
h2 h
A0
2!
(t -1)(t - 2)dt .
第八章 数值积分与数值微分
8.1 求 积 公 式
8.1.1 求积公式
对定义在区间［a,b］上的定积分
b
I[ f ] f (x)dx F(b) F(a)
a
以上公式多称为牛顿-莱布尼兹公式，F(x)为f(x)的原函数.但 有时原函数不能用初等函数表示，有时原函数又十分复杂，难 于求出或计算.如被积函数为:
8
结束
8.2.1 梯形公式
取a=x0,b=x1,(即n=1)，代入(8.9)式得
A0
(1)1 h 1!
1
(t
-1)dt
1
(t
1)2
1
h
b
a
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
xn
f ( x, y( x ))dx hf ( xn , yn )
yn1 yn hf ( xn , yn )
x n 1
xn
h f ( x , y( x ))dx [ f ( xn , yn ) f ( xn1 , yn1 )] 2
7/36
由梯形公式推出的预-校方法:
y1 y0 f ( x0 , y0 ) y1 y0 hf ( x0 , y0 ) h yn1 yn f ( xn , yn ) 在第 n 个点处 h
欧拉公式
yn1 yn hf ( xn , yn )
( n 0,1,2,)
4/36
例2. Logistic模型
《数值分析》 第八章
解一阶常微分方程欧拉法
Range-Kutta公式
一阶微分方程组与二阶方程
常微分方程边值问题
线性多步法简介
1/36
一阶常微分方程初值问题:
y f ( x , y ), x x 0 y ( x 0 ) y0
其中, y = y(x) 是未知函数, f(x, y )是已知函数. 初值 y0 是已知数据。 数值方法——取离散点: x0 < x1 < x2 < · · ·< xn · · · · · · 求未知函数 y(x1), y(x2),· · · · , y(xn), · · · · · · 的近似值 y1, y2, y3, · · · · · , yn· · · · · · · 称为常微分方程的数值解。 这里 yn 是 y( xn ) 的数值逼近.
yn+1= yn+ h[k1+4k2+k3]/6 k1=f(xn,yn), k2=f(xn+0.5h, yn+0.5hk1) k3=f(xn+h, yn – hk1+2hk2)
四阶Range-Kutta公式一般形式
yn+1= yn+ h[k1+2k2+2k3+k4]/6 k1=f(xn,yn), k2=f(xn+0.5h, yn+0.5hk1) k3=f(xn+0.5h, yn+0.5hk2), k4=f(xn+h, yn+hk3)
dx x 0.01xy dt dy y 0.02 xy dt
x(0)= 100
y(0)=20
计算 x(t)，y(t) 当t∈[0，20]时的数据。绘图并分 析捕食者和被捕食者的数量变化规律。
20/36
x 0.01xy x y 0.02xy y
12/36
dy 2 y xy , 0 x 2 例4 dx 1 y( x ) x y ( 0 ) 1 x 1 2 e
数值实验:几种不同求数值解公式的误差比较
n h 10 0.2 20 0.1 30 0.0667 40 0.05 2.186e-007
RK4 6.862e-005 3.747e-006 7.071e-007 RK3 0.0012
]
平面区域: 0≤ x ≤ 1.5, 0≤ y ≤ 1.5,
3/36
初值问题:
y f ( x , y ), x x 0 y ( x 0 ) y0
取步长 h , 记点: 一阶向前差商:
xn x0 nh, (n 0,1,2,)
y( x0 ) 1 [ y( x1 ) y( x0 )] h
h yn1 yn [ f ( xn , yn ) f ( xn1 , yn1 )] 2
h yn1 yn [ f ( x n , yn ) f ( x n1 , ~ yn1 )] 2 预-校方法又称为修正的Euler法,算法如下 k 1 = f ( x n , yn ) , k2 = f( xn+1 , yn+ h k1) , h yn1 yn [k1 k 2 ] 2
1.529e-004 4.517e-005 1.906e-005
RK2
Euler
0.0123
0.1059
0.0026
0.0521
0.0011
0.0342
5.9612e-004
0.0256
13/36
MATLAB求解常微分方程初值问题命令：
(1)定义一阶微分方程的右端函数； (2)用MATLAB命令ode23()求数值解。
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0
0
1
2
3
4
5
6/36
用数值积分方法离散常微分方程
y’ = f (x, y)
xn1
xn1
xn
y( x )dx
xn1 xn
xn1
xn
f ( x, y( x ))dx
y( xn1 ) y( xn )
左矩形公式 梯形公式:
f ( x, y( x ))dx
n 1 n 1 n n n n
f ( xn , yn ) hf x ( xn , yn ) hf ( xn , yn ) f y ( xn , yn ) O(h )
2
y( xn ) f ( xn , yn )
y( xn ) f x ( xn , yn ) f y ( xn , yn ) f ( xn , yn )
8/36
~ yn1 yn hf ( xn , yn )
设 yn= y(xn), 称 Rn+1=y(xn+1) - yn+1为局部截断误差.
( xn1 xn ) 2 y( xn1 ) y( xn ) ( xn1 xn ) y( xn ) y( ) 2 2 h 即 y( xn1 ) y( xn ) hf ( xn , yn ) y( ) 2 Euler公式: yn+1 = yn+ hf (xn, yn) 的局部截断误差
常微分方程组的向量形式
记
x Y y
f1 ( t , Y ) F (t ,Y ) f ( t , Y ) 2
dY F (t ,Y ) dt
Y (t0 ) Y0
17/36
欧拉公式:
Yn1 Yn hF (t n ,Yn )
( n 0,1,2, )
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 1 2 3 4 5 6
15/36
MATLAB解常微分方程初值问题命令 dy 2 y xy , 0 x 2 dx 数值求解命令: y ( 0) 1 [x,y] = ode23('f',[a,b],y0) 符号求解命令: f=inline('y-x.*y.^2'); dsolve('eqn1', ...) [x,y]=ode23(f,[0,2],1) syms x y dsolve('Dy=y-x*y^2','y(0)=1','x')
解析解:
1 y( x ) 1 9 e xp( x )
y y(1 y )
y(0) 0.1
欧拉公式
yn1 yn hyn (1 yn )
( n 0,1,2,)
5/36
欧拉公式解的几何解释:
取点 ( xn , yn) , ( n = 0, 1, 2, · · ·) 点斜式直线方程: y = yn + (x – xn) f( xn, yn), 取 x = xn+1 得: yn+1 = yn + h f( xn, yn ) 取点 ( xn , yn) ( xn+1, yn+1 )
h y( xn1 ) y( xn ) hy( xn ) y( xn ) O( h3 ) 2 设 y( xn ) yn 局部截断误差:
由Taylor 级数
2
y( xn1 ) yn1 O(h3 )
故修正的Euler法具有2阶精度。
11/36
三阶Range-Kutta公式一般形式
ans = 1/(x-1+2*exp(-x))
解析解:
1 y( x ) x 1 2e x
16/36
两个未知函数的一阶常微分方程组
dx f1 ( t , x , y ) dt dy f ( t , x , y ) 2 dt
x(t0 ) x0 y(t0 ) y0
平面向量场:
f1 ( t , x , y ) x 0.01xy f ( t , x , y ) y 0 . 02 xy 2
p x x 0.01 xy p y y 0.02 xy
——向量场中 过点:(100, 20) 的轨线
Y0 [ x0 , y0 ]T
xn1 xn f 1 ( t n , x n , y n ) h yn1 yn f 2 ( t n , x n , y n ) xn1 xn hf1 ( t n , xn , yn ) yn1 yn hf 2 ( t n , xn , yn )
K 1 F ( t n , Yn ) K 2 f ( t n 0.5h, Yn 0.5hK 1 ) K 3 F ( t n 0.5h, Yn 0.5hK 2 ) K 4 F ( t n h, Yn hK 3 )
19/36
捕食者与被捕食者问题
海岛上有狐狸和野兔,当野兔数量增多时，狐狸捕食 野兔导致狐群数量增长;大量兔子被捕食使狐群进入 饥饿状态其数量下降;狐群数量下降导致兔子被捕食 机会减少,兔群数量回升。微分方程模型如下