第三章 连续时间信号与系统的频域分析 (1)

第三章 连续时间信 号与系统的频域分析
学习要点： 1. 掌握傅里叶变换分析技术和傅里叶级数分析技术的基本概念 和计算，尤其要注意应用性质来计算一些常用信号的频谱 2. 熟悉时域特性与频域特性的对应关系 3. 弄清信号频谱的意义以及连续谱与离散谱的区别和联系 4. 卷积定理是系统频域分析的重要工具，要认真掌握 5. 采样定理是离散信号处理的理论基础，应领会其含义并会应 用


上述两式是梳齿滤波器的实现原理，它们 有周期等于 2 t0 的周期频谱，并且在其基 周期内分别有带阻特性和带通特性。

§ 3-2 典型非周期信号的傅里叶变换和傅里 叶变换的性质
2. 傅里叶变换性质 （5）频移定理（时域复指数加权，复调制定理）： 频谱搬移 0 对应于时域用复正弦 e jt0 加权，即：
  1   2 j  2 sgn  t   2lim  j Im   lim  2    2   0   j   0     j 
f(t) +1 |F(ω)|

  2
0 -1 t

1

0   2

ω υ(ω)

例题3-3
符号函数的 f t   ut  频谱 1   1  sgn t  ，即阶跃信号的偶分 u t   由于 2 量是直流信号1/2,奇分量是符号函数的一 半，有： 1
f(t) |F(jω)|
1 
1 2

υ(ω)
π 2

0

t

0

3

ω

0

ω



π 2

§ 3-2 典型非周期信号的傅里叶变换和傅里 叶变换的性质 1.典型非周期信号的傅里叶变换 （4）矩形窗信号 G  t    Sa   


  2  
F(ω)
Eτ

f(t)
E
0.13Eτ



 2

 2

t
jt  jt





f t  e

dt

（傅里叶变换）

非周期信号的傅里叶变换
傅里叶变换是正交积分变换  其存在的充分条件是信号 f t  为绝对可积函  数，即  f t  dt    借助冲激函数、阶跃函数等奇异函数的概 念，可使许多非绝对可积的信号，如周期 信号、因果斜坡函数等，存在傅里叶变换。


2.傅里叶变换的物理意义——连续谱 j       F j  F j e


实信号的频谱密度函数： 一般为复数，其幅度谱 F  j  为偶函数， 相位谱    为奇函数，因此，该实信号可 以表示成：

1  1  jt j t        f t   F j  e d   F j  e d   2  2  1    F  j  cost    d

§ 3-2 典型非周期信号的傅里叶变换和傅里 叶变换的性质
2. 傅里叶变换性质 （6）调制定理：

G(ω)

右图给出了余弦调制时 G   的频谱搬移。其中， 是被调低频信号的频谱， F   是相应的已调高频信号 的频谱。调制定理是双 边带通信的基础。

-ω0

0

ω0 F(ω)

ω

-ω0ห้องสมุดไป่ตู้

0

ω0

ω

   0  cos 0t  G  t    Sa  2 2  



     0     Sa  2  
F(ω)

   

f(t)
E

Eτ — 2



 2

 2

t

-ω0

ω0
0  2 

ω

例题3-8
求因果指数衰减正弦信号的频谱： 1 1 利用调制定理有： e cos  t  u  t   

§ 3-1 非周期信号的频域分析─傅里 叶变换


1.非周期信号的傅里叶变换 任何满足狄里克雷(Dirichlet)条件的非 周期连续信号都可表示为无限多个幅度无 穷小、频率连续变化的复正弦信号的叠加， 即：
1 f t   2 F  j   







F  j  e d （傅里叶逆变换）

e


j0t



频延定理叙说，复正弦 j t 调制后的信号的频谱 是原信号频谱向右搬移 e 0 。 0 复调制定理的物理实现是双路直接调制，它用于 单边带通信。

f t   F  j   0 

例题3-5

求正弦信号的频谱： cos 0t        0      0    利用频移定理有：  sin 0t       0      0   
1.典型非周期信号的傅里叶变换 （1）单位冲激信号

 t   1

δ(t) (1) 0 t 0

F(ω) 1

ω

§ 3-2 典型非周期信号的傅里叶变换和傅里 叶变换的性质 1.典型非周期信号的傅里叶变换 （2）单位直流信号

1  2  
f(t) 1 F(jω) (2π)

0

t

0

ω

§ 3-2 典型非周期信号的傅里叶变换和傅里 叶变换的性质 1.典型非周期信号的傅里叶变换 t （3）因果指数衰减信号 f t   e ut 



0

2.傅里叶变换的物理意义——连续谱
傅里叶变换的物理意义是，非周期连续信 号可表示为无限多个幅度无穷小的、频率 连续变化的、有相位函数的余弦信号的叠 加。  正因为每个频率分量的幅度无限小，因此 称为信号的频谱密度函数，简称为信号的 谱。


§ 3-2 典型非周期信号的傅里叶变换和傅里 叶变换的性质
u  t       j
|F(ω)| f(t) 1

π
t ω

0

0

§ 3-2 典型非周期信号的傅里叶变换和傅里 叶变换的性质
2. 傅里叶变换性质 （4）时延定理（频域复指数加权）：时域延迟 t 0  j t 0 对应于频域指数加权 e ，即频域附加线性相 位滞后：

f t  t0   e
|F(jω)|
2  1 

1

0

t

0

σ

ω

例题3-2
符号函数的 f t   sgnt   ut   u t 频谱 t    t       sgn t  lim e u t  e u  t  是  由于符号函数  0 因果指数衰减信号e t ut  的奇分量当   0 时的极限，因此利用上述的对称性质，有：

例题3-6
求因果正弦信号的频谱： 利用调制定理有：
cos 0t  u  t  
cos(ω1t) |F(ω)|
E ω0
E 2



    0       0      2

1

sin 0t  u  t  

1  1 1      2 j    0   0 

 t 0

2    j    0 



    j    0    1



  j 2   j   0 2 0 2   j   0 2

e  t sin 0t  u  t  

f(t) 1 0 t

0 a 2   02

1a — 2

π

|F(ω)|
2 2( 0  a2 )

0 φ ( ω)

(  a )
2 0 2

ω

-π
2. 傅里叶变换性质 （6）调制定理：  用余弦cos 0 t  调制后的信号频谱是原频谱减半后 向左和向右频率搬移 0
1 cos 0t  f  t    F  j   0    F  j   0      2 1  sin 0t  f  t   F  j   0    F  j   0      2j

例题3-1

双边指数衰减信号的 f t   e 频谱 1  t  由于双边指数衰减信号 2 e 是因果指数 t 衰减信号 e ut  的偶分量，因此利用上述 的对称性质，有：
 t

e
f(t)

 t

 1  2  2 Re  2 2   j      
F  j   R    jX   R     R  ，X      X   F   j   F  j  ，       

§ 3-2 典型非周期信号的傅里叶变换和傅里 叶变换的性质 2. 傅里叶变换性质 （3）奇偶对称性：  实偶信号的频谱一定是实偶函数，实奇信 号的频谱一定是虚奇函数。 对于实偶信号f  t  :

0

t

-ω1

0

ω1

ω

(a)
sin(ω1t) |F(ω)|
E 2

    0       0      2j
1 1 1      2    0   0 
0 t -ω1 0 ω1



ω

(b)

例题3-7
求矩形调幅信号的频谱（数字通信中的幅度键控 ASK信号）： 利用调制定理和矩形窗函数的频谱有：

-0.22Eτ

2 

4 

ω

§ 3-2 典型非周期信号的傅里叶变换和傅里 叶变换的性质 2. 傅里叶变换性质 （1）线性性：傅里叶变换是线性运算，满足 叠加定理。

f i t   Fi  j , i  1, 2,, n

 a f t    a F  j 
i 1 i i i 1 i i

§ 3-2 典型非周期信号的傅里叶变换和傅里 叶变换的性质 2. 傅里叶变换性质 （3）奇偶对称性：  实信号的偶分量的FT是该信号FT的实部， 该信号的奇分量的FT是是虚数单位j乘以该 信号FT的虚部 fe t   R   , fo t   jX  


因果信号的偶分量和奇分量都不可能等于 零，因此因果信号的FT一定既有实部，也 有虚部。即：它不可能是纯实的，也不可 能是纯虚的。
j

e j0t  2   0 



正余弦周期信号在正负信号频率上各有一根谱线 。
cos(ω0t) 1 (π) F(jω) 1 (π)

0

t

-ω0

0

ω0

ω

(a)
sin(ω0t) 1 -ω0 0 t (-π) 0 ω0 ω jF(jω) (π)

§ 3-2 典型非周期信号的傅里叶变换和傅里 叶变换的性质

n

n

§ 3-2 典型非周期信号的傅里叶变换和傅里 叶变换的性质 2. 傅里叶变换性质 （2）共轭对称性：任何实信号 f t  的频谱一 定是共轭对称的。

F   j   F

*

 j 

§ 3-2 典型非周期信号的傅里叶变换和傅里 叶变换的性质 2. 傅里叶变换性质 （3）奇偶对称性：  任何实信号 f t  的频谱实部偶对称，虚部 奇对称，幅度偶对称，相位奇对称
F  j   
 

f t  e
 0

 jt

dt  





f  t  cos t  dt  j 





f  t  sin t  dt

对于实奇信号f  t  : F  j   j 2
 0

 2

f  t  cos t  dt  R   f  t  sin t  dt  jX  
F  j   
 0

 1  e t e  jt dt   e   j t dt  0   j  1  F  j    2 2            arctan     


因果指数衰减信号及其幅度谱和相位谱

 jt0

F  j 



时延定理叙说，信号的延迟不改变信号的幅度谱， 仅在相位谱中引入线性相位滞后项

例题3-4
利用时延定理： t  t 0   e
 jt0

1 1 jt0  jt0    t  t   t  t  e  e  cos t0        0 0     2 2 1   t  t0     t  t0    sin t0     2j