变量的相关性、回归分析、独立性检验
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甲校 优秀 非优秀 总计 15 45 60 乙校 20 30 50 总计 35 75 110
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
2 110 × （ 15 × 30 － 20 × 45 ） K2的观测值k＝ ≈2.829>2.706， 60×50×35×75
故在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为两个学校的数学 成绩有差异．
n
.
通过求 Q＝ [yi－(b xi＋a )]2 的最小值而得出回
i＝1
归直线的方法， 即求回归直线， 使得样本数据的点到它 的距离的平方和最小，这一方法叫作最小二乘法．
复习目标 课前预习 高频考点 课时小结
－ x· y xiyi－n－
i ＝1
n
(5) 相关系数： r＝
n 2 2 －2 xi －n－ x y2 i －n y i＝1 i＝1
高频考点
课时小结
解析 (1)从甲校抽取 110× 1 000
1 200 1 200＋1 000
＝60(人)，
从乙校抽取 110× 故 x＝10，y＝7.
1 200＋1 000
＝50(人)，
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
1学成绩的优秀率为50×100%＝40%. (3)表格填写如图，
甲校 优秀 非优秀 总计 乙校 总计
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
参考数据与公式：
2 n （ ad － bc ） 由列联表中数据计算K2＝ . （a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）
临界值表
P(K2≥k0) k0 0.10 0.05 0.010
2.706 3.841 6.635
复习目标
课前预习
变量的相关性、回归分析、独 立性检验
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
1．会作两个有关联变量的散点图，会利用散点图 认识变量间的相关关系． 2．了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回 归方程系数公式建立线性回归方程． 3．了解独立检验(只要求2×2列联表)的基本思 想、方法及其简单应用． 4．了解回归分析的基本思想、方法及其简单应 用．
复习目标
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高频考点
课时小结
题型三 例3
独立性检验
(2016· 人大附中模拟)大家知道，莫言是中国首位获得
诺贝尔奖的文学家，某高校文学社从男女生中各抽取50名同学 调查对莫言作品的了解程度，结果如下：
阅读过莫言的 作品数(篇) 男生 女生 0～25 26～50 51～75 76～100 101～130 3 4 6 8 11 13 18 15 12 10
复习目标 课前预习 高频考点 课时小结
解：(1)设成绩优秀的学生的人数为 x， x 2 由105＝7，得 x＝30. 故列联表为 优秀 非优秀 总计 甲班 乙班 总计 10 20 30 45 30 75 55 50 105
2 105 10 × 30 － 20 × 45 (2)K2＝ ≈6.109>3.841. 55×50×30×75
答案：D
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高频考点
课时小结
2．有甲乙两个班级进行数学考试成绩分析，按照大于或等于 85 分为优秀，85 分以下为非优秀，统计成绩后，得到如下列联表： 优秀 非优秀 总计 甲班 乙班 总计 10 30 105
2 已知在全部 105 人中随机抽取 1 人为优秀的概率为7. (1)请完成上面的列联表； (2)根据列联表的数据， 若按 95%的可靠性要求， 能否认为“成 绩与班级有关系”．
分组 [110，120) [120，130) [130，140) [140，150] 频数 10 10 y 3
(1)计算x，y的值； (2)若规定考试成绩在[120，150]内为优秀，请分别估计两所 学校数学成绩的优秀率；
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
(3)由以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断能否在 犯错误的概率不超过0.10的前提下认为两所学校的数学成绩有差 异．
高频考点
课时小结
2 n （ ad － bc ） 附：K2＝ （a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）
P(K2≥k0) k0
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010 6.635
0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024
复习目标
课前预习
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
(1)试估计该校学生阅读莫言作品超过50篇的概率； (2)对莫言作品阅读超过75篇的则称为“对莫言作品非常了 解”，否则为“一般了解”．根据题意完成下表，并判断能否 有75%的把握认为对莫言作品非常了解与性别有关？
非常了解 男生 女生 合计 一般了解 合计
复习目标
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复习目标
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高频考点
课时小结
4. 甲、乙、丙、丁四位同学各自对 A、B 两变量的线性 相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数 r 与残 差平方和 m 如下表： 甲 乙 丙 丁 r 0.82 0.78 0.69 0.85 m 106 115 124 103 则哪位同学的试验结果体现 A、B 两变量更强的线性相 关性？( A．甲 ) B．乙 C．丙 D．丁
，它
n
主要用于相关量的显著性检验，以衡量它们之间的线性 相关程度． 当 r>0 时，表示两个变量正相关；当 r<0 时，表示 两个变量负相关；|r|越接近 1，表明两个变量的线性相关 性越强； 当|r|接近 0 时， 表明两个变量间几乎不存在线性 相关关系．
复习目标 课前预习 高频考点 课时小结
分组 频数 [70，80) 3 [80，90) 4 [90，100) 8 [100，110) 15
分组 [110，120) [120，130) [130，140) [140，150] 频数 15 x 3 2
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
乙校：
分组 频数 [70，80) 1 [80，90) 2 [90，100) 8 [100，110) 9
高频考点
课时小结
【解析】 (1)由抽样调查得阅读莫言作品在50篇以上的频 11＋18＋12＋13＋15＋10 79 率为 ＝ .据此估计该校学生阅读莫言 100 50＋50 79 作品超过50篇的概率约为100.
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高频考点
课时小结
(2)
非常了解 男生 女生 合计 30 25 55 一般了解 合计 20 25 45 50 50 100
解释 变量，
预报
变量．
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课前预习
高频考点
课时小结
(4)回归直线的方程为 y ＝b x＋a ，其中 － x yi－－ y xiyi－n－ x· y xi－－
i＝1 i＝1 n n
b ＝
＝ x xi－－
i ＝1 n 2 2 － － n x x2 i i＝1 n
，
a ＝
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高频考点
课时小结
②当 K2>2.706 时，有 90%的把握认为变量 x，y 有 关系； ③当 K2>3.841 时，有 95%的把握认为变量 x，y 有 关系； ④当 K2>6.635 时，有 99%的把握认为变量 x，y 有 关系； ⑤当 K2>10.828 时，有 99.9%的把握认为变量 x，y 有关系．
根据列联表数据得：
2 100 × （ 30 × 25 － 20 × 25 ） K2＝ ≈1.010<1.323， 50×50×55×45
所以没有75%的把握认为对莫言作品非常了解与性别有关．
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
5．甲、乙两所学校高三年级分别有1 200人，1 000人，为 了了解两所学校全体高三年级学生在该地区六校联考的数学成 绩情况，采用分层抽样方法从两所学校一共抽取了110名学生的 数学成绩，并作出了频数分布统计表如下： 甲校：
复习目标 课前预习 高频考点
负相关
.
课时小结
(3)回归分析： 对具有
相关关系
的两个变量进行统
计分析的方法叫作回归分析．通俗地讲，回归分析是寻找 相关关系中非确定关系的某种确定性． 在线性回归模型 y＝bx＋a＋e 中， 因变量 y 的值由自变 量 x 和随机误差 e 共同确定，即自变量 x 只能解释部分 y 的变化，在统计中，我们把自变量 x 叫作 因变量 y 称为
2 n ad － bc 构造随机变量 K2＝ ， 其中 n a＋bc＋da＋cb＋d
＝a＋b＋c＋d 为样本容量．
复习目标 课前预习 高频考点 课时小结
(3)独立性检验 利用随机变量 K2 来确定在多大程度上可以认为 “两个分类变量 有关系 量的独立性检验． 先假设两个分类变量 x 与 y 无关系，计算 K2 的值， 则 K2 的值应该很小，若 K2 值较大，就拒绝假设，只要 K2>2.706，就认为 x 与 y 有关系． (4)两个分类变量 x 和 y 是否有关系的判断方法： ①当 K2≤2.706 时，没有充分的证据判断变量 x，y 有关系，可以认为变量 x，y 没有关系； ”的方法，称为两个分类变
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
解：可用相关系数 r 描述线性相关关系的强弱，|r|越接 近 1，表示两个变量有更强的相关关系；可用残差平方和描 述回归模型的拟合效果，残差平方和越小，其相关指数 R2 越小，表明回归模型的拟合效果越好．因此，丁同学的试 验结果体现 A，B 两变量有更强的相关性．选 D.
所以有 95%的把握认为成绩与班级有关系，即按 95%的 可靠性要求，可认为“成绩与班级有关系”．
复习目标 课前预习 高频考点 课时小结
2．独立性检验的一般步骤： (1)假设两个分类变量 X 与 Y 无关系． (2)作出 2×2 列联表． (3)计算 K2 的观测值 nad－bc2 k＝ . a＋ ba＋cb＋dc＋d (4)把 k 的观测值与临界值比较确定 X 与 Y 有关的程 度或无关系．
复习目标
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高频考点
课时小结
n
疑数据，这方面的工作称为残差分析． 2．独立性检验 (1)分类变量：如果某种变量的不同“值”表示个体 所属的不同类别，像这样的变量称为
分类变量
.
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
(2)列联表：列出的两个分类变量的 频数表 ，称为 列联表．假设有两个分类变量 X 和 Y，它们的可能取值 分别为{x1， x2}， {y1， y2}， 其样本频数列联表(称为 2×2 列联表)为 x1 x2 总计 2×2 列联表 y1 a c a＋c y2 b d b＋d 总计 a＋b c＋d n
(6)残差及残差平方和：残差 ei＝ 方和为 .
，残差平
(7)用相关指数来刻画回归的效果，其计算公式是 R＝
2
1—
，R2 的值越大，说明残差平方和 .
越 小 ，说明回归模型的拟合效果越 好
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
(8)残差分析：在研究两个变量的关系时，首先要根 据散点图来粗略地判断它们是否线性相关，是否可用线 ^ ，e ^ ，„ ， 性回归模型来拟合数据．然后可以通过残差e 1 2 ^ 来判断模型的拟合效果，判断原始数据中是否存在可 e
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
1．变量的相关关系 (1)相关关系： 当自变量的取值一定时， 因变量的取值 带有一定 随机性 的两个变量之间的关系， 叫相关关系， 与函数关系不同，相关关系是一种 不确定 关系． (2)散点图： 在平面直角坐标系中描点， 得到关于两个 变量的一组数据的图形，这样的图形叫作散点图．它可直 观地判断两个变量关系是否是可以用线性关系表示． 若这 些点分布在从左下角到右上角的区域内， 两个变量的这种 相关关系称为 正相关 ，若这些点分布在左上角到右下 角的区域内，两个变量的相关关系为
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课时小结
2 110 × （ 15 × 30 － 20 × 45 ） K2的观测值k＝ ≈2.829>2.706， 60×50×35×75
故在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为两个学校的数学 成绩有差异．
n
.
通过求 Q＝ [yi－(b xi＋a )]2 的最小值而得出回
i＝1
归直线的方法， 即求回归直线， 使得样本数据的点到它 的距离的平方和最小，这一方法叫作最小二乘法．
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－ x· y xiyi－n－
i ＝1
n
(5) 相关系数： r＝
n 2 2 －2 xi －n－ x y2 i －n y i＝1 i＝1
高频考点
课时小结
解析 (1)从甲校抽取 110× 1 000
1 200 1 200＋1 000
＝60(人)，
从乙校抽取 110× 故 x＝10，y＝7.
1 200＋1 000
＝50(人)，
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1学成绩的优秀率为50×100%＝40%. (3)表格填写如图，
甲校 优秀 非优秀 总计 乙校 总计
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参考数据与公式：
2 n （ ad － bc ） 由列联表中数据计算K2＝ . （a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）
临界值表
P(K2≥k0) k0 0.10 0.05 0.010
2.706 3.841 6.635
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变量的相关性、回归分析、独 立性检验
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1．会作两个有关联变量的散点图，会利用散点图 认识变量间的相关关系． 2．了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回 归方程系数公式建立线性回归方程． 3．了解独立检验(只要求2×2列联表)的基本思 想、方法及其简单应用． 4．了解回归分析的基本思想、方法及其简单应 用．
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题型三 例3
独立性检验
(2016· 人大附中模拟)大家知道，莫言是中国首位获得
诺贝尔奖的文学家，某高校文学社从男女生中各抽取50名同学 调查对莫言作品的了解程度，结果如下：
阅读过莫言的 作品数(篇) 男生 女生 0～25 26～50 51～75 76～100 101～130 3 4 6 8 11 13 18 15 12 10
复习目标 课前预习 高频考点 课时小结
解：(1)设成绩优秀的学生的人数为 x， x 2 由105＝7，得 x＝30. 故列联表为 优秀 非优秀 总计 甲班 乙班 总计 10 20 30 45 30 75 55 50 105
2 105 10 × 30 － 20 × 45 (2)K2＝ ≈6.109>3.841. 55×50×30×75
答案：D
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2．有甲乙两个班级进行数学考试成绩分析，按照大于或等于 85 分为优秀，85 分以下为非优秀，统计成绩后，得到如下列联表： 优秀 非优秀 总计 甲班 乙班 总计 10 30 105
2 已知在全部 105 人中随机抽取 1 人为优秀的概率为7. (1)请完成上面的列联表； (2)根据列联表的数据， 若按 95%的可靠性要求， 能否认为“成 绩与班级有关系”．
分组 [110，120) [120，130) [130，140) [140，150] 频数 10 10 y 3
(1)计算x，y的值； (2)若规定考试成绩在[120，150]内为优秀，请分别估计两所 学校数学成绩的优秀率；
复习目标
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(3)由以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断能否在 犯错误的概率不超过0.10的前提下认为两所学校的数学成绩有差 异．
高频考点
课时小结
2 n （ ad － bc ） 附：K2＝ （a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）
P(K2≥k0) k0
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010 6.635
0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024
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(1)试估计该校学生阅读莫言作品超过50篇的概率； (2)对莫言作品阅读超过75篇的则称为“对莫言作品非常了 解”，否则为“一般了解”．根据题意完成下表，并判断能否 有75%的把握认为对莫言作品非常了解与性别有关？
非常了解 男生 女生 合计 一般了解 合计
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4. 甲、乙、丙、丁四位同学各自对 A、B 两变量的线性 相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数 r 与残 差平方和 m 如下表： 甲 乙 丙 丁 r 0.82 0.78 0.69 0.85 m 106 115 124 103 则哪位同学的试验结果体现 A、B 两变量更强的线性相 关性？( A．甲 ) B．乙 C．丙 D．丁
，它
n
主要用于相关量的显著性检验，以衡量它们之间的线性 相关程度． 当 r>0 时，表示两个变量正相关；当 r<0 时，表示 两个变量负相关；|r|越接近 1，表明两个变量的线性相关 性越强； 当|r|接近 0 时， 表明两个变量间几乎不存在线性 相关关系．
复习目标 课前预习 高频考点 课时小结
分组 频数 [70，80) 3 [80，90) 4 [90，100) 8 [100，110) 15
分组 [110，120) [120，130) [130，140) [140，150] 频数 15 x 3 2
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乙校：
分组 频数 [70，80) 1 [80，90) 2 [90，100) 8 [100，110) 9
高频考点
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【解析】 (1)由抽样调查得阅读莫言作品在50篇以上的频 11＋18＋12＋13＋15＋10 79 率为 ＝ .据此估计该校学生阅读莫言 100 50＋50 79 作品超过50篇的概率约为100.
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(2)
非常了解 男生 女生 合计 30 25 55 一般了解 合计 20 25 45 50 50 100
解释 变量，
预报
变量．
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(4)回归直线的方程为 y ＝b x＋a ，其中 － x yi－－ y xiyi－n－ x· y xi－－
i＝1 i＝1 n n
b ＝
＝ x xi－－
i ＝1 n 2 2 － － n x x2 i i＝1 n
，
a ＝
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②当 K2>2.706 时，有 90%的把握认为变量 x，y 有 关系； ③当 K2>3.841 时，有 95%的把握认为变量 x，y 有 关系； ④当 K2>6.635 时，有 99%的把握认为变量 x，y 有 关系； ⑤当 K2>10.828 时，有 99.9%的把握认为变量 x，y 有关系．
根据列联表数据得：
2 100 × （ 30 × 25 － 20 × 25 ） K2＝ ≈1.010<1.323， 50×50×55×45
所以没有75%的把握认为对莫言作品非常了解与性别有关．
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5．甲、乙两所学校高三年级分别有1 200人，1 000人，为 了了解两所学校全体高三年级学生在该地区六校联考的数学成 绩情况，采用分层抽样方法从两所学校一共抽取了110名学生的 数学成绩，并作出了频数分布统计表如下： 甲校：
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负相关
.
课时小结
(3)回归分析： 对具有
相关关系
的两个变量进行统
计分析的方法叫作回归分析．通俗地讲，回归分析是寻找 相关关系中非确定关系的某种确定性． 在线性回归模型 y＝bx＋a＋e 中， 因变量 y 的值由自变 量 x 和随机误差 e 共同确定，即自变量 x 只能解释部分 y 的变化，在统计中，我们把自变量 x 叫作 因变量 y 称为
2 n ad － bc 构造随机变量 K2＝ ， 其中 n a＋bc＋da＋cb＋d
＝a＋b＋c＋d 为样本容量．
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(3)独立性检验 利用随机变量 K2 来确定在多大程度上可以认为 “两个分类变量 有关系 量的独立性检验． 先假设两个分类变量 x 与 y 无关系，计算 K2 的值， 则 K2 的值应该很小，若 K2 值较大，就拒绝假设，只要 K2>2.706，就认为 x 与 y 有关系． (4)两个分类变量 x 和 y 是否有关系的判断方法： ①当 K2≤2.706 时，没有充分的证据判断变量 x，y 有关系，可以认为变量 x，y 没有关系； ”的方法，称为两个分类变
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解：可用相关系数 r 描述线性相关关系的强弱，|r|越接 近 1，表示两个变量有更强的相关关系；可用残差平方和描 述回归模型的拟合效果，残差平方和越小，其相关指数 R2 越小，表明回归模型的拟合效果越好．因此，丁同学的试 验结果体现 A，B 两变量有更强的相关性．选 D.
所以有 95%的把握认为成绩与班级有关系，即按 95%的 可靠性要求，可认为“成绩与班级有关系”．
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2．独立性检验的一般步骤： (1)假设两个分类变量 X 与 Y 无关系． (2)作出 2×2 列联表． (3)计算 K2 的观测值 nad－bc2 k＝ . a＋ ba＋cb＋dc＋d (4)把 k 的观测值与临界值比较确定 X 与 Y 有关的程 度或无关系．
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n
疑数据，这方面的工作称为残差分析． 2．独立性检验 (1)分类变量：如果某种变量的不同“值”表示个体 所属的不同类别，像这样的变量称为
分类变量
.
复习目标
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(2)列联表：列出的两个分类变量的 频数表 ，称为 列联表．假设有两个分类变量 X 和 Y，它们的可能取值 分别为{x1， x2}， {y1， y2}， 其样本频数列联表(称为 2×2 列联表)为 x1 x2 总计 2×2 列联表 y1 a c a＋c y2 b d b＋d 总计 a＋b c＋d n
(6)残差及残差平方和：残差 ei＝ 方和为 .
，残差平
(7)用相关指数来刻画回归的效果，其计算公式是 R＝
2
1—
，R2 的值越大，说明残差平方和 .
越 小 ，说明回归模型的拟合效果越 好
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(8)残差分析：在研究两个变量的关系时，首先要根 据散点图来粗略地判断它们是否线性相关，是否可用线 ^ ，e ^ ，„ ， 性回归模型来拟合数据．然后可以通过残差e 1 2 ^ 来判断模型的拟合效果，判断原始数据中是否存在可 e
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1．变量的相关关系 (1)相关关系： 当自变量的取值一定时， 因变量的取值 带有一定 随机性 的两个变量之间的关系， 叫相关关系， 与函数关系不同，相关关系是一种 不确定 关系． (2)散点图： 在平面直角坐标系中描点， 得到关于两个 变量的一组数据的图形，这样的图形叫作散点图．它可直 观地判断两个变量关系是否是可以用线性关系表示． 若这 些点分布在从左下角到右上角的区域内， 两个变量的这种 相关关系称为 正相关 ，若这些点分布在左上角到右下 角的区域内，两个变量的相关关系为