高等代数05期中试题(含答案)

《高等代数》05-06年度第一学期期中试题

一、单项选择题

1．对任意n 阶方阵A 、B 总有[ ] A. AB = BA B. | AB | = | BA | C. (AB)T =A T B T D. (AB)2=A 2B 2 2. 在下列矩阵中，可逆的是[ ]

A. 000010001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

B. 110220001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

C. 110011121⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

D. 100111101⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

3. 设A 是3阶方阵，且|A| = 2-，则| A -1 |等于[ ]. A. 2-

B. 1

2

-

C.

12

D. 2

4. 设A 是m n ⨯矩阵，则齐次线性方程组Ax = 0仅有零解的充分必要条件是[ ]. A. A 的行向量线性无关 B. A 的行向量线性相关 C. A 的列向量线性无关 D. A 的列向量线性相关 5．设有m 维向量组12():,,...,n I ααα，则[ ]. A. 当m < n 时，()I 一定线性相关 B. 当m > n 时，()I 一定线性相关 C. 当m < n 时，()I 一定线性无关

D. 当m > n 时，()I 一定线性无关

6．已知1β、2β是非齐次线性方程组Ax b =的两个不同的解，1α、2α是其导出组0Ax =的一个基础解系，1k 、2k 为任意常数，则方程组Ax b =的通解可表成[ ]. A. 12

11212()2

k k ββαββ-+++ B. 12

11212()2

k k ββαββ++++

C. 12

11222

k k ββαα-++

D. 12

11222

k k ββαα+++

7. 向量组12():,,...,n I ααα,（n>1） 线性无关等价于[ ]. A. 存在一组不全为0的数n k k k ,,,21 ，使其线性组合∑=n

k i

i k 1

α

不等于0

B. 其中任意两个向量线性无关

C. 任何一个向量均不能用其它向量线性表出

D. 存在一个向量不能用其它向量线性表出

8. 设矩阵11

112

1231A λ⎛⎫ ⎪

= ⎪ ⎪+⎝⎭

的秩为2，则λ=[ ].

A. 2

B. 1

C. 0

D. 1-

9. 设A 是n 阶可逆矩阵，()adj A 是A 的伴随矩阵（adjoint of A ），则[ ]. A. 1

()n adj A A

-=

B. ()adj A A =

C. ()n

adj A A =

D. 1

()adj A A -=

10. 设A ，B 为n 阶方阵，满足AB = 0，则必有[ ]. A. A = 0 或 B = 0 B. A + B = 0 C. | A | = 0 或 | B | = 0 D. | A | + | B | = 0

二、填空题

11．设m n ⨯矩阵A 的m 个行向量线性无关，则矩阵T

A 的秩为 。

12．若线性方程组123233231

222

x x x x x x λλ-+=-⎧⎪

-=⎨

⎪=+⎩

无解，则λ= 。 三、判断题

13．( )如果12,,...,r ααα线性无关，而1r α+不能由12,,...,r ααα线性表示，那么

121,,...,r ααα+线性无关。

14．( )如果12,,...,r ααα线性相关，那么其中每个向量都可被其余向量线性表示。 15．( )A ，B 为n 阶方阵，k 为正整数，则()k

k

k

AB A B =。

16．( )若C=DP ，P 为可逆阵，则rank(C) = rank(D)

17．( )若A=PB ，P 为可逆阵，则A 的列向量组与B 的列向量组等价。

18．( )若三个向量1α，2α，3α线性相关，且3α不能由1α，2α线性表示，则1α，2α线性相关。

19．( )如果当12...0r c c c ====时1122...0r r c c c ααα+++=，那么12,,...,r ααα线性无关。

20．( )设矩阵A ，B 满足AB = I ，则由线性方程组Ax = b 可求得唯一解 x = Bb

四、计算题

21．设001020101A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

，矩阵X 满足2

AX I A X +=+，其中I 为3阶单位阵，求矩阵X

22．⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛=6342A ，求n

A 。

23．三阶方阵B 不是零矩阵，且B 的每一列均为齐次线性方程组⎪⎩⎪

⎨⎧=-+=+-=-+0

302022321

321321x x x x x x x x x λ的解。

求λ和B 。 解：

方程组可写为0=AX ，其中系数矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=11312221λA ，⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛=321x x x X 。

设321,,B B B 为B 的第1，2，3列，

因为B 不是零矩阵，即321,,B B B 不全为零向量，故齐次线性方程组有非零解，所以0=A ，由此解得1=λ。

B 的每一列都是方程组的解，即0,0,0221===AB AB AB ，由此()022

1=B B B A ，

即0=AB

五、证明题

24．已知矩阵A 满足2

A A =，A I ≠，其中I 为单位阵，证明0A =

25．若已知关于x 的一元n 次方程式1110...0n n n n a x a x a x a --++++=有n+1个不同的根，证明110...0n n a a a a -=====

26．A 是n m ⨯矩阵，B 是p n ⨯矩阵，n B rank =)(， 证明：当0=AB 时，n m n m A ⨯⨯=0