2020高考数学一轮复习第2章基本初等函数导数及其应用第8讲函数的图象知能训练轻松闯关理北师大版
【高考数学】一轮总复习：第二章 第8讲 对数函数
【解】 (1)因为 f(1)＝1，所以 log4(a＋5)＝1，因此 a＋5＝4，即 a＝－1， 所以 f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)． 由－x2＋2x＋3>0 得－1<x<3，即函数 f(x)的定义域为(－1，3)． 令 g(x)＝－x2＋2x＋3. 则 g(x)在(－1，1)上单调递增，在[1，3)上单调递减． 又 y＝log4x 在(0，＋∞)上单调递增， 所以 f(x)的单调递增区间是(－1，1)，单调递减区间是[1，3)．
A．a<b<c
B．b<a<c
√C．c<b<a
D．c<a<b
2
2
【解析】 (1)因为 23<32，所以 2<33，所以 log32<log333＝23，所以 a<c.因为
2
2
33>52，所以 3>53，所以 log53>log553＝23，所以 b>c，所以 a<c<b，故选 A．
(2)因为 f(x)为奇函数，所以 f(－x)＝－f(x)，
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数 y＝log2x 及 y＝log13x 都是对数函数．( × )
3
(2)对数函数 y＝logax(a>0 且 a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( × ) (3)函数 y＝ln 11＋－xx与 y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．( √ )
(2)构造函数 f(x)＝4x 和 g(x)＝logax， 当 a>1 时不满足条件，
(浙江专用)2020版高考数学复习第二章函数概念与基本初等函数第8讲函数与方程练习(含解析)
第8讲 函数与方程[基础达标]1．(2019·浙江省名校联考)已知函数y ＝f (x )的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：则函数y A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．5个解析：选B.依题意，f (2)>0，f (3)<0，f (4)>0，f (5)<0，根据零点存在性定理可知，f (x )在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)上均至少含有一个零点，故函数y ＝f (x )在区间[1，6]上的零点至少有3个．2．(2019·温州十校联考(一))设函数f (x )＝ln x ＋x －2，则函数f (x )的零点所在的区间为( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)解析：选B.法一：因为f (1)＝ln 1＋1－2＝－1<0，f (2)＝ln 2>0，所以f (1)·f (2)<0，因为函数f (x )＝ln x ＋x －2的图象是连续的，所以函数f (x )的零点所在的区间是(1，2)．法二：函数f (x )的零点所在的区间为函数g (x )＝ln x ，h (x )＝－x ＋2图象交点的横坐标所在的区间，作出两函数的图象如图所示，由图可知，函数f (x )的零点所在的区间为(1，2)．3．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－cos x ，则f (x )在[0，2π]上的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.作出g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x与h (x )＝cos x 的图象如图所示，可以看到其在[0，2π]上的交点个数为3，所以函数f (x )在[0，2π]上的零点个数为3，故选C.4．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x－tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<x <π2，若实数x 0是函数y ＝f (x )的零点，且0<t <x 0，则f (t )的值( )A ．大于1B ．大于0C ．小于0D ．不大于0解析：选B.y 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x是减函数，y 2＝－tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上也是减函数，可知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x－tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上单调递减． 因为0<t <x 0，f (t )>f (x 0)＝0.故选B.5．(2019·兰州模拟)已知奇函数f (x )是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是( )A ．14 B ．18 C ．－78D ．－38解析：选C.因为函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，所以方程f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0只有一个实数根，又函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0⇔f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )⇔f (2x 2＋1)＝f (x －λ)⇔2x 2＋1＝x －λ，所以方程2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个实数根，所以Δ＝(－1)2－4×2×(1＋λ)＝0，解得 λ＝－78.故选C.6．(2019·宁波市余姚中学期中检测)已知函数f (x )＝|x |x ＋2－kx 2(k ∈R )有四个不同的零点，则实数k 的取值范围是( )A ．k <0B ．k <1C ．0<k <1D ．k >1解析：选D.分别画出y ＝|x |x ＋2与y ＝kx 2的图象如图所示，当k <0时，y ＝kx 2的开口向下，此时与y ＝|x |x ＋2只有一个交点，显然不符合题意； 当k ＝0时，此时与y ＝|x |x ＋2只有一个交点，显然不符合题意， 当k >0，x ≥0时， 令f (x )＝|x |x ＋2－kx 2＝0， 即kx 3＋2kx 2－x ＝0， 即x (kx 2＋2kx －1)＝0， 即x ＝0或kx 2＋2kx －1＝0，因为Δ＝4k 2＋4k >0，且－1k<0，所以方程有一正根，一负根，所以当x >0时，方程有唯一解．即当x ≥0时，方程有两个解．当k >0，x <0时，f (x )＝|x |x ＋2－kx 2＝0， 即kx 3＋2kx 2＋x ＝0，kx 2＋2kx ＋1＝0，此时必须有两个解才满足题意，所以Δ＝4k 2－4k >0，解得k >1， 综上所述k >1.7．(2019·金丽衢十二校高三联考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧tan[π2（x －1）]，0<x ≤1ln x ，x >1，则f (f (e))＝________，函数y ＝f (x )－1的零点为________．解析：因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧tan[π2（x －1）]，0<x ≤1ln x ，x >1， 所以f (e)＝ln e ＝1，f (f (e))＝f (1)＝tan 0＝0，若0<x ≤1，f (x )＝1⇒tan[π2(x －1)]＝1， 方程无解；若x >1，f (x )＝1⇒ln x ＝1⇒x ＝e. 答案：0 e 8．已知函数f (x )＝23x＋1＋a 的零点为1，则实数a 的值为________． 解析：由已知得f (1)＝0，即231＋1＋a ＝0，解得a ＝－12. 答案：－129．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，|log 2x |，x >0，则函数g (x )＝f (x )－12的零点所构成的集合为________．解析：令g (x )＝0，得f (x )＝12，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，2x ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，|log 2x |＝12，解得x ＝－1或x ＝22或x ＝2，故函数g (x )＝f (x )－12的零点所构成的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，22，2. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，22，2 10．(2019·杭州学军中学模拟)已知函数f (x )＝|x 3－4x |＋ax －2恰有2个零点，则实数a 的取值范围为________．解析：函数f (x )＝|x 3－4x |＋ax －2恰有2个零点即函数y ＝|x 3－4x |与y ＝2－ax的图象有2个不同的交点．作出函数y ＝|x 3－4x |的图象如图，当直线y ＝2－ax 与曲线y ＝－x 3＋4x ，x ∈[0，2]相切时，设切点坐标为(x 0，－x 30＋4x 0)，则切线方程为y －(－x 30＋4x 0)＝(－3x 20＋4)(x －x 0)，且经过点(0，2)，代入解得x 0＝1，此时a ＝－1，由函数图象的对称性可得实数a 的取值范围为a <－1或a >1.答案：a<－1或a >111．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1(a ≠0)． (1)当a ＝1，b ＝－2时，求函数f (x )的零点；(2)若对任意b ∈R ，函数f (x )恒有两个不同零点，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1，b ＝－2时，f (x )＝x 2－2x －3，令f (x )＝0，得x ＝3或x ＝－1. 所以函数f (x )的零点为3和－1.(2)依题意，f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1＝0有两个不同实根，所以b 2－4a (b －1)>0恒成立，即对于任意b ∈R ，b 2－4ab ＋4a >0恒成立，所以有(－4a )2－4×(4a )<0⇒a 2－a <0，解得0<a <1，因此实数a 的取值范围是(0，1)．12．已知函数f (x )＝－x 2－2x ，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋14x ，x >0，x ＋1，x ≤0.(1)求g (f (1))的值；(2)若方程g (f (x ))－a ＝0有4个实数根，求实数a 的取值范围． 解：(1)利用解析式直接求解得g (f (1))＝g (－3)＝－3＋1＝－2.(2)令f (x )＝t ，则原方程化为g (t )＝a ，易知方程f (x )＝t 在t ∈(－∞，1)内有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y ＝g (t )(t <1)与y ＝a 的图象有2个不同的交点，作出函数y ＝g (t )(t <1)的图象(图略)，由图象可知，当1≤a <54时，函数y ＝g (t )(t <1)与y ＝a 有2个不同的交点，即所求a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，54. [能力提升]1．(2019·杭州市富阳二中高三质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x－2（x ≤0）ln x （x >0），则下列关于函数y ＝f [f (kx )＋1]＋1(k ≠0)的零点个数的判断正确的是( )A ．当k >0时，有3个零点；当k <0时，有4个零点B ．当k >0时，有4个零点；当k <0时，有3个零点C ．无论k 为何值，均有3个零点D ．无论k 为何值，均有4个零点 解析：选C.令f [f (kx )＋1]＋1＝0得，⎩⎪⎨⎪⎧f （kx ）＋1≤0，e f （kx ）＋1－2＋1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧f （kx ）＋1>0ln[f （kx ）＋1]＋1＝0， 解得f (kx )＋1＝0或f (kx )＋1＝1e ；由f (kx )＋1＝0得，⎩⎪⎨⎪⎧kx ≤0，e kx －2＋1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧kx >0ln （kx ）＝－1； 即x ＝0或kx ＝1e ；由f (kx )＋1＝1e得，⎩⎪⎨⎪⎧kx ≤0，e kx －2＋1＝1e 或⎩⎪⎨⎪⎧kx >0ln （kx ）＋1＝1e ； 即e kx＝1＋1e (无解)或kx ＝e 1e －1；综上所述，x ＝0或kx ＝1e 或kx ＝e 1e －1；故无论k 为何值，均有3个解，故选C.2．(2019·宁波市高三教学评估)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R 且a >0)，则“f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a <0”是“f (x )与f (f (x ))都恰有两个零点”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.由已知a >0，函数f (x )开口向上，f (x )有两个零点，最小值必然小于0，当取得最小值时，x ＝－b2a ，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a <0，令f (x )＝－b2a ，则f (f (x ))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a <0，所以f (f (x ))<0，所以f (f (x ))必有两个零点．同理f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a <0⇒f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a <0⇒x ＝－b2a ，因为x ＝－b2a 是对称轴，a >0，开口向上，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a <0，必有两个零点所以C 选项正确．3．(2019·瑞安市龙翔高中高三月考)若关于x 的不等式x 2＋|x －a |<2至少有一个正数解，则实数a 的取值范围是________．解析：不等式为2－x 2>|x －a |，则0<2－x 2.在同一坐标系画出y ＝2－x 2(y ≥0，x ≥0)和y ＝|x |两个函数图象，将绝对值函数y ＝|x |向左移动，当右支经过(0，2)点时，a ＝－2；将绝对值函数y ＝|x |向右移动让左支与抛物线y ＝2－x 2(y ≥0，x ≥0)相切时，由⎩⎪⎨⎪⎧y －0＝－（x －a ）y ＝2－x2，可得x 2－x ＋a －2＝0， 再由Δ＝0解得a ＝94.数形结合可得，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，94. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫－2，944．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，g (x )＝log 12x ，记函数h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g （x ），f （x ）≤g （x ），f （x ），f （x ）>g （x ），则函数F (x )＝h (x )＋x －5的所有零点的和为________．解析：由题意知函数h (x )的图象如图所示，易知函数h (x )的图象关于直线y ＝x 对称，函数F (x )所有零点的和就是函数y ＝h (x )与函数y ＝5－x 图象交点横坐标的和，设图象交点的横坐标分别为x 1，x 2，因为两函数图象的交点关于直线y ＝x 对称，所以x 1＋x 22＝5－x 1＋x 22，所以x 1＋x 2＝5.答案：55．已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e2x(x >0)．(1)若y ＝g (x )－m 有零点，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根． 解：(1)法一：因为g (x )＝x ＋e 2x≥2e 2＝2e ，等号成立的条件是x ＝e ， 故g (x )的值域是[2e ，＋∞)，因而只需m ≥2e ，则y ＝g (x )－m 就有零点． 所以m 的取值范围是[2e ，＋∞)．法二：作出g (x )＝x ＋e2x(x >0)的大致图象如图：可知若使y ＝g (x )－m 有零点，则只需m ≥2e，即m 的取值范围是[2e ，＋∞)．(2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异的实根，即g (x )与f (x )的图象有两个不同的交点，作出g (x )＝x ＋e2x(x >0)的大致图象．因为f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1＝－(x －e)2＋m －1＋e 2. 所以其图象的对称轴为x ＝e ，开口向下， 最大值为m －1＋e 2.故当m －1＋e 2>2e ，即m >－e 2＋2e ＋1时，g (x )与f (x )有两个交点，即g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．所以m 的取值范围是(－e 2＋2e ＋1，＋∞)．6．(2019·绍兴一中高三期中)已知函数f (x )＝x |x －a |＋bx . (1)当a ＝2，且f (x )是R 上的增函数，求实数b 的取值范围；(2)当b ＝－2，且对任意a ∈(－2，4)，关于x 的方程f (x )＝tf (a )有三个不相等的实数根，求实数t 的取值范围．解：(1)f (x )＝x |x －2|＋bx ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋（b －2）x ，x ≥2－x 2＋（b ＋2）x ，x <2，因为f (x )连续，所以f (x )在R 上递增等价于这两段函数分别递增， 所以⎩⎪⎨⎪⎧2－b2≤22＋b 2≥2，解得，b ≥2.(2)f (x )＝x |x －a |－2x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－（a ＋2）x ，x ≥a －x 2＋（a －2）x ，x <a ，tf (a )＝－2ta ，当2≤a <4时，a －22<a ＋22≤a ，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a －22上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －22，a 上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增，所以f (x )极大值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －22＝a 24－a ＋1， f (x )极小值＝f (a )＝－2a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2a <－2ta ，a 24－a ＋1>－2ta 对2≤a <4恒成立，解得0<t <1，当－2<a <2时，a －22<a <a ＋22，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a －22上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －22，a ＋22上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋22，＋∞上单调递增，所以f (x )极大值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －22＝a 24－a ＋1， f (x )极小值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋22＝－a 24－a －1，所以－a 24－a －1<－2ta <a 24－a ＋1对－2<a <2恒成立，解得0<t <1，综上所述，0<t <1.。
高考数学一轮复习第2章基本初等函数导数及其应用第8讲函数的图象知能训练轻松闯关文北师大版
第8讲 函数的图象1．(2016·大同一模)函数y ＝x －x 13的图像大致为( )解析：选A.由题意知函数为奇函数，图像关于原点对称，所以排除C 、D ；当x ＝1时，y ＝0，当x ＝8时，y ＝8－38＝8－2＝6>0，排除B ，故选A.2．在同一平面直角坐标系中，函数y ＝g (x )的图像与y ＝e x的图像关于直线y ＝x 对称．而函数y ＝f (x )的图像与y ＝g (x )的图像关于y 轴对称，若f (m )＝－1，则m 的值是( )A ．－eB ．－1eC ．eD.1e解析：选B.由题意知g (x )＝ln x ，则f (x )＝ln(－x )，若f (m )＝－1，则ln(－m )＝－1，解得m ＝－1e.3．(2016·江西省五校联考)已知函数f (x )＝x 2－ln|x|x，则函数y ＝f (x )的大致图像为( )解析：选A.由f (－x )＝x 2＋ln|x|x≠－f (x )可知函数f (x )不是奇函数，排除B 、C ，当x ∈(0，1)时，f (x )＝x 2－ln xx，因为当x ∈(0，1)时，y ＝ln x <0，则f (x )>0，排除D ，故选A.4．已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞)B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1)C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1，1)D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0)解析：选C.将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x2－2x ，x≥0，－x2－2x ，x<0，画出函数f (x )的图像，如图，观察图像可知，函数f (x )的图像关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1，1)上递减．5．(2016·唐山高三月考)为了得到函数y ＝log 2x －1的图像，可将函数y ＝log 2x 的图像上所有的点( )A ．纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变，再向右平移1个单位B ．横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再向左平移1个单位C ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位D ．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变，再向右平移1个单位解析：选A.y ＝log 2x －1＝log 2(x －1)12＝12log 2(x －1)，由y ＝log 2x 的图像纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变，可得y ＝12log 2x 的图像，再向右平移1个单位，可得y ＝12log 2(x －1)的图像，也即y ＝log 2x －1的图像．6．使log 2(－x )<x ＋1成立的x 的取值范围是( )A ．(－1， 0)B ．[－1，0)C ．(－2，0)D ．[－2，0) 解析：选A.在同一坐标系内作出y ＝log 2(－x )，y ＝x ＋1的图像，知满足条件的x ∈(－1，0)，故选A.7.如图，函数f (x )的图像是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0，0)，(1，2)，(3，1)，则f ⎝⎛⎭⎪⎫1f （3）的值等于________．解析：由图像知f (3)＝1，所以1f （3）＝1.所以f ⎝⎛⎭⎪⎫1f （3）＝f (1)＝2.答案：28．若函数y ＝f (x ＋3)的图像经过点P (1，4)，则函数y ＝f (x )的图像必经过点________． 解析：法一：函数y ＝f (x )的图像是由y ＝f (x ＋3)的图像向右平移3个单位长度而得到的．故y ＝f (x )的图像经过点(4，4)．法二：由题意得f (4)＝4成立，故函数y ＝f (x )的图像必经过点(4，4)．答案：(4，4)9．已知图(1)中的图像对应的函数为y ＝f (x )，则图(2)中的图像对应的函数在下列给出的四个式子中，可能是________(填序号)．①y ＝f (|x |)；②y ＝|f (x )|； ③y ＝－f (|x |)；④y ＝f (－|x |)．解析：由题图(1)和题图(2)的关系可知，题图(2)是由题图(1)在y 轴左侧的部分(含原点)及其关于y 轴对称的图形构成的，故④正确．答案：④。
2025版高考数学一轮总复习第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第8讲函数与方程课件
解法二：(图象法)函数 f(x)的图象如图所示，
由图象知函数 f(x)共有 2 个零点．
2．已知函数y＝f(x)是周期为2的周期函数，且当x∈[－1,1]时，f(x)
＝2|x|－1，则函数g(x)＝f(x)－|lg x|的零点个数是( B )
A．9
B．10
C．11
D．18
[解析] 由函数y＝f(x)的性质，画出函数y＝f(x)的图象，如图，再
考向 2 函数零点个数的确定——师生共研
x2＋x－2，x≤0， 1.函数 f(x)＝－1＋ln x，x>0 的零点个数为( B )
A．3
B．2
C．7
D．0
[解析] 解法一：(直接法)由 f(x)＝0 得
x≤0，
x>0，
x2＋x－2＝0 或－1＋ln x＝0，
解得 x＝－2 或 x＝e.
因此函数 f(x)共有 2 个零点．
2．几个等价关系 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与__x_轴__有交点⇔函数y＝ f(x)有__零__点____.
3．函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并 且有___f_(_a_)f_(_b_)＜__0_____，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存 在c∈(a，b)，使得___f_(c_)_＝__0__，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
点所在的大致区间是( C )
1
A．e，1
C．(2，e)
B．(1,2) D．(e，＋∞)
2 [解析] y＝f(x)＝ln x－x的定义域为(0，＋∞)，因为 y＝ln x 与 y＝
2
2
－x在(0，＋∞)上单调递增，所以 f(x)＝ln x－x在(0，＋∞)上单调递增，
2020届高考数学一轮总复习第二章函数、导数及其应用第八节函数与方程课件理新人教A版
答案：(1，2)
1．确定函数 f(x)的零点所在区间的常用方法： (1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数 y＝f(x) 在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有 f(a)·f(b)<0. 若有，则函数 y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点． (2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与 x 轴 在给定区间上是否有交点来判断． 2．函数的零点存在性定理只能判断函数在某个区间 上的变号零点，不满足条件时，一定要综合函数性质进行 分析判断．
函数零点个数的判断方法 1．直接求零点，令 f(x)＝0，有几个解就有几个零点． 2．零点存在性定理，要求函数在区间[a，b]上是连 续不断的曲线， 且 f(a)·f(b)＜0，再结合函数的图象与性 质确定函数零点个数． 3．利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交 点个数即得零点个数．
[变式训练]
1．函数的零点 (1)定义：对于函数 y＝f(x)(x∈D)，把使_f_(_x_)＝__0__成 立的实数 x 叫做函数 y＝f(x)(x∈D)的零点． (2)函数零点与方程根的关系：方程 f(x)＝0 有实根⇔ 函数 y＝f(x)的图象与_x_轴__有交点⇔函数 y＝f(x)有_零__点__． (3)零点存在性定理：如果函数 y＝f(x)在区间[a，b] 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有_f_(a_)_·_f(_b_)_<_0_，那 么函数 y＝f(x)在区间_(_a_，__b_)_内有零点，即存在 x0∈(a， b)，使得_f_(x_0_)_＝__0_．
因此函数 f(x)共有 2 个零点．
法二 函数 f(x)的图象如图所示，由图象知函数 f(x) 共有 2 个零点．
(新课标)2020年高考数学一轮总复习第二章函数、导数及其应用2_8函数与方程课件理新人教A版
跟踪训练 (1)设f(x)＝ex＋x－4，则函数f(x)的零点位于区间( )
A．(－1,0)
B．(0,1)
C．(1,2)
D．(2,3)
答案：C
(2)(2017·西安五校联考)函数y＝ln(x＋1)与y＝
1 x
的图象交点的横坐标所在区间为
() A．(0,1)
B．(1,2)
C．(2,3)
D．(3,4)
第八节 函数与方程
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教材回顾 考点突破
最新考纲
考情考向分析
结合二次函数的图 利用函数零点的存在性定理或函数的图
象，了解函数的零 象，对函数是否存在零点进行判断或利
点与方程根的联 用零点(方程实根)的存在情况求相关参
系，判断一元二次 数的范围是高考的热点，题型以选择、
方程根的存在性及 填空为主，也可和导数等知识交汇出现
．
答案：(1,1.5)
考点一|判定函数零点区间 (方法突破)
方法1 使用零点存在性定理判断区间
【例1】
(2017·安徽芜湖模拟)函数f(x)＝
2 x
＋ln
1 x－1
的零点所在的大致区间是
() A．(1,2)
B．(2,3)
C．(3,4)
D．(4,5)
[解析]
f(x)＝
2 x
＋ln
1 x－1
＝
2 x
－ln(x－1)，当1＜x＜2时，ln(x－1)＜0，
2 x
＞0，所以
f(x)＞0，故函数f(x)在(1,2)上没有零点．f(2)＝1－ln 1＝1，f(3)＝23－ln 2＝2－33ln 2
＝
2－ln 3
8 .∵
8 ＝2
2 ≈2.828＞e，∴8＞e2，即ln
2019_2020年高考数学学业水平测试一轮复习专题二第8讲函数的图象课件
解析：(1)由于函数y＝xsin x是偶函数，由图象知， 函数①对应第一个图象；函数y＝xcos x是奇函数，且当x ＝π时，y＝－π<0，故函数②对应第三个图象；函数y＝ x|cos x|为奇函数，故函数③与第四个图象对应；函数y＝ x·2x为非奇非偶函数，故函数④与第二个图象对应．综 上可知，选D.
f(|x|) (3)f(ax) af(x)
1．作函数的图象 作出下列函数的图象．
(1)y＝|x－2|·(x＋1)； (2)y＝xx＋＋23. 解：(1)当 x≥2，即 x－2≥0 时， y＝(x－2)(x＋1)＝x2－x－2＝x－122－94；
当 x<2，即 x－2<0 时，y＝－(x－2)(x＋1)＝－x2＋x ＋2＝－x－122＋94.
B．①④③② D．①④②③
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(2)某同学家门前有一笔直公路直通长城，星期天， 他骑自行车匀速前往旅游，他先前进了a km，觉得有点 累，就休息了一段时间，想想路途遥远，有些泄气，就 沿原路返回骑了b km(b＜a)，当他记起诗句“不到长城 非好汉”，便调转车头继续前进．则该同学离起点的距 离s与时间t的函数关系的图象大致为( )
易知c＝1，且方程f(x)＝c的一根为0，令lg|x|＝1，解得x
＝－10或10，故方程f(x)＝c的另两根为－10和10，所以
x1＋x2＋x3＝0.
答案：0
答案：6
8．已知定义在R上的函数f(x)＝
lg|x|，x≠0， 1，x＝0，
关于x
的方程f(x)＝c(c为常数)恰有三个不同的实数根x1，x2，
x3，则x1＋x2＋x3＝________． 解析：方程f(x)＝c有三个不同的实数根等价于y＝f(x)
高考数学一轮复习 第2章 基本初等函数、导数及其应用 第8讲 函数的图象课件 理 北师大版
A．e x＋ 1
B． ex －1
C．e －x ＋1
D．e－x－1
解析：曲线 y＝ex 关于 y 轴对称的曲线为 y＝e－x，将 y＝e－x
向左平移 1 个单位长度得到 y＝e－(x＋1)，即 f(x)＝e－x－1.
4．为了得到函数 y＝4×12x的图象，可以把函数 y＝12x的
图象向___右_____平移___2_____个单位长度．
5．若关于 x 的方程|x|＝a－x 只有一个解，则实数 a 的取值 范围是____(_0_，__＋__∞__)__．
解析：由题意 a＝|x|＋x， 令 y＝|x|＋x＝20x，，xx<≥0，0，图象如图所示，故要使 a＝|x|＋x 只有一解，则 a>0，即实数 a 的取值范围是(0，＋∞)．
2．会用两种数学思想 (1)数形结合思想 借助函数图象，可以研究函数的定义域、值域、单调性、奇 偶性、对称性等性质；利用函数的图象，还可以判断方程 f(x) ＝g(x)的解的个数、求不等式的解集等． (2)分类讨论思想 画函数图象时，如果解析式中含参数，还要对参数进行讨论， 分别画出其图象．
1．(必修 1 P29 例 2 改编)函数 y＝x|x|的图像的形状大致是 (A )
[解析] (1)函数 f(x)＝(x－1x)cos x(－π ≤x≤π 且 x≠0)为奇 函数，排除选项 A，B；当 x＝π 时，f(x)＝(π －π1 )cos π
＝π1 －π ＜0，排除选项 C，故选 D. (2)函数定义域为{x|x≠－c}，结合图象知－c>0，所以 c<0. 令 x＝0，得 f(0)＝cb2，又由图象知 f(0)>0， 所以 b>0. 令 f(x)＝0，得 x＝－ba，结合图象知－ba>0， 所以 a<0.故选 C.
(教师用书)2020届高考数学第一轮复习 第二篇 函数、导数及其应用细致讲解练 理 新人教A版
第二篇函数、导数及其应用第1讲函数的概念及其表示[最新考纲]1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念．2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．3．了解简单的分段函数，并能简单地应用.知识梳理1．函数的基本概念(1)函数的定义一般地，设A，B是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应；那么就称：f：A→B为从集合A 到集合B的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．(3)函数的三要素是：定义域、值域和对应关系．(4)表示函数的常用方法有：解析法、列表法和图象法．(5)分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．2．函数定义域的求法2nf x，n∈N*1与[f(x)]0f x3．函数值域的求法1．对函数概念的理解．(1)(教材习题改编)如图：以x 为自变量的函数的图象为②④.(√) (2)函数y ＝1与y ＝x 0是同一函数．(×) 2．函数的定义域、值域的求法(3)(2013·江西卷改编)函数y ＝x ln(1－x )的定义域为(0,1)．(×) (4)(2014·杭州月考改编)函数f (x )＝11＋x 2的值域为(0,1]．(√)3．分段函数求值(5)(2013·济南模拟改编)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x，x ＞1，则f (f (3))＝139.(√)学生用书第10页(6)(2014·浙江部分重点中学调研改编)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋34，x ≥0，2x ＋1，x ＜0若f (a )＝12，则实数a 的值为12或－2.(√)4．函数解析式的求法(7)已知f (x )＝2x 2＋x －1，则f (x ＋1)＝2x 2＋5x ＋2.(√) (8)已知f (x －1)＝x ，则f (x )＝(x ＋1)2.(×) [感悟·提升]1．一个方法 判断两个函数是否为相同函数．一是定义域是否相同，二是对应关系即解析式是否相同(注意解析式可以等价化简)，如(2)．2．三个防范 一是求函数的定义域要使给出解析式的各个部分都有意义，如(3)；二是分段函数求值时，一定要分段讨论，注意验证结果是否在自变量的取值范围内，如(6)； 三是用换元法求函数解析式时，一定要注意换元后的范围，如(8).考点一 求函数的定义域与值域【例1】 (1)(2013·山东卷)函数f (x )＝1－2x＋1x ＋3的定义域为( )．A ．(－3,0]B ．(－3,1]C ．(－∞，－3)∪(－3,0]D ．(－∞，－3)∪(－3,1] (2)函数y ＝x －3x ＋1的值域为________． 解析 (1)由题意⎩⎪⎨⎪⎧1－2x≥0，x ＋3＞0，解得－3＜x ≤0.(2)y ＝x －3x ＋1＝x ＋1－4x ＋1＝1－4x ＋1，因为4x ＋1≠0， 所以1－4x ＋1≠1.即函数的值域是{y |y ≠1}． 答案 (1)A (2){y |y ≠1}规律方法 (1)求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．(2)求函数的值域：①当所给函数是分式的形式，且分子、分母是同次的，可考虑用分离常数法；②若与二次函数有关，可用配方法；③当函数的图象易画出时，可以借助于图象求解．【训练1】 (1)函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________．(2)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ≥1，2x ，x ＜1的值域为________．解析(1)根据题意可知，⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x＞0，x ≠0，1－x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x ＞0，－1≤x ≤1⇒0＜x ≤1，故定义域为(0,1]．(2)当x ≥1时，log 12x ≤0；当x ＜1时，0＜2x＜2，故值域为(0,2)∪(－∞，0]＝(－∞，2)．答案 (1)(0,1] (2)(－∞，2)考点二 分段函数及其应用【例2】 (1)(2014·东北三校联考)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 24－x ，x ≤0f x －1－f x －2，x ＞0，则f (3)的值为( )．A ．－1B ．－2C ．1D ．2(2)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．解析 (1)依题意，3＞0，得f (3)＝f (3－1)－f (3－2)＝f (2)－f (1)，又2＞0，所以f (2)＝f (2－1)－f (2－2)＝f (1)－f (0)；所以f (3)＝f (1)－f (0)－f (1)＝－f (0)，又f (0)＝log 2(4－0)＝2，所以f (3)＝－f (0)＝－2. (2)当a ＞0时，1－a ＜1,1＋a ＞1. 此时f (1－a )＝2(1－a )＋a ＝2－a ，f (1＋a )＝－(1＋a )－2a ＝－1－3a .由f (1－a )＝f (1＋a )，得2－a ＝－1－3a ，解得a ＝－32.不合题意，舍去．当a ＜0时，1－a ＞1,1＋a ＜1， 此时f (1－a )＝－(1－a )－2a ＝－1－a ，f (1＋a )＝2(1＋a )＋a ＝2＋3a .由f (1－a )＝f (1＋a )，得－1－a ＝2＋3a ，解得a ＝－34.综上可知，a 的值为－34.答案 (1)B (2)－34规律方法 (1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．【训练2】 (2014·烟台诊断)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos πx 3，x ≤2 000，2x －2 008，x ＞2 000，则f [f (2 013)]＝( )．A. 3 B ．－ 3 C ．1 D ．－1 解析 f (2 013)＝22 013－2 008＝25＝32，所以f [f (2 013)]＝f (32)＝2cos 32π3＝2cos 2π3＝－1. 答案 D学生用书第11页 【例3】 (1)已知f ⎝⎛⎭⎪⎫2x＋1＝lg x ，求f (x )的解析式．(2)f (x )为二次函数且f (0)＝3，f (x ＋2)－f (x )＝4x ＋2.试求出f (x )的解析式．(3)定义在(－1,1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，求函数f (x )的解析式． 解 (1)令2x ＋1＝t ，由于x ＞0，∴t ＞1且x ＝2t －1，∴f (t )＝lg2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x ＞1)． (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，又f (0)＝c ＝3.∴f (x )＝ax 2＋bx ＋3，∴f (x ＋2)－f (x )＝a (x ＋2)2＋b (x ＋2)＋3－(ax 2＋bx ＋3)＝4ax ＋4a ＋2b ＝4x ＋2.∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝4，4a ＋2b ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，∴f (x )＝x 2－x ＋3.(3)当x ∈(－1,1)时，有2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)．① 以－x 代替x 得，2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)．② 由①②消去f (－x )得，f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，x ∈(－1,1)．规律方法 求函数解析式常用方法(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法； (2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(3)方程法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．【训练3】 (1)若f (x ＋1)＝2x 2＋1，则f (x )＝________.(2)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________. 解析 (1)令t ＝x ＋1，则x ＝t －1， 所以f (t )＝2(t －1)2＋1＝2t 2－4t ＋3. 所以f (x )＝2x 2－4x ＋3.(2)当－1≤x ≤0时，有0≤x ＋1≤1，所以f (1＋x )＝(1＋x )[1－(1＋x )]＝－x (1＋x )，又f (x ＋1)＝2f (x )，所以f (x )＝12f (1＋x )＝－x x ＋12.答案 (1)2x 2－4x ＋3 (2)－x x ＋121．函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质的基础．因此，我们一定要树立函数定义域优先意识．2．函数有三种表示方法——列表法、图象法和解析法，三者之间是可以互相转化的；求函数解析式比较常见的方法有凑配法、换元法、待定系数法和方程法等，特别要注意将实际问题转化为函数问题，通过设自变量，写出函数的解析式并明确定义域．教你审题1——分段函数中求参数范围问题【典例】 (2013·新课标全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln x ＋1，x ＞0.❶若|f (x )|≥ax ❷，则a 的取值范围是( )． A ．(－∞，0] B ．(－∞，1] C ．[－2,1] D ．[－2,0](1)[审题]一审条件❶：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln x ＋1，x ＞0，转化为一元二次函数与对数函数的图象问题．如图(1)．二审条件❷：|f (x )|≥ax ，由f (x )的图象得到|f (x )|的图象如图(2)．(2)三审图形：观察y ＝ax 的图象总在y ＝|f (x )|的下方，则当a ＞0时，不合题意；当a ＝0时，符合题意；当a ＜0时，若x ≤0，f (x )＝－x 2＋2x ≤0， 所以|f (x )|≥ax 化简为x 2－2x ≥ax ，即x 2≥(a ＋2)x ，所以a ＋2≥x 恒成立，所以a ≥－2. 综上－2≤a ≤0. 答案 D[反思感悟] (1)问题中参数值影响变形时，往往要分类讨论，需有明确的标准、全面的考虑； (2)求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求． 【自主体验】(2014·德州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ＞0，x ＋3，x ≤0，则f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( )．A ．－3B ．－1或3C ．1D ．－3或1解析 因为f (1)＝lg 1＝0，所以由f (a )＋f (1)＝0得f (a )＝0.当a ＞0时，f (a )＝lg a ＝0，所以a ＝1.当a ≤0时，f (a )＝a ＋3＝0，解得a ＝－3.所以实数a 的值为a ＝1或a ＝－3，选D. 答案 D对应学生用书P227基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．下列各组函数表示相同函数的是( )． A ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x )2B ．f (x )＝1，g (x )＝x 2C ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，g (t )＝|t |D ．f (x )＝x ＋1，g (x )＝x 2－1x －1解析 A 选项中的两个函数的定义域分别是R 和[0，＋∞)，不相同； B 选项中的两个函数的对应法则不一致；D 选项中的两个函数的定义域分别是R 和{x |x ≠1}，不相同，尽管它们的对应法则一致，但也不是相同函数；C 选项中的两个函数的定义域都是R ，对应法则都是g (x )＝|x |，尽管表示自变量的字母不同，但它们依然是相同函数． 答案 C2．(2013·临沂一模)函数f (x )＝ln xx －1＋x21的定义域为( )．A ．(0，＋∞) B．(1，＋∞) C ．(0,1) D ．(0,1)∪(1，＋∞)解析 要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，xx －1＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x x －1＞0，解得x ＞1.答案 B3．(2013·昆明调研)设M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，函数f (x )的定义域为M ，值域为N ，则f (x )的图象可以是( )．解析 A 项定义域为[－2,0]，D 项值域不是[0,2]，C 项对定义域中除2以外的任一x 都有两个y 与之对应，都不符合条件，故选B. 答案 B4．(2014·江西师大附中、鹰潭一中联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ＜1，f x －1，x ≥1，则f (log 27)＝( )．A.716B.78C.74D.72解析 因为log 27＞1，log 272＞1,0＜log 274＜1，所以f (log 27)＝f (log 27－1)＝f (log 272)＝f (log 272－1)＝f (log 274)＝2log 274＝74.答案 C 5．函数f (x )＝cx 2x ＋3(x ≠－32)满足f (f (x ))＝x ，则常数c 等于( )． A ．3 B ．－3 C ．3或－3 D ．5或－3解析 f (f (x ))＝c ⎝⎛⎭⎪⎫cx 2x ＋32⎝ ⎛⎭⎪⎫cx 2x ＋3＋3＝c 2x 2cx ＋6x ＋9＝x ，即x [(2c ＋6)x ＋9－c 2]＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧2c ＋6＝0，9－c 2＝0，解得c ＝－3.答案 B 二、填空题6．(2014·杭州质检)函数f (x )＝ln x －2x ＋1的定义域是________． 解析 由题意知x －2x ＋1＞0，即(x －2)(x ＋1)＞0，解得x ＞2或x ＜－1. 答案 {x |x ＞2，或x ＜－1}7．(2014·石家庄模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋1，x ＜1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a ＝________.解析 f (f (0))＝f (2)＝4＋2a ＝4a ，解得a ＝2. 答案 28．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1－x 21＋x 2，则f (x )的解析式为________．解析 令t ＝1－x 1＋x ，由此得x ＝1－t1＋t(t ≠－1)，所以f (t )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 1＋t 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 1＋t 2＝2t 1＋t 2，从而f (x )的解析式为f (x )＝2x1＋x2(x ≠－1)． 答案 f (x )＝2x1＋x 2(x ≠－1)三、解答题9．设二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，且f (x )＝0的两个实根的平方和为10，f (x )的图象过点(0,3)，求f (x )的解析式． 解 ∵f (2＋x )＝f (2－x )， ∴f (x )的图象关于直线x ＝2对称． 于是，设f (x )＝a (x －2)2＋k (a ≠0)， 则由f (0)＝3，可得k ＝3－4a ，∴f (x )＝a (x －2)2＋3－4a ＝ax 2－4ax ＋3. ∵ax 2－4ax ＋3＝0的两实根的平方和为10， ∴10＝x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝16－16a，∴a ＝1.∴f (x )＝x 2－4x ＋3.10．某人开汽车沿一条直线以60 km/h 的速度从A 地到150 km 远处的B 地．在B 地停留1 h 后，再以50 km/h 的速度返回A 地，把汽车与A 地的距离s (km)表示为时间t (h)(从A 地出发开始)的函数，并画出函数的图象．解 由题意知：s ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t ，0≤t ≤52，150，52<t ≤72，150－50⎝ ⎛⎭⎪⎫t －72，72<t ≤132.其图象如图所示．能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1．设f (x )＝lg 2＋x 2－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 的定义域为( )． A ．(－4,0)∪(0,4) B ．(－4，－1)∪(1,4) C ．(－2，－1)∪(1,2) D ．(－4，－2)∪(2,4)解析 ∵2＋x 2－x ＞0，∴－2＜x ＜2，∴－2＜x 2＜2且－2＜2x ＜2，取x ＝1，则2x ＝2不合题意(舍去)，故排除A ，取x ＝2，满足题意，排除C 、D ，故选B. 答案 B2．已知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－1对称，且当x ∈(0，＋∞)时，有f (x )＝1x，则当x ∈(－∞，－2)时，f (x ) 的解析式为( )．A ．f (x )＝－1xB ．f (x )＝－1x －2C ．f (x )＝1x ＋2 D ．f (x )＝－1x ＋2解析 当x ∈(－∞，－2)时，则－2－x ∈(0，＋∞)， ∴f (x )＝－1x ＋2. 答案 D 二、填空题3．(2013·潍坊模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ∈－∞，1]，log 81x ，x ∈1，＋∞，则满足f (x )＝14的x 值为________．解析 当x ∈(－∞，1]时，2－x ＝14＝2－2，∴x ＝2(舍去)；当x ∈(1，＋∞)时，log 81x ＝14，即x ＝8141＝1443⨯＝3.答案 3 三、解答题4．若函数f (x )＝12x 2－x ＋a 的定义域和值域均为[1，b ](b >1)，求a ，b 的值．解 ∵f (x )＝12(x －1)2＋a －12，∴其对称轴为x ＝1，即函数f (x )在[1，b ]上单调递增． ∴f (x )min ＝f (1)＝a －12＝1，①f (x )max ＝f (b )＝12b 2－b ＋a ＝b ，②又b >1，由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝3，∴a ，b 的值分别为32，3.学生用书第12页第2讲 函数的单调性与最值[最新考纲]1．理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义． 2．会运用函数图象理解和研究函数的单调性.知 识 梳 理1．函数的单调性 (1)单调函数的定义若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值1．函数单调性定义的理解(1)对于函数f(x)，x∈D，若x1，x2∈D且(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0，则函数f(x)在D上是增函数．(√)(2)函数f(x)＝2x＋1在(－∞，＋∞)上是增函数．(√)(3)(教材改编)函数f(x)＝1x在其定义域上是减函数．(×)(4)已知f(x)＝x，g(x)＝－2x，则y＝f(x)－g(x)在定义域上是增函数．(√) 2．函数的单调区间与最值(5)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(×)(6)(教材改编)函数y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(×)(7)(2013·汕头模拟)函数y ＝lg|x |的单调递减区间为(0，＋∞)．(×) (8)函数f (x )＝log 2(3x＋1)的最小值为0.(×) [感悟·提升]1．一个区别 “函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”的区别：前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集，如(5)．2．两个防范 一是注意函数的定义域不连续的两个单调性相同的区间，要分别说明单调区间，不可说成“在其定义域上”单调，如(3)；二是若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集，如(6).学生用书第13页考点一 确定函数的单调性或单调区间【例1】 (1)判断函数f (x )＝x ＋kx(k ＞0)在(0，＋∞)上的单调性． (2)(2013·沙市中学月考)求函数y ＝log 13(x 2－4x ＋3)的单调区间．解 (1)法一 任意取x 1＞x 2＞0，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋k x 1－⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋k x 2＝(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k x 1－k x2＝(x 1－x 2)＋k x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k x 1x 2.当k ≥x 1＞x 2＞0时，x 1－x 2＞0,1－kx 1x 2＜0， 有f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，此时，函数f (x )＝x ＋k x(k ＞0)在(0，k ]上为减函数； 当x 1＞x 2≥k 时，x 1－x 2＞0,1－kx 1x 2＞0， 有f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，此时，函数f (x )＝x ＋k x(k ＞0)在[k ，＋∞)上为增函数；综上可知，函数f (x )＝x ＋k x(k ＞0)在(0，k ]上为减函数；在[k ，＋∞)上为增函数． 法二 f ′(x )＝1－k x 2，令f ′(x )＞0，则1－k x2＞0， 解得x ＞k 或x ＜－k (舍)．令f ′(x )＜0，则1－k x2＜0， 解得－k ＜x ＜k .∵x ＞0，∴0＜x ＜k .∴f (x )在(0，k )上为减函数；在(k ，＋∞)上为增函数， 也称为f (x )在(0，k ]上为减函数；在[k ，＋∞)上为增函数．(2)令u ＝x 2－4x ＋3，原函数可以看作y ＝log 13u 与u ＝x 2－4x ＋3的复合函数．令u ＝x 2－4x ＋3＞0.则x ＜1或x ＞3. ∴函数y ＝log 13(x 2－4x ＋3)的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)．又u ＝x 2－4x ＋3的图象的对称轴为x ＝2，且开口向上，∴u ＝x 2－4x ＋3在(－∞，1)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数．而函数y ＝log 13u 在(0，＋∞)上是减函数，∴y ＝log 13(x 2－4x ＋3)的单调递减区间为(3，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)．规律方法 (1)对于给出具体解析式的函数，证明或判断其在某区间上的单调性有两种方法：①可以利用定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、定号、下结论)求解；②可导函数则可以利用导数解之．(2)复合函数y ＝f [g (x )]的单调性规律是“同则增，异则减”，即y ＝f (u )与u ＝g (x )若具有相同的单调性，则y ＝f [g (x )]为增函数，若具有不同的单调性，则y ＝f [g (x )]必为减函数．【训练1】 试讨论函数f (x )＝axx 2－1，x ∈(－1,1)的单调性(其中a ≠0)．解 法一 (定义法)任取－1＜x 1＜x 2＜1， 则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1x 21－1－ax 2x 22－1＝a x 2－x 1x 1x 2＋1x 21－1x 22－1，∵－1＜x 1＜x 2＜1，∴|x 1|＜1，|x 2|＜1，x 2－x 1＞0，x 21－1＜0，x 22－1＜0，|x 1x 2|＜1，即－1＜x 1x 2＜1， ∴x 1x 2＋1＞0， ∴x 2－x 1x 1x 2＋1x 21－1x 22－1＞0，因此，当a ＞0时，f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，此时函数在(－1,1)为减函数； 当a ＜0时，f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，此时函数在(－1,1)为增函数． 法二 (导数法)f ′(x )＝a x 2－1－2ax 2x 2－12＝－a x 2＋1x 2－12当a ＞0时，f ′(x )＜0； 当a ＜0时，f ′(x )＞0.∴当a ＞0时，f (x )在(－1,1)上为减函数； 当a ＜0时，f (x )在(－1,1)上为增函数．考点二 利用单调性求参数【例2】 已知函数f (x )＝ax －1x ＋1. (1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)上单调递减．(2)函数f (x )在(－∞，－1)上单调递减，求实数a 的取值范围． (1)证明 任设x 1＜x 2＜－2， 则f (x 1)－f (x 2)＝－2x 1－1x 1＋1－－2x 2－1x 2＋1＝－x 1－x 2x 1＋1x 2＋1.∵(x 1＋1)(x 2＋1)＞0，x 1－x 2＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＞0， ∴f (x 1)＞f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)上单调递减．(2)解 法一 f (x )＝ax －1x ＋1＝a －a ＋1x ＋1，设x 1<x 2<－1， 则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎪⎫a －a ＋1x 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a ＋1x 2＋1 ＝a ＋1x 2＋1－a ＋1x 1＋1＝a ＋1x 1－x 2x 1＋1x 2＋1，又函数f (x )在(－∞，－1)上是减函数， 所以f (x 1)－f (x 2)>0. 由于x 1<x 2<－1，∴x 1－x 2<0，x 1＋1<0，x 2＋1<0， ∴a ＋1<0，即a <－1.故a 的取值范围是(－∞，－1)． 法二 由f (x )＝ax －1x ＋1，得f ′(x )＝a ＋1x ＋12，又因为f (x )＝ax －1x ＋1在(－∞，－1)上是减函数，所以f ′(x )＝a ＋1x ＋12≤0在x ∈(－∞，－1)上恒成立，解得a ≤－1，而a ＝－1时，f (x )＝－1，在(－∞，－1)上不具有单调性，故实数a 的取值范围是(－∞，－1)．规律方法 利用单调性求参数的一般方法：一是求出函数的单调区间，然后使所给区间是这个单调区间的子区间，建立关于参数的不等式组即可求得参数范围；二是直接利用函数单调性的定义：作差、变形，由f (x 1)－f (x 2)的符号确定参数的范围，另外也可分离参数转化为不等式恒成立问题． 【训练2】 (1)函数y ＝x －5x －a －2在(－1，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是( )．A ．{－3}B ．(－∞，3)C ．(－∞，－3]D ．[－3，＋∞)(2)(2014·日照模拟)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是( )．A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1] 解析 (1)y ＝x －5x －a －2＝1＋a －3x －a ＋2，由函数在(－1，＋∞)上单调递增，有⎩⎪⎨⎪⎧a －3＜0，a ＋2≤－1，解得a ≤－3.(2)f (x )在[a ，＋∞)上是减函数，对于g (x )，只有当a >0时，它有两个减区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)，故只需区间[1,2]是f (x )和g (x )的减区间的子集即可，则a 的取值范围是0<a ≤1. 答案 (1)C (2)D学生用书第14页考点三 利用函数的单调性求最值【例3】 已知f (x )＝x 2＋2x ＋ax，x ∈[1，＋∞)．(1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围．审题路线 (1)当a ＝12时，f (x )为具体函数→求出f (x )的单调性，利用单调性求最值．(2)当x ∈[1，＋∞)时，f (x )＞0恒成立→转化为x 2＋2x ＋a ＞0恒成立．解 (1)当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x ＋2，联想到g (x )＝x ＋1x 的单调性，猜想到求f (x )的最值可先证明f (x )的单调性．任取1≤x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)＋⎝⎛⎭⎪⎫12x 1－12x 2＝x 1－x 22x 1x 2－12x 1x 2， ∵1≤x 1＜x 2，∴x 1x 2＞1，∴2x 1x 2－1＞0. 又x 1－x 2＜0，∴f (x 1)＜f (x 2)， ∴f (x )在[1，＋∞)上是增函数，∴f (x )在[1，＋∞)上的最小值为f (1)＝72.(2)在区间[1，＋∞)上，f (x )＝x 2＋2x ＋ax＞0恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋a ＞0，x ≥1⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＞－x 2＋2x ，x ≥1，等价于a 大于函数φ(x )＝－(x 2＋2x )在[1，＋∞)上的最大值．只需求函数φ(x )＝－(x 2＋2x )在[1，＋∞)上的最大值．φ(x )＝－(x ＋1)2＋1在[1，＋∞)上递减，∴当x ＝1时，φ(x )最大值为φ(1)＝－3. ∴a ＞－3，故实数a 的取值范围是(－3，＋∞)． 规律方法 求函数最值的常用方法：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值； (5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．【训练3】 对任意两个实数x 1，x 2，定义max(x 1，x 2)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 1，x 1≥x 2，x 2，x 1＜x 2，若f (x )＝x 2－2，g (x )＝－x ，则max(f (x )，g (x ))的最小值为________．解析 f (x )－g (x )＝x 2－2－(－x )＝x 2＋x －2，当x 2－2－(－x )＝x 2＋x －2≥0时，x ≥1或x ≤－2；当－2＜x ＜1时，x 2＋x －2＜0，即f (x )＜g (x )，所以max(f (x )，g (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，－2＜x ＜1，x 2－2，x ≥1或x ≤－2，作出图象如图所示，由图象可知函数的最小值在A 处取得，所以最小值为f (1)＝－1. 答案 －11．求函数的单调区间：首先应注意函数的单调区间是其定义域的子集；其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间．求函数单调区间的常用方法：根据定义、利用图象、单调函数的性质及利用导数的性质．2．复合函数的单调性：对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数，若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同(同时为增或减)，则y＝f[g(x)]为增函数；若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称：同增异减．3．函数的值域常常化归为求函数的最值问题，要重视函数的单调性在确定函数最值过程中的应用．易错辨析1——分段函数单调性的判定【典例】 (2013·金华模拟)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x ＞1，⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2x ＋2，x ≤1，是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是( )．A ．(1，＋∞)B ．[4,8)C ．(4,8)D ．(1,8)[错解] 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，4－a2＞0，解得1＜a ＜8.[答案] D[错因] 忽视函数在定义域两段区间分界点上的函数值的大小．[正解] f (x )在R 上单调递增，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，4－a 2＞0，⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2＋2≤a ，解得：4≤a ＜8. [答案] B[防范措施] 对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断．研究函数问题离不开函数图象，函数图象反映了函数的所有性质，在研究函数问题时要时时刻刻想到函数的图象，学会从函数图象上去分析问题、寻找解决问题的方法． 【自主体验】(2013·日照模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3a －1x ＋4a ，x ＜1，log a x ，x ≥1，是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是( )．A ．(0,1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，13D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，1 解析 当x ＝1时，log a 1＝0，若f (x )为R 上的减函数，则(3a －1)x ＋4a ≥0在x ＜1时恒成立．令g (x )＝(3a －1)x ＋4a ，则必有⎩⎪⎨⎪⎧3a －1＜0，0＜a ＜1，g 1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧3a －1＜0，0＜a ＜1，3a －1＋4a ≥0⇒17≤a ＜13. 答案 C对应学生用书P229基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )． A ．y ＝ln(x ＋2) B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD ．y ＝x ＋1x解析 函数y ＝ln(x ＋2)在(－2，＋∞)上是增函数；函数y ＝－x ＋1在[－1，＋∞)上是减函数；函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在(0，＋∞)上是减函数；函数y ＝x ＋1x 在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．综上可得在(0，＋∞)上是增函数的是y ＝ln(x ＋2)，故选A. 答案 A2．已知函数f (x )＝2ax 2＋4(a －3)x ＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a 的取值范围是( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34解析 当a ＝0时，f (x )＝－12x ＋5在(－∞，3)上是减函数；当a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，－4a －34a ≥3，得0＜a ≤34.综上，a 的取值范围是0≤a ≤34.答案 D3．(2013·泉州月考)已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x<f (1)的实数x 的取值范围是( )．A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析 由f (x )为R 上的减函数且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x<f (1)， 得⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x >1，x ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧|x |<1，x ≠0.∴－1<x <0或0<x <1. 答案 C4．(2014·广州模拟)已知函数y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递增，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )．A ．c ＜b ＜aB ．b ＜a ＜cC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c解析 ∵函数图象关于x ＝1对称，∴a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，又y ＝f (x )在(1，＋∞)上单调递增，∴f (2)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＜f (3)，即b ＜a ＜c . 答案 B5．用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值．设f (x )＝min{2x，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为( )． A ．4 B ．5 C ．6 D ．7解析 由f (x )＝min{2x，x ＋2，10－x }(x ≥0)画出图象，最大值在A 处取到，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，y ＝10－x ，得y ＝6.答案 C 二、填空题6．函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间为________．解析 y ＝－(x －3)|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋3x ，x ≥0，x 2－3x ，x ＜0，由图可知其递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32 7．设a >1，函数f (x )＝log a x 在区间[a,2a ]上的最大值与最小值之差为12，则a ＝________.解析 由a >1知函数f (x )在[a,2a ]上为单调增函数，则log a (2a )－log a a ＝12，解得a ＝4.答案 48．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋a ，x ＜1，2x，x ≥1的最小值为2，则实数a 的取值范围是________．解析 由题意知，当x ＝1时，f (x )min ＝2，故－1＋a ≥2， ∴a ≥3. 答案 [3，＋∞) 三、解答题9．试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性．解 设－1<x 1<x 2<1，f (x )＝a x －1＋1x －1＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x －1，f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 1－1－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－1＝ax 2－x 1x 1－1x 2－1，由于－1＜x 1＜x 2＜1，所以x 2－x 1＞0，x 1－1＜0，x 2－1＜0， 故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上递减；当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上递增．10．已知函数f (x )＝1a －1x(a ＞0，x ＞0)．(1)判断函数f (x )在(0，＋∞)上的单调性；(2)若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求a 的值． 解 (1)任取x 1＞x 2＞0，则x 1－x 2＞0，x 1x 2＞0，∵f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 2＝1x 2－1x 1＝x 1－x 2x 1x 2＞0， ∴f (x 1)＞f (x 2)，因此，函数f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数．(2)∵f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2， 又由(1)得f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上是单调增函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，f (2)＝2， 即1a －2＝12，1a －12＝2. 解得a ＝25.能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f xx在区间(1，＋∞)上一定( )． A ．有最小值 B ．有最大值 C ．是减函数 D ．是增函数解析 由题意知a ＜1，又函数g (x )＝x ＋a x－2a 在[|a |，＋∞)上为增函数，故选D. 答案 D2．(2014·厦门外国语学校质检)已知函数f (x )＝|e x＋ae x |(a ∈R ，e 是自然对数的底数)，在区间[0,1]上单调递增，则a 的取值范围是( )． A ．[0,1] B ．[－1,0]C ．[－1,1]D ．(－∞，－e 2]∪[e 2，＋∞)解析 取a ＝1，则f (x )＝e x＋1e x ，当x ∈[0,1]时，f ′(x )＝e x－1e x ＝e 2x－1ex ≥0，所以f (x )在区间[0,1]上单调递增，排除B ，D ；取a ＝－1，则f (x )＝|e x －1e x |＝e x－1e x ，当x ∈[0,1]时，f ′(x )＝e x＋1e x ＞0，所以f (x )在区间[0,1]上单调递增，排除A.故选C.答案 C 二、填空题3．已知函数f (x )＝x 2＋ax (a ＞0)在(2，＋∞)上递增，则实数a 的取值范围是________．解析 法一 任取2＜x 1＜x 2，由已知条件f (x 1)－f (x 2)＝x 21＋a x 1－x 22＋ax 2＝(x 1－x 2)＋a x 2－x 1x 1x 2＝x 1－x 2x 1x 2－ax 1x 2＜0恒成立，即当2＜x 1＜x 2时，x 1x 2＞a 恒成立，又x 1x 2＞4，则0＜a ≤4.法二 f (x )＝x ＋ax ，f ′(x )＝1－a x2＞0得f (x )的递增区间是(－∞，－a )，(a ，＋∞)，由已知条件得a ≤2，解得0＜a ≤4. 答案 (0,4] 三、解答题4．已知二次函数f (x )＝ax2＋bx ＋1(a >0)，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x，x >0，－fx ，x <0.若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0成立．(1)求F (x )的表达式；(2)当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求k 的取值范围． 解 (1)∵f (－1)＝0，∴a －b ＋1＝0，∴b ＝a ＋1， ∴f (x )＝ax 2＋(a ＋1)x ＋1.∵对任意实数x 均有f (x )≥0恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝a ＋12－4a ≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，a －12≤0.∴a ＝1，从而b ＝2，∴f (x )＝x 2＋2x ＋1，∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋1，x ＞0，－x 2－2x －1，x ＜0.(2)g (x )＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2＋(2－k )x ＋1. ∵g (x )在[－2,2]上是单调函数， ∴k －22≤－2或k －22≥2，解得k ≤－2或k ≥6.故k 的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞).学生用书第15页 [最新考纲]1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义． 2．会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性．3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．知识梳理1．函数的奇偶性(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(填“相同”、“相反”)．(2)在公共定义域内①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数．②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数．③一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数．(3)若函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0.3．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．辨析感悟1．对奇偶函数的认识及应用(1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．(×)(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(×)(3)(教材习题改编)如果函数f (x )，g (x )为定义域相同的偶函数，则F (x )＝f (x )＋g (x )是偶函数．(√)(4)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．(√)(5)(2013·山东卷改编)已知函数f (x )为奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 2＋1x，则f (－1)＝－2.(√)(6)(2014·菏泽模拟改编)已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(－∞，0)上是减函数，若f (a )≥f (2)，则实数a 的取值范围是[－2,2]．(×) 2．对函数周期性的理解(7)函数f (x )在定义域上满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是周期为2a (a ＞0)的周期函数．(√) (8)(2014·枣庄一模改编)若y ＝f (x )既是周期函数，又是奇函数，则其导函数y ＝f ′(x )既是周期函数又是奇函数．(×) [感悟·提升]1．两个防范 一是判断函数的奇偶性之前务必先考查函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，则该函数一定是非奇非偶函数，如(1)；二是若函数f (x )是奇函数，则f (0)不一定存在；若函数f (x )的定义域包含0，则必有f (0)＝0，如(2)．2．三个结论 一是若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称；若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称，如(4)；二是若对任意x ∈D 都有f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是以2a 为周期的函数；若对任意x ∈D 都有f (x ＋a )＝±1f x(f (x )≠0)，则f (x )也是以2a 为周期的函数，如(7)；三是若函数f (x )既是周期函数，又是奇函数，则其导函数y ＝f ′(x )既是周期函数又是偶函数，如(8)中因为y ＝f (x )是周期函数，设其周期为T ，则有f (x ＋T )＝f (x )，两边求导，得f ′(x ＋T )(x ＋T )′＝f ′(x )，即f ′(x ＋T )＝f ′(x )，所以导函数是周期函数，又因为f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，两边求导，得f ′(－x )(－x )′＝－f ′(－x )＝－f ′(x )，即－f ′(－x )＝－f ′(x )，所以f ′(－x )＝f ′(x )，所以导函数是偶函数.学生用书第16页考点一 函数奇偶性的判断及应用【例1】 (1)判断下列函数的奇偶性： ①f (x )＝x 2－1＋1－x 2；②f (x )＝ln 1－x 1＋x.(2)已知函数f (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋1，则f (lg 2)＋f (lg 12)＝( )．A ．－1B ．0C ．1D ．2(1)解 ①由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1≥0，1－x 2≥0得x ＝±1.∴f (x )的定义域为{－1,1}．又f (1)＋f (－1)＝0，f (1)－f (－1)＝0， 即f (x )＝±f (－x )．∴f (x )既是奇函数又是偶函数．②由1－x 1＋x ＞0，得－1＜x ＜1，即f (x )＝ln 1－x1＋x 的定义域为(－1,1)，又f (－x )＝ln 1＋x 1－x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x －1＝－ln 1－x 1＋x ＝－f (x )，则f (x )为奇函数． (2)解析 设g (x )＝ln(1＋9x 2－3x )， 则g (－x )＝ln(1＋9x 2＋3x )＝ln 11＋9x 2－3x＝－ln(1＋9x 2－3x )＝－g (x )． ∴g (x )为奇函数．∴f (lg 2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＝f (lg 2)＋f (－lg 2) ＝g (lg 2)＋1＋g (－lg 2)＋1＝g (lg 2)－g (lg 2)＋2＝2. 答案 D规律方法 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f (x )与f (－x )是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f (x )＋f (－x )＝0(奇函数)或f (x )－f (－x )＝0(偶函数))是否成立． 【训练1】 (1)(2014·武汉一模)已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2(a >0且a ≠1)，若g (2)＝a ，则f (2)＝( )．A ．2 B.154C.174D ．a 2(2)设f (x )为定义在R 上的奇函数．当x ≥0时，f (x )＝2x＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝( )．A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析 (1)∵g (x )为偶函数，f (x )为奇函数， ∴g (2)＝g (－2)＝a ，f (－2)＝－f (2)， ∴f (2)＋g (2)＝a 2－a －2＋2，①f (－2)＋g (－2)＝－f (2)＋g (2)＝a －2－a 2＋2，②联立①②解得g (2)＝2＝a ，f (2)＝a 2－a －2＝22－2－2＝154.(2)因为f (x )为定义在R 上的奇函数， 所以f (0)＝20＋2×0＋b ＝0，解得b ＝－1. 所以当x ≥0时，f (x )＝2x＋2x －1，所以f (－1)＝－f (1)＝－(21＋2×1－1)＝－3. 答案 (1)B (2)A考点二 函数的单调性与奇偶性【例2】 (1)(2014·山东实验中学诊断)下列函数中，在其定义域中，既是奇函数又是减函数的是( )．A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝－xC ．f (x )＝2－x －2xD ．f (x )＝－tan x(2)(2013·辽宁五校联考)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，在区间[0，＋∞)上为增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝0，则不等式f (log 18x )＞0的解集为( )． A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 B ．(2，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(2，＋∞) 解析 (1)f (x )＝1x在定义域上是奇函数，但不单调；f (x )＝－x 为非奇非偶函数；f (x )＝－tan x 在定义域上是奇函数，但不单调．(2)由已知f (x )在R 上为偶函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝0， ∴f (log 18x )＞0等价于f (|log 18x |)＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，又f (x )在[0，＋∞)上为增函数，∴|log 18x |＞13，即log 18x ＞13或log 18x ＜－13，解得0＜x ＜12或x ＞2，故选C.答案 (1)C (2)C规律方法 对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f ”，转化为解不等式(组)的问题，若f (x )为偶函数，则f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．【训练2】 (2014·北京101中学模拟)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝e x＋a ，若f (x )在R 上是单调函数，则实数a 的最小值是( )． A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2解析 因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0.又f (x )＝e x＋a 在(0，＋∞)上是增函数，所以f (x )在R 上是增函数，则e 0＋a ＝1＋a ≥0，解得a ≥－1，所以a 的最小值是－1，故选B. 答案 B考点三 函数的单调性、奇偶性、周期性的综合应用【例3】 (经典题)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )． A ．f (－25)＜f (11)＜f (80) B ．f (80)＜f (11)＜f (－25) C ．f (11)＜f (80)＜f (－25) D ．f (－25)＜f (80)＜f (11)审题路线 f (x －4)＝－f (x )――――→令x ＝x －4f (x －8)＝f (x )→结合f (x )奇偶性、周期性把－25,11,80化到区间[－2,2]上→利用[－2,2]上的单调性可得出结论．解析∵f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，∴f(x－8)＝f(x)，∴函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．∵f(x)在区间[0,2]上是增函数，f(x)在R上是奇函数，∴f(x)在区间[－2,2]上是增函数，∴f(－1)＜f(0)＜f(1)，即f(－25)＜f(80)＜f(11)．答案 D学生用书第17页规律方法区间上的问题转化为已知区间上的问题．【训练3】(2014·黄冈中学适应性考试)定义在R上的偶函数f(x)满足：f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上是增函数，下列关于f(x)的判断：①f(x)是周期函数；②f(x)的图象关于直线x＝2对称；③f(x)在[0,1]上是增函数；④f(x)在[1,2]上是减函数；⑤f(4)＝f(0)．其中判断正确的序号是________．解析f(x＋1)＝－f(x)⇒f(x＋2)＝f(x)，故f(x)是周期函数．又f(x)＝f(－x)，所以f(x ＋2)＝f(－x)，故f(x)的图象关于直线x＝1对称．同理，f(x＋4)＝f(x)＝f(－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称．由f(x)在[－1,0]上是增函数，得f(x)在[0,1]上是减函数，在[1,2]上是增函数．因此可得①②⑤正确．答案①②⑤1．正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域关于原点对称是函数f (x )为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )是定义域上的恒等式．2．奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据．为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f (－x )＝±f (x )⇔f (－x )±f (x )＝0⇔f －xf x＝±1(f (x )≠0)．3．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，反之也成立．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性．方法优化1——根据函数的奇偶性求参数值【典例】 (2011·辽宁卷)若函数f (x )＝x2x ＋1x －a为奇函数，则a ＝( )．。
2020版高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用2_8函数与方程课件文新人教版
e)上单调递增，令 g′(x)<0，解得 x>e，则 g(x)在(e，＋∞)上单调递减，则
g(x)max＝g(e)＝2e，当 x→＋∞时，g(x)→0 且 g(x)>0，当 x→0 时，g(x)→－
∞，则有
0<lna<2e，解得
1<a<e
2 e
。综上，a
的取值范围是1，e
2 e
。
2
答案
方向 2：确定函数零点个数
x2＋x－2，x≤0，
【例 2】 (1)函数 f(x)＝－1＋lnx，x>0
的零点个数为(
)
A．3
B．2 C．1
D．0
x≤0，
x>0，
解析 (1)由 f(x)＝0 得x2＋x－2＝0 或－1＋lnx＝0， 解得 x＝－2
或 x＝e。因此函数 f(x)共有 2 个零点。故选 B。
3．二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象
与 x 轴的交点 ___(x_1_,0_)_，__(_x_2,_0_)
零点个数
__2____
__(_x_1,_0_)__ ___1____
无交点 ___0____
1．若连续不断的函数 f(x)在定义域上是单调函数，则 f(x)至多有一个零点。 函数的零点不是一个“点”，而是方程 f(x)＝0 的实根。
1，e
e
求解本题的关键在于底数与指数都含有自变量时，需两边同时取自然 对数，构造新的函数。该题考查了数形结合的转化能力及把陌生问题熟悉 化的逻辑推理能力。
2020高考数学一轮复习第2章基本初等函数导数及其应用第8讲函数的图象知能训练轻松闯关文北师大版
【2019最新】精选高考数学一轮复习第2章基本初等函数导数及其应用第8讲函数的图象知能训练轻松闯关文北师大版1．(2016·大同一模)函数y ＝x －x 的图像大致为( )解析：选A.由题意知函数为奇函数，图像关于原点对称，所以排除C 、D ；当x ＝1时，y ＝0，当x ＝8时，y ＝8－＝8－2＝6>0，排除B ，故选A.2．在同一平面直角坐标系中，函数y ＝g(x)的图像与y ＝ex 的图像关于直线y ＝x 对称．而函数y ＝f(x)的图像与y ＝g(x)的图像关于y 轴对称，若f(m)＝－1，则m 的值是( )e ．－A 1e ．－B e．C 1e D. 解析：选B.由题意知g(x)＝ln x ，则f(x)＝ln(－x)，若f(m)＝－1，则ln(－m)＝－1，解得m ＝－.3．(2016·江西省五校联考)已知函数f(x)＝x2－，则函数y ＝f(x)的大致图像为( )解析：选A.由f(－x)＝x2＋≠－f(x)可知函数f(x)不是奇函数，排除B 、C ，当x∈(0，1)时，f(x)＝x2－，因为当x∈(0，1)时，y ＝ln x<0，则f(x)>0，排除D ，故选A.4．已知函数f(x)＝x|x|－2x ，则下列结论正确的是( )A ．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)B ．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)C ．f(x)是奇函数，递减区间是(－1，1)D ．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)解析：选C.将函数f(x)＝x|x|－2x 去掉绝对值得f(x)＝画出函数f(x)的图像，如图，观察图像可知，函数f(x)的图像关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1，1)上递减．5．(2016·唐山高三月考)为了得到函数y ＝log2的图像，可将函数y ＝log2x 的图像上所有的点( )A ．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变，再向右平移1个单位B ．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移1个单位C ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位D ．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变，再向右平移1个单位解析：选A.y ＝log2＝log2(x －1)＝log2(x －1)，由y ＝log2x 的图像纵坐标缩短到原来的，横坐标不变，可得y ＝log2x 的图像，再向右平移1个单位，可得y ＝log2(x －1)的图像，也即y ＝log2的图像．6．使log2(－x)<x ＋1成立的x 的取值范围是( )A ．(－1， 0)B ．[－1，0)C ．(－2，0)D ．[－2，0)解析：选A.在同一坐标系内作出y＝log2(－x)，y＝x＋1的图像，知满足条件的x∈(－1，0)，故选A.7.如图，函数f(x)的图像是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0，0)，(1，2)，(3，1)，则f的值等于________．解析：由图像知f(3)＝1，所以＝1.所以f＝f(1)＝2.答案：2 8．若函数y＝f(x＋3)的图像经过点P(1，4)，则函数y＝f(x)的图像必经过点________．解析：法一：函数y＝f(x)的图像是由y＝f(x＋3)的图像向右平移3个单位长度而得到的．故y＝f(x)的图像经过点(4，4)．法二：由题意得f(4)＝4成立，故函数y＝f(x)的图像必经过点(4，4)．答案：(4，4) 9．已知图(1)中的图像对应的函数为y＝f(x)，则图(2)中的图像对应的函数在下列给出的四个式子中，可能是________(填序号)．①y＝f(|x|)；②y＝|f(x)|；③y＝－f(|x|)；④y＝f(－|x|)．解析：由题图(1)和题图(2)的关系可知，题图(2)是由题图(1)在y轴左侧的部分(含原点)及其关于y轴对称的图形构成的，故④正确．答案：④10．设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是________．解析：如图，作出函数f(x)＝|x＋a|与g(x)＝x－1的图像，观察图像可知：当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，因此a的取值范围是[－1，＋∞)．答案：[－1，＋∞)11．已知函数f(x)＝.(1)画出f(x)的草图；(2)指出f(x)的单调区间．解：(1)f(x)＝＝1－，函数f(x)的图像是由反比例函数y＝－的图像向左平移1个单位后，再向上平移1个单位得到的，图像如图所示．(2)由图像可以看出，函数f(x)有两个增区间：(－∞，－1)，(－1，＋∞)．1.函数f(x)的图像如图所示，若函数y＝2f(x－1)－c与x轴有四个不同交点，则c的取值范围是( )A．(－1，2.5)B．(－1，5)D．(－2，5)C．(－2，2.5) 解析：选D.函数y＝2f(x－1)－c与x轴有四个不同交点，即方程2f(x－1)－c＝0有四个不同的解，即y ＝f(x －1)与y ＝c 有四个不同的交点．因为函数y ＝f (x －1)与函数y ＝f(x)上下分布相同，所以可以把问题转化为c 取何值时，曲线y ＝f(x)与y ＝c有四个不同的交点，结合图形可知c∈(－2，5)．2．已知函数f(x)＝x|m －x|(x ∈R)，且f(4)＝0.(1)求实数m 的值；(2)作出函数f(x)的图像；(3)根据图像指出f(x)的递减区间；(4)根据图像写出不等式f(x)>0的解集；(5)求当x∈[1，5)时函数的值域．解：(1)因为f(4)＝0，所以4|m －4|＝0，即m ＝4.(2)由(1)得f(x)＝x|4－x|⎩⎪⎨⎪⎧x （x －4）＝（x －2）2－4，x≥4，－x （x －4）＝－（x －2）2＋4，x<4.＝ f(x)的图像如图所示．(3)f(x)的递减区间是[2，4]．(4)由图像可知，f(x)>0的解集为{x|0<x<4或x>4}．(5)因为f(5)＝5>4，所以由图像知，函数在[1，5)上的值域为[0，5)．3．(1)已知函数y ＝f(x)的定义域为R ，且当x ∈R 时，f(m ＋x)＝f(m －x)恒成立，求证：y ＝f(x)的图像关于直线x ＝m 对称；(2)若函数f(x)＝log2|ax －1|的图像的对称轴是x ＝2，求非零实数a 的值．解：(1)证明：设P(x0，y0)是y ＝f(x)图像上任意一点，则y0＝f(x0)．设P 点关于x ＝m 的对称点为P′，则P ′的坐标为(2m －x0，y0)．由已知f(x ＋m)＝f(m －x)，得f(2m －x0)＝f[m ＋(m －x0)]＝f[m －(m －x0)]＝f(x0)＝y0.即P′(2m－x0，y0)在y ＝f(x)的图像上．所以y ＝f(x)的图像关于直线x ＝m 对称．(2)对定义域内的任意x ，有f(2－x)＝f(2＋x)恒成立．所以|a(2－x)－1|＝|a(2＋x)－1|恒成立，即|－ax ＋(2a －1)|＝|ax ＋(2a －1)|恒成立．又因为a≠0，所以2a －1＝0，得a ＝.。
2020高考数学一轮复习第2章基本初等函数导数及其应用第8讲函数的图象知能训练轻松闯关理北师大版
【2019最新】精选高考数学一轮复习第2章基本初等函数导数及其应用第8讲函数的图象知能训练轻松闯关理北师大版1．(2016·陕西一模)函数f(x)＝ln的图像是( )解析：选B.由x－>0得函数f(x)的定义域为(－1，0)∪(1，＋∞)，可排除选项A、D；当x→＋∞时，函数f(x)的函数值大于零，可排除选项C，故选B. 2．在同一平面直角坐标系中，函数y＝g(x)的图像与y＝ex的图像关于直线y＝x对称．而函数y＝f(x)的图像与y＝g(x)的图像关于y轴对称，若f(m)＝－1，则m的值是( )B．－1A．－eeD.1C．ee解析：选B.由题意知g(x)＝ln x，则f(x)＝ln(－x)，若f(m)＝－1，则ln(－m)＝－1，解得m＝－. 3．(2016·江西省五校联考)已知函数f(x)＝x2－，则函数y＝f(x)的大致图像为( )解析：选A.由f(－x)＝x2＋≠－f(x)可知函数f(x)不是奇函数，排除B、C，当x∈(0，1)时，f(x)＝x2－，因为当x∈(0，1)时，y＝ln x<0，则f(x)>0，排除D，故选A.4．已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是( )A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1，1)D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)解析：选C.将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值得f(x)＝画出函数f(x)的图像，如图，观察图像可知，函数f(x)的图像关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1，1)上递减．5．(2016·唐山高三月考)为了得到函数y＝log2的图像，可将函数y＝log2x的图像上所有的点( )A．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变，再向右平移1个单位B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移1个单位C．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位D．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变，再向右平移1个单位解析：选A.y＝log2＝log2(x－1)＝log2(x－1)，由y＝log2x的图像纵坐标缩短到原来的，横坐标不变，可得y＝log2x的图像，再向右平移1个单位，可得y＝log2(x－1)的图像，也即y＝log2的图像．6．使log2(－x)<x＋1成立的x的取值范围是( )B．[－1，0)A．(－1，0)D．[－2，0)C．(－2，0)解析：选A.在同一坐标系内作出y＝log2(－x)，y＝x＋1的图像，知满足条件的x∈(－1，0)，故选A.7.如图，函数f(x)的图像是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0，0)，(1，2)，(3，1)，则f的值等于________．解析：由图像知f(3)＝1，所以＝1.所以f＝f(1)＝2.答案：2 8．若函数y＝f(x＋3)的图像经过点P(1，4)，则函数y＝f(x)的图像必经过点________．解析：法一：函数y＝f(x)的图像是由y＝f(x＋3)的图像向右平移3个单位长度而得到的．故y＝f(x)的图像经过点(4，4)．法二：由题意得f(4)＝4成立，故函数y＝f(x)的图像必经过点(4，4)．答案：(4，4) 9．已知图(1)中的图像对应的函数为y＝f(x)，则图(2)中的图像对应的函数在下列给出的四个式子中，可能是________(填序号)．①y＝f(|x|)；②y＝|f(x)|；③y＝－f(|x|)；④y＝f(－|x|)．解析：由题图(1)和题图(2)的关系可知，题图 (2)是由题图(1)在y轴左侧的部分(含原点)及其关于y轴对称的图形构成的，故④正确．答案：④10．设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是________．解析：如图，作出函数f(x)＝|x＋a|与g(x)＝x－1的图像，观察图像可知：当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，因此a的取值范围是[－1，＋∞)．答案：[－1，＋∞)11．已知函数f(x)＝.(1)画出f(x)的草图；(2)指出f(x)的单调区间．解：(1)f(x)＝x＝1－，函数f(x)的图像是由反比例函数y＝－的图像向左平移1个单位后，再向1＋x上平移1个单位得到的，图像如图所示．(2)由图像可以看出，函数f(x)有两个增区间：(－∞，－1)，(－1，＋∞)．12．已知函数f(x)＝|x2－4x＋3|.(1)求函数f(x)的单调区间，并指出其增减性；(2)求集合M＝{m|使方程f(x)＝m有四个不相等的实根}．解：f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧（x －2）2－1，x∈（－∞，1]∪[3，＋∞），－（x －2）2＋1，x∈（1，3）. 作出函数图像如图．(1)由图像知函数的增区间为 [1，2]，[3，＋∞)；函数的减区间为(－∞，1]，[2，3]．(2)在同一坐标系中作出y ＝f(x)和y ＝m 的图像，使两函数图像有四个不同的交点(如图)．由图知0＜m ＜1，所以M ＝{m|0＜m ＜1}．1.函数f(x)的图像如图所示，若函数y ＝2f(x －1)－c 与x 轴有四个不同交点，则c 的取值范围是( )A ．(－1，2.5)B ．(－1，5)C ．(－2，2.5)D ．(－2，5)解析：选D.函数y ＝2f(x －1)－c 与x 轴有四个不同交点，即方程2f(x －1)－c ＝0有四个不同的解，即y ＝f(x －1)与y ＝c 有四个不同的交点．因为函数y ＝f(x －1)与函数y ＝f(x)上下分布相同，所以可以把问题转化为c 取何值时，曲线y ＝f(x)与y ＝c有四个不同的交点，结合图形可知c∈(－2，5)．2．(2016·深圳质检)设函数y ＝，关于该函数图像的命题如下：①一定存在两点，这两点的连线平行于x 轴；②任意两点的连线都不平行于y 轴；③关于直线y ＝x 对称；④关于原点中心对称．其中正确的是________．解析：y ＝＝＝2＋，图像如图所示．可知②③正确．答案：②③3．已知函数f(x)＝x|m －x|(x ∈R)，且f(4)＝0.(1)求实数m 的值；(2)作出函数f(x)的图像；(3)根据图像指出f(x)的递减区间；(4)根据图像写出不等式f(x)>0的解集；(5)求当x∈[1，5)时函数的值域．解：(1)因为f(4)＝0，所以4|m －4|＝0，即m ＝4.(2)由 (1)得f(x)＝x|4－x| ＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x －4）＝（x －2）2－4，x≥4，－x （x －4）＝－（x －2）2＋4，x<4. f(x)的图像如图所示．(3)f(x)的递减区间是[2，4]．(4)由图像可知，f(x)>0的解集为{x|0<x<4或x>4}．(5)因为f(5)＝5>4，所以由图像知，函数在[1，5)上的值域为[0，5)．4．(1)已知函数y＝f(x)的定义域为R，且当x∈R时，f(m＋x)＝f(m－x)恒成立，求证：y＝f(x)的图像关于直线x＝m对称；(2)若函数f(x)＝log2|ax－1|的图像的对称轴是x＝2，求非零实数a的值．解：(1)证明：设P(x0，y0)是y＝f(x)图像上任意一点，则y0＝f(x0)．设P点关于x＝m的对称点为P′，则P′的坐标为(2m－x0，y0)．由已知f(x＋m)＝f(m－x)，得f(2m－x0)＝f[m＋(m－x0)]＝f[m－(m－x0)]＝f(x0)＝y0.即P′(2m－x0，y0)在y＝f(x)的图像上．所以y＝f(x)的图像关于直线x＝m对称．(2)对定义域内的任意x，有f(2－x)＝f(2＋x)恒成立．所以|a(2－x)－1|＝|a(2＋x)－1|恒成立，即|－ax＋(2a－1)|＝|ax＋(2a－1)|恒成立．又因为a≠0，所以2a－1＝0，得a＝.。
高考数学一轮复习 第2章 函数与基本初等函数 第8讲 函数与方程课时作业(含解析)新人教B版-新人教
第8讲 函数与方程课时作业1．(2019·某某质检)函数f (x )＝ln x －1x －1的零点的个数是() A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 C解析 在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝1x －1与y ＝ln x 的图象(图略)，由图象可知有两个交点．2．(2019·某某模拟)函数f (x )＝ln x －2x的零点所在的大致区间是()A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(1，e)和(3,4)D ．(e ，＋∞)答案 B解析 因为f ′(x )＝1x ＋2x2>0(x >0)，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (3)＝ln 3－23>0，f (2)＝ln 2－1<0，所以f (2)·f (3)<0，所以函数f (x )唯一的零点在区间(2,3)内．故选B ．3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为()A ．12，0 B ．－2,0 C ．12 D ．0答案 D解析 当x ≤1时，由f (x )＝2x－1＝0，解得x ＝0；当x >1时，由f (x )＝1＋log 2x ＝0，解得x ＝12，又因为x >1，所以此时方程无解．综上，函数f (x )的零点只有0.4．函数f (x )＝1－x log 2x 的零点所在的区间是()A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(1,2) D ．(2,3)答案 C解析 因为y ＝1x与y ＝log 2x 的图象只有一个交点，所以f (x )只有一个零点．又因为f (1)＝1，f (2)＝－1，所以函数f (x )＝1－x log 2x 的零点所在的区间是(1,2)．故选C ．5．函数f (x )＝x cos2x 在区间[0,2π]上的零点的个数为() A ．2 B ．3 C ．4 D ．5答案 D解析 f (x )＝x cos2x ＝0⇒x ＝0或cos2x ＝0，又cos2x ＝0在[0,2π]上的根有π4，3π4，5π4，7π4，共4个，故原函数有5个零点． 6．若x 0是方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝x 13 的解，则x 0属于区间()A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 答案 C解析 令g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，f (x )＝x 13 ，则g (0)＝1>f (0)＝0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212 <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213 ，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1313 ，所以由图象关系可得13<x 0<12.7．(2019·某某模拟)f (x )＝3x－log 2(－x )的零点的个数是() A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 B解析 f (x )的定义域为(－∞，0)，且f (x )在(－∞，0)上单调递增，f (－1)＝13>0，f (－2)＝－89<0，所以函数f (x )＝3x－log 2(－x )有且仅有1个零点，故选B ．8．已知a ，b ，c ，d 都是常数，a >b ，c >d .若f (x )＝2019－(x －a )(x －b )的零点为c ，d ，则下列不等式正确的是()A ．a >c >b >dB ．a >b >c >dC ．c >d >a >bD ．c >a >b >d答案 D解析 f (x )＝2019－(x －a )(x －b )＝－x 2＋(a ＋b )x －ab ＋2019，又f (a )＝f (b )＝2019，c ，d 为函数f (x )的零点，且a >b ，c >d ，所以可在平面直角坐标系中作出函数f (x )的大致图象，如图所示，由图可知c >a >b >d ，故选D ．9．(2019·某某某某模拟)已知x 0是f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1x的一个零点，x 1∈(－∞，x 0)，x 2∈(x 0,0)，则()A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)>0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)<0，f (x 2)>0答案 C解析 如图，在同一平面直角坐标系内作出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，y ＝－1x 的图象，由图象可知，当x ∈(－∞，x 0)时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >－1x ，当x ∈(x 0,0)时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <－1x ，所以当x 1∈(－∞，x 0)，x 2∈(x 0,0)时，有f (x 1)>0，f (x 2)<0，故选C ．10．(2019·某某质检)[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5，已知f (x )＝x －[x ](x ∈R )，g (x )＝log 4(x －1)，则函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数是()A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 作出函数f (x )与g (x )的图象如图所示，发现有两个不同的交点，故选B ．11．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，ln x ，x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值X 围是()A ．[－1,0)B ．[0，＋∞)C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)答案 C解析 画出函数f (x )的图象，再画出直线y ＝－x 并上下移动，可以发现当直线y ＝－x 过点A 时，直线y ＝－x 与函数f (x )的图象有两个交点，并且向下无限移动，都可以保证直线y ＝－x 与函数f (x )的图象有两个交点，即方程f (x )＝－x －a 有两个解，也就是函数g (x )有两个零点，此时满足－a ≤1，即a ≥－1，故选C ．12．(2019·某某正定模拟)已知f (x )为偶函数且f (x ＋2)＝f (x )，若当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则方程f (x )＝log 3|x |的解的个数是()A ．0B ．2C ．4D ．6答案C解析 画出函数f (x )和y ＝log 3|x |的图象(如图所示)，由图象可知方程f (x )＝log 3|x |的解有4个．故选C ．13．已知函数y ＝f (x )的图象是连续曲线，且有如下的对应值表：x 1 2 3 4 5 6 y124.435－7414.5－56.7－123.6则函数y ＝f (x )在区间[1,6]上的零点至少有________个． 答案 3解析 由零点存在性定理及题中的对应值表可知，函数f (x )在区间(2,3)，(3,4)，(4,5)内均有零点，所以y ＝f (x )在[1,6]上至少有3个零点．14．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ln x ，x >0，x 2－x －2，x ≤0，则其零点为________.答案 1，－1解析 当x >0时，由f (x )＝0，即x ln x ＝0得ln x ＝0，解得x ＝1；当x ≤0时，由f (x )＝0，即x 2－x －2＝0，也就是(x ＋1)(x －2)＝0，解得x ＝－1或x ＝2.因为x ≤0，所以x ＝－1.综上，函数的零点为1，－1.15．(2019·某某模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值X 围是________. 答案 (0,1)解析 函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，转化为f (x )－m ＝0的根有3个，进而转化为y ＝f (x )和y ＝m 的图象有3个交点．画出函数y ＝f (x )的图象，由图可知要使函数y ＝f (x )和y ＝m 的图象有3个交点，m 应满足0<m <1，所以实数m 的取值X 围是(0,1)．16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的实根，则m 的取值X 围是________.答案 (3，＋∞)解析 f (x )的图象如图所示，若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的实根，只需4m －m 2<m ，解得m >3或m <0，又m >0，所以m >3.17．(2019·某某模拟)函数f (x )的定义域为实数集R ，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，－1≤x <0，log 2(x ＋1)，0≤x <3，对任意的x ∈R 都有f (x ＋2)＝f (x －2)．若在区间[－5,3]上函数g (x )＝f (x )－mx ＋m 恰好有三个不同的零点，某某数m 的取值X 围．解 因为对任意的x ∈R 都有f (x ＋2)＝f (x －2)，所以函数f (x )的周期为4.由在区间[－5,3]上函数g (x )＝f (x )－mx ＋m 有三个不同的零点，知函数f (x )与函数h (x )＝mx －m 的图象在[－5,3]上有三个不同的交点．在同一平面直角坐标系内作出函数f (x )与h (x )在区间[－5,3]上的图象，如图所示．由图可知1－0－1－1≤m <1－0－5－1，即－12≤m <－16.。
2020高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用第8讲函数的图象课件
(2)右图可能是下列哪个函数的图象 A．y＝2x－x2－1 B．y＝24xxs＋in1x C．y＝(x2－2x)ex D．y＝lnxx
( C)
(3)(2019·荆州质检)若函数y＝f(x)的曲线如图所示，则函数y＝f(2－x)的曲线
是
(C)
[解析] (1)本题主要考查函数的图象．∵f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，排 除 A 选项；又∵f(2)＝e2－4e－2>1，排除 C，D 选项，故选 B．
(3)利用函数y＝log2x的图象进行平移和翻折变换，图象如图实线所示．
[引申](理)y＝|log2|x＋1||的图象大致为______. [答案]
函数图象的画法 (1)直接法：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可 根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出． (2)转化法：含有绝对值符号的函数，可脱掉绝对值符号，转化为分段函数 来画图象． (3)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻 折、对称等变换得到，可利用图象变换作出． 注：y＝acxx＋＋db(c≠0)的图象是以(－dc，ac)为对称中心以直线 x＝－dc，y＝ac为渐 近线的双曲线．
1．函数对称的重要结论 (1)若 f(m＋x)＝f(m－x)恒成立，则 y＝f(x)的图象关于直线__x_＝__m___对称． (2)设函数 y＝f(x)定义在实数集上，则函数 y＝f(x－m)与 y＝f(m－x)(m>0)的图 象关于直线__x_＝__m___对称． (3)若 f(a＋x)＝f(b－x)，对任意 x∈R 恒成立，则 y＝f(x)的图象关于直线 x＝ a＋2 b对称．
易错提醒：(1)画函数的图象一定要注意定义域．(2)利用图象变换法时要注 意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换 与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．
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【2019最新】精选高考数学一轮复习第2章基本初等函数导数及其应用第
8讲函数的图象知能训练轻松闯关理北师大版
1．(2016·陕西一模)函数f(x)＝ln 的图像是( )
解析：选B.由x －>0得函数f(x)的定义域为(－1，0)∪(1，＋∞)，可排除选项A 、
D ；当x→＋∞时，函数f(x)的函数值大于零，可排除选项C ，故选B.
2．在同一平面直角坐标系中，函数y ＝g(x)的图像与y ＝ex 的图像关于直线y ＝x 对称．而函数y ＝f(x)的图像与y ＝g(x)的图像关于y 轴对称，若f(m)＝－1，则m 的值
是( )
e ．－A 1e ．－B e
．C 1e D. 解析：选B.由题意知g(x)＝ln x ，则f(x)＝ln(－x)，若f(m)＝－1，则ln(－m)＝
－1，解得m ＝－.
3．(2016·江西省五校联考)已知函数f(x)＝x2－，则函数y ＝f(x)的大致图像为
( )
解析：选A.由f(－x)＝x2＋≠－f(x)可知函数f(x)不是奇函数，排除B 、C ，当x∈(0，1)时，f(x)＝x2－，因为当x∈(0，1)时，y ＝ln x<0，则f(x)>0，排除D ，故选A.
4．已知函数f(x)＝x|x|－2x ，则下列结论正确的是( )
A ．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)
B ．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)
C ．f(x)是奇函数，递减区间是(－1，1)
D ．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)
解析：选C.
将函数f(x)＝x|x|－2x 去掉绝对值得f(x)＝画出函数f(x)的图像，如图，观察图像可知，函数f(x)的图像关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1，1)上递减．
5．(2016·唐山高三月考)为了得到函数y ＝log2的图像，可将函数y ＝log2x 的图像
上所有的点( )
A ．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变，再向右平移1个单位
B ．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移1个单位
C ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位
D ．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变，再向右平移1个单位
解析：选A.y ＝log2＝log2(x －1)＝log2(x －1)，由y ＝log2x 的图像纵坐标缩短到原来的，横坐标不变，可得y ＝log2x 的图像，再向右平移1个单位，可得y ＝log2(x －
1)的图像，也即y ＝log2的图像．
6．使log2(－x)<x ＋1成立的x 的取值范围是( )
A ．(－1，0)
B ．[－1，0)
C ．(－2，0)
D ．[－2，0)
解析：选 A.在同一坐标系内作出y ＝log2(－x)，y ＝x ＋1的图像，知满足条件的
x∈(－1，0)，故选A.
7.
如图，函数f(x)的图像是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0，0)，(1，2)，
(3，1)，则f 的值等于________．
解析：由图像知f(3)＝1，所以＝1.
所以f ＝f(1)＝2.
答案：2
8．若函数y ＝f(x ＋3)的图像经过点P(1，4)，则函数y ＝f(x)的图像必经过点
________．
解析：法一：函数y ＝f(x)的图像是由y ＝f(x ＋3)的图像向右平移3个单位长度而得
到的．
故y ＝f(x)的图像经过点(4，4)．
法二：由题意得f(4)＝4成立，故函数y ＝f(x)的图像必经过点(4，4)．
答案：(4，4)
9．已知图(1)中的图像对应的函数为y ＝f(x)，则图(2)中的图像对应的函数在下列给
出的四个式子中，可能是________(填序号)．
①y ＝f(|x|)；②y ＝|f(x)|；
③y ＝－f(|x|)；④y ＝f(－|x|)．
解析：由题图(1)和题图(2)的关系可知，题图 (2)是由题图(1)在y 轴左侧的部分(含
原点)及其关于y 轴对称的图形构成的，故④正确．
答案：④
10．设函数f(x)＝|x ＋a|，g(x)＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f(x)≥g(x)恒成
立，则实数a 的取值范围是________．
解析：如图，
作出函数f(x)＝|x ＋a|与g(x)＝x －1的图像，观察图像可知：当且仅当－a≤1，即
a≥－1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，因此a 的取值范围是[－1，＋∞)．
答案：[－1，＋∞)
11．已知函数f(x)＝.
(1)画出f(x)的草图；
(2)指出f(x)的单调区间．
解：(1)f(x)＝
x
1
＋x 个单位后，再向1＝－的图像向左平移y 的图像是由反比例函数f(x)－，函数1＝上平移1个单位得到的，图像如图所示．
(2)由图像可以看出，函数f(x)有两个增区间：(－∞，－1)，(－1，＋∞)．
12．已知函数f(x)＝|x2－4x ＋3|.
(1)求函数f(x)的单调区间，并指出其增减性；
(2)求集合M ＝{m|使方程f(x)＝m 有四个不相等的实根}．
⎩
⎪⎨⎪⎧（x －2）2－1，x∈（－∞，1]∪[3，＋∞），－（x －2）2＋1，x∈（1，3）.＝f(x)解： 作出函数图像如图．
(1)由图像知函数的增区间为 [1，2]，[3，＋∞)；
函数的减区间为(－∞，1]，[2，3]．
(2)在同一坐标系中作出y ＝f(x)和y ＝m 的图像，使两函数图像有四个不同的交点(如
图)．
由图知0＜m ＜1，所以M ＝{m|0＜m ＜1}．
1.函数f(x)的图像如图所示，若函数y ＝2f(x －1)－c 与x 轴有四个不同交
点，则c 的取值范围是( )
A ．(－1，2.5)
B ．(－1，5)
C ．(－2，2.5)
D ．(－2，5)
解析：选D.函数y ＝2f(x －1)－c 与x 轴有四个不同交点，即方程2f(x －1)－c ＝0有四个不同的解，即y ＝f(x －1)与y ＝c 有四个不同的交点．因为函数y ＝f(x －1)与函数y ＝f(x)上下分布相同，所以可以把问题转化为c 取何值时，曲线y ＝f(x)与y ＝c
有四个不同的交点，结合图形可知c∈(－2，5)．
2．(2016·深圳质检)设函数y ＝，关于该函数图像的命题如下：
①一定存在两点，这两点的连线平行于x 轴；
②任意两点的连线都不平行于y 轴；
③关于直线y ＝x 对称；
④关于原点中心对称．
其中正确的是________．
解析：y ＝＝＝2＋，图像如图所示．可知②③正确．
答案：②③
3．已知函数f(x)＝x|m －x|(x ∈R)，且f(4)＝0.
(1)求实数m 的值；
(2)作出函数f(x)的图像；
(3)根据图像指出f(x)的递减区间；
(4)根据图像写出不等式f(x)>0的解集；
(5)求当x∈[1，5)时函数的值域．
解：(1)因为f(4)＝0，
所以4|m －4|＝0，
即m ＝4.
(2)由 (1)得f(x)＝x|4－x| ⎩⎪⎨⎪
⎧x （x －4）＝（x －2）2－4，x≥4，－x （x －4）＝－（x －2）2＋4，x<4.
＝ f(x)的图像如图所示．
(3)f(x)的递减区间是[2，4]．
(4)由图像可知，f(x)>0的解集为{x|0<x<4或x>4}．
(5)因为f(5)＝5>4，
所以由图像知，函数在[1，5)上的值域为[0，5)．4．(1)已知函数y＝f(x)的定义域为R，且当x∈R时，f(m＋x)＝f(m－x)恒成立，求
证：y＝f(x)的图像关于直线x＝m对称；
(2)若函数f(x)＝log2|ax－1|的图像的对称轴是x＝2，求非零实数a的值．
解：(1)证明：设P(x0，y0)是y＝f(x)图像上任意一点，
则y0＝f(x0)．
设P点关于x＝m的对称点为P′，
则P′的坐标为(2m－x0，y0)．
由已知f(x＋m)＝f(m－x)，得
f(2m－x0)＝f[m＋(m－x0)]
＝f[m－(m－x0)]＝f(x0)＝y0.
即P′(2m－x0，y0)在y＝f(x)的图像上．
所以y＝f(x)的图像关于直线x＝m对称．
(2)对定义域内的任意x，
有f(2－x)＝f(2＋x)恒成立．
所以|a(2－x)－1|＝|a(2＋x)－1|恒成立，
即|－ax＋(2a－1)|＝|ax＋(2a－1)|恒成立．
又因为a≠0，
所以2a－1＝0，得a＝.。