几何概型的解析方法和类型例解以及蒲丰投针试验、贝特朗奇论的解析

几何概型的解析方法和类型例解 及蒲丰投针试验、贝特朗奇论的解析几何 概型是高中数学新课程的新增加内容之一.部分师生在几何概型知识的理解上存在一些偏差，在有关内容的教学中有说理不清或解法错误的现象。

本文依据几何概型理论知识和课例，谈谈几何概型问题的解析方法和基本事件为线段、圆、球射线等非质点问题的转化，以及蒲丰投针试验、贝特朗奇论的解析。

1 问题引入题 1 如图所示，A 、B 两盏路灯之间长度是30米，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯C 、D ，问A 与C ，B 与D 之间的距离都不小于10米的概率是多少？在第99页里和网上一些教师课件中有上述习题及如下答案。

解：：记E ：“A 与C ，B 与D 之间的距离都不小于10米”，把AB 三等分，由于中间长度为130103⨯=米，所以101()303P E ==。

笔者认为：上述解答错误。

错误主要原因几何概型问题的解析方法不正确。

题2 欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自 钱孔入，而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为4cm 的圆，中间有边长为1cm 的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油（油滴不出铜钱面），油滴的直径是0.2cm 的球，则油滴整体落入孔中的概率是 。

关于此题的教学中，部分学生和教师出现分析无方，说理不清等现象，那么几何概型应怎样分析解决呢？题3 苏教版必修3提到的“贝特朗奇论”：在半径为1的圆内任作一条弦，求该弦的长度长于圆的内接正三角形边长的概率。

贝特朗奇论的经典解法有如下三种。

解法一：如图1弦被其中点位置唯一确定。

只有当弦的中点落在半径缩小了一半的同心圆内，其长才合乎要求。

中点位置都是等可能的,则所求概率为41。

解法二：如图2由于对称性，可预先指定弦的方向。

作垂直于此方向的直径，只有交直径于41点与43 点间的弦，其长才大于内接正三角形边长。

所有交点是等可能的,则所求概率为21 。

图1图2MO C A QD解法三：如图3由于对称性，可预先固定弦的一端。

仅当弦与过此端点的切线的交角在60°～ 120° 之间，其长才合乎要求。

所有方向是等可能的，则所求概率为31 。

贝特朗奇论怎样解析呢？2 解决几何概型的理论依据前苏联数学家柯尔莫哥洛夫在著作《概率论基础》中提出了概率论公理化结构，得到世界公认。

它包含以下几个方面：（1）一个随机试验可能出现不同的结果，这些结果称为样本点，样本点的全体所成的集合称为样 本空间，记为Ω。

我们把事件A 定义为样本空间Ω的一个子集，它包含了若干个样本点。

（2）如果Ω的某些子集组成的集合F 满足一定的条件（关于事件的一切运算封闭），则称F 为Ω的一个事件域，F 中的元素称为事件。

（3）定义在事件域F 上的一个实数集函数P （满足相应的条件）称为概率。

样本空间Ω，事件域F 和概率P 是概率论最基本的三个基本概念。

习惯上 把这三者写成（Ω，F,P ），并称为它是一个概率空间。

概率空间完整地描述了随机试验的基本方面。

由上可知：任何一个概率问题，都必须建立在某个给定的概率空间之上；不同的随机试验下，有不同的概率空间，即不同的概率问题。

苏教版必修3教参给了几何概型描述性定义：设D 是一个可度量的区域（例如线段、平面图形、立体图形等）每个基本事件可以视为从区域D 内随机地取一点，区域D 内的每一点被取到的机会都一样；随机事件A 的发生可以视为恰好取到区域D 内的某个指定区域d 中的点.这时事件A 发生的概率与d 的测度（长度、面积、体积等）成正比，与d 的形状和位置无关，我们把满足这样的概率模型称为几何概型,其中P(A)=的测度的测度D d 。

由上述定义可知解决几何概型的思路：把一个随机试验下的每个基本事件转化为几何区域D 内的一点，若事件A 发生对应的区域d ， 则P(A)=的测度的测度D d 。

3 几何概型的解析方法从随机试验的基本事件类型可分为基本事件是点（文题4）、基本事件是数或数对（文题5）、基本事件是非质点如线段、射线、直线、圆或球等（文题6、7、8、9、10）。

高中数学教材的几何概型习题的基本事件中多为点或数或数对，而教学中争议困惑的问题多为基本事件为非质点问题。

图1A O图3A B QP几何概型的解析步骤：（1）明晰随机试验下的基本事件；（2）把每个基本事件转化为一个点；（3）明确这些点形成的区域D ；（4）明确随机事件A 转化的点形成的区域d ；（5）根据区域D 的图形确定测度；（6）求概率P(A)= 的测度的测度D d 。

重要说明：（1）分析随机试验的基本事件比较困难时，可举例理解。

如本文题 5一次试验中需明确送报人到达的时间和父亲离开家的时间，即基本事件为两个时间。

（2）若基本事件为数，则对应数轴上的点；若基本事件为二元有序数对，则对应平面直角坐标系中的点；若基本事件为三元有序数对，则对应空间直角坐标系中的点。

（3）若基本事件是圆，则对应此圆的圆心；若基本事件是球，则对应此球的球心；若基本事件是线段，则根据一一对应性和等可能性等价转化为数或数对（转化方法后面详述），再由数或数对转化为点。

（4）若基本事件的对应点形成的区域是线段或曲线段，则测度为长度；若基本事件的对应点形成的区域是平面图形，则测度为面积；若基本事件的对应点形成的区域是空间几何体，则测度为体积。

几何概型的测度没有角度。

若基本事件为点或数（数对），则无需把基本事件转化为点，若基本事件为非质点，怎样把每个基本事件转化为一个点呢？我们知道：数对应数轴上的点，二元有序数对对应平面直角坐标系中的点，三元有序数对对应空间直角坐标系中的点。

故可以利用确定性和一一对应性把每个非质点表示为一个数或数对，一个数（或数对）对应一个点，这样每个基本事件转化为一个点。

题 1分析：一次试验中需确定线段AB 上C 、D 两个点，以A 为始点，需明确AC 、AD 距离，即基本事件为二元有序数对，又有序数对对应平面中的点，且对应点形成的区题1错因之一认识错误：认为题1样本空间的区域就是题干中的几何区域——线段。

其实样本空间的区域只与样本点形成的图形有关，与题干的几何区域图形无关。

题1错因之二方法错误：解几何概型的思路不清晰，方法不正确。

图5图7题2分析： 题中的基本事件为球（油滴）。

油滴下落要能落入铜钱面内和正方形孔中，只需考虑与铜钱面平行的球大圆即可，因此一次试验中的基本事件为铜钱面内的圆。

又每一个圆对应此圆的圆心，每个基本事件对应一个圆心，当随机向铜钱上滴一滴油（油滴不出铜钱面），圆心在铜钱面内的虚线圆内出现的概率是相等的，这些圆心形成以铜钱中心为圆心，半径为1.9cm 的圆面，面积为361100π；若油滴整体落入孔中，基本事件对应的圆心形成边长为0.8cm 的虚线正方形内，面积为1625,所以油滴整体落入孔中的概率是64361π.。

3 几何概型题型归类解析3.1 基本事件是点题 5（人教版2007必修3第137页例2）假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30~7：30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间在早上7：00~8：00之间，问你父亲离开家前能得到报纸的概率是多少分析：此题一次试验是需明确送报人到达的时间和父亲离开家的时间，故一次试验中的基本事件为两个数，即二元有序数对，一个有序数对对应平面中的点，因此基本事件的数对转化为点。

设送报题 6 把半径为1的硬币随意投到半径为10的圆盘里，硬币不竖立，且整个硬币落在圆盘内，求硬币遮住圆盘圆心的概率。

分析：题中一次试验的基本事件是半径为1的圆，此题基本事件是非质点。

圆需圆心位置和半径确定，而半径为1，故圆只需用数对确定圆心位置。

即每个基本事件（小圆）转化为点（小圆的圆心），这些点形成半径为9的圆面，而硬币遮住圆盘圆心，这些点形成半径为1的圆面. 故测度为面积，所求概率为811。

解：以圆盘的圆心为原点建立平面直角坐标系，设硬币的圆心为),(y x ，所有事件构成的区域是{}810),(22≤+≤=Ωy x y x ，记硬币遮住圆盘圆心为事件A ， 事件A 构成的区域{}10),(22≤+≤=y x y x A ，π81=ΩS ，π=A S ，P(A) =811. 所以硬币遮住圆盘圆心的概率为811。

评注：解法是把每个基本事件（硬币）表示为数对，数对又对应着点，则基本事件转化为点。

其实基本事件（硬币）无需表示为数对，直接转化点（圆心）求解更为简单。

其原因是这些点形成图形的面积容易求得，这就是为什么许多几何概型问题的基本事件不表示为数或数对的原由。

3.32基本事件为球题7 半径为1的球在长、宽、高分别为10、8、6的封闭长方体盒内随意游动，则长方体的体对角线中点在球内的概率是 。

分析：题中的基本事件为球，而每个球对应一个球心，即每个基本事件对应一个球心，把非质点几何概型问题转化为质点几何概型问题。

这些球心形成长为8、宽为6、高为4的长方体1111EFGH E FG H -，球心移动的体积1111EFGH E FG H V -=468)26)(28)(210(⨯⨯=---，球需遮住长方体对角线中点时，基本事件对应的球心形成半径为1的球体，体积为34π=球V 。

所以球遮住长方体的体对角线中点的概率为14446834ππ=⨯⨯。

3.33基本事件为一个定长线段题 8 若甲同学每天晚上在家只连续学习2小时，甲学习时间为18时至23时，则22时甲在学习的概率。

分析：因为甲在18时至23时连续学习2小时，故一次试验中的基本事件是一定长线段，而每一线段对应此线段的左端点，即甲开始学习的时间（或每一线段也可对应此线段的右端点，即甲结束学习的时间），也就是由基本事件对应非质点问题转化为基本事件对应质点问题。

甲开始学习的时间只能是18时至21时中的某一时刻. 这些端点形成的区域是长度，又22时甲在学习，必有甲开始学习的时间只能是20时至21时中的某一时刻.所以22时甲在学习的概率是13。

3.34基本事件为两个定长线段题 9人教版必修3（2010年12出版）第142页）甲乙两艘船都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达，试求这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率。

O图9分析：因为甲、乙停靠分别为6小时、6小时，所以一次试验中的基本事件对应两个线段，故此题是非质点几何概型问题。

每个时间线段对应该时间线段的起始时间点，所以基本事件对应二维平面中的一个点，把非质点几何概型问题转化为质点几何概型问题。

解略 3.35基本事件为射线题 10 在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部任作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，求AM ＜AC 的概率。