相似三角形习题课

相似三角形习题课一、知识要点：1、相似三角形的判定方法：（1）定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似（2）预备定理：__________于三角一边的直线和其他两边（或两边的__________）相交，所构成的三解形与原三角形相似。

（3）_______________对应相等的两个三角形相似。

（4）两边________________，且________________相等的两个三角形相似。

（5）三边______________________，两个三角形相似。

2、相似三角形的性质：（1）相似三角形________________相等；（2）相似三角形________________成比例；（3）相似三角形的对应“三线”（高线、中线、角平分线）之比等于________________；（4）相似三角形的周长之比等于________________；（5）相似三角形的面积之比等于________________。

3、典型结论（1）如图：DE//BC，则有ADAB=________=________；ADDB=________（2）如图：D为△ABC边BC上一点，且∠CAB=∠B，则有AC2=___________（3）如图，CD为RT△ABC斜边AB边上的高，则有：AC2=____________；BC2=____________；CD2=____________；（4）如图，E为平行四边形ABCD边AD边AD上一点，AE：DE=1：1，若S△DEF=3，则S△DFC=____________；S△BFC=____________。

二、重、难知识讲角1、根据相似求线段的长例：如图，在△ABC中，∠ACB的平分线交AB于点D，DE//AC交BC于点E，若AC=9，CE=3，求BE的长。

2、证明等积式（或证比例线段）类型一：由三角形相似直接得等积式例：如图，D、E是△ABC的边AB、AC上的点，∠A=350，∠C=850，∠C=AED=600求证：AD·AB=AE·AC类型二：等量线段代换例：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是中线，过C作CF//AB，P是AD上一点，连接BP并延长交AC于E，交CF与F，求证：BP2=PE·PF类型三：等量式子代换例：已知在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：AE·AB=AF·AC3、添平行线构造相方法运用（在共线比的证明题中应用较广泛）例：如图，△ABC的边AB上有一点D，边BC的延长线上有一点E，且AD=CE，DE 交AC于点F，证明：AB·DF=BC·EF4、动点问题例：如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，AD=6 cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/S的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动，如果P，Q 同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤6），那么：（1）当t为何值时，△QAP为等腰三角形？（2）求四边形QAPC的面积，提出一个与计算结果相关的结论。

（3）求t为何值时，△QAP与△ABC相似？5、综合问题例：（？）在平面直角坐标系xoy中，已知二次函数y=ax2+hx+c(a≠0)的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点c，其顶点的横坐标为1，且过点（2，3）和（-3，-12）。

（1）求此二次函数的表达式：（2）若直线l:y =kx(k≠0)与线段BＣ交于点Ｄ（不与点Ｂ，Ｃ重合），则是否存在这样的直线l，使得以Ｂ，Ｏ，Ｄ为顶点的三角形与△BAC相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点D的坐标；若不存在，请说明理由：6、如图3-66，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点A（1，0），B（2，0），C（0，-2），直线x=m(m＞2)与x轴交于点D。

（1）求二次函数的解析式；（2）在直线x=m（m＞2）上有一点E（点E在第四象限），使得E、D、B为顶点的三角形与A、O、C为项点的三角形相似，求E点坐标（含m的代数式表示）；（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形？若存在，请求出m的值及四边形ABEF的面积；若不存在，请说明理由。

专题：探求性问题一、常见的问题的类型：1、条件探索型——结论明确，而需探索发现使结论成立的条件的题目。

2、结论探索型——给定条件，但无明确结论或结论不惟一。

3、存在探索型——在一定条件下，需探索发现某种数学关系是否存在。

4、规律探索型——发现数学对象所具有的规律性与不变性的题目。

二、常用的解题切入点：1、利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置）进行归纳、概括，得出规律。

2、反演推理：根据假设进行推理，看推导出矛盾的结果还是能与已知条件一致。

3、分类讨论：当命题的题设和结论不惟一确定时，则需对可能现出的情况做到既不重复，也不遗漏，分门别类地加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结论。

三、例题讲解 （一）条件探索型例：在四边形ABCD 中，顺次连接四边中点E ，F ，G ，H ，构成一个新的四边形，请你对四边形ABCD 填加一个条件，使四边形EFGH 成为一个菱形，这个条件是___________（二）结论探索型例：已知：如图，四边形ABCD 是矩形（AD ＞AB ），点E 在BC 上，且AE=AD ，DF ⊥AE ，垂足为F ，请探求DF 与AB 有何数量关系？写出你所得到的结论并给予证明。

练习：（09眉山）在直角梯形ABCD 中，AB ′//DC ，AB ⊥BC ，＜A=600，AB=2CD ，E 、F 分别为AB 、AD 的中点，连结EF 、EC 、BF 、CF 。

（1）判断四边形AECD 的形状（不证明）；（2）在不添加其它条件下，写出图中一对全等的三角形，用符号“≌”表示，并证明。

（3）若CD=2，求四边形BCFE 的面积。

（三）存在探索型存在性探索问题是指在某种题设条件下，判断具有某种性质的数学对象是否存在的一类问题，解题的策略与方法是：先假设数学对象存在，以此为条件进行运算或推理。

若无矛盾，说明假设正确，由此得出符合条件的数学对象存在；否则，说明不存在。

例：抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)过点A （1，-3），B （3，-3），C （-1，5）项点为M 点。

（1）求该抛物线的解析式。

（2）试判断抛物线上是否存在一点P ，使＜POM=900，若不存在，说明 理由：若存在，求出P 点的坐标。

（四）规律探索型规律探索问题是根据已知条件或提供的若干个特例，通过观察、类比、归纳，提示和发现题目所蕴含的本质规律与特征的一类探索性问题。

例：观察算式1=12；1+3+4+22；1+3+5=9+321+3+5+7=16=42;1+3+5+7+9=25=52；……用代数式表示这个规律（n 为正整数）；1+3+5+7+9+…+（2n-1）=_____________ 练习：1、（06眉山）观察下面的单项式：x,-2x,4x 3，-8x 4，……。

根据你发现的规律，写出 第7个式子是_____________________________________。

2、（08眉山）.观察下列等式：111111111111,,,13224235232435=-=-=-⨯⨯⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭……猜想并写出：1(2)n n += 。

3.观察下列一组数的排列：1、2、3、4、3、2、1、2、3、4、3、2、1…，那么第2005个数是4、观察：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256…通过观察用你所发现的规律写出21995的未位数是____________________ 。

5、观察下列由棱长为1的小立方体摆成的图形，寻找规律：如图1中：共有1个小立方体，其中1个看得见，0个看不见；如图2中：共有8个小立方体，其中7个看得见，1个看不见；如图3中：共有27个小立方体，其中有19个看得见，8个看不见；……，则第6个图中，看不见的小立方体有 个。

6、（07眉山） 如图，在线段AE 的同侧作正方形ABCD 和正方形BEFG （BE ＜AB ），连结EG 并延长交DC 于M ，过M 作MN ⊥AB 。

垂足为N ，MN 效BD 于P（1）找出图中一对全等三角形，并加以证明（正方形的对角线分正方形得到的两个三角形除外）；（2）设正方形ABCD 的边长为1，按照题设方法作出的四边形BGMP 若是菱形，求BE 的长。

7．如图①、②、③中，点E 、D 分别是正△ABC 、正四边形ABCM 、正五边形ABCMN 中以C 点为顶点的相邻两边上的点，且BE=CD ，DB 交AE 于P 点。

（1）求图①中，∠APD 的度数；（2）图②中，∠APD 的度数为_________，图③中，∠APD 的度数为_________； （3）根据前面探索，你能滞将本题推广到一般的正n 边形情况。

若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由。

8、如图1，一等腰直角三角尺GEF 的两条直角边与正方形ABCD 的两条边分别重合在一起。

现正方形ABCD 保持不动，将三角尺GEF 绕斜边EF 的中点O （点O 也是BD 中点按顺时针方向旋转）。

（1）如图2，当EF 与AB 相交于点M ，GF 与BD 相交于点N 时，通过观察或测量BM ，FN 的长度，猜想BM ，FN 满足的数量关系，并证明你的猜想；（2）若三角尺GEF 旋转到如图3所示的位置时，线段FE 的延长线与AB 的延长线相交于点M ，线段BD 的延长线与GF 的延长线相交于点N ，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

9、我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，类似地，我们定议：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形。

（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称； （2）如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 上， 设CD ，BE 相交于点O ，若∠A=600, ∠DCB=∠EBC=12∠A.请你写出图中一个与∠A 相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；（3）在△ABC 中，如果∠A 是不等于600的锐角，点D ，E 分别在AB ，AC 上，且∠DCB=∠EBC=12∠A ，探究：满足上述条件的图形中是否存在对边四边形，并证明你的结论。

相似三角形单元自测（范围：相似三角形（24.3） 时间：45分钟 满分100分） 一、填空题（20分）1、如图，△ABC 中，DE//AC ，BD=10，DA=15， BE=12，则EC= ，则EC= ，DE ：AC =______ S △BDE ：S 梯形ADBC =__________2、两个相似三角形对应中线之比是3：7，周长之和为30cm ，则它们的周长分别是3、如图所示的两个三角形是相似的，则x= ,m= ,n= .4、如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，△ADE 与△BCE 面积之比为4：9，那么△ADE 与△ABE 的面积之比为__________。