【最新】湘教版八年级数学下册第一章《角平分线的性质》优质公开课课件1
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湘教版八年级数学下册第1课时 角平分线的性质(1)
第1章 直角三角形
1.4 角平分线的性质
第1课时 角平分线的性质（1）
湘教版八年级数学下册
新课导入
1、角平分线的概念
一条射线 把一个角分成两个相等的角，
这条射线叫做这个角的平分线。
A
C B
o
1 2
2、点到直线距离: 从直线外一点 到这条直线的垂线段的长度， 叫做点到直线的距离。
P
PO的长度
A
O
B
M
证明：在△OMC和△ONC中， Ｃ OM=ON， MC=NC， OC=OC， ∴ △OMC≌ △ONC（SSS） Ｂ ∴∠MOC=∠NOC 即：OC平分∠AOB
Ｎ
Ｏ
探究角平分线的性质
(1)实验：将∠AOB对折，再折出一个直角三角形(使 第一条折痕为斜边)，然后展开，观察两次折叠形 成的三条折痕，你能得出什么结论？ A B A
O E D
A
C
P
B
定理的作用： 证明线段相等
当堂训练
1.如图, DE⊥AB, DF⊥BC, 垂足分别是E，F，
DE =DF, ∠EDB= 60°, 则∠EBF= BE= BF 。
E A
度， 60DB来自F C2.如图, △ABC中, ∠C=90°, DE⊥AB, ∠1=∠2, 且AC=6cm, 那么线段BE是∠ABC 的 角平分线 ，AE+DE= 6cm .
推进新课
不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成
两个相等的角.你有什么办法？
A
对折
C
再打开纸片 ，看看折痕 与这个角有何关系？
O
B
如果把纸片换成木板、钢板等没法
折的角，又该怎么办呢？
探究
如图，是一个平分角的仪器,其 中AB=AD，CB=CD,将点A放在角的顶 点，AB和AD沿着角的两边放下，沿 AC画一条射线AE,AE就是角的平分线。
1.4 角平分线的性质
第1课时 角平分线的性质（1）
湘教版八年级数学下册
新课导入
1、角平分线的概念
一条射线 把一个角分成两个相等的角，
这条射线叫做这个角的平分线。
A
C B
o
1 2
2、点到直线距离: 从直线外一点 到这条直线的垂线段的长度， 叫做点到直线的距离。
P
PO的长度
A
O
B
M
证明：在△OMC和△ONC中， Ｃ OM=ON， MC=NC， OC=OC， ∴ △OMC≌ △ONC（SSS） Ｂ ∴∠MOC=∠NOC 即：OC平分∠AOB
Ｎ
Ｏ
探究角平分线的性质
(1)实验：将∠AOB对折，再折出一个直角三角形(使 第一条折痕为斜边)，然后展开，观察两次折叠形 成的三条折痕，你能得出什么结论？ A B A
O E D
A
C
P
B
定理的作用： 证明线段相等
当堂训练
1.如图, DE⊥AB, DF⊥BC, 垂足分别是E，F，
DE =DF, ∠EDB= 60°, 则∠EBF= BE= BF 。
E A
度， 60DB来自F C2.如图, △ABC中, ∠C=90°, DE⊥AB, ∠1=∠2, 且AC=6cm, 那么线段BE是∠ABC 的 角平分线 ，AE+DE= 6cm .
推进新课
不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成
两个相等的角.你有什么办法？
A
对折
C
再打开纸片 ，看看折痕 与这个角有何关系？
O
B
如果把纸片换成木板、钢板等没法
折的角，又该怎么办呢？
探究
如图，是一个平分角的仪器,其 中AB=AD，CB=CD,将点A放在角的顶 点，AB和AD沿着角的两边放下，沿 AC画一条射线AE,AE就是角的平分线。
湘教版八年级下册数学：1.4-角平分线的性质-课件(共15张PPT)
6
例1、如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分 ∠CAB，DE⊥AB于E，F 在AC上，BE＝FC， 求证：BD＝DF.
证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB于E， ∠C＝90°，∴DE＝DC. 在△BDE和△FDC中， DE=CD ,
∠DEB=∠C,
BE=FC, ∴ △BDE ≌ △FDC （SAS） ∴ BD=DF (全等三角形中对应边相等).
7
合作探究
思 考
分
逆命题
析
到一个角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.
它是真命题吗? 如果是.请你证明它.
′ 已知:如图, ∠AOB,
PD⊥OA, PE⊥OB,且PD=PE,垂足分O
A D
P C
别是D,E.
求证:点P在∠AOB的平分线上.
E
分析:要证明点P在∠AOB的平分线上,可
B
以先作出过点P的射线OC,然后证明
11
例2、 如图，BE＝CF，DF⊥AC于点F，DE⊥AB于 点E，
BF和CE相交于点D.求证：AD平分∠BAC.
证明：∵DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°.
在△BDE和△CDF中，
∠BDE＝∠CDF
∠DEB＝∠DFC
BE＝CF
∴△BDE≌△CDF(AAS)，
∴DE＝DF.
C P FB
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分 线上.∵ PF⊥OB，PE⊥OA
且PE＝PF.
∴点P在∠AOB的平分线上.
14
自我检测
1、已知:如图,P是∠AOB平分线上的一点，
PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别C,D.
求证:(1)OC=OD;
例1、如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分 ∠CAB，DE⊥AB于E，F 在AC上，BE＝FC， 求证：BD＝DF.
证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB于E， ∠C＝90°，∴DE＝DC. 在△BDE和△FDC中， DE=CD ,
∠DEB=∠C,
BE=FC, ∴ △BDE ≌ △FDC （SAS） ∴ BD=DF (全等三角形中对应边相等).
7
合作探究
思 考
分
逆命题
析
到一个角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.
它是真命题吗? 如果是.请你证明它.
′ 已知:如图, ∠AOB,
PD⊥OA, PE⊥OB,且PD=PE,垂足分O
A D
P C
别是D,E.
求证:点P在∠AOB的平分线上.
E
分析:要证明点P在∠AOB的平分线上,可
B
以先作出过点P的射线OC,然后证明
11
例2、 如图，BE＝CF，DF⊥AC于点F，DE⊥AB于 点E，
BF和CE相交于点D.求证：AD平分∠BAC.
证明：∵DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°.
在△BDE和△CDF中，
∠BDE＝∠CDF
∠DEB＝∠DFC
BE＝CF
∴△BDE≌△CDF(AAS)，
∴DE＝DF.
C P FB
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分 线上.∵ PF⊥OB，PE⊥OA
且PE＝PF.
∴点P在∠AOB的平分线上.
14
自我检测
1、已知:如图,P是∠AOB平分线上的一点，
PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别C,D.
求证:(1)OC=OD;
新湘教版八年级数学下册第一章《角平分线的性质》精品课件
A
C
D
B
在V型公路（∠AOB）内部，有两个村庄C、D。你 能选择一个纺织厂的厂址P，使P到V型公路的距离 相等，且使C、D两村的工人上下班的路程一样吗？
A P O
.C
B
.D
活动与探究:
已知：如图，∠1=∠2，P为BN上一点，且 PD⊥BC于D，AB+BC=2BD
求证：∠BAP+∠BCP=180°
证明: 在Rt⊿ODP和Rt⊿OEP中,
C P O E B
∠ODP=∠OEP=90°
OP=OP, PD=PE Rt⊿OPD≌Rt⊿OPE (HL)
定理 2 到一个角的两边的距离相等的点，
在这个角的平分线上。
定理 2的应用书写格式：
A D
∵
PC OA
PD OB
PD= PE
O
C P
\OP 是 AOB的平分线
问，理论上有几个地点可作为仓库的位置？
4个
2 如图，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足 分别是E，F， DE =DF， ∠EDB= 60°，则 ∠EBF= 60 度，
A E
C D
BE= BF。
B F C
3.如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB， ∠1=∠2，且AC=6cm，那么线段BE是△ABC 的 角平分线，AE+DE= 6 。 C
E A D
2 1
B
4.如图③，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC， AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E。求证： △DBE的周长等于AB的长。
A E C B
D
如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AD是 ∠BAC的平分线交BC于D，BC=15，且CD： DB=1：2，则点D到AB的距离为_________。
C
D
B
在V型公路（∠AOB）内部，有两个村庄C、D。你 能选择一个纺织厂的厂址P，使P到V型公路的距离 相等，且使C、D两村的工人上下班的路程一样吗？
A P O
.C
B
.D
活动与探究:
已知：如图，∠1=∠2，P为BN上一点，且 PD⊥BC于D，AB+BC=2BD
求证：∠BAP+∠BCP=180°
证明: 在Rt⊿ODP和Rt⊿OEP中,
C P O E B
∠ODP=∠OEP=90°
OP=OP, PD=PE Rt⊿OPD≌Rt⊿OPE (HL)
定理 2 到一个角的两边的距离相等的点，
在这个角的平分线上。
定理 2的应用书写格式：
A D
∵
PC OA
PD OB
PD= PE
O
C P
\OP 是 AOB的平分线
问，理论上有几个地点可作为仓库的位置？
4个
2 如图，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足 分别是E，F， DE =DF， ∠EDB= 60°，则 ∠EBF= 60 度，
A E
C D
BE= BF。
B F C
3.如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB， ∠1=∠2，且AC=6cm，那么线段BE是△ABC 的 角平分线，AE+DE= 6 。 C
E A D
2 1
B
4.如图③，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC， AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E。求证： △DBE的周长等于AB的长。
A E C B
D
如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AD是 ∠BAC的平分线交BC于D，BC=15，且CD： DB=1：2，则点D到AB的距离为_________。
湘教版八年级下册1.4角平分线的性质课件(共27张PPT)
1.4 角平分线的性质
例题2 如图1-4-9, BD是∠ABC的平分线, AB=BC, 点P在BD上, PM⊥AD, PN⊥CD, 垂足分别是 M, N．试说明PM=PN.
1.4 角平分线的性质
分析 根据角平分线的定义, 可得∠ABD= ∠CBD, 然后利用“SAS” 证明
△ABD 和△CBD全 等, 再根据全等三角形的对应角相等, 可得∠ADB= ∠CDB, 然后根据角平分线上的点到角的两边的距离 相等即可证明.
第1章 直角三角形
1.4 角平分线的性质
第1章 直角三角形
1.4 角平分线的性质
考场对接
1.4 角平分线的性质
考场对接
题型一 运用角平分线的性质定理证明线段相等
例题1 如 图 1 - 4 - 8 所 示 , AD是△ABC的角平分线, DE, DF 分别是 △ ABD和 △ A C D 的 高 . 求证：AE=AF.
1.4 角平分线的性质
题型四 运用角平分线的性质定理解决其他几何问题
例题5 如图1-4-13所示, 在Rt△ABC中, ∠C=90°, AC=BC, AD平分 ∠CAB, 交BC于点D, DE⊥AB于点E, 且AB=6 cm, 求△BDE的周长.
1.4 角平分线的性质
解： ∵AD平分∠CAB, ∴∠1=∠2. ∵DC⊥AC, DE⊥AB, ∴DE=DC, ∴BD+DE=BD+DC=BC. 由已知易证△ADE≌△ADC, ∴AE=AC. 又∵BC=AC, ∴BC=AE, ∴BD+DE=AE, ∴BD+DE+BE=AE+BE=AB. ∵AB=6 cm, ∴BD+DE+BE=6 cm, 即△BDE的周长为6 cm.
数学湘教版八年级下册1.4角平分线的性质第2课时课件
G C
FH⊥AD， FM⊥BC，
∴FM ＝ FH，∴FG ＝ FH.
∴点 F 在∠DAE 的平分线上.
A
M
F
┑ B HD
5. 如图，已知 AD∥BC，P 是∠BAD与 ∠ABC的平分线 的交点，PE⊥AB 于 E，且PE = 3，求 AD 与BC 之间的 距离. 解：过点 P 作MN⊥AD 于点 M，交 BC 于点 N. ∵ AD∥BC， ∴ MN⊥BC，MN 为 AD 与 BC 之间的距离. ∵ AP 平分∠BAD，PM⊥AD，PE⊥AB， ∴ PM = PE. 同理，PN = PE. ∴ PM = PN = PE =3. ∴ MN = 6. 即 AD 与 BC 之间的距离为 6.
D．140°
解析：O 到 △ABC 三边的距离相等，所以 O 是三条内角
平分线的交点，AO，BO，CO 都是角平分线，
则∠CBO＝∠ABO＝1∠ABC，∠BCO＝∠ACO＝ ∠ABC＋∠ACB＝1802°－40°＝140°，
12∠ACB，
∠OBC＋∠OCB＝70°，
∠BOC＝180°－70°＝110°.
角的平分线的性质 角的平分线的判定
图形
C
P
已知 条件
结论
OP 平分∠AOB PD ⊥ OA 于 D PE ⊥ OB 于 E PD = PE
C P
PD = PE PD⊥ OA 于 D PE ⊥ OB 于 E OP 平分 ∠AOB
动脑筋 1. 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？
发现：三角形的三条角平分线相交于一点.
∴ AP = CP.
E
A 1
2 B
N P
FC
证法2：
思路分析：由角是轴对称图形，其对称轴是角平分线所在
湘教版八年级数学下册第一章《角平分线的性质》优质课课件1
图1-28
练习
1. 如图，在直线MN上求作一点P ，使点P到∠AOB两边 的距离相等.
解 作∠AOB的角平分线，交MN于一点，则这点即为所 求作的点P.（提示：用尺规作图）
P
2. 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC， DE⊥AB 于点E，DF⊥AC 于点F，BD=CD. 求证：AB=AC.
图1-28
（1）求证：点B在∠ADC的平分线上；
证明： 在△ABC中，
∵ ∠1=∠2， ∴ BA = BC. 又 BA⊥AD， BC⊥CD， ∴ 点B在∠ADC的平分线上.
图1-28
（2）求证：BD是∠ABC的平分线. 证明： 在Rt△BAD和Rt△BCD中，
∵ BA = BC， BD = BD， ∴ Rt△BAD≌Rt△BCD. ∴ ∠ABD =∠CBD. ∴ BD是∠ABC的平分线.
证明 ∵ 点D在∠BAC的平分线上， DE⊥AB，DF⊥AC ，
∴ DE = DF. 在Rt△BED和Rt△CFD中， ∵ BD = CD， DE = DF，
∴ Rt△BED≌Rt△CFD.
∴ ∠B =∠C. ∴ AB = AC.
动脑筋
如图1-29， 已知EF⊥CD，EF⊥AB，MN⊥AC，M 是EF 的中点. 需添加一个什么条件， 就可使CM，AM 分别为∠ACD和∠CAB的平分线呢？
•11、即使是普通孩子，只要教育得法，也会成为不平凡的人。 •12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。 •13、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。 •14、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。 •15、生活即教育，社会即学校，教学做合一。 •16、当在学校所学的一切全都忘记之后，还剩下来的才是教育。2021年10月21日星期四2021/10/212021/10/212021/10/21 •17、播种行为，可以收获习惯；播种习惯，可以收获性格；播种性格，可以收获命运。2021年10月 2021/10/212021/10/212021/10/2110/21/2021 •18、我们发现了儿童有创造力，认识了儿童有创造力，就须进一步把儿童的创造力解放出来2021/10/212021/10/21October 21, 2021 •19、人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。 2021/10/212021/10/212021/10/212021/10/21
练习
1. 如图，在直线MN上求作一点P ，使点P到∠AOB两边 的距离相等.
解 作∠AOB的角平分线，交MN于一点，则这点即为所 求作的点P.（提示：用尺规作图）
P
2. 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC， DE⊥AB 于点E，DF⊥AC 于点F，BD=CD. 求证：AB=AC.
图1-28
（1）求证：点B在∠ADC的平分线上；
证明： 在△ABC中，
∵ ∠1=∠2， ∴ BA = BC. 又 BA⊥AD， BC⊥CD， ∴ 点B在∠ADC的平分线上.
图1-28
（2）求证：BD是∠ABC的平分线. 证明： 在Rt△BAD和Rt△BCD中，
∵ BA = BC， BD = BD， ∴ Rt△BAD≌Rt△BCD. ∴ ∠ABD =∠CBD. ∴ BD是∠ABC的平分线.
证明 ∵ 点D在∠BAC的平分线上， DE⊥AB，DF⊥AC ，
∴ DE = DF. 在Rt△BED和Rt△CFD中， ∵ BD = CD， DE = DF，
∴ Rt△BED≌Rt△CFD.
∴ ∠B =∠C. ∴ AB = AC.
动脑筋
如图1-29， 已知EF⊥CD，EF⊥AB，MN⊥AC，M 是EF 的中点. 需添加一个什么条件， 就可使CM，AM 分别为∠ACD和∠CAB的平分线呢？
•11、即使是普通孩子，只要教育得法，也会成为不平凡的人。 •12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。 •13、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。 •14、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。 •15、生活即教育，社会即学校，教学做合一。 •16、当在学校所学的一切全都忘记之后，还剩下来的才是教育。2021年10月21日星期四2021/10/212021/10/212021/10/21 •17、播种行为，可以收获习惯；播种习惯，可以收获性格；播种性格，可以收获命运。2021年10月 2021/10/212021/10/212021/10/2110/21/2021 •18、我们发现了儿童有创造力，认识了儿童有创造力，就须进一步把儿童的创造力解放出来2021/10/212021/10/21October 21, 2021 •19、人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。 2021/10/212021/10/212021/10/212021/10/21
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M
E
A
1 2
P
N
B
E'
D
C
E ''
耐心地想一想
如图，EG，FG分别∠MEF的∠NFE的平分线，交 点是G。PB，PC分别是∠MBC和∠NCB的平分线， 交点是P，F，C在AN上，B，E在AM上，如果 ∠G=68°，求∠P的度数。
观察两次折出的三条折痕，你能得出 A D 什么结论？
第二次折出的两条折痕的长度相等。
AAS O 你能说明其中的道理吗？ A A B C P P E B B
从上面的实验中，你能得到什么结论？
已知：如图，OP是∠AOB的平分线，点P在OC上， PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E 求证：PD=PE A D 证明: ∵∠1=∠2 , OP=OP
E
B
例1 已知：如图、E是∠BAC平分线上的一点，EB⊥AB，
EC⊥AC，B，C分别是垂足。求证：∠EBC＝∠ECB
证明： ∵ E是∠BAC平分线上的一点，EB⊥AB，EC⊥AC ∴EB=EC
（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）
∴∠EBC＝∠ECB （在一个三角形中，等边对等角） B 1 2 3 4 E C
如图，是一个平分角的仪器，其中 AB=AD，CB=CD,将点A放在角的 顶点，AB和AD沿着角的两边放下， 沿AC画一条射线AE,AE就是角的平 分线。你能说明它的道理吗？ 根据SSS, 可知两个三角形全等 ∴∠1=∠2
A
1 2
D
B
C
从上面的探究你能得出作一个角的 角平分线的方法吗？
E
已知：∠AOB 求作：∠AOB的平分线 作法：（1）以O为圆心，适当长为 半径作弧，交OA于M,交OB于N;
∠PDO=∠PEO=90°
∴⊿PDO≌⊿PEO (AAS) ∴PD=PE (全等三角形的对应 边相等) O
1 2
C P E B
定理：在角的平分线上的点到这个角的
两边的距离相等。
该定理的题设和结论分别是什么？
角平分线的性质定理
定理 1 在角的平分线上的点到这个角的 两边的距离相等。
定理应用所具备的条件：
问，理论上有几个地点可作为仓库的位置？
4个
2 如图，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足 分别是E，F， DE =DF， ∠EDB= 60°，则 ∠EBF= 60 度，
A E
C D
BE= BF。
B F C
3.如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB， ∠1=∠2，且AC=6cm，那么线段BE是△ABC 的 角平分线，AE+DE= 6 。 C
E A D
2 1
B
4.如图③，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC， AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E。求证： △DBE的周长等于AB的长。
A E C B
D
如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AD是 ∠BAC的平分线交BC于D，BC=15，且CD： DB=1：2，则点D到AB的距离为_________。
M
F
E
C
结论：三角形的角平分线的交点到三边的距离相等。
这个交点叫三角形的内心
做一做
已知：如图，△ABC的∠B的外角平分线BD和 ∠C的外角平分线CE相交于点F。 求证：点F在∠DAE的平分线上。
C A B F D E
那么点F到△ABC三边的距离相等吗？
如图，有三条交错的货运铁路，要在铁路附近造
一个货运仓库，要求仓库到三条铁路的距离相等，
A
C
D
B
在V型公路（∠AOB）内部，有两个村庄C、D。你 能选择一个纺织厂的厂址P，使P到V型公路的距离 相等，且使C、D两村的工人上下班的路程一样吗？
A P O
.C
B
.D
活动与探究:
已知：如图，∠1=∠2，P为BN上一点，且 PD⊥BC于D，AB+BC=2BD
求证：∠BAP+∠BCP=180°
想一想：题中BC 被AE垂直平分吗？ ∵∠ABE＝∠ACE＝Rt∠
∠1＝∠ 2
∴∠3＝∠4 ∴ AE垂直平分BC
A
又∵EB=EC
如图，开发区一个工 厂，在公路西侧，到公路 的距离与到河岸的距离相 等，并且与河上公路桥较 近桥头的距离为500米。 你能尝试确定工厂的位置 吗？并说明理由。
北
比例尺1：20000
（1）角的平分线； （2）点在该平分线上； （3）垂直距离。 O D
A
P E B
推理的理由有三个， 必须写完全，不能少 了任何一个。
定理的作用： 证明线段相等。 应用定理的书写格式：
∵
OP 是 AOB 的平分线
PD OA
\
PE OB
PD = PE （在角的平分线上的点 到这个角的两边的距离相等。）
如果交换定理1的题设、结论，能得到怎样的命题，这是一个 真命题吗？
逆命题： 到一个角的两边距离相等的点，在这个 角的平分线上。 已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂 A 足分别是D，E， PD=PE。 D 求证：点P在∠AOB的平分线上。
证明: 在Rt⊿ODP和Rt⊿OEP中,
C P O E B
∠ODP=∠OEP=90°
OP=OP, PD=PE Rt⊿OPD≌Rt⊿OPE (HL)
定理 2 到一个角的两边的距离相等的点，
在这个角的平分线上。
定理 2的应用书写格式：
A D
∵
PC OA
PD OB
PD= PE
O
C P
\OP 是 AOB的平分线
（到一个角的两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上） 用途：判定一条射线是角平分线
1 （2）分别以M、N为圆心，大于 MN的长为半径作弧，两弧在 2
A M C N B
∠AOB的内部交于点C.
O
(3)作射线OC.射线OC即为所求。
你能说明其中的道理吗？ 做P108页的练习，并回答问题。
做一做
1。你能用折叠的办法折出一个角的平分线吗？ 将∠AOB对折 2。再折出一个直角三角形，（使角平分线为斜 边，OA与OB为直角边）
∵到公路的距离与到河岸的距离相等 ∴工厂在河岸与公路的角平分线上
（到一个角的两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上）
以角的顶点为端点在角平分线上取一段等于2.5㎝ 则另一点就是工厂的位置。
Hale Waihona Puke 例.已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点 P.求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂 直于AB、BC、CA，垂足为D、E、 F ∵BM是△ABC的角平分线，点P在 BM上（已知） ∴PD=PE（在角平分线上的点到角的 两边的距离相等） B 同理 PE=PF. ∴ PD=PE=PF. 即点P到边AB、BC、CA的距离相等 A D N P
E
A
1 2
P
N
B
E'
D
C
E ''
耐心地想一想
如图，EG，FG分别∠MEF的∠NFE的平分线，交 点是G。PB，PC分别是∠MBC和∠NCB的平分线， 交点是P，F，C在AN上，B，E在AM上，如果 ∠G=68°，求∠P的度数。
观察两次折出的三条折痕，你能得出 A D 什么结论？
第二次折出的两条折痕的长度相等。
AAS O 你能说明其中的道理吗？ A A B C P P E B B
从上面的实验中，你能得到什么结论？
已知：如图，OP是∠AOB的平分线，点P在OC上， PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E 求证：PD=PE A D 证明: ∵∠1=∠2 , OP=OP
E
B
例1 已知：如图、E是∠BAC平分线上的一点，EB⊥AB，
EC⊥AC，B，C分别是垂足。求证：∠EBC＝∠ECB
证明： ∵ E是∠BAC平分线上的一点，EB⊥AB，EC⊥AC ∴EB=EC
（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）
∴∠EBC＝∠ECB （在一个三角形中，等边对等角） B 1 2 3 4 E C
如图，是一个平分角的仪器，其中 AB=AD，CB=CD,将点A放在角的 顶点，AB和AD沿着角的两边放下， 沿AC画一条射线AE,AE就是角的平 分线。你能说明它的道理吗？ 根据SSS, 可知两个三角形全等 ∴∠1=∠2
A
1 2
D
B
C
从上面的探究你能得出作一个角的 角平分线的方法吗？
E
已知：∠AOB 求作：∠AOB的平分线 作法：（1）以O为圆心，适当长为 半径作弧，交OA于M,交OB于N;
∠PDO=∠PEO=90°
∴⊿PDO≌⊿PEO (AAS) ∴PD=PE (全等三角形的对应 边相等) O
1 2
C P E B
定理：在角的平分线上的点到这个角的
两边的距离相等。
该定理的题设和结论分别是什么？
角平分线的性质定理
定理 1 在角的平分线上的点到这个角的 两边的距离相等。
定理应用所具备的条件：
问，理论上有几个地点可作为仓库的位置？
4个
2 如图，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足 分别是E，F， DE =DF， ∠EDB= 60°，则 ∠EBF= 60 度，
A E
C D
BE= BF。
B F C
3.如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB， ∠1=∠2，且AC=6cm，那么线段BE是△ABC 的 角平分线，AE+DE= 6 。 C
E A D
2 1
B
4.如图③，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC， AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E。求证： △DBE的周长等于AB的长。
A E C B
D
如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AD是 ∠BAC的平分线交BC于D，BC=15，且CD： DB=1：2，则点D到AB的距离为_________。
M
F
E
C
结论：三角形的角平分线的交点到三边的距离相等。
这个交点叫三角形的内心
做一做
已知：如图，△ABC的∠B的外角平分线BD和 ∠C的外角平分线CE相交于点F。 求证：点F在∠DAE的平分线上。
C A B F D E
那么点F到△ABC三边的距离相等吗？
如图，有三条交错的货运铁路，要在铁路附近造
一个货运仓库，要求仓库到三条铁路的距离相等，
A
C
D
B
在V型公路（∠AOB）内部，有两个村庄C、D。你 能选择一个纺织厂的厂址P，使P到V型公路的距离 相等，且使C、D两村的工人上下班的路程一样吗？
A P O
.C
B
.D
活动与探究:
已知：如图，∠1=∠2，P为BN上一点，且 PD⊥BC于D，AB+BC=2BD
求证：∠BAP+∠BCP=180°
想一想：题中BC 被AE垂直平分吗？ ∵∠ABE＝∠ACE＝Rt∠
∠1＝∠ 2
∴∠3＝∠4 ∴ AE垂直平分BC
A
又∵EB=EC
如图，开发区一个工 厂，在公路西侧，到公路 的距离与到河岸的距离相 等，并且与河上公路桥较 近桥头的距离为500米。 你能尝试确定工厂的位置 吗？并说明理由。
北
比例尺1：20000
（1）角的平分线； （2）点在该平分线上； （3）垂直距离。 O D
A
P E B
推理的理由有三个， 必须写完全，不能少 了任何一个。
定理的作用： 证明线段相等。 应用定理的书写格式：
∵
OP 是 AOB 的平分线
PD OA
\
PE OB
PD = PE （在角的平分线上的点 到这个角的两边的距离相等。）
如果交换定理1的题设、结论，能得到怎样的命题，这是一个 真命题吗？
逆命题： 到一个角的两边距离相等的点，在这个 角的平分线上。 已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂 A 足分别是D，E， PD=PE。 D 求证：点P在∠AOB的平分线上。
证明: 在Rt⊿ODP和Rt⊿OEP中,
C P O E B
∠ODP=∠OEP=90°
OP=OP, PD=PE Rt⊿OPD≌Rt⊿OPE (HL)
定理 2 到一个角的两边的距离相等的点，
在这个角的平分线上。
定理 2的应用书写格式：
A D
∵
PC OA
PD OB
PD= PE
O
C P
\OP 是 AOB的平分线
（到一个角的两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上） 用途：判定一条射线是角平分线
1 （2）分别以M、N为圆心，大于 MN的长为半径作弧，两弧在 2
A M C N B
∠AOB的内部交于点C.
O
(3)作射线OC.射线OC即为所求。
你能说明其中的道理吗？ 做P108页的练习，并回答问题。
做一做
1。你能用折叠的办法折出一个角的平分线吗？ 将∠AOB对折 2。再折出一个直角三角形，（使角平分线为斜 边，OA与OB为直角边）
∵到公路的距离与到河岸的距离相等 ∴工厂在河岸与公路的角平分线上
（到一个角的两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上）
以角的顶点为端点在角平分线上取一段等于2.5㎝ 则另一点就是工厂的位置。
Hale Waihona Puke 例.已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点 P.求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂 直于AB、BC、CA，垂足为D、E、 F ∵BM是△ABC的角平分线，点P在 BM上（已知） ∴PD=PE（在角平分线上的点到角的 两边的距离相等） B 同理 PE=PF. ∴ PD=PE=PF. 即点P到边AB、BC、CA的距离相等 A D N P