高中数学第2章几个重要的不等式学业分层测评10简单形式的柯西不等式一般形式的柯西不等式北师大版选修4_5wo
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第2章 几个重要的不等式 学业分层测评10 简单形式的柯西不等式 一
般形式的柯西不等式 北师大版选修4-5
(建议用时：45分钟)
学业达标]
一、选择题
1．已知a ，b 为正数，且a ＋b ＝1，则P ＝(ax ＋by )2
与Q ＝ax 2
＋by 2
的关系是( )
A ．P ≤Q
B ．P ＜Q
C ．P ≥Q
D ．P ＞Q 【解析】 设m ＝(a x ，b y )，n ＝(a ，b)，
则|ax ＋by |＝|m·n |≤|m||n|
＝ a ＋b ·a ＋b
＝ax2＋by2·a ＋b ＝ax2＋by2， 所以(ax ＋by )2
≤ax 2
＋by 2
.即P ≤Q .
【答案】 A
2．已知x ＋y ＝1，那么2x 2
＋3y 2
的最小值是( )
A.
5
6 B ．65 C.
25
36 D ．3625 【解析】 2x 2
＋3y 2
＝(2x 2
＋3y 2
)⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13·65
≥65⎝ ⎛⎭⎪⎫2x·22＋3y·332＝65
(x ＋y )2
＝65.
【答案】 B
3．已知x ，y ，z 均大于0，且x ＋y ＋z ＝1，则1x ＋4y ＋9
z
的最小值为( )
A ．24
B ．30
C ．36
D ．48 【解析】 (x ＋y ＋z )⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x ＋4y ＋9z ≥⎝
⎛⎭⎪⎫x ·1x ＋y ·2y ＋z ·3z 2
＝36，
∴1x ＋4y ＋9
z
≥36.
【答案】 C
4．设x ，y ，m ，n >0，且m x ＋n
y
＝1，则u ＝x ＋y 的最小值是()
A ．(m ＋n)
2
B ．m C.n
D ．(m ＋n )2
【解析】 根据柯西不等式，得x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫m x ＋n y ≥⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ·m x ＋y ·n y 2＝(m ＋
n)2
，
当且仅当x m ＝y n 时，等号成立， 这时u 取最小值为(m ＋n)2
.
【答案】A
5．函数y ＝
x －5＋26－x 的最大值是()
A.3
B ．5
C ．3
D ．5
【解析】 根据柯西不等式，知y ＝1×x －5＋2×
6－x ≤12＋22
×
x －5
＋
6－x
＝ 5.
【答案】B 二、填空题
6．函数y ＝
x ＋3－x 的最大值为__________．
【解析】 由x ，3－x 非负且(
x)2
＋(3－x)2
＝3， 所以x ＋3－x ≤
x
＋
3－x
＝2×3＝ 6. 【答案】6
7．设x ，y 为正数，且x ＋2y ＝8，则9x ＋2
y
的最小值为__________.
【导学号：94910031】
【解析】 (x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫9x ＋2y ＝(x)2
＋(2y)2
]⎣⎢⎡⎦
⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2＋⎝
⎛
⎭⎪⎫2y 2 ≥⎝
⎛
⎭
⎪⎫x ·3x ＋2y ·
2y 2
＝25，
又x ＋2y ＝8， ∴9x ＋2y ≥258. 【答案】25
8
8．设a ，b ，c ，x ，y ，z 都是正数，且a 2
＋b 2
＋c 2
＝25，x 2
＋y 2
＋z 2
＝36，ax ＋by ＋cz ＝30，则
a ＋
b ＋c
x ＋y ＋z
＝________.
【解析】 由柯西不等式，
得25×36＝(a 2
＋b 2
＋c 2
)(x 2
＋y 2
＋z 2
)≥(ax ＋by ＋cz )2
＝302
. 当且仅当a x ＝b y ＝c
z ＝k 时取“＝”，
由k 2(x 2＋y 2＋z 2)2
＝25×36，解得k ＝56，
所以a ＋b ＋c x ＋y ＋z ＝k ＝56.
【答案】56
三、解答题
9．已知实数x ，y ，z 满足x ＋2y ＋z ＝1，求t ＝x 2
＋4y 2
＋z 2
的最小值． 【解】 由柯西不等式得
(x 2
＋4y 2
＋z 2
)(1＋1＋1)≥(x ＋2y ＋z )2
. ∵x ＋2y ＋z ＝1，
∴3(x 2＋4y 2＋z 2)≥1，即x 2＋4y 2＋z 2
≥13
.
当且仅当x ＝2y ＝z ＝13，即x ＝13，y ＝16，z ＝1
3时等号成立．
故x 2＋4y 2＋z 2
的最小值为13
.
10．已知θ为锐角，a ，b 均为正数． 求证：(a ＋b )2
≤a2cos2θ＋b2sin2θ.
【证明】 设m ＝⎝
⎛⎭
⎪
⎫a cos θ，b sin θ，
n ＝(cos θ，sin θ)，
则|a ＋b |＝⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪a cos θ·cos θ＋b sin θ·sin θ