江苏省淮安市2016-2017学年高一下学期期末考试数学试题(解析版)

江苏省淮安市2016—2017学年度第一学期高一数学试题填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1. 15cos 15sin 2的值为_____________ 【答案】12【解析】由二倍角公式可得：12sin15cos15sin 302==2.一组数据1,3,2,5,4的方差是____________ 【答案】2 【解析】所给数据的平均数：1234535x ++++== ，方差为：()()()()()22222132333435325-+-+-+-+-= .3.若()0,1x ∈，则()1x x -的最大值是___________ 【答案】14【解析】二次函数开口向下，对称轴12x =在所给区间内，则函数的最大值为1111224⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭ .点睛：二次函数的最值一定要注意区间的限制，不要盲目配方求得结论，不要忽略了函数的定义域．4.如图是一个算法的流程图，则输出的a 的值是 ．【答案】9 【解析】:试题分析：由题意可得，a 是在不断变大的，b 是在不断变小，当程序运行两次时，a=9,b=5，a>b,跳出程序，输出a="9;"考点：算法的流程图的计算5.两根相距m 6的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2m 的概率是__________． 【答案】13【解析】在距绳子两段两米处分别取A ，B 两点，当绳子在线段AB 上时（不含端点），符合要求，所以灯与两端距离都大于2m 的概率为6221=63P --=，故填13．6.已知实数,x y 满足50,{220,0,x y x y y +-≤-+≥≥则目标函数z x y =-的最小值为 ．【答案】3- 【解析】试题分析：作出不等式组对应的平面区域，如图所示，由z x y =-，得y x z =-表示斜率为1，纵截距为z -的一组平行直线，平移直线y x z =-，当直线经过点A 时，此时直线y x z =-截距最大，z 最小，由50{220x y x y +-=-+=，得1{4x y ==，此时最小值min 143z =-=-.考点：简单的线性规划.7.在ABC ∆中，内角A,B,C 的对边分别为,,a b c ，若4:3:2::=c b a ，则cos C =_________. 【答案】14- 【解析】不妨设()2,3,40a m b m c m m ===> ，由余弦定理可得：()()()2222222341cos 22234m m m a b c C ab m m +-+-===-⨯⨯ .8.若()1tan 2,tan 3ααβ=-+=，则tan β的值是___________. 【答案】7 【解析】 由题意可得：()()()tan tan tan tan 71tan tan αβββαββαββ+-⎡⎤=+-==⎣⎦++ .9.已知{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，若75230a a --=，则17S 值是_____________.【答案】51 【解析】由题意可得：()()7511123264383a a a d a d a d --=+-+-=-- ， 故：191830,83a d a a d --=∴=-= ， 结合等差数列的性质：117917921717175122a a aS a +=⨯=⨯== .10.已知ABC ∆中，3AB =，1BC =，30A =︒，则AC = ． 【答案】1或2 【解析】试题分析：由余弦定理得2222cos30BC AC AB AC AB =+-⋅︒，即2313232AC AC =+-⨯，解得1=AC 或2=AC ．考点：余弦定理．11.已知数列{}n a 中，112,2,n n a a a +==n S 是其前n 项和，若254n S =，则___________.【答案】7 【解析】由12n n a a += 可得数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列， 其前n 项和：()21225412nn S ⨯-==- ，解得：7=n .12.已知{}n a 是等差数列，11a =，公差0≠d ，n S 是其前n 项和，若125,,a a a 成等比数列，则10S =____________. 【答案】100 【解析】若a 1，a 2，a 5成等比数列，则a 1a 5=(a 2)2，即a 1(a 1+4d )=(a 1+d )2，则1+4d =(1+d )2， 即2d =d 2，解得d =2或d =0(舍去)， 则10109101210901002S ⨯=⨯+⨯=+= ， 故答案为：100.13.在锐角ABC ∆中，sin sin sin A B C =，则tan 2tan B C +的最小值是_________. 【答案】223+【解析】由题意可得：sin cos sin cos sin sin B C C B B C += ， 则：tan tan tan tan B C B C += ，解得：tan tan tan 1CB C =- ，据此可得：()tan 1tan 2tan 2tan 2tan 13322tan 1tan 1C B C C C C C +=+=-++≥+-- ，当且仅当()12tan 1tan 1C C -=- 时等号成立. 综上可得tan 2tan B C +的最小值是322+ .点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．14.已知ABC ∆中，内角A,B,C 的对边分别为,,a b c ，若,,a b c 成等比数列，则22a b ab+的取值范围为__________.【答案】[2,5) 【解析】不妨设()2,1b ax c axx ==≥ (01x << 时结论相同)，由三角形的性质有：a b c +> ，即()21a x ax +> ，解得：1512x +≤<， 据此：221a b x ab x +=+ ，利用对勾函数的性质结合函数的定义域可得：)222,5a b ab+⎡∈⎣ .点睛：求函数的值域的方法：①当所给函数是分式的形式，且分子、分母是同次的，可考虑用分离常数法；②若与二次函数有关，可用配方法；③当函数的图象易画出时，可以借助于图象求解．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 15.已知3sin ,,.52πααπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭（1）求sin 3πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值； （2）求cos 24πα⎛⎫-⎪⎝⎭的值.【答案】（1）34310- （2）17250- 【解析】 试题分析：(1)利用题意首先求得4cos 5a =-，然后由两角和差正余弦即可求得sin 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为34310-；(2)结合(1)的结论首先求得247sin 2,cos 22525αα=-=，然后结合两角和差正余弦可得cos 24πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为17250-. 试题解析： （1）因为， 所以.所以.(2) 因，所以.. .16.已知等差数列{}n a 中，其前n 项和为25,4,30.n S a S == （1）求{}n a 的首项1a 和公差d 的值； （2）设数列{}n b 满足1n nb S =，求数列{}n b 的前项和n T . 【答案】（1）12,2a d == （2）1n n + 【解析】 试题分析：(1)由题意得到关于首项、公差的方程组，求解方程组可得12,2a d ==；(2)首先求得{}n a 的前n 项和，然后裂项求和可得数列{}n b 的前项和n T 为1n n + . 试题解析： （1）因为是等差数列，,所以解得.（2）由（1）知即.所以 .于是数列的前n 项和.点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．17.某学校为了解学校食堂的服务情况，随机调查了50名就餐的教师和学生.根据这50名师生对餐厅服务质量进行评分，绘制出了频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组为[)[)[]40,50,50,60,,90,100.（1）求频率分布直方图中a 的值；（2）从评分在[)40,60的师生中，随机抽取2人，求此人中恰好有1人评分在[)40,50上的概率；（3）学校规定：师生对食堂服务质量的评分不得低于75分，否则将进行内部整顿，试用组中数据估计该校师生对食堂服务质量评分的平均分，并据此回答食堂是否需要进行内部整顿.【答案】（1）0.006（2）35（3）76.2,不需要内部整顿. 【解析】试题分析：(1)由频率分布直方图小长方形面积之和为1可得关于实数a 的方程，解方程可得0.006a = ； (2)利用题意列出所有可能的结果，由古典概型公式可得此人中恰好有1人评分在[)40,50上的概率为35(3)求解平均值76.275x => 可知食堂不需要内部整顿. 试题解析： （1）由,得.（2）设被抽取的2人中恰好有一人评分在[)40,50上为事件A.因为样本中评分在[)40,50的师生人数为：，记为1,2号 样本中评分在[)50,60的师生人数为：，记为3,4,5号所以从5人中任意取2人共有（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（2,3），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5），（4,5）共10种等可能情况；2人中恰有1人评分在[)40,50上有（1,3），（1,4），（1,5），（2,3），（2,4），（2,5）共6种等可能情况. 得.答：2人中恰好有1人评分在[)40,50上的概率为. (3) 服务质量评分的平均分为因为 76.275>, 所以食堂不需要内部整顿.点睛：一是在频率分布直方图中，小矩形的高表示频率/组距，而不是频率；二是利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.18.已知函数()()222,.f x ax a x a R =+--∈.（1）若关于X 的不等式()0f x ≤的解集为[]1,2-，求实数a 的值； （2）当0a <时，解关于x 的不等式()0f x ≤.【答案】（1）1（2）见解析【解析】试题分析：(1)利用题意结合根与系数的关系可得1a=；(2) 将不等式分解因式，对实数a的范围分类讨论即可求得不等式的解集.试题解析：(1) 因为不等式的解集为，所以方程有两根且分别为,所以且，解得.(2)由，得当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为.19.如图，GH是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在GH上的一点B的正北方向的A处建一仓库，设AB = y km，并在公路同侧建造边长为x km的正方形无顶中转站CDEF（其中边EF在GH上），现从仓库A向GH和中转站分别修两条道路AB，AC，已知AB = AC+ 1，且∠ABC = 60o．（1）求y关于x的函数解析式；（2）如果中转站四周围墙造价为1万元/km，两条道路造价为3万元/km，问：x取何值时，该公司建中转站围墙和两条道路总造价M最低？【答案】（1）2412(1)xyx-=-（x＞ 1）；（2）74x=时，该公司建中转站围墙和道路总造价M最低．【解析】 试题分析：(1)利用题意结合余弦定理可得函数的解析式24122x y x -=-（，其定义域是(1,)+∞. (2)结合(1)的结论求得利润函数，由均值不等式的结论即可求得当km 时，公司建中转站围墙和两条道路最低总造价为490万元.试题解析：（1）在BCF ∆中,,30,CF x FBC CF BF =∠=︒⊥,所以2BC x =.在ABC ∆中，,1,60AB y AC y ABC ==-∠=︒，由余弦定理，得2222cos AC BA BC BA BC ABC =+-⋅∠，即222(1)(2)22cos 60y y x y x （-=+-⋅⋅︒， 所以 24122x y x -=-（. 由AB AC BC -<， 得121,2x x >>. 又因为241022x y x -=>-（，所以1>x .所以函数24122x y x -=-（的定义域是(1,)+∞. (2)30(21)40y x =⋅-+ .因24122x y x -=-（（1>x ）， 所以24130(21)4022x M x x -=⋅⋅-+-（即 212310(4-1)1x M x x -=⋅+-（）.令1,t x =-（则. 于是，由基本不等式得，当且仅当34t =（，即74x （=时取等号. 答：当km 时，公司建中转站围墙和两条道路最低总造价为490万元.20.已知数列{}n a 的前n 项和为,n S 且满足24n S n n =-，数列{}n b 中，2133a b a =+对任意正整数112,.3n n n n b b +⎛⎫≥+= ⎪⎝⎭（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）是否存在实数μ，使得数列{}3n n b μ⋅+是等比数列？若存在，请求出实数μ及公比q 的值，若不存在，请说明理由；（3）求证：121148n b b b ≤+++<. 【答案】（1）25n a n =- （2）1,34q μ=-=- （3）见解析 【解析】试题分析：(1)由通项公式与前n 项和的关系可得数列{}n a 的通项公式为25n a n =-；(2)假设存在满足题意的实数μ ，利用等比数列的定义得到关于μ 的方程，解方程可得1,34q μ=-=-； (3)求得数列的前n 项和，分类讨论n 的奇偶性即可证得题中不等式的结论.试题解析：(1)当时， 113a S ==-， 当时，1n n n a S S -=- ()()224141n n n n =---+-， 即25n a n =-， 也适合，所以. (2)法一：假设存在实数μ，使数列是等比数列，且公比为. 因为对任意正整数,113n n n b b -⎛⎫+= ⎪⎝⎭（），2131,34ab a ==-+ 可令n=2,3,得. 因为{}3n n b μ+是等比数列，所以， 解得从而（） 所以存在实数，公比为. 法二：因为对任意整数,113n n n b b -⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）， 所以113331n n n n b b --=-⋅+（， 设 ()11333n n n n b b （μμ--+=-⋅+，则41μ-=， 所以存在14μ=-，且公比111343134n n n n b q b ---==--. (3)因为231,1a a =-=，所以2131,34a b a ==-+ 11314b -=-， 所以()113134n n n b --=-⋅-，即()111113123n n n b -⎛⎫=-⋅+⋅ ⎪⎝⎭， 于是()011113123⎛⎫-⋅+⋅ ⎪⎝⎭ ()111113123n n -⎛⎫+-⋅+⋅ ⎪⎝⎭()111111231613n n ⎛⎫- ⎪--⎝⎭=+- ()11111683n n --⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ ()11111683n n --⎛⎫=+- ⎪⎝⎭当是奇数时: 11151113832483n n ⎛⎫=-+-=--⋅ ⎪⎝⎭，关于递增， 得. 当是偶数时: 11183n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,关于递增, 得.综上，.。