第五次月考答案

高三第五次月考 理科数学答案二、填空题13.2ln 214.240 15.2π3 16. 三、解答题17.解析：（Ⅰ）当n=1时，2111124343a a S a +=+=+∵n a >0，∴1a =3 …………1分2n ≥当时，221112243434nn n n n n n a a a a S S a ---+--=+--= ，…………2分 即111()()2()n n n n n n a a a a a a ---+-=+ …………4分 ∵n a >0，∴1n n a a --=2， …………5分所以数列{n a }是首项为3，公差为2的等差数列，所以21n a n =+…………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知1111()(21)(23)22123n b n n n n ==-++++ …………8分所以数列{nb }的前n 项和12111111111[()()()]235572123646n b b b n n n +++=-+-++-=-+++L L 10分 ∵*n Z ∈，∴1046n >+，∴16n T < …………12分18.解析（Ⅰ）证明：由四边形ABCD 为菱形，60ABC ∠=o，可得ABC △为正三角形．因为E 为BC 的中点，所以AE BC ⊥．又BC AD ∥，因此AE AD ⊥． -----------------------2分 因为PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，所以PA AE ⊥．-----------------------3分而PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD 且PA AD A =I ，所以AE ⊥平面PAD ． -----------------------4分 又PD ⊂平面PAD ， 所以AE PD ⊥． ---------------------5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知AE AD AP ，，两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E F ，分别为BC PC ，的中点，所以(000)10)0)(020)A B C D -，，，，，，，，，，1(002)0)12P E F⎫⎪⎪⎝⎭，，，，，，，，-----------------------6分所以10)12AE AF⎫==⎪⎪⎝⎭u u u r u u u r，，，，．设平面AEF的一法向量为111()x y z=，，m，则AEAF⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u rgu u u rg，，mm因此111112y z=++=，．取11z=-，则(021)=-，，m，-----------------------8分因为BD AC⊥，BD PA⊥，PA AC A=I，所以BD⊥平面AFC，-----------------------9分故BDu u u r为平面AFC的一法向量，又(0)BD=u u u r，，----------------------10分所以cosBDBDBD<>===u u u ru u u r gu u u rg，mmm-----------------------11分因为二面角E AF C--．-----------12分19.解析（1）当16n≥时，16(105)80y=⨯-=。

2分当15n≤时，55(16)1080y n n n=--=-。

3分得：1080(15)()80(16)n ny n Nn-≤⎧=∈⎨≥⎩。

5分（2）（i）X可取60，70，80(60)0.1,(70)0.2,(80)0.7P X P X P X======。

7分的分布列为。

9分222160.160.240.744DX=⨯+⨯+⨯=。

10分（ii）购进17枝时，当天的利润为(14535)0.1(15525)0.2(16515)0.161750.5476.4 y=⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯⨯=76.476>得：应购进17枝。

12分20.解：（1=b＝1，a∴=…………2分所以椭圆E的方程为2212xy+=．…………4分（2）证明：设直线PQ的方程为y＝k(x－1)＋1(k≠2)，代入2212xy+=，得(1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x ＋2k (k －2)＝0，由题意知Δ＞0， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，且x 1x 2≠0，则()1224112k k x x k-+=+，()1222212k k x x k -=+， …………6分 所以()121212121212112222AP AQ y y kx k kx k x xk k k k x x x x x x ++-+-+++=+=+=+- …………9分()()()()4122221222k k k k k k k k -=+-=--=-故直线AP 与AQ 的斜率之和为定值2． …………12分21.解：(1) 221()1x a lnx b x f x x x +(-)'=-(+)， 0>x . ……………………1分由题意知，(1)11(1)2f f =⎧⎪⎨'=-⎪⎩ ，即1122b a b =⎧⎪⎨-=-⎪⎩， 解得11b a =⎧⎨=⎩. ………………………3分 所以ln 1()1x f x x x =++，因此1()ln 1h x x x =++，0>x . 因为22111()x h x x x x-'=-=，0>x . 所以在区间()0,1上，()0h x '<，在区间()1,+∞上，()0h x '>，所以函数()h x 的单调递减区间为()0,1，单调递增区间为()1,+∞. …………………5分(3)因为22111()()2ln 1k x f x g x x x x ⎛⎫(-)(-)-=+ ⎪-⎝⎭，考虑函数()2112ln ,0k x h x x x x (-)(-)=+>， 则()22112k x x h x x (-)(+)+'=.① 设0k ≤，由()()22211k x x h x x (+)--'=知，当1x ≠时，()0h x '＜，而()10h ＝，故当()0,1x ∈时，()0h x ＞，可得()2101xh x -＞；当1()x ∈∞，＋时，()0h x <，可得()2101xh x -＞. 从而当0x ＞，且1x ≠时，即()()f x g x ＞ …………………………8分 ②设01k ＜＜，由于当111,k x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭-时，2()(1)120k x x >－＋＋，故()0h x '>，而()10h ＝，故当111,k x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭-时，()0h x ＞，可得()2101x h x <-.与题设矛盾． ……………………11分③设1k ≥.此时()0h x '>，而()10h ＝，故当1()x ∈∞，＋时，()0h x ＞，可得()2101xh x <-.与题设矛盾． 综合可得，k 的取值范围为(0]∞－，． ……………………12分 22.解：（1）由θθρcos 4sin 2=，得2(sin )4cos ρθρθ= …………………………3分所以曲线C 的直角坐标方程为24y x = …………………………5分（2）将直线l 的参数方程代入24y x =，得04cos 4sin 22=--ααt t . 设A 、B 两点对应的参数分别为1t 、2t ，则1224cos sin t t αα+=，1224sin t t α=-， 分=-+=-=21221214)(t t t t t t AB αααα2242sin 4sin 16sin cos 16=+， 所以当2πα=时，||AB 的最小值为4. …………………………10分23.解：（1）当5m =时，()()()521()311521x x f x x x x +<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪->⎩， ……………………3分由()2f x >得不等式的解集为3322x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭. ……………………5分 （2）由二次函数2223(1)2y x x x =++=++，该函数在1x =-取得最小值2，因为()()()21()21121m x x f x m x m x x +<-⎧⎪=--≤≤⎨⎪->⎩，在1x =-处取得最大值2m -，………………8分所以要使二次函数223y x x =++与函数()y f x =的图象恒有公共点， 只需22m -≥，即4m ≥. ……………10分。