克莱姆法则
克莱姆法则
作者介绍
克莱姆（Cramer,Gabriel，瑞士数学家 1704-1752）克莱姆1704年7月31日生于日内瓦，早年在日内瓦读书， 1724年起在日内瓦加尔文学院任教，1734年成为几何学教授，1750年任哲学教授。他自 1727年进行为期两年的 旅行访学。在巴塞尔与约翰．伯努利、欧拉等人学习交流，结为挚友。后又到英国、荷兰、法国等地拜见许多数 学名家，回国后在与他们的长期通信中，加强了数学家之间的联系，为数学宝库也留下大量有价值的文献。他一 生未婚，专心治学，平易近人且德高望重，先后当选为伦敦皇家学会、柏林研究院和法国、意大利等学会的成员。
克莱姆法则
线性代数中一个关于求解线性方程组的定理
01 作者介绍
目录
02 基本介绍
03 法则总结
04 技术应用
05 不确定的情况
克莱姆法则，又译克拉默法则（Cramer's Rule）是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理。它适用于 变量和方程数目相等的线性方程组，是瑞士数学家克莱姆（1704-1752）于1750年，在他的《线性代数分析导言》 中发表的。其实莱布尼兹〔1693〕，以及马克劳林〔1748〕亦知道这个法则，但他们的记法不如克莱姆。
记法1：若线性方程组⑴的系数矩阵可逆（非奇异），即系数行列式 D≠0。有唯一解，其解为 记法2：若线性方程组⑴的系数矩阵可逆（非奇异），即系数行列式 D≠0，则线性方程组⑴有唯一解，其解 为 其中Dj是把D中第j列元素对应地换成常数项而其余各列保持不变所得到的行列式。 记法1是将解写成矩阵（列向量）形式，而记法2是将解分别写成数字，本质相同。
克莱姆法则
第三节 克莱姆法则教学目的及要求： 1.克莱姆法则2.利用克莱姆法则求解线性方程组教学重点、难点： 克莱姆法则的应用教学过程：一、复习利用行列式求解二元线性方程组 二、新课讲授1.n 元线性方程组的概念 从二元线性方程组的解的讨论出发，对更一般的线性方程组进行探讨。
在引入克莱姆法则之前，我们先介绍有关 n 元线性方程组的概念。
含有 n 个未知数 x 1,x 2, , x n 的线性方程组a 11x 1 a 12x 2 a 1n x nb 1,a 21x 1a 22x 2a 2n x nb 2,(1)a n1x 1 a n2x 2 a nn x nb n ,a 11 a 12 a 1n Da 21a 22a 2na n1 a n2 a nn2. 克莱姆法则定理 1 ( 克莱姆法则 ) 若线性方程组 解,其解为性方程组 ,当 b 1,b 2 , ,b n 全为零时 , 线性方程组 (1)称为齐次线性方程组，即a 11x 1 a 12x 2 a 1n x n0,a 21x 1a 22x 2 a 2n x n0,(2)a n1x 1 a n2x 2 a nn x n0.称为 n 元线性方程组 .当其右端的常数项 b 1,b 2, 线性方程组 (1)的系数 a ij 构成的行列式称为该方程组的系数行列式 D ，即,b n 不全为零时 ,线性方程组 (1) 称为非齐次线 (1)的系数行列式 D 0, 则线性方程组 (1)有唯一2 2 5 20,20,8545D jx j D(j 1,2, ,n) (3)其中D j(j 1,2, ,n)是把D中第j列元素a1j,a2j, ,a nj对应地换成常数项b1,b2, ,b n,而其余各列保持不变所得到的行列式.一般来说，用克莱姆法则求线性方程组的解时，计算量是比较大的. 对具体的数字线性方程组，当未知数较多时往往可用计算机来求解. 用计算机求解线性方程组目前已经有了一整套成熟的方法.克莱姆法则在一定条件下给出了线性方程组解的存在性、唯一性，与其在计算方面的作用相比，克莱姆法则更具有重大的理论价值. 撇开求解公式(3), 克莱姆法则可叙述为下面的定理.定理 2 如果线性方程组(1)的系数行列式 D 0, 则(1)一定有解,且解是唯一的.在解题或证明中，常用到定理 2 的逆否定理:定理 2 如果线性方程组(1) 无解或有两个不同的解, 则它的系数行列式必为零.对齐次线性方程组(2), 易见x1 x2 x n 0 一定该方程组的解, 称其为齐次线性方程组(2)的零解. 把定理2应用于齐次线性方程组(2)，可得到下列结论.定理 3 如果齐次线性方程组(2)的系数行列式 D 0, 则齐次线性方程组(2)只有零解. 定理3 如果齐次方程组(2) 有非零解,则它的系数行列式D 0.注: 在第三章中还将进一步证明,如果齐次线性方程组的系数行列式 D 0, 则齐次线性方程组(2)有非零解.三、例题选讲例 1 用克莱姆法则求解线性方程组：2x1 3x2 5x3 2x1 2x2 53x 2 5x3 4解D20235D1( 2) 2 5D260,1820.D 1D 2 D 3x 11, x 23, x 311D2D 3D例 3（ E02） 大学生在饮食方面存在很多问题 ，很多人不重视吃早饭，多数大学生日常饮食 没有规律， 为了身体的健康就要制订营养改善行动计划， 大学生一日食谱配餐： 需要摄入一 定的蛋白质、脂肪和碳水化合物，下边是三种食物，它们的质量用适当的单位计量。
行列式克莱姆法则
利用克莱姆法则，可以将一个行列式表示为一个数值，通过计算该数值即可得到行列式的值。这种方法适用于系 数行列式不为零的情况，可以简化行列式的计算过程。
实例三：解的唯一性验证
总结词
克莱姆法则可以用于验证线性方程组解的唯一性。
详细描述
通过计算系数矩阵的行列式，利用克莱姆法则判断解的唯一性。如果行列式不为零，则线性方程组有 唯一解；如果行列式为零，则线性方程组可能无解或有无穷多解。这种方法可以用于判断线性方程组 解的情况，为求解问题提供依据。
03 适用范围
研究克莱姆法则的适用范围，探索其在更广泛领 域的应用可能性。
应用领域的拓展
数值分析
将行列式克莱姆法则应用于数值分析中，解决 大规模线性方程组的求解问题。
科学计算
将克莱姆法则与其他科学计算方法相结合，提 高计算效率和精度。
工程领域
将克莱姆法则应用于工程领域，解决实际工程问题，如结构分析、流体动力学 等。
线性方程组解的唯一性条件是克莱姆法则应用的 重要前提之一，它确保了线性方程组的解是唯一 的，从而使得行列式中的每个子式可以代表一个 唯一的解向量。
03
克莱姆法则的推导过程
推导步骤一：行列式的计算
计算行列式的值
根据行列式的定义，按照行或列展开，计算得到行列 式的值。
展开方式的选择
选择合适的展开方式，使得计算过程简化，提高计算 效率。
计算方法的改进
算法优化
优化克莱姆法则的计算方法，提高计算效率，减少计算量。
并行计算
利用并行计算技术，实现克莱姆法则的高效计算，处理大规模数 据。
软件实现
开发适用于克莱姆法则的软件或库，方便用户进行实际应用和计 算。
THANKS
carmer法则
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克莱姆法则（Cramer's Rule）是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理，也称作克拉默法则。
这个法则是由瑞士数学家克莱姆（Gabriel Cramer）在他的《线性代数分析导言》中于1750年发表的。
不过值得注意的是，尽管克莱姆是首位发表这个法则的数学家，但莱布尼兹和马克劳林等数学家在此之前也已经知晓这个法则。
克莱姆法则的核心内容是：对于一个有n个方程和n个未知数的线性方程组，如果其系数行列式不等于零，那么方程组有唯一解，且每一个未知数的解可以由对应的行列式求得。
具体来说，每一个未知数的解等于常数项替换该未知数系数后所得到的行列式与原系数行列式之商。
然而，克莱姆法则并不总是计算线性方程组最有效的方法。
实际上，当方程组的规模（即未知数的数量）增加时，使用克莱姆法则进行计算会变得非常低效。
因为计算每一个未知数的解都需要计算n个n阶行列式，而计算一个n阶行列式的时间复杂度是O(n!)，这使得克莱姆法则对于大规模线性方程组的求解并不实用。
此外，克莱姆法则还存在数值稳定性的问题。
即使对于规模较小的线性方程组，由于计算过程中涉及大量的乘法和除法运算，可能会导致数值误差的累积，从而影响解的精度。
总的来说，克莱姆法则虽然在线性代数中具有重要的理论意义，但在实际应用中，我们通常会选择更高效、更稳定的算法来求解线性方程组。
1.4 克莱姆( Cramer )法则
1 1 6 1 1 1 6 1 D3 144, 1 2 6 8 1 2 6 8
1 1 1 1 D4 1 2 1 2
1 6 1 6 72, 4 6 4 6
D1 576 所以 a0 8, D 72
D3 144 a2 2, D 72
D2 72 a1 1, D 72
(1 ) (2 )
2
因为方程组有非零解, 则
D (1 )2 (2 ) 0
故 λ =1 或 λ= −2.
12
例3 问 取何值时, 齐次线性方程组
1 x1 2 x2 4 x3 0 2 x1 3 x2 x3 0 有非零解？ x x 1 x 0 2 3 1
其余 xi ( i j ) 的系数均等于0, 而等式右端为 D j 于是
Dx j Dj j 1, 2,
,n
2
当D≠0时, 方程组(2)有唯一的一个解为
D3 D1 D2 x1 , x2 , x3 , D D D
D3 D1 D2 x1 , x2 , x3 , D D D
3
(1)
的系数行列式 D
a21 a n1
0
则线性方程组(1)有唯一解，且
D3 D1 D2 x1 , x2 , x3 , D D D Dn , xn . D
其中Dj 是把系数行列式 D 中第 j 列的元素用方程组
右端的常数项代替后所得到的 n 阶行列式, 即
a11 Dj a n1
解 先求系数行列式，得
2 1 5 1 1 3 0 6 D 0 2 1 2 1 4 7 6
r1 2r2
线性代数课件1-5克莱姆法则
线性方程组的解的个数
有唯一解
当系数矩阵的行列式不为零时，线性方 程组有唯一解。
VS
无解或多解
当系数矩阵的行列式为零时，线性方程组 可能无解或多解，此时克莱姆法则不适用 。
03
克莱姆法则的证明过程
系数矩阵的行列式的性质
系数矩阵的行列式不为零
克莱姆法则的前提条件是系数矩阵的行列式 不为零，这是保证线性方程组有唯一解的重 要条件。
线性方程组解的个数的判断
总结词
克莱姆法则可以用于判断线性方程组解的个数。
详细描述
通过计算系数矩阵的行列式值和各列的代数余子式，可 以确定线性方程组的解的个数。如果行列式值不为零， 则线性方程组有唯一解；如果行列式值为零且系数矩阵 的秩等于增广矩阵的秩，则线性方程组有无穷多解；如 果行列式值为零且系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩， 则线性方程组无解。
Ax=b，其中A是系数矩阵，x是未知数矩阵，b是常数矩阵。
特殊形式
当系数矩阵A为方阵时，即行数和列数相等的矩阵，克莱姆法则适用。
系数矩阵的行列式
非零行列式
克莱姆法则的前提是系数矩阵的行列式不为零，即|A|≠0。
行列式的计算
行列式的值是通过其对应元素的代数余子式计算得出的，即|A|=Σ(-1)^(i+j)a_{ij}，其中a_{ij}是A的元 素。
解的唯一性
除了证明解的存在性，还需要证明解是唯一 的。这可以通过利用系数矩阵的行列式不为 零的条件和线性方程组的解的性质来证明。
克莱姆法则的证明
证明过程
克莱姆法则的证明过程涉及多个步骤，包括利用代数余子式计算系数矩阵的行列式、将 线性方程组的解表示为系数矩阵的行列式的值等。这个过程需要仔细推导和计算，确保
克莱姆(Cramer)法则
0 2 1 2
1 4 7 6
又
8 1 5 1
9 3 0 6
D1 5
2
1
81 2
0 4 7 6
2 8 5 1
1 9 0 6
D2 0 5 1
108 2
1 0 7 6
21 8 1
1 3 9 6
D3 0
2
5
27 2
14 0 6
2 1 5 8
1 3 0 9
D4 0
2
27 1 5
Байду номын сангаас
1 4 7 0
1 cn cn2 cnn
为 n+1阶范德蒙行列式的转置,故D≠0 .由定
理1.4.2,齐次线性方程组(1.4.7)只有零解,从
而 an=0,此与题设条件矛盾.
n
bk Akj ( j 1,2,, n)
k 1
于是
n aij
j 1
Dj D
1 D
n j 1
aij
n
( bk
k 1
Akj )
1 D
nn
aijbk Akj
j1 k 1
1 D
n
(
k 1
n
aij Akj
j 1
)bk
1 D
bi
(
n
aij Aij
j 1
)
1 D
bi D
bi
(i 1,2,,n)
k1 1 D 1 k 1 (k 1)(k 4)
2 1 1
所以, k = 1或k=4 ，且易验证k = 1或k=4 时方程组确有非零解.
例1.4.4 试证: n次多项式
f (x) a0 a1x an x n (an 0)
克莱姆法则
如何结合其他决策方法提高克莱姆法则的决策效果
结合其他决策方法
• 将克莱姆法则与直觉决策、群体决策等其他决策方法相 结合 • 实现决策方法的互补和优化，提高决策效果
决策效果评估
• 建立决策效果评估机制，对决策过程进行监督和反馈 • 根据评估结果，不断调整和优化决策方法，提高决策效 果
CREATE TOGETHER
政策方案的选择
• 通过克莱姆法则对政策方案进行评估和选择，实现最优政策效果 • 克莱姆法则有助于提高政策制定的科学性和民主性，增强政策的可信度
克莱姆法则在个人决策中的应用实例
职业规划
• 通过克莱姆法则明确职业目标，分析个人能力和市场需求，制定合适的职业规划 • 克莱姆法则可以帮助个人实现职业发展目标，提高职业满意度
克莱姆法则的发展历程
• 20世纪60年代，克莱姆法则开始受到广泛关注 • 20世纪70年代，克莱姆法则被广泛应用于项目管理领域 • 20世纪80年代，克莱姆法则逐渐成为决策科学的一个重要分支
克莱姆法则的核心要义与基本原理
克莱姆法则的核心要义
• 明确问题：首先需要清晰地定义问题和决策目标 • 收集信息：收集与问题相关的所有信息和数据 • 列出解决方案：根据收集到的信息，提出所有可能的解决方案 • 评估风险：对每个解决方案的风险进行评估，选择风险最小的方案
决策步骤优化
• 对决策步骤进行精简，提高决策效率 • 引入人工智能和大数据技术，辅助决策过程
如何提高克莱姆法则在复杂问题决策中的准确性
提高信息质量
• 采用多种渠道收集信息，确保信息的真实性、可靠性和全面性 • 提高信息处理的能力和技巧，挖掘信息价值
增强决策者的能力
• 培养决策者的批判性思维和创新能力 • 提高决策者的风险意识和风险应对能力
克莱姆法则及证明
第7节克莱姆（Cramer）法则一、线性方程组元线性方程组是指形式为：（1）的方程组，其中代表个未知量，是方程的个数，， ; 称为方程组的系数，称为常数项。
线性方程组的一个解是指由个数组成的有序数组，当个未知量分别用代入后，式（1）中每个等式都成为恒等式。
方程组（1）的解的全体称为它的解集合，如果两个线性方程组有相同的解集合，就称它们是同解方程组。
为了求解一个线性方程组，必须讨论以下一些问题：(1).这个方程组有没有解？(2).如果这个方程组有解，有多少个解？(3).在方程组有解时,解之间的关系,并求出全部解。
本节讨论方程的个数与未知量的个数相等(即)的情形。
二、克莱姆法则定理1（克莱姆法则）如果线性方程组（2）的系数行列式：那么这个方程组有解，并且解是唯一的，这个解可表示成：（3）其中是把中第列换成常数项所得的行列式，即。
分析：定理一共有3个结论：方程组有解；解是唯一的；解由公式（3）给出。
因此证明的步骤是：第一，把代入方程组，验证它确实是解。
这样就证明了方程组有解，并且（3）是一个解，即证明了结论与。
第二，证明如果是方程组（２）的一个解，那么一定有。
这就证明了解的唯一性，即证明了结论。
证明：先回忆行列式的一个性质，设阶行列式，则有：接下来证明定理。
首先，证明（3）确实是（2）的解。
将行列式按第列展开得：，其中是行列式中元素的代数余子式。
现把代入第个方程的左端，得：这说明将（3）代入第个方程后，得到了一个恒等式，所以（3）是（2）的一个解。
其次，设是方程组（2）的一个解，那么，将代入（2）后，得到个恒等式：（4）用系数行列式的第列的代数余子式依次去乘（4）中个恒等式，得到：将此个等式相加，得：从而有：。
这就是说，如果是方程组（2）的一个解，那么一定有，所以方程组只有一个解。
三、齐次线性方程组在线性方程组中，有一种特殊的线性方程组，即常数项全为零的方程组，称为齐次线性方程组。
显然，齐次线性方程组总是有解的，因为就是它的解，这个解称为零解；其他的，即不全为零的解（如果还有的话），称为非零解。
03-第三节-克莱姆法则
03-第三节-克莱姆法则克莱姆法则，又称克莱姆-高尔德定理，是线性代数中的一个基本定理。
它是由瑞典数学家Thomas Joannes Stieltjes的工作启发得到的，是Sylvester定理的推广。
它表明对于一个n元线性方程组，其解向量的每一维可以表示为n个由原方程组变换而来的n-1元线性方程组的行列式比值，而这个比值只与原方程组的系数矩阵有关，与常数向量无关。
克莱姆法则的核心是求解一个n元线性方程组Ax=b，其中A为n×n的方阵，b为n 元常数向量。
假设原方程组的系数矩阵为A=[a1,a2,…,an]，则对于解向量x=[x1,x2,…,xn]，可以表示为：x1 = (det(A1)/det(A))……其中，A1=[b1,a2,…,an], A2=[a1,b2,…,an]，An=[a1,a2,…,bn]，det(A)为A的行列式，det(Ai)为将A中的第i列替换为向量b后得到的矩阵的行列式。
换句话说，x1、x2、…、xn是由Ai中的元素和bi组成的行列式，除以A的行列式得到的。
克莱姆法则适用于系数矩阵非奇异的情况，即det(A)≠0的情况。
当det(A)=0时，原方程组可能无解，也可能有无穷多解，无法使用克莱姆法则求解。
克莱姆法则的优点在于简单，直观，易于使用。
但是，它也有一些缺点。
首先，它只适用于小规模的方程组，因为计算每个Ai和det都需要指数级的时间复杂度。
其次，由于对每个解分别计算行列式比值，因此克莱姆法则对于数值误差非常敏感，可能产生较大的舍入误差。
因此，在实际应用中，一般使用其他更为鲁棒的方法，如高斯消元法、LU分解法等。
总之，克莱姆法则是一个强大且简单的工具，可以用于分析和解决一些线性方程组问题。
克莱姆法则
定理三 如果齐次线性方程组有非零解,则 齐次线性方程组的系数行列式D=0. [证 ] 若 D 0 由克莱姆法则知齐次线性方程组只Hale Waihona Puke 唯一的零解. 与已知矛盾 D=0
由定理三可知,齐次线性方程组的系 数行列式D=0是齐次线性方程组有非零解 的必要条件. 在第四章将会看到,D=0也是齐次线性 方程组有非零解的充分条件. 综合上述,得到: 齐次线性方程组有非 零解的充要条件是系数行列式D=0.
2 1 8 1 1 3 9 6 D3 D3 = 27 x 3 D 0 2 5 2 27 1 4 0 6 = 1 27
2 1 5 8 D4 27 1 3 0 9 =27 x 4 D4 D 27 0 2 1 5 =1 1 4 7 0
二、齐次线性方程组有非零解的充要条件 齐次线性方程组: a11 x1 a12 x 2 a1n x n 0 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n 0 a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n 0 显然,齐次线性方程组总是有解的.因为 x1=0, x2=0,, xn=0就是一个解,它称为零解.
则该线性方程组有且仅有唯一解: Dn D1 D2 x1 , x2 ,, xn D D D 其中Dj (j=1,2,...,n)是把系数行列式D中第j 列的元素用常数项b1,b2,,bn代替后得到的 n阶行列式. 即 a11 a1, j 1 b1 a1, j 1 a1n a 21 a 2, j 1 b2 a2 , j 1 a 2 n Dj a n1 a n , j 1 bn a n , j 1 ann
1.4克莱姆法则
二、重要定理
一、克莱姆法则
术语 齐次与非齐次线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 0 a x a x a x b 0 21 1 22 2 2n n 2 有线性方程组 an1 x1 an 2 x2 ann xn bn 0
二、重要定理
定理1 如果线性方程组1的系数行列式 D 0, 则 1一定有解,且解是唯一的 . 定理2 如果线性方程组 1 无解或解不唯一，则 它的系数行列式必为零. 【注】线性方程组(1)要求方程个数与未知量个数相同!
齐次线性方程组的相关定理
a11 x1 a12 x 2 a1 n x n 0 a x a x a x 0 21 1 22 2 2n n a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n 0
小结
1. 用克莱姆法则解线性方程组的两个条件:
① 方程个数等于未知量个数; ② 系数行列式不等于零. 2.克莱姆法则建立了线性方程组的解和已知的系 数与常数项之间的关系.它主要适用于理论推导.
作业：P34 21(2), 22(2), 23
附 数域 定义 F是由一些数组成的集合，其中 0 F ,1 F ， 若F中任意两个数（可相同）的和、差、积、商（除数 不为0）仍然是F中的数，(也称F对加、减、乘、除运 算封闭),则F称为一个数域.
abc D1 a 2 b 2 c 2 3abc
1 1 a 1 1 b c c1 bc2 cc3 a 2 b c ac ab abc ac ab
1 1 1 D1 a a b c aD, x1 a. D bc ac ab
D3 D2 b, x 3 c. 同理可得 x2 D D
克莱姆法则公式
克莱姆法则公式克莱姆法则公式是20世纪40年代由美国物理学家威廉克莱姆(WilliamKlemperer)提出的一个关于质量、动能和热能的互换关系的重要定律。
克莱姆法则公式能够描述质量和能量的转换，从而描述量子物理学的基本特性，也是分子物理学的基础。
克莱姆法则公式的数学表达克莱姆法则公式通过以下数学表达式表示：Δm =E/c其中，m表示物质的质量，E表示物体内部存储的能量，c为光速，可理解为质量和能量之间的比率；Δm为发生物理变化时，质量变化量，ΔE表示发生物理变化时，能量变化量。
克莱姆法则公式的物理意义克莱姆法则公式揭示了质量和动能的互换关系，能量和热能的互换关系，以及物质的能量和质量之间存在着相互转换的可能性。
克莱姆法则公式诠释了质能守恒定律：即在宇宙任何地方、任何时间，物质总质量及能量总量都不会减少或增加，而只能以不同的形式存在，互相转换。
根据克莱姆法则公式，物质的质量和能量的变化是相反的，当物质的质量发生变化时，物质的内部能量也会随之而变化，反之亦然。
也就是说，物质的质量和能量间具有直接的联系，可以相互转换，变量的增加意味着另一个变量的减少，变量的减少意味着另一个变量的增量。
克莱姆法则公式的实际应用克莱姆法则公式可以用于描述原子核释放能量过程和粒子、粒子流构成物质衰变过程，以及粒子发射和吸收物质等交互运动过程。
例如，原子核衰变是一种由质量减少而能量增加的自发现象，这是根据克莱姆法则公式的原理得出的。
此外，电磁能量发射和吸收是按照克莱姆法则来实现物质运动的，物质运动时，电磁能量会在物质和非物质之间转换，克莱姆法则公式也可以解释光子的存在，比如原子间的相互作用。
综上所述，克莱姆法则公式是一个有关质量、动能和热能转换关系的重要定律，它从本质上揭示出物质的质量和能量之间的相互转换。
克莱姆法则公式不仅支持了物质质能守恒定律，也可以用于描述原子核的衰变过程，电磁能量的发射与吸收，以及光子的存在等现象。
克莱姆法则及证明
第７节克莱姆(Cｒamｅr）法则一、线性方程组元线性方程组就是指形式为：（1）得方程组,其中代表个未知量,就是方程得个数，,；称为方程组得系数,称为常数项.线性方程组得一个解就是指由个数组成得有序数组，当个未知量分别用代入后,式（１）中每个等式都成为恒等式.方程组(1）得解得全体称为它得解集合,如果两个线性方程组有相同得解集合，就称它们就是同解方程组.ﻫ为了求解一个线性方程组,必须讨论以下一些问题：(1）、这个方程组有没有解?ﻫ (2）、如果这个方程组有解，有多少个解?（３）、在方程组有解时,解之间得关系，并求出全部解.本节讨论方程得个数与未知量得个数相等（即）得情形。
二、克莱姆法则ﻫ定理1（克莱姆法则)如果线性方程组(2）得系数行列式：那么这个方程组有解,并且解就是唯一得，这个解可表示成:(3)其中就是把中第列换成常数项所得得行列式，即。
分析：定理一共有３个结论：方程组有解；解就是唯一得；解由公式（3）给出.因此证明得步骤就是：第一,把代入方程组，验证它确实就是解。
这样就证明了方程组有解，并且(3)就是一个解,即证明了结论与。
第二，证明如果就是方程组（２）得一个解，那么一定有.这就证明了解得唯一性，即证明了结论。
证明：先回忆行列式得一个性质,设阶行列式,则有：接下来证明定理.首先,证明(3）确实就是（2)得解。
将行列式按第列展开得：，其中就是行列式中元素得代数余子式。
现把代入第个方程得左端，得：这说明将（3)代入第个方程后,得到了一个恒等式，所以(３)就是（2）得一个解。
其次，设就是方程组(2）得一个解,那么，将代入(2）后,得到个恒等式：（4)用系数行列式得第列得代数余子式依次去乘(4）中个恒等式,得到：将此个等式相加，得：从而有:。
这就就是说，如果就是方程组（2)得一个解，那么一定有，所以方程组只有一个解。
三、齐次线性方程组在线性方程组中，有一种特殊得线性方程组，即常数项全为零得方程组，称为齐次线性方程组。
克莱姆法则
ll2 1::a a2 1x x b b1 2yy cc1 2 0 0 充 要 条 件 a a1 2
b1 b2
c1 c2 0.
l1:a3xb3yc30
a3 b3 c3
精选课件
37
三点共线充要条件：
x1 y1 1 x2 y2 1 0 x3 y3 1
精选课件
38
同理可得空间直线方程：
x
y
z1
y3 1
精选课件
40
证： 设圆的方程是
A x2 y2 Dx Ey F 0,
圆上任意点为 x, y .则有：
A x 2 y2 Dx Ey F 0
A x12 y12 Dx1 Ey1 F 0
A x22 y22 Dx2 Ey2 F 0
A x32 y32 Dx3 Ey3 F 0
x1D D128713,
2 1 5 8 1 3 0 9 D4 0 2 1 5 1 4 7 0
27,
x2D D 2217084,
x3D D 322771,
x4
D4 271. D 27
精选课件
12
例2 用克莱姆法则解方程组
3x1 5x2 2x3 x4 3,
3x2 4x4 x1 x2 x3
x13x26x4 9, 2x2x32x4 5,
x14x27x36x4 0.
解 2 1 5 1
0 7 5 13
1 3 0 6 r12r2 1 3 0 6
D 0 2 1 2
r4 r2
0 2 1 2
1 4 7 6
0 7 7 12
精选课件
10
7 5 13 2 1 2
7 7 12
c12c2 c32c2
35 3 1
20、1-5 克莱姆法则
xn
n
bk Akj , k 1
由代数余子式的性质可知, 上式中x j的系数等于 D,
而其余xi i j的系数均为0; 又等式右端为 Dj .
于是
Dx j Dj j 1,2,, n.
2
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当 D 0 时,方程组 2 有唯一的一个解
x1
D1 D
, x2
D2 D
, x3
11
6,
x1 x2 3 x3 2 x4 5 6.
35 21 解 D 0 3 0 4 67 0,
11 11 1 1 3 2
10 上一页 下一页 返 回
3 5 21
3 3 21
D1
4 11
6
3 1
0 1
4 67 , 13
D2
0 1
4 11 6
0 1
4 0, 1
5 6 1 3 2
1 5 6 3 2
18 上一页 下一页 返 回
思考题
当线性方程组的系数行列式为零时,能否用克莱姆 法则解方程组?为什么?此时方程组的解为何?
19 上一页 下一页 返 回
思考题解答
不能, 此时方程组无解或有无穷多解.
20 上一页 下一页 返 回
作业
P 32 13.(1); 15.
21 上一页 下一页 返 回
3 5 3 0 1 0
7 7 2
3 7
3 2
27,
8 1 5 1
D1
9 5
3 2
0 1
6 2
0 4 7 6
81,
2 8 5 1
D2
1 0
9 5
0 1
6 2
1 0 7 6
克莱姆法则理解
克莱姆法则理解
克莱姆法则是一种心理学理论，提出了“认知一致性”的概念。
它认为人们在做出决策或行为时，会倾向于保持认知的一致性，即相信与已有信念和态度相符的信息，并拒绝与之相悖的信息。
克莱姆法则在心理学领域有着广泛的应用，也可以帮助我们更好地理解人们的思维和行为。
在日常生活中，我们经常可以看到克莱姆法则的体现。
比如，当一个人被说服接受某项观点或决定时，他可能会拒绝接受与之相反的观点，因为接受相反观点会让他感到不舒服，与自己原有的观念产生冲突。
这种情况在政治、宗教等领域尤为常见，人们往往听从与自己信仰相符的言论，而对于相反的言论则持怀疑态度。
了解克莱姆法则有助于我们更好地与他人沟通和交流。
在说服他人时，我们需要注意对方已有的信念和观点，避免直接与其相悖，而是可以通过渐进的方式来逐步改变对方的观念。
同时，我们也可以更加理解自己为什么会拒绝接受一些信息，从而更客观地看待事物。
另外，克莱姆法则也提醒我们要对自己的认知进行审视和调整。
当我们发现自己在决策或行为中依赖于已有的信念和态度来做选择时，可以尝试去思考和接受一些与之相反的信息，从而拓宽自己的认知边界，做出更加客观和理性的决策。
总之，克莱姆法则的理解对于我们的生活和工作都有着积极的影响。
它提醒我们在交流和决策中要更加理解和包容他人，也要对自己的认知进行审视和调整，这样才能更好地与他人相处，更好地做出决策。
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显然，其有零解。
推论1：若齐次线性方程组的系数行列式D 0 ，则 其只有零解。即: 式 D 0.
x1 x2 xn 0
推论2：若齐次线性方程组有非零解，则其系数行列
x1 x2 2 x3 0 例：若方程组 2 x1 x2 3 x3 0 有非零解，求 . 2x 2x 2x 0 1 2 3 分析：此时 D 0 1 1 2 1 1 2 2 (2) 0 2 1 ( 2) D 2 3
解：
2 1 5 1 1 3 0 6 (2) D 0 2 1 2 1 4 7 6
0
(1)
7
5 13
1 3 0 6 0 2 1 2 0 7 7 12
7 5 13
3 5
3
2 1 2 0 1 0 27, 7 2 7 7 2 7 7 12
2 2 3
0 0
1
练习：课本32页习题1-5第3题第（1）题、第6题。
思考题: 求一个二次多项式f(x)，使：
f 1 0,
f 2 3,
f 3 28.
提示：设所求的二次多项式为：
f x ax bx c,
2
则有：
abc 0 4a 2b c 3 9a 3b c 28
2 1 5 8 1 3 0 9 D4 0 2 1 5 1 4 7 0
27, D2 108 x2 4, D 27
D3 27 D4 27 x3 1, x4 1. D 27 D 27
（课本29页例1）
注：运用克莱姆法则的两个前提： 1.方程个数与未知数个数相等；
的系数行列式 D 0，则方程组有唯一解：
xj
Dj D
( j 1,2,3,, n).
其中，Dj是把系数行列式第j列元素对应换为方程组 的常数项所得的行列式。 （证明留待下一章进行）
例：用克莱姆法则解线x4 8 x 3x 6 x4 9 1 2 2 x2 x3 2 x4 5 x1 4 x2 7 x3 6 x4 0
2.系数行列式不等于零。 三、关于齐次线性方程组的定理：
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0 a21 x1 a22 x2 a2 n xn 0 an1 x1 an 2 x2 ann xn 0
2
3
3
8 1 5 1 9 3 0 6 D1 5 2 1 2 0 4 7 6
81,
2 8 5 1 1 9 0 6 D2 0 5 1 2 1 0 7 6
108,
2 1 8 1 1 3 9 6 D3 0 2 5 2 1 4 0 6
27,
D1 81 x1 3, D 27
若常数项b1 , b2 ,, bn 全为零，则此时称方程组为齐
次线性方程组。 若常数项b1 , b2 ,, bn 不全为零，则此时称方程组为
非齐次线性方程组。
二 、克莱姆法则： 如果由n个方程构成的n元线性方程组：
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 an1 x1 an 2 x2 ann xn bn
§3 克莱姆法则 一、齐次与非齐次线性方程组的概念
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 对线性方程组 an1 x1 an 2 x2 ann xn bn