三13-5,6自感和互感

1. RC 电路
q dq q ε = IR + = R + c dt c 分离变量: 分离变量 dq dt = cε − q Rc
初始条件: t=0, q=0 初始条件
合K对C充电 对 充电
ε
∫
K
R
C
I
cε − q t 其解: ln =− cε Rc
q dq 0 cε −q
=∫
t dt 0 Rc
q = cε (1 − e
注意 互感仅与两个线圈形状、大小、匝数、 互感仅与两个线圈形状、大小、匝数、相 对位置以及周围的磁介质有关（ 对位置以及周围的磁介质有关（无铁磁质时为常 量）.
2) 互感电动势 dI 2 ε 12 = − M dt 互感系数 M = −
O
dI1 ε21 = −M dt ε 21 = − ε 12 dI1 dt dI 2 dt
N1 B1 = µ0 I1 = µ0 n1I1 l
N1 B1 = µ 0 I1 = µ 0 n1 I1 l
则穿过半径为 r2 的线圈 的磁通匝数为
ψ = N 2Φ21 = N 2 B1 (π r )
2 1
= n2lB1 ( πr12 )
代入 B1 计算得 则
ψ = N 2Φ21 = µ 0 n1 n 2 l (π r12 ) I 1
I
b
d
o
x
I
dx
l
b+d l Φ= ldx = ln( ) ∫d 2π x 2π d Φ µl b+d x
d +b
v v µI dΦ= B ⋅ ds = ldx 2π x
I
B=
2π x
µI
µIl
M =
I
=
2π
ln(
d
)
若导线如左图放置,根据对称性可知 若导线如左图放置 根据对称性可知 Φ= 0 得 M = 0
一 自感电动势 自感 穿过闭合电流回路的磁通量 1）自感 ） L =Φ I 若线圈有 N 匝, 磁通链数 ψ = 注 意
Φ = LI
I
v B
NΦ
自感
L =ψ I
无铁磁质时,自感仅与线圈形状 无铁磁质时 自感仅与线圈形状、磁介质及 N 有关 2)自感电动势 自感电动势
εL
dΦ dI dL =− = −( L +I ) dt dt dt
I=
ε
R 0.63Im
R
(1 − e
)
ε
0
讨论：随时间 增加 增加,电流 讨论：随时间t增加 电流 t很大时， m 很大时， 很大时
I =
ε
e R
R − t L
τ
（2） ） t
指数衰减， 指数衰减，
L ≡τ R
R
称为RL电路的时间常数 称为 电路的时间常数 称为驰豫时间 称为驰豫时间
L （1） ） 小 R L （2） ） 大 R
§13-5 自感和互感
1. 自感现象（Self-Induced Phenomenon） 自感现象（ ） 引言： 引言： ΦL 1）电流变化引起自身 ） i 回路中磁通变化而在自 身回路中产生感应电动 势的现象--自感现象 自感现象。 势的现象 自感现象。
i
ΦL
ii
2）电流变化引起邻近 ） 回路中磁通变化而在邻 近回路中产生感应电动 势的现象--互感现象 互感现象。 势的现象 互感现象。
分离变量
dI R = − dt I L
欧姆定律
ε L = RI
dI − L = RI dt
dI R 分离变量 = − dt I L
两边同时取积分
∫
R − t L
dI R t =− dt I0 I L 0
I
∫
I I0
I R ln = − t I0 L
I = I 0e
=
ε
R
e
R − t L
t 0
由于自感线圈的作用， 不会突然降为零 不会突然降为零， 由于自感线圈的作用，I不会突然降为零，而是逐渐衰 减至零。 减至零。
Φ
S µ
L .
n=N l
B = µ H = µ nI
l ε
ψ = NΦ = NBS
N = Nµ IS l
N ψ = N µ IS l
S µ
N L= =µ S I l
ψ
2
l
E
n = N l V = lS
（一般情况可用下式 测量自感） 测量自感）
∴ L = µn V
2
εL
dI = −L dt
4）自感的应用 稳流 , LC 谐振电路 滤波电路 ） 谐振电路, 滤波电路, 感应圈等 .
N 2Φ21 2 = = µ 0 n1 n 2 l (π r1 ) I1
M 12
13-27 例 2 在磁导率为 µ 的均匀无限大的磁介质中 的均匀无限大的磁介质中, 一无限长直导线与一宽长分别为 b 和 l 的矩形线圈共 面,直导线与矩形线圈的一侧平行 且相距为 d . 求二者 直导线与矩形线圈的一侧平行,且相距为 直导线与矩形线圈的一侧平行 µI 的互感系数. 的互感系数 解 设长直导线通电流
2、电流衰减时 、 将开关K与位置1接通相当长时间后， 将开关K与位置1接通相当长时间后，电路中的电 然后,迅速把开关放到位置2. 流已达稳定值ε /R，然后,迅速把开关放到位置2.
R
L
2
K
I
BATTERY
ε
1
自感 线圈
电池
按照欧姆定律,有 按照欧姆定律 有
ε L = RI
dI −L = RI dt
I
I r
P
R2
l
S
dr
v v 则 d Φ = B ⋅ d S = Bld r R 2 µI Φ = ∫ dΦ = ∫ ld r R1 2π r
Φ = ∫ dΦ = ∫
即
R2 R1
µI
2π r
ld r
R1 Q
R
R2 Φ= ln 2π R1
Φ µl R2 L= = ln I 2π R1
µ Il
I
I r
问：下列几种情况互感是否变化？ 下列几种情况互感是否变化？ 1）线框平行直导线移动； ）线框平行直导线移动； 2）线框垂直于直导线移动； ）线框垂直于直导线移动；
C
Байду номын сангаас
3）线框绕 OC 轴转动； ） 轴转动； 4）直导线中电流变化. ）直导线中电流变化
例1 两同轴长直密绕螺线管的互感 有两个长 度均为l,半径分别为r1和r2（ r1<r2 ）,匝数分别为N1和 半径分别为 匝数分别为 N2的同轴长直密绕螺线管 求它们的互感 M. 的同轴长直密绕螺线管.求 解 先设某一线圈中 通以电流 I 求出另一 线圈的磁通量Φ M 设半径为 r1 的线圈中 通有电流 I 1 , 则
−t / Rc
)
dq ε −t / Rc 电流 I = = e dt R
P
R2
l
S
dr
由自感定义可求出
单位长度的自感为
R2 ln 2π R1
µ
二 互感电动势 互感
I1 在 I 2 电流回
路中所产生的磁通量
v B1
I1
v B2
I2 Φ21 = M 21 I1 I 2 在 I1 电流回路 中所产生的磁通量 Φ12 = M 12 I 2
Φ21 Φ12 1 ）互感系数 M 12 = M 21 = M = = 理论可证明） （理论可证明） I1 I2
dI ε − L = RI dt dI
分离变量
ε
K
R
L I
R = − dt ε L I− R
两边同时取积分
dI RI − ε = −L dt
∫
I
0
R t =− dt ε L 0 I− R dI
∫
R = − Rt ln ε L − R
I−
ε
I− −
R − t L
ε
R =e
R −− t L
ε
I
（1） ）
例 2 有两个同轴圆筒形导体 , 其半径分别为 R1 但电流的流向相反. 和 R2 , 通过它们的电流均为 I ,但电流的流向相反 但电流的流向相反 设在两圆筒间充满磁导率为 µ 的均匀磁介质 , 求其 自感 L . 解 两圆筒之间
B=
µI
2 πr
R1 Q
R
如图在两圆筒间取一长 为 l 的面 PQRS , 并将其分 成许多小面元. 成许多小面元
b 2 b 2
作业：P 386 13-23, 24, 25, 作业
§13-6 电感和电容电路的暂态电流 131. RL 电路
K R
ε
自感 线圈
L
BATTERY
I
电池
1)电流增长时 电流增长时
自感电动势
dI εL = −L dt
dI 自感电动势 ε = −L L dt 闭合电路欧姆定律
ε + ε L = RI
自感 L = − L
dL = 0 时, 当 dt
εL
dI = −L dt
ε
dI dt
单位:1 单位 亨利 (H )= 1 韦伯 / 安培 (1 Wb / A) 1mH = 10 −3 H , 1µ H = 10 −6 H
3) 自感的计算方法
如图的长直密绕螺线管,已知 例1 如图的长直密绕螺线管 已知 l, S, N, µ, 忽略边缘效应) 求其自感 L .(忽略边缘效应 忽略边缘效应 解 先设电流 I 根据安培环路定理求得 H B