2015届高二数学练习七

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2015届高三文科数学大练习(七)第一轮复习同步练习

数学，有时像白开水，咕噜的吞下去，发现没有任何味道和回忆；数学，有时像甘泉水，慢慢的回味，发现那份甘甜常在心中荡漾。

高考考场变幻莫测，只要数学基础和信心在，相信我们在丛中笑。

2015高三数学(文科)大练习(七)本试卷共4页,20小题,满分150分.用时120分钟.无论怎样难度的试卷，我们都能品味下其中的奥秘。

相信自己一次比一次做得好。

一、选择题:（本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.） 1.已知全集}2,1,0{=U 集合{}2,0A =，{}1,2B =，则集合=)(B A C U ( ) A.{}0,1,2B.{}0,1C.φD.{}22.与命题“若a M ∈则b M ∉”等价的命题是A.若b M ∈，则a M ∉B.若b M ∉，则a M ∈C.若a M ∉，则b M ∈D.若a M ∉，则b M ∉ 3.设0x 是方程ln 4x x +=的解，则0x 属于区间 A.()0,1B.()1,2C.()2,3D.()3,44.已知命题42:<<-x p ，命题02:2<--x x q ，则p 是q 的（） A.充要条件 B .充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件5.设函数()2xf x =，则下列结论中正确的是 A.()()()122f f f -<<- B.()()()122f f f -<-< C.()()()221f f f <-<-D.()()()212f f f -<-<6．要得到)42sin(3π+=x y 的图象只需将y=3sin2x 的图象（）A ．向左平移4π个单位 B ．向右平移4π个单位 C ．向左平移8π个单位 D ．向右平移8π个单位7.函数xxa y x=（01a <<）的图象的大致形状是 ( )8.已知α是第四象限角，125tan -=α，则=αsin （） A ．51 B ．51- C ．135 D ．135-9.设m 、n 是不同的直线，α、β是不同的平面，下列命题中正确的是A.若m ∥α，n β⊥，m n ⊥，则α⊥βB.若m ∥α，n β⊥，m n ⊥，则α∥βC.若m ∥α，n β⊥，m ∥n ，则α⊥βD.若m ∥α，n β⊥，m ∥n ，则α∥β10.对于任意的实数a 、b ，记{},max ,,a a ba b b a b≥⎧=⎨<⎩.设()()(){}max ,F x f x g x =（x ∈R ），其中()13g x x =，()y f x =是奇函数.当0x ≥时，()y f x = 的图象与()g x 的图象如图3所示.则下列关于函数()y F x = 的说法中，正确的是A.()y F x =有极大值()1F -且无最小值B.()y F x =为奇函数C.()y F x =的最小值为2-且最大值为2D.()y F x =在()3,0-上为增函数二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11.函数3sin sin 2y x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最小正周期是___________.12．cos 43cos77sin 43cos167o o o o+= ．13.若幂函数()f x 的图象经过点()2,4A ，则它在A 点处的切线方程为_________________.（结果写成一般式）14. 设函数⎩⎨⎧≤++>-=0,0,2)(2x c bx x x x f ,若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝0，则关于x 的不等式f (x )≤1的解集为__________．三、解答题:（本大题共6小题,满分80分.其中15,16题各12分，17~20每题14分。

2015届高考数学总复习第七章第五节椭圆(一)课时精练试题文(含解析)

第五节椭圆 (一)1．(2013·海淀模拟)2<m <6是方程x 2m －2＋y 26－m＝1表示椭圆的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若x 2m －2＋y26－m＝1表示椭圆，则有⎩⎪⎨⎪⎧m －2＞0，6－m ＞0，m －2≠6－m ，所以2<m <6且m ≠4. 故2<m <6是x 2m －2＋y 26－m＝1表示椭圆的必要不充分条件．故选B.答案：B2．(2012·潮州期末)直线x －2y ＋2＝0经过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为( )A.255B.55C.23D.12解析：直线与坐标轴交点为(－2,0)，(0,1)，c ＝2，b ＝1，则a ＝5，所以e ＝25＝255.故选A.答案：A3．(2013·韶关调研)椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为( )A.14B.12 C ．2 D ．4解析：将原方程变形为x 2＋y 21m＝1，由题意知a 2＝1m，b 2＝1，所以a ＝1m，b ＝1，由题意得，a ＝2b ，所以1m ＝2，即m ＝14. 故选A. 答案：A4．已知椭圆x 24＋y 2＝1，F 1，F 2为其两焦点，P 为椭圆上任一点．则|PF 1|·|PF 2|的最大值为( )A ．6B ．4C ．2D ．8解析：设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝2a ＝4，|PF 1|·|PF 2|＝mn ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝4，当且仅当m ＝n ＝2时，等号成立．故选B.答案：B5．已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，N (2,0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线解析：点P 在线段AN 的垂直平分线上，故|PA |＝|PN |.又AM 是圆的半径，∴|PM |＋|PN |＝|PM |＋|PA |＝|AM |＝6>|MN |.由椭圆定义知，点P 的轨迹是椭圆．答案：B 6．已知椭圆x 216＋y 29＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，P 为直角顶点，则点P 到x 轴的距离为( )A.95 B ．3 C.977 D.94解析：由题意⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝8，|PF 1|2＋|PF 2|2＝4×7， ∴|PF 1|·|PF 2|＝18.又S △PF 1F 2＝12×18＝12×27×h (其中h 为P 到x 轴的距离)，∴h ＝977.故选C.答案：C7．(2013·山西晋中第二次四校联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为( )A.x 28＋y 24＝1B.x 212＋y 26＝1 C.x 216＋y 28＝1 D.x 220＋y 25＝1解析：由题意，双曲线x 2－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±x ，因为以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，所以边长为4，所以(2,2)在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上，所以4a 2＋4b2＝1.因为椭圆的离心率为22，所以a 2－b 2a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222.所以a 2＝2b 2，，所以a 2＝12，b 2＝6. 所以椭圆方程为x 212＋y 26＝1.答案：B8．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为________________．解析：设椭圆方程为x 2a ＋y 2b ＝1(a >b >0)．因为离心率为22，所以22＝ 1－b 2a2，解得b 2a 2＝12，即a 2＝2b 2.又△ABF 2的周长为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝|AF 1|＋|BF 1|＋|BF 2|＋|AF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝2a ＋2a ＝4a ，所以4a ＝16，a ＝4，所以b ＝22，所以椭圆方程为x 216＋y 28＝1.答案：x 216＋y 28＝19．与椭圆x 29＋y 24＝1共焦点，且过M (3，－2)的椭圆方程为_________________．解析：∵c 2＝9－4＝5，∴设所求椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－5＝1，代入(3，－2)得a 2＝15或a 2＝3(舍去)．∴椭圆方程为x 215＋y 210＝1.答案：x 215＋y 210＝110．(2013·上海卷)设AB 是椭圆P 的长轴，点C 在P 上，且∠CBA ＝π4，若AB ＝4，BC＝2，则P 的两个焦点之间的距离为________．解析：不妨设椭圆P 的标准方程为x 24＋y 2b2＝1，不妨设点C 在第一象限，坐标为(x 0，y 0)，依题意有⎩⎨⎧2－x 0＝y 0，－x 02＋y 20＝22，可得C (1,1)，以上可得b 2＝43，所以2c ＝463.答案：46311．已知如图，椭圆x 2a2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上一点P ，F 1、F 2为椭圆的焦点，若∠F 1PF 2＝θ，则△PF 1F 2的面积等于________．解析：在△PF 1F 2中，由余弦定理得：2|PF 1|·|PF 2|·cos θ＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|2＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|－|F 1F 2|2＝(2a )2－2|PF 1|·|PF 2|－(2c )2(其中c 2＝a 2－b 2)．所以|PF 1|·|PF 2|·(1＋cos θ)＝2b 2，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin θ＝12·2b 21＋cos θ·sin θ＝b 2tan θ2. 答案：b 2tan θ212．(2012·广东省实验中学联考)已知点A (－1,0)，B (1,0)，动点M 的轨迹曲线C 满足∠AMB ＝2θ，|AM →|·|BM →|cos 2θ＝3.(1)求曲线C 的方程；(2)试探究曲线C 上是否存在点P ，使直线PA 与PB 的斜率k PA ·k PB ＝1.若存在，请指出共有几个这样的点，并说明理由(不必具体求出这些点的坐标)．解析：(1)设M (x ，y )，在△MAB 中，|AB |＝2，∠AMB ＝2θ，根据余弦定理得 |AM →|2＋|BM →|2－2|AM →|·|BM →|cos 2θ＝4，即(|AM →|＋|BM →|)2－2|AM →|·|BM →|(1＋cos 2θ)＝4， (|AM →|＋|BM →|)2－4|AM →|·|BM →|cos 2θ＝4. 而|AM →|·|BM →|cos 2θ＝3，所以(|AM →|＋|BM →|)2－4×3＝4.所以|AM →|＋|BM →|＝4. 又|AM →|＋|BM →|＝4＞2＝|AB |，因此点M 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆(点M 在x 轴上也符合题意)，所以a ＝2，c ＝1.所以曲线C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)知曲线C 是椭圆，它的两个焦点坐标分别为A (－1，0)，B (1,0)，设P (x ，y )是椭圆上的点，由k PA ·k PB ＝1，得y x ＋1·yx －1＝1(x ≠±1)，即x 2－y 2＝1(x ≠±1)，这是实轴在x 轴，顶点是椭圆的两个焦点的双曲线，它与椭圆的交点即为点P .由于双曲线的两个顶点在椭圆内，根据椭圆和双曲线的对称性可知，它们必有四个交点，即圆心M 的轨迹上存在四个点P ，使直线PA 与PB 的斜率k PA ·k PB ＝1.13．(2013·北京卷)已知A 、B 、C 是椭圆W ：x 24＋y 2＝1上的三个点，O 是坐标原点．(1)当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积；(2)当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由．解析：(1)椭圆W ：x 24＋y 2＝1的右顶点B 的坐标为(2,0)．因为四边形OABC 为菱形，所以AC 与OB 相互垂直平分. 所以可设A (1，m )，代入椭圆方程得14＋m 2＝1，即m ＝±32，所以菱形OABC 的面积是12|OB |·|AC |＝12×2×2|m |＝ 3.(2)假设四边形OABC 为菱形．因为点B 不是W 的顶点，且直线AC 不过原点，所以可设AC 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0).由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m ，消去y 并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2，y 1＋y 22＝k ·x 1＋x 22＋m ＝m 1＋4k2.所以AC 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 1＋4k 2，m 1＋4k 2 .因为M 为AC 和OB 的交点，且m ≠0，k ≠0，所以直线OB 的斜率为－14k.因为k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－14k ≠－1，所以AC 与OB 不垂直．所以OABC 不是菱形，与假设矛盾.所以当点B 不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能是菱形.14．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)过点P (3,1)，其左、右焦点分别为F 1，F 2，且F 1P →·F 2P→＝－6.(1)求椭圆E 的方程； (2)若M ，N 是直线x ＝5上的两个动点，且F 1M ⊥F 2N ，则以MN 为直径的圆C 是否过定点？请说明理由．解析：(1)设点F 1，F 2的坐标分别为(－c,0)，(c,0)(c >0)，则F 1P →＝(3＋c,1)，F 2P →＝(3－c,1)，故F 1P →·F 2P →＝(3＋c )(3－c )＋1＝10－c 2＝－6，可得c ＝4，所以2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝＋2＋12＋－2＋12＝62，故a ＝32，b 2＝a 2－c 2＝18－16＝2，所以椭圆E 的方程为x 218＋y 22＝1.(2)设M ，N 的坐标分别为(5，m )，(5，n )，则F 1M →＝(9，m )，F 2N →＝(1，n )，又F 1M →⊥F 2N →，可得F 1M →·F 2N →＝9＋mn ＝0，即mn ＝－9，又圆C 的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫5，m ＋n 2，半径为|m －n |2，故圆C的方程为(x －5)2＋⎝⎛⎭⎪⎫y －m ＋n 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|m －n |22，即(x －5)2＋y 2－(m ＋n )y ＋mn ＝0，也就是(x －5)2＋y 2－(m ＋n )y －9＝0，令y ＝0，可得x ＝8或2，故圆C 必过定点(8,0)和(2,0)．。

2015年高二下学期期末数学试题

2015年高二下学期期末数学试题y1. i 是虚数单位，若z （i+1）=i ，则|z|等于（）CA ．1B ．23 C ．22 D ．212．曲线y=xe x +1在点（0，1）处的切线方程是（）AA ．x-y+1=0B ．2x-y+1=0C ．x-y-1=0D ．x-2y+2=03. 若函数y=ae x +4x （x ∈R ）有大于零的极值点，则实数a 的取值范围是（）AA ．-4＜a ＜0B ．a ＜-4C ．a ＜-41 D ．-41＜a ＜0 4. 利用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）…（n+n ）=2n ×1×3×…×（2n-1），n ∈N *”时，从“n=k”变到“n=k+1”时，左边应增乘的因式是（）C A ．2k+1 B ．112++k k C ． 1)22)(12(+++k k k D ．132++k k 5. 一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒子中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，其分布列为P （X ），则P （X=4）的值为（ C ）A ．2201 B ．5527 C ．22027 D ．5521 3121923/C C C 6. (x −x2) 6的展开式中常数项是（ A ）A ．-160 B ．-20 C ．20 D ．160 7. 极坐标方程ρ＝cos(4π−θ)所表示的曲线是（ D ） A ．双曲线 B ．椭圆抛物线 D ．圆8. 若一个几何体的三视图如图所示（单位长度：cm ），则此几何体的表面积是（ A ）A ．(20+42)cm 2 B ．21cm 2 C ．(24+42)cm 2 D ．24cm 25．9. 圆x 2+y 2-8x-4y+11=0与圆x 2+y 2+2y-3=0的位置关系为（ B ） A ．相交 B ．外切 C ．内切 D ．外离10. 阅读如图所示的程序框图，输出的结果S 的值为（ A ）A ．0B ．23 C ．3 D ．−23 11. 12.二、填空题13. 极点到直线ρ(cosθ+sinθ)＝3的距离是_________2614. 从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P （B|A ）等于 _________1/415. 下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；②设有一个回归方程y =3-5x ，变量x 增加一个单位时，y 平均增加5个单位；③线性回归方程y =b x +a 必过（x ，y ）；④曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系；⑤在一个2×2列联表中，由计算得x 2=13.079，则其两个变量间有关系的可能性是90%．其中错误的个数是__4 ．①③⑤16. 由直线x=-3π，x=3π，y=0与曲线y=cosx 所围成的封闭图形的面积为___ 3 三、解答题：17．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过点（3，5）且倾斜角为4π，在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴）中，圆C 的方程为p=25sinθ．（1）求直线l 的参数方程及圆C 的直角坐标方程；（2）设圆C 与直线l 交于A ，B 两点，若点P 的坐标为（3，5），求|PA|•|PB|．解：【解答】解：（1）直线l 过点（3，5）且倾斜角为4π，参数方程为x ＝3+22t,y=5+22t（t 为参数）；圆C 的方程为p=25sinθ，直角坐标方程为x 2+（y-5）2=5；（2）x ＝3+22t,y=5+22t （t 为参数），代入x 2+（y-5）2=5，可得t 2+32t+4=0，∵点P 的坐标为（3，5），∴|PA|•|PB|=4．18．已知函数f （x ）=xe x（e 为自然对数的底）（1）试确定函数f （x ）的单调区间；（2）求函数f （x ）在[ 0.5，1.5 ]上的最大值和最小值．【解答】解：（1）∵f′（x ）=2)1(x e x x-，令f′（x ）＞0，解得：x ＞1，令f′（x ）＜0，解得：x ＜1，∴f （x ）在（1，+∞）递增，在（-∞，1）递减，（2）由（1）得：f （x ）在（0.5，1）上递减，在（1，1.5）上递增； ∴f （x ）min =f （1）=e ，又f （0.5）=2e ，f （1.5）=32e e ，∴f （0.5）＞f （1.5），∴f （x ）max =f （0.5）=2e ．19．下表是某次自主招生考试中，某学习小组的4名同学的数学、物理成绩：学生 A B C D 数学（x ） 130 125 120 145 物理（y ）125120105130（1）根据表中数据，用最小二乘法求物理分数y 关于数学分数x 的回归直线方程y =b x+a ；（2）若某同学在此次考试中数学得分为116．利用（1）中所求出的直线方程预测他本次考试的物理成绩．附：回归方程y =b x+a 其中b =∑=ni 1，a =y -b x ．解：（1）x=130，y ＝120，))((41y y x x i i i --∑=＝300∑=41(i x i −x )2＝350，b ＝76， a ＝760，回归直线方程为：y ＝76x +760．（2）由（1）可知x=116可得y ＝108，预测他本次考试的物理成绩108．20．在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC=2AD=2AB=22，∠ABC=90°，如图1．把△ABD 沿BD 翻折，使得平面ABD ⊥平面BCD ，如图2．（Ⅰ）求证：CD ⊥AB ；（Ⅱ）若点M 为线段BC 中点，求点M 到平面ACD 的距离；（Ⅲ）在线段BC 上是否存在点N ，使得AN 与平面ACD 所成角为60°？若存在，求出BN/BC 的值；若不存在，说明理由．解：【解答】（Ⅰ）证明：由已知条件可得BD=2，CD=2，CD ⊥BD ．…（2分）∵平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD∩平面BCD=BD ． ∴CD ⊥平面ABD ．…（3分）又∵AB ⊂平面ABD ，∴CD ⊥AB ．…（4分）（Ⅱ）解：以点D 为原点，BD 所在的直线为x 轴，DC 所在的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，如图．由已知可得A （1，0，1），B （2，0，0），C （0，2，0），D （0，0，0），M （1，1，0）． ∴CD ＝(0，−2，0)，AD ＝(−1，0，−1)．…（6分）设平面ACD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则CD ⊥n ，AD ⊥n ，∴y ＝0, x +z ＝0令x=1，得平面ACD 的一个法向量为n ＝(1，0，−1)，∴点M 到平面ACD 的距离d ＝|n ∙MC |/|MC |＝22．…（8分）（Ⅲ）解：假设在线段BC 上存在点N ，使得AN 与平面ACD 所成角为60°．…（9分）设BN ＝λBC ， 0＜λ＜1，则N （2-2λ，2λ，0），∴AN ＝(1−2λ，2λ，−1)，又∵平面ACD 的法向量n ＝(1，0，−1)且直线AN 与平面ACD 所成角为60°，∴sin60°＝|AN n |/|AN ||n |＝23，…（11分）可得8λ2+2λ-1=0，∴λ＝1/4或λ＝−1/2（舍去）．综上，在线段BC 上存在点N ，使AN 与平面ACD 所成角为60°，此时BN/BC ＝1/4．…（13分）21．设动点P （x ，y ）（y≥0）到定点F （0，1）的距离比它到x 轴的距离大1，记点P 的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）求点P 的轨迹方程；（Ⅱ）设圆M 过A （0，2），且圆心M 在曲线C 上，EG 是圆M 在x 轴上截得的弦，试探究当M 运动时，弦长|EG|是否为定值？为什么？解：【解答】解：（Ⅰ）依题意知，动点P 到定点F （0，1）的距离等于P 到直线y=-1的距离，曲线C 是以原点为顶点，F （0，1）为焦点的抛物线 ∵p/2＝1∴p=2∴曲线C 方程是x 2=4y（Ⅱ）设圆的圆心为M （a ，b ），∵圆M 过A （0，2）， ∴圆的方程为（x-a ）2+（y-b ）2=a 2+（b-2）2令y=0得：x 2-2ax+4b-4=0设圆与x 轴的两交点分别为（x 1，0），（x 2，0）不妨设x 1＞x 2，由求根公式得x 1＝21616422+-+b a a ，x 2＝21616422+--b a a∴x 1−x 2＝161642+-b a 又∵点M （a ，b ）在抛物线x 2=4y 上，∴a 2=4b ， ∴x 1−x 2＝16＝4，即|EG|=4∴当M 运动时，弦长|EG|为定值422.设函数f （x ）=x|2x-a|，g （x ）=12--x ax ，a ＞0（1）当a=8时，求f （x ）在区间[3，5]上的值域；（2）若∀t ∈[3，5]，∃x i ∈[3，5]（i=1，2）且x 1≠x 2，使f （x i ）=g （t ），求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）当a=8时，f （x ）=x|2x-a|=−2x 2+8x ，x ＜4;或 2x 2−8x ，x ≥4， ∴函数f （x ）在[3，4]上递减，在[4，5]上递增，∵f （3）=6，f （4）=0，f （5）=10，∴f （x ）在区间[3，5]上的值域为[0，10]；（2）f （x ）=x|2x-a|= -2(x-4a ）2+82a ，x ＜2a ；2(x-4a )2−82a ，x ≥2a∵a ＞0，∴f （x ）在（-∞，4a ]上递增，在[4a ，2a ]上递减，在[2a，+∞）上递增， ∴3＜2a ＜5或3＜4a＜5，∴6＜a ＜10或12＜a ＜20． ①6＜a ＜10时，函数在[3，2a ]上递减，在[2a ，5]上递增，g （x ）=12--x a x 在[3，5]上递增，由题意得∀t ∈[3，5]，关于x 的方程f （x ）=g （t ）在[3，5]上至少有两个不同的解等价于 g （3），g （5）]⊆（f （2a），min{f （3），f （5）}，即g (3)＞f(2a), g (5)≤f (3)，(9-a)/2>0,(25-a)/4≤3(a −6),(25-a)/4≤5(10−a),，解得97/13≤a ＜9； ②12＜a ＜20时，g （3）=(9-a)/2＜0，而x ∈[3，5]，f （x ）≥0，方程f （x ）=g （3）无解．综上，实数a 的取值范围为97/13≤a ＜9．。

2015届高考数学(理)二轮专题配套练习：专题7_第2讲_概率、随机变量及其分布(含答案)

第2讲概率、随机变量及其分布考情解读 1．该部分常考内容有几何概型、古典概型、条件概率，而几何概型常与平面几何、定积分交汇命题，古典概型常与排列、组合交汇命题；常考内容还有离散型随机变量的分布列、期望(均值)、方差，常与相互独立事件的概率、n 次独立重复试验交汇考查.2．从考查形式上来看，三种题型都有可能出现，选择题、填空题突出考查基础知识、基本技能，有时会在知识交汇点处命题；解答题则着重考查知识的综合运用，考查统计、古典概型、二项分布以及离散型随机变量的分布列等，都属于中、低档题．1．随机事件的概率（1）随机事件的概率范围：0≤P (A )≤1；必然事件的概率为1；不可能事件的概率为0. （2）古典概型的概率P (A )＝m n ＝A 中所含的基本事件数基本事件总数.（3）几何概型的概率P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).2．条件概率在A 发生的条件下B 发生的概率：P (B |A )＝P (AB )P (A ).3．相互独立事件同时发生的概率P (AB )＝P (A )P (B )． 4．独立重复试验如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么它在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率为P n (k )＝C k n p k (1－p )n －k ，k ＝0,1,2，…，n . 5．超几何分布在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC n N，k ＝0,1,2，…，m ，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *.此时称随机变量X 服从超几何分布．超几何分布的模型是不放回抽样，超几何分布中的参数是M ，N ，n . 6．离散型随机变量的分布列（1）设离散型随机变量X 可能取的值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i 的概率为P (X ＝x i )＝p i ，则称下表：为离散型随机变量X （2）离散型随机变量X 的分布列具有两个性质：①p i ≥0，②p 1＋p 2＋…＋p i ＋…＋p n ＝1(i ＝1,2,3，…，n )．（3）E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为X 的均值或数学期望(简称期望)．D (X )＝(x 1－E (X ))2·p 1＋(x 2－E (X ))2·p 2＋…＋(x i －E (X ))2·p i ＋…＋(x n －E (X ))2·p n 叫做随机变量ξ的方差．（4）性质①E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，D (aX ＋b )＝a 2D (X )； ②X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )； ③X 服从两点分布，则E (X )＝p ，D (X )＝p (1－p )． 7．正态分布若X ～N (μ，σ2)，则正态总体在三个特殊区间内取值的概率 ①P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6；②P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 4；③P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.997 4.热点一古典概型与几何概型例1 （1）在1,2,3,4共4个数字中，任取两个数字(允许重复)，其中一个数字是另一个数字的2倍的概率是________．（2）(2013·四川)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯．这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( ) A ．14 B ．12 C ．34 D ．78思维启迪 (1)符合古典概型特点，求4个数字任取两个数字的方法种数和其中一个数字是另一个数字的2倍的方法数；(2)由几何概型的特点，利用数形结合求解．思维升华 (1)解答有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，这常用到计数原理与排列、组合的相关知识．(2)在求基本事件的个数时，要准确理解基本事件的构成，这样才能保证所求事件所包含的基本事件个数的求法与基本事件总数的求法的一致性．(3)当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解．（1）(2014·广东)从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为____．（2）在区间[－3,3]上随机取一个数x ，使得函数f (x )＝1－x ＋x ＋3－1有意义的概率为________．热点二相互独立事件和独立重复试验例2 甲、乙、丙三个同学一起参加某高校组织的自主招生考试，考试分笔试和面试两部分，笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生(可在高考中加分录取)，两次考试过程相互独立．根据甲、乙、丙三个同学的平时成绩分析，甲、乙、丙三个同学能通过笔试的概率分别是0.6、0.5、0.4，能通过面试的概率分别是0.6、0.6、0.75.（1）求甲、乙、丙三个同学中恰有一人通过笔试的概率；（2）求经过两次考试后，至少有一人被该高校预录取的概率．思维启迪本题主要考查相互独立事件的概率求法，(1)的关键是利用转化与化归思想，把欲求概率的事件分解为3个互斥事件进行计算；(2)的关键是合理运用对立事件的概率公式计算求解．思维升华求相互独立事件和独立重复试验的概率的注意点：(1)求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，看复杂事件能转化为几个彼此互斥的事件的和事件还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件，然后用概率公式求解．(2)一个复杂事件若正面情况比较多，反面情况比较少，则一般利用对立事件进行求解．对于“至少”“至多”等问题往往也用这种方法求解．(3)注意辨别独立重复试验的基本特征：①在每次试验中，试验结果只有发生与不发生两种情况；②在每次试验中，事件发生的概率相同．某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A 和B ，系统A 和系统B 在任意时刻发生故障的概率分别为110和p .（1）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，求p 的值；（2）求系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率．热点三随机变量的分布列例3 (2013·辽宁)现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．（1）求张同学至少取到1道乙类题的概率；（2）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对每道甲类题的概率都是35，答对每道乙类题的概率都是45，且各题答对与否相互独立．用X 表示张同学答对题的个数，求X 的分布列和数学期望．思维启迪 (1)利用对立事件求概率；(2)计算每个X 的值所对应的概率．思维升华解答离散型随机变量的分布列及相关问题的一般思路： (1)明确随机变量可能取哪些值．(2)结合事件特点选取恰当的计算方法计算这些可能取值的概率值． (3)根据分布列和期望、方差公式求解．（1）(2013·湖北)如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X ，则X 的数学期望E (X )等于( )A ．126125B ．65C ．168125D ．75（2）某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的，记X 为该毕业生得到面试的公司个数．若P (X ＝0)＝112，则随机变量X 的数学期望E (X )＝________.概率模型的应用，需熟练掌握以下常考的五种模型：（1）基本事件的发生具有等可能性，一般可以抽象转化为古典概型问题，解决古典概型问题的关键是分清基本事件个数n 与事件A 中包含的基本事件个数m ；（2）与图形的长度、面积或体积有关的概率应用问题，一般可以应用几何概型求解，即随机事件A 的概率可用“事件A 包含的基本事件所占图形的度量(长度、面积或体积)”与“试验的基本事件所占图形的度量(长度、面积或体积)”之比表示；（3）两个事件或几个事件不能同时发生的应用问题，可转化为互斥事件来解决，解决这类问题的关键是分清事件是否互斥；（4）事件是否发生相互不影响的实际应用问题，可转化为独立事件的概率问题，其中在相同条件下独立重复多次的可转化为二项分布问题，应用独立事件同时发生的概率和二项分布公式求解；（5）有关平均值和稳定性的实际应用问题，一般可抽象为随机变量的期望与方差问题，先求出事件在各种情况下发生的概率，再应用公式求随机变量的期望和方差.真题感悟1．(2014·陕西)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为( )A ．15B ．25C ．35D ．452．(2014·浙江)已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个蓝球(m ≥3，n ≥3)，从乙盒中随机抽取i (i ＝1,2)个球放入甲盒中．（1）放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi (i ＝1,2)；（2）放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为p i (i ＝1,2)．则( )A ．p 1>p 2，E (ξ1)<E (ξ2)B ．p 1<p 2，E (ξ1)>E (ξ2)C ．p 1>p 2，E (ξ1)>E (ξ2)D ．p 1<p 2，E (ξ1)<E (ξ2) 押题精练1．有编号分别为1,2,3,4,5的5个红球和5个黑球，从中随机取出4个，则取出球的编号互不相同的概率为()A ．521B ．27C ．13D ．8212．箱中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球．从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸奖(每人一次)，则恰好有3人获奖的概率是( ) A ．16625 B ．96625 C ．624625 D ．46253．甲乙两支球队进行总决赛，比赛采用七场四胜制，即若有一队先胜四场，则此队为总冠军，比赛结束．因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为12.据以往资料统计，第一场比赛可获得门票收入40万元，以后每场比赛门票收入比上一场增加10万元．（1）求总决赛中获得门票总收入恰好为300万元的概率；（2）设总决赛中获得的门票总收入为X ，求X 的均值E (X )．(推荐时间：50分钟)一、选择题1．(2014·课标全国Ⅰ)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( ) A ．18 B ．38 C ．58 D ．782．已知菱形ABCD 的边长为4，∠ABC ＝150°，若在菱形内任取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离大于1的概率为( )A ．π4B ．1－π4C ．π8D ．1－π83．已知Ω＝{(x ，y )|⎩⎨⎧y ≥0，y ≤4－x2}，直线y ＝mx ＋2m 和曲线y ＝4－x 2有两个不同的交点，它们围成的平面区域为M ，向区域Ω上随机投一点A ，点A 落在区域M 内的概率为P (M )，若P (M )∈[π－22π，1]，则实数m 的取值范围为( )A ．[12，1]B ．[0，33]C ．[33，1] D ．[0,1]4．已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率是( ) A ．310 B ．29 C ．78 D ．795．将三个骰子各掷一次，设事件A 为“三个骰子掷出的点数都不同”，事件B 为“至少有一个骰子掷出3点”，则条件概率P (A |B )，P (B |A )分别是( )A ．6091，12B ．12，6091C ．518，6091D ．91216，126．设随机变量ξ服从正态分布N (2,9)，若P (ξ>c )＝P (ξ<c －2)，则c 的值是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 二、填空题7．(2014·江西)10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________． 8．将一枚均匀的硬币抛掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为________． 9．(2014·浙江)随机变量ξ的取值为0,1,2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________.10．连续掷一枚均匀的正方体骰子(6个面分别标有1,2,3,4,5,6)，现定义数列a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，点数不是3的倍数，1，点数是3的倍数，S n是其前n 项和，则S 5＝3的概率是________．三、解答题11．一个袋子中装有7个小球，其中红球4个，编号分别为1,2,3,4，黄球3个，编号分别为2,4,6，从袋子中任取4个小球(假设取到任一小球的可能性相等)．（1）求取出的小球中有相同编号的概率；（2）记取出的小球的最大编号为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．12．(2014·山东)乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域A ，B ，乙被划分为两个不相交的区域C ，D .某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球．规定：回球一次，落点在C 上记3分，在D 上记1分，其他情况记0分．对落点在A 上的来球，队员小明回球的落点在C 上的概率为12，在D 上的概率为13；对落点在B 上的来球，小明回球的落点在C 上的概率为15，在D 上的概率为35.假设共有两次来球且落在A ，B 上各一次，小明的两次回球互不影响．求：（1）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；（2）两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望．13．在某校教师趣味投篮比赛中，比赛规则：每场投6个球，至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖；否则不获奖．已知教师甲投进每个球的概率都是23.（1）记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X ，求X 的分布列及数学期望．（2）求教师甲在一场比赛中获奖的概率．例1 (1)14 (2)C 变式训练1 (1)16 (2)23例2 解 (1)分别记“甲、乙、丙三个同学笔试合格”为事件A 1、A 2、A 3；E 表示事件“恰有一人通过笔试”，则P (E )＝P (A 1A2A 3)＋P (A 1A 2A 3)＋P (A1A 2A 3)＝0.6×0.5×0.6＋0.4×0.5×0.6＋0.4×0.5×0.4＝0.38. 即恰有一人通过笔试的概率是0.38.(2)分别记“甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格”为事件A 、B 、C ，则P (A )＝0.6×0.6＝0.36，P (B )＝0.5×0.6＝0.3，P (C )＝0.4×0.75＝0.3.事件F 表示“甲、乙、丙三人中至少有一人被该高校预录取”．则F 表示甲、乙、丙三人均没有被该高校预录取，即F ＝A B C ，于是P (F )＝1－P (F )＝1－P (A )P (B )P (C )＝1－0.64×0.7×0.7＝0.686 4. 即经过两次考试后，至少有一人被预录取的概率是0.686 4.变式训练2 解 (1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C ，那么 1－P (C )＝1－110·p ＝4950，解得p ＝15.(2)设“系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数”为事件D .“系统A 在3次相互独立的检测中发生k 次故障”为事件D k . 则D ＝D 0＋D 1，且D 0、D 1互斥．依题意，得P (D 0)＝C 03(1－110)3，P (D 1)＝C 13·110(1－110)2，所以P (D )＝P (D 0)＋P (D 1)＝7291 000＋2431 000＝243250.所以系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率为243250.例3 解 (1)设事件A ＝“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”，则有A ＝“张同学所取的3道题都是甲类题”．因为P (A )＝C 36C 310＝16，所以P (A )＝1－P (A )＝56.(2)X 所有的可能取值为0,1,2,3.P (X ＝0)＝C 02·⎝⎛⎭⎫350·⎝⎛⎭⎫252·15＝4125；P (X ＝1)＝C 12·⎝⎛⎭⎫351·⎝⎛⎭⎫251·15＋C 02⎝⎛⎭⎫350·⎝⎛⎭⎫252·45＝28125； P (X ＝2)＝C 22·⎝⎛⎭⎫352·⎝⎛⎭⎫250·15＋C 12⎝⎛⎭⎫351·⎝⎛⎭⎫251·45＝57125；P (X ＝3)＝C 22·⎝⎛⎭⎫352·⎝⎛⎭⎫250·45＝36125. 所以X 的分布列为所以E (X )＝0×4125＋1×28125＋2×57125＋3×36125＝2.变式训练3 (1)B (2)53解析 (1)125个小正方体中8个三面涂漆，36个两面涂漆，54个一面涂漆，27个没有涂漆， ∴从中随机取一个正方体，涂漆面数X 的数学期望 E (X )＝54125×1＋36125×2＋8125×3＝150125＝65.(2)由题意知P (X ＝0)＝13(1－p )2＝112，∴p ＝12.随机变量X 的分布列为E (X )＝0×112＋1×13＋2×512＋3×16＝53.CA DB3．解 (1)依题意，每场比赛获得的门票收入组成首项为40，公差为10的等差数列．设此数列为{a n }，则易知a 1＝40，a n ＝10n ＋30，∴S n ＝n (10n ＋70)2＝300. 解得n ＝－12(舍去)或n ＝5，∴总决赛共比赛了5场．则前4场比赛的比分必为1∶3，且第5场比赛为领先的球队获胜，其概率为 C 14(12)4＝14. (2)随机变量X 可取的值为S 4，S 5，S 6，S 7，即220,300,390,490. 又P (X ＝220)＝2·(12)4＝18，P (X ＝300)＝C 14(12)4＝14， P (X ＝390)＝C 25(12)5＝516，P (X ＝490)＝C 36(12)6＝516. 所以，X 的分布列为所以X 的均值为E (X )＝220×18＋300×14＋390×516＋490×516＝377.5(万元)．DDDDAC 7．12 8．1132 9．25 10．1024311．解 (1)设取出的小球中有相同编号的事件为A ，编号相同可分成一个相同和两个相同．P (A )＝2(C 12C 13＋C 23)＋1C 47＝1935.(2)随机变量X 的可能取值为3,4,6.P (X ＝3)＝1C 47＝135，P (X ＝4)＝C 12C 34＋C 24C 47＝25，P (X ＝6)＝C 36C 47＝47. 所以随机变量X 的分布列为所以随机变量X 的数学期望E (X )＝3×135＋4×25＋6×47＝17935.12．解 (1)记A i 为事件“小明对落点在A 上的来球回球的得分为i 分”(i ＝0,1,3)，则P (A 3)＝12，P (A 1)＝13，P (A 0)＝1－12－13＝16.记B j 为事件“小明对落点在B 上的来球回球的得分为j 分”(j ＝0,1,3)，则P (B 3)＝15，P (B 1)＝35，P (B 0)＝1－15－35＝15.记D 为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”．由题意得D ＝A 3B 0＋A 1B 0＋A 0B 1＋A 0B 3，由事件的独立性和互斥性，得P (D )＝P (A 3B 0＋A 1B 0＋A 0B 1＋A 0B 3)＝P (A 3B 0)＋P (A 1B 0)＋P (A 0B 1)＋P (A 0B 3)＝P (A 3)P (B 0)＋P (A 1)P (B 0)＋P (A 0)P (B 1)＋P (A 0)P (B 3)＝12×15＋13×15＋16×35＋16×15＝310，所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为310.(2)由题意，随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3,4,6，由事件的独立性和互斥性，得 P (ξ＝0)＝P (A 0B 0)＝16×15＝130，P (ξ＝1)＝P (A 1B 0＋A 0B 1)＝P (A 1B 0)＋P (A 0B 1)＝13×15＋16×35＝16，P (ξ＝2)＝P (A 1B 1)＝13×35＝15，P (ξ＝3)＝P (A 3B 0＋A 0B 3)＝P (A 3B 0)＋P (A 0B 3)＝12×15＋16×15＝215，P (ξ＝4)＝P (A 3B 1＋A 1B 3)＝P (A 3B 1)＋P (A 1B 3)＝12×35＋13×15＝1130，P (ξ＝6)＝P (A 3B 3)＝12×15＝110.可得随机变量ξ的分布列为所以所以数学期望E (ξ)＝0×130＋1×16＋2×15＋3×215＋4×1130＋6×110＝9130.13．解 (1)X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6.依条件可知，X ～B (6，23)P (X ＝k )＝C k 6·(23)k ·(13)6－k(k ＝0,1,2,3,4,5,6) X 的分布列为E (X )＝1729(0×1＋1×12＋2×60＋3×160＋4×240＋5×192＋6×64)＝2 916729＝4.或因为X ～B (6，23)，所以E (X )＝6×23＝4.即X 的数学期望为4.(2)设教师甲在一场比赛中获奖为事件A ，则 P (A )＝C 24·(13)2·(23)4＋C 14·13·(23)5＋(23)6＝3281. 答教师甲在一场比赛中获奖的概率为3281.。

高二数学第七章直线同步练习(27套)(必修2) 人教版

高二数学第七章直线同步练习（27套）(必修2) 人教版高二数学第七章直线同步练习（27套）1．下列命题中，正确的命题是（A）直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tanα（B）直线的斜率为tanα，则此直线的倾斜角为α（C）任何一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都存在斜率（D）直线的斜率为0，则此直线的倾斜角为0或π 2．直线y=xcosα+1 (α∈R)的倾斜角的取值范围是（A）[0,?2] （B）[0, π) （C）[�C?4,?6] （D）[0,?4]∪[3?4,π)3．若直线l经过原点和点(�C3, �C3)，则直线l的倾斜角为5?5???? （A）（B）（C）或（D）�C444444．已知直线l的倾斜角为α，若cosα=�C （A）3445，则直线l的斜率为43 （B）43 （C）�C34 （D）�C5．已知直线l1: y=xsinα和直线l2: y=2x+c，则直线l1与l2 （A）通过平移可以重合（B）不可能垂直（C）可能与x轴围成等腰直角三角形（D）通过绕l1上某一点旋转可以重合6．经过A(a, b)和B(3a, 3b)(a≠0)两点的直线的斜率k= ，倾斜角α= .7．要使点A(2, cos2θ), B(sin2θ, �C23), (�C4, �C4)共线，则θ的值为 .8．已知点P(3 2)，点Q在x轴上，若直线PQ的倾斜角为150°，则点Q的坐标为 .9．若经过点A(1�Ct, 1+t)和点B(3, 2t)的直线的倾斜角为钝角，则实数t的取值范围是 .班级姓名 1 2 3 4 5 6.k= ,α= ；7. ；8. ；9. . 10.已知直线斜率的绝对值等于1，求此直线的倾斜角.11.四边形ABCD的四个顶点是A(2,3),B(1,-1),C(-1,-2),D(-2,2),求四边所在直线的斜率的倾斜角.12.（1）当且仅当m为何值时，经过两点A(-m,6)、B(1,3m)的直线的斜率是12？（2）当且仅当m为何值时，经过两点A(m,2)、B(-m,2m-1)的直线的倾斜角是60o？广水一中高二数学同步练习070211．直线l的方程为y=xtanα+2，则（A）α一定是直线的倾斜角（B）α一定不是直线的倾斜角（C）π�Cα一定是直线的倾斜角（D）α不一定是直线的倾斜角 2．直线y�C4=�C3(x+3)的倾斜角和所过的定点分别是（A）�C�C4)3．下列说法中不正确的是（A）点斜式y�Cy1=k(x�Cx1)适用于不垂直于x轴的任何直线（B）斜截式y=kx+b适用于不垂直于x轴的任何直线（C）两点式（D）截距式y?y1y2?y1xa?yb?32?35?62?3, (�C3, 4) （B）, (�C3, 4) （C）, (3, �C4) （D）, (3,?x?x1x2?x1适用于不垂直于x轴和y轴的任何直线?1适用于不过原点的任何直线y?30?2?x?5?3?14．已知直线方程：y�C2=3(x+1), 斜率相同的直线共有, y=�C13x�C4,y?4?7?4?x?2?2?4，其中（A）0条（B）2条（C）3条（D）4条 5．直线2xa2?yb2?1在x轴、y轴上的截距分别是12 （A）a2, �Cb2 （B）a2, ±b （C）6．下列四个命题中，真命题的个数是a2, �Cb2 （D）±a, ±b①经过定点P0(x0, y0)的直线，都可以用方程y�Cy0=k(x�Cx0)来表示②经过任意两点的直线，都可以用方程(y�Cy1)(x2�Cx1)=(x�Cx1)(y2�Cy1)来表示③不经过原点的直线，都可以用方程xa?yb?1来表示④经过点A(0, b)的直线，都可以用方程y=kx+b来表示（A）0个（B）1个（C）2个（D）4个 7．在y轴上的截距为�C3，倾斜角的正弦为513的直线的方程是 .8．经过点(�C3, �C2)，在两坐标轴上截距相等的直线的方程为或 .9．一条直线过点P(�C5, 4)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为5的直线的方程为 .10．经过点(2, �C1)且倾斜角比直线y=13x+43的倾斜角大45°的直线的方程为班级姓名 1 2 3 4 5 67. ； 8. 或；9. . 10. .11.已知直线的斜率k=2,P1(3,5)、P2(x2,7)、P3(-1,y3)是这条直线上的三点，求x2和y3.12.一直线经过点A(2,-3),它的倾斜角等于直线y?13.一条直线和y轴相交于点P(0,2)，它的倾斜角的正弦值为0.8，求该直线方程.14. ΔABC的顶点是A(0,5)、B(1,-2)、C(-6,4)，求BC边上的中线所在的直线方程.13求该直线方程. x的倾斜角的两倍，广水一中高二数学同步练习07012一．选择题：1．下列命题正确的是（A）若直线的斜率存在，则必有倾斜角α与它对应（B）若直线的倾斜角存在，则必有斜率与它对应（C）直线的斜率为k，则这条直线的倾斜角为arctank （D）直线的倾斜角为α，则这条直线的斜率为tanα 2．过点M(�C2, a), N(a, 4)的直线的斜率为�C （A）�C8 （B）10 （C）2 （D）43．过点A(2, b)和点B(3, �C2)的直线的倾斜角为3?412，则a等于，则b的值是（A）�C1 （B）1 （C）�C5 （D）5感谢您的阅读，祝您生活愉快。

2015届高考数学(理)二轮专题配套练习：专题7_第1讲_排列、组合与二项式定理(含答案)

第1讲排列、组合与二项式定理考情解读 1．高考中对两个计数原理、排列、组合的考查以基本概念、基本方法(如“在”“不在”问题、相邻问题、相间问题)为主，主要涉及数字问题、样品问题、几何问题、涂色问题、选取问题等；对二项式定理的考查，主要是利用通项求展开式的特定项，利用二项式定理展开式的性质求有关系数问题．主要考查分类与整合思想、转化与化归思想、补集思想和逻辑思维能力.2．排列、组合、两个计数原理往往通过实际问题进行综合考查，一般以选择、填空题的形式出现，难度中等，还经常与概率问题相结合，出现在解答题的第一或第二个小题中，难度也为中等；对于二项式定理的考查，主要出现在选择题或填空题中，难度为易或中等．1．分类加法计数原理和分步乘法计数原理如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理将方法种数相加；如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘． 2．排列与组合（1）排列：从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数公式是A m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)或写成A m n ＝n ！(n －m )！.（2）组合：从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素组成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数公式是 C m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！或写成C mn ＝n ！m ！(n －m )！.（3）组合数的性质①C m n ＝C n －m n ；②C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n. 3．二项式定理（1）二项式定理：(a ＋b )n ＝C 0n a n b 0＋C 1n a n －1b ＋C 2n a n －2b 2＋…＋C r n an －r b r ＋…＋C n n a 0b n(r ＝0,1,2，…，n )．（2）二项展开式的通项T r ＋1＝C r n an －r b r ，r ＝0,1,2，…，n ，其中C r n 叫做二项式系数．（3）二项式系数的性质①对称性：与首末两端“等距离”两项的二项式系数相等，即C 0n ＝C n n ，C 1n ＝C n －1n ，…，C k n ＝C n －kn ，….②最大值：当n 为偶数时，中间的一项的二项式系数2n nC 取得最大值；当n 为奇数时，中间的两项的二项式系数12n nC-，12n nC+相等，且同时取得最大值． ③各二项式系数的和a ．C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C k n ＋…＋C n n ＝2n；b ．C 0n ＋C 2n ＋…＋C 2r n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋…＋C 2r ＋1n＋…＝12·2n ＝2n －1.热点一两个计数原理例1 （1）将1,2,3，…，9这9个数字填在如图的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大．当3,4固定在图中的位置时，填写空格的方法为()A ．6种B ．12种C ．18种D ．24种（2）如果一个三位正整数“a 1a 2a 3”满足a 1<a 2且a 3<a 2，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275)，那么所有凸数的个数为( )A ．240B ．204C ．729D ．920思维启迪 (1)先确定数字1,2,9的位置，再分步填写空格；(2)按中间数进行分类．思维升华 (1)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理．(2)对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化．（1）(2014·大纲全国)有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( )A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种（2）已知函数f (x )＝ln(x 2＋1)的值域为{0,1,2}，则满足这样条件的函数的个数为( ) A ．8 B ．9 C ．26 D ．27热点二排列与组合例2 （1）(2014·重庆)某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( ) A ．72 B ．120 C ．144 D ．168（2）数列{a n }共有12项，其中a 1＝0，a 5＝2，a 12＝5，且|a k ＋1－a k |＝1，k ＝1,2,3，…，11，则满足这种条件的不同数列的个数为( )A ．84B ．168C ．76D ．152思维启迪 (1)将不能相邻的节目插空安排；(2)考虑数列中项的增减变化次数．思维升华解排列、组合的应用题，通常有以下途径：(1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素． (2)以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．（1）在航天员进行的一项太空实验中，先后要实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一步或最后一步，程序B 和C 实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有( ) A ．24种 B ．48种 C ．96种 D ．144种（2）从0,1,2,3,4中任取四个数字组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数是________(用数字作答)．热点三二项式定理例3 （1）(3x －2x )8二项展开式中的常数项为( )A ．56B ．－56C ．112D ．－112（2）如果(1＋x ＋x 2)(x －a )5(a 为实常数)的展开式中所有项的系数和为0，则展开式中含x 4项的系数为________．思维启迪 (1)利用通项公式求常数项；(2)可用赋值法求二项展开式所有项的系数和．思维升华 (1)在应用通项公式时，要注意以下几点：①它表示二项展开式的任意项，只要n 与r 确定，该项就随之确定； ②T r ＋1是展开式中的第r ＋1项，而不是第r 项；③公式中，a ，b 的指数和为n 且a ，b 不能随便颠倒位置； ④对二项式(a －b )n 展开式的通项公式要特别注意符号问题．(2)在二项式定理的应用中，“赋值思想”是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法．（1）(2014·湖北)若二项式(2x ＋a x )7的展开式中1x3的系数是84，则实数a 等于( )A ．2B ．54 C ．1 D ．24（2）(2014·浙江)在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n项的系数为f (m ，n )，则f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)等于( )A ．45B ．60C ．120D ．2101．排列、组合应用题的解题策略（1）在解决具体问题时，首先必须弄清楚是“分类”还是“分步”，接着还要搞清楚“分类”或者“分步”的具体标准是什么．（2）区分某一问题是排列问题还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关．若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题；若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题．也就是说排列问题与选取元素的顺序有关，组合问题与选取元素的顺序无关．（3）排列、组合综合应用问题的常见解法：①特殊元素(特殊位置)优先安排法；②合理分类与准确分步；③排列、组合混合问题先选后排法；④相邻问题捆绑法；⑤不相邻问题插空法；⑥定序问题倍缩法；⑦多排问题一排法；⑧“小集团”问题先整体后局部法；⑨构造模型法；⑩正难则反、等价转化法． 2．二项式定理是一个恒等式，对待恒等式通常有两种思路一是利用恒等定理(两个多项式恒等，则对应项系数相等)；二是赋值．这两种思路相结合可以使得二项展开式的系数问题迎刃而解．另外，通项公式主要用于求二项式的指数，求满足条件的项或系数，求展开式的某一项或系数，在运用公式时要注意以下几点：（1）C r n an －r b r是第r ＋1项，而不是第r 项．（2）运用通项公式T r ＋1＝C r n an －r b r 解题，一般都需先转化为方程(组)求出n 、r ，然后代入通项公式求解．（3）求展开式的特殊项，通常都是由题意列方程求出r ，再求出所需的某项；有时需先求n ，计算时要注意n和r 的取值范围及它们之间的大小关系.真题感悟1．(2014·浙江)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答)．2．(2014·山东)若(ax 2＋b x )6的展开式中x 3项的系数为20，则a 2＋b 2的最小值为________．押题精练1．给一个正方体的六个面涂上4种不同的颜色(红、黄、绿、蓝)，要求相邻2个面涂不同的颜色，则所有涂色方法的种数为( ) A ．6 B ．12 C ．24 D ．482．某电视台一节目收视率很高，现要连续插播4个广告，其中2个不同的商业广告和2个不同的公益宣传广告，要求最后播放的必须是商业广告，且2个商业广告不能连续播放，则不同的播放方式有( ) A ．8种 B ．16种 C ．18种 D ．24种 3．(x ＋13x)2n 的展开式中第6项的二项式系数最大，则其常数项为( )A ．120B ．252C ．210D ．454．若(1－2x )2 014＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 014x 2 014，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01422 014的值为( )A ．2B ．0C ．－1D ．－2(推荐时间：60分钟)一、选择题1．(2014·安徽)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有( ) A ．24对 B ．30对 C ．48对 D ．60对 2．在(x －2x)5的二项展开式中，x 2的系数为( ) A ．40 B ．－40 C ．80 D ．－803．从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为( )A ．224B ．112C ．56D ．284．若(1＋2x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则a 0＋a 1＋a 3＋a 5的值为( ) A ．122 B ．123 C ．243 D ．2445．(2014·四川)在x (1＋x )6的展开式中，含x 3项的系数为( ) A ．30 B ．20 C ．15 D ．106．计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的排列方式的种数有( )A ．A 44A 55B ．A 33A 44A 35C ．C 13A 44A 55D ．A 22A 44A 557．二项式(x －13x)n 的展开式中第4项为常数项，则常数项为( )8．有A 、B 、C 、D 、E 五位学生参加网页设计比赛，决出了第一到第五的名次．A 、B 两位学生去问成绩，老师对A 说：你的名次不知道，但肯定没得第一名；又对B 说：你是第三名．请你分析一下，这五位学生的名次排列的种数为( )A ．6B ．18C ．20D ．249．在二项式(x 2－1x )n 的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为( )A ．32B ．－32C ．0D ．110．用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，则所有涂色方法的种数为( ) A ．60 B ．80 C ．120 D ．260二、填空题11．“雾霾治理”“光盘行动”“网络反腐”“法治中国”“先看病后付费”成为2013年社会关注的五个焦点．小王想利用2014“五一”假期的时间调查一下社会对这些热点的关注度．若小王准备按照顺序分别调查其中的4个热点，则“雾霾治理”作为其中的一个调查热点，但不作为第一个调查热点的调查顺序总数为________．12．(x －1)(4x 2＋1x2－4)3的展开式中的常数项为________．13．(2014·北京)把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品B 相邻，且产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有________种．14．(2014·课标全国Ⅱ)(x ＋a )10的展开式中，x 7的系数为15，则a ＝________.(用数字填写答案)15．某工厂将甲、乙等五名新招聘员工分配到三个不同的车间，每个车间至少分配一名员工，且甲、乙两名员工必须分到同一个车间，则不同分法的种数为________．16．已知(x ＋a x)6(a >0)的展开式中常数项为240，则(x ＋a )(x －2a )2的展开式中x 2项的系数为________．例1 (1)A (2)A 变式训练1 (1)C (2)B 例2 (1)B (2)A 变式训练2 (1)C (2)60 例3 (1)C (2)－5 变式训练3 (1)C (2)C1．60 2．2 1．A 2．A 3．C 4．C1 215．36 16．－6CABBC DBBCD 11．72 12．160 13．36 14．。

2015年高二下学期期末考试数学试题

2015年高二下学期期末考试数学(理科）试题第Ｉ卷（选择题共50分）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的，请将正确的选项涂写在答题卡上。

）1、已知随机变量X～B(6,0.4),则当η=-2X+1时,D(η)=().A.-1.88B.-2.88C.5.76D.6.762、已知一次考试共有60名同学参加,考生成绩X～N(110,52),据此估计,大约有57人的分数所在的区间为( ).A.(90,100]B.(95,125]C.(100,120]D.(105,115]3、曲线f(x)＝e2x在点(0，1)处的切线方程为( )A．y＝12x＋1 B．y＝－2x＋1 C．y＝2x＋1 D．y＝2x－14．某工厂为了调查工人文化程度与月收入的关系，随机抽取了部分工人，得到如下列表：文化程度与月收入列表（单位：人）月收入2000元以下月收入2000元及以上总计高中文化以104555由上表中数据计算得2K =()21051030204555503075⨯⨯-⨯⨯⨯⨯≈6.109，请根据下表，估计有多大把握认为“文化程度与月收入有关系” （）A ．1％B ．99％C ．2.5％D ．97.5％ 5、((6411的展开式中x 的系数是（）A ．-4B ．-3C ．3D ．46、下列命题中，正确的命题个数 ( )①用相关系数r 来判断两个变量的相关性时，r 越接近0，说明两个变量有较强的相关性；②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变；③设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，若P(ξ＞1)＝p，则P(－1＜ξ≤0)＝12－p；④回归直线一定过样本点的中心(x，y)．A．1个B．2个 C．3个 D．4个7、某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为（）Ａ．60 Ｂ．90 Ｃ．120 Ｄ．1808、二项展开式(2x－1)10中x的奇次幂项的系数之和为( )A.1＋3102B.1－3102C.310－12D．－1＋31029、一个电路如图所示， C、D、E、F为6个开关，其闭合的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率是( )A. 916 B. 716C. 1316D. 31610、函数()f x 是定义域为R 的函数，对任意实数x 都有()(2)f x f x =-成立．若当1x ≠时，不等式(1)()0x f x '-⋅<成立，设(0.5)a f =，4()3b f =，(3)c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．b a c >> B ．c b a >> C ．a b c >> D ．b c a >>第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。

2015届高二理科数学综合练习题

2015高二第二学期期末理科数学综合练习题一、本题共10个小题，每小题4分，共40分.每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求. 1．复数2()2iz i i-=+为虚数单位在复平面内对应的点所在象限为（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．已知变量x y ,满足约束条件21110x y x y y ,,.⎧+≥⎪-≤⎨⎪-≤⎩则2z x y =-的最大值为（）A ．－3B ．0C ．1D ．3 3．某程序框图如图1所示，则输出的结果S =（）A ．26B ．57C ．120D ．247 4．函数()|2|ln f x x x =--在定义域内的零点的个数为（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 5．函数2()ln(1)f x x x=+-+1的零点所在的大致区间是（）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,)eD ．(3,4)6．若2.18.0=a ，3log 2=b ，6log 4=c ，则下列结论正确的是A ．b ＜a ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．a ＜b ＜c7．设43322log 3,2,3ab c -===，则（）A ．b a c <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．a c b <<8．已知双曲线C ：22221(0,0)y x a b a b-=>>的一条渐近线方程为x y 5=,它的一个焦点在抛物线y x 242-=的准线上,则双曲线的方程为（）A ．163022=-x y B ．163022=-y x C ．130622=-x y D ．130622=-y x 9．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,||2A πϕ><）的图象如图所示，为了得到x x g 2sin )(=的图象，则只要将()f x 的图象（）A ．向右平移6π个单位长度 B 向右平移12π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度 D ．向左平移12π个单位长度10．在R 上定义运算).1(:y x y x -=⊗⊗若对任意2x >，不等式()2x a x a -⊗≤+都成立，则实数a 的取值范围是（）A ．17,⎡⎤-⎣⎦B ．(3,⎤-∞⎦C ．(7,⎤-∞⎦D ．()17,,⎤⎡-∞-+∞⎦⎣二、填空题11．一支田径队有男运动员 56 人，女运动员 42 人，若用分层抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为 28 的样本，则样本中女运动员的人数为人．12．设全集为R ,集合112xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭,{}2|680B x x x =-+≤,则R A C B =________．13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为14．若二项式72a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中31x 的系数是84，则实数a =15．在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若2b =，3B π=且sin 3cos c A a C =，则△ABC 的面积为 ____16. 如图，在矩形ABCD 中，22AB BC ==，，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若2AB AF ⋅=，则AE BF ⋅的值是 ____________ 三、解答题：17.（本小题满分13分）设2()sin(2)2sin 6f x x x π=++.（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期、最大值及取得最大值时的x 集合；（Ⅱ）设ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1)2(=cf ，6,31cos ==c B ，求b ．18.（本小题满分13分）某大学4名同学去参加上海世博会志愿者服务，每名同学都是从甲、乙、丙三个场馆中随机选择一个，且每人的选择相互独立。

2015届高考数学总复习第七章第四节直线与圆、圆与圆的位置关系课时精练试题文(含解析)

1．(2012·广州一模)已知直线l ：x ＋y ＝m 经过原点，则直线l 被圆x 2＋y 2－2y ＝0截得的弦长是( )A ．1 B. 2 C. 3 D ．2解析：由已知得m ＝0，圆心坐标为P (0,1)，点P 到直线x ＋y ＝0的距离为d ＝22，圆的半径为r ＝1，所以弦长为2r 2－d 2＝21－12＝ 2.故选B. 答案：B2．(2013·广州一模)直线x －3y ＝0截圆(x －2)2＋y 2＝4所得劣弧所对的圆心角是( )A.π6B.π3C.π2D.2π3解析：圆心到直线的距离是：d ＝|2|1＋－32＝1，可见d ＝r2，所以劣弧所对的圆心角的一半是π3，圆心角是2π3.答案：D3．(2013·广东卷)垂直于直线y ＝x ＋1且与圆x 2＋y 2＝1相切于第一象限的直线方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x ＋y ＋1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋2＝0解析：因为所求直线与圆相切，所以圆心到直线的距离r ＝1，排除B 、C ；相切于第一象限排除D ，故选A.另法：设所求的直线方程为：y ＝－x ＋k (k ＞0)，由圆心到直线的距离r ＝1，求得k ＝ 2.故选A.答案：A4．(2012·烟台期末)直线2x －y －3＝0与y 轴的交点为P ，点P 把圆(x －1)2＋y 2＝25的直径分为两段，则其长度之比为( )A.73或37B.74或47C.75或57D.76或67解析：点P 的坐标为(0，－3)，设圆心为C ，点P 与圆心C (1,0)之间的距离为|PC |＝12＋－32＝2，由圆的半径为5，所以直径被分成两段的长度分别为5＋2＝7和5－2＝3.故选A.答案：A5．(2013·烟台四校联考)直线y ＝x －1上的点到圆x 2＋y 2＋4x －2y ＋4＝0上的点的最近距离是( )A ．± 2 B.2－1 C ．22－1 D ．1解析：圆心坐标为(－2,1)，则圆心到直线y ＝x －1的距离d ＝|－2－1－1|2＝22，又圆的半径为1，则圆上的点到直线的最短距离为22－1.答案：C6．圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y ＋1)2＝8116与圆(x －sin θ)2＋(y －1)2＝116(θ为锐角)的位置关系是( )A ．相离B ．外切C ．内切D ．相交解析：两圆圆心之间的距离d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ＋122＋＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ＋122＋4，因为θ为锐角，所以0<sin θ<1，12<sin θ＋12<32，174<⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ＋122＋4<254，所以172<d <52，又两圆的半径之和为52，两圆的半径之差的绝对值为2，所以两圆相交．答案：D7．(2013·浙江省重点中学协作体高三摸底测试)若a 2＋b 2＝2c 2(c ≠0)，则直线ax ＋by＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( )A.12 B ．1 C.22 D. 2解析：因为圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离d ＝|c |a 2＋b 2＝|c |2|c |＝22，所以直线被圆所截的半弦长为1－⎝⎛⎭⎪⎫222＝22，所以弦长为 2.故选D. 答案：D8．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a >0)的公共弦长为23，则a ＝________.解析：方程x 2＋y 2＋2ay －6＝0与x 2＋y 2＝4.相减得2ay ＝2，则y ＝1a.由已知条件22－32＝1a，即a ＝1.答案：19．(2012·三明质检)已知圆C ：x 2＋y 2－6x －6y ＋17＝0，过原点的直线l 被圆C 所截得的弦长最长，则直线l 的方程是_______________．解析：因为圆的最长弦为圆的直径，所以直线l 经过圆的圆心(3,3)，因为直线l 过原点，所以其方程为x －y ＝0.答案：x －y ＝010．(2012·江门调研测试)已知点A (－1,1)和圆C ：(x －5)2＋(y －7)2＝4，从点A 发出的一束光线经过x 轴反射到圆C 的最短路程是______________．解析：点A 关于x 轴的对称点为A ′(－1，－1)，又圆心坐标为C (5,7)，圆的半径r ＝2，根据几何光学的性质，所求的最短路程为|A ′C |－r ＝－1－2＋－1－2－2＝8.答案：811．(2013·深圳一模)设集合A ＝{(x ，y )|(x －4)2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|(x －t )2＋(y－at ＋2)2＝1}，如果命题“∃t ∈R ，A ∩B ≠∅”是真命题，则实数a 的取值范围是________________．解析：由题意知，A ＝{(x ，y )|(x －4)2＋y 2＝1}，表示平面坐标系中以M (4,0)为圆心，半径为1的圆，B ＝{(x ，y )|(x －t )2＋(y －at ＋2)2＝1}，表示以N (t ，at －2)为圆心，半径为1的圆，且其圆心N 在直线ax －y －2＝0上．如果命题“∃t ∈R ，A ∩B ≠∅”是真命题，即两圆有公共点，则圆心M 到直线ax －y －2＝0的距离不大于2，即|4a －2|a 2＋1≤2，解得0≤a ≤43.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，4312．如图，圆O 1与圆O 2的半径都是1，|O 1O 2|＝4，过动点P 分别作圆O 1，圆O 2的切线PM ，PN (M ，N 分别为切点)，使得|PM |＝2|PN |.试建立适当的坐标系，并求动点 P 的轨迹方程．解析：以直线O 1O 2为x 轴，线段O 1O 2的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，则两圆心分别为O 1(－2,0)，O 2(2,0)．设P (x ，y )，则|PM |2＝|O 1P |2－|O 1M |2＝(x ＋2)2＋y 2－1，同理|PN |2＝(x －2)2＋y 2－1. ∵|PM |＝2|PN |，∴(x ＋2)2＋y 2－1＝2[(x －2)2＋y 2－1]，即x 2－12x ＋y 2＋3＝0，即(x －6)2＋y 2＝33.这就是动点P 的轨迹方程．13．圆经过点A (2，－3)和B (－2，－5)． (1)若圆的面积最小，求圆的方程；(2)若圆心在直线x －2y －3＝0上，求圆的方程．解析：(1)要使圆的面积最小，则AB 为圆的直径，圆心C (0，－4)，半径r ＝12|AB |＝5，所以所求圆的方程为：x 2＋(y ＋4)2＝5.(2)(法一)因为k AB ＝12，AB 中点为(0，－4)，所以AB 中垂线方程为y ＋4＝－2x ，即2x ＋y ＋4＝0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＋4＝0，x －2y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2. 所以圆心为(－1，－2)．根据两点间的距离公式得，半径r ＝10，因此，所求的圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.(法二)设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，根据已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋－3－b 2＝r 2，－2－a 2＋－5－b 2＝r 2，a －2b －3＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，r 2＝10.所以所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.14．(2013·四川卷)已知圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝4，点O 是坐标原点．直线l ：y ＝kx 与圆C 交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)设Q (m ，n )是线段MN 上的点，且2|OQ |＝1|OM |＋1|ON |.请将n 表示为m 的函数．解析：(1)将y ＝kx 代入x 2＋(y －4)2＝4得，(1＋k 2)x 2－8kx ＋12＝0，(*)Δ＝(－8k )2－4(1＋k )2×12＞0得k 2＞3 .所以k 的取值范围是(－∞，－3)∪(3，＋∞)．(2)因为M 、N 在直线l 上，可设点M 、N 的坐标分别为(x 1，kx 1)，(x 2，kx 2)，则|OM |2＝(1＋k 2)x 21，|ON |2＝(1＋k 2)x 22，又|OQ |2＝m 2＋n 2＝(1＋k 2)m 2,由2|OQ |2＝1|OM |2＋1|ON |2得，2＋k 2m 2＝1＋k 2x 21＋1＋k 2x 22，所以2m 2＝1x 21＋1x 22＝x 1＋x 32－2x 1x 2x 21x 22由(*)知x 1＋x 2＝8k 1＋k 2，x 1x 2＝121＋k 2，所以m 2＝365k 2－3，因为点Q 在直线l 上，所以k ＝n m ，代入m 2＝365k 2－3并化简可得5n 2－3m 2＝36,由m 2＝365k 2－3及k 2＞3得0＜m 2＜3，即m ∈(－3，0)∪(0，3).依题意，点Q 在圆C 内，则n ＞0，所以n ＝36＋3m 25＝15m 2＋1805，所以，n 与m 的函数关系为n ＝15m 2＋1805(m ∈(－3，0)∪(0，3))．。

2015高二第二学期期末综合考试试题数学

2015届高二第二学期期末综合练习题数学（文）一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的） 1.i 是虚数单位，复数31ii--= A.i 21+ B.12i - C.2i + D.2i -2.实数x ，y 满足条件24250,,x x y x y ⎧≥⎪+≤⎨⎪-++≥⎩，则目标函数y x z +=3的最大值为A ．7B ．8C ．10D ．113.“lg ,lg ,lg x y z 成等差数列”是“2y xz =”成立的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4.阅读右面的程序框图，则输出的S =A ．14B ．30C ．20D ．555.设2log 3a =，4log 3b =， 1.21()2c =，则它们的大小关系是A. b a c <<B.b c a <<C.c a b <<D. a b c << 6.将函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=65cos πx y 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图像向左平移3π个单位，则所得函数图像对应的解析式是 A.cos(24x y π=- B. cos(26y x π=- C. sin 2y x = D.2cos()23x y π=- 7.已知函数120()()f x x x =>，若对于任意02(,)πα∈，都有1402(tan )()cos ()tan f f αββπα+≥≤≤成立，则β的取值范围是Ａ．5,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦Ｂ．11,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦Ｃ．50,,233πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦Ｄ. 110,,266πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣8.已知函数5(4)4(6),()2(6)x a x x f x a x -⎧-+≤⎪=⎨⎪>⎩(0,1)a a >≠.若数列{}n a 满足()n a f n =且1n n a a +>*,n N ∈，则实数a 的取值范围是Ａ．()7,8 Ｂ．[)7,8 Ｃ．()4,8 Ｄ．(1二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.已知集合{||2|3}M x x =-≤，集合3=<02x N x Rx ⎧-⎫∈⎨⎬+⎩⎭，则集合M NPC第11题图频率0.010.02a10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .11.如图，CB 是⊙O 的直径，AP 是⊙O 的切线，A 为切点，AP 与CB 的延长线交于点P ．若10=PA ，5=PB ，则AB 的长为 .12.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率e =22(0)y px p =>的准线交点的纵坐标为6 ，则正数p 的值为 .13.已知函数2()2||1f x x x =-++，若2(log )(3)f m f >，则实数m 的取值范围是 .14.已知点M 为等边三角形ABC 的中心,=2AB ,直线l 过点M 交边AB 于点P ，交边AC 于点Q ，则BQ CP ⋅的最大值为 .三.解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分13分）某校从高一年级学生中随机抽取40名学生作为样本，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：[)50,40，[)60,50，…，[]100,90后得到如图的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中实数a 的值；（Ⅱ）若该校高一年级共有学生500人，试估计该校高一年级在这次考试中成绩不低于60分的人数； (Ⅲ)若从样本中数学成绩在[)40,50与[]90,100两个分数段内的学生中随机选取两名学生,试用列举法求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率.16．（本小题满分13分）已知函数2()cos 2cos 1f x x x x =-+（Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）在ABC ∆中，若(22A f =,1b =，2c =，求a 的值.17.(本小题满分13分）已知在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ,AD CD ⊥,22PA PD AD BC CD ====，,E F 分别是,AD PC 的中点.(Ⅰ)求证AD PBE ⊥平面； (Ⅱ)求证//PA BEF 平面； (Ⅲ)若PB AD =，求二面角F BE C --的大小.18．（本小题满分13分）已知数列}{n a 的首项为1，对任意的n ∈*N ，定义n n n a a b -=+1.（Ⅰ）若1n b n =+，(i)求3a 的值和数列}{n a 的通项公式； (ii)求数列1{}na 的前n 项和n S ；（Ⅱ）若12()n n nb b b n N *++=∈，且122,3b b ==，求数列{}n b 的前3n 项的和.19．（本小题满分14分）已知函数()ln f x x x =，2()(3)xg x x ax e =-+-⋅（其中a 实数,e 是自然对数的底数）．（Ⅰ）当5a =时，求函数()y g x =在点(1,)e 处的切线方程；（Ⅱ）求()f x 在区间[,2](0)t t t +>上的最小值；(Ⅲ) 若存在．．11212,[,]()x x e e x x -∈≠，使方程()2()x g x e f x =成立，求实数a 的取值范围.20．（本小题满分14分）已知中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆过点P ，且它的离心率21=e . （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）与圆22(1)1x y -+=相切的直线t kx y l +=：交椭圆于N M ，两点，若椭圆上一点C 满足OC ON OM λ=+，求实数λ的取值范围.频率a2013年天津市十二区县重点高中高三毕业班联考（一）数学试卷（文科）评分标准一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C ABDDAC二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．{}-1<3x x ≤ ；10．π3108+； 11． 12．4；13．1(,8)8；14．229-三.解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）某校从高一年级学生中随机抽取40名学生作为样本，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[)50,40，[)60,50，…，[]100,90后得到如图的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中实数a 的值；（Ⅱ）若该校高一年级共有学生500人，试估计该校高一年级在这次考试中成绩不低于60分的人数．(Ⅲ)若从样本中数学成绩在[)40,50与[]90,100两个分数段内的学生中随机选取两名学生，试用列举法求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率； 15．解：（Ⅰ）由005010210025011.....a +++++=可得003.a = …………2分（Ⅱ）数学成绩不低于60分的概率为:020*********.....+++=……4分数学成绩不低于60分的人数为500085425.⨯=人 ……5分(Ⅲ)数学成绩在[)40,50的学生人数：400052.⨯=人 ……6分数学成绩在[)40,50的学生人数： 40014.⨯=人 ……7分设数学成绩在[)40,50的学生为12,A A ，数学成绩在[]90,100的学生为3456,,,A A A A …………8分两名学生的结果为：1213141516{,},{,},{,},{,},{,}A A A A A A A A A A ，23242526343536{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},A A A A A A A A A A A A A A454656{,},{,},{,}A A A A A A…………10分共15种； …………11分其中两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的情况有{}12,A A ，{}34,A A ，{}35,A A ，{}36,A A ，{}45,A A ，{}46,A A ，{}56,A A 共7种， …………12分因此，抽取的两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率为715…………13分16．（本小题满分13分）已知函数2()cos 2cos 1f x x x x =-+（Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）在ABC ∆中，若()22Af =,1b =，2c =，求a 的值.16．解：（Ⅰ）22()sin cos f x x x =- …………2分226sin()x π=-…………4分2T ππω== ………………5分由222262k x k πππππ-≤-≤+得，63k x k ππππ-≤≤+(Z k ∈).，……7分故)(x f 的单调递增区间为63,k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(Z k ∈). ………………8分（Ⅱ）22Af =(),则2sin()26A π-=⇒sin()16A π-= …………9分22,2,623A k A k k Z πππππ∴-=+=+∈ …………10分又20,3A A ππ<<∴=………………………11分 2222cos 7a b c bc A =+-=…………12分a ∴=… ……………………13分17．(本小题满分13分）已知在四棱锥P-ABCD 中，//AD BC ,AD CD ⊥,PA=PD=AD=2BC=2CD ，E,F 分别是AD,PC 的中点，(Ⅰ)求证D BE A P ⊥平面； (Ⅱ) 证明PA//BEF 平面；(Ⅲ)若PB=AD ，求二面角F-BE-C 的大小.17．(Ⅰ) 证明:由已知得//ED BC ED BC =，，故BCDE 是平行四边形，所以//BE CD BE CD =，，---------1分因为AD CD ⊥，所以BE AD ⊥, ---------2分由PA=PD 及E 是AD 的中点，得PE AD ⊥, ---------3分又因为BEPE E =,所以D BE A P ⊥平面. ---------4分(Ⅱ) 证明:连接AC 交EB 于G ,再连接FG ,由E 是AD 的中点及//BE CD ，知G 是BF 的中点，又F 是PC 的中点，故//FG PA ， ---------5分又因为,FG BEF PA BEF ⊂⊄平面平面，所以PA//BEF 平面. ---------7分 (Ⅲ)解：设PA=PD=AD=2BC=2CD 2a =,则PF =，又2PB AD a ==，EB CD a ==，故222PB PE BE =+即PE BE ⊥， ---------8分又因为BE AD ⊥，ADPE E =，所以BE PAD ⊥平面，得BE PA ⊥，故BE FG ⊥， ---------10分取CD 中点H ，连接,FH GH ,可知//GH AD ,因此GH BE ⊥, ---------11分综上可知FGH ∠为二面角F-BE-C 的平面角. ---------12分可知111=,,222FG PA a FH PD a GH AD a =====，故=60FGH ∠,所以二面角F-BE-C 等于60 . ---------13分18．（本小题满分13分）已知数列}{n a 的首项为1，对任意的n ∈*N ，定义n n n a a b -=+1.（Ⅰ）若1n b n =+，(i)求3a 的值和数列}{n a 的通项公式； (ii)求数列1{}na 的前n 项和n S ；（Ⅱ）若12()n n nb b b n N *++=∈，且122,3b b ==，求数列{}n b 的前3n 项的和.18．(Ⅰ) 解：(i)11a =,211123a a b =+=+=,322336a a b =+=+= ………………2分.由1a a n -=+得当2n ≥时，121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++- 1121n a b b b -=++++=(1)2n n +………4分而11a =适合上式，所以(1)()2n n n a n N *+=∈.………………5分(ii)由(i)得：12112()(1)1n a n n n n ==-++ ……………6分 1231111n nS a a a a =++++ 11111112(1)2()2()2()223231n n =-+-+-++-+……………7分122(1)11nn n =-=++ …………8分 (Ⅱ)解：因为对任意的n ∈*N 有54643431n n n n n n n n b b b b b b b b +++++++====，所以数列{}n b 各项的值重复出现，周期为6. …………9分又数列}{n b 的前6项分别为3112232233,,,,,，且这六个数的和为8. ……………10分设数列{}n b 的前n 项和为n S ，则，当2()n k k =∈*N 时，36123456()8n k S S k b b b b b b k ==+++++=， ……………11分当21()n k k =+∈*N 时，363123456616263()n k k k k S S k b b b b b b b b b ++++==++++++++12313882k b b b k =+++=+ ， …………12分当1n =时3132S =所以，当n 为偶数时，34n S n =；当n 为奇数时，3542n S n =+. ……………13分19．（本小题满分14分）已知函数()ln f x x x =，2()(3)xg x x ax e =-+-⋅（其中a 是实常数,e 是自然对数的底数）．（Ⅰ）当5a =时，求函数()y g x =在点(1,)e 处的切线方程；（Ⅱ）求()f x 在区间[,2](0)t t t +>上的最小值；(Ⅲ) 若存在．．11212,[,]()x x e e x x -∈≠，使方程()2()xg x e f x =成立，求实数a 的取值范围. 19．解：（Ⅰ）当5a =时2()(53)x g x x x e =-+-⋅，2()(32)xg x x x e '=-++⋅┈┈1分故切线的斜率为(1)4g e '=， ┈┈┈┈ 2分所以切线方程为：4(1)y e e x -=-，即430ex y e --=. ┈┈┈┈ 3分令()0f x '=，得1x e= ┈┈┈┈ 4分 ①当et 1≥时，在区间(,2)t t +上，()0f x '>，()f x 为增函数，所以min ()()ln f x f t t t == ┈┈┈┈ 5分 ②当10t e <<时，在区间1(,)t e上()0f x '<，()f x 为减函数，┈┈┈┈ 6分在区间1(,)e e上()0f x '>，()f x 为增函数，┈┈┈┈ 7分所以min 11()(f x f e e==-┈┈┈┈ 8分 (Ⅲ) 由()2()xg x e f x =可得223ln x x x ax =-+-32ln a x x x=++， ┈┈┈┈ 9分令32()ln hx x x x=++， 22)1)(3(321)(xx x x x x h -+=-+=' ┈┈┈┈ 10分 x11(,)e1 1(,)e )(x h ' -+()h x单调递减极小值（最小值）单调递增┈┈┈┈ 12分1132()h e e e =+-，14()h =，32()h e e e=++ 12420()()h e h e e e -=-+< ┈┈┈┈ 13分∴实数a 的取值范围为342(,]e e++20．（本小题满分14分）已知中心在坐标原点，焦点在的椭圆过点P ，且它的离心率1=e .（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）与圆22(1)1x y -+=相切的直线t kx y l +=：交椭圆于N M ，两点，若椭圆上一点C 满足OM λ=+，求实数λ的取值范围.20．解：(Ⅰ) 设椭圆的标准方程为)0(12222>>=+b a by a x ┈┈┈┈┈┈┈ 1分由已知得：2222243112a b c a c a b ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩ 解得 2286a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分所以椭圆的标准方程为： 22186x y += ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 5分 (Ⅱ) 因为直线l ：y kx t =+与圆22(1)1x y -+=相切2112(0)t k t t -=⇒=≠ ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 6分把t kx y +=代入22186x y +=并整理得： 222(34)8(424)0k x ktx t +++-=┈7分设),(,),(2211y x N y x M ，则有 221438k kt x x +-=+ 22121214362)(k t t x x k t kx t kx y y +=++=+++=+ ┈┈┈┈┈┈┈┈ 8分因为，),(2121y y x x OC ++=λ，所以，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-λλ)43(6,)43(822k t k kt C ┈┈ 9分又因为点C 在椭圆上，所以，222222222861(34)(34)k t t k k λλ+=++ ┈┈┈┈┈ 10分 222222221134()()1t k t t λ⇒==+++ ┈┈┈┈┈ 12分因为 02>t 所以 11)1()1(222>++t t ┈┈┈┈┈ 13分所以 202λ<<，所以 λ的取值范围为(0)(0,2) ┈┈┈┈ 14分。

2015届高考数学总复习第七章第六节椭圆(二)课时精练试题文(含解析)

1．椭圆的焦点坐标为(－5,0)和(5,0)，椭圆上一点与两焦点的距离和是26，则椭圆的方程为( )A.x 2169＋y 2144＝1B.x 2144＋y 2169＝1 C.x 2169＋y 225＝1 D.x 2144＋y 225＝1解析：由题意知a ＝13，c ＝5，所以b 2＝a 2－c 2＝144.又因为椭圆的焦点在x 轴上，所以椭圆方程为x 2169＋y 2144＝1.故选A.答案：A2．已知A 、B 为椭圆C ：x 2m ＋1＋y 2m＝1的长轴的两个端点，P 是椭圆C 上的动点，且∠APB的最大值是2π3，则实数m 的值是( )A.13B.12C.33D.32解析：由椭圆知识知，当点P 位于短轴的端点时，∠APB 取得最大值，根据题意则有tan π3＝m ＋1m⇒m ＝12. 答案：B3.设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为35，且点⎝⎛⎭⎪⎫4，125在椭圆上，则以椭圆的左、右焦点及短轴上的两个顶点为顶点的四边形的周长为 ( )A ．22B ．24C ．20D ．10答案：C4．如图所示，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝12，左焦点为F ，A ，B ， C 为其三个顶点，直线CF 与AB 交于D 点，则tan∠BDC 的值等于( )A ．3 3B ．－3 3 C.35 D ．－35解析：由e ＝12知b a ＝1－e 2＝32，c b ＝33.由图知tan∠DBC ＝tan∠ABO ＝a b ＝233，tan∠DCB ＝tan∠FCO ＝c b ＝33. tan∠BDC ＝－tan(∠DBC ＋∠DCB )＝－233＋331－233×33＝－3 3.答案：B5．(2013·福建调研)若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8解析：由椭圆方程得F (－1,0)，设P (x 0，y 0)，则OP →·FP →＝(x 0，y 0)·(x 0＋1，y 0)＝x 20＋x 0＋y 20.因为P 为椭圆上一点，所以x 204＋y 203＝1.所以OP →·FP →＝x 20＋x 0＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204＝x 204＋x 0＋3＝14(x 0＋2)2＋2.因为－2≤x 0≤2，所以OP →·FP →的最大值在x 0＝2时取得，且最大值等于6. 答案：C6．(2013·辽宁卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|BF |＝8，cos∠ABF ＝45，则C 的离心率为( )A.35B.57C.45D.67解析：在△ABF 中，由余弦定理得|AF |2＝|AB |2＋|BF |2－2|AB |·|BF |cos∠ABF ，∴|AF |2＝100＋64－128＝36，∴|AF |＝6，从而|AB |2＝|AF |2＋|BF |2，则AF ⊥BF .∴c ＝|OF |＝12|AB |＝5，利用椭圆的对称性，设F ′为右焦点，则|BF ′|＝|AF |＝6，∴2a ＝|BF |＋|BF ′|＝14，解得a ＝7.因此椭圆的离心率e ＝c a ＝57.答案：B7．以椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点F 为圆心，并过椭圆的短轴端点的圆的方程为____________．解析：椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点为F ()1，0，所求圆的半径r ＝a ＝2，所以所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝4.答案： (x －1)2＋y 2＝48. 设F 1，F 2分别为椭圆x 23＋y 2＝1的左、右焦点，点A ，B 在椭圆上．若F 1A →＝5F 2B →，则点A 的坐标是____________．解析：设直线F 1A 的反向延长线与椭圆交于点B ′，又∵F 1A →＝5F 2B →，由椭圆的对称性可得F 1A →＝5B ′F 1→.设A (x 1，y 1)，B ′(x 2，y 2)，又∵|F 1A |＝63⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋322，|F 1B ′|＝63⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋322， ∴⎩⎪⎨⎪⎧63⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋322＝5×63⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋322，x 1＋2＝－2－x 2，解之得x 1＝0，∴点A 的坐标为(0，±1)．答案：(0，±1)9．(2012·怀化模拟)在平面直角坐标系中，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦距为2，圆O 的半径为a ，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，0作圆O 的两切线互相垂直，则离心率e ＝______.解析：设切线PA ，PB 互相垂直，又半径OA 垂直于PA ，所以△OAP 是等腰直角三角形，故a 2c ＝2a ，解得e ＝c a ＝22. 答案：2210．(2012·江门一模)已知椭圆C 的中心在原点，长轴在x 轴上，经过点A (0,1)，离心率e ＝22.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l n ：y ＝1n ＋1(n ∈N *)与椭圆C 在第一象限内相交于点A n (x n ，y n )，记a n ＝12x 2n ，试证明：对∀n ∈N *，a 1·a 2·…·a n ＞12.(1)解析：依题意，设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧1b 2＝1，e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝22，解得b ＝1，a ＝2，椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1. (2)证明：解⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝1n ＋1，得x 2n ＝2n n ＋n ＋， a n ＝12x 2n ＝n n ＋n ＋，所以a 1·a 2·…·a n ＝1×322×2×432×3×542×…×n n ＋n ＋2＝n ＋n ＋＝12＋1n ＋＞12.11．(2013·佛山江门二模)在平面直角坐标系内，动圆C 过定点F (1,0)，且与定直线x ＝－1相切．(1)求动圆圆心C 的轨迹C 2的方程；(2)中心在O 的椭圆C 1的一个焦点为F ，直线l 过点M (4,0)．若坐标原点O 关于直线l 的对称点P 在曲线C 2上，且直线l 与椭圆C 1有公共点，求椭圆C 1的长轴长取得最小值时的椭圆方程．解析：(1)因为圆心C 到定点F (1,0)的距离与到定直线x ＝－1的距离相等．所以由抛物线定义知，C 的轨迹C 2是以F (1,0)为焦点，直线x ＝－1为准线的抛物线，所以动圆圆心C 的轨迹C 2的方程为y 2＝4x .(2)设P (m ，n )，直线l 方程为y ＝k (x －4)，则OP 中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，n2， ∵O 、P 两点关于直线y ＝k (x －4)对称，∴⎩⎪⎨⎪⎧n2＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2－4，k ·n m ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧km －n ＝8k ，m ＋nk ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝8k 21＋k2，n ＝－8k1＋k 2.将其代入抛物线方程，得：⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 1＋k 22＝4×8k 21＋k 2，解得k 2＝1.设椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，联列⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，x 2a 2＋y2b2＝1，消去y 得：(a 2＋b 2)x 2－8a 2x ＋16a 2－a 2b 2＝0，由Δ＝(－8a 2)2－4(a 2＋b 2)(16a 2－a 2b 2)≥0，得a 2＋b 2≥16，注意到b 2＝a 2－1，即2a 2≥17，可得a ≥342，即2a ≥34，因此，椭圆C 1长轴长的最小值为34，此时椭圆的方程为x 2172＋y 2152＝1.12．(2013·天津卷)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，离心率为33，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.(1)求椭圆的方程； (2)设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点．若AC →·DB →＋AD →·CB →＝8，求k 的值．解析：(1)设F (－c,0)，由c a ＝33，知a ＝3c .过点F 且与x 轴垂直的直线为x ＝－c ，代入椭圆方程有－c2a 2＋y 2b 2＝1，解得y ＝±6b 3，于是26b 3＝433，解得b ＝2，又a 2－c 2＝b 2，从而a ＝3，c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(2)设点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由F (－1,0)得直线CD 的方程为y ＝k (x ＋1)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋，x 23＋y22＝1，消去y ，整理得(2＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0.由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝－6k 22＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k2，因为A (－3，0)，B (3，0)，所以AC →·DB →＋AD →·CB →＝(x 1＋3，y 1)·(3－x 2，－y 2)＋(x 2＋3，y 2)·(3－x 1，－y 1)＝6－2x 1x 2－2y 1y 2＝6－2x 1x 2－2k 2(x 1＋1)(x 2＋1)＝6－(2＋2k 2)x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)－2k 2＝6＋2k 2＋122＋3k2.由已知得6＋2k 2＋122＋3k 2＝8，解得k ＝± 2.。

2015届高考数学(理)二轮专题配套练习：专题7_第3讲_统计与统计案例(含答案)

第3讲统计与统计案例考情解读 1．该部分常考内容：样本数字特征的计算、各种统计图表、线性回归方程、独立性检验等；有时也会在知识交汇点处命题，如概率与统计交汇等.2．从考查形式上来看，大部分为选择题、填空题，重在考查基础知识、基本技能，有时在知识交汇点处命题，也会出现解答题，都属于中、低档题．1．随机抽样（1）简单随机抽样特点是从总体中逐个抽取．适用范围：总体中的个体较少．（2）系统抽样特点是将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取．适用范围：总体中的个体数较多．（3）分层抽样特点是将总体分成几层，分层进行抽取．适用范围：总体由差异明显的几部分组成． 2．常用的统计图表（1）频率分布直方图 ①小长方形的面积＝组距×频率组距＝频率； ②各小长方形的面积之和等于1；③小长方形的高＝频率组距，所有小长方形的高的和为1组距.（2）茎叶图在样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好． 3．用样本的数字特征估计总体的数字特征（1）众数、中位数、平均数（2）方差：s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]．标准差：s ＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]. 4．变量的相关性与最小二乘法（1）相关关系的概念、正相关和负相关、相关系数．（2）最小二乘法：对于给定的一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，通过求Q ＝∑i ＝1n(y i －a －bx i )2最小时，得到线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^的方法叫做最小二乘法． 5．独立性检验对于取值分别是{x 1，x 2}和{y 1，y 2}的分类变量X 和Y ，其样本频数列联表是则K 2(χ2)＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d)(其中n ＝a ＋b ＋c ＋d 为样本容量)．热点一抽样方法例1 （1）(2013·陕西)某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为( ) A ．11 B ．12 C ．13 D ．14（2）(2014·石家庄高三调研)某学校共有师生3 200人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是________．思维启迪 (1)系统抽样时需要抽取几个个体，样本就分成几组，且抽取号码的间隔相同；(2)分层抽样最重要的是各层的比例．思维升华 (1)随机抽样各种方法中，每个个体被抽到的概率都是相等的；(2)系统抽样又称“等距”抽样，被抽到的各个号码间隔相同；分层抽样满足：各层抽取的比例都等于样本容量在总体容量中的比例．（1）某校高一、高二、高三分别有学生人数为495,493,482，现采用系统抽样方法，抽取49人做问卷调查，将高一、高二、高三学生依次随机按1,2,3，…，1 470编号，若第1组有简单随机抽样方法抽取的号码为23，则高二应抽取的学生人数为( ) A ．15 B ．16 C ．17 D ．18（2）(2014·广东)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )A ．200,20B ．100,20C ．200,10D ．100,10 热点二用样本估计总体例2 （1）(2014·山东)为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为()A ．6B ．8C ．12D ．18（2）PM 2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，如图是根据某地某日早7点至晚8点甲、乙两个PM 2.5监测点统计的数据(单位：毫克/每立方米)列出的茎叶图，则甲、乙两地浓度的方差较小的是( )A ．甲B ．乙C ．甲乙相等D ．无法确定甲乙 2 0.04 1 2 3 6 9 3 0.05 9 6 2 1 0.06 2 9 3 3 1 0.07 9 6 4 0.08 770.0924 6思维启迪 (1)根据第一组与第二组的人数和对应频率估计样本总数，然后利用第三组的频率和无疗效人数计算；(2)直接根据公式计算方差．思维升华 (1)反映样本数据分布的主要方式：频率分布表、频率分布直方图、茎叶图．关于频率分布直方图要明确每个小矩形的面积即为对应的频率，其高低能够描述频率的大小，高考中常常考查频率分布直方图的基本知识，同时考查借助频率分布直方图估计总体的概率分布和总体的特征数，具体问题中要能够根据公式求解数据的均值、众数和中位数、方差等．(2)由样本数据估计总体时，样本方差越小，数据越稳定，波动越小．（1）某商场在庆元宵促销活动中，对元宵节9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时至12时的销售额为________万元．（2）(2014·陕西)设样本数据x 1，x 2，…，x 10的均值和方差分别为1和4，若y i ＝x i ＋a (a 为非零常数，i ＝1,2，…，10)，则y 1，y 2，…，y 10的均值和方差分别为( ) A ．1＋a,4 B ．1＋a,4＋a C ．1,4 D ．1,4＋a 热点三统计案例例3 （1）以下是某年2月某地区搜集到的新房屋的销售价格y 和房屋的面积x 的数据.根据上表可得线性回归方程y ＝b x ＋a 中的b ＝0.196 2，则面积为150 m 2的房屋的销售价格约为________万元．（2）(2014·江西)某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是( )表1表4A ．成绩B ．视力C ．智商思维启迪 (1)回归直线过样本点中心(x ，y )； (2)根据列联表，计算K 2的值思维升华 (1)线性回归方程求解的关键在于准确求出样本点中心．回归系数的求解可直接把相应数据代入公式中求解，回归常数的确定则需要利用中心点在回归直线上建立方程求解；(2)独立性检验问题，要确定2×2列联表中的对应数据，然后代入K 2(χ2)计算公式求其值，根据K2(χ2)取值范围求解即可．（1）已知x 、y 取值如下表：从所得的散点图分析可知：y 与x 线性相关，且y ＝0.95x ＋a ，则a 等于( ) A ．1.30 B ．1.45 C ．1.65 D ．1.80（2）某研究机构为了研究人的脚的大小与身高之间的关系，随机抽测了20人，若“身高大于175厘米”的为“高个”，“身高小于等于175厘米”的为“非高个”，“脚长大于42码”的为“大脚”，“脚长小于等于42码”的为“非大脚”．得以下2×2列联表：则在犯错误的概率不超过 (附：P (K 2>k ) 0.05 0.01 0.001 k3.8416.63510.828)1．随机抽样的方法有三种，其中简单随机抽样适用于总体中的个体数量不多的情况，当总体中的个体数量明显较多时要使用系统抽样，当总体中的个体具有明显的层次时使用分层抽样．系统抽样最重要的特征是“等距”，分层抽样，最重要的是各层的“比例”．2．用样本估计总体(1)在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应的频率，各小长方形的面积的和为1.(2)众数、中位数及平均数的异同：众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量．(3)当总体的个体数较少时，可直接分析总体取值的频率分布规律而得到总体分布；当总体容量很大时，通常从总体中抽取一个样本，分析它的频率分布，以此估计总体分布．①总体期望的估计，计算样本平均值x ＝1n ∑n i ＝1x i .②总体方差(标准差)的估计：方差＝1n ∑n i ＝1 (x i－x )2，标准差＝方差，方差(标准差)较小者较稳定．3．线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^过样本点中心(x ，y )，这为求线性回归方程带来很多方便． 4．独立性检验(1)作出2×2列联表．(2)计算随机变量K 2(χ2)的值．(3)查临界值，检验作答．真题感悟1．(2014·江苏)为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80,130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有________株树木的底部周长小于100 cm.2．(2014·重庆)已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数x ＝3，y ＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( )A ．y ^＝0.4x ＋2.3 B ．y ^＝2x －2.4 C ．y ^＝－2x ＋9.5 D ．y ^＝－0.3x ＋4.4 1．24 2．A 1．20 2．24 3．3 4．C 押题精练1．某地区对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从中抽取50辆汽车进行测速分析，得到如图所示的时速的频率分布直方图，根据该图，时速在70 km/h 以下的汽车有________辆．2．某教育出版社在高三期末考试结束后，从某市参与考试的考生中选取600名学生对在此期间购买教辅资料的情况进行调研，得到如下数据：人数为________．3．下表提供了某厂节能减排技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨)的几组对应数据：根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为y ＝0.7x ＋0.35，那么表中t 的值为________． 4．春节期间，“厉行节约，反对浪费”之风悄然吹开，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下的列联表：附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )参照附表，得到的正确结论是( )A ．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”C ．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”D ．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”(推荐时间：40分钟)一、选择题1．(2014·湖南)对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p 1，p 2，p 3，则( ) A ．p 1＝p 2<p 3 B ．p 2＝p 3<p 1 C ．p 1＝p 3<p 2 D ．p 1＝p 2＝p 32．某中学高中一年级有400人，高中二年级有320人，高中三年级有280人，现从中抽取一个容量为200人的样本，则高中二年级被抽取的人数为( ) A ．28 B ．32 C ．40 D ．643．(2013·江西)总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( )A.08 B ．07 C 4．为了了解某城市今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第2小组的频数为120，则抽取的学生人数是( )A ．240B ．280C ．320D ．4805．某产品在某零售摊位上的零售价x (单位：元)与每天的销售量y (单位：个)的统计资料如下表所示：由上表可得线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中的b ＝－4，据此模型预计零售价定为15元时，每天的销售量为( ) A ．48个 B ．49个 C ．50个 D ．51个6．某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度(支持和不支持的两种态度)的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算K 2＝7.069，则所得到的统计学结论是：有________的把握认为“学生性别与支持该活动有关系．”( ) 附：A.0.1% B ．1% C 7．某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植的同一种树苗的长势情况，从两块地各随机抽取了10株树苗，用茎叶图表示上述两组数据，对两块地抽取树苗的高度的平均数x 甲，x 乙和中位数y 甲，y 乙进行比较，下面结论正确的是( )A ．x 甲>x 乙，y 甲>y 乙B ．x 甲<x 乙，y 甲<y 乙C ．x 甲<x 乙，y 甲>y 乙D ．x 甲>x 乙，y 甲<y 乙二、填空题8．从某中学高一年级中随机抽取100名同学，将他们的成绩(单位：分)数据绘制成频率分布直方图(如图)．则这100名学生成绩的平均数、中位数分别为________．9．某校开展“爱我海西、爱我家乡”摄影比赛，9位评委为参赛作品A 给出的分数如茎叶图所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x )无法看清，若记分员计算无误，则数字x 应该是__________．10．(2013·辽宁)为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为________．三、解答题11．(2014·课标全国Ⅱ)某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y (单位：千元)的数据如下表：（1）求y （2）利用(1)中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ^＝∑i ＝1n(t i －t )(y i －y )∑i ＝1n(t i －t )2，a ^＝y －b ^t .12．某城市随机抽取一年(365天)内100天的空气质量指数API 的监测数据，结果统计如下：（1S ＝⎩⎪⎨⎪⎧0， 0≤w ≤1004w －400，100<w ≤3002 000， w >300，试估计在本年度内随机抽取一天，该天经济损失S 大于200元且不超过600元的概率；（2）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染．完成下面2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？附：K 2＝n (ad －bc )(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d ).例1 (1)B (2)200 变式训练1 (1)C (2)A例2 (1)C (2)A 变式训练2 (1)10 (2)A 例3 (1)31.244 2 (2)D解析 (1)由表格可知x ＝15(115＋110＋80＋135＋105)＝109，y ＝15(24.8＋21.6＋18.4＋29.2＋22)＝23.2.所以a ^＝y －b ^x ＝23.2－0.196 2×109＝1.814 2.所以所求线性回归方程为y ^＝0.196 2x ＋1.814 2.故当x ＝150时，销售价格的估计值为y ^＝0.196 2×150＋1.814 2＝31.244 2(万元)．(2)A 中，a ＝6，b ＝14，c ＝10，d ＝22，a ＋b ＝20，c ＋d ＝32，a ＋c ＝16，b ＋d ＝36，n ＝52， K 2＝52×(6×22－14×10)220×32×16×36＝131 440.B 中，a ＝4，b ＝16，c ＝12，d ＝20，a ＋b ＝20，c ＋d ＝32，a ＋c ＝16，b ＋d ＝36，n ＝52， K 2＝52×(4×20－16×12)220×32×16×36＝637360.C 中，a ＝8，b ＝12，c ＝8，d ＝24，a ＋b ＝20，c ＋d ＝32，a ＋c ＝16，b ＋d ＝36，n ＝52， K 2＝52×(8×24－12×8)220×32×16×36＝1310.D 中，a ＝14，b ＝6，c ＝2，d ＝30，a ＋b ＝20，c ＋d ＝32，a ＋c ＝16，b ＋d ＝36，n ＝52，K 2＝52×(14×30－6×2)220×32×16×36＝3 757160. ∵131 440<1310<637360<3 757160， ∴与性别有关联的可能性最大的变量是阅读量．变式训练3 (1)B (2)0.01解析 (1)依题意得，x ＝16×(0＋1＋4＋5＋6＋8)＝4，y ＝16(1.3＋1.8＋5.6＋6.1＋7.4＋9.3)＝5.25；又直线y ^＝0.95x ＋a ^必过样本点中心(x ，y )，即点(4，5.25)，于是有5.25＝0.95×4＋a ^，由此解得a ^＝1.45. (2)由题意得K 2＝20×(5×12－1×2)26×14×7×13≈8.802>6.635.而K 2>6.635的概率约为0.01，所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为人的脚的大小与身高之间有关系．DDDDBCB 8．125,124 9．1 10．1011．解 (1)由所给数据计算得t ＝17(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，y ＝17(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，∑i ＝17＝(t i －t )2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28，∑i ＝17(t i －t )(y i －y )＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)×(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14，b ^＝∑i ＝17(t i －t )(y i －y )∑i ＝17(t i －t )2＝1428＝0.5， a ^＝y －b ^t ＝4.3－0.5×4＝2.3，所求线性回归方程为y ^＝0.5t ＋2.3.(2)由(1)知，b ^＝0.5>0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．将2015年的年份代号t ＝9代入(1)中的线性回归方程，得y ^＝0.5×9＋2.3＝6.8，故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．12．解 (1)设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S 大于200元且不超过600元”为事件A ，由200<S ≤600，得150<w ≤250，频数为39，所以P (A )＝39100.(2)根据以上数据得到如下列联表：K 2的观测值k ＝100×(63×8－22×7)85×15×30×70≈4.575>3.841.所以有95%的把握认为空气重度污染与供暖有关．。

高二下期数学巩固练习7

高二下期数学巩固练习(7) 姓名一．选择题：（共50分；每小题只有一个正确答案，请将答案填在后面表格内）1．若yx C C C 117117+=，则y x ,的值分别是（）A ．6,12==y xB ．7,11==y xC ．6,11==y xD ．7,12==y x2．已知直线α平面⊥m ，直线β平面⊂n ，给出下列四个命题： ①若βα//，则n m ⊥； ②若βα⊥，则n m //； ③若n m //，则βα⊥；④若n m ⊥，则βα//.其中正确的命题有（）A ．③④B ．①③C ．②④D ．①②3．5个人排成一排，若A 、B 、C 三人左右顺序一定（不一定相邻），那么不同排法有（）A ．55AB ．3333A A ⋅C ．3355A A D ．33A4．某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为（）A ．110 B ．120 C ．140 D ．1120 5．三位同学乘同一列火车，火车有10节车厢，则至少有2位同学上了同一车厢的概率为（）A ．20029B ．1257 C ．187 D ．2576．坛子里放有3个白球，2个黑球，从中进行不放回摸球．A 1表示第一次摸得白球，A 2表示第二次摸得白球，则A 1与A 2是（）A ．互斥事件B ．独立事件C ．对立事件D ．不独立事件7．从6种小麦品种中选出4种，分别种植在不同土质的4块土地上进行试验，已知1号、2 号小麦品种不能在试验田甲这块地上种植，则不同的种植方法有（）A ．144种B ．180种C ．240种D ．300种8．在（312xx -）8的展开式中常数项是（）A ．－28B ．－7C ．7D ．289．袋中有6个白球，4个红球，球的大小相同，则甲从袋中取1个是白球，放入袋中，乙再取1个是红球的概率为（）A ．245 B ．415C ．825D ．62510．四面体A —BCD 中，2=BD ，其余棱长均为1，则二面角A —BC —D 的大小是（）A ．4πB ．3πC ．22arctanD ．2arctan二、填空题：(每题4分，共24分；直接将答案填写在后面空格上)11．乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二，四位置，那么不同的出场安排共有__________________种（用数字作答）．12．已知斜三棱柱ABC A B C -111中，侧面BB C C 11的面积为S ，侧棱AA 1与侧面BB C C 11的距离为d ，则斜三棱柱ABC A B C -111的体积V=______________．13．在△ABC 中，BC=21，∠BAC=120°，△ABC 所在平面外一点P 到A 、B 、C 的距离都是14，则P 到平面ABC 的距离为．14．已知92⎪⎪⎭⎫⎝⎛-x x a 的展开式中，3x 的系数为49，则常数a 的值为__________________．15．设正四棱锥S —ABCD 的侧棱长为2，底面边长为3，E 是SA 的中点，则异面直线BE 与SC 所成的角是 .16.有13名医生,其中女医生6人现从中抽调5名医生组成医疗小组前往灾区,若医疗小组至少有2名男医生,同时至多有3名女医生,设不同的选派方法种数为P,则下列等式(1)5141376;C C C - (2)23324157676767C C C C C C C +++; (3)514513766C C C C --; (4)23711C C ; 其中能成为P 的算式有_________种11． 12．13．14．15．16．欢迎访问。

高二数学练习七

高二数学练习七一选择题1、过已知点)5,1(),3,2(B A 的直线AB 的倾斜角是（）A 、2arctgB 、)2(-arctgC 、22arctg π+ D 、2arctg -π 2、圆12222=+y x 与直线),2,(01sin z k k k y x ∈+≠∈=-+ππθθθ的位置关系为（） A 、相交 B 、相切 C 、相离 D 、与θ有关3、若直线01)1(=+++y x a 与圆0222=-+x y x 相切，则a 的值为（）A 、1,1-B 、2,2-C 、1D 、1-4、直线1L ：3)1(=-+y a ax 与2L ：2)32()1(=++-y a x a 互相垂直，则a 的值为（） A 、3- B 、1 C 、230-或 D 、31-或 5、设直线032=--y x 与y 轴的交点为P ，点P 把圆25)1(22=++y x 的直径分为两段，则其长度之比为（）A 、3773或B 、7447或C 、7557或D 7667或 6、参数方程22sin 1cos2x y θθ⎧=+⎨=-+⎩（θ为参数）化为一般方程是（）A 、042=+-y xB 、042=-+y xC 、]3,2[,042∈=+-x y xD 、]3,2[,042∈=-+x y x 7．直线b x y +=与曲线21y x -=有且只有一个交点，则b 的取值范畴是（）A 、2=bB 、11≤<-b 且2-=bC 、11≤≤-bD 、非A 、B 、C 的结论8、取直角坐标系内的两点111222(,),(,)P x y P x y ，使1，x 1，x 2，7依次成等差数列，1，y 1，y 2，8依次成等比数列，若P 1，P 2两点关于直线l 对称，则直线l 的方程为（）A 、x －y ＋1＝0B 、x －y －1＝0C 、x ＋y －7＝0D 、2x －y －5＝09、若点)0,(m P 到点)8,2()2,3(B A 及-的距离之和最小，则m 的值为（）A 、2B 、2-C 、1D 、1-10、直线032=--y x 与圆9)3()2(22=++-y x 交于E 、F 两点，则EOF ∆（O 为原点）的面积为（）A 、32 B 、34C 、5D 、5 11、假如实数y x ,满足等式22(2)3x y -+=，那么y x的最大值是（）A 、12B 、3C 、2D 、3 12、曲线0), (=y x f 关于直线02=--y x 对称的直线方程为（）A 、0), 2(=+x y fB 、0), 2(=-y x fC 、)2, 2(-+x y fD 、0)2, 2(=+-x y f二填空题13、设圆05422=--+x y x 的弦AB 的中点为)1,3(P ，则直线AB 的方程是14、过A （－3，0），B （3，0）两点的所有圆中面积最小的圆方程是______________．15、若过点（1，2）总能够作两条直线和圆0152222=-++++k y kx y x 相切，则实数k 的取值范畴是_________________． 16、已知x 、y 满足2501230x y x x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪+-≥⎩，则y x 的最大值。

高2015届高二下期零诊模拟7(答案)

高2015届高二下期零诊模拟七姓名：1. 设集合M=｛0,1,2｝，N={}2|320x x x -+≤，则M N ⋂=( ) A. ｛1｝ B. ｛2｝ C. ｛0，1｝ D. ｛1，2｝【解析】选D 。

2. 将函数sin y x =的图象向左平移2π个单位，得到函数()y f x =的函数图象，则下列说法正确的是（）()()()()...2.-02A y f x B y f x C y f x x D y f x πππ====⎛⎫= ⎪⎝⎭是奇函数的周期为的图象关于直线对称的图象关于点，对称【解析】选D 。

3.设向量a,b 满足|a+b|a-b，则a ⋅b = ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 【解析】选A 。

4.钝角三角形ABC 的面积是12，AB=1，，则AC=( )A. 5B. C. 2 D. 1【解析】选B 。

5. 在半径为2的半圆圆周上取两点A 、B ，则圆心角3AOB π∠<的概率为（）A.59 B. 49 C. 16 D. 12【解析】选A 。

几何概型。

如图1。

A 、B 两点均可在长度为222rππ=的半圆弧上运动，即它们可运动的长度02π。

用,x y 表示它们的坐标，要3AOB π∠<，则2||3x y π-<，画出共满足的平面区域如图2所示，其中阴影部分的面积为2144202222339πππππ⋅-⨯⨯⨯=，所以满足条件的概率为222059()49P A ππ==。

选A 。

6.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（） A. 1727 B. 59C. 1027D. 13【解析】选C 。

7. 设曲线y=a x-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x ，则a = （） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【解析】选D.8. 设x,y 满足约束条件70310350x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≤≤≥，则2z x y =-的最大值为（）A. 10B. 8C. 3D. 2 【解析】选B.9.设F 为抛物线C:23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（）A.B.C. 6332D. 94【解析】选D. 公式法直线AB 的方程是3()34y x =- 与抛物线23y x =联立得2490y --= ，设1122,,A x y B x y （）,（），所以△OAB 的面积是1924= ，所以选D10.设点M （0x ,1），若在圆O:221x y +=上存在点N ，使得∠OMN=45°，则0x 的取值范围是（）A ．[0,1]B ．[-1，1]C ．[-1，0]D ．(-1，0) 【解析】选B 。

第七套学业水平考试训练数学答案

2015年普通高中学业水平考试训练数学答案及评分标准一、选择题二、填空题13. 1或3； 14. 630；15. 39[,]27--； 16. 43.三、解答题17.解：根据物理学知识可得入射角等于反射角，可推出入射光线与反射光线关于镜面x 轴对称； ……………………2分 ∴点(3,4)Q 关于x 轴的对称点(3,4)Q '-一定在入射光线l 上；…6分即,P Q '同时在直线l 上，由直线方程的两点式可得：343333y x --=++ ，整理得36(3)x y +=-； …………… 9分即所求的直线方程是6210x y -+=. …………………………… 10分 18.解：（1）销售量每年降19%，1年后销售量为(119%)0.81a a -=⋅2年后销售量为2(119%)(119%)0.81a a --=⋅， …………… 3分……x 年后的销售量为(119%)0.81x xy a a =-=⋅；……… 5分（2）销售量为现在的一半，即2ay =时，产品不得不停产，可得等式0.812x a a =⋅，即：10.812x =，………………7分解得：0.811lg10lg 2lg 22log 812lg81lg1004lg 32lg 100x --=====- 0.30100.30103.286 3.3240.47710.0916==≈≈-⨯（年）， ………9分答：按照这种形势，该产品还可以生产3.3年 19.解：（1）当2≥n 时，1--=n n nS S a ，∴11--⋅=-n n n n S S S S ，……3分∴()21111≥-=--n S S n n ，∴数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1为等差数列. …………6分（2）由（1）知，2211)1()1(111n n S S n -=-⨯-+=， ∴nS n 2112-=. …………………………………………7分当2≥n 时，)213)(211(4213221121n n n n S S a n n n --=---=-=-，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥--==)2(,)213)(211(4),1(,92n n n n a n . ……………………10分20.证明：（1）由,D E 分别为棱,PA AB 的中点可得：DE ∥PB ；…2分而DE ⊂平面CDE ，PB ⊄平面CDE ，∴PB ∥平面CDE ； …………………………………5分（2）在四棱锥C PBED -中，底面积1(21)2S h =+3122224=⨯⨯⨯=， …………………………………7分四棱锥的高为点C 到平面PAB 的距离，也就是正四面体的高，3= …………………9分∴13432C PBED V -=⨯⨯=（立方单位）. ……10分 21.解：（1）()cos()cos()33f x x x ππ=+-1111(cos )(cos )cos 22224x x x x x =-=- ；……3分所以()f x 的最小正周期为222T πππω===；………………5分 (2)11()()()cos 2sin 222h x f x g x x x =-=-cos(2)24x π=+， ……………………………………8分∴2=2()4x k k Z ππ+∈当时，()h x ，… 10分()h x 取得最大值时，对应的x 的集合为,8x x k k Z ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭. ……………………………… 12分。

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高二第一学期练习七班级：___ 姓名：________ 学号：____
一、填空题（每题5分）
1、方程为2
0y ax bx c ---=的曲线经过原点的条件是________
2、若直线220x y k --=与直线20x y k --=的交点在圆2
2
25x y +=上，则k =______ 3、若P 为圆12
2=+y x 上的动点，则点P 到直线01043=--y x 的距离的最小值为______ 4、已知点(,)M a b 在直线1543=+y x 上，则2
2b a +的最小值为
5、直线l ：过点（0，1），并与曲线C ：2
y x =有且只有一个公共点，则直线l 的方程_____________ 6、从点(,3)P m 向圆C ：22
(2)(2)1x y +++= 引切线，则切线长的最小值是_________
7、点(11)，在圆22
()()4x a y a -++=的内部，则a 的取值范围是____________
8、若直线2=-y x 被圆4)(2
2=+-y a x 所截得的弦长为22，则实数a 的值为
9、若直角三角形斜边的两个端点是B(3,4),C(1,-3)，则第三个顶点A 的轨迹方程为_______________
10、曲线C ：()2
2
11810()y x a x y a R --+--+=∈在坐标轴上的截距之和为_______________
二、选择题（每题5分）
11、如果曲线C 上任一点的坐标都是方程0),(=y x F 的解，那么（） A 曲线C 的方程是0),(=y x F B 方程0),(=y x F 的曲线是C C 曲线C 上的点都在方程0),(=y x F 的曲线上 D 以方程0),(=y x F 的解为坐标的点都在曲线C 上
12、直线3440x y --=被圆22
(3)9x y -+= 截得的弦长为（） A 22 B 4 C 24 D 2
13、方程()
()2
2
2
224
0x x y -+-=表示的曲线是（）
A 两个点
B 四个点
C 两条直线
D 四条直线
14、直线l 过点(20)-，，l 与圆x y x 22
2
=+有两个交点时，斜率k 的取值范围是( )
A (22,22)-
B (22)-，
C 22()44-
， D 11
()88
-，
三、解答题（15题10分，16题20分）
15、已知平面上两定点A 、B ，6AB =,平面上动点M 到A 、B 的距离之比为2：1，求动点M 的轨
迹方程
16、已知动点M 到点A （2，0）的距离是它到点B （8，0）的距离的一半，求：（1）动点M 的轨迹方程；（2）若N 为线段AM 的中点，试求点N 的轨迹
高二第一学期练习七参考答案
一、填空题
1、0c =；
2、1±；
3、1；
4、3；
5、440,10x y y -+=-= ；
6、26；
7、11a -<<； 8、0或4； 9、()2
2
15372(3(1))242x y y x ⎛
⎫-+-=
+≠- ⎪⎝
⎭；10、2 二、选择题
11、C 12、C 13、B 14、B 三、解答题
15、解：设A （-3，0），B （3，0），M （x,y ）则
21
MA MB
=
,化简得22
1090x y x +-+=； 16、解：（1）设动点M （x ，y ）为轨迹上任意一点，
由两点距离公式，点M 适合的条件可表示为 22221(2)(8)2
x y x y -+=-+，平方后再整理，得
2216x y +=．这就是动点M 的轨迹方程
（2）设动点N 的坐标为（x ，y ），M 的坐标是（x 1，y 1）．
由于A （2，0），且Ｎ为线段AM 的中点，所以 122x x +=
， 1
02
y y +=．所以有122x x =-，12y y = ① 由（1）题知，M 是圆2
2
16x y +=上的点，所以M 坐标（x 1，y 1）满足：2
2
1116x y +=②，将①代入②整理，得2
2
(1)4x y -+=．
所以N 的轨迹是以（1，0）为圆心，以2为半径的圆。