2020年高考数学第一轮复习第四单元-平面向量、数系的扩充与复数的引入
2020高考数学理科大一轮复习导学案：第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
选修4－4 坐标系与参数方程第一节坐标系知识点一 平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x ，(λ>0)，y ′＝ μ·y ，(μ>0)的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．1．(选修4－4P4例题改编)设平面内伸缩变换的坐标表达式为⎩⎨⎧x ′＝12x ，y ′＝3y ，则在这一坐标变换下正弦曲线y ＝sin x 的方程变为 y ＝3sin2x .解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝13y ′，代入y ＝sin x ，得13y ′＝sin2x ′，即y ′＝3sin2x ′，所以y ＝sin x 的方程变为y ＝3sin2x .知识点二 极坐标系1．极坐标系的建立：在平面上取一个定点O ，叫做极点，从O 点引一条射线Ox ，叫做极轴，再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个极坐标系．如图，设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记为ρ，以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)．2．极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为x ＝ ρcos θ，y ＝ ρsin θ.另一种关系为ρ2＝__x 2＋y 2，tan θ＝yx .2．(选修4－4P11例4改编)点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，－π3. 解析：因为点P (1，－3)在第四象限，与原点的距离为2，且OP 与x轴所成的角为－π3，所以点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，－π3. 3．(选修4－4P15T3)若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( A )A ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2B ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4C ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2 D ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4 解析：A ∵y ＝1－x (0≤x ≤1)，∴ρsin θ＝1－ρcos θ(0≤ρcos θ≤1,0≤ρsin θ≤1)； ∴ρ＝1sin θ＋cos θ⎝⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π2.知识点三, 常见曲线的极坐标方程4．(选修4－4P15T4)在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( B )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2 C ．(1,0) D ．(1，π)解析：方法1：由ρ＝－2sin θ，得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2y ，化成标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，－π2.方法2：由ρ＝－2sin θ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2，知圆心的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2，故选B.5．在极坐标系中，已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，则过点P 且平行于极轴的直线方程是( A )A ．ρsin θ＝1B ．ρsin θ＝ 3C ．ρcos θ＝1D ．ρcos θ＝ 3解析：先将极坐标化成直角坐标表示，P 2，π6转化为直角坐标为x ＝ρcos θ＝2cos π6＝3，y ＝ρsin θ＝2sin π6＝1，即(3，1)，过点(3，1)且平行于x 轴的直线为y ＝1，再化为极坐标为ρsin θ＝1.6．在极坐标系中，圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝π3(ρ∈R )距离的最大值是6.解析：圆ρ＝8sin θ化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝8y ，即x 2＋(y －4)2＝16，直线θ＝π3(ρ∈R )化为直角坐标方程为y ＝3x .圆心(0,4)到直线3x －y ＝0的距离d ＝|－4|(3)2＋(－1)2＝2.又圆的半径为4，故圆上的点到直线距离的最大值是2＋4＝6.1．明辨两个坐标伸缩变换关系式⎩⎨⎧x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)，点(x ，y )在原曲线上，点(x ′，y ′)在变换后的曲线上，因此点(x ，y )的坐标满足原来的曲线方程，点(x ′，y ′)的坐标满足变换后的曲线方程．2．极坐标方程与直角坐标方程互化(1)公式代入：直角坐标方程化为极坐标方程公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入并化简．(2)整体代换：极坐标方程化为直角坐标方程，变形构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．考向一 伸缩变换【例1】 在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝13y后的图形．(1)5x ＋2y ＝0.(2)x 2＋y 2＝1.【解】伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝13y ，则⎩⎨⎧x ＝2x ′，y ＝3y ′.(1)若5x ＋2y ＝0，则5(2x ′)＋2(3y ′)＝0，所以5x ＋2y ＝0经过伸缩变换后的方程为5x ′＋3y ′＝0，为一条直线． (2)若x 2＋y 2＝1，则(2x ′)2＋(3y ′)2＝1，则x 2＋y 2＝1经过伸缩变换后的方程为4x ′2＋9y ′2＝1，为椭圆．经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝5x ，y ′＝3y 后，曲线C 变为本例(2)中变换前的曲线，求曲线C 的方程．解：把⎩⎨⎧x ′＝5x ，y ′＝3y代入方程x ′2＋y ′2＝1，得25x 2＋9y 2＝1，所以曲线C 的方程为25x 2＋9y 2＝1.1.平面上的曲线y ＝f (x )在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)的作用下的变换方程的求法是将⎩⎨⎧x ＝x ′λ，y ＝y ′μ代入y ＝f (x )，整理得y ′＝h (x ′)为所求．2．解答该类问题应明确两点：一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用；二是明确变换前的点P (x ，y )与变换后的点P ′(x ′，y ′)的坐标关系，用方程思想求解．在平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y .(1)求点A (13，－2)经过φ变换所得点A ′的坐标； (2)求直线l ：y ＝6x 经过φ变换后所得直线l ′的方程．解：(1)设点A ′(x ′，y ′)，由伸缩变换φ：⎩⎨⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝y2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13×3＝1，y ′＝－22＝－1.∴点A ′的坐标为(1，－1)．(2)设P ′(x ′，y ′)是直线l ′上任意一点．由伸缩变换φ：⎩⎨⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′3，y ＝2y ′.代入y ＝6x ，得2y ′＝6·x ′3＝2x ′，即y ′＝x ′， ∴y ＝x 为所求直线l ′的方程．考向二 极坐标方程与直角坐标方程的互化【例2】 在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22(ρ≥0,0≤θ<2π)．(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 的公共点的极坐标． 【解】 (1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ， 即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，故圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2－x －y ＝0， 直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1， 则直线l 的直角坐标方程为x －y ＋1＝0. (2)由(1)知圆O 与直线l 的直角坐标方程，将两方程联立得⎩⎨⎧ x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝0，y ＝1，即圆O 与直线l 在直角坐标系下的公共点为(0,1)，将(0,1)转化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2即为所求．极坐标方程问题的处理思路曲线的极坐标方程问题通常可利用互换公式转化为直角坐标系中的问题求解，然后再次利用互换公式即可转化为极坐标方程．熟练掌握互换公式是解决问题的关键．已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－ 22ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2. (1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以圆O 1的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4.因为ρ2－22ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2， 所以ρ2－22ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2， 所以圆O 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1，化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22. 考向三 极坐标方程的应用方向1 转化为直角坐标方程解题【例3】 (2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为y ＝k |x |＋2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.(1)求C 2的直角坐标方程；(2)若C 1与C 2有且仅有三个公共点，求C 1的方程．【解】 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得C 2的直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝4.(2)由(1)知C 2是圆心为A (－1,0)，半径为2的圆．由题设知，C 1是过点B (0,2)且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为l 1，y 轴左边的射线为l 2.由于B 在圆C 2的外面，故C 1与C 2有且仅有三个公共点等价于l 1与C 2只有一个公共点且l 2与C 2有两个公共点，或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点．当l 1与C 2只有一个公共点时，A 到l 1所在直线的距离为2，所以|－k ＋2|k 2＋1＝2，故k ＝－43或k ＝0.经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝－43时，l 1与C 2只有一个公共点，l 2与C 2有两个公共点．当l 2与C 2只有一个公共点时，A 到l 2所在直线的距离为2，所以|k ＋2|k 2＋1＝2，故k ＝0或k ＝43.经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝43时，l 2与C 2没有公共点．综上，所求C 1的方程为y ＝－43|x |＋2.方向2 利用极坐标的几何意义解题【例4】 (2019·山西八校联考)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋5cos α，y ＝4＋5sin α(α为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)设l 1：θ＝π6，l 2：θ＝π3，若l 1，l 2与曲线C 分别交于异于原点的A ，B两点，求△AOB 的面积．【解】 (1)将曲线C 的参数方程化为普通方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25， 即x 2＋y 2－6x －8y ＝0.∴曲线C 的极坐标方程为ρ＝6cos θ＋8sin θ.(2)设A (ρ1，π6)，B (ρ2，π3)．把θ＝π6代入ρ＝6cos θ＋8sin θ，得ρ1＝4＋33，∴A (4＋33，π6)．把θ＝π3代入ρ＝6cos θ＋8sin θ，得ρ2＝3＋43，∴B (3＋43，π3)．∴S △AOB ＝12ρ1ρ2sin ∠AOB＝12(4＋33)(3＋43)sin(π3－π6)＝12＋2534.,极坐标方程的应用主要有以下两种方法：(1)转化为直角坐标方程，利用解析几何的方法解决；(2)利用极坐标方程中ρ，θ的几何意义解决与长度、角度有关的问题.1．(方向1)(2019·沈阳市教学质量监测)设过平面直角坐标系的原点O 的直线与圆(x －4)2＋y 2＝16的一个交点为P ，M 为线段OP 的中点，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求点M 的轨迹C 的极坐标方程；(2)设点A 的极坐标为(3，π3)，点B 在曲线C 上，求△OAB 面积的最大值．解：(1)设M (ρ，θ)，则P (2ρ，θ)，则点P 的直角坐标为(2ρcos θ，2ρsin θ)，代入(x －4)2＋y 2＝16得ρ＝4cos θ，∴点M 的轨迹C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(2)由题意得点A 的直角坐标为(32，332)， 则直线OA 的直角坐标方程为y ＝3x ，|OA |＝3，由(1)易得轨迹C 的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4，则圆心(2,0)到直线OA 的距离d＝3，∴点B 到直线OA 的最大距离为3＋2，∴△OAB 面积的最大值为12×(3＋2)×|OA |＝3＋22×3＝3＋332.2．(方向2)(2019·福州四校联考)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝2＋sin α(α为参数)，直线C 2的方程为y ＝3x .以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 1和直线C 2的极坐标方程；(2)若直线C 2与曲线C 1交于A ，B 两点，求1|OA |＋1|OB |.解：(1)由曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝2＋cos α，y ＝2＋sin α(α为参数)，得曲线C 1的普通方程为(x －2)2＋(y －2)2＝1，则C 1的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0，由于直线C 2过原点，且倾斜角为π3，故其极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R )(tan θ＝3)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0，θ＝π3得ρ2－(23＋2)ρ＋7＝0，设A ，B 对应的极径分别为ρ1，ρ2，则ρ1＋ρ2＝23＋2，ρ1ρ2＝7，∴1|OA |＋1|OB |＝|OA |＋|OB ||OA |·|OB |＝ρ1＋ρ2ρ1ρ2＝23＋27.选修4－4 坐标系与参数方程第一节坐标系知识点一 平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x ，(λ>0)，y ′＝ μ·y ，(μ>0)的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．1．(选修4－4P4例题改编)设平面内伸缩变换的坐标表达式为⎩⎨⎧ x ′＝12x ，y ′＝3y ，则在这一坐标变换下正弦曲线y ＝sin x 的方程变为 y ＝3sin2x .解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2x ′，y ＝13y ′，代入y ＝sin x ，得13y ′＝sin2x ′，即y ′＝3sin2x ′，所以y ＝sin x 的方程变为y ＝3sin2x .知识点二 极坐标系1．极坐标系的建立：在平面上取一个定点O ，叫做极点，从O 点引一条射线Ox ，叫做极轴，再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个极坐标系．如图，设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记为ρ，以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)．2．极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为x＝ ρcos θ，y ＝ ρsin θ.另一种关系为ρ2＝__x 2＋y 2，tan θ＝y x .2．(选修4－4P11例4改编)点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3. 解析：因为点P (1，－3)在第四象限，与原点的距离为2，且OP 与x轴所成的角为－π3，所以点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3. 3．(选修4－4P15T3)若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( A )A ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2 B ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4 C ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2D ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4解析：A ∵y ＝1－x (0≤x ≤1)，∴ρsin θ＝1－ρcos θ(0≤ρcos θ≤1,0≤ρsin θ≤1)；∴ρ＝1sin θ＋cos θ⎝⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π2. 知识点三, 常见曲线的极坐标方程4．(选修4－4P15T4)在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( B )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2 C ．(1,0) D ．(1，π)解析：方法1：由ρ＝－2sin θ，得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2y ，化成标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，－π2.方法2：由ρ＝－2sin θ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2，知圆心的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2，故选B.5．在极坐标系中，已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，则过点P 且平行于极轴的直线方程是( A )A ．ρsin θ＝1B ．ρsin θ＝ 3C ．ρcos θ＝1D ．ρcos θ＝ 3解析：先将极坐标化成直角坐标表示，P 2，π6转化为直角坐标为x ＝ρcos θ＝2cos π6＝3，y ＝ρsin θ＝2sin π6＝1，即(3，1)，过点(3，1)且平行于x 轴的直线为y ＝1，再化为极坐标为ρsin θ＝1.6．在极坐标系中，圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝π3(ρ∈R )距离的最大值是6.解析：圆ρ＝8sin θ化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝8y ，即x 2＋(y －4)2＝16，直线θ＝π3(ρ∈R )化为直角坐标方程为y ＝3x .圆心(0,4)到直线3x －y ＝0的距离d ＝|－4|(3)2＋(－1)2＝2.又圆的半径为4，故圆上的点到直线距离的最大值是2＋4＝6.1．明辨两个坐标伸缩变换关系式⎩⎨⎧x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)，点(x ，y )在原曲线上，点(x ′，y ′)在变换后的曲线上，因此点(x ，y )的坐标满足原来的曲线方程，点(x ′，y ′)的坐标满足变换后的曲线方程．2．极坐标方程与直角坐标方程互化(1)公式代入：直角坐标方程化为极坐标方程公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入并化简．(2)整体代换：极坐标方程化为直角坐标方程，变形构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．考向一 伸缩变换【例1】 在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝13y后的图形．(1)5x ＋2y ＝0.(2)x 2＋y 2＝1.【解】伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝13y ，则⎩⎨⎧x ＝2x ′，y ＝3y ′.(1)若5x ＋2y ＝0，则5(2x ′)＋2(3y ′)＝0，所以5x ＋2y ＝0经过伸缩变换后的方程为5x ′＋3y ′＝0，为一条直线． (2)若x 2＋y 2＝1，则(2x ′)2＋(3y ′)2＝1，则x 2＋y 2＝1经过伸缩变换后的方程为4x ′2＋9y ′2＝1，为椭圆．经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝5x ，y ′＝3y 后，曲线C 变为本例(2)中变换前的曲线，求曲线C 的方程．解：把⎩⎨⎧x ′＝5x ，y ′＝3y代入方程x ′2＋y ′2＝1，得25x 2＋9y 2＝1，所以曲线C 的方程为25x 2＋9y 2＝1.1.平面上的曲线y ＝f (x )在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)的作用下的变换方程的求法是将⎩⎨⎧x ＝x ′λ，y ＝y ′μ代入y ＝f (x )，整理得y ′＝h (x ′)为所求．2．解答该类问题应明确两点：一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用；二是明确变换前的点P (x ，y )与变换后的点P ′(x ′，y ′)的坐标关系，用方程思想求解．在平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y .(1)求点A (13，－2)经过φ变换所得点A ′的坐标； (2)求直线l ：y ＝6x 经过φ变换后所得直线l ′的方程．解：(1)设点A ′(x ′，y ′)，由伸缩变换φ：⎩⎨⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝y2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13×3＝1，y ′＝－22＝－1.∴点A ′的坐标为(1，－1)．(2)设P ′(x ′，y ′)是直线l ′上任意一点．由伸缩变换φ：⎩⎨⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′3，y ＝2y ′.代入y ＝6x ，得2y ′＝6·x ′3＝2x ′，即y ′＝x ′， ∴y ＝x 为所求直线l ′的方程．考向二 极坐标方程与直角坐标方程的互化【例2】 在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22(ρ≥0,0≤θ<2π)．(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 的公共点的极坐标． 【解】 (1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ， 即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，故圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2－x －y ＝0， 直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1， 则直线l 的直角坐标方程为x －y ＋1＝0. (2)由(1)知圆O 与直线l 的直角坐标方程，将两方程联立得⎩⎨⎧x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，即圆O 与直线l 在直角坐标系下的公共点为(0,1)，将(0,1)转化为极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，π2即为所求．极坐标方程问题的处理思路曲线的极坐标方程问题通常可利用互换公式转化为直角坐标系中的问题求解，然后再次利用互换公式即可转化为极坐标方程．熟练掌握互换公式是解决问题的关键．已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－ 22ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2.(1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程． 解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以圆O 1的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4. 因为ρ2－22ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2， 所以ρ2－22ρ⎝⎛⎭⎪⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2，所以圆O 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1，化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22.考向三 极坐标方程的应用方向1 转化为直角坐标方程解题【例3】 (2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为y ＝k |x |＋2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.(1)求C 2的直角坐标方程；(2)若C 1与C 2有且仅有三个公共点，求C 1的方程．【解】 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得C 2的直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝4.(2)由(1)知C 2是圆心为A (－1,0)，半径为2的圆．由题设知，C 1是过点B (0,2)且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为l 1，y 轴左边的射线为l 2.由于B 在圆C 2的外面，故C 1与C 2有且仅有三个公共点等价于l 1与C 2只有一个公共点且l 2与C 2有两个公共点，或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点．当l 1与C 2只有一个公共点时，A 到l 1所在直线的距离为2，所以|－k ＋2|k 2＋1＝2，故k ＝－43或k ＝0.经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝－43时，l 1与C 2只有一个公共点，l 2与C 2有两个公共点．当l 2与C 2只有一个公共点时，A 到l 2所在直线的距离为2，所以|k ＋2|k 2＋1＝2，故k ＝0或k ＝43.经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝43时，l 2与C 2没有公共点．综上，所求C 1的方程为y ＝－43|x |＋2. 方向2 利用极坐标的几何意义解题【例4】 (2019·山西八校联考)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋5cos α，y ＝4＋5sin α(α为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)设l 1：θ＝π6，l 2：θ＝π3，若l 1，l 2与曲线C 分别交于异于原点的A ，B 两点，求△AOB 的面积．【解】 (1)将曲线C 的参数方程化为普通方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25， 即x 2＋y 2－6x －8y ＝0.∴曲线C 的极坐标方程为ρ＝6cos θ＋8sin θ. (2)设A (ρ1，π6)，B (ρ2，π3)． 把θ＝π6代入ρ＝6cos θ＋8sin θ， 得ρ1＝4＋33，∴A (4＋33，π6)． 把θ＝π3代入ρ＝6cos θ＋8sin θ， 得ρ2＝3＋43，∴B (3＋43，π3)． ∴S △AOB ＝12ρ1ρ2sin ∠AOB ＝12(4＋33)(3＋43)sin(π3－π6) ＝12＋2534.,极坐标方程的应用主要有以下两种方法：(1)转化为直角坐标方程，利用解析几何的方法解决；(2)利用极坐标方程中ρ，θ的几何意义解决与长度、角度有关的问题.1．(方向1)(2019·沈阳市教学质量监测)设过平面直角坐标系的原点O 的直线与圆(x －4)2＋y 2＝16的一个交点为P ，M 为线段OP 的中点，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求点M 的轨迹C 的极坐标方程；(2)设点A 的极坐标为(3，π3)，点B 在曲线C 上，求△OAB 面积的最大值．解：(1)设M (ρ，θ)，则P (2ρ，θ)，则点P 的直角坐标为(2ρcos θ，2ρsin θ)，代入(x －4)2＋y 2＝16得ρ＝4cos θ，∴点M 的轨迹C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(2)由题意得点A 的直角坐标为(32，332)， 则直线OA 的直角坐标方程为y ＝3x ，|OA |＝3，由(1)易得轨迹C 的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4，则圆心(2,0)到直线OA 的距离d＝3，∴点B 到直线OA 的最大距离为3＋2，∴△OAB 面积的最大值为12×(3＋2)×|OA |＝3＋22×3＝3＋332.2．(方向2)(2019·福州四校联考)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝2＋sin α(α为参数)，直线C 2的方程为y ＝3x .以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 1和直线C 2的极坐标方程；(2)若直线C 2与曲线C 1交于A ，B 两点，求1|OA |＋1|OB |.解：(1)由曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝2＋cos α，y ＝2＋sin α(α为参数)，得曲线C 1的普通方程为(x －2)2＋(y －2)2＝1，则C 1的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0，由于直线C 2过原点，且倾斜角为π3，故其极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R )(tan θ＝3)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0，θ＝π3得ρ2－(23＋2)ρ＋7＝0，设A ，B 对应的极径分别为ρ1，ρ2，则ρ1＋ρ2＝23＋2，ρ1ρ2＝7，∴1|OA |＋1|OB |＝|OA |＋|OB ||OA |·|OB |＝ρ1＋ρ2ρ1ρ2＝23＋27.。
2019-2020年高考数学一轮总复习第4章平面向量数系的扩充与复数的引入4.4数系的扩充与复数的引入课件理
核心规律 1.实轴上的点都表示实数．除了原点外，虚轴上的点都 表示纯虚数． 2.设 z＝a＋bi(a，b∈R)，利用复数相等和相关性质将复 数问题实数化是解决复数问题的常用方法． 3.在复数代数形式的四则运算中，加、减、乘运算按多 项式运算法则进行，除法法则需分母实数化．
满分策略 1.判定复数是不是实数，仅注意虚部等于 0 是不够的， 还需考虑它的实部是否有意义． 2.注意复数和虚数是包含关系，不能把复数等同为虚 数，如虚数不能比较大小，但说两个复数不能比较大小就不 对了． 3.注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照 搬到复数集中来．例如，若 z1，z2∈C，z21＋z22＝0，就不能 推出 z1＝z2＝0；z2<0 在复数范围内有可能成立.
经离开教室，也可以向同学请教，及时消除疑难问题。做到当堂知识，当堂解决。 • 二、补笔记 • 上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一
遍自己写的笔记，既可以起到复习的作用，又可以检查笔记中的遗漏和错误。遗漏之处要补全，错别字要纠正，过于潦草的字要写清楚。同时，将自己 对讲课内容的理解、自己的收获和感想，用自己的话写在笔记本的空白处。这样，可以使笔记变的更加完整、充实。 • 三、课后“静思2分钟”大有学问 • 我们还要注意课后的及时思考。利用课间休息时间，在心中快速把刚才上课时刚讲过的一些关键思路理一遍，把老师讲解的题目从题意到解答整个过 程详细审视一遍，这样，不仅可以加深知识的理解和记忆，还可以轻而易举地掌握一些关键的解题技巧。所以，2分钟的课后静思等于同一学科知识的 课后复习30分钟。
2019/7/20
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2020版高考数学一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入4_4数系的扩充与复数的引入课件文新人教A版
(2)设复数 z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，则 y≥x 的概率为( ) A．34＋21π B．12＋1π C．12－1π D．14－21π 解析 (2)由|z|≤1 知复数 z 在复平面内对应的点构成的区域是以(1,0) 为圆心，1 为半径的圆及其内部，如图中阴影部分表示在圆内(包括边界)且 满足 y≥x 的区域，该区域的面积为14π－12×1×1＝14π－12，故满足 y≥x 的概
【变式训练】
→ (1)如图，若向量OZ对应的复数为
z，则
z＋4z表示的复
数为( )
A．1＋3i B．－3－i
C．3－i D．3＋i
解析 (1)由题图可得 Z(1，－1)，即 z＝1－i，所以 z＋4z＝1－i＋1－4 i＝ 1－i＋1－41i＋1＋i i＝1－i＋4＋2 4i＝1－i＋2＋2i＝3＋i。故选 D。
)
A．2－i B．2＋i
C．3－4i D．3＋4i
解析 2－5 i2＝2－52i＋2＋i i2＝(2＋i)2＝3＋4i，所以其共轭复数是 3－ 4i。故选 C。
答案 C
二、走近高考 3．(2018·全国卷Ⅱ)i(2＋3i)＝( ) A．3－2i B．3＋2i C．－3－2i D．－3＋2i
必考部分
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
第四节 数系的扩充与复数的引入
微知识·小题练 微考点·大课堂
2019 考纲考题考情
微知识·小题练
教材回扣 基础自测
1．复数的有关概念
(1)复数的概念： 形如 a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中 a，b 分别是它的实部 和 虚部。
若 b＝0 ，则 a＋bi 为实数；若 b≠0，则 a＋bi 为虚数；若 a＝0 且 b≠0 ，
2020高考数学一轮复习 平面向量、数系的扩充复数的引入章末大盘点课件 精品
(2)a与(b－a)的夹角为150°.
法二：(数量积运算法) Q a2 b2 1, agb 1 , a b 1.
2
(1) a b
（2）设a与b（a-b）r的夹角为θ 由于 b a
∴cosθ=
由于0°≤θ≤180°，∴θ＝150°. 所以a与(b－a)的夹角为150°.
[领悟] 法一充分利用向量加法的平行四边形法则转化 为平面几何求解是直观形象，法二利用向量的数量积运 算及其变形公式更是简洁明快.
二、等价转化的思想 等价转化的实质是将难解的问题化为易解的问题，将
复杂问题化为简单的问题来处理.在本章中，可利用向量的 坐标运算法则，把向量的运算转化为实数的运算，即将向 量的加、减、实数与向量的积和数量积的运算，转化为实 数的加、减、乘的运算.把一些几何问题的证明转化为向量 的代数运算，无不体现了等价转化思想.
起，若
x
y 则x＝
，y＝
.
解析： 又
xy =（x-1） 又
=（x-1）
设
则由题意：
又∠BED＝60°，∴
显然
的夹角为45°.
∴由
得：
×1×cos45°＝(x－1)×12.
∴x＝
同理，在 =(x-1)
+y
＝
两边与
取数量积可得y
答案：1+
8.(2010·常州模拟)给出以下四个命题：
①对任意两个向量a，b都有|a·b|＝|a|·|b|；
【示例2】 已知正方形ABCD，E、F分别是CD、AD的中点， BE、CF交于点P. 求证：(1)BE⊥CF； (2)AP＝AB.
[证明] 如图建立直角坐标系xAy，其中A为原点， 不妨设AB＝2， 则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，E(1,2)，F(0，1).
2020高考数学一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第4讲平面向量的综合应用课件
∵t∈[0， 3]， － 3 2 3 → → ∴当 t＝－ ＝ 4 时，AE· BE取得最小值， 2×1 3 3 3 3 21 → → (AE· BE)min＝16－ 2 × 4 ＋2＝16.故选 A．
→ → 解法二：令DE＝λDC(0≤λ≤1)，由已知可得 DC＝ 3， → → → ∵AE＝AD＋DC， → → → → → → → → ∴BE＝BA＋AE＝BA＋AD＋λDC，又AD· DC＝0， → → → → → → → → → → → → → ∴AE· BE＝(AD＋λDC)· (BA＋AD＋λDC)＝AD· BA＋|AD|2＋λDC· BA＋λ2|DC|2 3 3 ＝3λ －2λ＋2.
2 (2)由题意知 a－b＝(2cosx－2sinx，sin x－m)＝(5，0)
2
1 ∴cosx－sinx＝5，① m＝sin2x， π 又(cosx＋sinx) ＋(cosx－sinx) ＝2 且 x∈(0，2)，
2 2
7 ∴cosx＋sinx＝5② 3 9 由①②可得 sinx＝5，∴m＝25.
考点2 平面向量与三角函数——师生共研
例2
已知向量 a＝(2cosx，sin2x)，b＝(2sinx，m)．
(1)若 m＝4，求函数 f(x)＝a· b 的单调递减区间； 2 π (2)若向量 a，b 满足 a－b＝(5，0)，x∈(0，2)，求实数 m 的值． [分析] (1)由向量数量积公式求出 f(x)，将其化为 Asin(ωx＋φ)＋B 的形式，由 π 3π 2＋2kπ≤ωx＋φ≤ 2 ＋2kπ(k∈Z)求减区间； (2)由向量坐标减法，求出 a－b 的坐标求解．
第四章
平面向量、数系的扩充与复数的引入
第四讲 平面向量的综合应用
1 2 3
2020版高考数学大一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第26讲数系的扩充与复数的引入课件文
C．3
D．－3
解析 a2＋ －ii＝2a－1＋5a＋2i，由题意知 2a－1＝a＋2，解
得 a＝3.
5．[考法三]设(1＋i)x＝1＋yi，其中 x，y 是实数，则|x＋
yi|＝( B ) A．1
B. 2
C. 3
D．2
解析 因为 x，y∈R，(1＋i)x＝1＋yi，所以 x＋xi＝1＋yi，
所以xy＝ ＝11， ， |x＋yi|＝|1＋i|＝ 2.故选 B.
A．－1＋3i
B．1＋3i
C．1－3i
D．－1－3i
解析 2z－z2＝1＋2 i－(1＋i)2＝1＋21i－1－i i－2i＝1－i－2i＝
1－3i，其共轭复数是 1＋3i.故选 B.
3．[考法二]已知复数 z 满足(2＋i)z＝1＋i，则 z 在复平面
内对应的点在( A )
A．第一象限
【例 2】 (1)(2018·北京卷)在复平面内，复数1－1 i的共轭复
数对应的点位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
(2)(2017·北京卷)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点
在第二象限，则实数 a 的取值范围是( )
A．(－∞，1)
B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞)
虚数．
(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔__a_＝___c且___b_＝__d____(a，b，c，
d∈R)．
(3)共轭复数：a＋bi 与 c＋di 共轭⇔___a_＝__c_且__b_＝__－___d__(a，
b，c，d∈R)．
(4)复数的模：向量O→Z的模 r 叫做复数 z＝a＋bi 的模，记 作_|_z_| _或___|a_＋__b_i_| __，即|z|＝|a＋bi|＝_____a_2_＋__b_2___.
2020年高考数学第一轮复习-第四单元-平面向量、数系的扩充与复数的引入(教案)
2020年高考数学第一轮复习第四单元平面向量、数系的扩充与复数的引入第24讲平面向量的概念及其线性运算课前双击巩固1.向量的有关概念及表示说明:零向量的方向是、.规定:零向量与任一向量.2.向量的线性运算(律(法则a-b=3.向量的共线定理向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一的实数λ,使.常用结论1.一般地,首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量,即+++…+=.特别地,一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量.2.若P为线段AB的中点,O为平面内任意一点,则=(+).3.若A,B,C是平面内不共线的三点,则++=0⇔P为△ABC的重心.4.在△ABC中,AD,BE,CF分别为三角形三边上的中线,它们交于点G(如图4-24-1所示),易知G为△ABC的重心,则有如下结论:(1)++=0;(2)=(+);(3)=(+),=(+).图4-24-15.若=λ+μ(λ,μ为常数),则A,B,C三点共线的充要条件是λ+μ=1.题组一常识题1.[教材改编]-+-+++=.2.[教材改编]如图4-24-2,D,E,F分别是△ABC各边的中点,给出下列结论:(1)=;(2)与共线;(3)与是相反向量;(4)=||.其中错误结论的序号是.图4-24-23.[教材改编]M是△ABC的边BC的中点,=a,=b,则=.4.[教材改编]向量e1与e2不共线,若a=e1-e2与b=-2e1+λe2共线,则λ=.题组二常错题◆索引:向量概念不清致误;向量相等的隐含条件挖掘不全致误.5.给出下列结论:①+=2;②已知向量a∥b,且|a|>|b|>0,则向量a+b的方向与向量a的方向相同;③设a0为单位向量,则平面内向量a=|a|·a0.其中正确结论的序号是.6.若四边形ABCD满足=且||=||,则四边形ABCD的形状是.7.已知向量a,b,若|a|=2,|b|=4,则|a-b|的取值范围为.课堂考点探究探究点一平面向量的基本概念1 (1)设a,b都是非零向量,下列条件中一定能使+=0成立的是()A.a=2bB.a∥bC.a=--bD.a⊥b(2)给出下列说法:①若|a|=|b|,则a=b;②若a∥b,b∥c,则a∥c;③a与b是非零向量,若a与b同向,则a与-b反向;④若与共线,则A,B,C三点在同一条直线上.其中错误说法的序号是.[总结反思]对于平面向量的有关概念应注意以下几点:(1)平行向量就是共线向量,二者是等价的,它们均与起点无关;非零向量的平行具有传递性;相等向量一定是平行向量,而平行向量则未必是相等向量;相等向量具有传递性.(2)向量与数量不同,数量可以比较大小,向量则不能,但向量的模是非负数,可以比较大小.(3)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量,解题时,不要把它与函数图像的移动混为一谈.(4)非零向量a与的关系:是与a同方向的单位向量.式题(1)如图4-24-3,等腰梯形ABCD中,对角线AC与BD交于点P,点E,F分别在AD,BC上,EF 过点P,且EF∥AB,则下列等式中成立的是()A.=B.=C.=D.=图4-24-3(2)给出下列说法:①若A,B,C,D是不共线的四个点,则=是四边形ABCD为平行四边形的充要条件;②若a,b都是单位向量,则a=b;③向量与相等;④若a=b,b=c,则a=c.其中正确说法的序号是()A.①④B.③④C.②③D.①②探究点二平面向量的线性运算考向1平面向量加减法的几何意义2 (1)[2017·南昌重点学校模拟]已知O为△ABC内一点,满足4=+2,则△AOB与△AOC的面积之比为()A.1∶1B.1∶2C.1∶3D.2∶1(2)已知△ABC,若|+|=|-|,则△ABC的形状为.[总结反思]利用向量加减法的几何意义解决问题通常有两种方法:(1)根据两个向量的和与差,构造相应的平行四边形,再结合其他知识求解相关问题;(2)平面几何中如果出现平行四边形或可能构造出平行四边形的问题,可考虑利用向量知识来求解.考向2平面向量的线性运算3 (1)[2017·西宁一模]如图4-24-4所示,图4-24-4在△ABC中,点D在BC边上,且CD=2DB,点E在AD上,且AD=3AE,则=()A.+B.-C.+D.-(2)[2017·长春二模]在△ABC中,D为△ABC所在平面内一点,且=+,则=()A.B.C.D.[总结反思]向量线性运算的解题策略:(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则,一般共起点的向量求和用平行四边形法则,求差用三角形法则,求首尾相连的向量的和用三角形法则.(2)找出图形中的相等向量、共线向量,将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解.(3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧:①观察各向量的位置;②寻找相应的三角形或多边形;③运用法则找关系;④化简结果.考向3利用向量的线性运算求参数4[2017·运城三模]在△ABC中,=,P是直线BN上一点,且=m+,则实数m的值为() A.-2 B.-4 C.1 D.4[总结反思]与向量的线性运算有关的参数问题,一般是构造三角形,利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算,然后通过建立方程组即可求得相关参数的值.强化演练1.【考向1】设D,E,F分别为△ABC的边BC,CA,AB的中点,则+=()A.B.C.D.2.【考向1】[2017·长沙长郡中学三模]已知O是△ABC所在平面内一点,D为BC边的中点,且2++=0,则()A.=B.=2C.=3D.2=3.【考向2】在△ABC中,点D是BC的中点,点E是AC的中点,点F在线段AD上,且AF=2DF,设=a,=b,则=()A.a-bB.a-bC.a-bD.a-b4.【考向1】已知向量a,b满足|a|=|b|=1,且|a-b|=,则|a+b|=.5.【考向3】[2017·山东滨州二模]如图4-24-5所示,在△ABC中,O为BC的中点,过点O 的直线分别交AB,AC所在直线于点M,N.若=m,=n,则m+n=.图4-24-5探究点三共线向量定理及应用考向1向量共线的问题5 已知e1,e2是两个不共线的向量,若a=2e1-e2与b=e1+λe2共线,则λ=()A.-B.-2C.D.2[总结反思]两个向量共线是指两个向量的方向相同或相反,因此共线包含两种情况:同向共线或反向共线.一般地,若a=λb(a≠0),则a与b共线:(1)当λ>0时,a与b同向;(2)当λ<0时,a与b反向.考向2三点共线的问题6 (1)已知a,b是不共线的向量,=a+5b,=-3a+6b,=4a-b,则()A.A,B,D三点共线B.A,B,C三点共线C.B,C,D三点共线D.A,C,D三点共线(2)已知a,b是不共线的向量,=λa+2b,=a+(λ-1)b,且A,B,C三点共线,则λ=()A.-1B.2C.-2或1D.-1或2[总结反思](1)三点共线问题可转化为向量共线问题来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.根据A,B,C三点共线求参数问题,只需将问题转化为=λ,再利用对应系数相等列出方程组,进而解出系数.(2)三点共线的一个常用结论:A,B,C三点共线⇔存在实数λ,μ,对平面内任意一点O(O不在直线BC上)满足=λ+μ(λ+μ=1).强化演练1.【考向1】已知e1,e2是不共线的向量,则下列各组向量中是共线向量的有()①a=5e1,b=3e1;②a=3e1-2e2,b=-e1+e2;③a=e1+e2,b=-2e1+2e2.A.①②B.①③C.②③D.①②③2.【考向1】[2017·景德镇模拟]已知O,A,B三点不共线,P为该平面内一点,且=+,则()A.点P在线段AB上B.点P在线段AB的延长线上C.点P在线段AB的反向延长线上D.点P在射线AB上3.【考向1】[2017·哈尔滨三中四模]设e1,e2是不共线的向量,a=e1+ke2,b=ke1+e2,若a与b 共线,则实数k=()A.0B.-1C.-2D.±14.【考向2】已知O为△ABC内一点,且=(+),=t,若B,O,D三点共线,则t=()A.B.C.D.第25讲平面向量基本定理及坐标表示课前双击巩固1.平面向量的基本定理如果e1,e2是同一平面内的两个向量,那么对于这一平面内的任意向量a,一对实数λ1,λ2使.其中,不共线的向量e1,e2叫作表示这一平面内所有向量的一组.2.平面向量的坐标运算(1)平面向量的坐标运算(2)向量的坐标求法已知A(x1,y1),B(x2,y2),则=,||=.3.平面向量共线的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则a∥b⇔a=λb(λ∈R)⇔.常用结论1.若a与b不共线,且λa+μb=0,则λ=μ=0.2.已知P为线段AB的中点,若A(x1,y1),B(x2,y2),则P点坐标为,;已知△ABC的顶点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则△ABC的重心G的坐标为,.题组一常识题1.[教材改编]已知向量=(-5,2),点P(2,3),则点Q的坐标为.2.[教材改编]如图4-25-1,已知向量e1,e2,a的起点与终点均在正方形网格的格点上,则向量a 用基底e1,e2表示为.图4-25-13.[教材改编]在平面直角坐标系中,A(-1,2),B(3,1),且=3,则向量=.4.[教材改编]已知向量e1,e2不共线,实数x,y满足(x-y)e1+(2x+y)e2=6e1+3e2,则x+y=.题组二常错题◆索引:平面向量基本定理的前提是基底不能共线;由点的坐标求向量坐标时忽视起点与终点致误;两个向量共线的坐标表示公式掌握不牢.5.给出下列三个向量:a=(-2,3),b=1,-,c=(-1,1).在这三个向量中任意取两个作为一组,能构成基底的组数为.6.已知A(-5,8),B(7,3),则与向量共线的单位向量为.7.已知平面向量a=(1,2),b=(-2,m),且a∥b,则m=.课堂考点探究探究点一平面向量的基本定理1 (1)已知向量a=(3,4),若存在实数x,y,使得a=xe1+ye2,则e1,e2可以是()A.e1=(0,0),e2=(-1,2)B.e1=(-1,3),e2=(-2,6)C.e1=(-1,2),e2=(3,-1)D.e1=,e2=(1,-2)(2)[2017·珠海二模]已知D为△ABC所在平面内一点,且=3+4,若点E为直线BC上一点,且=λ,则λ的值为()A.4B.5C.6D.7[总结反思](1)应用平面向量基本定理表示向量,实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决问题.式题在平行四边形ABCD中,E,F分别是CD,BC的中点,若=λ+μ其中λ,μ∈R,则λ+μ=()A.B.2 C.D.1探究点二平面向量的坐标运算2 (1)[2017·鹰潭一中期中]已知平面向量a=(1,1),b=(1,-1),则a-b=()A.(-2,-1)B.(-1,2)C.(-1,0)D.(-2,1)(2)已知M(-2,7),N(10,-2),点P是线段MN上的点,且=-2,则点P的坐标为()A.(-14,16)B.(22,-11)C.(6,1)D.(2,4)[总结反思](1)利用向量的坐标运算解题,首先利用加、减、数乘运算法则进行运算,然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则,转化为方程(组)进行求解. (2)向量的坐标表示把点与数联系起来,引入平面向量的坐标可以使向量运算代数化,成为数与形结合的载体,使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算.式题(1)[2018·石家庄二中模拟]已知向量a=(3,t),b=(-1,2),若存在非零实数λ,使得a=λ(a+b),则t=()A.6B.-6C.-D.(2)已知向量a=(5,-2),b=(-4,-3),c=(x,y),若a-2b+3c=0,则c=()A.B.C.D.探究点三平面向量共线的坐标表示3 (1)设k∈R,已知平面向量a=(-3,1),b=(-7,3),则下列向量中与2a-b一定不共线的向量是()A.c=(k,k)B.c=(-k,-k)C.c=(k2+1,k2+1)D.c=(k2-1,k2-1)(2)[2017·日照二模]已知点P(-3,5),Q(2,1),向量m=(2λ-1,λ+1),若∥m,则实数λ等于()A. B.-C.D.-[总结反思](1)两平面向量共线的充要条件有两种形式:①若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件是x1y2-x2y1=0;②已知b≠0,则a∥b的充要条件是a=λb(λ∈R).(2)利用向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行,也可以由平行求参数.当两向量的坐标均为非零实数时,也可以利用坐标对应成比例来求解.式题(1)若A(-2,3),B(3,-2),C,m三点共线,则m=()A.B.- C.-2 D.2(2)已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若μa+b与a-2b平行,则μ=()A.-2B.2C.-D.第26讲平面向量的数量积与平面向量应用举例课前双击巩固1.平面向量的数量积(1)概念已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,我们把数量叫作a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=,并规定零向量与任一向量的数量积为,即.(2)几何意义①向量的投影:叫作向量a在b方向上(b在a方向上)的投影.②向量数量积的几何意义:数量积a·b等于a的长度|a|与的乘积.(3)向量的夹角已知两个向量a和b,作=a,=b,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a与b的夹角.如果向量a与b的夹角是90°,我们说a与b垂直,记作.2.平面向量数量积的运算律已知向量a,b,c和实数λ.①交换律:;②数乘结合律:(λa)·b==(λ∈R);③分配律:(a+b)·c=.3.平面向量数量积的性质设a,b为两个非零向量,e是与b同向的单位向量,θ是a与e的夹角.①e·a=a·e=.②a⊥b⇔.③当a与b同向时,a·b=;当a与b反向时,a·b=.特别地,a·a=或|a|=.④cos θ=.⑤|a·b||a||b|.4.平面向量数量积的有关结论已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2).常用结论1.平面向量数量积运算的常用公式:(1)(a+b)·(a-b)=a2-b2;(2)(a±b)2=a2±2a·b+b2.2.有关向量夹角的两个结论:(1)两个向量a与b的夹角为锐角,则有a·b>0,反之不成立(因为a与b夹角为0时不成立);(2)两个向量a与b的夹角为钝角,则有a·b<0,反之不成立(因为a与b夹角为π时不成立).题组一常识题1.[教材改编]已知向量a=(1,-2),b=(3,-4),则a·(a-b)=.2.[教材改编]已知|a|=,|b|=,a·b=,则向量a与b的夹角为.3.[教材改编]已知=1,=2,且向量a与b的夹角为120°,则|2a-b|=.4.[教材改编]已知两个单位向量e1,e2的夹角为45°,且满足e1⊥(λe2-e1),则λ=.5.[教材改编]在长江南岸渡口处,江水以12.5 km/h的速度向东流,渡船的速度为25 km/h.若渡船要垂直渡过长江,则渡船的航向应为.题组二常错题◆索引:向量的夹角没有找准导致出错;向量的数量积的几何意义不理解致误;向量的数量积的有关性质应用不熟练.6.在边长为1的等边三角形ABC中,设=a,=b,=c,则a·b+b·c+c·a=.7.已知=(2,1),点C(-1,0),D(4,5),则向量在方向上的投影为.8.若四边形ABCD满足+=0,(-)·=0,则该四边形一定是.课堂考点探究探究点一平面向量的数量积的运算1 (1)[2017·长沙模拟]已知向量a=(2,-1),b=(3,x),若a·b=3,则x=.(2)[2017·江西重点中学联考]在边长为1的正三角形ABC中,设=2,=2,则·=. [总结反思]向量数量积的运算问题可从三个方面考虑:(1)直接使用定义(已知两个向量的模与夹角)或利用数量积的坐标公式求解;(2)把两个向量各自使用已知的向量表示,再按照法则计算;(3)建立平面直角坐标系,把求解的两个向量使用坐标表示,再按照坐标法计算.式题(1)[2017·资阳期末]已知菱形ABCD的边长为2,∠B=,点P满足=λ,λ∈R.若·=-3,则λ=()A.B.- C.D.-(2)[2017·襄阳四中月考]已知向量a,b满足|a|=3,|b|=5,|a-b|=7,则a·b=.探究点二向量的夹角与向量的模考向1平面向量的模2 (1)[2017·芜湖、马鞍山联考]已知向量a=(1,-3),b=(2,m),若a∥b,则|a-2b|=()A.45B.90C.3D.3(2)[2017·河南新乡三模]已知向量,满足||=||=2,·=2,若=λ+μ(λ,μ∈R),且λ+μ=1,则||的最小值为()A.1B.C.D.[总结反思](1)利用数量积求解向量模的问题常用的公式:①a2=a·a=|a|2或|a|=;②|a±b|==;③若a=(x,y),则|a|=.(2)最值问题是在变化中求得一个特殊情况,在此情况下求解目标达到最值,因此函数方法是最基本的方法之一.考向2平面向量的垂直3 (1)已知向量a=(2,-1),b=(1,7),则下列结论正确的是()A.a⊥bB.a∥bC.a⊥(a+b)D.a⊥(a-b)(2)[2017·重庆外国语学校月考]已知向量a=(5,m),b=(2,-2),(a+b)⊥b,则m=()A.-9B.9C.6D.-6(3)如图4-26-1所示,等腰梯形ABCD中,AB=4,BC=CD=2,若E,F分别是BC,AB上的点,且满足==λ,当·=0时,则λ的值为.图4-26-1[总结反思](1)当向量a与b是坐标形式时,若证明a⊥b,则只需证明a·b=0⇔x1x2+y1y2=0.(2)当向量a,b是非坐标形式时,要把a,b用已知的不共线向量作为基底来表示,且不共线的向量要知道其模与夹角,进行运算证明a·b=0.(3)数量积的运算a·b=0⇔a⊥b是对非零向量而言的,若a=0,虽然有a·b=0,但不能说a⊥b.考向3平面向量的夹角4 (1)[2017·北京朝阳区期末]已知平面向量a=(1,0),b=-,,则a与a+b的夹角为()A.B.C.D.(2)已知向量a=(m,3),b=(,1),若向量a,b的夹角为30°,则实数m=.(3)[2017·四川绵阳中学模拟]平面向量a=(1,2),b=(6,3),c=ma+b(m∈R),且c与a的夹角与c 与b的夹角相等,则m=.[总结反思](1)研究向量的夹角应注意“共起点”;两个非零共线向量的夹角分别是0°与180°;求角时,注意向量夹角的取值范围是[0,π];若题目给出向量的坐标表示,可直接利用公式cos θ=求解.(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角,数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角,数量积小于0说明不共线的两向量的夹角为钝角.强化演练1.【考向1】已知向量a,b满足=2,=3,向量a与b的夹角为60°,则|a-b|=()A.B.19C.D.72.【考向3】已知向量a=,,b=(,-1),则a与b的夹角为()A.B.C.D.3.【考向3】[2018·益阳调研]已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a+b=(1,),记向量a,b的夹角为θ,则tan θ=.4.【考向2】[2018·德州期中]已知向量与的夹角为60°,且||=2,||=1,若=λ+,且⊥,则实数λ的值是.5.【考向1】已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|+3|的最小值为.6.【考向3】△ABC的外接圆的半径为1,圆心为O,且2++=0,||=||,则·=.探究点三平面向量与三角函数的综合5[2018·洛阳期中]已知向量a=(sin x,-),b=(1,cos x).(1)若a⊥b,求tan 2x的值;(2)令f(x)=a·b,把函数f(x)的图像上每一点的横坐标都缩短为原来的一半(纵坐标不变),再把所得的图像沿x轴向左平移个单位长度,得到函数g(x)的图像,求函数g(x)的单调递增区间及其图像的对称中心.[总结反思]平面向量与三角函数的综合问题的解题思路:(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式,运用向量共线或垂直或等式成立的条件,得到三角函数的关系式,然后求解;(2)给出用三角函数表示的向量坐标,求解的是向量的模或者其他向量的表达式,经过向量的运算,利用三角函数在定义域内的有界性求得值域等.式题已知向量a=(sin x,cos x),b=(-1,1),c=(1,1),其中x∈[0,π].(1)若(a+b)∥c,求x的值;(2)若a·b=,求sin x+的值.第27讲数系的扩充与复数的引入课前双击巩固1.复数的有关概念(1)复数的概念形如a+b i(a,b∈R)的数叫作复数,其中a,b分别是它的和.若,则a+b i 为实数;若,则a+b i为虚数;若,则a+b i为纯虚数.(2)复数相等:a+b i=c+d i⇔(a,b,c,d∈R).(3)共轭复数:a+b i与c+d i共轭⇔(a,b,c,d∈R).(4)复数的模:向量=(a,b)的模r叫作复数z=a+b i(a,b∈R)的模,记作或,即|z|=|a+b i|=.2.复数的几何意义(1)复数z=a+b i←复平面内的点Z(a,b)(a,b∈R).(2)复数z=a+b i(a,b∈R)←平面向量.3.复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1=a+b i,z2=c+d i(a,b,c,d∈R),则①加法:z1+z2=(a+b i)+(c+d i)=;②减法:z1-z2=(a+b i)-(c+d i)=;③乘法:z1·z2=(a+b i)·(c+d i)=;④除法:===(c+d i≠0).(2)复数加法的运算律复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z1,z2,z3∈C,有z1+z2=,(z1+z2)+z3=.常用结论1.(1±i)2=±2i,=i,=-i.2.i4n=1, i4n+1=i, i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈N*);i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0(n∈N*).3.z·=|z|2=||2,|z1·z2|=|z1|·|z2|,=,|z n|=|z|n.4.复数加法的几何意义:若复数z1,z2对应的向量,不共线,则复数z1+z2是以,为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数.5.复数减法的几何意义:复数z1-z2是-=所对应的复数.题组一常识题1.[教材改编]若复数z=a2-a-2+(a+1)i为纯虚数,则实数a的值为.2.[教材改编]复数z=(x+1)+(x-2)i(x∈R)在复平面内所对应的点在第四象限,则x的取值范围为.3.[教材改编]已知i是虚数单位,则复数=.题组二常错题◆索引:将复数a+b i(a,b∈R)的虚部误认为是b i;将复数在复平面内所对应的点的位置弄错;错用虚数单位i的幂的性质.4.已知复数z=,则z的共轭复数的虚部为.5.已知复数z在复平面内对应的点落在虚轴上,且满足|z-1|=3,则z=.6.若复数z满足=i2018+i2019(i为虚数单位),则z=.课堂考点探究探究点一复数的有关概念1 (1)[2017·河南六校联考]设复数z=(i为虚数单位),则z的虚部是()A.-1B.1C.-iD.i(2)若复数(b∈R,i为虚数单位)的实部和虚部互为相反数,则b=.[总结反思]复数的基本概念有实部、虚部、虚数、纯虚数、共轭复数等,在解题中要注意辨析概念的不同,灵活使用条件得出符合要求的解.式题(1)[2017·烟台一模]设i是虚数单位,若复数a+(a∈R)是纯虚数,则a=()A.-1B.1C.-2D.2(2)已知复数z=是纯虚数(其中i为虚数单位,a∈R),则z的虚部为()A.1B.-1C.iD.-i探究点二复数的几何意义2 (1)在复平面内,复数对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限(2)[2017·保定一模]在复平面内,若O(0,0),A(2,-1),B(0,3),则在▱OACB中,点C所对应的复数为()A.2+2iB.2-2iC.1+iD.1-i[总结反思](1)复数z、复平面上的点Z及向量相互联系,即z=a+b i(a,b∈R)⇔Z(a,b)⇔. (2)复数的几何意义:复数z在复平面内对应的点的坐标就是向量的坐标,对于复数z=a+b i(a,b ∈R),其在复平面内对应的点的坐标是(a,b).复数的模即为其对应向量的模.式题(1)[2017·赣州二模]已知复数z满足(1-i)2·z=1+2i,则复数在复平面内对应的点为()A.B.C.D.(2)[2017·南宁二模]复数(a∈R)在复平面内对应的点在第一象限,则a的取值范围为()A.a<0B.0<a<1C.a>1D.a<-1探究点三复数的代数运算3 (1)[2017·全国卷Ⅱ](1+i)(2+i)=()A.1-iB.1+3iC.3+iD.3+3i(2)若复数(1+m i)(3+i)(i是虚数单位,m∈R)是纯虚数,则=()A.1B.2C.3D.4[总结反思](1)把i看作一个字母,复数的代数形式的四则运算类似于多项式的四则运算;(2)在只含有z的方程中,z类似于代数方程中的x,可直接求解;(3)在含有z,,|z|中至少两个的复数方程中,可设z=a+b i,a,b∈R,变换方程,利用两复数相等的充要条件得出关于a,b的方程组,求出a,b,从而得出复数z.式题(1)[2017·合肥质检]已知i为虚数单位,则=()A. B.C.D.(2)[2017·全国卷Ⅲ]设复数z满足(1+i)z=2i,则|z|=()A.B.C.D.2。
2020优秀高考数学总复习：第4章《平面向量、数系的扩充与复数的引入》【3】
(文)(2013·湖南高考)已知 a，b 是单位向量，a·b＝0.若向量
c 满足|c－a－b|＝1，则|c|的最大值为
()
A. 2－1
B. 2
C. 2＋1
D. 2＋2
[听课记录] 如图，建立平面直角坐标系， 令向量 a，b 的坐标 a＝(1，0)，b＝(0，1)， 令向量 c＝(x，y)，则有
(2)两向量夹角的范围为[0，π]，特别当两向量共线且同 向时，其夹角为0，共线且反向时，其夹角为π.
(3)在利用向量的数量积求两向量的夹角时，一定要注意 两向量夹角的范围．
2．向量运算与数量运算的区别
(1)若a，b∈R，且a·b＝0，则有a＝0或b＝0，但a·b＝0 却不能得出a＝0或b＝0.
的数乘量积积．a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ
三、向量数量积的性质 1．如果 e 是单位向量，则 a·e＝e·a.
2．a⊥b⇔ a·b＝0 ．
3．a·a＝ |a|2 ，|a|＝ a·a. 4．cos θ ＝|aa|·|bb|．(θ 为 a 与 b 的夹角) 5．|a·b| ≤ |a||b|.
两平面向量的夹角与垂直
[典题导入]
(1)已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为120°，a＋b
＋c＝0，则a与c的夹角为
( )
A．150°
B．90°
C．60°
D．30°
[听课记录] ∵a·b＝1×2×cos 120°＝－1，c＝－a－b， ∴a·c＝a·(－a－b)＝－a·a－a·b＝－1＋1＝0，∴a⊥c. ∴a与c的夹角为90°. 答案 B
2020版高考数学一轮复习第4章平面向量数系的扩充与复数的引入第4节数系的扩充与复数的引入教学案含解析理
第四节 数系的扩充与复数的引入[考纲传真] 1.理解复数的概念，理解复数相等的充要条件.2.了解复数的代数表示法及其几何意义.3.能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、减的几何意义．1．复数的有关概念(1)复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部(i 为虚数单位)．(2)分类：(3)复数相等：a ⇔a ＝c ，b ＝d ((4)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R)．(5)复数的模：向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|a ，b ∈R )．2．复数的几何意义 复数z ＝a ＋b i复平面内的点Z (a ，b )平面向量OZ →＝(a ，b )．3．复数的运算(1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R .(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→，Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→.[常用结论]1．(1±i)2＝±2i，1＋i 1－i ＝i ，1－i 1＋i ＝－i.2．－b ＋a i ＝i(a ＋b i)． 3．i 4n＝1，i4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i(n ∈N *)；i 4n ＋i4n ＋1＋i4n ＋2＋i4n ＋3＝0(n ∈N *)．4．z ·z ＝|z |2＝|z |2，|z 1·z 2|＝|z 1|·|z 2|，⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1z 2＝|z 1||z 2|，|z n |＝|z |n .[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i. ( )(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小． ( ) (3)实轴上的点表示实数，虚轴上的点都表示纯虚数． ( )(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.( )[答案] (1)× (2)× (3)×(4)√2.(教材改编)如图所示，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( )A ．AB ．BC ．CD ．DB [共轭复数对应的点关于实轴对称．]3．(教材改编)设m ∈R ，复数z ＝m 2－1＋(m ＋1)i 表示纯虚数，则m 的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．±1D ．0A [由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－1＝0m ＋1≠0，解得m ＝1，故选A.]4．复数1＋2i2－i＝( )A ．iB ．1＋iC ．－iD ．1－iA [1＋2i 2－i＝＋＋－＋＝5i5＝i.] 5．(教材改编)设x ，y ∈R ，若(x ＋y )＋(y －1)i ＝(2x ＋3y )＋(2y ＋1)i ，则复数z ＝x ＋y i 在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限D [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2x ＋3y ，y －1＝2y ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2.则复数z ＝4－2i 在复平面上对应的点位于第四象限，故选D.]1．(2018·全国卷Ⅰ)设z ＝1＋i＋2i ，则|z |＝( ) A ．0 B.12C ．1 D. 2 C [z ＝1－i1＋i＋2i ＝1－2＋－＋2i ＝i ，所以|z |＝1.]2．(2018·浙江高考)复数21－i (i 为虚数单位)的共轭复数是( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－iB [21－i＝＋－＋＝1＋i ，所以复数21－i 的共轭复数为1－i ，故选B.]3．(2017·天津高考)已知a ∈R ，i 为虚数单位，若a －i2＋i为实数，则a 的值为________． －2 [∵a ∈R ，a －i2＋i＝a －－＋－＝2a －1－a ＋5＝2a －15－a ＋25i 为实数， ∴－a ＋25＝0，∴a ＝－2.]复数的分类、所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a ，的形式，再根据题意列出实部、虚部满足的方程组即可求复数模的常规思路是利用复数的有关运算先求出复数，然后利用复数模的定义.►考法1 【例1】 (1)(2018·全国卷Ⅲ)(1＋i)(2－i)＝( ) A ．－3－i B ．－3＋i C ．3－iD ．3＋i(2)(2016·全国卷Ⅰ)设(1＋2i)(a ＋i)的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a ＝( ) A ．－3 B ．－2C ．2D ．3(3)若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a ＝( ) A ．－1 B ．0C ．1D ．2(1)D (2)A (3)B [(1)(1＋i)(2－i)＝2－i ＋2i －i 2＝3＋i.故选D.(2)(1＋2i)(a ＋i)＝a －2＋(1＋2a )i ，由题意知a －2＝1＋2a ，解得a ＝－3，故选A. (3)因为(2＋a i)(a －2i)＝－4i ， 所以4a ＋(a 2－4)i ＝－4i.所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝0，a 2－4＝－4.解得a ＝0.故选B.]►考法2 复数的除法运算【例2】 (1)(2018·天津高考)i 是虚数单位，复数6＋7i1＋2i＝________. (2)(2018·江苏高考)若复数z 满足i·z ＝1＋2i ，其中i 是虚数单位，则z 的实部为________．(1)4－i (2)2 [(1)6＋7i1＋2i ＝＋－＋－＝6＋14＋7i －12i 5＝4－i.(2)z ＝1＋2i i＝＋－－＝2－i故z 的实部为2.] ►考法3 复数的综合运算【例3】 (1)(2019·太原模拟)设复数z 满足1－z1＋z ＝i ，则z 的共轭复数为( )A ．iB ．－iC ．2iD ．－2i(2)(2016·全国卷Ⅲ)若z ＝4＋3i ，则z|z |＝( ) A ．1 B ．－1 C.45＋35i D.45－35i (3)若复数z 满足 2z ＋z ＝3－2i ，其中i 为虚数单位，则z 等于( ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．－1＋2iD ．－1－2i(1)A (2)D (3)B [(1)由1－z1＋z＝i 得1－z ＝i ＋z i. 即(1＋i)z ＝1－i ，则z ＝1－i1＋i ＝－i ，因此z ＝i ，故选A.(2)∵z ＝4＋3i ，∴z ＝4－3i ，|z |＝42＋32＝5， ∴z|z |＝4－3i 5＝45－35i. (3)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，所以2(a ＋b i)＋(a －b i)＝3－2i ，整理得3a＋b i ＝3－2i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a ＝3，b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，所以z ＝1－2i ，故选B.]复数的乘法类同类项，不含复数的除法幂写成最简形式复数的运算与复数概念的综合题a ，的形式，再结合相关定义解答(1)(2019·合肥模拟)已知i 为虚数单位，则2－i＝( )A ．5B ．5iC ．－75－125iD ．－75＋125i(2)(2019·惠州模拟)已知复数z 的共轭复数为z ，若z (1－i)＝2i(i 为虚数单位)，则z ＝( )A ．iB ．i －1C ．－i －1D ．－i(3)(2019·南昌模拟)设z 的共轭复数是z ，若z ＋z ＝2，z 2＝－2i ，则z ＝( ) A.12－12i B.12＋12i C ．1＋iD ．1－i(1)A (2)C (3)D [(1)法一：＋－2－i＝10－5i 2－i ＝5，故选A. 法二：＋－2－i＝＋2－＋－＝＋－5＝5，故选A.(2)由已知可得z ＝2i1－i＝＋－＋＝－1＋i ，则z ＝－1－i ，故选C.(3)对四个选项逐一验证可知，当z ＝1－i 时，符合题意，故选D.]【例4】 (1)(2018·北京高考)在复平面内，复数1－i 的共轭复数对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限(2)(2019·郑州模拟)若复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(－1，＋∞)(1)D (2)B [(1)11－i＝1＋i －＋＝1＋i 2＝12＋12i ，所以11－i 的共轭复数为12－12i ，在复平面内对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，位于第四象限，故选D.(2)复数(1－i)(a ＋i)＝a ＋1＋(1－a )i ，其在复平面内对应的点(a ＋1,1－a )在第二象限，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＜0，1－a ＞0，解得a ＜－1，故选B.]a ，b 一一对应(1)(2019·广州模拟)设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则复数z＋z 2在复平面内对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(2)在复平面内与复数z＝5i1＋2i所对应的点关于虚轴对称的点为A，则A对应的复数为( )A．1＋2i B．1－2iC．－2＋i D．2＋i(1)A(2)C[(1)因为z＝1＋i，所以2z＋z2＝21＋i＋(1＋i)2＝－＋－＋1＋2i＋i2＝－2＋2i＝1＋i，所以该复数在复平面内对应的点的坐标为(1,1)，位于第一象限，故选A.(2)依题意得，复数z＝－＋－＝i(1－2i)＝2＋i，其对应的点的坐标是(2,1)，因此点A(－2,1)对应的复数为－2＋i.]1．(2017·全国卷Ⅰ)下列各式的运算结果为纯虚数的是( )A．i(1＋i)2B．i2(1－i)C．(1＋i)2D．i(1＋i)C[A项，i(1＋i)2＝i(1＋2i＋i2)＝i×2i＝－2，不是纯虚数．B项，i2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i，不是纯虚数．C项，(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i，是纯虚数．D项，i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，不是纯虚数．故选C.]2．(2017·全国卷Ⅲ)复平面内表示复数z＝i(－2＋i)的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限C[∵z＝i(－2＋i)＝－1－2i，∴复数z＝－1－2i所对应的复平面内的点为Z(－1，－2)，位于第三象限．故选C.]3．(2016·全国卷Ⅰ)设(1＋i)x＝1＋y i，其中x，y是实数，则|x＋y i|＝( )A．1 B. 2 C. 3 D．2B[∵(1＋i)x＝1＋y i，∴x＋x i＝1＋y i.又∵x ，y ∈R ，∴x ＝1，y ＝x ＝1. ∴|x ＋y i|＝|1＋i|＝2，故选B.]4．(2015·全国卷Ⅰ)已知复数z 满足(z －1)i ＝1＋i ，则z ＝( ) A ．－2－i B ．－2＋i C ．2－iD ．2＋iC [∵(z －1)i ＝i ＋1，∴z －1＝i ＋1i ＝1－i ，∴z ＝2－i ，故选C.]自我感悟：______________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________。
2020高考数学一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入4.1平面向量的概念及其线性运算课件文
一、必记 3 个知识点
1．向量的有关概念
名称
定义
向量
既有①大小又有②方向的量；向量的 大小叫做向量的③模(或④长度)
零向量 长度为⑤零的向量；其方向是任意的
单位向量 长度等于⑦1 个单位长度的向量
平行向量
共线向量
相等向量 相反向量
方向⑧相同或⑨相反的非零向量 ○ 10方向相同或相反的向量又叫做共线
6．已知平面上不共线的四点 O，A，B，C.若O→A－3O→B＋2O→C＝ 0.则||BA→→CB||等于________．
解析：由已知得，O→A－O→B＝2(O→B－O→C)， ∴A→B＝2B→C，∴||BA→→CB||＝2. 答案：2
考向一 平面向量的有关概念
[自主练透型]
1．设 a0 为单位向量，下列命题中：①若 a 为平面内的某个向③若 a 与 a0 平行 且|a|＝1，则 a＝a0.假命题的个数是( )
求实数 λ 与 向量 a 的积
的运算
(1)|λa|＝○22|λ||a|. (2)当 λ＞0 时，λa 与 a 的 方向○23相同；当 λ＜0 时， λa 与 a 的方向○24相反；当
λ＝0 时，λa＝○250
λ(μa)＝○26λμa； (λ＋μ)a＝○27λa＋
μa； λ(a＋b)＝○28λa＋λb.
向量 长度⑫相等且方向⑬相同的向量 长度⑭相等且方向⑮相反的向量
备注 平面向量是自由向量
记作⑥0 非零向量 a 的单位向
量为±|aa| 0 与任一向量⑪平行
或共线
0 的相反向量为 0
2.向量的表示方法 (1)字母表示法：如 a，A→B等． (2)几何表示法：用一条⑯有向线段表示向量．
3．向量的线性运算
2020高考数学文科大一轮复习第四章平面向量_数系的扩充与复数的引入_ _课时作业 (2)
课时作业28 平面向量数量积的应用一、选择题1．(2019·株洲模拟)在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，则△ABC 的形状一定是( C )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析：由(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2， 得AC →·(BC →＋BA →－AC →)＝0，即AC →·(BC →＋BA →＋CA →)＝0,2AC →·BA →＝0， ∴AC →⊥BA →，∴A ＝90°.又根据已知条件不能得到|AB →|＝|AC →|， 故△ABC 一定是直角三角形．2．已知点A (－2,0)，B (3,0)，动点P (x ，y )满足P A →·PB →＝x 2，则点P 的轨迹是( D )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线 解析：∵P A →＝(－2－x ，－y )，PB →＝(3－x ，－y )，∴P A →·PB →＝(－2－x )(3－x )＋y 2＝x 2，∴y 2＝x ＋6，即点P 的轨迹是抛物线．3．已知向量m ＝(1，cos θ)，n ＝(sin θ，－2)，且m ⊥n ，则sin2θ＋6cos 2θ的值为( B )A.12 B ．2 C ．22D ．－2解析：由题意可得m ·n ＝sin θ－2cos θ＝0，则tan θ＝2，所以sin2θ＋6cos 2θ＝2sin θcos θ＋6cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θ＋6tan 2θ＋1＝2.故选B.4．(2019·安徽江南十校联考)已知△ABC 中，AB ＝6，AC ＝3，N 是边BC 上的点，且BN →＝2NC →，O 为△ABC 的外心，则AN →·AO →的值为( D )A ．8B ．10C ．18D ．9解析：由于BN →＝2NC →，则AN →＝13AB →＋23AC →，取AB 的中点为E ，连接OE ，由于O 为△ABC 的外心，则EO →⊥AB →，∴AO →·AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12AB →＋EO →·AB →＝12AB →2＝12×62＝18，同理可得AC →·AO →＝12AC →2＝12×32＝92，所以AN →·AO →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13AB →＋23AC →·AO →＝13AB →·AO →＋23AC →·AO →＝13×18＋23×92＝6＋3＝9，故选D. 5．(2019·广东广雅中学等四校联考)已知两个单位向量a ，b 的夹角为120°，k ∈R ，则|a －k b |的最小值为( B )A.34B.32C ．1D.32解析：∵两个单位向量a ，b 的夹角为120°， ∴|a |＝|b |＝1，a ·b ＝－12， ∴|a －k b |＝a 2－2k a ·b ＋k 2b 2＝1＋k ＋k 2＝⎝⎛⎭⎪⎫k ＋122＋34，∵k ∈R ，∴当k ＝－12时，|a －k b |取得最小值32，故选B.6．在△ABC 中，已知向量AB →＝(2,2)，|AC →|＝2，AB →·AC →＝－4，则△ABC 的面积为( C )A ．4B ．5C ．2D ．3解析：∵AB →＝(2,2)，∴|AB →|＝22＋22＝2 2.∵AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos A ＝22×2cos A ＝－4，∴cos A ＝－22，∵0<A <π，∴sin A ＝22，∴S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|sin A ＝2.故选C.7．(2018·天津卷) 如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，AB ＝AD ＝1.若点E 为边CD 上的动点，则AE →·BE →的最小值为( A )A.2116B.32C.2516D ．3解析：解法1：如图，以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则A (1,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，C (0，3)，令E (0，t )，t ∈[0，3]，∴AE →·BE →＝(－1，t )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，t －32＝t 2－32t ＋32，∵t ∈[0，3]， ∴当t ＝－－322×1＝34时，AE →·BE →取得最小值，(AE →·BE →)min ＝316－32×34＋32＝2116.故选A.解法2：令DE →＝λDC →(0≤λ≤1)，由已知可得DC ＝3， ∵AE →＝AD →＋λDC →，∴BE →＝BA →＋AE →＝BA →＋AD →＋λDC →，∴AE →·BE →＝(AD →＋λDC →)·(BA →＋AD →＋λDC →)＝AD →·BA →＋|AD →|2＋λDC →·BA →＋λ2|DC →|2＝3λ2－32λ＋32.当λ＝－－322×3＝14时，AE →·BE →取得最小值2116.故选A.二、填空题8．已知O 为△ABC 内一点，且OA →＋OC →＋2OB →＝0，则△AOC 与△ABC 的面积之比是1 2.解析：如图所示，取AC 的中点D ， ∴OA →＋OC →＝2OD →， ∴OD →＝BO →，∴O 为BD 的中点， ∴面积比为高之比． 即S △AOC S △ABC＝DO BD ＝12. 9．已知|a |＝2|b |，|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x －a ·b ＝0有两相等实根，则向量a 与b 的夹角是2π3.解析：由已知可得Δ＝|a |2＋4a ·b ＝0，即4|b |2＋4×2|b |2cos θ＝0，∴cos θ＝－12.又∵0≤θ≤π，∴θ＝2π3.10．已知△ABC 是直角边长为2的等腰直角三角形，且A 为直角顶点，P 为平面ABC 内一点，则P A →·(PB →＋PC →)的最小值是－1.解析：解法1：如图，以A 为坐标原点，AB ，AC 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，C (0,2)，设P (x ，y )，则P A →＝(－x ，－y )，PB →＝(2－x ，－y )，PC →＝(－x,2－y )，PB →＋PC →＝(2－2x,2－2y )，∴P A →·(PB →＋PC →)＝－x (2－2x )－y (2－2y )＝2(x －12)2＋2(y －12)2－1≥－1(当且仅当x ＝y ＝12时等号成立)，∴P A →·(PB →＋PC →)的最小值为－1.解法2：P A →·(PB →＋PC →)＝P A →·(P A →＋AB →＋P A →＋AC →)＝P A →·(2P A →＋AB →＋AC →)． 设BC 的中点为D ，则AB →＋AC →＝2AD →， ∴P A →·(PB →＋PC →)＝2P A →·(P A →＋AD →)＝2P A →·PD →， ∵－2|P A →|·|PD →|≤2P A →·PD →≤2|P A →|·|PD →|，∴(2P A →·PD →)min ＝－2|P A →|·|PD →|，此时点P 在线段AD 上(异于A ，D )，设P A →＝λAD →(－1<λ<0)，则|P A →|＝|λAD →|＝－λ·2，|PD →|＝2＋2λ，∴－2|P A →|·|PD →|＝4(λ2＋λ＋14－14)＝4(λ＋12)2－1，∴当λ＝－12时，P A →·(PB →＋PC →)取得最小值－1.三、解答题11．已知点P (0，－3)，点A 在x 轴上，点Q 在y 轴的正半轴上，点M满足P A →·AM →＝0，AM →＝－32MQ →，当点A 在x 轴上移动时，求动点M 的轨迹方程．解：设M (x ，y )为所求轨迹上任一点， 设A (a,0)，Q (0，b )(b >0)，则P A →＝(a,3)，AM →＝(x －a ，y )，MQ →＝(－x ，b －y )， 由P A →·AM →＝0，得a (x －a )＋3y ＝0. ① 由AM →＝－32MQ →，得(x －a ，y )＝－32(－x ，b －y )＝⎝⎛⎭⎪⎫32x ，32(y －b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －a ＝32x ，y ＝32y －32b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－x 2，b ＝y 3.∵b >0，∴y >0，把a ＝－x 2代入到①中，得－x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 2＋3y ＝0，整理得y ＝14x 2(x ≠0)．∴动点M 的轨迹方程为y ＝14x 2(x ≠0)．12．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos B ，2cos 2C 2－1，n ＝(c ，b －2a )，且m ·n ＝0. (1)求角C 的大小；(2)若点D 为边AB 上一点，且满足AD →＝DB →，|CD →|＝7，c ＝23，求△ABC 的面积．解：(1)由题意知m ＝(cos B ，cos C )，n ＝(c ，b －2a )，m ·n ＝0， 则c cos B ＋(b －2a )cos C ＝0. 在△ABC 中，由正弦定理得 sin C cos B ＋(sin B －2sin A )cos C ＝0，整理得sin C cos B ＋sin B cos C －2sin A cos C ＝0，即sin(B ＋C )＝2sin A cos C . 故sin A ＝2sin A cos C ，又sin A ≠0，∴cos C ＝12， ∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.(2)由AD →＝DB →知，CD →－CA →＝CB →－CD →， ∴2CD →＝CA →＋CB →，两边平方得4|CD →|2＝b 2＋a 2＋2ba cos ∠ACB ＝b 2＋a 2＋ba ＝28.① 又c 2＝a 2＋b 2－2ab cos ∠ACB ， ∴a 2＋b 2－ab ＝12.② 由①②得ab ＝8，∴S △ABC ＝12ab sin ∠ACB ＝2 3.13．已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C ，λ∈(0，＋∞)，则(D )A ．动点P 的轨迹一定通过△ABC 的重心B ．动点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心 C ．动点P 的轨迹一定通过△ABC 的外心D ．动点P 的轨迹一定通过△ABC 的垂心 解析：由条件，得AP →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C ， 从而AP →·BC →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →·BC →|AB →|cos B ＋AC →·BC →|AC →|cos C＝λ|AB →||BC →|cos (180°－B )|AB →|cos B ＋λ·|AC →||BC →|cos C|AC →|cos C ＝0，所以AP →⊥BC →，则动点P的轨迹一定通过△ABC 的垂心．14．已知向量a ，b 满足：|a |＝|b |＝1，且a ·b ＝12，若c ＝x a ＋y b ，其中x >0，y >0且x ＋y ＝2，则|c |的最小值是 3.解析：∵|a |＝|b |＝1，且a ·b ＝12，当c ＝x a ＋y b 时，c 2＝x 2a 2＋2xy a ·b ＋y 2b 2＝x 2＋xy ＋y 2＝(x ＋y )2－xy ； 又x >0，y >0且x ＋y ＝2，∴xy ≤(x ＋y 2)2＝1，当且仅当x ＝y ＝1时取“＝”，∴c 2≥(x ＋y )2－(x ＋y 2)2＝22－1＝3，∴|c |的最小值是 3. 尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用15．(2019·重庆市质量调研)已知Rt △ABC 中，AB ＝3，BC ＝4，AC ＝5，I 是△ABC 的内心，P 是△IBC 内部(不含边界)的动点，若AP →＝λAB →＋μAC →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是( A )A ．(23，1)B ．(23，2)C ．(712，1)D ．(2,3)解析：以B 为原点，BA ，BC 所在直线分别为x ，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则B (0,0)，A (3,0)，C (0,4)．设△ABC 的内切圆的半径为r ，因为I 是△ABC 的内心，所以(5＋3＋4)×r ＝4×3，解得r ＝1，所以I (1,1)．设P (x ，y )，因为点P 在△IBC 内部(不含边界)，所以0<x <1.因为AB →＝(－3,0)，AC →＝(－3,4)，AP →＝(x －3，y )，且AP →＝λAB →＋μAC →，所以⎩⎨⎧ x －3＝－3λ－3μ，y ＝4μ，得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝1－13x －14y ，μ＝14y ，所以λ＋μ＝1－13x ，又0<x <1，所以λ＋μ∈(23，1)，故选A.16．(2018·浙江卷)已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π3，向量b 满足b 2－4e ·b ＋3＝0，则|a －b |的最小值是( A ) A.3－1 B.3＋1 C ．2 D ．2－ 3解析：解法1：设O 为坐标原点，a ＝OA →，b ＝OB →＝(x ，y )，e ＝(1,0)，由b 2－4e ·b ＋3＝0得x 2＋y 2－4x ＋3＝0，即(x －2)2＋y 2＝1，所以点B 的轨迹是以C (2,0)为圆心，1为半径的圆．因为a 与e 的夹角为π3，所以不妨令点A 在射线y ＝3x (x >0)上，如图，数形结合可知|a －b |min ＝|CA →|－|CB →|＝3－1.故选A.解法2：由b 2－4e ·b ＋3＝0得b 2－4e ·b ＋3e 2＝(b －e )·(b －3e )＝0.设b ＝OB →，e ＝OE →，3e ＝OF →，所以b －e ＝EB →，b －3e ＝FB →，所以EB →·FB →＝0，取EF 的中点为C ，则B 在以C 为圆心，EF 为直径的圆上，如图．设a ＝OA →，作射线OA ，使得∠AOE ＝π3，所以|a －b |＝|(a －2e )＋(2e －b )|≥|a －2e |－|2e －b |＝|CA →|－|BC →|≥3－1.故选A.。
高考数学一轮复习 第4单元 平面向量、数系的扩充与复数的引入听课学案 理
——————————新学期新成绩新目标新方向——————————第四单元平面向量、数系的扩充与复数的引入第24讲平面向量的概念及其线性运算课前双击巩固1.向量的有关概念及表示,的说明:零向量的方向是、.规定:零向量与任一向量.2.向量的线性运算法则a-b=3.向量的共线定理向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一的实数λ,使.常用结论1.一般地,首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量,即+++…+=.特别地,一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量.2.若P为线段AB的中点,O为平面内任意一点,则=(+).3.若A,B,C是平面内不共线的三点,则++=0⇔P为△ABC的重心.4.在△ABC中,AD,BE,CF分别为三角形三边上的中线,它们交于点G(如图4-24-1所示),易知G为△ABC的重心,则有如下结论:(1)++=0;(2)=(+);(3)=(+),=(+).图4-24-15.若=λ+μ(λ,μ为常数),则A,B,C三点共线的充要条件是λ+μ=1.题组一常识题1.[教材改编]-+-+++= .2.[教材改编]如图4-24-2,D,E,F分别是△ABC各边的中点,给出下列结论:(1)=;(2)与共线;(3)与是相反向量;(4)=||.其中错误结论的序号是.图4-24-23.[教材改编]M是△ABC的边BC的中点,=a,=b,则= .4.[教材改编]向量e1与e2不共线,若a=e1-e2与b=-2e1+λe2共线,则λ= .题组二常错题◆索引:向量概念不清致误;向量相等的隐含条件挖掘不全致误.5.给出下列结论:①+=2;②已知向量a∥b,且|a|>|b|>0,则向量a+b的方向与向量a的方向相同;③设a0为单位向量,则平面内向量a=|a|·a0.其中正确结论的序号是.6.若四边形ABCD满足=且||=||,则四边形ABCD的形状是.7.已知向量a,b,若|a|=2,|b|=4,则|a-b|的取值范围为.课堂考点探究探究点一平面向量的基本概念1 (1)设a,b都是非零向量,下列条件中一定能使+=0成立的是 ()A.a=2bB.a∥bC.a=--bD.a⊥b(2)给出下列说法:①若|a|=|b|,则a=b;②若a∥b,b∥c,则a∥c;③a与b是非零向量,若a与b同向,则a与-b反向;④若与共线,则A,B,C三点在同一条直线上.其中错误说法的序号是.[总结反思] 对于平面向量的有关概念应注意以下几点:(1)平行向量就是共线向量,二者是等价的,它们均与起点无关;非零向量的平行具有传递性;相等向量一定是平行向量,而平行向量则未必是相等向量;相等向量具有传递性.(2)向量与数量不同,数量可以比较大小,向量则不能,但向量的模是非负数,可以比较大小.(3)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量,解题时,不要把它与函数图像的移动混为一谈.(4)非零向量a与的关系:是与a同方向的单位向量.式题 (1)如图4-24-3,等腰梯形ABCD中,对角线AC与BD交于点P,点E,F分别在AD,BC 上,EF过点P,且EF∥AB,则下列等式中成立的是()A.=B.=C.=D.=图4-24-3(2)给出下列说法:①若A,B,C,D是不共线的四个点,则=是四边形ABCD为平行四边形的充要条件;②若a,b都是单位向量,则a=b;③向量与相等;④若a=b,b=c,则a=c.其中正确说法的序号是()A.①④B.③④C.②③D.①②探究点二平面向量的线性运算考向1平面向量加减法的几何意义2 (1)[2017·南昌重点学校模拟]已知O为△ABC内一点,满足4=+2,则△AOB与△AOC的面积之比为()A.1∶1B.1∶2C.1∶3D.2∶1(2)已知△ABC,若|+|=|-|,则△ABC的形状为.[总结反思] 利用向量加减法的几何意义解决问题通常有两种方法:(1)根据两个向量的和与差,构造相应的平行四边形,再结合其他知识求解相关问题;(2)平面几何中如果出现平行四边形或可能构造出平行四边形的问题,可考虑利用向量知识来求解.考向2平面向量的线性运算3 (1)[2017·西宁一模]如图4-24-4所示,图4-24-4在△ABC中,点D在BC边上,且CD=2DB,点E在AD上,且AD=3AE,则=()A.+B.-C.+D.-(2)[2017·长春二模]在△ABC中,D为△ABC所在平面内一点,且=+,则=()A. B. C. D.[总结反思] 向量线性运算的解题策略:(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则,一般共起点的向量求和用平行四边形法则,求差用三角形法则,求首尾相连的向量的和用三角形法则.(2)找出图形中的相等向量、共线向量,将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解.(3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧:①观察各向量的位置;②寻找相应的三角形或多边形;③运用法则找关系;④化简结果.考向3利用向量的线性运算求参数4[2017·运城三模]在△ABC中,=,P是直线BN上一点,且=m+,则实数m 的值为()A.-2B.-4C.1D.4[总结反思] 与向量的线性运算有关的参数问题,一般是构造三角形,利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算,然后通过建立方程组即可求得相关参数的值.强化演练1.【考向1】设D,E,F分别为△ABC的边BC,CA,AB的中点,则+=()A.B.C.D.2.【考向1】[2017·长沙长郡中学三模]已知O是△ABC所在平面内一点,D为BC边的中点,且2++=0,则()A.=B.=2C.=3D.2=3.【考向2】在△ABC中,点D是BC的中点,点E是AC的中点,点F在线段AD上,且AF=2DF,设=a,=b,则=()A.a-bB.a-bC.a-bD.a-b4.【考向1】已知向量a,b满足|a|=|b|=1,且|a-b|=,则|a+b|= .5.【考向3】[2017·山东滨州二模]如图4-24-5所示,在△ABC中,O为BC的中点,过点O 的直线分别交AB,AC所在直线于点M,N.若=m,=n,则m+n= .图4-24-5探究点三共线向量定理及应用考向1向量共线的问题5 已知e1,e2是两个不共线的向量,若a=2e1-e2与b=e1+λe2共线,则λ= ()A.-B.-2C.D.2[总结反思] 两个向量共线是指两个向量的方向相同或相反,因此共线包含两种情况:同向共线或反向共线.一般地,若a=λb(a≠0),则a与b共线:(1)当λ>0时,a与b同向;(2)当λ<0时,a与b反向.考向2三点共线的问题6 (1)已知a,b是不共线的向量,=a+5b,=-3a+6b,=4a-b,则()A.A,B,D三点共线B.A,B,C三点共线C.B,C,D三点共线D.A,C,D三点共线(2)已知a,b是不共线的向量,=λa+2b,=a+(λ-1)b,且A,B,C三点共线,则λ=()A.-1B.2C.-2或1D.-1或2[总结反思] (1)三点共线问题可转化为向量共线问题来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.根据A,B,C三点共线求参数问题,只需将问题转化为=λ,再利用对应系数相等列出方程组,进而解出系数.(2)三点共线的一个常用结论:A,B,C三点共线⇔存在实数λ,μ,对平面内任意一点O(O不在直线BC上)满足=λ+μ(λ+μ=1).强化演练1.【考向1】已知e1,e2是不共线的向量,则下列各组向量中是共线向量的有()①a=5e1,b=3e1;②a=3e1-2e2,b=-e1+e2;③a=e1+e2,b=-2e1+2e2.A.①②B.①③C.②③D.①②③2.【考向1】[2017·景德镇模拟]已知O,A,B三点不共线,P为该平面内一点,且=+,则()A.点P在线段AB上B.点P在线段AB的延长线上C.点P在线段AB的反向延长线上D.点P在射线AB上3.【考向1】[2017·哈尔滨三中四模]设e1,e2是不共线的向量,a=e1+ke2,b=ke1+e2,若a与b 共线,则实数k=()A.0B.-1C.-2D.±14.【考向2】已知O为△ABC内一点,且=(+),=t,若B,O,D三点共线,则t=()A. B. C. D.第25讲平面向量基本定理及坐标表示课前双击巩固1.平面向量的基本定理如果e1,e2是同一平面内的两个向量,那么对于这一平面内的任意向量a,一对实数λ1,λ2使.其中,不共线的向量e1,e2叫作表示这一平面内所有向量的一组.2.平面向量的坐标运算(1)平面向量的坐标运算(2)向量的坐标求法已知A(x1,y1),B(x2,y2),则= ,||= .3.平面向量共线的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则a∥b⇔a=λb(λ∈R)⇔.常用结论1.若a与b不共线,且λa+μb=0,则λ=μ=0.2.已知P为线段AB的中点,若A(x1,y1),B(x2,y2),则P点坐标为,;已知△ABC的顶点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则△ABC的重心G的坐标为,.题组一常识题1.[教材改编]已知向量=(-5,2),点P(2,3),则点Q的坐标为.2.[教材改编]如图4-25-1,已知向量e1,e2,a的起点与终点均在正方形网格的格点上,则向量a用基底e1,e2表示为.图4-25-13.[教材改编]在平面直角坐标系中,A(-1,2),B(3,1),且=3,则向量= .4.[教材改编]已知向量e1,e2不共线,实数x,y满足(x-y)e1+(2x+y)e2=6e1+3e2,则x+y= .题组二常错题◆索引:平面向量基本定理的前提是基底不能共线;由点的坐标求向量坐标时忽视起点与终点致误;两个向量共线的坐标表示公式掌握不牢.5.给出下列三个向量:a=(-2,3),b=1,-,c=(-1,1).在这三个向量中任意取两个作为一组,能构成基底的组数为.6.已知A(-5,8),B(7,3),则与向量共线的单位向量为.7.已知平面向量a=(1,2),b=(-2,m),且a∥b,则m= .课堂考点探究探究点一平面向量的基本定理1 (1)已知向量a=(3,4),若存在实数x,y,使得a=xe1+ye2,则e1,e2可以是()A.e1=(0,0),e2=(-1,2)B.e1=(-1,3),e2=(-2,6)C.e1=(-1,2),e2=(3,-1)D.e1=,e2=(1,-2)(2)[2017·珠海二模]已知D为△ABC所在平面内一点,且=3+4,若点E为直线BC上一点,且=λ,则λ的值为()A.4B.5C.6D.7[总结反思] (1)应用平面向量基本定理表示向量,实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决问题.式题在平行四边形ABCD中,E,F分别是CD,BC的中点,若=λ+μ其中λ,μ∈R,则λ+μ=()A. B.2 C. D.1探究点二平面向量的坐标运算2 (1)[2017·鹰潭一中期中]已知平面向量a=(1,1),b=(1,-1),则a-b=()A.(-2,-1)B.(-1,2)C.(-1,0)D.(-2,1)(2)已知M(-2,7),N(10,-2),点P是线段MN上的点,且=-2,则点P的坐标为()A.(-14,16)B.(22,-11)C.(6,1)D.(2,4)[总结反思] (1)利用向量的坐标运算解题,首先利用加、减、数乘运算法则进行运算,然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则,转化为方程(组)进行求解.(2)向量的坐标表示把点与数联系起来,引入平面向量的坐标可以使向量运算代数化,成为数与形结合的载体,使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算.式题 (1)[2018·石家庄二中模拟]已知向量a=(3,t),b=(-1,2),若存在非零实数λ,使得a=λ(a+b),则t=()A.6B.-6C.-D.(2)已知向量a=(5,-2),b=(-4,-3),c=(x,y),若a-2b+3c=0,则c=()A.B.C.D.探究点三平面向量共线的坐标表示3 (1)设k∈R,已知平面向量a=(-3,1),b=(-7,3),则下列向量中与2a-b一定不共线的向量是()A.c=(k,k)B.c=(-k,-k)C.c=(k2+1,k2+1)D.c=(k2-1,k2-1)(2)[2017·日照二模]已知点P(-3,5),Q(2,1),向量m=(2λ-1,λ+1),若∥m,则实数λ等于()A. B.-C. D.-[总结反思] (1)两平面向量共线的充要条件有两种形式:①若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b 的充要条件是x1y2-x2y1=0;②已知b≠0,则a∥b的充要条件是a=λb(λ∈R).(2)利用向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行,也可以由平行求参数.当两向量的坐标均为非零实数时,也可以利用坐标对应成比例来求解.式题 (1)若A(-2,3),B(3,-2),C,m三点共线,则m=()A. B.-C.-2 D.2(2)已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若μa+b与a-2b平行,则μ=()A.-2B.2C.-D.第26讲平面向量的数量积与平面向量应用举例课前双击巩固1.平面向量的数量积(1)概念已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,我们把数量叫作a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b= ,并规定零向量与任一向量的数量积为,即.(2)几何意义①向量的投影:叫作向量a在b方向上(b在a方向上)的投影.②向量数量积的几何意义:数量积a·b等于a的长度|a|与的乘积.(3)向量的夹角已知两个向量a和b,作=a,=b,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a与b 的夹角.如果向量a与b的夹角是90°,我们说a与b垂直,记作.2.平面向量数量积的运算律已知向量a,b,c和实数λ.①交换律:;②数乘结合律:(λa)·b= = (λ∈R);③分配律:(a+b)·c= .3.平面向量数量积的性质设a,b为两个非零向量,e是与b同向的单位向量,θ是a与e的夹角.①e·a=a·e= .②a⊥b⇔.③当a与b同向时,a·b= ;当a与b反向时,a·b= .特别地,a·a= 或|a|= .④cos θ= .⑤|a·b| |a||b|.4.平面向量数量积的有关结论已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2).常用结论1.平面向量数量积运算的常用公式:(1)(a+b)·(a-b)=a2-b2;(2)(a±b)2=a2±2a·b+b2.2.有关向量夹角的两个结论:(1)两个向量a与b的夹角为锐角,则有a·b>0,反之不成立(因为a与b夹角为0时不成立);(2)两个向量a与b的夹角为钝角,则有a·b<0,反之不成立(因为a与b夹角为π时不成立).题组一常识题1.[教材改编]已知向量a=(1,-2),b=(3,-4),则a·(a-b)= .2.[教材改编]已知|a|=,|b|=,a·b=,则向量a与b的夹角为.3.[教材改编]已知=1,=2,且向量a与b的夹角为120°,则|2a-b|= .4.[教材改编]已知两个单位向量e1,e2的夹角为45°,且满足e1⊥(λe2-e1),则λ= .5.[教材改编]在长江南岸渡口处,江水以12.5 km/h的速度向东流,渡船的速度为25 km/h.若渡船要垂直渡过长江,则渡船的航向应为.题组二常错题◆索引:向量的夹角没有找准导致出错;向量的数量积的几何意义不理解致误;向量的数量积的有关性质应用不熟练.6.在边长为1的等边三角形ABC中,设=a,=b,=c,则a·b+b·c+c·a= .7.已知=(2,1),点C(-1,0),D(4,5),则向量在方向上的投影为.8.若四边形ABCD满足+=0,(-)·=0,则该四边形一定是.课堂考点探究探究点一平面向量的数量积的运算1 (1)[2017·长沙模拟]已知向量a=(2,-1),b=(3,x),若a·b=3,则x= .(2)[2017·江西重点中学联考]在边长为1的正三角形ABC中,设=2,=2,则·= .[总结反思] 向量数量积的运算问题可从三个方面考虑:(1)直接使用定义(已知两个向量的模与夹角)或利用数量积的坐标公式求解;(2)把两个向量各自使用已知的向量表示,再按照法则计算;(3)建立平面直角坐标系,把求解的两个向量使用坐标表示,再按照坐标法计算.式题 (1)[2017·资阳期末]已知菱形ABCD的边长为2,∠B=,点P满足=λ,λ∈R.若·=-3,则λ=()A. B.-C. D.-(2)[2017·襄阳四中月考]已知向量a,b满足|a|=3,|b|=5,|a-b|=7,则a·b= . 探究点二向量的夹角与向量的模考向1平面向量的模2 (1)[2017·芜湖、马鞍山联考]已知向量a=(1,-3),b=(2,m),若a∥b,则|a-2b|=()A.45B.90C.3D.3(2)[2017·河南新乡三模]已知向量,满足||=||=2,·=2,若=λ+μ(λ,μ∈R),且λ+μ=1,则||的最小值为()A.1B.C.D.[总结反思] (1)利用数量积求解向量模的问题常用的公式:①a2=a·a=|a|2或|a|=;②|a±b|==;③若a=(x,y),则|a|=.(2)最值问题是在变化中求得一个特殊情况,在此情况下求解目标达到最值,因此函数方法是最基本的方法之一.考向2平面向量的垂直3 (1)已知向量a=(2,-1),b=(1,7),则下列结论正确的是()A.a⊥bB.a∥bC.a⊥(a+b)D.a⊥(a-b)(2)[2017·重庆外国语学校月考]已知向量a=(5,m),b=(2,-2),(a+b)⊥b,则m=()A.-9B.9C.6D.-6(3)如图4-26-1所示,等腰梯形ABCD中,AB=4,BC=CD=2,若E,F分别是BC,AB上的点,且满足==λ,当·=0时,则λ的值为.图4-26-1[总结反思] (1)当向量a与b是坐标形式时,若证明a⊥b,则只需证明a·b=0⇔x1x2+y1y2=0.(2)当向量a,b是非坐标形式时, 要把a,b用已知的不共线向量作为基底来表示,且不共线的向量要知道其模与夹角,进行运算证明a·b=0.(3)数量积的运算a·b=0⇔a⊥b是对非零向量而言的,若a=0,虽然有a·b=0,但不能说a⊥b.考向3平面向量的夹角4 (1)[2017·北京朝阳区期末]已知平面向量a=(1,0),b=-,,则a与a+b的夹角为()A. B.C.D.(2)已知向量a=(m,3),b=(,1),若向量a,b的夹角为30°,则实数m= .(3)[2017·四川绵阳中学模拟]平面向量a=(1,2),b=(6,3),c=ma+b(m∈R),且c与a的夹角与c与b的夹角相等,则m= .[总结反思] (1)研究向量的夹角应注意“共起点”;两个非零共线向量的夹角分别是0°与180°;求角时,注意向量夹角的取值范围是[0,π];若题目给出向量的坐标表示,可直接利用公式cos θ=求解.(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角,数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角,数量积小于0说明不共线的两向量的夹角为钝角.强化演练1.【考向1】已知向量a,b满足=2,=3,向量a与b的夹角为60°,则|a-b|=()A.B.19C.D.72.【考向3】已知向量a=,,b=(,-1),则a与b的夹角为()A. B.C. D.3.【考向3】[2018·益阳调研]已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a+b=(1,),记向量a,b 的夹角为θ,则tan θ= .4.【考向2】[2018·德州期中]已知向量与的夹角为60°,且||=2,||=1,若=λ+,且⊥,则实数λ的值是.5.【考向1】已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|+3|的最小值为.6.【考向3】△ABC的外接圆的半径为1,圆心为O,且2++=0,||=||,则·= .探究点三平面向量与三角函数的综合5 [2018·洛阳期中]已知向量a=(sin x,-),b=(1,cos x).(1)若a⊥b,求tan 2x的值;(2)令f(x)=a·b,把函数f(x)的图像上每一点的横坐标都缩短为原来的一半(纵坐标不变),再把所得的图像沿x轴向左平移个单位长度,得到函数g(x)的图像,求函数g(x)的单调递增区间及其图像的对称中心.[总结反思] 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路:(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式,运用向量共线或垂直或等式成立的条件,得到三角函数的关系式,然后求解;(2)给出用三角函数表示的向量坐标,求解的是向量的模或者其他向量的表达式,经过向量的运算,利用三角函数在定义域内的有界性求得值域等.式题已知向量a=(sin x,cos x),b=(-1,1),c=(1,1),其中x∈[0,π].(1)若(a+b)∥c,求x的值;(2)若a·b=,求sin x+的值.第27讲数系的扩充与复数的引入课前双击巩固1.复数的有关概念(1)复数的概念形如a+b i(a,b∈R)的数叫作复数,其中a,b分别是它的和.若,则a+b i为实数;若,则a+b i为虚数;若,则a+b i为纯虚数.(2)复数相等:a+b i=c+d i⇔ (a,b,c,d∈R).(3)共轭复数:a+b i与c+d i共轭⇔(a,b,c,d∈R).(4)复数的模:向量=(a,b)的模r叫作复数z=a+b i(a,b∈R)的模,记作或,即|z|=|a+b i|= .2.复数的几何意义(1)复数z=a+b i←复平面内的点Z(a,b)(a,b∈R).(2)复数z=a+b i(a,b∈R)←平面向量.3.复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1=a+b i,z2=c+d i(a,b,c,d∈R),则①加法:z1+z2=(a+b i)+(c+d i)= ;②减法:z1-z2=(a+b i)-(c+d i)= ;③乘法:z1·z2=(a+b i)·(c+d i)= ;④除法:=== (c+d i≠0).(2)复数加法的运算律复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z1,z2,z3∈C,有z1+z2= ,(z1+z2)+z3= .常用结论1.(1±i)2=±2i,=i,=-i.2.i4n=1, i4n+1=i, i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈N*);i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0(n∈N*).3.z·=|z|2=||2,|z1·z2|=|z1|·|z2|,=,|z n|=|z|n.4.复数加法的几何意义:若复数z1,z2对应的向量,不共线,则复数z1+z2是以,为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数.5.复数减法的几何意义:复数z1-z2是-=所对应的复数.题组一常识题1.[教材改编]若复数z=a2-a-2+(a+1)i为纯虚数,则实数a的值为.2.[教材改编]复数z=(x+1)+(x-2)i(x∈R)在复平面内所对应的点在第四象限,则x的取值范围为.3.[教材改编]已知i是虚数单位,则复数= .题组二常错题◆索引:将复数a+b i(a,b∈R)的虚部误认为是b i;将复数在复平面内所对应的点的位置弄错;错用虚数单位i的幂的性质.4.已知复数z=,则z的共轭复数的虚部为.5.已知复数z在复平面内对应的点落在虚轴上,且满足|z-1|=3,则z= .6.若复数z满足=i2018+i2019(i为虚数单位),则z= .课堂考点探究探究点一复数的有关概念1 (1)[2017·河南六校联考]设复数z=(i为虚数单位),则z的虚部是 ()A.-1B.1C.-iD.i(2)若复数(b∈R,i为虚数单位)的实部和虚部互为相反数,则b= .[总结反思] 复数的基本概念有实部、虚部、虚数、纯虚数、共轭复数等,在解题中要注意辨析概念的不同,灵活使用条件得出符合要求的解.式题 (1)[2017·烟台一模]设i是虚数单位,若复数a+(a∈R)是纯虚数,则a=()A.-1B.1C.-2D.2(2)已知复数z=是纯虚数(其中i为虚数单位,a∈R),则z的虚部为()A.1B.-1C.iD.-i探究点二复数的几何意义2 (1)在复平面内,复数对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限(2)[2017·保定一模]在复平面内,若O(0,0),A(2,-1),B(0,3),则在▱OACB中,点C所对应的复数为()A.2+2iB.2-2iC.1+iD.1-i[总结反思] (1)复数z、复平面上的点Z及向量相互联系,即z=a+b i(a,b∈R)⇔Z(a,b)⇔.(2)复数的几何意义:复数z在复平面内对应的点的坐标就是向量的坐标,对于复数z=a+b i(a,b∈R),其在复平面内对应的点的坐标是(a,b).复数的模即为其对应向量的模.式题 (1)[2017·赣州二模]已知复数z满足(1-i)2·z=1+2i,则复数在复平面内对应的点为()A.B.C.D.(2)[2017·南宁二模]复数(a∈R)在复平面内对应的点在第一象限,则a的取值范围为()A.a<0B.0<a<1C.a>1D.a<-1探究点三复数的代数运算3 (1)[2017·全国卷Ⅱ] (1+i)(2+i)= ()A.1-iB.1+3iC.3+iD.3+3i(2)若复数(1+m i)(3+i)(i是虚数单位,m∈R)是纯虚数,则=()A.1B.2C.3D.4[总结反思] (1)把i看作一个字母,复数的代数形式的四则运算类似于多项式的四则运算;(2)在只含有z的方程中,z类似于代数方程中的x,可直接求解;(3)在含有z,,|z|中至少两个的复数方程中,可设z=a+b i,a,b∈R,变换方程,利用两复数相等的充要条件得出关于a,b的方程组,求出a,b,从而得出复数z.式题 (1)[2017·合肥质检]已知i为虚数单位,则=()A. B.C.D.(2)[2017·全国卷Ⅲ]设复数z满足(1+i)z=2i,则|z|=()A. B.C.D.2第四单元平面向量、数系的扩充与复数的引入1.编写意图本单元内容是高中数学中的工具性知识,在近几年高考中主要考查三个方面:一是平面向量本身知识的基础题,多以选择题、填空题的形式出现,难度不大;二是以向量作为工具,考查与其他知识点的交汇与整合,以解答题为主;三是复数的概念及其运算,大多为选择题,较为简单.因此,编写时主要考虑以下几方面:(1)每课时的例题、习题以巩固基础知识为主,重点是引导学生用向量知识解决有关长度、夹角、垂直等问题,掌握应用向量知识解决这类问题的方法;(2)适当配备平面向量综合问题的“新热点”题型,其形式为向量与其他知识的综合,但严格控制难度,用于加强学生对各个知识点之间联系的渗透,构建知识网络,提高综合应用能力;(3)复数考查基本运算,要掌握常规方法和常规运算.2.教学建议本单元的内容着重体现其应用性、工具性,复习中应注意下面几点:(1)向量的运算在高考中一定会有考查,并且难度较大,在复习中要注意对该部分知识进行拓展和提升;(2)向量的数量积在高考中一般会考查一道选择题或者填空题,在大题中也有涉及,但是考查难度不大,注意常规方法和常规运算的训练;(3)复数在高考中一般位于前几道题的位置,难度不大,注意基本概念的理解和基本运算的训练.3.课时安排本单元共4讲和一个小题必刷卷(七),每讲建议1课时完成,小题必刷卷(七)课外完成,共需4课时.第24讲平面向量的概念及其线性运算考试说明 1.了解向量的实际背景,理解平面向量的概念和两个向量相等的含义.2.理解向量的几何意义.3.掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义.4.掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义.5.了解向量线性运算的性质及其几何意义.考情分析真题再现■ [2017-2013]课标全国真题再现1.[2015·全国卷Ⅰ]设D为△ABC所在平面内一点,=3,则()A.=-+B.=-C.=+D.=-[解析] A由题意知=+=+=+(-)=-+.2.[2015·全国卷Ⅱ]设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ= . [答案][解析] 因为λa+b与a+2b平行,所以存在唯一实数t,使得λa+b=t(a+2b),所以解得λ=t=.■ [2016-2015]其他省份类似高考真题[2016·北京卷]设a,b是向量,则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件[解析] D若|a|=|b|成立,则以a,b为邻边组成的平行四边形为菱形,a+b,a-b表示的是该菱形的对角线,而菱形的对角线不一定相等,所以|a+b|=|a-b|不一定成立,从而不是充分条件;反之,若|a+b|=|a-b|成立,则以a,b为邻边组成的平行四边形为矩形,矩形的邻边不一定相等,所以|a|=|b|不一定成立,从而不是必要条件.故选D.【课前双基巩固】知识聚焦1.大小方向大小长度|a| || 001 1相同长度相同长度相反-a 不确定的任意的平行2.和三角形平行四边形b+a a+(b+c)相反向量三角形a+(-b)向量数乘λa |λ||a| 相同相反0λa+λb λ1a+λ2a3.b=λa对点演练1.[解析] -+-+++=(++++)-(+)=.2.(4)[解析] 根据向量的概念可知(4)错误.3.(a+b)[解析] ∵+=,+=,=-,∴=(+)=(a+b).4.2[解析] 因为e1与e2不共线,且a=e1-e2与b=-2e1+λe2共线,所以存在μ∈R,使e1-e2=μ(-2e1+λe2)=-2μe1+μλe2,得所以λ=2.5.②[解析] 对于①,由于与是相反向量,所以+=0,①错误;对于②,由于a∥b且|a|>|b|>0,所以当a,b同向时,a+b的方向与a的方向相同,当a,b反向时,a+b的方向仍与a的方向相同,②正确;对于③,因为不确定a0的方向与a的方向是否相同,所以③错误.6.等腰梯形[解析] =表示与共线,但||≠||,所以四边形ABCD是梯形,又||=||,所以四边形ABCD是等腰梯形.7.[2,6][解析] 当a与b方向相同时,|a-b|=2,当a与b方向相反时,|a-b|=6,当a与b 不共线时,2<|a-b|<6,所以|a-b|的取值范围为[2,6].此题易忽视a与b方向相同和a与b 方向相反两种情况.【课堂考点探究】例1[思路点拨] (1)将已知等式整理成a=λb的形式,再根据向量共线定理判断;(2)利用平面向量的有关概念判断.(1)C(2)①②[解析] (1)由+=0得=-≠0,即a=-·|a|≠0,则a与b共线且方向相反,因此当向量a与b共线且方向相反时,能使+=0成立.选项A中向量a与b的方向相同,选项B中向量a与b共线,方向相同或相反,选项C中向量a与b的方向相反,选项D中向量a与b互相垂直,故选C.(2)①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同.②不正确.当b=0时,a∥b,b∥c,但a与c不一定平行.③正确.a与b是非零向量,b与-b反向,若a与b同向,则a与-b反向.④正确.因为与共线,且与有公共点B,所以A,B,C三点在同一条直线上.变式题(1)D(2)A[解析] (1)A中,与的长度相等,但方向不同,所以A错误;B中,与的长度相等,但方向不同,所以B错误;C中,与的长度相等,但方向相反,所以C错误;D中,与的长度相等,方向也相同,即=.故选D.(2)对于①,因为=,所以||=||且与共线,又因为A,B,C,D是不共线的四个点,所以四边形ABCD为平行四边形;反之,若四边形ABCD为平行四边形,则与共线且||=||,所以=,故①正确.根据单位向量的定义可知,单位向量的模相等,但方向不一定相同,故两个单位向量不一定相等,故②错误.向量与互为相反向量,故③错误.对于④,因为a=b,所以a,b的长度相等且方向相同,又b=c,所以b,c的长度相等且方向相同,所以a,c的长度相等且方向相同,即a=c,故④正确.故选A.例2[思路点拨] (1)首先根据条件4=+2构造平行四边形ABEF,然后结合三角形相似的性质求解;(2)以向量,为邻边作平行四边形,通过判断平行四边形的形状来确定△ABC的形状.(1)D(2)直角三角形[解析] (1)如图所示,延长AC到点F,使AC=CF,以AB,AF为邻边作平行四边形ABEF,对角线AE交BC于点D,故4=+2=,即点O在AE上,则△AOB与△AOC的高分别为B,C到AE的距离.由平行四边形的性质得△ADC∽△EDB,且相似比为1∶2,即CD∶BD=1∶2,又因为△AOB,△AOC的底边均为AO,高的比等于BD∶DC=2∶1,所以△AOB与△AOC的面积之比为2∶1.(2)由|+|=|-|可知,以向量,为邻边的平行四边形的两条对角线相等,则此平行四边形为矩形,故⊥,即△ABC为直角三角形.例3[思路点拨] (1)首先利用三角形法则与向量共线的性质表示出向量,然后利用三角形法则表示出.(2)由=+确定点D的位置,从而确定两三角形面积的关系. (1)B(2)B[解析] (1)由平面向量的三角形法则及向量共线的性质可得=,=+,=,=+,则=(+),所以=+=++,所以=++,所以=+=+++=+=-,故选B.(2)由=+得点D在平行于AB的中位线上,从而有S△ABD=S△ABC,又S△ACD=S△ABC,所以S△BCD=1--S△ABC=S△ABC,所以=.故选B.例4[思路点拨] 利用P是直线BN上一点,可设=n,然后用m,n及,表示出向量,对照已知条件即可求得m的值.。
2020版高考数学一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入考前增分微课3平面向量的综合应用课件理
必过△ABC 的重心。故选 C。
答案 (2)C
向量与平面几何综合问题的解法 1．坐标法 把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示， 这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决。 2．基向量法 适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于 未知量的方程进行求解。
→→ 的中点。若AC·BE＝1，则 AB＝________。
解析 (1)在平行四边形 ABCD 中，B→E＝B→C＋C→E＝B→C＋12C→D＝A→D－12
→ AB，
又
因
→→→ 为AC＝AD＋AB，所
→→ 以AC·BE＝
→ (AD
＋
→ AB
)·A→D－12A→B＝
→ AD
2－12
A→D·A→B＋A→D·A→B－12A→B2＝
(2)由 sinA，sinC，sinB 成等差数列，可得 2sinC＝sinA＋sinB，由正弦
定理得 2c＝a＋b。
→→ →
答案 D
解析：因为向量 a，b 为单位向量，且 a·b＝－12，所以向量 a，b 的夹角 为 120°，在平面直角坐标系中，不妨设向量 a＝(1,0)，b＝－12， 23，则 a ＋b＝21， 23，因为向量 c 与 a＋b 共线，所以可设 c＝t21， 23(t∈R)，所 以 a＋c＝1＋2t， 23t，所以|a＋c|＝ 1＋2t 2＋34t2＝ t2＋t＋1≥ 23，所以 |a＋c|的最小值为 23。故选 D。
考前增分微课(三) 平面向量的综合应用
平面向量具有“数”与“形”的双重身份，沟通了代数与几何的关系， 所以平面向量的应用非常广泛，主要体现于平面向量在平面几何、函数、不 等式、三角函数、解析几何等方面的应用。
2020年高考数学一轮总复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入4_3数系的扩充与复数的引入课件文人教A版
2．复数的几何意义
复数
z＝a＋bi(a，b∈R)
一一 对应
复平面内的点
Z(a，b)
形式的四则运算
(1)运算法则：
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
根据OC＝λOA＋μOB，得(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)， ∴－ 2λ－λ＋μμ＝＝－3， 4， 解得λμ＝＝－2. 1， ∴λ＋μ＝1.
(3)设z＝x＋yi(x，y∈R)， 由于|z|＝1，∴x2＋y2＝1，即点z(x，y)在单位圆上， ∴|z＋i|＝|x＋yi＋i|＝ x2＋y＋12 表示(x，y)与点(0，－1)的距离，如图，|z＋i|max ＝2.
考点二|复数的几何意义 (思维突破)
【例2】
(1)(2018·高考北京卷)在复平面内，复数
1 1－i
的共轭复数对应的点位于
() A．第一象限
B.第二象限
C．第三象限
D.第四象限
(2)已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面上对应的点分别为
→→→ A，B，C，若OC＝λOA＋μOB，(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是________．
把分子、分母分别乘以分母
除法
的共轭复数，然后分子、分
＝acc2＋ ＋bdd2 ＋bcc2－ ＋add2 i(c＋di≠0) 母分别进行乘法运算
(2)复数加法的运算律：
设z1，z2，z3∈C，则复数加法满足以下运算律： ①交换律：z1＋z2＝ z2＋z1 ； ②结合律：(z1＋z2)＋z3＝ z1＋(z2＋z3) ．
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2020年高考数学第一轮复习第四单元平面向量、数系的扩充与复数的引入1.编写意图本单元内容是高中数学中的工具性知识,在近几年高考中主要考查三个方面:一是平面向量本身知识的基础题,多以选择题、填空题的形式出现,难度不大;二是以向量作为工具,考查与其他知识点的交汇与整合,以解答题为主;三是复数的概念及其运算,大多为选择题,较为简单.因此,编写时主要考虑以下几方面:(1)每课时的例题、习题以巩固基础知识为主,重点是引导学生用向量知识解决有关长度、夹角、垂直等问题,掌握应用向量知识解决这类问题的方法;(2)适当配备平面向量综合问题的“新热点”题型,其形式为向量与其他知识的综合,但严格控制难度,用于加强学生对各个知识点之间联系的渗透,构建知识网络,提高综合应用能力;(3)复数考查基本运算,要掌握常规方法和常规运算.2.教学建议本单元的内容着重体现其应用性、工具性,复习中应注意下面几点:(1)向量的运算在高考中一定会有考查,并且难度较大,在复习中要注意对该部分知识进行拓展和提升;(2)向量的数量积在高考中一般会考查一道选择题或者填空题,在大题中也有涉及,但是考查难度不大,注意常规方法和常规运算的训练;(3)复数在高考中一般位于前几道题的位置,难度不大,注意基本概念的理解和基本运算的训练.3.课时安排本单元共4讲和一个小题必刷卷(七),每讲建议1课时完成,小题必刷卷(七)课外完成,共需4课时.第24讲平面向量的概念及其线性运算考试说明 1.了解向量的实际背景,理解平面向量的概念和两个向量相等的含义.2.理解向量的几何意义.3.掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义.4.掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义.5.了解向量线性运算的性质及其几何意义.考情分析真题再现■ [2017-2013]课标全国真题再现1.[2015·全国卷Ⅰ]设D为△ABC所在平面内一点,=3,则()A.=-+B.=-C.=+D.=-[解析] A由题意知=+=+=+(-)=-+.2.[2015·全国卷Ⅱ]设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ=. [答案][解析]因为λa+b与a+2b平行,所以存在唯一实数t,使得λa+b=t(a+2b),所以解得λ=t=.■ [2016-2015]其他省份类似高考真题[2016·北京卷]设a,b是向量,则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件[解析]D若|a|=|b|成立,则以a,b为邻边组成的平行四边形为菱形,a+b,a-b表示的是该菱形的对角线,而菱形的对角线不一定相等,所以|a+b|=|a-b|不一定成立,从而不是充分条件;反之,若|a+b|=|a-b|成立,则以a,b为邻边组成的平行四边形为矩形,矩形的邻边不一定相等,所以|a|=|b|不一定成立,从而不是必要条件.故选D.【课前双基巩固】知识聚焦1.大小方向大小长度|a|||001 1相同长度相同长度相反-a不确定的任意的平行2.和三角形平行四边形b+a a+(b+c)相反向量三角形a+(-b)向量数乘λa|λ||a|相同相反0λa+λbλ1a+λ2a3.b=λa对点演练1.[解析]-+-+++=(++++)-(+)=.2.(4)[解析]根据向量的概念可知(4)错误.3.(a+b)[解析]∵+=,+=,=-,∴=(+)=(a+b).4.2[解析]因为e1与e2不共线,且a=e1-e2与b=-2e1+λe2共线,所以存在μ∈R,使e1-e2=μ(-2e1+λe2)=-2μe1+μλe2,得所以λ=2.5.②[解析]对于①,由于与是相反向量,所以+=0,①错误;对于②,由于a∥b且|a|>|b|>0,所以当a,b同向时,a+b的方向与a的方向相同,当a,b反向时,a+b的方向仍与a的方向相同,②正确;对于③,因为不确定a0的方向与a的方向是否相同,所以③错误.6.等腰梯形[解析]=表示与共线,但||≠||,所以四边形ABCD是梯形,又||=||,所以四边形ABCD是等腰梯形.7.[2,6][解析]当a与b方向相同时,|a-b|=2,当a与b方向相反时,|a-b|=6,当a与b不共线时,2<|a-b|<6,所以|a-b|的取值范围为[2,6].此题易忽视a与b方向相同和a与b方向相反两种情况.【课堂考点探究】例1[思路点拨](1)将已知等式整理成a=λb的形式,再根据向量共线定理判断;(2)利用平面向量的有关概念判断.(1)C(2)①②[解析](1)由+=0得=-≠0,即a=-·|a|≠0,则a与b共线且方向相反,因此当向量a与b共线且方向相反时,能使+=0成立.选项A中向量a与b的方向相同,选项B中向量a 与b共线,方向相同或相反,选项C中向量a与b的方向相反,选项D中向量a与b互相垂直,故选C.(2)①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同.②不正确.当b=0时,a∥b,b∥c,但a与c不一定平行.③正确.a与b是非零向量,b与-b反向,若a与b同向,则a与-b反向.④正确.因为与共线,且与有公共点B,所以A,B,C三点在同一条直线上.变式题(1)D(2)A[解析](1)A中,与的长度相等,但方向不同,所以A错误;B中,与的长度相等,但方向不同,所以B错误;C中,与的长度相等,但方向相反,所以C错误;D中,与的长度相等,方向也相同,即=.故选D.(2)对于①,因为=,所以||=||且与共线,又因为A,B,C,D是不共线的四个点,所以四边形ABCD为平行四边形;反之,若四边形ABCD为平行四边形,则与共线且||=||,所以=,故①正确.根据单位向量的定义可知,单位向量的模相等,但方向不一定相同,故两个单位向量不一定相等,故②错误.向量与互为相反向量,故③错误.对于④,因为a=b,所以a,b的长度相等且方向相同,又b=c,所以b,c的长度相等且方向相同,所以a,c的长度相等且方向相同,即a=c,故④正确.故选A.例2[思路点拨](1)首先根据条件4=+2构造平行四边形ABEF,然后结合三角形相似的性质求解;(2)以向量,为邻边作平行四边形,通过判断平行四边形的形状来确定△ABC的形状.(1)D(2)直角三角形[解析](1)如图所示,延长AC到点F,使AC=CF,以AB,AF为邻边作平行四边形ABEF,对角线AE交BC于点D,故4=+2=,即点O在AE上,则△AOB与△AOC的高分别为B,C 到AE的距离.由平行四边形的性质得△ADC∽△EDB,且相似比为1∶2,即CD∶BD=1∶2,又因为△AOB,△AOC的底边均为AO,高的比等于BD∶DC=2∶1,所以△AOB与△AOC的面积之比为2∶1.(2)由|+|=|-|可知,以向量,为邻边的平行四边形的两条对角线相等,则此平行四边形为矩形,故⊥,即△ABC为直角三角形.例3[思路点拨](1)首先利用三角形法则与向量共线的性质表示出向量,然后利用三角形法则表示出.(2)由=+确定点D的位置,从而确定两三角形面积的关系.(1)B(2)B[解析](1)由平面向量的三角形法则及向量共线的性质可得=,=+,=,=+,则=(+),所以=+=++,所以=++,所以=+=+++=+=-,故选B.(2)由=+得点D在平行于AB的中位线上,从而有S△ABD=S△ABC,又S△ACD=S△ABC,所以S△BCD=1--S△ABC=S,所以=.故选B.△ABC例4[思路点拨]利用P是直线BN上一点,可设=n,然后用m,n及,表示出向量,对照已知条件即可求得m的值.A[解析]∵=,∴=.∵P是直线BN上一点,∴设=n,则-=n(-),即=(1-n)+n=(1-n)+=m+,则n=3,所以m=1-n=-2.故选A.强化演练1.A[解析]+=(-)+(+)=+=+=(+)=,故选A.2.A[解析]由题意得+=2,又+=-2=2,所以=,故选A.3.D[解析]=-=-=+-+=-,故选D.4.[解析]设=a,=b,以,为邻边作平行四边形OACB,则||=|a-b|,||=|a+b|.∵|a|=|b|=1,且|a-b|=,∴||=|a|=|b|,∴平行四边形OACB是正方形,∴||=||=,即|a+b|=.5.2[解析]因为O是BC的中点,所以+=2,即m+n=2,则=m+n.又因为O,M,N三点共线,所以m+n=1,即m+n=2.例5[思路点拨]根据平面向量共线定理,引入实数μ使得2e1-e2=μ(e1+λe2),然后通过比较系数建立方程组求解.A[解析]若向量a与b共线,则存在实数μ使得2e1-e2=μ(e1+λe2),则有解得λ=-,故选A.例6[思路点拨](1)首先根据向量加减法法则寻找A,B,C,D四点中任意三个点对应向量间的关系,然后利用共线定理进行判断;(2)首先将A,B,C三点共线问题转化为与共线问题,然后利用向量共线定理求解.(1)A(2)D[解析](1)∵=a+5b,=-3a+6b,=4a-b,∴=+=(-3a+6b)+(4a-b)=a+5b=,∴A,B,D三点共线,故选A.(2)由A,B,C三点共线,得与共线,则存在实数μ,使得=μ,则有解得λ=μ=-1或2,故选D.强化演练1.A[解析]①a=b,∴a,b共线;②a=-6-e1+e2=-6b,∴a,b共线;③b=-2(e1-e2),不存在λ∈R,使得a=λb成立,∴a,b不共线.故选A.2.D[解析]由=+,得-=,∴=·,∴点P在射线AB上,故选D.3.D[解析]由题意知,存在实数λ,使a=λb,即e1+ke2=λ(ke1+e2),由向量相等得解得k=±1,故选D.4.B[解析]设E是BC边的中点,则(+)=.由题意得=,所以==(+)=+,又因为B,O,D三点共线,所以+=1,解得t=,故选B.【备选理由】例1对共线定理加深理解,例2、例3是两个综合性较强的题目,可供学有余力的学生选用.1[配合例5使用][2017·北京海淀区期中]在△ABC中,点D满足=2-,则()A.点D不在直线BC上B.点D在线段BC的延长线上C.点D在线段BC上D.点D在线段CB的延长线上[解析] D由=2-⇒-=-⇒=,故点D在线段CB的延长线上,故选D.2[配合例4使用][2017·上海黄浦区二模]如图所示,∠BAC=,圆M与AB,AC分别相切于点D,E,AD=1,点P是圆M内任意一点(含边界),且=x+y(x,y∈R),则x+y的取值范围为()A.B.C.D.[解析] B连接AM并延长,线段AM及其延长线分别交圆M于Q,T两点,连接DE,与AM交于点R,显然=+,此时x+y=1.由于AD=AE=1,∠BAC=,∴AM=2,DM=.∵点P是圆M内任意一点(含边界),∴2-≤AP≤2+,且当A,P,M三点共线时x+y取得最值.当P位于Q点时,AQ=2-,AR=,则==(4-2)=(2-)+(2-),此时x+y取得最小值4-2;同理可得,当点P位于T点时,=(2+)+(2+),此时x+y 取得最大值4+2.故选B.3[配合例3使用][2017·乐山调研]如图,已知AB是圆O的直径,点C,D是圆弧AB的两个三等分点,=a,=b,则=()A.a-bB.a-bC.a+bD.a+b[解析] D连接OC,OD,CD,由点C,D是圆弧AB的两个三等分点,得∠AOC=∠COD=∠BOD=60°,且△OAC和△OCD均为边长等于圆O的半径的等边三角形,所以四边形OACD为菱形,所以=+=+=a+b,故选D.第25讲平面向量基本定理及坐标表示考试说明 1.了解平面向量的基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示平面向量共线的条件.真题再现■ [2017-2013]课标全国真题再现1.[2017·全国卷Ⅲ]在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若=λ+μ,则λ+μ的最大值为()A.3B.2C.D.2[解析] A如图,建立平面直角坐标系.则A(0,1),B(0,0),C(2,0),D(2,1),设P(x,y),根据等面积公式可得圆的半径是,即圆的方程是(x-2)2+y2=.又=(x,y-1),=(0,-1),=(2,0),若满足=λ+μ,则解得所以λ+μ=-y+1.设z=-y+1,即-y+1-z=0,又点P(x,y)在圆(x-2)2+y2=上,所以圆心到直线-y+1-z=0的距离d≤r,即≤,解得1≤z≤3,所以z的最大值为3,即λ+μ的最大值为3,故选A.2.[2014·全国卷Ⅰ]已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C 的一个交点.若=4,则|QF|=()C.D.2[解析] B由题知F(2,0),设P(-2,t),Q(x0,y0),则=(-4,t),=(x0-2,y0),由=4,得-4=4(x0-2),解得x0=1,根据抛物线定义得|QF|=x0+2=3.■ [2017-2016]其他省份类似高考真题【课前双基巩固】知识聚焦1.不共线有且只有a=λ1e1+λ2e2基底2.(1)(x1+x2,y1+y2)(x1-x2,y1-y2)(λx1,λy1)(2)(x2-x1,y2-y1)3.x1y2-x2y1=0对点演练1.(-3,5)[解析]设Q(x,y),则=(x-2,y-3)=(-5,2),∴解得即点Q的坐标为(-3,5).2.-2e1+e2[解析]以向量e1的起点为原点,向量e1的箭头方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系.设网格正方形的边长为1,则e1=(1,0),e2=(-1,1),a=(-3,1).设a=xe1+ye2,则(-3,1)=x(1,0)+y(-1,1)=(x-y,y),∴解得∴a=-2e1+e2.3.[解析]设M(x,y),由条件知=(4,-1),=(x+1,y-2).由=3,得解得则=,-.4.0[解析]因为e1,e2不共线,所以解得则x+y=0.5.2[解析]易知a∥b,a与c不共线,b与c不共线,所以能构成基底的组数为2.6.±[解析]由已知得=(12,-5),所以||=13,因此与共线的单位向量为±=±,-.本题在求的坐标时易出现用A点坐标减去B点坐标的错误.7.-4[解析]由a=(1,2),b=(-2,m),且a∥b,得1×m-2×(-2)=0,解得m=-4.本题在利用向量平行的条件列方程时,易出现1×m+2×(-2)=0的错误.【课堂考点探究】例1[思路点拨](1)基底中的向量不能共线;(2)利用点E为直线BC上一点,设出=x,然后结合条件利用向量相等得出系数的关系,从而解得系数的值.(1)C(2)C[解析](1)根据平面向量基本定理知,e1,e2不能共线,选项A,B,D中的e1,e2均为共线向量,故可以排除A,B,D,验证知选项C中的向量符合题意.(2)点E为直线BC上一点,可设=x,因为=λ,所以=+=(1+λ)=(1+λ)(+x)=(1+λ)+(1+λ)x=(1+λ)(1-x)+(1+λ)x=3+4.由平面向量基本定理得解得故选C.变式题C[解析]设=a,=b,则=a+b,=a+b.又因为=a+b,所以=(+),则λ=μ=,所以λ+μ=,故选C.例2[思路点拨](1)利用向量的加减法与数乘的坐标运算法则直接计算即可;(2)设P(x,y),利用已知条件得出关于x,y的方程组,进而求解.(1)B(2)D[解析](1)a-b=,-,-=(-1,2).(2)设点P(x,y),则=(10-x,-2-y),=(-2-x,7-y),所以解得故选D.变式题(1)B(2)D[解析](1)因为a+b=(2,t+2),所以解得t=-6,故选B.(2)由题意可得a-2b+3c=(5,-2)-2(-4,-3)+3(x,y)=(13+3x,4+3y)=0,则解得即c=-,-,故选D.例3[思路点拨](1)利用两向量共线的坐标运算求解;(2)利用向量共线的坐标运算建立关于λ的等式求解.(1)C(2)B[解析](1)由条件知2a-b=(1,-1),对于C,∵k2+1+k2+1=2k2+2>0,∴向量c与2a-b一定不共线,故选C.(2)由题知=(5,-4),因为∥m,所以5λ+5=-8λ+4,解得λ=-.故选B.变式题(1)A(2)C[解析](1)由题得=(5,-5),=,m-3.∵A,B,C三点共线,∴与共线,∴5(m-3)=-,解得m=,故选A.(2)由已知得μa+b=(2μ-1,3μ+2),a-2b=(4,-1),则(-1)·(2μ-1)-4·(3μ+2)=0,解得μ=-,故选C.【备选理由】向量坐标化后,几何问题就化为代数计算问题,下面两例题据此而选,供在适当考点使用.1[配合例1使用]如图所示,在△OAB中,=,=,AD与BC交于点M,设=a,=b,以a,b为基底表示.解:设=ma+nb(m,n∈R),则=-=(m-1)a+nb,又=-=b-a,A,M,D三点共线,所以=,即m+2n=1.而=-=m-a+nb,=-=-a+b,又因为C,M,B三点共线,所以=,即4m+n=1.由解得所以=a+b.2[配合例2使用]如图所示,平面内有三个向量,,,与的夹角为120°,与的夹角为150°,且||=||=1,||=2,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ=()A.1B.-6C.-D.6[解析] B以O为坐标原点,的方向为x轴正方向,与垂直向上的方向为y轴正方向,建立平面直角坐标系.由||=||=1,||=2可得A(1,0),B-,,C(-3,-),又=λ+μ,可得方程组解得所以λ+μ=-6.故选B.3[配合例2使用]已知O(0,0),A(1,2),B(4,5)及=+t.试问:(1)t为何值时,P在x轴上?在y轴上?在第二象限?(2)四边形OABP能否成为平行四边形?若能,求出相应的t值;若不能,请说明理由.解:(1)∵O(0,0),A(1,2),B(4,5),∴=(1,2),=(3,3),=+t=(1+3t,2+3t).若P在x轴上,则2+3t=0,解得t=-;若P在y轴上,则1+3t=0,解得t=-;若P在第二象限,则解得-<t<-.(2)=(1,2),=+=(3-3t,3-3t),若四边形OABP为平行四边形,则=,而无解,∴四边形OABP不能成为平行四边形.第26讲平面向量的数量积与平面向量应用举例考试说明 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.考情分析真题再现■ [2017-2013]课标全国真题再现1.[2017·全国卷Ⅱ]已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则·(+)的最小值是()A.-2B.-C.-D.-1[解析] B建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),C(1,).设P(x,y),则·(+)=(-x,-y)·[(2-x,-y)+(1-x,-y)]=(x,y)·(2x-3,2y-)=x(2x-3)+y(2y-)=2x2-3x+2y2-y=2+2-≥-,当且仅当x=,y=时,等号成立,点在平面ABC内部,此时·(+)取得最小值,最小值为-.2.[2016·全国卷Ⅱ]已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则m=()A.-8B.-6C.6D.8[解析] D a+b=(4,m-2),∵(a+b)⊥b,∴(a+b)·b=12-2(m-2)=0,解得m=8.3.[2016·全国卷Ⅲ]已知向量=,,=,,则∠ABC=()A.30°B.45°C.60°D.120°[解析] A cos∠ABC==×+×=,又∠ABC∈[0°,180°],∴∠ABC=30°.4.[2014·全国卷Ⅱ]设向量a,b满足|a+b|=,|a-b|=,则a·b=()A.1B.2C.3D.5[解析] A由已知得|a+b|2=10,|a-b|2=6,两式相减,得4a·b=4,所以a·b=1.5.[2017·全国卷Ⅰ]已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=. [答案] 2[解析]|a+2b|===2.6.[2016·全国卷Ⅰ]设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=. [答案]-2[解析]由已知条件,得a·b=0,即m+2=0,即m=-2.7.[2013·全国卷Ⅰ]已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1-t)b,若b·c=0,则t=.[答案] 2[解析]因为|a|=|b|=1,a·b=,所以b·c=b·[ta+(1-t)b]=t+1-t=0,所以t=2.8.[2013·全国卷Ⅱ]已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则·=.[答案] 2[解析]如图,建立直角坐标系,则=(1,2),=(-2,2),·=2.■ [2017-2016]其他省份类似高考真题1.[2016·山东卷]已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,cos<m,n>=,若n⊥(tm+n),则实数t的值为()A.4B.-4C.D.-[解析] B由4|m|=3|n|,可设|m|=3,|n|=4.又∵n⊥(tm+n),cos<m,n>=,∴n·(tm+n)=0,即t×4×3×+16=0,解得t=-4.2.[2016·天津卷]已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则·的值为()A.-B.C.D.[解析] B∵=-,=+=+=+,∴·=(-)·+=×1×1×-+-×1×1×=+--=.3.[2017·天津卷]在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若=2,=λ-(λ∈R),且·=-4,则λ的值为.[答案][解析]∵·=3×2×cos 60°=3,=+,∴·=+·(λ-)=×3+×4-×9-×3=-4,解得λ=.4.[2017·山东卷]已知e1,e2是互相垂直的单位向量,若e1-e2与e1+λe2的夹角为60°,则实数λ的值是.[答案][解析]由题意不妨取e1=(1,0),e2=(0,1),由条件可设a=e1-e2=(,-1),b=e1+λe2=(1,λ),所以cos<a,b>=cos 60°==,所以-λ=,解得λ=.5.[2016·浙江卷]已知向量a,b,|a|=1,|b|=2.若对任意单位向量e,均有|a·e|+|b·e|≤,则a·b的最大值是.[答案][解析]由|(a+b)·e|≤|a·e|+|b·e|≤,得|a+b|≤,即|a|2+|b|2+2a·b≤6,所以a·b≤,故a·b 的最大值为.【课前双基巩固】知识聚焦1.(1)|a||b|cos θ|a||b|cos θ00·a=0(2)①|a|cos θ(|b|cos θ)②b在a的方向上的投影|b|cos θ(3)非零a⊥b2.①a·b=b·a②λ(a·b)a·(λb)③a·c+b·c3.①|a|cos θ②a·b=0③|a||b|-|a||b||a|2④⑤≤4.x1x2+y1y2x1x2+y1y2=0对点演练1.-6[解析]∵a-b=(-2,2),∴a·(a-b)=-2×1+2×(-2)=-6.2.60°[解析]设向量a与b的夹角为θ.由a·b=cos θ=×cos θ=,得cos θ=,又θ∈[0°,180°],∴向量a与b的夹角为60°.3.2[解析]|2a-b|====2.4.[解析]由单位向量e1,e2的夹角为45°,得e1·e2=1×1×cos 45°=.由e1⊥(λe2-e1)可得e1·(λe2-e1)=0,即λe1·e2-=0,则λ-1=0,解得λ=.5.北偏西30°[解析]如图所示,设渡船速度为,水流速度为,渡船实际垂直过江的速度为.依题意知=12.5,||=25.∵=+,∴·=·+.又∵⊥,∴·=25×12.5cos(∠BOD+90°)+12.52=0,∴∠BOD=30°,∴渡船的航向为北偏西30°.6.-[解析]依题意有a·b+b·c+c·a=1×1×cos 120°+1×1×cos 120°+1×1×cos 120°=++=-.本题在计算时,容易把向量夹角取作60°而致误.7.[解析]因为点C(-1,0),D(4,5),所以=(5,5),又=(2,1),所以向量在方向上的投影为||cos<,>===.8.菱形[解析]由四边形ABCD满足+=0知,四边形ABCD为平行四边形,又(-)·=0,即·=0,可知该平行四边形的对角线互相垂直,故该四边形一定是菱形.【课堂考点探究】例1[思路点拨](1)利用向量的数量积公式建立关于x的方程求解;(2)根据条件以正三角形的边BC所在直线为x轴,垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,然后写出相关点的坐标,确定出向量,的坐标,最后利用向量的数量积公式求解.(1)3(2)-[解析](1)因为a·b=6-x=3,所以x=3.(2)由题意建立如图所示的平面直角坐标系.因为△ABC的边长为1,所以A0,,B-,0.因为=2,所以点D为BC的中点,则D(0,0).因为=2,所以点E为AC的三等分点,则E,,所以·=0,-·,=-×=-.变式题(1)A(2)-[解析](1)因为菱形ABCD的边长为2,∠B=,所以·=2×2cos=2,所以·=(+)·(-)=(+)·(--)=(+)·[(λ-1)-]=(1-λ)||2-·+(1-λ)·-||2=(1-λ)×4-2+2(1-λ)-4= -6λ=-3,所以λ=,故选A.(2)由题意可得|a-b|====7,∴a·b=-.例2[思路点拨](1)首先利用向量平行的条件求得参数m的值,然后利用模的坐标公式求解;(2)由||2=(λ+μ)2建立||2关于λ的函数,求其最值即可.(1)D(2)D[解析](1)∵a∥b,∴m+6=0,解得m=-6,则b=(2,-6),∴a-2b=(-3,9),∴|a-2b|==3,故选D.(2)||2=(λ+μ)2=[λ+(1-λ)]2=4λ2+4(1-λ)2+2λ(1-λ)·,∵·=2,∴||2=4λ2+4(1-λ)2+2λ(1-λ)·2=4λ2-4λ+4=4λ-2+3,当λ=时,||取得最小值.例3[思路点拨](1)求出a+b,然后通过向量的数量积求解即可;(2)先求出a+b,再利用向量垂直的条件列出关于m的方程求解;(3)由已知可得<,>=60°,再求出·,·,·的值,结合平面向量的运算法则及·=0求得λ的值.(1)C(2)B(3)[解析](1)向量a=(2,-1),b=(1,7),则a+b=(3,6).∵a·(a+b)=6-6=0,∴a⊥(a+b).故选C.(2)由题意可得a+b=(7,m-2),结合向量垂直的充要条件得7×2+(m-2)×(-2)=0,解得m=9.故选B.(3)由AB=4,BC=CD=2,可得<,>=60°,则·=4×2×=4,·=4×2×=-4,·=2×2×=2.∵==λ,∴=λ,=λ,则=+=+λ,=-=λ-,∴·=(+λ)·(λ-)=λ||2-·+λ2·-λ·=0,即16λ-4-4λ2-2λ=0,∴2λ2-7λ+2=0,解得λ=(舍)或λ=.例4[思路点拨](1)利用两个向量的数量积的定义和两个向量坐标形式的运算法则,求得cos θ=的值,进而可得θ的值.(2)利用两个向量的数量积的定义和两个向量的数量积公式,求得m的值.(3)根据题意利用夹角公式列出关于m的方程求解.(1)B(2)(3)3[解析](1)设a与a+b的夹角为θ.∵向量a=(1,0),b=-,,∴a+b=,,∴a·(a+b)=(1,0)·,=,则cos θ===,由θ∈[0,π]可得θ=,故选B.(2)∵a=(m,3),b=(,1),向量a,b的夹角为30°,∴a·b=m+3=×2cos 30°,解得m=.(3)依题意有c=(m+6,2m+3),根据夹角公式有=,解得m=3.强化演练1.C[解析]由题意得|a-b|===,故选C.2.B[解析] cos<a,b>===,又<a,b>∈[0,π],所以a与b的夹角为,故选B.3.-[解析]因为|a|=1,|b|=2,a+b=(1,),所以(a+b)2=1+4+2×1×2cos θ=4⇒cos θ=-,则sin θ=,所以tan θ=-.4.-1[解析]∵=λ+,⊥,∴·=(λ+)·=λ·+=λ×2×1×cos 60°+1=λ+1=0,∴λ=-1.5.5[解析]以D为原点,DA,DC所在直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,如图所示.设CD=a,P(0,y),可得A(2,0),B(1,a),∴+3=(2,-y)+3(1,a-y)=(5,3a-4y),∴|+3|=,∴|+3|的最小值为5.6.3[解析]如图所示,由2++=0,得O为AB的中点,即AB为圆的直径,所以AB=2.由于CB=OC=AB,所以∠A=,AC=,所以·=··cos=3.例5[思路点拨](1)由a⊥b可得a·b=(sin x,-)·(1,cos x)=sin x-cos x=0,从而可得tan x=,再根据二倍角公式可得结果;(2)由题可得f(x)=2sin x-,再根据平移变换可得g(x)=2sin2x+,利用正弦函数的单调性解不等式即可得结果.解:(1)∵a⊥b,∴a·b=(sin x,-)·(1,cos x)=sin x-cos x=0,∴tan x=,∴tan 2x==-.(2)由题可得f(x)=a·b=(sin x,-)·(1,cos x)=sin x-cos x=2sin x-,则g(x)=2sin2x+.令2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),∴g(x)的单调递增区间为kπ-,kπ+(k∈Z).由2x+=kπ(k∈Z)得x=kπ-(k∈Z),即函数g(x)的图像的对称中心为kπ-,0(k∈Z).变式题解:(1)(a+b)∥c⇒(sin x-1)-(cos x+1)=0,∴sin x-cos x=2⇒2sin x-cos x=2⇒sin x-=1,又x∈[0,π],∴x-∈-,,∴x-=⇒x=.(2)a·b=-sin x+cos x=⇒2-sin x+cos x=,∴sin x+=,又x∈[0,π],∴x+∈,π,∴cos x+=-,∴sin x+=sin x+-=-cos x+=.【备选理由】与平面向量相关的最值问题是高考的热点,具有综合性强的特点,下面提供三道题可在适当考点中使用.1[配合例1使用]如图所示,AB=2,O为圆心,C为半圆上不同于A,B的任意一点,若P为半径OC上的动点,则(+)·的最小值为()A.-B.-2C.-1D.-[解析]A因为O为AB的中点,所以+=2,则(+)·=2·=-2||·||=-2||·(1-||)=2||2-2||=2||-2-,当=时,(+)·取得最小值-,故选A.2[配合例2使用][2017·石家庄二中三模]已知G为△ABC所在平面上一点,且++=0,∠A=60°,·=2,则的最小值为.[答案][解析]由题意得点G为△ABC的重心,则=(+),∴=(++2·)=(++4).∵·=||·||cos60°=2,∴||·||=4,∴≥(2||·||+4)=,当且仅当||=||=2时,等号成立,∴||≥,即||的最小值为.3[配合例4使用][2017·湖州调研]已知a,b,e是同一平面内的三个向量,且=1,a⊥b,a·e=2,b·e=1,当|a-b|取得最小值时,a与e夹角的正切值为()A.B.C.1D.[解析] D根据题意,分别以a,b为x轴,y轴建立平面直角坐标系,设e与a的夹角为θ,θ为锐角,则e与b的夹角为-θ.∵|e|=1,a⊥b,a·e=2,b·e=1,∴|a|·cosθ=2,|b|·cos-θ=|b|·sin θ=1,∴|a|=,|b|=,∴|a-b|2=|a|2-2a·b+|b|2=+=+(sin2θ+cos2θ)=5++≥5+2=9,当且仅当2sin2θ=cos2θ,即tan θ=时等号成立,此时|a-b|取得最小值3,且a与e夹角的正切值为,故选D.第27讲数系的扩充与复数的引入考试说明 1.理解复数的基本概念,理解复数相等的充要条件.2.了解复数的代数表示法及其几何意义;能将代数形式的复数在复平面上用点或向量表示,并能将复平面上的点或向量所对应的复数用代数形式表示.3.能进行复数代数形式的四则运算,了解两个具体复数相加、相减的几何意义.考情分析真题再现■ [2017-2013]课标全国真题再现1.[2017·全国卷Ⅰ]设有下面四个命题p1:若复数z满足∈R,则z∈R;p2:若复数z满足z2∈R,则z∈R;p3:若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1=;p4:若复数z∈R,则∈R.其中的真命题为()A.p1,p3B.p1,p4C.p2,p3D.p2,p4[解析] B设z=a+b i(a,b∈R).=,若∈R,则b=0,此时z∈R,故命题p1为真命题;若z∈R,则b=0,此时=a-b i∈R,命题p4为真命题;z2=a2-b2+2ab i,z2∈R时,a=0或b=0,此时z为实数或纯虚数,命题p2为假命题.设z1=i,z2=4i,则z1z2∈R,但z1≠,命题p3为假命题.故选B.2.[2017·全国卷Ⅱ]=()A.1+2iB.1-2iC.2+iD.2-i[解析] D===2-i.3.[2017·全国卷Ⅲ]设复数z满足(1+i)z=2i,则|z|=()A.B.C.D.2[解析] C由题知z====i+1,则|z|==.4.[2016·全国卷Ⅰ]设(1+i)x=1+y i,其中x,y是实数,则|x+y i|=()A.1B.C.D.2[解析] B由已知得x+x i=1+y i,根据两复数相等的条件可得x=y=1,所以|x+y i|=|1+i|=.5.[2016·全国卷Ⅱ]已知z=(m+3)+(m-1)i在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是()A.(-3,1)B.(-1,3)C.(1,+∞)D.(-∞,-3)[解析] A由题易知m+3>0,m-1<0,解得-3<m<1.6.[2016·全国卷Ⅲ]若z=1+2i,则=()A.1B.-1C.iD.-i[解析] C==i.7.[2015·全国卷Ⅰ]设复数z满足=i,则|z|=()A.1B.C.D.2[解析] A由=i,得z==i,所以=1.8.[2015·全国卷Ⅱ]若a为实数,且(2+a i)(a-2i)=-4i,则a=()A.-1B.0C.1D.2[解析] B因为(2+a i)(a-2i)=4a+(a2-4)i=-4i,所以4a=0,且a2-4=-4,解得a=0,故选B.9.[2014·全国卷Ⅰ]=()A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i[解析] D===-1-i.10.[2014·全国卷Ⅱ]设复数z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,z1=2+i,则z1z2=()A.-5B.5C.-4+iD.-4-i[解析] A由题知z2=-2+i,所以z1z2=(2+i)(-2+i)=i2-4=-5.11.[2013·全国卷Ⅰ]若复数z满足(3-4i)z=|4+3i|,则z的虚部为()A.-4B.-C.4D.[解析] D z====+i,故z的虚部是.12.[2013·全国卷Ⅱ]设复数z满足(1-i)z=2i,则z=()A.-1+iB.-1-iC.1+iD.1-i[解析] A(1-i)z=2i,则z==i(1+i)=-1+i.故选A.■ [2017-2016]其他省份类似高考真题1.[2017·北京卷]若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是()A.(-∞,1)B.(-∞,-1)C.(1,+∞)D.(-1,+∞)[解析] B(1-i)(a+i)=a+i-a i-i2=a+1+(1-a)i,其对应的点为(a+1,1-a),因为复数对应的点在第二象限,所以解得a<-1,故选B.2.[2017·山东卷]已知a∈R,i是虚数单位.若z=a+i,z·=4,则a=()A.1或-1B.或-C.-D.[解析] A由z·=a2+()2=a2+3=4,得a2=1,所以a=±1,故选A.3.[2016·山东卷]若复数z满足2z+=3-2i,其中i为虚数单位,则z=()A.1+2iB.1-2iC.-1+2iD.-1-2i[解析] B设z=a+b i(a,b∈R).由题意得2a+2b i+a-b i=3-2i,得∴z=1-2i.4.[2016·四川卷]设i为虚数单位,则(x+i)6的展开式中含x4的项为()A.-15x4B.15x4C.-20i x4D.20i x4[解析] A由题可知,含x4的项为x4i2=-15x4.5.[2017·天津卷]已知a∈R,i为虚数单位,若为实数,则a的值为.[答案]-2[解析]∵==,为实数,∴2+a=0,即a=-2.6.[2016·天津卷]已知a,b∈R,i是虚数单位.若(1+i)(1-b i)=a,则的值为. [答案] 2[解析](1+i)(1-b i)=a,即1+b+i-b i=a,∴解得∴=2.7.[2016·北京卷]设a∈R,若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上,则a=.[答案]-1[解析]复数(1+i)(a+i)=a-1+(a+1)i,因为其对应的点位于实轴上,所以a+1=0,解得a=-1.8.[2016·江苏卷]复数z=(1+2i)(3-i),其中i为虚数单位,则z的实部是. [答案] 5[解析]因为z=(1+2i)(3-i)=3+5i-2i2=5+5i,所以其实部为5.【课前双基巩固】知识聚焦1.(1)实部虚部b=0b≠0a=0且b≠0(2)a=c且b=d(3)a=c且b=-d(4)|z| |a+b i|2.3.(1)①(a+c)+(b+d)i②(a-c)+(b-d)i③(ac-bd)+(ad+bc)i④+i(2)z2+z1z1+(z2+z3)对点演练1.2[解析]∵z=a2-a-2+(a+1)i为纯虚数,∴解得a=2.2.(-1,2)[解析]由题意可得∴-1<x<2.3.2-i[解析]===2-i.4.1[解析]因为z==-=-1-i,所以=-1+i,则的虚部为1.5.±2i[解析]由题可设z=a i(a≠0,a∈R),∵|z-1|==3,∴a=±2,故z=±2i.6.-1-3i[解析]因为=i2018+i2019=-i-1,所以z=(2+i)(-1-i)=-1-3i.【课堂考点探究】例1[思路点拨](1)利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出;(2)首先利用复数的乘法法则将复数化为代数形式,然后利用实部与虚部互为相反数的条件建立关于a的等式求解. (1)A(2)-[解析](1)复数z=====-i,则z的虚部是-1.故选A.(2)因为==,所以2-2b-b-4=0,解得b=-.变式题(1)B(2)A[解析](1)由题意得a+=a+=a-1+i,则a-1=0,解得a=1,故选B.(2)z==.∵复数z=是纯虚数,∴解得a=3,∴z=i,∴z的虚部为1,故选A.例2[思路点拨](1)首先通过复数运算将复数化为代数形式,然后确定复数在复平面内对应点的坐标,进而确定其所在象限;(2)作出示意图,通过向量相等关系求得点C的坐标,进而确定其对应的复数.(1)B(2)A[解析](1)由题意得==-+i,该复数在复平面内所对应的点位于第二象限.故选B.(2)如图所示,设C(x,y).∵O(0,0),A(2,-1),B(0,3),∴=(0,3),=(x-2,y+1).由题意可得=,则解得x=y=2,∴点C所对应的复数为2+2i,故选A.变式题(1)A(2)A[解析](1)复数z满足(1-i)2·z=1+2i,则z=====-1+i,所以=-1-i,即复数在复平面内对应的点为-1,-,故选A.(2)由题意可得=-i,则>0,->0,由此可得a的取值范围为a<0,故选A.例3[思路点拨](1)直接利用复数的乘法进行计算即可;(2)首先根据复数是纯虚数求得m的值,然后再对第二个复数进行化简求解.(1)B(2)C[解析](1)(1+i)(2+i)=2+i+2i+i2=1+3i.(2)因为(1+m i)(3+i)=(3-m)+(3m+1)i是纯虚数,所以m=3,则===3i,所以=3,故选C.变式题(1)D(2)C[解析](1)===,故选D.(2)由题知z====i+1,则|z|==.【备选理由】例1考查复数的概念与复数的运算;例2考查复数的几何意义;例3考查复数的运算、复数相等的条件、模的运算的综合.1[配合例1使用][2017·河南夏邑第一中学模拟]若复数(其中i为虚数单位,a∈R)为纯虚数,则a=()A.-2B.0C.1D.2[解析] D===-i,由题意得解得a=2,故选D.2[配合例2使用][2017·武汉调研]已知i是虚数单位,若复数z=在复平面内对应的点在直线2x-y=0上,则实数a=()A.1B.-1C.4D.-4[解析] C复数z====--i,所以复数z在复平面内对应的点为-,-,所以-+=0,解得a=4,故选C.3[配合例3使用][2017·重庆一中期中]已知=a+b i(a,b∈R,i是虚数单位),则|a-b i|=()A.1B.C.D.[解析] D由题得i=(1+i)(a+b i)=(a-b)+(a+b)i,则解得所以-i==,故选D.。