《走向高考》2014高三数学二轮专题复习课件：1-4函数与方程、函数的应用

f(a)· f(b) < 0
y
f(x)＝g(x)的解的个
.
专题一 第四讲
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函数与方程的综合应用
(文)已知函数 f(x)＝4x＋m· 2x＋1 有且只有一 个零点，求实数 m 的取值范围，并求出零点．
专题一
第四讲
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c∈(a，b)， 使 得 f(c)＝0，
专题一
第四讲
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3． 解 决 函 数 模 型 的 实 际 应 用 题 ， 首 先 应 考 虑 该 题 考 查 的 是 何 种 函 数 ， 并 要 注 意 定 义 域 ， 然 后 结 合 所 给 模 型 ， 列 出 函 数 关 系 式 ， 最 后 结 合 其 实 际 意 义 作 出 解 答 ． 明 确 下 面 的 基 本 解 题 步骤是解题的必要基础： ( 1 ) 阅 读 理 解 ， 审 清 题 意 ： 读 题 要 做 到 逐 字 逐 句 ， 读 懂 题 中 的 文 字 叙 述 ， 理 解 叙 述 所 反 映 的 实 际 背 景 ， 在 此 基 础 上 ， 分 析 出已知是什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题．
上至少有一个零点．
由( 1 ) 知 f(x)在(0，＋∞)上至多有一个零点． 从而 f(x)在(0，＋∞)上 有 且 只 有 一 个 零 点 ． ( 3 ) 解：由 f( 2 ) < 0 ，f ( 3 ) > 0 ，∴f(x)的零点 x0∈( 2 3 ,) ， ．
5 5 5 5 取 x1＝2，∵f 2 ＝ln2－1＝ln2－n le < 0
数 应 用 问 题 ， 利 用 数 形 结 合 的 思 想 方 法 研 究 方 程 根 的 分 布 问 题 是 高 考 命 题 的 趋 势 ．
专题一 第四讲
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核心整合
专题一
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知识方法整合 1． 方 程 的 根 与 函 数 的 零 点 ： 方 程 f(x)＝0 有 实 数 根 ⇔函数
专题一
第四讲
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疑 难 误 区 警 示 1．f(x)的 图 象 在 [a，b]上 连 续 不 断 ， 并 且 在[a，b]上存在零点的充分条件． 2．单调函数至多有一个零点． f(a)· f(b)<0 是 f(x)
专题一
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专题一 第四讲
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(理)已知函数 f(x)＝lnx＋2x－6. ( 1 ) 证明 f(x)在 其 定 义 域 上 是 增 函 数 ； ( 2 ) 证明 f(x)有 且 只 有 一 个 零 点 ； ( 3 ) 求这个零点所在的一个区间， 使这个区间的长度不超过 1 4. [分析] ( 1 ) 利 用 导 数 法 证 明 函 数 的 单 调 性 ．
专题一
第四讲
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已知函数 f(x)＝|ax－2|＋blnx(x>0，实数 a、b 为常数)． ( 1 ) 若 a＝1，f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，求 b 的取值 范围； 1 ( 2 ) 若 a≥2，b＝1，求方程 f(x)＝ 在( 0 1 ,] x 上 解 的 个 数 ．
y＝f(x)的图象与 x 轴 有 交 点 ⇔函数 y＝f(x)有 零 点 ． 2． 函 数 零 点 存 在 性 定 理 ： 如 果 函 数 y＝f(x)在区间[a，b] y
上的图象是连续不断的一条曲线，并且 f(a)f(b) < 0 ， 那 么 函 数 ＝f(x)在区间(a，b)内 有 零 点 ， 即 存 在 这个 c 也就是方程 f(x)＝0 的根．
专题一
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[解析]
( 1 ) f(x)＝|x－2|＋blnx
－x＋2＋blnx，0<x<2， ＝ x－2＋blnx， x≥2.
b ①当 0<x<2 时，f(x)＝－x＋2－blnx，f ′(x)＝－1＋x . b 由条件，得－1＋x≥0 恒成立，即 b≥x 恒成立． ∴b≥2.
高频考点
专题一
第四讲
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函数的零点
( 2 0 1 2 · 点在区间( 1 2 ,) A．( 1 3 ,) C．( 0 3 ,)
[答案] C
[解析] 由条件知 f(1)· f(2)<0，
2 朝阳期末)函数 f(x)＝2 －x －a 的一个零
x
内，则实数 a 的取值范围是( B．( 1 2 ,) D．( 0 2 ,)
专题一
第四讲
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命 题 规 律 ( 1 ) 以 填 空 、 选 择 题 方 式 考 查 函 数 的 零 点 存 在 范 围 、 个 数 ， 或 给 出 零 点 个 数 求 参 数 的 取 值 范 围 ． ( 2 ) 函数的实际应用问题以大题方式呈现，或命制小巧的 综 合 应 用 函 数 图 象 与 性 质 解 决 的 与 实 际 生 产 生 活 联 系 密 切 的 选 择 题 、 填 空 题 ， 主 要 考 查 函 数 的 单 调 性 ， 导 数 的 应 用 和 均 值 不 等 式 ， 不 等 式 的 求 解 与 数 列 等 知 识 ． 利 用 转 化 思 想 解 决 方 程 问 题 ， 利 用 函 数 与 方 程 思 想 解 决 函
f(x)的 零 点 所 在 的 区 间 一 分 为 二 ， 使 区
间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的方法叫二分法．
专题一 第四讲
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5．关于零点问题，要学会分析转化，能够把与之有关的 不同形式的问题，化归为适当方程的零点问题． (1)f(x)在[a，b]上连续单调，f(a)· f(b)<0⇔f(x)在[a，b]上存 在唯一零点； (2)f(x)在[a，b]上连续，f(a)· f(b)<0⇔f(x)在[a，b]上至少有 一个零点； (3)f(x)在[a，b]上的图象连续，f(a)· f(b)>0，f(x)在[a，b]上 不一定没有零点，即零点情形不确定． 6．要会用导数工具来解决零点问题．
专题一
第四讲
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( 2 ) 根 据 所 给 模 型 ， 列 出 函 数 关 系 式 ： 根 据 问 题 中 的 已 知 条 件和数量关系建立函数关系式， 在此基础上将实际问题转化为 函数问题． ( 3 ) 利 用 数 学 方 法 将 得 到 的 常 规 函 数 答，求得结果． ( 4 ) 将所得结果转译成实际问题的解答． 4．对于在区间[a，b]上 连 续 不 断 且 f(x)， 通 过 不 断 地 把 函 数 f(a)· f(b) < 0 的函数 y＝ (即 数 学 模 型 )予以解
(1， ＋ ∞)
专题一
第四讲
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[解 析]
∵方程 f(x)＋x－a＝0 有 且 仅 有 一 个 实 根 ， y＝ － x＋a 的 图 象 有 且 仅 有 一 个 交 a>1 时 满 足 ， 故 a> 1 .
∴函 数 y＝f(x)与 直 线 点 ， 画 出 函 数
专题一
第四讲
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考向聚焦
3
高频考点
核心整合
4
课后强化作业
专题一
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考向聚焦
专题一
第四讲
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考向分析 ( 1 ) 考查具体函数的零点的取值范围和零点个数，由函数 零点情况求解参数的取值范围． ( 2 ) 函数简单性质的综合考查，函数的实际应用问题． ( 3 ) 函数与导数、数列、不等式等知识综合考查．
y＝f(x)的 图 象 可 知 ， 当
专题一
第四讲
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[方 法 规 律 总 结
] f(x)＝0 解 方 程 ， 当 f(x)为 分
1．求 f(x)的 零 点 值 时 ， 直 接 令 段 函 数 时 ， 要 分 段 列 方 程 组 求 解 ；
2． 已 知 f(x)在 区 间 [a， b]上 单 调 且 有 零 点 时 ， 利 用 讨 论 ； 3．求 f(x)的 零 点 个 数 时 ， 一 般 用 数 形 结 合 法 ； 讨 论 函 数 ＝f(x)与 y＝g(x)的 图 象 交 点 个 数 ， 即 方 程 数 ， 一 般 用 数 形 结 合 法 ． 4． 已 知 零 点 存 在 情 况 求 参 数 的 值 或 取 值 范 围 时 ， 利 用 方 程 思 想 和 数 形 结 合 思 想 ， 构 造 关 于 参 数 的 方 程 或 不 等 式 求 解
专题一
第四讲
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b ②当 x>2 时，f(x)＝x－2＋blnx，f ′(x)＝1＋ . x b 由条件，得 1＋x≥0 恒成立，则 b≥－x 恒成立． ∴b≥－2. ∵f(x)的图象在(0，＋∞)上不间断， ∴综合①，②得 b 的取值范围为 b≥2.
1 >0， 2
5 11 11 5 1 1 ∴x0∈2， 4 .而 4 －2＝ ≤ ， 4 4 5 11 ∴2， 4 即为符合条件的区间．
[点评]
1 .本 例 第 ( 2 ) 问 需 证 明 存 在 性 和 唯 一 性 ， 不 可 漏 掉
唯一性的证明．
专题一 第四讲
[解 析]
由 已 知 得 方 程
4x＋m· 2x＋1＝0 有且只有一解．
令 2x＝t(t>0)， 则方程 t2＋m· t＋1＝0 有且只有一个正根． 设方程 t2＋mt＋1＝0 的两根为 t1、t2，则 t1t2＝1>0， ∴t1 与 t2 同号，因此方程只能有两个相等的实数解， m － >0， ∴ 2 ∴m＝－2. 2 Δ＝m －4＝0， 当 m＝－2 时，t＝1.∴x＝0， 故函数 f(x)的零点是 x＝0.
走向高考· 数学
新课标版 ·二轮专题复习
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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专题一
集 合 与 常 用 逻 辑 用 语 、 函 数 与导数
专题一 集合与常用逻辑用语、函数与导数
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专题一
第四讲 函 数 与 方 程 、 函 数 的 应 用
( 2 ) 利用函数在某一区间内存在零点的条件证明其存在性， 利用函数的单调性说明其唯一性． ( 3 ) 运用“二分法”求其区间．
专题一 第四讲
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[解析]
( 1 ) 证 明 ： 函 数 的 定 义 域 为
(0，＋∞)．
1 ∵f ′(x)＝ ＋2 > 0 ，∴f(x)在(0，＋∞)上 是 增 函 数 ． x ( 2 ) 证明：∵f( 2 ) ＝n l2 －2 < 0 ，f( 3 ) ＝n l3 > 0 ∴f ( 2 ) f( 3 ) < 0 . ∴f(x)在( 2 3 ,) ，
)
∴－a· (3－a)<0，∴0<a<3，故选 C.
专题一 第四讲
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lg 2x，x>0， o 已知函数 f(x)＝ x 3 ，x≤0，
且关于 x 的方程 f(x)＋x－a
＝0 有且只有一个实根，则实数 a 的取值范围是________．
[答 案]
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2．应用二分法确定零点所在区间长度不超过 q，可有如 下思考过程： (1)f(a)· f(b)<0，区间长|a－b|≤q，则零点 x0∈(a，b)，区间 (a，b)为所求； a＋b (2)若 f(a)· f(b)<0，区间长|a－b|>q，则取中点 2 ＝x0，进 一步检验 f(a)f(x0)<0(或 f(x0)· f(b)<0)及|a－x0|与 q 的关系(或|b－ x0|与 q 的关系)，直至符合要求为止．
专题一
第四讲
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5 ∴f2· f( 3 ) < 0
5 11 ，∴x0∈2，3.取 x2＝ 4 ，
11 11 1 11 ∵f 4 ＝ln － ＝ln －n le 4 2 4 11 5 ∴f 4 · f2< 0 .