衡阳市八中2017届高三第四次月考理科数学试题
湖南省衡阳市第八中学2017-2018学年高二理科实验班上学期第四次月考数学试题 Word版答案
衡阳八中2017-2018学年下期高二年级第四次月考试卷数学（试题卷）注意事项：1.本卷为衡阳八中高二年级理科实验班第四次月考试卷，分两卷。
其中共22题，满分150分，考试时间为120分钟。
2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。
开考15分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。
3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用2B铅笔填涂，非选择题部分请用黑色0.5mm 签字笔书写。
考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。
★预祝考生考试顺利★第I卷选择题（每题5分，共60分）本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。
1.已知命题，命题，则命题是的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2.已知复数z=，则z﹣|z|对应的点所在的象限为（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3.设有一个回归直线方程=2﹣1.5x，当变量x增加1个单位时，则( )A．y平均增加1.5个单位B．y平均增加2个单位C．y平均减少1.5个单位D．y平均减少2个单位4.2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（）A．60 B．48 C．42 D．365.设x，y，z∈（0，+∞），=x+，，，则三数（）A．至少有一个不大于2 B．都小于2C．至少有一个不小于2 D．都大于26.函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）=1，对任意x∈R，f′（x）＞3，则f（x）＞3x+4的解集为（）A．（﹣1，1） B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）7.设A、B是抛物线y2=2x上异于原点的不同两点，则的最小值为（）A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣48.如右图所示，△ADP为正三角形，四边形ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD．点M为平面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC．则点M在正方形ABCD内的轨迹为（）9.已知f(x)＝x3－3x＋m在区间上任取三个数a，b，c，均存在以f(a)，f(b)，f(c)为边长的三角形，则实数m的取值范围是( )A. (6，＋∞)B. (5，＋∞)C.(4，＋∞)D. (3，＋∞)10.如图，椭圆x2+2y2=1的右焦点为F，直线l不经过焦点，与椭圆相交于点A，B，与y轴的交点为C，则△BCF与△ACF的面积之比是（）A．|| B．||C． D．11.已知定义在上的函数和满足，且，则下列不等式成立的是（）A． B．C． D．12.椭圆=1的长轴为A1A2，短轴为B1B2，将椭圆沿y轴折成一个二面角，使得A1点在平面B1A2B2上的射影恰好为椭圆的右焦点，则该二面角的大小为（）A．75° B．60°C．45°D．30°第II卷非选择题（共90分）二.填空题（每题5分，共20分）13.展开式中的常数项为 .14.已知命题p1：函数y=2x﹣2﹣x在R上为增函数，p2：函数y=2x+2﹣x在R上为减函数，则在命题①p1∨p2②p1∧p2③（￢p1）∨p2④p1∧（￢p2）中真命题是．15.如图，F1和F2分别是双曲线的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为．16.如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是__________．三.解答题（共6题，共70分）17.（本题满分10分）已知m∈R，命题P：对任意x∈，不等式m2﹣3m﹣x+1≤0恒成立；命题q：存在x∈，使得m ﹣ax≤0成立．（Ⅰ）当a=1，p且q为假，p或q为真时，求m的取值范围；（Ⅱ）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18.（本题满分12分）某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动．为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在的数据）．（Ⅰ）求样本容量n和频率分布直方图中x、y的值；（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取3名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，设ξ表示所抽取的3名同学中得分在，使得恒成立，求m的取值范围．22.（本题满分12分）已知点，直线，直线于，连结，作线段的垂直平分线交直线于点．设点的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程;（2）过点作曲线的两条切线，切点分别为，①求证:直线过定点;②若，过点作动直线交曲线于点，直线交于点，试探究是否为定值?若是，求出该定值；不是，说明理由．衡阳八中2016年下期高二年级理科实验班第四次月考数学参考答案13.4014.①④15.16.[]17.（Ⅰ）∵对任意 x∈，不等式 x﹣1≥m2﹣3m 恒成立∴（ x﹣1）min≥m2﹣3m 即m2﹣3m≤﹣2 解得1≤m≤2即 p 为真命题时，m 的取值范围是．∵a=1，且存在 x∈，使得m≤ax 成立∴m≤1即命题q 为真时，m≤1（2分）∵p 且q 为假，p 或q 为真，∴p、q 一真一假当 p 真q 假时，则，即1＜m≤2，（3分）当p假q 真时，则，即m＜1，（4分）综上所述，1＜m≤2或m＜1 （5分）（Ⅱ）当a=0 时显然不合题意，当a＞0 时，存在 x∈，使得m≤ax 成立命题q 为真时m≤a∵p 是q 的充分不必要条件∴a≥2，（6分）当a＜0 时，存在 x∈，使得m≤ax 成立命题q 为真时m≤﹣a∵p 是q 的充分不必要条件∴a≤﹣2（8分）综上所述，a≥2或a≤﹣2（10分）18.（Ⅰ）由题意可知，样本容量（2分），（4分），x=0.1﹣0.004﹣0.010﹣0.016﹣0.04=0.030（6分）．（Ⅱ）由题意可知，分数在．当﹣8＜a＜﹣2，即＜＜时，恒有f′（x）＜0成立，∴f（x）在上是单调递减．∴f（x）max=f（1）=1+2a，，（6分）∴|f（x1）﹣f（x2）|max=f（1）﹣f（3）=，∵x2∈，使得恒成立，∴＞，整理得，（8分）又a＜0，∴，令t=﹣a，则t∈（2，8），构造函数，∴，（10分）当F′（t）=0时，t=e2，当F′（t）＞0时，2＜t＜e2，此时函数单调递增，当F′（t）＜0时，e2＜t＜8，此时函数单调递减．∴，∴m的取值范围为．（12分）22.∴直线的方程为，…………………………………………7分∴直线过定点．…………………………………………8分②由（2）①得,直线的方程为.设，与方程联立，求得．……………………………………9分设，联立与，得，由根与系数的关系，得．…………………………………………10分∵同号，∴…………………………………………11分，∴为定值，定值为2．…………………………………………12分。
2017届湖南省衡阳市第八中学高三上学期第二次月考数学(理)试题
衡阳市八中2017届高三第二次月考数学试题答案 （考试内容：集合与逻辑用语、函数、导数、三角函数） 共150分，考试用时120分钟。
一选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设R b a ∈,,则“4>+b a ”是“2,2>>b a 且”的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件 答案：B2.已知a 函数3()12f x x x =-的极小值点，则a =( ) (A)-16 (B) -2 (C)16 (D)2 【答案】D3.设232555322555a b c ===（）,（（），则a ， b ，c 的大小关系是（A ）A 、a ＞c ＞bB 、a ＞b ＞cC 、c ＞a ＞bD 、b ＞c ＞a4．函数y=sin(2x+π6 )的图象可看成是把函数y=sin2x 的图象作以下平移得到（ D ） A. 向右平移π6 B. 向左平移π6 C. 向右平移 π12 D. 向左平移 π125．已知函数31(),3(),(2log 2)3(1),3xx f x f f x x ⎧≥⎪=+⎨⎪+<⎩则的值为（ B ）A ．227-B ．154C ．227D ．54-6. 已知函数sin cos 1212y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列判断正确的是（B ）A ．此函数的最小正周期为2π，其图像的一个对称中心是,012π⎛⎫⎪⎝⎭B ．此函数的最小正周期为π，其图像的一个对称中心是,012π⎛⎫⎪⎝⎭ C ．此函数的最小正周期为2π，其图像的一个对称中心是,06π⎛⎫⎪⎝⎭D ．此函数的最小正周期为π，其图像的一个对称中心是,06π⎛⎫⎪⎝⎭7．若316sin =⎪⎭⎫⎝⎛-απ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ232cos = （ A ） A ．97-B ．31- C ．31 D ． 978.已知函数()()()f x x a x b =--（其中a b >）的图象如右图所示，则函数()x g x a b =+的图象是（ A )【解析】：由题意得，x a =，x b =为()f x 的零点，由图可知，01a <<，1b <-，∴()g x 的图象可由xy a =向下平移b -个单位得到，∵01a <<，由于1-<b ，1->∴b 故可知A 符合题意，故选A ．9．设12322()log (1)2x ex f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则不等式()2f x >的解集为 （ C ） A ．(1,2)(3,)⋃+∞ B．)+∞C．(1,2))⋃+∞D ．（1，2）10. 已知函数1()()2ln ()f x a x x a R x =--∈，()ag x x=-，若至少存在一个0[1,e]x ∈，使00()()f x g x >成立，则实数a 的范围为( B ) A ．[2e ，+∞) B ．(0，+∞) C ．[0，+∞) D ．(2e，+∞) 【答案】B11．已知函数()224|log |02151222x x f x x x x <<⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩，若存在实数,,,a b c d 满足()()()()f a f b f c f d ===其中0d c b a >>>>，则abcd 的取值范围是（ B ）. A ． ()16,21 B ．()16,24 C ．()17,21 D ．()18,24 【答案】B.1,0log 2=∴=∴ab ab 从而的两根是方程则记,12521,,log 422t x x d c t b =+-=2416,2416,40),12(2<<∴<<∴<<-=abcd cd t t cd 而12．已知定义在R 上的奇函数f (x )的导函数为)(x f '，当x <0时，f （x ）满足()()2 ') (f x xf x xf x +<，则f (x )在R 上的零点个数为( A )A .1B .3C . 5D .1或3 【答案】A仅一个零点又时时)(,0)0(.0)()(0.0)(,0x f f x f x f x x f x ∴=>--=>∴<< 二 填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知集合{1,2,3,4},{|32},A B y y x x A ===-∈，则A B = 【答案】{1,4}14.以曲线x y 2cos =为曲边的曲边形(如下图阴影部分)面积为45|2sin 21|2sin 212cos 2cos :434412434412=-=-=⎰⎰ππππππππx x xdxxdx S 解15．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)则(0)f 的值是 .解：353(,,241234T T ππππω=--=∴=∴=把5(,2)12π代入，得552sin()22662ππϕπϕ+=⇒+=+2,,3223k k Z ππππϕπϕϕ∴=-+∈-<<∴=-()2sin(2)(0)2sin()33f x x f ππ∴=-∴=-= 16. 已知()f x 为偶函数，当0x ≤ 时，1()x f x e x --=-，则曲线()y f x =在(1,2)处的切线方程式为_____________________________. 【答案】2y x = 【解析】试题分析：当0x >时，0x -<，则1()x f x e x --=+．又因为()f x 为偶函数，所以1()()x f x f x e x -=-=+，所以1()1x f x e -'=+，则切线斜率为(1)2f '=，所以切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =．三 解答题: 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. （本小题满分10分）设函数)(),0( )2sin()(x f y x x f =<<-+=ϕπϕ图像的一条对称轴是直线8π=x 。
2017届湖南省衡阳八中高三(上)第一次月考数学试卷(实验班)解析版
2016-2017学年湖南省衡阳八中高三（上）第一次月考数学试卷（实验班）一、选择题（每题5分，共60分）本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的．[文理科]1．（5分）（2013•衡水校级模拟）设集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|0≤x≤4}，则A∩B=（）A．{x|0≤x≤2}B．{x|1≤x≤2}C．{x|0≤x≤4}D．{x|1≤x≤4}2．（5分）（2015秋•荆门期末）下列命题中正确的个数为（）①若“一个整数的末位数字是0，则这个整数能被5整除”的逆命题；②若“一个三角形有两条边相等，则这个三角形有两个角相等”的否命题；③“奇函数的图象关于原点对称”的逆否命题；④“每个正方形都是平行四边形”的否定；⑤设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的充分不必要条件．A．1 B．2 C．3 D．43．（5分）（2014•惠州模拟）函数f（x）=log2（3x﹣1）的定义域为（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．[0，+∞）D．（0，+∞）4．（5分）（2014秋•包河区校级期末）已知命题p：函数f（x）=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R，命题q：q：不等式＜1+ax对一切正实数x均成立．如果，命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，则实数a的取值范围为（）A．a＞1 B．1≤a≤2 C．a＞2 D．无解5．（5分）（2009秋•银川校级期末）若100a=5，10b=2，则2a+b=（）A．0 B．1 C．2 D．36．（5分）（2015秋•景洪市校级期末）设偶函数f（x）的定义域为R，当x∈[0，+∞）时，f（x）是增函数，则f（﹣2），f（1），f（﹣3）的大小关系是（）A．f（1）＞f（﹣3）＞f（﹣2）B．f（1）＞f（﹣2）＞f（﹣3）C．f（1）＜f（﹣3）＜f（﹣2）D．f（1）＜f（﹣2）＜f（﹣3）7．（5分）（2011•江西校级模拟）函数y=的图象大致是（）A．B．C．D．8．（5分）（2014•泰安二模）函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）=1，对任意x∈R，f′（x）＞3，则f（x）＞3x+4的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）9．（5分）（2015秋•株洲校级期末）已知函数f（x）=，则f（f（5））的值为（）A．1 B．2 C．3 D．410．（5分）（2014•云南模拟）已知函数f（x）=2x+1，x∈N*，若∃x0，n∈N*，使f（x0）+f（x0+1）+…+f （x0+n）=63成立，则称（x0，n）为函数f（x）的一个“生成点”，函数f（x）的“生成点”共有（）A．2个B．3个C．4个D．5个11．（5分）（2015•广西校级学业考试）若函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（）A．若f（a）f（b）＞0，不存在实数c∈（a，b）使得f（c）=0B．若f（a）f（b）＜0，存在且只存在一个实数c∈（a，b）使得f（c）=0C．若f（a）f（b）＞0，有可能存在实数c∈（a，b）使得f（c）=0D．若f（a）f（b）＜0，有可能不存在实数c∈（a，b）使得f（c）=012．（5分）（2015秋•朝阳区期末）设函数f（x）的定义域D，如果存在正实数m，使得对任意x∈D，都有f（x+m）＞f（x），则称f（x）为D上的“m型增函数”．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=|x﹣a|﹣a（a∈R）．若f（x）为R上的“20型增函数”，则实数a的取值范围是（）A．a＞0 B．a＜5 C．a＜10 D．a＜20二.填空题（每题5分，共20分）[文理科]13．（5分）（2015秋•房山区期末）若函数f（x）的定义域是[0，4]，则函数f（2x﹣3）的定义域是______．14．（5分）（2015秋•福建期末）已知奇函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，且在定义域上单调递减，则满足不等式f（1﹣m）+f（1﹣2m）＜0的实数m的取值范围是______．15．（5分）（2016•衡阳三模）若函数f（x）=x2+ln（x+a）与g（x）=x2+e x﹣（x＜0）的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围是______．16．（5分）（2015•蚌埠三模）已知函数y=f（x），x∈I，若存在x0∈I，使得f（x0）=x0，则称x0为函数y=f（x）的不动点；若存在x0∈I，使得f（f（x0））=x0，则称x0为函数y=f（x）的稳定点．则下列结论中正确的是______．（填上所有正确结论的序号）①﹣，1是函数g（x）=2x2﹣1有两个不动点；②若x0为函数y=f（x）的不动点，则x0必为函数y=f（x）的稳定点；③若x0为函数y=f（x）的稳定点，则x0必为函数y=f（x）的不动点；④函数g（x）=2x2﹣1共有三个稳定点；⑤若函数y=f（x）在定义域I上单调递增，则它的不动点与稳定点是完全相同．三.解答题（共6题，共70分）17．（10分）（2014秋•朝阳区期末）已知集合A={x2﹣3x﹣10≤0}，B={x|m﹣1＜x＜2m+1}（Ⅰ）当m=3时，求A∩B．（Ⅱ）若B⊆A，求实数m的取值范围．18．（2015秋•安徽校级期末）已知命题：“∀x∈{x|﹣1≤x≤1}，都有不等式x2﹣x﹣m＜0成立”是真命题．（1）求实数m的取值集合B；（2）设不等式（x﹣3a）（x﹣a﹣2）＜0的解集为A，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围．19．（12分）（2015•肇庆二模）已知函数f（x）=﹣+3（﹣1≤x≤2）．（1）若λ=时，求函数f（x）的值域；（2）若函数f（x）的最小值是1，求实数λ的值．20．（12分）（2015秋•房山区期末）已知函数f（x）=log a（1+x），g（x）=log a（1﹣x），（a＞0，且a≠1）．（1）设a=2，函数f（x）的定义域为[3，63]，求函数f（x）的最值．（2）求使f（x）﹣g（x）＞0的x的取值范围．21．（2015秋•阜阳校级期末）对定义在[0，1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f（x）称为不等函数．①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；②当x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时，总有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立．已知函数g（x）=x3与h（x）=2x﹣a是定义在[0，1]上的函数．（1）试问函数g（x）是否为不等函数？并说明理由；（2）若函数h（x）是不等函数，求实数a组成的集合．22．（12分）（2015秋•宜春校级期末）已知函数f（x）=x|2a﹣x|+2x，a∈R．（1）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的取值范围；（2）若存在实数a∈[﹣2，2]，使得关于x的方程f（x）﹣tf（2a）=0有3个不相等的实数根，求实数t的取值范围．23．（2015秋•朝阳区期末）定义在（0，+∞）上的函数f（x），如果对任意x∈（0，+∞），都有f（kx）=kf（x）（k≥2，k∈N*）成立，则称f（x）为k阶伸缩函数．（Ⅰ）若函数f（x）为二阶伸缩函数，且当x∈（1，2]时，，求的值；（Ⅱ）若函数f（x）为三阶伸缩函数，且当x∈（1，3]时，，求证：函数在（1，+∞）上无零点；（Ⅲ）若函数f（x）为k阶伸缩函数，且当x∈（1，k]时，f（x）的取值范围是[0，1），求f（x）在（0，k n+1]（n∈N*）上的取值范围．24．（12分）（2015•赣州模拟）已知函数f（x）=ax2+lnx﹣（a+1）x+a（a为常数）．（1）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在区间[1，+∞）的最小值为﹣1，求实数a的取值范围．25．（2015•铜川三模）已知函数f（x）=lnx，g（x）=x2﹣2x．（1）设h（x）=f（x+1）﹣g′（x）（其中g′（x）是g（x）的导函数），求h（x）的最大值；（2）证明：当0＜b＜a时，求证：f（a+b）﹣f（2a）＜；（3）设k∈Z，当x＞1时，不等式k（x﹣1）＜xf（x）+3g′（x）+4恒成立，求k的最大值．26．（12分）（2014秋•蚌埠校级期中）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c．（1）若a＞b＞c，且f（1）=0，证明f（x）的图象与x轴有2个交点；（2）在（1）的条件下，是否存在m∈R，使得f（m）=﹣a成立时，f（m+3）为正数，若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由；（3）若对x1，x2∈R，且x1＜x2，f（x1）≠f（x2），方程f（x）=[f（x1）+f（x2）]有两个不等实根，证明必有一个根属于（x1，x2）．2016-2017学年湖南省衡阳八中高三（上）第一次月考数学试卷（实验班）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共60分）本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的．[文理科]1．（5分）（2013•衡水校级模拟）设集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|0≤x≤4}，则A∩B=（）A．{x|0≤x≤2}B．{x|1≤x≤2}C．{x|0≤x≤4}D．{x|1≤x≤4}【分析】找出A和B解集中的公共部分，即可确定出两集合的交集．【解答】解：∵A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|0≤x≤4}，∴A∩B={x|0≤x≤2}．故选A【点评】此题考查了交集及其运算，比较简单，是一道基本题型．2．（5分）（2015秋•荆门期末）下列命题中正确的个数为（）①若“一个整数的末位数字是0，则这个整数能被5整除”的逆命题；②若“一个三角形有两条边相等，则这个三角形有两个角相等”的否命题；③“奇函数的图象关于原点对称”的逆否命题；④“每个正方形都是平行四边形”的否定；⑤设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的充分不必要条件．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据四种命题之间的关系分别求出对应的命题，然后进行判断即可．【解答】解：①若“一个整数的末位数字是0，则这个整数能被5整除”的逆命题为：若一个整数能被5整除，则这个整数的末位数字是0，错误，当末位数字是5也满足条件．，故①错误，②若“一个三角形有两条边相等，则这个三角形有两个角相等”的逆命题为：若“一个三角形有两个角相等，则这个三角形有两条边相等”，正确此时三角形为等腰三角形，根据逆否命题的等价性知原命题的否命题正确，故②正确；③“奇函数的图象关于原点对称”正确，则根据逆否命题的等价性知命题的逆否命题正确；故③正确，④“每个正方形都是平行四边形”，正确，则“每个正方形都是平行四边形”的否定错误；故④错误，⑤设f（x）=x|x|=，则函数f（x）为增函数，则当a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的充分必要条件．故⑤错误，故正确的个数是2，故选：B【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及四种命题的关系以及命题真假的判断，考查学生的运算和推理能力．3．（5分）（2014•惠州模拟）函数f（x）=log2（3x﹣1）的定义域为（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．[0，+∞）D．（0，+∞）【分析】根据函数成立的条件，即可求出函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则3x﹣1＞0，即3x＞1，∴x＞0．即函数的定义域为（0，+∞），故选：D．【点评】本题主要考查函数定义域的求法，要求熟练掌握常见函数成立的条件，比较基础．4．（5分）（2014秋•包河区校级期末）已知命题p：函数f（x）=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R，命题q：q：不等式＜1+ax对一切正实数x均成立．如果，命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，则实数a的取值范围为（）A．a＞1 B．1≤a≤2 C．a＞2 D．无解【分析】由于命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，可得命题p与q必然一真一假，【解答】解：命题p：函数f（x）=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R，当a=0时，函数f（x）的定义域不为R；当a≠0时，由题意可得：，解得a＞2．命题q：q：不等式＜1+ax对一切正实数x均成立，当a＞0时，可得x（a2x+2a﹣2）＞0，当a≥1时，上述不等式对一切正实数x均成立；当0＜a＜1时上述不等式不满足对一切正实数x均成立，舍去；同理当a≤0时，上述不等式不满足对一切正实数x均成立．可得：实数a的范围是a≥1．∵命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，∴命题p与q必然一真一假，∴或，解得1≤a≤2．则实数a的取值范围为1≤a≤2．故选：B．【点评】本题考查了简易逻辑的判定、对数函数的定义域、一元二次不等式的解法、分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．（5分）（2009秋•银川校级期末）若100a=5，10b=2，则2a+b=（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】由题设条件知，lg2=b，故2a+b=．【解答】解：∵100a=5，10b=2，∴，lg2=b，∴2a+b=．故选B．【点评】本题考查对数的运算法则，解题时要注意公式的灵活运用．6．（5分）（2015秋•景洪市校级期末）设偶函数f（x）的定义域为R，当x∈[0，+∞）时，f（x）是增函数，则f（﹣2），f（1），f（﹣3）的大小关系是（）A．f（1）＞f（﹣3）＞f（﹣2）B．f（1）＞f（﹣2）＞f（﹣3）C．f（1）＜f（﹣3）＜f（﹣2）D．f（1）＜f（﹣2）＜f（﹣3）【分析】先利用偶函数的性质，将函数值转化到同一单调区间[0，+∞）上，然后比较大小．【解答】解：因为f（x）是偶函数，所以f（﹣3）=f（3），f（﹣2）=f（2）．又因为函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，故f（3）＞f（2）＞f（1）．即f（﹣3）＞f（﹣2）＞f（1）．故选D【点评】本题考查了函数的单调性在比较函数值大小中的应用，要注意结合其它性质考查时，一般先将不同区间上的函数值转化到同一单调区间上再比较大小．7．（5分）（2011•江西校级模拟）函数y=的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】由函数的解析式可以看出，函数的零点呈周期性出现，且法自变量趋向于正无穷大时，函数值在x轴上下震荡，幅度越来越小，而当自变量趋向于负无穷大时，函数值在x轴上下震荡，幅度越来越大，由此特征对四个选项进行判断，即可得出正确选项．【解答】解：∵函数∴函数的零点呈周期性出现，且法自变量趋向于正无穷大时，函数值在x轴上下震荡，幅度越来越小，而当自变量趋向于负无穷大时，函数值在x轴上下震荡，幅度越来越大，A选项符合题意；B选项振幅变化规律与函数的性质相悖，不正确；C选项是一个偶函数的图象，而已知的函数不是一个偶函数故不正确；D选项最高点离开原点的距离的变化趋势不符合题意，故不对．综上，A选项符合题意故选A【点评】本题考查余弦函数的图象，解题的关键是根据余弦函数的周期性得出其零点周期性出现，再就是根据分母随着自变量的变化推测出函数图象震荡幅度的变化，由这些规律对照四个选项选出正确答案．8．（5分）（2014•泰安二模）函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）=1，对任意x∈R，f′（x）＞3，则f（x）＞3x+4的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）【分析】构造函数F（x）=f（x）﹣（3x+4），由f（﹣1）=1得F（﹣1）的值，求F（x）的导函数，根据f′（x）＞3，得F（x）在R上为增函数，根据函数的单调性得F（x）大于0的解集，从而得所求不等式的解集．【解答】解：设F（x）=f（x）﹣（3x+4），则F（﹣1）=f（﹣1）﹣（﹣3+4）=1﹣1=0，又对任意x∈R，f′（x）＞3，∴F′（x）=f′（x）﹣3＞0，∴F（x）在R上是增函数，∴F（x）＞0的解集是（﹣1，+∞），即f（x）＞3x+4的解集为（﹣1，+∞）．故选：B．【点评】本题考查了运用函数思想求解不等式的问题，解题的关键是构造函数，确定函数的单调性，是易错题．9．（5分）（2015秋•株洲校级期末）已知函数f（x）=，则f（f（5））的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】利用分段函数直接代入求值即可．【解答】解：∵f（5）=log24=2，∴f（f（5））=f（2）=22=4．故选：D．【点评】本题主要考查分段函数的求值问题，注意分段函数中变量的取值范围．10．（5分）（2014•云南模拟）已知函数f（x）=2x+1，x∈N*，若∃x0，n∈N*，使f（x0）+f（x0+1）+…+f （x0+n）=63成立，则称（x0，n）为函数f（x）的一个“生成点”，函数f（x）的“生成点”共有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】由f（x0）+f（x0+1）+…+f（x0+n）=63，得（2x0+1）+[2（x0+1）+1]+…+[2（x0+n）+1]=63，化简可得（n+1）（2x0+n+1）=63，由此能求出函数f（x）的“生成点”的个数．【解答】解：由f（x0）+f（x0+1）+…+f（x0+n）=63，得（2x0+1）+[2（x0+1）+1]+…+[2（x0+n）+1]=63所以2（n+1）x0+2（1+2+…n）+（n+1）=63，即（n+1）（2x0+n+1）=63，由x0，n∈N*，得或，解得或，所以函数f（x）的“生成点”为（1，6），（9，2）．故函数f（x）的“生成点”共有2个．故答案为：2．【点评】本题考查函数f（x）的“生成点”个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数的性质的合理运用．11．（5分）（2015•广西校级学业考试）若函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（）A．若f（a）f（b）＞0，不存在实数c∈（a，b）使得f（c）=0B．若f（a）f（b）＜0，存在且只存在一个实数c∈（a，b）使得f（c）=0C．若f（a）f（b）＞0，有可能存在实数c∈（a，b）使得f（c）=0D．若f（a）f（b）＜0，有可能不存在实数c∈（a，b）使得f（c）=0【分析】先由零点的存在性定理可判断D不正确；结合反例“f（x）=x（x﹣1）（x+1）在区间[﹣2，2]上满足f（﹣2）f（2）＜0，但其存在三个解{﹣1，0，1}”可判定B不正确；结合反例“f（x）=（x﹣1）（x+1）在区间[﹣2，2]上满足f（﹣2）f（2）＞0，但其存在两个解{﹣1，1}”可判定A不正确，进而可得到答案．【解答】解：由零点存在性定理可知选项D不正确；对于选项B，可通过反例“f（x）=x（x﹣1）（x+1）在区间[﹣2，2]上满足f（﹣2）f（2）＜0，但其存在三个解{﹣1，0，1}”推翻；同时选项A可通过反例“f（x）=（x﹣1）（x+1）在区间[﹣2，2]上满足f（﹣2）f（2）＞0，但其存在两个解{﹣1，1}”；故选C．【点评】本题主要考查零点存在定理的理解和认识．考查对知识理解的细腻程度和认识深度．12．（5分）（2015秋•朝阳区期末）设函数f（x）的定义域D，如果存在正实数m，使得对任意x∈D，都有f（x+m）＞f（x），则称f（x）为D上的“m型增函数”．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=|x﹣a|﹣a（a∈R）．若f（x）为R上的“20型增函数”，则实数a的取值范围是（）A．a＞0 B．a＜5 C．a＜10 D．a＜20【分析】由已知得f（x）=，f（x+20）＞f（x），由此能求出实数a的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=|x﹣a|﹣a（a∈R），∴f（x）=，∵f（x）为R上的“20型增函数”，∴f（x+20）＞f（x），当x≥0时，|20+x﹣a|﹣a＞|x﹣a|﹣a，解得a＜10．当x=﹣10时，由f（﹣10+20）＞f（﹣10），即f（10）＞f（﹣10），得：|10﹣a|﹣a＞﹣|10﹣a|+a，∴|10﹣a|＞a，∴10﹣a＞a或10﹣a＜﹣a，解得a＜5，∴实数a的取值范围是a＜5．故选：B．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意新定义的正确理解．二.填空题（每题5分，共20分）[文理科]13．（5分）（2015秋•房山区期末）若函数f（x）的定义域是[0，4]，则函数f（2x﹣3）的定义域是．【分析】由已知函数的定义域，可得0≤2x﹣3≤4，解此不等式得答案．【解答】解：∵函数f（x）的定义域是[0，4]，则由0≤2x﹣3≤4，得，∴函数f（2x﹣3）的定义域是．故答案为：．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，关键是掌握该类问题的求解方法，是基础题．14．（5分）（2015秋•福建期末）已知奇函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，且在定义域上单调递减，则满足不等式f（1﹣m）+f（1﹣2m）＜0的实数m的取值范围是[﹣，] ．【分析】根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化求解即可．【解答】解：∵函数奇函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，且在定义域上单调递减，∴不等式f（1﹣m）+f（1﹣2m）＜0等价为f（1﹣m）＜﹣f（1﹣2m）=f（2m﹣1），即，即，得﹣≤m≤，故答案为：[﹣，]【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性将不等式进行转化是解决本题的关键．注意定义域的限制．15．（5分）（2016•衡阳三模）若函数f（x）=x2+ln（x+a）与g（x）=x2+e x﹣（x＜0）的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围是（﹣∞，）．【分析】由题意可得，存在x＜0使f（﹣x）﹣g（x）=0，即e x﹣﹣ln（﹣x+a）=0在（﹣∞，0）上有解，从而化为函数m（x）=e x﹣﹣ln（﹣x+a）在（﹣∞，0）上有零点，从而求解．【解答】解：若函数f（x）=x2+ln（x+a）与g（x）=x2+e x﹣（x＜0）图象上存在关于y轴对称的点，则等价为g（x）=f（﹣x），在x＜0时，方程有解，即x2+e x﹣=x2+ln（﹣x+a），即e x﹣﹣ln（﹣x+a）=0在（﹣∞，0）上有解，令m（x）=e x﹣﹣ln（﹣x+a），则m（x）=e x﹣﹣ln（﹣x+a）在其定义域上是增函数，且x→﹣∞时，m（x）＜0，若a≤0时，x→a时，m（x）＞0，故e x﹣﹣ln（﹣x+a）=0在（﹣∞，0）上有解，若a＞0时，则e x﹣﹣ln（﹣x+a）=0在（﹣∞，0）上有解可化为：e0﹣﹣ln（a）＞0，即lna＜，故0＜a＜．综上所述，a∈（﹣∞，）．故答案为：（﹣∞，）．【点评】本题考查函数与方程的应用，根据函数的图象与方程的根及函数的零点之间的关系，进行转化是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．16．（5分）（2015•蚌埠三模）已知函数y=f（x），x∈I，若存在x0∈I，使得f（x0）=x0，则称x0为函数y=f（x）的不动点；若存在x0∈I，使得f（f（x0））=x0，则称x0为函数y=f（x）的稳定点．则下列结论中正确的是①②⑤．（填上所有正确结论的序号）①﹣，1是函数g（x）=2x2﹣1有两个不动点；②若x0为函数y=f（x）的不动点，则x0必为函数y=f（x）的稳定点；③若x0为函数y=f（x）的稳定点，则x0必为函数y=f（x）的不动点；④函数g（x）=2x2﹣1共有三个稳定点；⑤若函数y=f（x）在定义域I上单调递增，则它的不动点与稳定点是完全相同．【分析】利用新定义直接判断①②的正误；通过求解方程的解，判断③④不满足新定义；⑤通过分类讨论判断满足新定义．【解答】解：对于①，令g（x）=x，可得x=或x=1，故①正确；对于②，因为f（x0）=x0，所以f（f（x0））=f（x0）=x0，即f（f（x0））=x0，故x0也是函数y=f（x）的稳定点，故②正确；对于③④，g（x）=2x2﹣1，令2（2x2﹣1）2﹣1=x，因为不动点必为稳定点，所以该方程一定有两解x=﹣，1，由此因式分解，可得（x﹣1）（2x+1）（4x2+2x﹣1）=0还有另外两解，故函数g（x）的稳定点有﹣，1，，其中是稳定点，但不是不动点，故③④错误；对于⑤，若函数y=f（x）有不动点x0，显然它也有稳定点x0；若函数y=f（x）有稳定点x0，即f（f（x0））=x0，设f（x0）=y0，则f（y0）=x0即（x0，y0）和（y0，x0）都在函数y=f（x）的图象上，假设x0＞y0，因为y=f（x）是增函数，则f（x0）＞f（y0），即y0＞x0，与假设矛盾；假设x0＜y0，因为y=f（x）是增函数，则f（x0）＜f（y0），即y0＜x0，与假设矛盾；故x0=y0，即f（x0）=x0，y=f（x）有不动点x0，故⑤正确．故答案为：①②⑤．【点评】本题考查命题的真假的判断，新定义的应用，考查分析问题解决问题的能力．三.解答题（共6题，共70分）17．（10分）（2014秋•朝阳区期末）已知集合A={x2﹣3x﹣10≤0}，B={x|m﹣1＜x＜2m+1}（Ⅰ）当m=3时，求A∩B．（Ⅱ）若B⊆A，求实数m的取值范围．【分析】（Ⅰ）当m=3时，化简A={x2﹣3x﹣10≤0}=[﹣2，5]，B=（2，7）；从而求交集．（Ⅱ）讨论当B≠∅时，；当B=∅时，m﹣1≥2m+1，从而解得．【解答】解：（Ⅰ）当m=3时，A={x2﹣3x﹣10≤0}=[﹣2，5]，B=（2，7）；则A∩B=（2，5]．（Ⅱ）∵B⊆A，当B≠∅时，；解得，﹣1≤m≤2；当B=∅时，由m﹣1≥2m+1得，m≤﹣2；故实数m的取值范围为{m|m≤﹣2或﹣1≤m≤2}．【点评】本题考查了集合的化简与运算，属于基础题．18．（2015秋•安徽校级期末）已知命题：“∀x∈{x|﹣1≤x≤1}，都有不等式x2﹣x﹣m＜0成立”是真命题．（1）求实数m的取值集合B；（2）设不等式（x﹣3a）（x﹣a﹣2）＜0的解集为A，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【分析】（1）分离出m，将不等式恒成立转化为函数的最值，求出（x2﹣x）max，求出m的范围．（2）通过对二次不等式对应的两个根大小的讨论，写出集合A，“x∈A是x∈B的充分不必要条件”即A⊆B，求出a的范围．【解答】解：（1）命题：“∀x∈{x|﹣1≤x≤1}，都有不等式x2﹣x﹣m＜0成立”是真命题，得x2﹣x﹣m＜0在﹣1≤x≤1恒成立，∴m＞（x2﹣x）max得m＞2即B=（2，+∞）（2）不等式（x﹣3a）（x﹣a﹣2）＜0①当3a＞2+a，即a＞1时解集A=（2+a，3a），若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则A⊆B，∴2+a≥2此时a∈（1，+∞）．②当3a=2+a即a=1时解集A=φ，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则A⊂B成立．③当3a＜2+a，即a＜1时解集A=（3a，2+a），若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则A⊂B成立，∴3a≥2此时．综上①②③：．【点评】解决不等式恒成立求参数的范围问题，常采用分离参数求最值；解含参数的二次不等式时，长从二次项系数、判别式、两个根的大小进行讨论．19．（12分）（2015•肇庆二模）已知函数f（x）=﹣+3（﹣1≤x≤2）．（1）若λ=时，求函数f（x）的值域；（2）若函数f（x）的最小值是1，求实数λ的值．【分析】（1）化简（﹣1≤x≤2），再利用换元法得g（t）=t2﹣2λt+3（）；从而代入λ=求函数的值域；（2）g（t）=t2﹣2λt+3=（t﹣λ）2+3﹣λ2（），讨论λ以确定函数的最小值及最小值点，从而求λ．【解答】解：（1）（﹣1≤x≤2）设，得g（t）=t2﹣2λt+3（）．当时，（）．所以，．所以，，故函数f（x）的值域为[，]．（2）由（1）g（t）=t2﹣2λt+3=（t﹣λ）2+3﹣λ2（）①当时，，令，得，不符合舍去；②当时，，令﹣λ2+3=1，得，或，不符合舍去；③当λ＞2时，g（t）min=g（2）=﹣4λ+7，令﹣4λ+7=1，得，不符合舍去．综上所述，实数λ的值为．【点评】本题考查了函数的值域的求法及函数的最值的应用，属于基础题．20．（12分）（2015秋•房山区期末）已知函数f（x）=log a（1+x），g（x）=log a（1﹣x），（a＞0，且a≠1）．（1）设a=2，函数f（x）的定义域为[3，63]，求函数f（x）的最值．（2）求使f（x）﹣g（x）＞0的x的取值范围．【分析】（1）当a=2时，根据函数f（x）=log2（x+1）为[3，63]上的增函数，求得函数的最值．（2）f（x）﹣g（x）＞0，即log a（1+x）＞log a（1﹣x），分①当a＞1和②当0＜a＜1两种情况，分别利用函数的单调性解对数不等式求得x的范围．【解答】解：（1）当a=2时，函数f（x）=log2（x+1）为[3，63]上的增函数，故f（x）max=f（63）=log2（63+1）=6，f（x）min=f（3）=log2（3+1）=2．（2）f（x）﹣g（x）＞0，即log a（1+x）＞log a（1﹣x），①当a＞1时，由1+x＞1﹣x＞0，得0＜x＜1，故此时x的范围是（0，1）．②当0＜a＜1时，由0＜1+x＜1﹣x，得﹣1＜x＜0，故此时x的范围是（﹣1，0）．【点评】本题主要考查指数函数的性质应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．21．（2015秋•阜阳校级期末）对定义在[0，1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f（x）称为不等函数．①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；②当x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时，总有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立．已知函数g（x）=x3与h（x）=2x﹣a是定义在[0，1]上的函数．（1）试问函数g（x）是否为不等函数？并说明理由；（2）若函数h（x）是不等函数，求实数a组成的集合．【分析】（1）根据不等函数的定义和条件进行判断即可；（2）根据h（x）是不等函数，验证两个条件即可．【解答】解：（1）当x∈[0，1]时，总有g（x）=x3≥0，满足①；当x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时，g（x1+x2）=（x1+x2）3=++3•x2+3x1•≥+=g（x1）+g（x2），满足②，所以函数g（x）是不等函数．（2）h（x）=2x﹣a（x∈[0，1]）为增函数，h（x）≥h（0）=1﹣a≥0，所以a≤1．由h（x1+x2）≥h（x1）+h（x2），得﹣a≥﹣a+﹣a，即a≥+﹣=1﹣（﹣1）（﹣1）．因为x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，所以0≤﹣1≤1，0≤﹣1≤1，x1与x2不同时等于1，所以0≤（﹣1）（﹣1）＜1，所以0＜1﹣（﹣1）（﹣1）≤1．当x1=x2=0时，[1﹣（﹣1）（﹣1）]max=1，所以a≥1．综合上述，a∈{1}．【点评】本题主要考查函数的应用，根据不等函数的定义，进行推理是解决本题的关键．考查学生的推理能力．22．（12分）（2015秋•宜春校级期末）已知函数f（x）=x|2a﹣x|+2x，a∈R．（1）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的取值范围；（2）若存在实数a∈[﹣2，2]，使得关于x的方程f（x）﹣tf（2a）=0有3个不相等的实数根，求实数t的取值范围．【分析】（1）写出f（x）的分段函数，求出对称轴方程，由二次函数的单调性，可得a﹣1≤2a，2a≤a+1，解不等式即可得到所求范围；（2）方程f（x）﹣tf（2a）=0的解即为方程f（x）=tf（2a）的解．讨论①当﹣1≤a≤1时，②当a＞1时，③当a＜﹣1时，判断f（x）的单调性，结合函数和方程的转化思想，即可得到所求范围．【解答】解：（1）∵为增函数，由于x≥2a时，f（x）的对称轴为x=a﹣1；x＜2a时，f（x）的对称轴为x=a+1，∴解得﹣1≤a≤1；（2）方程f（x）﹣tf（2a）=0的解即为方程f（x）=tf（2a）的解．①当﹣1≤a≤1时，f（x）在R上是增函数，关于x的方程f（x）=tf（2a）不可能有3个不相等的实数根．②当a＞1时，2a＞a+1＞a﹣1，∴f（x）在（﹣∞，a+1）上单调递增，在（a+1，2a）上单调递减，在（2a，+∞）上单调递增，所以当f（2a）＜tf（2a）＜f（a+1）时，关于x的方程f（x）=tf（2a）有3个不相等的实数根，即4a＜t•4a＜（a+1）2．∵a＞1，∴．设，因为存在a∈[﹣2，2]，使得关于x的方程f（x）=tf（2a）有3个不相等的实数根，∴1＜t＜h（a）max．又h（a）在（1，2]递增，所以，∴．③当a＜﹣1时，2a＜a﹣1＜a+1，所以f（x）在（﹣∞，2a）上单调递增，在（2a，a﹣1）上单调递减，在（a﹣1，+∞）上单调递增，所以当f（a﹣1）＜tf（2a）＜f（2a）时，关于x的方程f（x）=tf（2a）有3个不相等的实数根，即﹣（a﹣1）2＜t•4a＜4a．∵a＜﹣1，∴．设，因为存在a∈[﹣2，2]，使得关于x的方程f（x）=tf（2a）有3个不相等的实数根，所以1＜t＜g（a）max．又可证在[﹣2，﹣1）上单调递减，所以，所以．综上，．【点评】本题考查分段函数的单调性的判断和运用，注意运用二次函数的对称轴和区间的关系，考查存在性问题的解法，注意运用分类讨论的思想方法，以及函数方程的转化思想的运用，考查运算化简能力，属于中档题．23．（2015秋•朝阳区期末）定义在（0，+∞）上的函数f（x），如果对任意x∈（0，+∞），都有f（kx）=kf（x）（k≥2，k∈N*）成立，则称f（x）为k阶伸缩函数．（Ⅰ）若函数f（x）为二阶伸缩函数，且当x∈（1，2]时，，求的值；（Ⅱ）若函数f（x）为三阶伸缩函数，且当x∈（1，3]时，，求证：函数在（1，+∞）上无零点；（Ⅲ）若函数f（x）为k阶伸缩函数，且当x∈（1，k]时，f（x）的取值范围是[0，1），求f（x）在（0，k n+1]（n∈N*）上的取值范围．【分析】（Ⅰ）当x∈（1，2]时，，从而f（）=，由此能求出函数f（x）为二阶伸缩函数，由此能求出的值．（Ⅱ）当x∈（1，3]时，，由此推导出函数在（1，+∞）上无零点．（Ⅲ）当x∈（k n，k n+1]时，，由此得到，当x∈（k n，k n+1]时，f（x）∈[0，k n），由此能求出f（x）在（0，k n+1]（n∈N*）上的取值范围是[0，k n）．【解答】解：（Ⅰ）由题设，当x∈（1，2]时，，∴．∵函数f（x）为二阶伸缩函数，∴对任意x∈（0，+∞），都有f（2x）=2f（x）．∴．（4分）（Ⅱ）当x∈（3m，3m+1]（m∈N*）时，．由f（x）为三阶伸缩函数，有f（3x）=3f（x）．∵x∈（1，3]时，．∴．令，解得x=0或x=3m，它们均不在（3m，3m+1]内．（7分）∴函数在（1，+∞）上无零点．（8分）（Ⅲ）由题设，若函数f（x）为k阶伸缩函数，有f（kx）=kf（x），且当x∈（1，k]时，f（x）的取值范围是[0，1）．∴当x∈（k n，k n+1]时，．∵，所以．∴当x∈（k n，k n+1]时，f（x）∈[0，k n）．当x∈（0，1]时，即0＜x≤1，则∃k（k≥2，k∈N*）使，∴1＜kx≤k，即kx∈（1，k]，∴f（kx）∈[0，1）．又，∴，即．∵k≥2，∴f（x）在（0，k n+1]（n∈N*）上的取值范围是[0，k n）．（12分）【点评】本题考查函数值的求法，考查函数值无零点的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．24．（12分）（2015•赣州模拟）已知函数f（x）=ax2+lnx﹣（a+1）x+a（a为常数）．（1）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在区间[1，+∞）的最小值为﹣1，求实数a的取值范围．【分析】（1）可确定函数f（x）的定义域为（0，+∞），求导f′（x）=2x+﹣3=，从而确定函数的单调区间；（2）求导f′（x）=，从而分类讨论以确定函数的单调性，从而求最值即可．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f（x）=x2+lnx﹣3x+1，f′（x）=2x+﹣3=，当x＞1时，f′（x）＞0，当0＜x＜时，f′（x）＞0；当＜x＜1时，f′（x）＜0；故f（x）的单调减区间是（，1），单调增区间是（1，+∞）和（0，）；（2）f′（x）=，当a≥1时，f′（x）＞0，即f（x）在[1，+∞）上单调递增，所以f（x）≥f（1）=﹣1，当0＜a＜1时，f（x）在（1，）上单调递减，所以，当x∈（1，）时，f（x）≤f（1）=﹣1，不合题意，当a≤0时，f′（x）＜0，即f（x）在[1，+∞）上单调递减，所以f（x）≤f（1）=﹣1，不合题意，综上所述，实数a的取值范围是[1，+∞）．【点评】本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用．25．（2015•铜川三模）已知函数f（x）=lnx，g（x）=x2﹣2x．（1）设h（x）=f（x+1）﹣g′（x）（其中g′（x）是g（x）的导函数），求h（x）的最大值；（2）证明：当0＜b＜a时，求证：f（a+b）﹣f（2a）＜；（3）设k∈Z，当x＞1时，不等式k（x﹣1）＜xf（x）+3g′（x）+4恒成立，求k的最大值．【分析】（1）h（x）=f（x+1）﹣g′（x）=ln（x+1）﹣x+2，x＞﹣1，h′（x）=，利用导数研究函数的单调性，可求得当x=0时h（x）取得最大值h（0）=2；（2）当0＜b＜a时，﹣1＜＜0，由（1）知：当﹣1＜x＜0时，h（x）＜2，即ln（x+1）＜x，从而可证得结论；（3）不等式k（x﹣1）＜xf（x）+3g′（x）+4化为k＜+2即k＜+2对任意x＞1恒成立，令g（x）=+2，则g′（x）=，分析得到函数g（x）=+2在（1，x0），上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增（x0∈（3，4））．从而可求k的最大值．【解答】解：（1）h（x）=f（x+1）﹣g′（x）=ln（x+1）﹣x+2，x＞﹣1，所以h′（x）=﹣1=．当﹣1＜x＜0时，h′（x）＞0；当x＞0时，h′（x）＜0．因此，h（x）在（﹣1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减．因此，当x=0时h（x）取得最大值h（0）=2；（2）证明：当0＜b＜a时，﹣1＜＜0，由（1）知：当﹣1＜x＜0时，h（x）＜2，即ln（x+1）＜x．因此，有f（a+b）﹣f（2a）=ln=ln（1+）＜．（3）不等式k（x﹣1）＜xf（x）+3g′（x）+4化为k＜+2所以k＜+2对任意x＞1恒成立．令g（x）=+2，则g′（x）=，令h（x）=x﹣lnx﹣2（x＞1），则h′（x）=1﹣=＞0，所以函数h（x）在（1，+∞）上单调递增．因为h（3）=1﹣ln3＜0，h（4）=2﹣2ln2＞0，所以方程h（x）=0在（1，+∞）上存在唯一实根x0，且满足x0∈（3，4）．当1＜x＜x0时，h（x）＜0，即g′（x）＜0，当x＞x0时，h（x）＞0，即g′（x）＞0，所以函数g（x）=+2在（1，x0），上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．所以[g（x）]min=g（x0）=+2=+2=x0+2∈（5，6）．所以k＜[g（x）]min=x0+2∈（5，6）．故整数k的最大值是5．【点评】本题考查导数在最大值、最小值问题中的应用，考查函数的单调性与最值，考查综合分析与转化、运算的能力，考查构造函数研究函数性质的能力，属于难题．26．（12分）（2014秋•蚌埠校级期中）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c．（1）若a＞b＞c，且f（1）=0，证明f（x）的图象与x轴有2个交点；（2）在（1）的条件下，是否存在m∈R，使得f（m）=﹣a成立时，f（m+3）为正数，若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由；（3）若对x1，x2∈R，且x1＜x2，f（x1）≠f（x2），方程f（x）=[f（x1）+f（x2）]有两个不等实根，证明必有一个根属于（x1，x2）．【分析】（1）由f（1）=0，得a+b+c=0，根据a＞b＞c，可知a＞0，且c＜0，再利用根的判别式可证；（2）由条件知方程的一根为1，另一根满足﹣2＜x2＜0．由于f（m）=﹣a＜0，可知m∈（﹣2，1），从而m+3＞1，根据函数y=f（x）在[1，+∞）上单调递增，可知（m+3）＞0成立．（3）构造函数g（x）=f（x）﹣[f（x1）+f（x2）]，进而证明g（x1）g（x2）＜0，所以方程g（x）=0在（x1，x2）内有一根，故方程f（x）=[f（x1）+f（x2）]必有一根属于（x1，x2）．【解答】解：（1）因为f（1）=0，所以a+b+c=0，又因为a＞b＞c，所以a＞0，且c＜0，因此ac＜0，所以△=b2﹣4ac＞0，因此f（x）的图象与x轴有2个交点．（2）由（1）可知方程f（x）=0有两个不等的实数根，不妨设为x1和x2，因为f（1）=0，所以f（x）=0的一根为x1=1，因为x1+x2=﹣，x1x2=，所以x2=﹣﹣1=，因为a＞b＞c，a＞0，且c＜0，所以﹣2＜x2＜0．因为要求f（m）=﹣a＜0，所以m∈（x1，x2），因此m∈（﹣2，1），则m+3＞1，因为函数y=f（x）在[1，+∞）上单调递增；所以f（m+3）＞f（1）=0成立．（3）构造函数g（x）=f（x）﹣[f（x1）+f（x2）]，则g（x1）=f（x1）﹣[f（x1）+f（x2）]=[f（x1）﹣f（x2）]，g（x2）=f（x2）﹣[f（x1）+f（x2）]=[f（x2）﹣f（x1）]，于是g（x1）g（x2）=[f（x1）﹣f（x2）][f（x2）﹣f（x1）]=﹣[f（x1）﹣f（x2）]2，因为f（x1）≠f（x2），所以g（x1）g（x2）=﹣[f（x1）﹣f（x2）]2＜0，所以方程g（x）=0在（x1，x2）内有一根，即方程f（x）=[f（x1）+f（x2）]必有一根属于（x1，x2）．【点评】本题以二次函数为载体，考查方程根的探求，考查函数值的确定及函数的零点问题，有一定的综合性．。
湖南省衡阳市第八中学高三数学上学期第二次月考试题理
衡阳市八中2017届高三第二次月考数学试题（考试内容：集合与逻辑用语、函数、导数、三角函数） 共150分，考试用时120分钟。
一 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设R b a ∈,,则“4>+b a ”是“2,2>>b a 且”的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件 答案：B2.已知a 函数3()12f x x x =-的极小值点，则a =( ) (A)-16 (B) -2 (C)16 (D)2 【答案】D3.设232555322555a b c ===（）,（），（），则a ， b ，c 的大小关系是（A ）A 、a ＞c ＞bB 、a ＞b ＞cC 、c ＞a ＞bD 、b ＞c ＞a4．函数y=sin(2x+π6 )的图象可看成是把函数y=sin2x 的图象作以下平移得到（ D ）A. 向右平移π6B. 向左平移π6C. 向右平移 π12D. 向左平移 π125．已知函数31(),3(),(2log 2)3(1),3xx f x f f x x ⎧≥⎪=+⎨⎪+<⎩则的值为（ B ）A ．227-B ．154C ．227D ．54-6. 已知函数sin cos 1212y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列判断正确的是（B ） A ．此函数的最小正周期为2π，其图像的一个对称中心是,012π⎛⎫⎪⎝⎭B ．此函数的最小正周期为π，其图像的一个对称中心是,012π⎛⎫⎪⎝⎭ C ．此函数的最小正周期为2π，其图像的一个对称中心是,06π⎛⎫⎪⎝⎭D ．此函数的最小正周期为π，其图像的一个对称中心是,06π⎛⎫⎪⎝⎭7．若316sin =⎪⎭⎫⎝⎛-απ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ232cos = （ A ） A ．97-B ．31- C ．31 D ．978.已知函数()()()f x x a x b =--（其中a b >）的图象如右图所示，则函数()x g x a b =+的图象是（ A )【解析】：由题意得，x a =，x b =为()f x 的零点，由图可知，01a <<，1b <-，∴()g x 的图象可由xy a =向下平移b -个单位得到，∵01a <<，由于1-<b ，1->∴b 故可知A 符合题意，故选A ．9．设12322()log (1)2x ex f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则不等式()2f x >的解集为 （ C ） A ．(1,2)(3,)⋃+∞ B．)+∞C．(1,2))⋃+∞D ．（1，2）10. 已知函数1()()2ln ()f x a x x a R x =--∈，()ag x x=-，若至少存在一个0[1,e]x ∈，使00()()f x g x >成立，则实数a 的范围为( B )A ．[2e ，+∞) B ．(0，+∞) C ．[0，+∞) D ．(2e，+∞)【答案】B11．已知函数()224|log |02151222x x f x x x x <<⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩，若存在实数,,,a b c d 满足()()()()f a f b f c f d ===其中0d c b a >>>>，则abcd 的取值范围是（ B ）. A ．()16,21 B ．()16,24 C ．()17,21 D ．()18,24 【答案】B.1,0log 2=∴=∴ab ab 从而的两根是方程则记,12521,,log 422t x x d c t b =+-=2416,2416,40),12(2<<∴<<∴<<-=abcd cd t t cd 而12．已知定义在R 上的奇函数f (x )的导函数为)(x f '，当x <0时，f （x ）满足()()2 ') (f x xf x xf x +<，则f (x )在R 上的零点个数为( A )A .1B .3C . 5D .1或3【答案】A仅一个零点又时时)(,0)0(.0)()(0.0)(,0x f f x f x f x x f x ∴=>--=>∴<< 二 填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知集合{1,2,3,4},{|32},A B y y x x A ===-∈，则A B =【答案】{1,4}14.以曲线x y 2cos =为曲边的曲边形(如下图阴影部分)面积为45|2sin 21|2sin 212cos 2cos :434412434412=-=-=⎰⎰ππππππππx x xdxxdx S 解15．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)则(0)f 的值是 .解：353(),,241234T T ππππω=--=∴=∴=把5(,2)12π代入，得552sin()22662ππϕπϕ+=⇒+=+2,,3223k k Zππππϕπϕϕ∴=-+∈-<<∴=-()2sin(2(0)2sin()33f x x f ππ∴=-∴=-=16. 已知()f x 为偶函数，当0x ≤ 时，1()x f x ex --=-，则曲线()y f x =在(1,2)处的切线方程式为_____________________________.【答案】2y x = 【解析】试题分析：当0x >时，0x -<，则1()x f x e x --=+．又因为()f x 为偶函数，所以1()()x f x f x e x -=-=+，所以1()1x f x e -'=+，则切线斜率为(1)2f '=，所以切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =．三 解答题: 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. （本小题满分10分）设函数)(),0( )2sin()(x f y x x f =<<-+=ϕπϕ图像的一条对称轴是直线8π=x 。
湖南省衡阳市八中2017届高三第四次月考试卷(数学理)(含答案)word版
衡阳市八中2017届高三第四次月考试卷数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、若1:1,:1p x q x><，则p 是q 的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2、如图是导函数()y f x '=的图像，则下列命题错误的是 （ ） A ．导函数()y f x '=在1x x =处有极小值 B ．导函数()y f x '=在2x x =处有极大值 C ．函数3()y f x x x ==在处有极小值 D ．函数4()y f x x x ==在处有极小值3、已知函数1,0()1,0x f x x x≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，则使方程()x f x m +=有解的实数m 的取值范围是（ ）A ．（1，2）B ．(,2]-∞-C ．(,1)(2,)-∞⋃+∞D ．(,1][2,)-∞⋃+∞4、将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如右图所示，则该几何体的左视图为 （ ）5、已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>> 的一个焦点是圆22680x y x +-+=的圆心,且短轴长为8 ，则椭圆的左顶点为 （ ） A ．(3,0)- B ．(4,0)- C ．(10,0)- D ．(5,0)-6、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2OB a = 2008OA a OC +，且A 、B 、C 三点共线（O 为该直线外一点），则2009S = （ ） A ． 2009 B ．20092C ． 20092D ．20092-7、已知点R t t t P ∈),,(，点M 是圆41)1(22=-+y x 上的动点，点N 是圆 41)2(22=+-y x 上的动点，则||||PM PN -的最大值是 （ ） A ．15-B ．5C ．2D ．18、将面积为2的长方形ABCD 沿对角线AC 折起，使二面角D-AC-B 的大小为α)1800(00<<α，则三棱锥D -ABC 的外接球的体积的最小值是 （ ）A ．328πB ．332πC ．34π D ．与α的值有关的数二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答卷的横线上） 9、设复数z 的共轭复数为z ，若1z i =-（i 为虚数单位）则2zz z+的值为__________ 10、设,0.(),0.x e x g x lnx x ⎧≤=⎨>⎩则1(())2g g =__________11、垂直于直线0162=+-y x ，且与曲线5323-+=x x y 相切的直线的方程是________12、已知0,0,20,a b a b ab >>+-=则a b +的最小值为__________13、已知数列{}n a 中，11a =，且对于任意的正整数,m n 都有m n m n m n a a a a a +=++，则数 列{}n a 的通项公式为__________14、若实数,x y 满足222x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则目标函数22y z x =+的最大值为__________15、对于任意正整数j ，k ，定义,3(1)j k a j k =--，如3,433(41)6a =--=-.对 于任意不小于2的正整数m 、n ，,1,2,3,(,)j j j j n b j n a a a a =++++ 设，(,)S m n =(1,)(2,)(3,)(,)b n b n b n b m n ++++ ，则(1,)b n = ； (2,5)S =__________第Ⅱ卷三、解答题（本大题共7小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16、（本题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，已知sin2C4．(Ⅰ) 求cos C 的值； (Ⅱ) 若△ABC的面积为4，且sin 2 A ＋sin 2B ＝1316sin 2C ，求c 的值．17、（本题满分12分）已知圆1)2(:22=-+y x M ,Q 是x 轴上的动点,QA 、QB 分别切圆M 于B A ,两点（1）求四边形QAMB 的面积的最小值（2）若点Q 的坐标为（1，0），求切线QA 、QB 及直线AB 的方程18、（本题满分12分）如图，圆柱的高为2，底面半径为3,AE 、DF 是圆柱的两条母线，B 、C 是下底面圆周上的两点,已知四边形ABCD 是正方形。
湖南省衡阳八中2017届高三下学期第六次月考数学试卷(理科)Word版含解析
2016-2017学年湖南省衡阳八中高三（下）第六次月考数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知全集U={1，2，3，4，5}，A∩∁U B={1，2}，∁U（A∪B）={4}，则集合B 为（）A．{3}B．{3，5}C．{2，3，5}D．{1，2，3，5}2．在复平面上，复数对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知数列{a n}是等差数列，若a9+3a11＜0，a10•a11＜0，且数列{a n}的前n项和S n有最大值，那么S n取得最大值时n等于（）A．20 B．17 C．19 D．214．设x、y满足约束条件，则z=2x﹣3y的最小值是（）A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣35．若不等式3x2﹣log a x＜0对任意恒成立，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．6．某校在暑假组织社会实践活动，将8名高一年级学生，平均分配甲、乙两家公司，其中两名英语成绩优秀学生不能分给同一个公司；另三名电脑特长学生也不能分给同一个公司，则不同的分配方案有（）A．36种B．38种C．108种D．114种7．已知△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且a=2，b=，则角A=（）A．B．C． D．或8．如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（）A．B．27πC．27πD．9．执行如图所示的程序框图，若输出i的值是9，则判断框中的横线上可以填入的最大整数是（）A．4 B．8 C．12 D．1610．函数y=的图象大致为（）A．B．C．D．11．抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为（）A．B．1 C．D．212．已知函数f（x）是定义在（0，+∞）内的单调函数，且对∀x∈（0，+∞），f[f（x）﹣lnx]=e+1，给出下面四个命题：①不等式f（x）＞0恒成立②函数f（x）存在唯一零点，且x0∈（0，1）③方程f（x）=x有两个根④方程f（x）﹣f′（x）=e+1（其中e为自然对数的底数）有唯一解x0，且x0∈（1，2）其中正确的命题个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二.填空题（每题5分，共20分）13．在等腰△ABC中，CA=CB=6，∠ACB=120°，点M满足=2，则•等于．14．已知展开式的常数项是160，则由曲线y=x2和y=x a围成的封闭图形的面积为．15．已知三棱锥P﹣ABC的所有棱长都相等，现沿PA，PB，PC三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为，则三棱锥P ﹣ABC的体积为．16．若点O和点分别是双曲线（a＞0）的对称中心和左焦点，点P 为双曲线右支上任意一点，则的取值范围为 ．三.解答题（共6题，共70分）17．已知数列{a n }（n ∈N *）的前n 项的S n =n 2． （Ⅰ）求数列{a n }，的通项公式； （Ⅱ）若，记数列{b n }，的前n 项和为T n ，求使成立的最小正整数n 的值．18．如图，已知ACDE 是直角梯形，且ED ∥AC ，平面ACDE ⊥平面ABC ，∠BAC=∠ACD=90°，AB=AC=AE=2，，P 是BC 的中点．（Ⅰ）求证：DP ∥平面EAB ；（Ⅱ）求平面EBD 与平面ABC 所成锐二面角大小的余弦值．19．某校为调查高中生选修课的选修倾向与性别关系，随机抽取50名学生，得到如表的数据表：（Ⅰ）根据表中提供的数据，选择可直观判断“选课倾向与性别有关系”的两种，作为选课倾向的变量的取值，并分析哪两种选择倾向与性别有关系的把握大；（Ⅱ）在抽取的50名学生中，按照分层抽样的方法，从倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的学生中抽取8人进行问卷．若从这8人中任选3人，记倾向“平面几何选讲”的人数减去与倾向“坐标系与参数方程”的人数的差为ξ，求ξ的分布列及数学期望．附：K2=．20．已知椭圆（a＞b＞0）的离心率e=，过点A（0，﹣b）和B（a，0）的直线与原点的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）设F1、F2为椭圆的左、右焦点，过F2作直线交椭圆于P、Q两点，求△PQF1的内切圆半径r的最大值．21．已知函数f（x）=﹣，（x∈R），其中m＞0（Ⅰ）当m=2时，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线的方程；（Ⅱ）若f（x）在（）上存在单调递增区间，求m的取值范围（Ⅲ）已知函数f（x）有三个互不相同的零点0，x1，x2且x1＜x2，若对任意的x ∈[x1，x2]，f（x）＞f（1）恒成立．求m的取值范围．选修4-4．坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：（φ为参数，实数a＞0），曲线C2：（φ为参数，实数b＞0）．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=α（ρ≥0，0≤α≤）与C1交于O、A两点，与C2交于O、B两点．当α=0时，|OA|=1；当α=时，|OB|=2．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求2|OA|2+|OA|•|OB|的最大值．选修4-5．不等式选讲23．已知函数f（x）=|x+1|+|mx﹣1|．（1）若m=1，求f（x）的最小值，并指出此时x的取值范围；（2）若f（x）≥2x，求m的取值范围．2016-2017学年湖南省衡阳八中高三（下）第六次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知全集U={1，2，3，4，5}，A∩∁U B={1，2}，∁U（A∪B）={4}，则集合B 为（）A．{3}B．{3，5}C．{2，3，5}D．{1，2，3，5}【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】利用已知条件求出A∪B，通过A∩∁U B={1，2}，即可求出B．【解答】解：全集U={1，2，3，4，5}，∁U（A∪B）={4}，可得A∪B={1，2，3，5}∵A∩∁U B={1，2}，∴A={1，2，3}，则B={3，5}．故选：B．2．在复平面上，复数对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】求解得到对应点的坐标即可判断选项．【解答】解：复数=+．复数的对应点的坐标（，）在第一象限．故选：A．3．已知数列{a n}是等差数列，若a9+3a11＜0，a10•a11＜0，且数列{a n}的前n项和S n有最大值，那么S n取得最大值时n等于（）A．20 B．17 C．19 D．21【考点】8F：等差数列的性质．【分析】由等差数列的性质和求和公式可得a10＞0，a11＜0，又可得S19=19a10＞0，而S20=10（a10+a11）＜0，进而可得S n取得最小正值时n等于19【解答】解：∵a9+3a11＜0，∴由等差数列的性质可得a9+3a11=a9+a11+2a11=a9+a11+a10+a12=2（a11+a10）＜0，又a10•a11＜0，∴a10和a11异号，又∵数列{a n}的前n项和S n有最大值，∴数列{a n}是递减的等差数列，∴a10＞0，a11＜0，∴S19===19a10＞0∴S20==10（a1+a20）=10（a10+a11）＜0∴S n取得最小正值时n等于19故选：C4．设x、y满足约束条件，则z=2x﹣3y的最小值是（）A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣3【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求出最优解即可求最小值．【解答】解：由z=2x﹣3y得y=，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分ABC）：平移直线y=，由图象可知当直线y=，过点A时，直线y=截距最大，此时z最小，由得，即A（3，4），代入目标函数z=2x﹣3y，得z=2×3﹣3×4=6﹣12=﹣6．∴目标函数z=2x﹣3y的最小值是﹣6．故选：B．5．若不等式3x2﹣log a x＜0对任意恒成立，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．【考点】3R：函数恒成立问题．【分析】构造函数f（x）=3x2，g（x）=﹣log a x．h（x）=f（x）+g（x）（0＜x＜），根据不等式3x2﹣log a x＜0对任意恒成立，可得f（）≤g（），从而可得0＜a＜1且a≥，即可求出实数a的取值范围．【解答】解：构造函数f（x）=3x2，g（x）=﹣log a x，（0＜x＜）∵不等式3x2﹣log a x＜0对任意恒成立，∴f（）≤g（）∴3•﹣log a≤0．∴0＜a＜1且a≥，∴实数a的取值范围为[，1）．故选：A．6．某校在暑假组织社会实践活动，将8名高一年级学生，平均分配甲、乙两家公司，其中两名英语成绩优秀学生不能分给同一个公司；另三名电脑特长学生也不能分给同一个公司，则不同的分配方案有（）A．36种B．38种C．108种D．114种【考点】D3：计数原理的应用．【分析】分类讨论：①甲部门要2个电脑特长学生和一个英语成绩优秀学生；②甲部门要1个电脑特长学生和1个英语成绩优秀学生．分别求得这2个方案的方法数，再利用分类计数原理，可得结论．【解答】解：由题意可得，有2种分配方案：①甲部门要2个电脑特长学生，则有3种情况；英语成绩优秀学生的分配有2种可能；再从剩下的3个人中选一人，有3种方法．根据分步计数原理，共有3×2×3=18种分配方案．②甲部门要1个电脑特长学生，则方法有3种；英语成绩优秀学生的分配方法有2种；再从剩下的3个人种选2个人，方法有33种，共3×2×3=18种分配方案．由分类计数原理，可得不同的分配方案共有18+18=36种，故选A．7．已知△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且a=2，b=，则角A=（）A．B．C． D．或【考点】HP：正弦定理．【分析】由题意和正弦定理求出sinA，由条件、边角关系、特殊角的三角函数值求出角A即可．【解答】解：∵a=2，b=，，∴由正弦定理得，，则sinA===，∵0＜A＜π，a＞b，∴A=或，故选D．8．如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（）A．B．27πC．27πD．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是以俯视图为底面的四棱锥，其外接球等同于棱长为3的正方体的外接球，从而求得答案．【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是以俯视图为底面的四棱锥，其底面是边长为3的正方形，且高为3，其外接球等同于棱长为3的正方体的外接球，所以外接球半径R满足：2R==，所以外接球的表面积为S=4πR2=27π．故选：B．9．执行如图所示的程序框图，若输出i的值是9，则判断框中的横线上可以填入的最大整数是（）A．4 B．8 C．12 D．16【考点】EF：程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，i的值，当S=16，i=9时，不满足条件，退出循环，输出i的值为9，则判断框中的横线上可以填入的最大整数为：16【解答】解：模拟执行程序框图，可得i=1S=0满足条件，S=1，i=3满足条件，S=4，i=5满足条件，S=9，i=7满足条件，S=16，i=9由题意，此时，不满足条件，退出循环，输出i的值为9，则判断框中的横线上可以填入的最大整数为：16，故选：D．10．函数y=的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】3O：函数的图象．【分析】根据函数的定义域，特殊点的函数值符号，以及函数的单调性和极值进行判断即可．【解答】解：由lnx≠0得，x＞0且x≠1，当0＜x＜1时，lnx＜0，此时y＜0，排除B，C，函数的导数f′（x）=，由f′（x）＞0得lnx＞1，即x＞e此时函数单调递增，由f′（x）＜0得lnx＜1且x≠1，即0＜x＜1或1＜x＜e，此时函数单调递减，故选：D．11．抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为（）A．B．1 C．D．2【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF．由抛物线定义得2|MN|=a+b，由余弦定理可得|AB|2=（a+b）2﹣ab，进而根据基本不等式，求得|AB|的取值范围，从而得到本题答案．【解答】解：设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．由余弦定理得，|AB|2=a2+b2﹣2abcos120°=a2+b2+ab配方得，|AB|2=（a+b）2﹣ab，又∵ab≤（）2，∴（a+b）2﹣ab≥（a+b）2﹣（a+b）2=（a+b）2得到|AB|≥（a+b）．所以≤=，即的最大值为．故选：A12．已知函数f（x）是定义在（0，+∞）内的单调函数，且对∀x∈（0，+∞），f[f（x）﹣lnx]=e+1，给出下面四个命题：①不等式f（x）＞0恒成立②函数f（x）存在唯一零点，且x0∈（0，1）③方程f（x）=x有两个根④方程f（x）﹣f′（x）=e+1（其中e为自然对数的底数）有唯一解x0，且x0∈（1，2）其中正确的命题个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】依题意，知f（x）﹣lnx为常数，设为m，即f（x）﹣lnx=m，可求得m=e，于是f（x）=lnx+e．对于①，f（x）=lnx+e的值域为R，可知不等式f（x）＞0恒成立错误；对于②，由f（x）=lnx+e=0解得：x=e﹣e∈（0，1），结合函数f（x）的单调性，可判断②正确；对于③，构造函数g（x）=f（x）﹣x=lnx﹣x+e，利用导数可判断方程f（x）=x 有两个根，③正确；对于④，可分析出方程f（x）﹣f′（x）=e+1（其中e为自然对数的底数）有唯一解x0，但x0∈（e，e2），可判断④错误．【解答】解：∵函数f（x）在（0，+∞）内为单调函数，且对∀x∈（0，+∞），f[f（x）﹣lnx]=e+1，∴f（x）﹣lnx为常数，设为m，即f（x）﹣lnx=m，则f（m）=e+1．又f（m）﹣lnm=m，即f（m）=lnm+m，∴m=e．∴f（x）=lnx+e．对于①，∵f（x）=lnx+e的值域为R，故不等式f（x）＞0不恒成立，即①错误；对于②，由f（x）=lnx+e=0解得：x=e﹣e∈（0，1），又x＞0，f′（x）=＞0，故f（x）=lnx+e在（0，+∞）上单调递增，∴函数f（x）存在唯一零点x0，且x0∈（0，1），故②正确；对于③，令g（x）=f（x）﹣x=lnx﹣x+e，则g′（x）=﹣1=，当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，g（x）=lnx﹣x+e单调递增；当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）=lnx﹣x+e单调递减；∴当x=1时，g（x）=lnx﹣x+e取得最大值e﹣1＞0，又当x→0+时，g（x）→﹣∞，当x→+∞时，g（x）→﹣∞，∴g（x）=lnx﹣x+e有两个零点，即方程f（x）=x有两个根，故③正确；对于④，方程f（x）﹣f′（x）=e+1可化为：lnx+e﹣=e+1，即lnx﹣﹣1=0，∵h（x）=lnx﹣﹣1在（0，+∞）上单调递增，且h（1）=﹣2＜0，h（2）=ln2﹣＜0，h（e）=﹣＜0，h（e2）=1﹣＞0，∴函数h（x）=lnx﹣﹣1有唯一零点，即方程f（x）﹣f′（x）=e+1有唯一解x0，且x0∈（e，e2），而不是（1，2），故④错误．综上所述，正确的命题个数为2个，故选：B．二.填空题（每题5分，共20分）13．在等腰△ABC中，CA=CB=6，∠ACB=120°，点M满足=2，则•等于0．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】由向量加法的三角形法则得出=+，再利用向量数量积的运算性质求出结果．【解答】解：等腰△ABC中，CA=CB=6，∠ACB=120°，且=2，∴=+=+（﹣）=+，∴•=（+）•=•+=×6×6×cos120°+×62=0．故答案为：0．14．已知展开式的常数项是160，则由曲线y=x2和y=x a围成的封闭图形的面积为．【考点】6G：定积分在求面积中的应用．【分析】首先通过二项展开式求出a，然后利用定积分表示封闭图形的面积．【解答】解：因为展开式的常数项是160，所以=160，解得a=，所以由曲线y=x2和y=x a围成的封闭图形的面积为S===，故答案为．15．已知三棱锥P﹣ABC的所有棱长都相等，现沿PA，PB，PC三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为，则三棱锥P﹣ABC的体积为．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据展开图的形状计算棱锥的棱长，得出棱锥的高，代入棱锥的体积公式计算即可．【解答】解：设正三棱锥的棱长为a，则a+a•=，解得a=．∴棱锥的高为=，∴棱锥的体积V==．故答案为．16．若点O和点分别是双曲线（a＞0）的对称中心和左焦点，点P为双曲线右支上任意一点，则的取值范围为（1，（1，] ．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的焦点坐标，求出a的值，设P（x，y），利用距离公式进行转化求解即可．【解答】解：∵点O和点分别是双曲线（a＞0）的对称中心和左焦点，∴c=，则c2=a2+1=3，则a2=2，即双曲线方程为x2﹣y2=1，设P（x，y），则x≥，则==1+（+）=，∵x≥，∴=时，取得最大值为，故的取值范围为（1，]，故答案为（1，]．三.解答题（共6题，共70分）17．已知数列{a n}（n∈N*）的前n项的S n=n2．（Ⅰ）求数列{a n}，的通项公式；（Ⅱ）若，记数列{b n}，的前n项和为T n，求使成立的最小正整数n的值．【考点】84：等差数列的通项公式；8K：数列与不等式的综合．【分析】（Ⅰ）当n≥2时根据a n=S n﹣S n﹣1求通项公式，a1=S1=1符合上式，从而求出通项公式．，（II）由（I）求得的a n求出b n，利用裂项求和方法求出数列{b n}的前n项和为T n，解不等式求得最小的正整数n．【解答】解：（Ⅰ）∵S n=n2=（n﹣1）2当n≥2时，S n﹣1∴相减得：a n=S n﹣S n﹣1=2n﹣1又a1=S1=1符合上式∴数列{a n}，的通项公式a n=2n﹣1（II）由（I）知∴T n=b1+b2+b3++b n==又∵∴∴成立的最小正整数n的值为518．如图，已知ACDE是直角梯形，且ED∥AC，平面ACDE⊥平面ABC，∠BAC=∠ACD=90°，AB=AC=AE=2，，P是BC的中点．（Ⅰ）求证：DP∥平面EAB；（Ⅱ）求平面EBD与平面ABC所成锐二面角大小的余弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（I）取AB的中点F，连接PF，EF．利用三角形的中位线定理可得．再利用已知条件和平行四边形的判定定理可得四边形EFPD是平行四边形，可得PD∥EF．利用线面平行的判定定理即可得出；（II）通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角．【解答】（I）证明：取AB的中点F，连接PF，EF．又∵P是BC的中点，∴．∵，ED∥AC，∴，∴四边形EFPD是平行四边形，∴PD∥EF．而EF⊂平面EAB，PD⊄平面EAB，∴PD∥平面EAB．（II）∵∠BAC=90°，平面ACDE⊥平面ABC，∴BA⊥平面ACDE．以点A为坐标原点，直线AB为x轴，AC为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则z轴在平面EACD内．则A（0，0，），B（2，0，0），，．∴，．设平面EBD的法向量，由，得，取z=2，则，y=0．∴．可取作为平面ABC的一个法向量，∴===．即平面EBD与平面ABC所成锐二面角大小的余弦值为．19．某校为调查高中生选修课的选修倾向与性别关系，随机抽取50名学生，得到如表的数据表：（Ⅰ）根据表中提供的数据，选择可直观判断“选课倾向与性别有关系”的两种，作为选课倾向的变量的取值，并分析哪两种选择倾向与性别有关系的把握大； （Ⅱ）在抽取的50名学生中，按照分层抽样的方法，从倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的学生中抽取8人进行问卷．若从这8人中任选3人，记倾向“平面几何选讲”的人数减去与倾向“坐标系与参数方程”的人数的差为ξ，求ξ的分布列及数学期望． 附：K 2=．【考点】BO：独立性检验的应用．【分析】（Ⅰ）利用K2=，求出K2，与临界值比较，即可得出结论；（Ⅱ）倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的学生人数的比例为20：12=5：3，从中抽取8人进行问卷，人数分别为5，3，由题意，ξ=﹣3，﹣1，1，3，求出相应的概率，即可求ξ的分布列及数学期望．【解答】解：（Ⅰ）选倾向“坐标系与参数方程”与倾向“不等式选讲”，k=0，所以这两种选择与性别无关；选倾向“坐标系与参数方程”与倾向“平面几何选讲”，K2=≈6.969＞6.635，∴有99%的把握认为选倾向“坐标系与参数方程”与倾向“平面几何选讲”与性别有关；选倾向“平面几何选讲”与倾向“不等式选讲”，K2=≈8.464＞7.879，∴有99.5%的把握认为选倾向“平面几何选讲与倾向“不等式选讲”与性别有关，综上所述，选倾向“平面几何选讲与倾向“不等式选讲”与性别有关的把握最大；（Ⅱ）倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的学生人数的比例为20：12=5：3，从中抽取8人进行问卷，人数分别为5，3，由题意，ξ=﹣3，﹣1，1，3，则P（ξ=﹣3）==，P（ξ=﹣1）==，P（ξ=1）==，P（ξ=1）==，ξ的分布列数学期望Eξ=（﹣3）×+（﹣1）×+1×+3×=．20．已知椭圆（a＞b＞0）的离心率e=，过点A（0，﹣b）和B（a，0）的直线与原点的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）设F1、F2为椭圆的左、右焦点，过F2作直线交椭圆于P、Q两点，求△PQF1的内切圆半径r的最大值．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题；K3：椭圆的标准方程．【分析】（1）设出直线的方程，利用直线的截距式写出直线的方程，利用点到直线的距离公式列出关于a，b，c的等式，再利用椭圆的离心率公式得到关于a，b，c的方程组，求出a，b，c的值即得到椭圆的方程．（2）设出直线方程，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理得到关于交点坐标的关系，写出△PQF1的面积并求出最大值，再将面积用外接圆的半径表示，求出半径的最大值．【解答】解：（1）直线AB 的方程为，即bx﹣ay﹣ab=0由题意得=，①∵②a2=b2+c2③解得∴椭圆的方程为（2）设PQ：x=ty+代入并整理得设P（x1，y1），Q（x2，y2）则，∴==当即t2=1时，∴又∴∴21．已知函数f（x）=﹣，（x∈R），其中m＞0（Ⅰ）当m=2时，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线的方程；（Ⅱ）若f（x）在（）上存在单调递增区间，求m的取值范围（Ⅲ）已知函数f（x）有三个互不相同的零点0，x1，x2且x1＜x2，若对任意的x ∈[x1，x2]，f（x）＞f（1）恒成立．求m的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）当m=2时，f（x）=x3+x2+3x，通过求导得出斜率k的值，从而求出切线方程；（Ⅱ）只需f′（）＞0即可，解不等式求出即可；（Ⅲ）由题设可得，由判别式△＞0，求出m的范围，对任意的x∈[x1，x2]，f（x）＞f（1）恒成立的充要条件是，从而综合得出m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当m=2时，f（x）=x3+x2+3x，∴f′（x）=﹣x2+2x+3，故k=f′（3）=0，又∵f（3）=9，∴曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程为：y=9，（Ⅱ）若f（x）在（）上存在单调递增区间，即存在某个子区间（a，b）⊂（，+∞）使得f′（x）＞0，∴只需f′（）＞0即可，f′（x）=﹣x2+2x+m2﹣1，由f′（）＞0解得m＜﹣或m＞，由于m＞0，∴m＞．（Ⅲ）由题设可得，∴方程有两个相异的实根x1，x2，故x1+x2=3，且解得：（舍去）或，∵x1＜x2，所以2x2＞x1+x2=3，∴，若x1≤1＜x2，则，而f（x1）=0，不合题意．若1＜x1＜x2，对任意的x∈[x1，x2]，有x＞0，x﹣x1≥0，x﹣x2≤0，则，又f（x1）=0，所以f（x）在[x1，x2]上的最小值为0，于是对任意的x∈[x1，x2]，f（x）＞f（1）恒成立的充要条件是，解得；综上，m的取值范围是．选修4-4．坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：（φ为参数，实数a＞0），曲线C2：（φ为参数，实数b＞0）．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=α（ρ≥0，0≤α≤）与C1交于O、A两点，与C2交于O、B两点．当α=0时，|OA|=1；当α=时，|OB|=2．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求2|OA|2+|OA|•|OB|的最大值．【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（I）由曲线C1：（φ为参数，实数a＞0），利用cos2φ+sin2φ=1即可化为普通方程，再利用极坐标与直角坐标互化公式即可得出极坐标方程，进而得出a的值．同理可得b的值．（II）由（I）可得C1，C2的方程分别为ρ=cosθ，ρ=2sinθ．可得2|OA|2+|OA|•|OB|=2cos2θ+2sinθcosθ=+1，利用三角函数的单调性与值域即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由曲线C1：（φ为参数，实数a＞0），化为普通方程为（x﹣a）2+y2=a2，展开为：x2+y2﹣2ax=0，其极坐标方程为ρ2=2aρcosθ，即ρ=2acosθ，由题意可得当θ=0时，|OA|=ρ=1，∴a=．曲线C2：（φ为参数，实数b＞0），化为普通方程为x2+（y﹣b）2=b2，展开可得极坐标方程为ρ=2bsinθ，由题意可得当时，|OB|=ρ=2，∴b=1．（Ⅱ）由（I）可得C1，C2的方程分别为ρ=cosθ，ρ=2sinθ．∴2|OA|2+|OA|•|OB|=2cos2θ+2sinθcosθ=sin2θ+cos2θ+1=+1，∵2θ+∈，∴+1的最大值为+1，当2θ+=时，θ=时取到最大值．选修4-5．不等式选讲23．已知函数f（x）=|x+1|+|mx﹣1|．（1）若m=1，求f（x）的最小值，并指出此时x的取值范围；（2）若f（x）≥2x，求m的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法；R4：绝对值三角不等式．【分析】（1）根据绝对值的意义求出x的范围即可；（2）问题转化为|mx﹣1|≥x﹣1，结合函数的性质得到关于m的不等式，解出即可．【解答】解：（1）f（x）=|x+1|+|x﹣1|≥|（x+1）﹣（x﹣1）|=2，当且仅当（x+1）（x﹣1）≤0时取等号．故f（x）的最小值为2，此时x的取值范围是[﹣1，1]．…（2）x≤0时，f（x）≥2x显然成立，所以此时m∈R；x＞0时，由f（x）=x+1+|mx﹣1|≥2x得|mx﹣1|≥x﹣1，由y=|mx﹣1|及y=x﹣1的性质可得|m|≥1且≤1，解得m≥1，或m≤﹣1．综上所述，m的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）．…2017年5月29日。
湖南省衡阳八中2017届高三上学期第四次月考试题 数学(理) 含答案
衡阳市八中2017届高三第四次月考试题卷理科数学(考试内容：集合与简易逻辑、函数、导数、三角函数、向量、复数、数列、不等式、推理与证明)命题人:蒋金元、郭端香审题人：赵永益考生注意：本试卷满分150分，考试用时120分钟。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．a为正实数，i为虚数单位，a i=2,则a=（)A．2 B3C2D．1 2．已知集合M＝｛1，2，3，4｝，则集合P＝{x|x∈M，且2x∉M}的子集的个数为( )A．8 B．4 C．3 D．23．下列关于命题的说法错误的是( ）A．命题“若x2﹣3x+2=0,则x=2"的逆否命题为“若x≠2，则x2﹣3x+2≠0”B．“a=3”是“函数f（x）=log a x在定义域上为增函数”的充分不必要条件C．若命题p：∃n∈N，3n＞100，则￢p：∀n∈N，3n≤100 D．命题“∃x∈（﹣∞，0），3x＜5x”是真命题4．已知数列{a n}是等比数列，且a3=1，a5a6a7=8，则a9=（）A．2 B．4 C．6 D．85．已知212sin 2cos 1=+αα,则=αtan （) A ．2 B ．3 C ．21D ．316．已知公差不为0的等差数列{}na 满足134a ,a ,a 成等比数列，nS 为数列{}na 的前n 项和，则3253SS S S --的值为（ ）A ．2- B ．3- C ．2D ．37．已知3sin 5ϕ=，且(,)2πϕπ∈,函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于2π，则()4f π的值为（ ） A ．35-B ．45-C ．35D ．458．已知函数()log (4)1a f x x (0,1)a a的图像恒过定点A ，若直线2-=+ny mx （,0m n）也经过点A ，则3m+n 的最小值为( ）A ．16B ．8C ．26611+ D ．149．已知：函数())20162016log 20162xx f x x -=+-+，则关于x 的不等式()()314f x f x ++>的解集为（）A ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．()0,+∞D ．(),0-∞ 10．设m ＞1，在约束条件1y xy mx x y 下，目标函数z=x+my 的最大值小于2，则m 的取值范围为（ ） A ．（1，12）B ．（12，) C ．（1，3) D ．（3，)11．已知函数22 x 0()2 x<0x f x x x 则不等式(())3 f f x 的解集为(）A. (-,1]B.(-,2]∞∞∞12．设函数()f x 在R 上存在导数()f x ，对任意的x∈R，有2()()f x f x x ,且(0,)()xf x x 时，．若(2)()22f a f a a ，则实数a 的取值范围为（）A ．[1,)B ．(,1]C ．(,2]D ．[2,)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上） 13．已知a =4，b =2，且2a b=a 与b 的夹角为___________.14．已知222,,,238,49a b cR a b ca b c 则的最小值为___________.15。
2017年湖南省衡阳八中高考数学二模试卷及答案(理科)
2017年湖南省衡阳八中高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，集合B={x|2x+1＞1}，则∁B A=（）A．[3，+∞）B．（3，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）2．（5分）已知i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人第4天和第5天共走了（）A．60里B．48里C．36里D．24里4．（5分）设实数x，y满足约束条件，则当z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最小值2时，则的最小值是（）A．B．C．D．25．（5分）已知非零常数α是函数y=x+tanx的一个零点，则（α2+1）（1+cos2α）的值为（）A．2 B．C．D．6．（5分）己知函数f（x）是定义在R上的偶函数，f（x+1）为奇函数，f（0）=0，当x∈（0，1]时，f（x）=log2x，则在区间（8，9）内满足方f（x）程f（x）+2=f（）的实数x为（）A．B．C．D．7．（5分）已知A、B、C是圆O上的三个点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆外一点．若，其中m，n∈R．则m+n的取值范围是（）A．（0，1） B．（﹣1，0）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）8．（5分）已知函数f（x）=，若存在实数x1，x2，x3，x4满足f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4），其中x1＜x2＜x3＜x4，则x1x2x3x4取值范围是（）A．（60，96）B．（45，72）C．（30，48）D．（15，24）9．（5分）利用如图算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点在圆x2+y2=25内的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．510．（5分）祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是，如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．此即祖暅原理．利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行相距为h（0＜h＜2）的平面截该几何体，则截面面积为（）A．4πB．πh2C．π（2﹣h）2D．π（4﹣h2）11．（5分）已知f（x）是定义域为（0，+∞）的单调函数，若对任意的x∈（0，+∞），都有，且方程|f（x）﹣3|=x3﹣6x2+9x﹣4+a在区间（0，3]上有两解，则实数a的取值范围是（）A．0＜a≤5 B．a＜5 C．0＜a＜5 D．a≥512．（5分）已知F1、F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，）B．（，+∞） C．（，2）D．（2，+∞）二.填空题（每题5分，共20分）13．（5分）已知数列{a n}是无穷等比数列，它的前n项的和为S n，该数列的首项是二项式展开式中的x的系数，公比是复数的模，其中i是虚数单位，则=．14．（5分）已知三棱锥A﹣BCD中，AB⊥面BCD，△BCD为边长为2的正三角形，AB=2，则三棱锥的外接球体积为．15．（5分）△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，则：①若cosBcosC＞sinBsinC，则△ABC一定是钝角三角形；②若acosA=bcosB，则△ABC为等腰三角形；③，，若，则△ABC为锐角三角形；④若O为△ABC的外心，；⑤若sin2A+sin2B=sin2C，，以上叙述正确的序号是．16．（5分）我国古代数学家祖暅提出原理：“幂势既同，则积不容异”．其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高．原理的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被任一平行于这两个平行平面的平面所截，若所截的两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积相等．如图所示，在空间直角坐标系xOy平面内，若函数f（x）=的图象与x轴围成一个封闭的区域A，将区域A沿z轴的正方向平移4个单位，得到几何体如图一，现有一个与之等高的圆柱如图二，其底面积与区域A的面积相等，则此圆柱的体积为．三.解答题（共8题，共70分）17．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，S n=2a n+1，其中S n为{a n}的前n项和（n∈N*）．（Ⅰ）求S1，S2及数列{S n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足，且{b n}的前n项和为T n，求证：当n≥2时，．18．（12分）根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定：居民区PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．我市环保局随机抽取了一居民区2016年20天PM2.5的24小时平均浓度（单位：微克/立方米）的监测数据，数据统计如表：（1）将这20天的测量结果按上表中分组方法绘制成的样本频率分布直方图如图．①求频率分布直方图中a的值；②求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境质量是否需要改善？并说明理由．（2）将频率视为概率，对于2016年的某3天，记这3天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为X，求X的分布列．19．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，BC ⊥CD，平面SCD⊥平面ABCD，SC=SD=CD=AD=2AB，M，N分别为SA，SB的中点，E为CD中点，过M，N作平面MNPQ分别与BC，AD交于点P，Q，若=t．（1）当t=时，求证：平面SAE⊥平面MNPQ；（2）是否存在实数t，使得二面角M﹣PQ﹣A的平面角的余弦值为？若存在，求出实数t的值；若不存在，说明理由．20．（12分）已知A，B分别为椭圆C：+=1（a＞b＞0）在x轴正半轴，y 轴正半轴上的顶点，原点O到直线AB的距离为，且|AB|=．（1）求椭圆C的离心率；（2）直线l：y=kx+m（﹣1≤k≤2）与圆x2+y2=2相切，并与椭圆C交于M，N两点，求|MN|的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=﹣（x为实常数）．（1）当a=1时，求函数φ（x）=f（x）﹣g（x）在x∈[4，+∞）上的最小值；（2）若方程e2f（x）=g（x）（其中e=2.71828…）在区间[]上有解，求实数a 的取值范围．[选修4-4坐标系与参数方程]22．（10分）以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程为，（t为参数，0＜θ＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣2cosθ=0．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当θ变化时，求|AB|的最小值．[选修4-5不等式选讲]23．设函数f（x）=|x﹣a|+3x，其中a＞0．（Ⅰ）当a=2时，求不等式f（x）≥3x+2的解集；（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．2017年湖南省衡阳八中高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2014•红桥区二模）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，集合B={x|2x+1＞1}，则∁B A=（）A．[3，+∞）B．（3，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）【解答】解：A={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，B={x|2x+1＞1}={x|x＞﹣1}，C B A=[3，+∞）．故选A．2．（5分）（2016•普宁市校级学业考试）已知i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：由=，则复数在复平面内对应的点的坐标为：（﹣1，﹣1），位于第三象限．故选：C．3．（5分）（2017•凉山州模拟）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人第4天和第5天共走了（）A．60里B．48里C．36里D．24里【解答】解：记每天走的路程里数为{a n}，可知{a n}是公比q=的等比数列，由S6=378，得S6=，解得：a1=192，∴，此人第4天和第5天共走了24+12=36里．故选：C．4．（5分）（2017•雁峰区校级二模）设实数x，y满足约束条件，则当z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最小值2时，则的最小值是（）A．B．C．D．2【解答】解：画出可行域如图，由得到H（1，1），∵当a＞0，b＞0，所以z在H（1，1）处取得最小值，故a+b=2，∴，所以的最小值是2；故选D．5．（5分）（2017•雁峰区校级二模）已知非零常数α是函数y=x+tanx的一个零点，则（α2+1）（1+cos2α）的值为（）A．2 B．C．D．【解答】解：由题意非零常数α是函数y=x+tanx的一个零点，可得，tanα=﹣α，可得（α2+1）•（1+cos2α）=（1+tan2α）（2cos2α）=2（cos2α ）×（+1）=2．故选：A．6．（5分）（2017•泰安一模）己知函数f（x）是定义在R上的偶函数，f（x+1）为奇函数，f（0）=0，当x∈（0，1]时，f（x）=log2x，则在区间（8，9）内满足方f（x）程f（x）+2=f（）的实数x为（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（x+1）为奇函数，即f（x+1）=﹣f（﹣x+1），即f（x）=﹣f（2﹣x）．当x∈（1，2）时，2﹣x∈（0，1），∴f（x）=﹣f（2﹣x）=﹣log2（2﹣x）．又f（x）为偶函数，即f（x）=f（﹣x），于是f（﹣x）=﹣f（﹣x+2），即f（x）=﹣f（x+2）=f（x+4），故f（x）是以4为周期的函数．∵f（1）=0，∴当8＜x≤9时，0＜x﹣8≤1，f（x）=f（x﹣8）=log2（x﹣8）．由f（）=﹣1，f（x）+2=f（）可化为log2（x﹣8）+2=﹣1，得x=．故选：D．7．（5分）（2017•雁峰区校级二模）已知A、B、C是圆O上的三个点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆外一点．若，其中m，n∈R．则m+n 的取值范围是（）A．（0，1） B．（﹣1，0）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）【解答】解：∵|OC|=|OB|=|OA|，，∴1=m2+n2+2mncos∠AOB当∠AOB=60°时，m2+n2+mn=1，m＜0，n＞0，即（m+n）2﹣mn=1，即（m+n）2=1+mn＜1，所以（m+n）2＜1，∴﹣1＜m+n＜1，当，趋近射线OD，由平行四边形法则=+=m+n，此时显然m＜0，n＞0，且|m|＞|n|，∴m+n＜0，所以m+n的取值范围（﹣1，0）．故选B．8．（5分）（2016•长宁区二模）已知函数f（x）=，若存在实数x1，x2，x3，x4满足f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4），其中x1＜x2＜x3＜x4，则x1x2x3x4取值范围是（）A．（60，96）B．（45，72）C．（30，48）D．（15，24）【解答】解：函数f（x）的图象如下图所示：若满足f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4），其中x1＜x2＜x3＜x4，则0＜x1＜1，1＜x1＜3，则log3x1=﹣log3x2，即log3x1+log3x2=log3x1x2=0，则x1x2=1，同时x3∈（3，6），x4∈（12，15），∵x3，x4关于x=9对称，∴=9，则x3+x4=18，则x4=18﹣x3，则x1x2x3x4=x3x4=x3（18﹣x3）=﹣x32+18x3=﹣（x3﹣9）2+81，∵x3∈（3，6），∴x3x4∈（45，72），即x1x2x3x4∈（45，72），故选：B．9．（5分）（2017•洛阳三模）利用如图算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点在圆x2+y2=25内的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：由程序框图知，i=6时，打印第一个点（﹣3，6），在圆x2+y2=25外，i=5时，打印第二个点（﹣2，5），在圆x2+y2=25外，i=4时，打印第三个点（﹣1，4），在圆x2+y2=25内，i=3时，打印第四个点（0，3），在圆x2+y2=25内，i=2时，打印第五个点（1，2），在圆x2+y2=25内，i=1时，打印第六个点（2，1），在圆x2+y2=25内，∴打印的点在圆x2+y2=25内有4个．故选：C．10．（5分）（2017•洛阳三模）祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是，如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．此即祖暅原理．利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行相距为h （0＜h＜2）的平面截该几何体，则截面面积为（）A．4πB．πh2C．π（2﹣h）2D．π（4﹣h2）【解答】解：由已知得到几何体为一个圆柱挖去一个圆锥，底面半径为2高为2，截面为圆环，小圆半径为r，大圆半径为2，设小圆半径为r，则，得到r=h，所以截面圆环的面积为4π﹣πh2=π（4﹣h2）；故选D．11．（5分）（2017•上饶一模）已知f（x）是定义域为（0，+∞）的单调函数，若对任意的x∈（0，+∞），都有，且方程|f（x）﹣3|=x3﹣6x2+9x﹣4+a在区间（0，3]上有两解，则实数a的取值范围是（）A．0＜a≤5 B．a＜5 C．0＜a＜5 D．a≥5【解答】解：∵定义域为（0，+∞）的单调函数f（x）满足f[f（x）+log x]=4，∴必存在唯一的正实数a，满足f（x）+log x=a，f（a）=4，①∴f（a）+log a=a，②由①②得：4+log a=a，log a=a﹣4，a=（）a﹣4，左增，右减，有唯一解a=3，故f（x）+log x=a=3，f（x）=3﹣log x，由方程|f（x）﹣3|=x3﹣6x2+9x﹣4+a在区间（0，3]上有两解，即有|log x|=x3﹣6x2+9x﹣4+a，由g（x）=x3﹣6x2+9x﹣4+a，g′（x）=3x2﹣12x+9=3（x﹣1）（x﹣3），当1＜x＜3时，g′（x）＜0，g（x）递减；当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）递增．g（x）在x=1处取得最大值a，g（0）=a﹣4，g（3）=a﹣4，分别作出y=|log x|，和y=x3﹣6x2+9x﹣4的图象，可得两图象只有一个交点，将y=x3﹣6x2+9x﹣4的图象向上平移，至经过点（3，1），有两个交点，由g（3）=1即a﹣4=1，解得a=5，当0＜a≤5时，两图象有两个交点，即方程|f（x）﹣3|=x3﹣6x2+9x﹣4+a在区间（0，3]上有两解．故选：A．12．（5分）（2015•江西校级一模）已知F1、F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，）B．（，+∞） C．（，2）D．（2，+∞）【解答】解：双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x，不妨设过点F2与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为y=（x﹣c），与y=﹣x联立，可得交点M（，﹣），∵点M在以线段F1F2为直径的圆外，∴|OM|＞|OF2|，即有＞c2，∴b2＞3a2，∴c2﹣a2＞3a2，即c＞2a．则e=＞2．∴双曲线离心率的取值范围是（2，+∞）．故选：D．二.填空题（每题5分，共20分）13．（5分）（2017•奉贤区二模）已知数列{a n}是无穷等比数列，它的前n项的和为S n，该数列的首项是二项式展开式中的x的系数，公比是复数的模，其中i是虚数单位，则=70．【解答】解：由题意，该数列的首项是二项式展开式中的x的系数=35，公比是复数的模，∴==70，故答案为70．14．（5分）（2017•雁峰区校级二模）已知三棱锥A﹣BCD中，AB⊥面BCD，△BCD为边长为2的正三角形，AB=2，则三棱锥的外接球体积为π．【解答】解：根据已知中底面△BCD是边长为2的正三角形，AB⊥面BCD，可得此三棱锥外接球，即为以△BCD为底面以AB为高的正三棱柱的外接球∵△BCD是边长为2的正三角形，∴△BCD的外接圆半径r=，球心到△BCD的外接圆圆心的距离d=1故球的半径R==，∴三棱锥的外接球体积为=π．故答案为：π．15．（5分）（2017•雁峰区校级二模）△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，则：①若cosBcosC＞sinBsinC，则△ABC一定是钝角三角形；②若acosA=bcosB，则△ABC为等腰三角形；③，，若，则△ABC为锐角三角形；④若O为△ABC的外心，；⑤若sin2A+sin2B=sin2C，，以上叙述正确的序号是①③④⑤．【解答】解：①若cosBcosC＞sinBsinC，则cosBcosC﹣sinBsinC=cos（B+C）＞0，即﹣cosA＞0，cosA＜0，则∠A为钝角，故△ABC一定是钝角三角形，正确．②若acosA=bcosB，则由正弦定理得2rsinAcosA=2rsinBcosB，即sin2A=sin2B，则2A=2B或2A+2B=180，即A=B或A+B=90°，则△ABC为等腰三角形或直角三角形，错误；③，，则=tanA+tanB+tanC=（1﹣tanAtanB）tan（A+B）+tanC＞0tan（A+B）+tanC＞tanAtanBtan（A+B）⇒0＞tanAtanBtan（A+B）∴必有A+B＞，且A，B都为锐角∴C也必为锐角，∴△ABC为锐角三角形，正确，④O为△ABC的外心，•=•（﹣）=•﹣•，=||•||cos＜，＞﹣||•||•cos＜，＞=||2﹣||2=（b2﹣c2），正确，⑤若sin2A+sin2B=sin2C，则由正弦定理得a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形，∴（﹣）•（﹣）=0，∴﹣•（+）+=0，∴=﹣2，∵﹣=+，∴2=2+2+2，∴52=2+2，即结论成立．故答案为①③④⑤．16．（5分）（2017•衡阳二模）我国古代数学家祖暅提出原理：“幂势既同，则积不容异”．其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高．原理的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被任一平行于这两个平行平面的平面所截，若所截的两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积相等．如图所示，在空间直角坐标系xOy平面内，若函数f（x）=的图象与x轴围成一个封闭的区域A，将区域A沿z轴的正方向平移4个单位，得到几何体如图一，现有一个与之等高的圆柱如图二，其底面积与区域A的面积相等，则此圆柱的体积为π+4．【解答】解：由题意，函数f（x）=的图象与x轴围成一个封闭的区域A的面积为π+=π+1，∴此圆柱的体积为4（π+1）=π+4，故答案为：π+4．三.解答题（共8题，共70分）17．（12分）（2017•雁峰区校级二模）已知数列{a n}满足a1=1，S n=2a n+1，其中S n为{a n}的前n项和（n∈N*）．（Ⅰ）求S1，S2及数列{S n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足，且{b n}的前n项和为T n，求证：当n≥2时，．【解答】解：（Ⅰ）数列{a n}满足S n=2a n+1，则S n=2a n+1=2（S n+1﹣S n），即3S n=2S n+1，∴，即数列{S n}为以1为首项，以为公比的等比数列，∴S n=（）n﹣1（n∈N*）．∴S1=1，S2=；（Ⅱ）在数列{b n}中，，T n为{b n}的前n项和，则|T n|=|=．而当n≥2时，，即．18．（12分）（2017•雁峰区校级二模）根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定：居民区PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．我市环保局随机抽取了一居民区2016年20天PM2.5的24小时平均浓度（单位：微克/立方米）的监测数据，数据统计如表：（1）将这20天的测量结果按上表中分组方法绘制成的样本频率分布直方图如图．①求频率分布直方图中a的值；②求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境质量是否需要改善？并说明理由．（2）将频率视为概率，对于2016年的某3天，记这3天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为X，求X的分布列．【解答】解：（1）①由第四组的频率为1﹣（0.006+0.024+0.006）×25=0.1，得25a=0.1，解得a=0.004；②去年该居民区PM2.5年平均浓度为：12.5×0.15+37.5×0.6+62.5×0.15+87.5×0.1=42.5（微克/立方米）；因为42.5＞35，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进；（2）由题意可得：PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的概率为0.9，X的可能取值为0，1，2，3；P（X=k）=•（1﹣0.9）3﹣k•0.9k，可得P（X=0）=0.001，P（X=1）=0.027，P（X=2）=0.243，P（X=3）=0.729；X的分布列为：19．（12分）（2017•葫芦岛一模）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，BC⊥CD，平面SCD⊥平面ABCD，SC=SD=CD=AD=2AB，M，N分别为SA，SB的中点，E为CD中点，过M，N作平面MNPQ分别与BC，AD交于点P，Q，若=t．（1）当t=时，求证：平面SAE⊥平面MNPQ；（2）是否存在实数t，使得二面角M﹣PQ﹣A的平面角的余弦值为？若存在，求出实数t的值；若不存在，说明理由．【解答】（本小题满分12分）证明：（1）E为CD中点，∴四边形ABCE为矩形，∴AE⊥CD，当t=时，Q为AD中点，PQ∥CD，所以PQ⊥AE，∵平面SCD⊥平面ABCD，SE⊥CD，∴SE⊥面ABCD，∵PQ⊂面ABCD，∴PQ⊥SE，∴PQ⊥面SAE，所以面MNPQ⊥面SAE．（2）如图，以E为原点，ED，EA，ES直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示坐标系；设ED=a，则M（（1﹣t）a，（﹣）a，a），E（0，0，0），A（0，，0），Q（（1﹣t）a，，0），=（0，，），面ABCD一个方向向量为=（1，0，0），设平面MPQ的法向量=（x，y，z），则，取z=2，得=（0，，2），平面ABCD的法向量为=（0，0，1）∵二面角M﹣PQ﹣A的平面角的余弦值为，∴由题意：cosθ===，解得t=或t=，由图形知，当t=时，二面角M﹣PQ﹣A为钝二面角，不合题意，舍去综上：t=．20．（12分）（2017•雁峰区校级二模）已知A，B分别为椭圆C：+=1（a ＞b＞0）在x轴正半轴，y轴正半轴上的顶点，原点O到直线AB的距离为，且|AB|=．（1）求椭圆C的离心率；（2）直线l：y=kx+m（﹣1≤k≤2）与圆x2+y2=2相切，并与椭圆C交于M，N 两点，求|MN|的取值范围．【解答】解：（1）由丨AB丨==，=，解得：a=2，b=，c=1则椭圆离心率e==；（2）由（1）可知：椭圆的标准方程：，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，整理得：（3k2+4）x2+6kmx+3m2﹣12=0，x1+x2=﹣，x1x2=，由直线l与圆x2+y2=2相切，则=，则m2=2（k2+1），则丨MN丨=•=，=，令3k2+4=t，t∈[4，16]，则丨MN丨=•=•，由≤≤，∴f（）=，在[，]单调递增，则≤丨MN丨≤，∴|MN|的取值范围[，]．21．（12分）（2016•湘潭一模）已知函数f（x）=lnx，g（x）=﹣（x为实常数）．（1）当a=1时，求函数φ（x）=f（x）﹣g（x）在x∈[4，+∞）上的最小值；（2）若方程e2f（x）=g（x）（其中e=2.71828…）在区间[]上有解，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）当a=1时，函数φ（x）=f（x）﹣g（x）=lnx﹣+，∴φ′（x）==；x∈[4，+∞），∴φ′（x）＞0∴函数φ（x）=f（x）﹣g（x）在x∈[4，+∞）上单调递增∴x=4时，φ（x）min=2ln2﹣；（2）方程e2f（x）=g（x）可化为x2=﹣，∴a=﹣x3，设y=﹣x3，则y′=﹣3x2，∵x∈[]∴函数在[]上单调递增，在[，1]上单调递减∵x=时，y=；x=时，y=；x=1时，y=，∴y∈[]∴a∈[][选修4-4坐标系与参数方程]22．（10分）（2017•郑州三模）以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程为，（t为参数，0＜θ＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣2cosθ=0．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当θ变化时，求|AB|的最小值．【解答】解：（1）由ρsin2θ﹣2cosθ=0，得ρ2sin2θ=2ρcosθ．∴曲线C的直角坐标方程为y2=2x；（2）将直线l的参数方程代入y2=2x，得t2sin2θ﹣2tcosθ﹣1=0．设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则，，==．当时，|AB|的最小值为2．[选修4-5不等式选讲]23．（2017•雁峰区校级二模）设函数f（x）=|x﹣a|+3x，其中a＞0．（Ⅰ）当a=2时，求不等式f（x）≥3x+2的解集；（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．【解答】解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）≥3x+2可化为|x﹣2|≥2，由此可得x≥4或x≤0．（Ⅱ）由f（x）≤0得|x﹣a|+3x≤0，即或，即或，又a＞0，故不等式组的解集是{x|x≤﹣}，由题设得﹣=﹣1，故a=2．参与本试卷答题和审题的老师有：733008；sxs123；陈高数；zcq；qiss；刘长柏；lcb001；maths；742048；双曲线；whgcn；zlzhan；铭灏2016；刘老师（排名不分先后）菁优网2017年6月23日。
湖南省衡阳市2017届高三实验班上学期第四次月考数学文试题Word版含答案
衡阳八中2016年上期高三年级第四次月考试卷文数（试题卷）注意事项：1.本卷为衡阳八中高三年级实验班第四次月考试卷，分两卷。
其中共22题，满分150分，考试时间为120分钟。
2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。
开考15分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。
3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用2B铅笔填涂，非选择题部分请用黑色0.5mm签字笔书写。
考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。
★预祝考生考试顺利★第I卷选择题（每题5分，共60分）本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。
1.已知集合A={x|（x+1）（x﹣2）≤0}，集合B为整数集，则A∩B=（）A．{﹣1，0} B．{0，1}C．{﹣2，﹣1，0，1} D．{﹣1，0，1，2}2.已知为虚数单位，复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限3.函数的最小正周期为（）A．B．C．D．4.如图圆C内切于扇形AOB，∠AOB=，若在扇形AOB内任取一点，则该点在圆C内的概率为（）A．B．C．D．5.已知f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=﹣（x﹣1）2+1，满足f[f （a）]=的实数a的个数为（）A．2 B．4 C．6 D．86.设向量=（1，sinθ），=（3sinθ，1），且∥，则cos2θ等于（）A．B．C．D．7.已知实数，且满足，，则的最大值为（）A．1 B． 2 C．D．8.明代程大位《算法统宗》卷10中有题：“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增，共灯三百八十一，尖头儿（）盏灯？”A．2 B．3 C．4 D．79.一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视图是腰长为的两个全等的等腰直角三角形，俯视图是圆心角为的扇形，则该几何体的侧面积．．．为（）A．B．C．D．10.给出计算的值的一个程序框图如图，其中判断框内应填入的条件是（）A．i＞10 B．i＜10 C．i＞20 D．i＜2011.已知双曲线：（）的上焦点为（），是双曲线下支上的一点，线段与圆相切于点，且，则双曲线的渐进线方程为（）A．B．C．D．12.设直线，分别是函数图象上点，处的切线，与垂直相交于点，且，分别与轴相交于点，，则的面积的取值范围是（）A．（0,1） B．（0,2） C．D．第II卷非选择题（共90分）二.填空题（每题5分，共20分）13.已知函数f（x）=是（﹣∞，+∞）上的增函数，那么实数a的取值范围是．14.已知点 A（0，2）为圆M：x2+y2﹣2ax﹣2ay=0外一点，圆M上存在点T使得∠MAT=45°，则实数a的取值范围是．15.长方体的8个顶点都在球的表面上，为的中点，，，且四边形为正方形，则球的直径为 .16.某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是πr2分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米．已知每出售1mL饮料，制造商可获利分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm，则瓶子半径为 cm时，每瓶饮料的利润最小．三.解答题（共6题，共70分）17.（本题满分12分）已知数列a n的各项为正数，前n和为S n，且．（1）求证：数列a n是等差数列；（2）设，求T n．18.（本题满分12分）如图，矩形中，对角线的交点为⊥平面为上的点，且．（I）求证：⊥平面；（II）求三棱锥的体积．19.（本题满分12分）某种商品在50个不同地区的零售价格全部介于13元与18元之间，将各地价格按如下方式分成五组：第一组；第二组，……，第五组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.（1）求价格在内的地区数，并估计该商品价格的中位数（精确到）；（2）设表示某两个地区的零售价格，且已知，求事件“”的概率.20.（本题满分12分）已知点P在椭圆C：+=1（a＞b＞0）上，以P为圆心的圆与x轴相切于椭圆的右焦点F2，且•=2，tan∠OPF2=，其中O为坐标原点．（1）求椭圆C的方程；（2）已知点M（﹣1，0），设Q是椭圆C上的一点，过Q、M两点的直线l交y轴于点N，若=2，求直线l的方程；（3）作直线l1与椭圆D：+=1交于不同的两点S，T，其中S点的坐标为（﹣2，0），若点G（0，t）是线段ST垂直平分线上一点，且满足•=4，求实数t的值．21.（本题满分12分）已知函数．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对于∀x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，试求a的取值范围；（Ⅲ）记g（x）=f（x）+x﹣b（b∈R）．当a=1时，函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围．【选做题】请考生从22、23题中任选一题作答，共10分22.（选修4-4.坐标系与参数方程）在直角坐标系中，曲线C的参数方程为，（ϕ为参数），直线l的参数方程为（t为参数）．以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为．（Ⅰ）求点P的直角坐标，并求曲线C的普通方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C的两个交点为A，B，求|PA|+|PB|的值．23.（选修4-5.不等式选讲）已知函数．（1）解不等式；。
湖南省衡阳市第八中学2017届高三数学上学期第三次(10月)月考试题 理(扫描版)
湖南省衡阳市第八中学2017届高三数学上学期第三次（10月）月考试题理（扫描版）一、选择题二、填空题 13.95 14. 11212nn --+ 15. 12- 16. 3n n g 17.解：（1）把A （0，1），B （3，8）的坐标代入()xf x k a -=g 得031{8k a k a -== 解得：11,2k a ==。
（2）()g x 是奇函数。
理由如下：由（1）知：()2xf x =，所以()121().()121x x f x g x f x --==++ 函数()g x 的定义域为R ，又()12121()().()12121x x x x f x g x g x f x -------===-=--+++ 所以函数()g x 是奇函数。
18. ∵(cos 3,sin )AC αα=-，(cos ,sin 3)BC αα=-，∴||(cos AC ，||10BC =． 由||||AC BC =得sin cos αα=．…………………………………4分 又3(,)22ππα∈，∴54απ=．…………………………………6分（2）由1AC BC =-，得(cos 3)cos sin (sin 3)1αααα-+-=-，∴2sin cos 3αα+=，∴sin()04πα+=>．……………………………9分又由322ππα<<，∴344ππαπ<+<，∴cos()4πα+=．故tan()4πα+=…12分19.解答：解答：（1）证明：111,n n n n n n b a a b a a +--=+=-11233n n n n n nb a a a a a b a a a a +-+++===++所以{}n b 是等比数列（2）由（1）得11115,53n n n b b b q --===⨯所以1153n n n a a -++=⨯则211103(2)n n n a a n -+--=⨯≥所以{}n a 奇数项差是首项为10的等比数列，偶数项差是首相为30的等比数列；21253344n n a -=⨯-，222153344n n a --=⨯+因此n a =11533(1)44n n --??20. 解：(1)在Rt ∆POA 中，，在Rt ∆POB 中，OB ＝h ，在Rt ∆AOB 中，d 2h)2+h 2-2⋅⋅hcos30︒，其中：d ＝40，得：h=40，故建筑物的高度为40.(2) ∵tan α=4h dh d +，tan β=4d ∴tan(β-α)=244(4)161(4)h d d h h d h -+++=216(4)16d d h h ++=1616(4)h d h d++≤当且仅当d(h+4)=16hd即d=5时“=”成立故当d=5时，tan(β-α)最大， ∵0<α<β<2π，∴0<β-α<2π， 当时，β-α最大21.{}1n b Q （）为等差数列，设公差为15,1,15,d b S ==551015,1S d d =+==1(1)1n b n n \=+-?。
湖南省衡阳市八中2017届高三第二次月考(数学理)(含答案)word版
衡阳市八中2017届高三第二次月考试卷数 学（理科）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、设复数21211,2,z z i z bi z =+=+若为实数，则实数b 等于 （ ）A ．-2B ．-1C ．1D ．22、对于函数()cos f x x x =+，下列命题中正确的是 （ ）A ．,()2x R f x ∀∈=B ．,()2x R f x ∃∈=C ．,()2x R f x ∀∈>D ．,()2x R f x ∃∈>3、下列命题正确的是 （ ）A ．函数sin y x =在区间()0,π内单调递增B ．函数tan y x =的图像是关于直线2x π=成轴对称的图形C ．函数44cos sin y x x =-的最小正周期为2πD ．函数cos 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像是关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称的图形4、已知0a >函数3()f x x ax =-在[1，)+∞是单调增函数，则a 的最大值是 ( )A. 0B. 1C. 2D. 35、设x x x f sin cos )(-=把)(x f y =的图象向左平移ϕ个单位后，恰好得到函数y =f '(x )的图象，则ϕ的值可以为 （ ）A. 2πB. 43πC.πD. 23π6、已知向量,m n 的夹角为6π，且|||2m n == ，在△ABC 中，22m B n A =+ ，26m C n A =- ，D 为BC 边的中点，则||AD =（ ）A ．2B ．4C ．6D ．87、设函数32sin ()tan 32f x x x θθθ=++，其中θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12，则导数f′(1)的取值范围是A ．[－2,2]B ．[2，3]C ．[3，2]D ．[2，2]8、已知,,A B C 是平面上不共线的三点，O 为平面ABC 内任一点，动点P 满足等式1[(1)(1)3OP OA OB λλ=-+-(12)](OC λλ++∈R且0)λ≠，则P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）A ．内心B ．垂心C ．重心D ．AB 边的中点二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共35分，把答案填在答卷的横线上） 9、已知集合，则集合A 的子集的个数为_____ ______.10、函数)2ln()(2x x x f -=的单调递增区间是________ _______ 11、由曲线12,1,x x y x=-=-=以及x 轴所围成的封闭图形面积为________ _______ 12、已知定义在实数集R 上的函数)(x f 满足)1(f =2，且)(x f 的导数)(x f '在R 上恒有)(x f '<1 )(R x ∈，则不等式1)(33+>x x f 的解集为______ __ _______13、不等式||(1)x a x ≥+对任意的实数 x 都成立，则实数a 的最值范围是 _____ __14、对于任意实数x ，[]x 表示x 的整数部分，即[]x 是不超过x 的最大整数。
湖南省衡阳市第八中学高三数学上学期第四次月考试题
衡阳市八中2017届高三第四次月考试卷文科数学一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．计算5.22cos 212-的结果等于( )A.12B.22-23-2. 下列命题中的假命题．．．是（ ） A. ,lg 0x R x ∃∈=； B. 1tan ,=∈∃x R x ； C. 0,3>∈∀x R x ； D. 02,>∈∀xR x 3． ()f x '是()f x 的导函数，()f x '的图像如下面右图所示，则()f x 的图像只可能是（ ）4．已知复数2(4)(2)z a a i =-++（a R ∈），则“2a =”是“为纯虚数”的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．既不充分也不必要 D ．充要5．若向量=)1,1(，b =)5,2(， =),3(x 满足条件 （8－b)·=30，则=（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3 6. 已知非零向量,a b 满足||2||a b =，若函数131)(23+⋅++=x x x f 在R 上存在极值，则和夹角的取值范围是（ ）A ．[0,)6πB ．(,]3ππC ．2(,]33ππD ．[,]3ππ 7.定义符号函数⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,10,00,1)sgn(x x x x ，若)(x f 是R 上的增函数，且)1)(()()(>-=a ax f x f x g ，则（ ）A ．)sgn()](sgn[x x g =B ．)sgn()](sgn[x x g -=C ．)](sgn[)](sgn[x f x g =D ．)](sgn[)](sgn[x f x g -=8.在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边长分别为c b a ,,，若120=∠C ，a c 2=，则（ ）A.b a >B. b a <C. b a =D. b a 与的大小关系不能确定9. 在函数①x x y cos sin +=，②x y sin = ，③)32sin(π-=x y ,④)42tan(π-=x y ，⑤x x y c o s s in ⋅=，⑥|2|cos x y =中最小正周期为π的函数个数为（ ）A.3B. 4C. 5D. 610.已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则的取值范围是（ ）A.()2,+∞B.()1,+∞C.(),2-∞-D.(),1-∞-11.已知函数()cos (0),.f x x x x R ωωω=+>∈在曲线()y f x =与直线1y =的交点中，若相邻交点距离的最小值为3π，则()f x 的最小正周期为（ ） A.2πB.23πC.πD.2π12.设数列{}n a 的前项和为n S ．已知1a a =，n n n n S S 322311⨯-=-++,若1n n a a +≥，*n ∈N ，则的取值范围是（ ）A. [)9-+∞，B. ]9,(--∞C. ]9,(-∞D. ),9[+∞ 二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.） 13．已知是虚数单位, =-+4)11(ii . 14. 用{}c b a ,,m in 表示c b a ,,三个数中的最小值，设{}x x x f x-+=10,2,2m in )( )0(≥x ，则)(x f 的最大值为 .15．将全体正整数j i a ,从左向右排成一个直角三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10． ． ． ． ．．．1,i a 2,i a 3,i a ．．． j i a , ．．．1,1+i a 2,1+i a 3,1+i a ．．． j i a ,1+ ．．．．．．．．．．．．按照以上排列的规律，若定义ji a j i f ,2),(=，则8)3,20(log 2f = . 16．已知函数3()23f x x x =-, 若过点(1,)P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切，则t 的取值范围是 .三、解答题（本大题共6小题,共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本小题满分10分）函数()sin()(0,0,||)2f x A x A ωφωφπ=+>><部分图象如下图． （1）求()f x 的最小正周期及解析式； （2）设()()cos2g x f x x =-，求函数()g x 在区间 [0,]2x π∈上的单调性．18．（本小题满分12分）已知某中学联盟举行了一次“盟校 质量调研考试”活动．为了解本次考试学生的某学科成绩情况，从中抽取部分学生的分数（满分为100分，得分取正整数， 抽取学生的分数均在[]50,100之内）作为样本（样本容量为n ）进行统计．按照[]50,60，[]60,70，[]70,80，[]80,90，[]90,100的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（茎叶图中仅列出了得分在[]50,60，[]90,100的数据）．（Ⅰ）求样本容量n 和频率分布直方图中的x 、y 的值；（Ⅱ）在选取的样本中，从成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加“省级学科基础知识竞赛”，求所抽取的2名学生中恰有一人得分在[]90,100内的概率．19．（本小题满分12分）已知向量()()sin ,sin ,cos ,cosA ,sin 2m A B n B m n C ===，且A B C 、、分别为ABC ∆的三边,,a b c 所对的角． （1）求角C 的大小；（2）若sin ,sin ,sin A C B 成等差数列，且()18CA AB AC -=，求边的长．20．（本小题满分12分）如图，在矩形ABCD 中，2AB BC =，点M 在边CD 上，点F 在边AB 上，且DF AM ⊥，垂足为E ，若将ADM ∆沿AM 折起，使点D 位于'D 位置，连接','D B D C ，得四棱锥'D ABCM -．(1)求证：平面'D EF ⊥平面AMCB ； (2)若π'3D EF ∠=，直线'D F 与平面 ABCM 所成角的大小为π3，求直线'AD 与平面AMCB 所成角的正弦值．21．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前项和2*3,4n n nS n N +=∈． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2{}n b 的前项和．22．（本小题满分12分）已知21()2f x x =，()ln (0)g xa x a =>. （1）求函数()()()F x f x g x =的极值；（2）若函数()()()(1)G x f x g x a x =-+-在区间1(,)e e内有两个零点，求的取值范围； （3）求证：当0x >时，231ln 04xx x e +->.衡阳市八中2017届高三第四次月考试卷文科数学命题人：刘亮生 王美蓉 审题人：孙艳红一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．计算5.22cos 212-的结果等于( B )A.12B.22-C.3D. 23-【答案】B 【解析】原式=-2cos 45=2,故选B. 2. 下列命题中的假命题．．．是（ C ） A. ,lg 0x R x ∃∈=； B. 1tan ,=∈∃x R x C. 0,3>∈∀x R x ；D. 02,>∈∀xR x 【解析】对于C 选项x ＝1时，()10x -2=，故选C3． ()f x '是()f x 的导函数，()f x '的图像如右图所示，则()f x 的图像只可能是（ D ）4．已知复数2(4)(2)z a a i =-++（a R ∈），则“2a =”是“为纯虚数”的（ D ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．既不充分也不必要D ．充要 【答案】D【解析】试题分析：为纯虚数，则24020a a ⎧-=⎨+≠⎩，所以2a =，故2a =”是“为纯虚数”的充要条件.5．若向量=)1,1(，b =)5,2(， =),3(x 满足条件 （8－b)·= 30，则=（ C ）A ．6B ．5C ．4D ．36．已知非零向量,a b 满足||2||a b =，若函数3211()||132f x x a x abx =+++在R 上存在极值，则和夹角的取值范围是（ B ） A ．[0,)6πB ．(,]3ππC ．2(,]33ππD ．[,]3ππ 【答案】B试题分析：()'2f x x a x a b =++⋅有两个不相等的实根，22140,cos 24aa ab a bθ-⋅≥≤=，故选B ． 7.定义符号函数⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,10,00,1)sgn(x x x x ，若)(x f 是R 上的增函数，且)1)(()()(>-=a ax f x f x g ，则（B ）A ．)sgn()](sgn[x x g =B ．)sgn()](sgn[x x g -=C ． )](sgn[)](sgn[x f x g =D ．)](sgn[)](sgn[x f x g -= 【答案】B【解析】试题分析：因为()f x 是R 上的增函数，令x x f =)(，所以x a x g )1()(-=，因为1>a ，所以)(x g 是R 上的减函数，1,0sgn[()]0,0sgn 1,0x g x x x x ->⎧⎪===-⎨⎪<⎩.8.在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边长分别为c b a ,,，若120=∠C ，a c 2=，则( A )A.b a >B. b a <C. b a =D. b a 与的大小关系不能确定9. 在函数①x x y cos sin +=，②x y sin = ，③)32sin(π-=x y ,④)42tan(π-=x y ，⑤x x y c o s s in ⋅=，⑥|2|cos x y =中最小正周期为π的函数个数为（ B ）A.3个B. 4个C. 5个D. 6个10.已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则的取值范围是（ C ）A.()2,+∞B.()1,+∞C.(),2-∞-D.(),1-∞-11、已知函数()cos (0),.f x x x x R ωωω=+>∈在曲线()y f x =与直线1y =的交点中，若相邻交点距离的最小值为3π，则()f x 的最小正周期为（ C ） A.2πB.23πC.πD.2π【答案】C因为()2sin()6f x x πω=+，所以由()2sin()16f x x πω=+=得：266x k ππωπ+=+或52,(,)66x m m k Z ππωπ+=+∈,所以由相邻交点距离的最小值为3π得：52,2,.366T ππππωωπω⋅=-===选C. 12.设数列{}n a 的前项和为n S ．已知1a a =，n n n n S S 322311⨯-=-++,若1n n a a +≥，*n ∈N ，则的取值范围是（ A ）．A. [)9-+∞，B. ]9,(--∞C. ]9,(-∞D. ),9[+∞由①知13(3)2n n n S a -=+-，*n ∈N ，于是，当2n ≥时，1n n n a S S -=-1123(3)23(3)2n n n n a a ---=+-⨯---⨯1223(3)2n n a --=⨯+-，12143(3)2n n n n a a a --+-=⨯+-22321232n n a --⎡⎤⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当2n ≥时，21312302n n n a a a -+⎛⎫⇔+- ⎪⎝⎭≥≥9a ⇔-≥．又2113a a a =+>．综上，所求的的取值范围是[)9-+∞，二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.）13．已知是虚数单位, 41i ()1-i += 1 【解析】41i ()1-i+=244(1i)[]=i =12+, 14. 用{}c b a ,,m in 表示c b a ,,三个数中的最小值，设{}x x x f x-+=10,2,2m in )( )0(≥x ，则)(x f 的最大值为_6_______．【答案】6【解析】观察图象可知f(x)＝2,022,2410,4x x x x x x ⎧≤<⎪+≤<⎨⎪-≥⎩，∴f(x)的最大值在x ＝4时取得15．将全体正整数j i a ,从左向右排成一个直角三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ． ． ． ． ．．．1,i a 2,i a 3,i a ．．． j i a , ．．． 1,1+i a 2,1+i a 3,1+i a ．．． j i a ,1+ ．．．．．．．．．．．．．．．按照以上排列的规律，若定义ji a j i f ,2),(=，则4)3,20(log 2f = 190 16. 已知函数3()23f x x x =-.若过点(1,)P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切，则t 的取值范围是 (3,1)-- ；同零点”， '()g x =21212x x -=12(1)x x -，()g x 与'()g x 的情况如下：所以，(0)3g t =+是()g x 的极大值，(1)1g t =+是()g x 的极小值，当(0)30g t =+≤，即3t ≤-时，此时()g x 在区间(,1]-∞和(1,)+∞上分别至多有1个零点，所以()g x 至多有2个零点，当(1)10g t =+≥，1t ≥-时，此时()g x 在区间(,0)-∞和[0,)+∞上分别至多有1个零点，所以()g x 至多有2个零点.当(0)0g >且(1)0g <，即31t -<<-时，因为(1)70g t -=-<，(2)110g t =+>，所以()g x 分别为区间[1,0),[0,1)-和[1,2)上恰有1个零点，由于()g x 在区间(,0)-∞和(1,)+∞上单调，所以()g x 分别在区间(,0)-∞和[1,)+∞上恰有1个零点.综上可知，当过点(1,)P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切时，t 的取值范围是(3,1)--.三、解答题（本大题共6小题,共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（本小题满分10分）函数()sin()(0,0,||)2f x A x A ωφωφπ=+>><部分图象如图所示．（1）求()f x 的最小正周期及解析式；（2）设()()cos 2g x f x x =-，求函数()g x 在区间[0,]2x π∈上的单调性．【答案】：（1）由图可得1A =，22362T πππ=-=，所以T =π 2分；以2ω= 3分；当6x π=时，()1f x =，可得 sin(2)16ϕπ⋅+=，因为||2ϕπ<， 所以6ϕπ= 5分所以()f x 的解析式为()sin(2)6f x x π=+ 6分（3）()()cos 2sin(2)cos 26g x f x x x x π=-=+-sin 2cos cos2sin cos266x x x ππ=+-12cos 22x x =-sin(2)6x π=-因为02x π≤≤，所以52666x πππ-≤-≤ 10分 由2626πππ≤-≤-x 得30π≤≤x ； 当65622πππ≤-≤x 得23ππ≤≤x ，故()g x 在]3,0[π单调递增，在]2,3[ππ单调递减． 18．（本小题满分12分）已知某中学联盟举行了一次“盟校质量调研考试”活动．为了解本次考试学生的某学科成绩情况，从中抽取部分学生的分数（满分为100分，得分取正整数，抽取学生的分数均在[]50,100之内）作为样本（样本容量为n ）进行统计．按照[]50,60，[]60,70，[]70,80，[]80,90， []90,100的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（茎叶图中仅列出了得分在[]50,60，[]90,100的数据）．（Ⅰ）求样本容量n 和频率分布直方图中的x 、y 的值；（Ⅱ）在选取的样本中，从成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加“省级学科基础知识竞赛”，求所抽取的2名学生中恰有一人得分在[]90,100内的概率． 【答案】：（Ⅰ）由题意可知，样本容量8500.01610n ==⨯， …2分20.0045010y ==⨯， ……4分0.1000.0040.0100.0160.0400.030x =----=．……6分（Ⅱ）由题意可知，分数在[80,90]内的学生有5人，记这5人分别为12345,,,,a a a a a ，分数在[90,100]内的学生有2人，记这2人分别为12,b b ，抽取2名学生的所有情况有21种，分别为：()()()()()()()()()()()1213141511122324252122,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a a a a a a a a ab a b a a a a a a a b a b ()()()()()()()()()()34353132454142515212,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a a a a a b a b a a a b a b a b a b b b ．其中2名同学的分数恰有一人在[90,100]内的情况有10种， ∴ 所抽取的2名学生中恰有一人得分在[90,100]内的概率10P 21=． 19．（本小题满分12分）已知向量()()sin ,sin ,cos ,cosA ,sin 2m A B n B m n C ===，且A B C 、、分别为ABC ∆的三边,,a b c 所对的角． （1）求角C 的大小；（2）若sin ,sin ,sin A C B 成等差数列，且()18CA AB AC -=，求边的长． 【答案】：（1）对于ABC ∆，,0C A B C ππ+=-<<， ∴()sin sin A B C +=；∴sin m n C =，又∵sin 2m n C =，∴1sin 2sin ,cos ,23C C C C π===． （2）由sin ,sin ,sinB A C 成等差数列，得2sin sin sin C A B =+； 由正弦定理得2c a b =+，∵()18CA AB AC -=，∴18CA CB =，即cos 18,36ab C ab ==，由余弦定理()22222cos 3c a b ab C a b ab =+-=+-， ∴2224336,36c c c =-⨯=，∴6c =．20．（本小题满分12分）如图，在矩形ABCD 中，2AB BC =，点M 在边CD 上，点F 在边AB 上，且DF AM ⊥，垂足为E ，若将ADM ∆沿AM 折起，使点D 位于'D 位置，连接','D B D C ，得四棱锥'D ABCM -．(1)求证：平面'D EF ⊥平面AMCB ； (2)若π'3D EF ∠=，直线'D F 与平面ABCM 所成角的大小为π3，求直线'AD 与平面AMCB 所成角的正弦值． 【答案】：(1)E EF E D EF AM E D AM=⋂'⊥'⊥,,EFD AM '⊥∴面AM AMCB ⊂面EF D AMCB '⊥∴面面(2)过D '作EF HD ⊥'于H 平面'D EF ⊥平面AMCB∴⊥'H D 平面AMCB 直线'D F 与平面ABCM 所成角的大小为3π∴3D FE π'∠= '3D EF π∠=∴EF D '∆是正三角形直线AD'与平面ABCM所成角为AHD '∠，设2=EF ，则3='H D ,5=AH ,22='D A ∴sin D AH '∠=46 21．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前项和2*3,4n n nS n N +=∈． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2{}n b 的前项和．【答案】：（1）当1n =时，111a S ==；当2n ≥时，()()22113131442n n n n n n n n a S S --+-++=-=-=因为11a =也适合上式，因此，数列{}n a 的通项公式为12n n a +=（2）由（1）知，12n n a +=记数列{}n b 的前项和为n T )11111(1)2[()()]2312n n n n ++++--++-++记11111(1)2,()()2312n n B n n ++++=-++-++，则22n A n +=，{}n b 22．（本小题满分12分）已知21()2f x x =，()ln (0)g x a x a =>. （1）求函数()()()F x f x g x =的极值；（2）若函数()()()(1)G x f x g x a x =-+-在区间1(,)e e内有两个零点，求的取值范围； （3）求证：当0x >时，231ln 04x x x e+->. 【答案】（1）21()()()ln (0)2F x f x g x ax x x ==> ∴'11()ln (ln )22F x ax x ax ax x =+=+由'()0F x >得12x e ->，由'()0F x <，得120x e -<<∴()F x 在12(0,]e -上单调递减，在12[,)e -+∞上单调递增，∴12min ()()4aF x F e e-==-，()F x 无极大值. （2）21()ln (1)2G x x a x a x =-+-∴'()(1)()1a x a x G x x a x x+-=-+-= 又10,a x e e><<，易得()G x 在1(,1]e 上单调递减，在[1,)e 上单调递增，要使函数()G x 在1(,)e e内有两个零点，需1()0(1)0()0G e G G e ⎧>⎪⎪<⎨⎪>⎪⎩，即2211021102(1)02a a e e a e a e a -⎧++>⎪⎪⎪+-<⎨⎪⎪+-->⎪⎩，∴22212212222e a e e a e e a e -⎧>⎪+⎪⎪<⎨⎪⎪->⎪-⎩，∴2211222e a e e -<<+，即的取值范围是2211(,)222e e e -+.（3）问题等价于223ln 4x x x x e >-由（1）知2()ln F x x x =的最小值为12e -令23()4x x R x e =-（0x >）∴'(2)()xx x R x e-=- 易知()R x 在(0,2]上单调递增，[2,)+∞上单调递减∴max 243()(2)4R x R e ==- 又222143314(38)(2)()024424e e e e e e e-----=--=> ∴min max ()()F x R x >，223ln 4x x x x e >-故当0x >时，231ln 04x x x e+->成立.。
湖南省衡阳市第八中学高三数学上学期第四次月考试题文
衡阳市八中2017届高三第四次月考试卷文科数学一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．计算5.22cos 212-的结果等于( )A.12 B.22-23- 2. 下列命题中的假命题．．．是（ ） A. ,lg 0x R x ∃∈=； B. 1tan ,=∈∃x R x ； C. 0,3>∈∀x R x ； D. 02,>∈∀x R x 3． ()f x '是()f x 的导函数，()f x '的图像如下面右图所示，则()f x 的图像只可能是（ ）4．已知复数2(4)(2)z a a i =-++（a R ∈），则“2a =”是“为纯虚数”的（ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．既不充分也不必要D ．充要5．若向量=)1,1(，b =)5,2(， =),3(x 满足条件 （8－b)·=30，则=（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3 6. 已知非零向量,a b 满足||2||a b =，若函数131)(23+⋅++=x b a x x f 在R 上存在极值，则和夹角的取值范围是（ ）A ．[0,)6πB ．(,]3ππC ．2(,]33ππD ．[,]3ππ 7.定义符号函数⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,10,00,1)sgn(x x x x ，若)(x f 是R 上的增函数，且)1)(()()(>-=a ax f x f x g ，则（ ）A ．)sgn()](sgn[x x g =B ．)sgn()](sgn[x x g -=C ．)](sgn[)](sgn[x f x g =D ．)](sgn[)](sgn[x f x g -=8.在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边长分别为c b a ,,，若120=∠C ，a c 2=，则（ ）A.b a >B. b a <C. b a =D. b a 与的大小关系不能确定9. 在函数①x x y cos sin +=，②x y sin = ，③)32sin(π-=x y ,④)42tan(π-=x y ，⑤x x y c o s si n ⋅=，⑥|2|cos x y =中最小正周期为π的函数个数为（ ）A.3B. 4C. 5D. 610.已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则的取值范 围是（ ）A.()2,+∞B.()1,+∞C.(),2-∞-D.(),1-∞-11.已知函数()cos (0),.f x x x x R ωωω=+>∈在曲线()y f x =与直线1y =的交点中，若相邻交点距离的最小值为3π，则()f x 的最小正周期为（ ） A.2πB.23πC.πD.2π12.设数列{}n a 的前项和为n S ．已知1a a =，n n n n S S 322311⨯-=-++,若1n n a a +≥，*n ∈N ，则的取值范围是（ ）A. [)9-+∞，B. ]9,(--∞C. ]9,(-∞D. ),9[+∞ 二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.） 13．已知是虚数单位, =-+4)11(ii . 14. 用{}c b a ,,min 表示c b a ,,三个数中的最小值，设{}x x x f x-+=10,2,2min )( )0(≥x ，则)(x f 的最大值为 .15．将全体正整数j i a ,从左向右排成一个直角三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10． ． ． ． ．．．1,i a 2,i a 3,i a ．．． j i a , ．．．1,1+i a 2,1+i a 3,1+i a ．．． j i a ,1+ ．．． ．．．．．．．．．按照以上排列的规律，若定义ji a j i f ,2),(=，则8)3,20(log 2f = . 16．已知函数3()23f x x x =-, 若过点(1,)P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切，则t 的取值范围是 .三、解答题（本大题共6小题,共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本小题满分10分）函数()sin()(0,0,||)2f x A x A ωφωφπ=+>><部分图象如下图． （1）求()f x 的最小正周期及解析式； （2）设()()cos2g x f x x =-，求函数()g x 在区间 [0,]2x π∈上的单调性．18．（本小题满分12分）已知某中学联盟举行了一次“盟校 质量调研考试”活动．为了解本次考试学生的某学科成绩情况，从中抽取部分学生的分数（满分为100分，得分取正整数， 抽取学生的分数均在[]50,100之内）作为样本（样本容量为n ）进行统计．按照[]50,60，[]60,70，[]70,80，[]80,90，[]90,100的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（茎叶图中仅列出了得分在[]50,60，[]90,100的数据）．（Ⅰ）求样本容量n 和频率分布直方图中的x 、y 的值；（Ⅱ）在选取的样本中，从成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加“省级学科基础知识竞赛”，求所抽取的2名学生中恰有一人得分在[]90,100内的概率．19．（本小题满分12分）已知向量()()sin ,sin ,cos ,cosA ,sin 2m A B n B m n C ===，且A B C 、、分别为ABC ∆的三边,,a b c 所对的角． （1）求角C 的大小；（2）若sin ,sin ,sin A C B 成等差数列，且()18CA AB AC -=，求边的长．20．（本小题满分12分）如图，在矩形ABCD 中，2AB BC =，点M 在边CD 上，点F 在边AB 上，且DF AM ⊥，垂足为E ，若将ADM ∆沿AM 折起，使点D 位于'D 位置，连接','D B D C ，得四棱锥'D ABCM -．(1)求证：平面'D EF ⊥平面AMCB ； (2)若π'3D EF ∠=，直线'D F 与平面 ABCM 所成角的大小为π3，求直线'AD 与平面AMCB 所成角的正弦值．21．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前项和2*3,4n n nS n N +=∈． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2{}n b 的前项和．22．（本小题满分12分）已知21()2f x x =，()ln (0)g xa x a =>. （1）求函数()()()F x f x g x =的极值；（2）若函数()()()(1)G x f x g x a x =-+-在区间1(,)e e内有两个零点，求的取值范围； （3）求证：当0x >时，231ln 04xx x e +->.衡阳市八中2017届高三第四次月考试卷文科数学命题人：刘亮生 王美蓉 审题人：孙艳红一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．计算5.22cos 212-的结果等于( B )A.12 B.22- D. 23- 【答案】B 【解析】原式=-2cos 45=故选B. 2. 下列命题中的假命题．．．是（ C ） A. ,lg 0x R x ∃∈=； B. 1tan ,=∈∃x R x C. 0,3>∈∀x R x ；D. 02,>∈∀x R x 【解析】对于C 选项x ＝1时，()10x -2=，故选C3． ()f x '是()f x 的导函数，()f x '的图像如右图所示，则()f x 的图像只可能是（ D ）4．已知复数2(4)(2)z a a i =-++（a R ∈），则“2a =”是“为纯虚数”的（ D ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．既不充分也不必要D ．充要 【答案】D【解析】试题分析：为纯虚数，则24020a a ⎧-=⎨+≠⎩，所以2a =，故2a =”是“为纯虚数”的充要条件.5．若向量=)1,1(，b =)5,2(， =),3(x 满足条件 （8－b)·= 30，则=（ C ）A ．6B ．5C ．4D ．36．已知非零向量,a b 满足||2||a b =，若函数3211()||132f x x a x abx =+++在R 上存在极值，则和夹角的取值范围是（ B ） A ．[0,)6πB ．(,]3ππC ．2(,]33ππD ．[,]3ππ 【答案】B试题分析：()'2f x x a x a b =++⋅有两个不相等的实根，22140,cos 24aa ab a bθ-⋅≥≤=，故选B ． 7.定义符号函数⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,10,00,1)s g n (x x x x ，若)(x f 是R 上的增函数，且)1)(()()(>-=a ax f x f x g ，则（B ）A ．)sgn()](sgn[x x g =B ．)sgn()](sgn[x x g -=C ． )](sgn[)](sgn[x f x g =D ．)](sgn[)](sgn[x f x g -= 【答案】B【解析】试题分析：因为()f x 是R 上的增函数，令x x f =)(，所以x a x g )1()(-=，因为1>a ，所以)(x g 是R 上的减函数，1,0sgn[()]0,0sgn 1,0x g x x x x ->⎧⎪===-⎨⎪<⎩.8.在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边长分别为c b a ,,，若120=∠C ，a c 2=，则( A )A.b a >B. b a <C. b a =D. b a 与的大小关系不能确定9. 在函数①x x y cos sin +=，②x y sin = ，③)32sin(π-=x y ,④)42tan(π-=x y ，⑤x x y c o s si n ⋅=，⑥|2|cos x y =中最小正周期为π的函数个数为（ B ）A.3个B. 4个C. 5个D. 6个10.已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则的取值范围是（ C ）A.()2,+∞B.()1,+∞C.(),2-∞-D.(),1-∞-11、已知函数()cos (0),.f x x x x R ωωω=+>∈在曲线()y f x =与直线1y =的交点中，若相邻交点距离的最小值为3π，则()f x 的最小正周期为（ C ） A.2πB.23πC.πD.2π【答案】C因为()2sin()6f x x πω=+，所以由()2sin()16f x x πω=+=得：266x k ππωπ+=+或52,(,)66x m m k Z ππωπ+=+∈,所以由相邻交点距离的最小值为3π得：52,2,.366T ππππωωπω⋅=-===选C. 12.设数列{}n a 的前项和为n S ．已知1a a =，n n n n S S 322311⨯-=-++,若1n n a a +≥，*n ∈N ，则的取值范围是（ A ）．A. [)9-+∞，B. ]9,(--∞C. ]9,(-∞D. ),9[+∞ 由①知13(3)2nn n S a -=+-，*n ∈N ，于是，当2n ≥时，1n n n a S S -=-1123(3)23(3)2n n n n a a ---=+-⨯---⨯1223(3)2n n a --=⨯+-，12143(3)2n n n n a a a --+-=⨯+-22321232n n a --⎡⎤⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当2n ≥时，21312302n n n a a a -+⎛⎫⇔+- ⎪⎝⎭≥≥9a ⇔-≥．又2113a a a =+>．综上，所求的的取值范围是[)9-+∞，二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.）13．已知是虚数单位, 41i ()1-i += 1 【解析】41i ()1-i +=244(1i)[]=i =12+, 14. 用{}c b a ,,min 表示c b a ,,三个数中的最小值，设{}x x x f x -+=10,2,2min )( )0(≥x ，则)(x f 的最大值为_6_______．【答案】6【解析】观察图象可知f(x)＝2,022,2410,4x x x x x x ⎧≤<⎪+≤<⎨⎪-≥⎩，∴f(x)的最大值在x ＝4时取得15．将全体正整数j i a ,从左向右排成一个直角三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ． ． ． ． ．．．1,i a 2,i a 3,i a ．．． j i a , ．．． 1,1+i a 2,1+i a 3,1+i a ．．． j i a ,1+ ．．． ．．．．．．．．．．．．按照以上排列的规律，若定义ji a j i f ,2),(=，则4)3,20(log 2f = 190 16. 已知函数3()23f x x x =-.若过点(1,)P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切，则t 的取值范围是 (3,1)-- ；同零点”， '()g x =21212x x -=12(1)x x -，()g x 与'()g x 的情况如下：所以，(0)3g t =+是()g x 的极大值，(1)1g t =+是()g x 的极小值，当(0)30g t =+≤，即3t ≤-时，此时()g x 在区间(,1]-∞和(1,)+∞上分别至多有1个零点，所以()g x 至多有2个零点，当(1)10g t =+≥，1t ≥-时，此时()g x 在区间(,0)-∞和[0,)+∞上分别至多有1个零点，所以()g x 至多有2个零点.当(0)0g >且(1)0g <，即31t -<<-时，因为(1)70g t -=-<，(2)110g t =+>，所以()g x 分别为区间[1,0),[0,1)-和[1,2)上恰有1个零点，由于()g x 在区间(,0)-∞和(1,)+∞上单调，所以()g x 分别在区间(,0)-∞和[1,)+∞上恰有1个零点.综上可知，当过点(1,)P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切时，t 的取值范围是(3,1)--.三、解答题（本大题共6小题,共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（本小题满分10分）函数()sin()(0,0,||)2f x A x A ωφωφπ=+>><部分图象如图所示．（1）求()f x 的最小正周期及解析式；（2）设()()cos 2g x f x x =-，求函数()g x 在区间[0,]2x π∈上的单调性．【答案】：（1）由图可得1A =，22362T πππ=-=，所以T =π 2分；以2ω= 3分；当6x π=时，()1f x =，可得 sin(2)16ϕπ⋅+=，因为||2ϕπ<， 所以6ϕπ= 5分所以()f x 的解析式为()sin(2)6f x x π=+ 6分（3）()()cos 2sin(2)cos 26g x f x x x x π=-=+-sin 2cos cos 2sin cos 266x x x ππ=+-12cos 222x x =-sin(2)6x π=-因为02x π≤≤，所以52666x πππ-≤-≤ 10分 由2626πππ≤-≤-x 得30π≤≤x ； 当65622πππ≤-≤x 得23ππ≤≤x ，故()g x 在]3,0[π单调递增，在]2,3[ππ单调递减． 18．（本小题满分12分）已知某中学联盟举行了一次“盟校质量调研考试”活动．为了解本次考试学生的某学科成绩情况，从中抽取部分学生的分数（满分为100分，得分取正整数，抽取学生的分数均在[]50,100之内）作为样本（样本容量为n ）进行统计．按照[]50,60，[]60,70，[]70,80，[]80,90， []90,100的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（茎叶图中仅列出了得分在[]50,60，[]90,100的数据）．（Ⅰ）求样本容量n 和频率分布直方图中的x 、y 的值；（Ⅱ）在选取的样本中，从成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加“省级学科基础知识竞赛”，求所抽取的2名学生中恰有一人得分在[]90,100内的概率． 【答案】：（Ⅰ）由题意可知，样本容量8500.01610n ==⨯， …2分20.0045010y ==⨯， ……4分0.1000.0040.0100.0160.0400.030x =----=．……6分（Ⅱ）由题意可知，分数在[80,90]内的学生有5人，记这5人分别为12345,,,,a a a a a ，分数在[90,100]内的学生有2人，记这2人分别为12,b b ，抽取2名学生的所有情况有21种，分别为：()()()()()()()()()()()1213141511122324252122,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a a a a a a a a ab a b a a a a a a a b a b ()()()()()()()()()()34353132454142515212,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a a a a a b a b a a a b a b a b a b b b ．其中2名同学的分数恰有一人在[90,100]内的情况有10种， ∴ 所抽取的2名学生中恰有一人得分在[90,100]内的概率10P 21=． 19．（本小题满分12分）已知向量()()sin ,sin ,cos ,cosA ,sin 2m A B n B m n C ===，且A B C 、、分别为ABC ∆的三边,,a b c 所对的角． （1）求角C 的大小；（2）若sin ,sin ,sin A C B 成等差数列，且()18CA AB AC -=，求边的长． 【答案】：（1）对于ABC ∆，,0C A B C ππ+=-<<， ∴()sin sin A B C +=；∴sin m n C =，又∵sin 2m n C =，∴1sin 2sin ,cos ,23C C C C π===． （2）由sin ,sin ,sinB A C 成等差数列，得2sin sin sin C A B =+； 由正弦定理得2c a b =+，∵()18CA AB AC -=，∴18CA CB =，即cos 18,36ab C ab ==，由余弦定理()22222cos 3c a b ab C a b ab =+-=+-，∴2224336,36c c c =-⨯=，∴6c =．20．（本小题满分12分）如图，在矩形ABCD 中，2AB BC =，点M 在边CD 上，点F 在边AB 上，且DF AM ⊥，垂足为E ，若将ADM ∆沿AM 折起，使点D 位于'D 位置，连接','D B D C ，得四棱锥'D ABCM -．(1)求证：平面'D EF ⊥平面AMCB ； (2)若π'3D EF ∠=，直线'D F 与平面ABCM 所成角的大小为π3，求直线'AD 与平面AMCB 所成角的正弦值． 【答案】：(1)E EF E D EF AM E D AM=⋂'⊥'⊥,,EFD AM '⊥∴面AM AMCB ⊂面EF D AMCB'⊥∴面面(2)过D '作EF HD ⊥'于H平面'D EF ⊥平面AMCB∴⊥'H D 平面AMCB 直线'D F 与平面ABCM 所成角的大小为3π∴3D FE π'∠= '3D EF π∠=∴EF D '∆是正三角形直线AD'与平面ABCM所成角为AHD '∠，设2=EF ，则3='H D ,5=AH ,22='D A ∴sin D AH '∠=46 21．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前项和2*3,4n n nS n N +=∈． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2{}n b 的前项和．【答案】：（1）当1n =时，111a S ==；当2n ≥时，()()22113131442n n n n n n n n a S S --+-++=-=-=因为11a =也适合上式，因此，数列{}n a 的通项公式为12n n a +=（2）由（1）知，12n n a +=记数列{}n b 的前项和为n T )11111(1)2[()()]2312n n n n ++++--++-++记11111(1)2,()()2312n n B n n ++++=-++-++，则22n A n +=，{}n b 22．（本小题满分12分）已知21()2f x x =，()ln (0)g x a x a =>. （1）求函数()()()F x f x g x =的极值；（2）若函数()()()(1)G x f x g x a x =-+-在区间1(,)e e内有两个零点，求的取值范围； （3）求证：当0x >时，231ln 04x x x e+->. 【答案】（1）21()()()ln (0)2F x f x g x ax x x ==> ∴'11()ln (ln )22F x ax x ax ax x =+=+由'()0F x >得12x e ->，由'()0F x <，得120x e -<<∴()F x 在12(0,]e -上单调递减，在12[,)e -+∞上单调递增，∴12min ()()4aF x F e e-==-，()F x 无极大值. （2）21()ln (1)2G x x a x a x =-+-∴'()(1)()1a x a x G x x a x x+-=-+-= 又10,a x e e><<，易得()G x 在1(,1]e 上单调递减，在[1,)e 上单调递增，要使函数()G x 在1(,)e e内有两个零点，需1()0(1)0()0G e G G e ⎧>⎪⎪<⎨⎪>⎪⎩，即2211021102(1)02a a e e a e a e a -⎧++>⎪⎪⎪+-<⎨⎪⎪+-->⎪⎩，∴22212212222e a e e a e e a e -⎧>⎪+⎪⎪<⎨⎪⎪->⎪-⎩，∴2211222e a e e -<<+，即的取值范围是2211(,)222e e e -+. （3）问题等价于223ln 4x x x x e >-由（1）知2()ln F x x x =的最小值为12e -令23()4x x R x e =-（0x >）∴'(2)()xx x R x e -=- 易知()R x 在(0,2]上单调递增，[2,)+∞上单调递减∴max 243()(2)4R x R e ==- 又222143314(38)(2)()024424e e e e e e e-----=--=> ∴min max ()()F x R x >，223ln 4x x x x e >-故当0x >时，231ln 04x x x e +->成立.。
湖南省衡阳市第八中学2017届高三第三次(10月)月考理数试题 含解析
湖南省衡阳市八中2017届高三第三次（10月）月考数学（理)试题一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.若复数z 满足2iz =，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为（ )A ．2-B ．2C ．2i -D ．2i 【答案】A考点:复数的应用. 2。
“6πα=”是“3tan α=”的（ ）条件 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．即不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 试题分析:若6πα=,则336tan=π;若3tan 3α=,则6ππα+=k ，推不出6πα=.所以“6πα=" 是“3tan α=”成立的充分不必要条件。
故选A 。
考点：充分必要条件。
3。
下列函数中，在区间()1,+∞上为增函数的是（ ）A ．21xy =-+ B ．1x y x=- C ．()12log 1y x =- D ．()21y x =--【答案】B【解析】试题分析:A 项,21x y =-+在()1,+∞上是减函数,故不符合题意.B 项，1x y x =-111-+-=x 在()1,+∞上为增函数,故B 符合题意。
C 项,()12log 1y x =-在()1,+∞上是减函数，故不符合题意。
D 项，()21y x =--在()1,+∞上是减函数,故不符合题意。
故本题正确选项为B. 考点:函数的单调性。
4.已知正项数列{}n a 中，()22212111,2,22n n n a a a a a n +-===+≥，则6a =( ）A ． 16B ．8C ．22D ．4 【答案】D考点：等差数列的基本性质. 5.若向量,a b 的夹角为3π，且2,1a b ==，则a 与2a b +的夹角为（ ） A ．6π B ． 3π C ． 23πD ．56π【答案】A 【解析】试题分析：设向量a 与2a b +的夹角等于α,因为向量,a b 的夹角为3π，且2,1a b ==,所以63cos12242)2(2=⨯⨯⨯+=•+=+•πb a a b a a ，22(2)44421cos3a b a b π+=+=++⨯⨯⨯23=2332262cos =⨯=+=∴ba a α，[]πα,0∈ ，6πα=∴。
湖南省衡阳八中高三数学第四次月考(理) 新人教版
AC衡阳市八中2010届高三第四次月考试卷数 学(理科)一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，答案唯一） 1.已知A={x|y=log 2(x-1)},B={y|y=1(2x},则AB=( )A.(0,+∞)B. (1,+ ∞)C. (0,1)D. φ2.“ab=4”是“直线 2x+ay-1=0 与直线bx+2y-2=0平行 ”的（ ） A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C ．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件3. 设有不同直线m 、n 和不同平面α、β,γ.下列四个命题中， ①//,//,n αα若m 则m ‖n ②,,m n m nαα⊥⊥若则‖ ③,,αγβγαβ⊥⊥若则‖ ④,//,,m αββγαγ⊥⊥若则m ‖其中正确命题的序号是( )A. ①②B. ②③C. ③④D. ②④4.在平面直角坐标系中,O 是原点,点A(2,3),点p(x,y )满足约束条件≥⎧⎪≥⎨⎪≤⎩x+y 3x-y -12x-y 3则OP OA ∙的最小值为( )A. 6B. 7C.8D.235.如图，圆O 的半径OB 垂直于直径AC ，M 为AO 上一点，延长BM 交圆O 于点N ，若圆O 的半径为，则MN 的长为（ ） A.4 B. 3 C. 2 D.16给出下列四个命题：①1134(0,1),log log x x x ∃∈>②131(0,),()log 3xx x ∀∈+∞>③22,()m m R f x x x ∃∈=+为偶函数④22,()mm R f x x x∃∈=+为奇函数。
其中为真命题的个数有（ ）A.1B. 2C. 3D. 47．已知函数f(x)是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x,y 都有xf(x+1)=(1+x)f(x)，则f[f(52)]的值为（ ） A. 0 B.12 C. 1 D. 528.已知a>0且a 21,()xf x x a ≠=-,当x (1,1)∈-时均有1()2f x <则实数a 的取值范围是（ ）正视图侧视图俯视图A.(0，1][2,)2+∞ B.1[,1)(1,4]4C.1[,1)(1,2]2D.1(0,][4,)4+∞二.填空题(每小题5分,共35分.)9.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为10.若0,2πθ≤≤当点(1,cos)θ到直线sin cos10x yθθ+-=的距离是1,4则这条直线的斜率是.11.不等式1|||5|1x ax+>-+对于一切非零实数x均成立，则实数a的取值范围是.12.已知数列{na}的通项公式为221()2()nnn nan-⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，nS是数列{na}的前n项和，则20S= .13.已知函数())(0)f xϕϕπ=+<<，若()()f x f x+/是奇函数，则ϕ= . 14.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F 且如下四个结论：①AC⊥BE②EF//平面ABCD③三棱锥A-BEF的体积为定值④异面直线AE，BF所成的角为定值。
湖南省衡阳市八中高三数学第四次月考试卷 理
衡阳市八中2013届高三四次月考数 学（理科）（考试内容：集合与逻辑、函数与导数、三角与向量、不等式、数列、立体几何、解析几何）共150分，考试用时120分钟。
一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1、已知全集={0,1,2,3,4}，集合A={1,2,3}，B={2,4} ，则()U A B ⋃ð为( )A {1,2,4}B {2,3,4}C {0,2,4}D {0,2,3,4} 2、设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x =-，则抛物线的方程是 ( )A ．28y x =-B ．28y x =C ．24y x =-D ．24y x =3、某几何体的三视图如图所示，则它的体积是( )A ．283π-B ．83π-C ．82π-D ．23π 4、设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线L 1：ax+2y-1=0与直线L 2 ：x+(a+1)y+4=0平行”的( )A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件5、若椭圆12222=+by a x 与双曲线122=-y x 有相同的焦点，且过抛物线x y 82=的焦点，则该椭圆的方程是（ ）A ．12422=+y x B ．1322=+y x C ．14222=+y x D ．1322=+y x 6、若△ABC 的内角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、满足4)22=-+c b a （，且60=C ，则ab 的值为（ ）A. 23 B ．8－4 3 C ．1 D. 437、已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且369S S =，则数列{1a n}的前5项和为( ) A.158或5 B.3116或5 C.3116D.1588．设集合{(,)|,,1•A x y x y x y =--是三角形的三边长}，则A 所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是( )二、填空题：（本大题共7小题，每小题5分，共35分。
湖南省衡阳八中高三数学上学期第四次月考试题 理 新人
1o xy衡阳市八中2015届高三第四次月考试题数 学（理科）考生注意：本试卷共21道小题，满分150分，时量120分钟.一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个答案中，只有一项是符合题目要求的。
请将你认为正确的选项填在答题卡的相应的位置上。
） 1．已知复数z 满足()3425i z +=，则z =（ ）A.34i -B.34i +C.34i --D.34i -+2．已知向量m ＝(λ＋1，1)，n ＝(λ＋2，2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝（ ）A ．－4B ．－3C ．－2D ．－13．若集合{}0,1,2,3,4A =，集合{}2B x x A x A =∈-∉且，则集合B 的子集的个数为 （ ）A ．1B ．2C ．4D ．84．等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于 （ ）A ．6B ．5C ．4D ．35. “a ≤0”是“函数()=(+1)f x ax x 在区间(0,+)∞内单调递增”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．函数()f x 的导数'()f x 的图像是如图所示的一条直线l ，l 与x 轴交点坐标为(1,0)，则(0)f 与(2)f 的大小关系为（ ） A ．(0)(2)f f < B ．(0)(2)f f >C ．(0)(2)f f =D ．无法确定7．为得到函数sin()3y x π=+的图象，可将函数sin y x =的图象向左平移m 个单位长度，或向右平移n 个单位长度（m ，n 均为正数），则||m n -的最小值是( ) A ．3π B ．23π C ．43π D ．53π8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*,(,n m n mS S m n N m n==∈且)m n ≠，则下列各值中可以为n m S +的值的是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．59．已知关于x 的方程cos xk x=在(0,)+∞有且仅有两根，记为,()αβαβ<，则下列的四个命题正确的是（ ）A ．2sin 22cos ααα= B ．2cos 22sin ααα= C ．2sin 22sin βββ=- D ．2cos 22sin βββ=-10．已知函数()cos f x x =，,,a b c 分别为ABC ∆的内角A,B,C 所对的边，且222334a b c ab +-=，则下列不等式一定成立的是（ ）A. (sin )(cos )f A f B ≤B. (sin )(cos )f A f B ≥C. (sin )(sin )f A f B ≥D. (cos )(cos )f A f B ≤二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.） 11．不等式102xx-≤-的解集为_______ ___ 12．已知点(),2P t 在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+14x x y y x 所表示的平面区域内运动，l 为过点P 和坐标原点O 的直线，则l 的斜率的取值范围为 ．13． 已知点C 在直线AB 上运动，O 为平面上任意一点，且4OC xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r(x y ∈+R ，)，则⋅x y 的最大值是 ．14．设0=⎰a ,对任意∈x R ，不等式2(cos )cos 0-+≥a x m x π恒成立，则实数m 的取值范围是 ．15．已知数列A ：123,,,,n a a a a L *(3)n n N ≥∈，中， 令{}*|,1,,A i j T x x a a i j n i j N==⋅≤<≤∈，()Acard T 表示集合AT中元素的个数．（例如:1,2,4A ，则()A card T = 3.）若1i ia c a +=（c 为常数，且1c >，11i n ≤≤-）则()A card T = ．三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分）已知ABC ∆中，21,,3AC ABC BAC xπ=∠=∠=，记()f x AB BC =⋅u u u r u u u r ． （1）求()f x 解析式并标出其定义域；（2）设()6()1(0)=+<g x mf x m ，若()g x 的值域为3[,1)2-，求实数m 的值．17.（本小题满分12分）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是平行四边形，且1AA ⊥底面ABCD ， 2AB =，14AA BC ==，60ABC ∠=°，点E 为BC 中点，点F 为11B C 中点.（1）求证：平面1A ED ⊥平面1A AEF ；（2）设二面角1A ED A --的大小为α，直线AD 与平面1A ED所成的角为β，求sin()αβ+的值.18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的各项均为正数，n S 表示数列{}n a 的前n 项的和，且22n n n S a a =+.（1）试求数列{}n a 的通项；（2）设2=⋅n an n b a ，求{}n b 的前n 项和n T ．19．（本小题满分13分）省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数()f x 与时刻x （时）的关系为()[]2222,0,2413x f x a a x x =-++∈+， 其中a 是与气象有关的参数，且[]0,1a ∈，若用每天()f x 的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作()M a ．A BCDA 1B 1C 1D 1EF（1）令221xt x =+，[]0,24x ∈，求t 的取值范围； （2）省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？20．（本小题满分13分）等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知]任意的n ∈N *，点(n ，S n )均在函数y ＝b x＋r (b ＞0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图象上． (1)求r 的值；(2)当b ＝2时，记212log n n b a += (n ∈N *)．证明：对任意的n ∈N *，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n＞n ＋1成立．21．（本小题满分13分）设()xg x e =，()[(1)]()f x g x a g x =λ+-λ-λ，其中,a λ是常数，且01λ<<． （1）求函数()f x 的最值；（2）证明：对任意正数a ，存在正数x ，使不等式()11g x a x--<成立； （3）设120,0λλ>>，且121λλ+=，证明：对任意正数21,a a 都有：12121122a a a a λλ≤λ+λ．衡阳市八中2015届高三第四次月考数学（理科）参考答案二、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个答案中，只有一项是符合题目要求的。
湖南省衡阳八中2017届高三上学期第四次月考数学试卷(文科)Word版含解析
2016-2017学年湖南省衡阳八中高三（上）第四次月考数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={x|（x+1）（x﹣2）≤0}，集合B为整数集，则A∩B=（）A．{﹣1，0} B．{0，1}C．{﹣2，﹣1，0，1} D．{﹣1，0，1，2}2．i是虚数单位，复数z=1+在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．函数的最小正周期为（）A．2πB． C．πD．4．如图圆C内切于扇形AOB，∠AOB=，若在扇形AOB内任取一点，则该点在圆C内的概率为（）A．B．C．D．5．已知f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=﹣（x﹣1）2+1，满足f[f（a）]=的实数a的个数为（）A．2 B．4 C．6 D．86．设向量=（1，sinθ），=（3sinθ，1），且∥，则cos2θ等于（）A．B． C．D．7．已知实数a i，b i∈R，（i=1，2，…n），且满足a12+a22+…a n2=1，b12+b22+…b n2=1，则a1b1+a2b2+…+a n b n的最大值为（）A．1 B．2 C．n D．28．明代程大位《算法统宗》卷10中有题：“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头儿盏灯？”你的答案是（）A．2盏B．3盏C．4盏D．7盏9．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，俯视图是圆心角为的扇形，则该几何体的侧面积为（）A．B．1+C．1+D．1++10．给出计算的值的一个程序框图如图，其中判断框内应填入的条件是（）A．i＞10 B．i＜10 C．i＞20 D．i＜2011．已知双曲线Γ：﹣=1（a＞0，b＞0）的上焦点F（0，c）（c＞0），M是双曲线下支上的一点，线段MF与圆x2+y2﹣y+=0相切于点D，且|MF|=3|DF|，则双曲线Γ的渐近线方程为（）A．4x±y=0 B．x±4y=0 C．2x±y=0 D．x±2y=012．设直线l1，l2分别是函数f（x）=图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，2）C．（0，+∞）D．（1，+∞）二.填空题（每题5分，共20分）13．已知函数f（x）=是（﹣∞，+∞）上的增函数，那么实数a的取值范围是．14．已知点A（0，2）为圆M：x2+y2﹣2ax﹣2ay=0外一点，圆M上存在点T使得∠MAT=45°，则实数a的取值范围是．15．长方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，E为AB的中点，CE=3，cos∠ACE=，且四边形ABB1A1为正方形，则球O的直径为．16．某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是0.8πr2分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米．已知每出售1mL饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm，则瓶子半径为cm时，每瓶饮料的利润最小．三.解答题（共6题，共70分）17．已知数列a n的各项为正数，前n和为S n，且．（1）求证：数列a n是等差数列；（2）设，求T n．18．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD的交点为G，AD⊥平面ABE，AE⊥EB，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥CE．（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；（Ⅱ）求三棱锥C﹣GBF的体积．19．某种商品在50个不同地区的零售价格全部介于13元与18元之间，将各地价格按如下方式分成五组：第一组[13，14）；第二组[14，15），…，第五组[17，18]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（Ⅰ）求价格在[16，17）内的地区数，并估计该商品价格的中位数（精确到0.1）；（Ⅱ）设m、n表示某两个地区的零售价格，且已知m，n∈[13，14）∪[17，18]，求事件“|m﹣n|＞1”的概率．20．已知点P在椭圆C： +=1（a＞b＞0）上，以P为圆心的圆与x轴相切于椭圆的右焦点F2，且•=2，tan∠OPF2=，其中O为坐标原点．（1）求椭圆C的方程；（2）已知点M（﹣1，0），设Q是椭圆C上的一点，过Q、M两点的直线l交y轴于点N，若=2，求直线l的方程；（3）作直线l1与椭圆D： +=1交于不同的两点S，T，其中S点的坐标为（﹣2，0），若点G（0，t）是线段ST垂直平分线上一点，且满足•=4，求实数t的值．21．已知函数．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对于∀x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，试求a的取值范围；（Ⅲ）记g（x）=f（x）+x﹣b（b∈R）．当a=1时，函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围．[选修4-4．坐标系与参数方程]22．在直角坐标系中，曲线C的参数方程为，（ϕ为参数），直线l的参数方程为（t为参数）．以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为．（Ⅰ）求点P的直角坐标，并求曲线C的普通方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C的两个交点为A，B，求|PA|+|PB|的值．[选修4-5．不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x+3|．（1）解不等式f（x）≥8；（2）若不等式f（x）＜a2﹣3a的解集不是空集，求实数a的取值范围．2016-2017学年湖南省衡阳八中高三（上）第四次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={x|（x+1）（x﹣2）≤0}，集合B为整数集，则A∩B=（）A．{﹣1，0} B．{0，1}C．{﹣2，﹣1，0，1} D．{﹣1，0，1，2}【考点】交集及其运算．【分析】由题意，可先化简集合A，再求两集合的交集．【解答】解：A={x|（x+1）（x﹣2）≤0}={x|﹣1≤x≤2}，又集合B为整数集，故A∩B={﹣1，0，1，2}故选D．2．i是虚数单位，复数z=1+在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则和几何意义即可得出．【解答】解：复数z=1+=1=1﹣i在复平面内对应的点（1，﹣1）位于第四象限．故选：D．3．函数的最小正周期为（）A．2πB． C．πD．【考点】三角函数的周期性及其求法；同角三角函数基本关系的运用．【分析】先将函数化简为y=Asin（ωx+φ）的形式即可得到答案．【解答】解：由可得最小正周期为T==2π，故选A．4．如图圆C内切于扇形AOB，∠AOB=，若在扇形AOB内任取一点，则该点在圆C内的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型；扇形面积公式．【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件对应的包含的事件对应的是扇形AOB，满足条件的事件是圆，根据题意，构造直角三角形求得扇形的半径与圆的半径的关系，进而根据面积的求法求得扇形OAB的面积与⊙P的面积比．【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，设圆C的半径为r，试验发生包含的事件对应的是扇形AOB，满足条件的事件是圆，其面积为⊙C的面积=π•r2，连接OC，延长交扇形于P．由于CE=r，∠BOP=，OC=2r，OP=3r，==；则S扇形AOB∴⊙C的面积与扇形OAB的面积比是．∴概率P=，故选C．5．已知f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=﹣（x﹣1）2+1，满足f[f（a）]=的实数a 的个数为（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】函数奇偶性的性质．【分析】令f（a）=x，则f[f（a）]=转化为f（x）=．先解f（x）=在x≥0时的解，再利用偶函数的性质，求出f（x）=在x＜0时的解，最后解方程f（a）=x即可．【解答】解：令f（a）=x，则f[f（a）]=变形为f（x）=；当x≥0时，f（x）=﹣（x﹣1）2+1=，解得x1=1+，x2=1﹣；∵f（x）为偶函数，∴当x＜0时，f（x）=的解为x3=﹣1﹣，x4=﹣1+；综上所述，f（a）=1+，1﹣，﹣1﹣，﹣1+；当a≥0时，f（a）=﹣（a﹣1）2+1=1+，方程无解；f（a）=﹣（a﹣1）2+1=1﹣，方程有2解；f（a）=﹣（a﹣1）2+1=﹣1﹣，方程有1解；f（a）=﹣（a﹣1）2+1=﹣1+，方程有1解；故当a≥0时，方程f（a）=x有4解，由偶函数的性质，易得当a＜0时，方程f（a）=x也有4解，综上所述，满足f[f（a）]=的实数a的个数为8，故选D．6．设向量=（1，sinθ），=（3sinθ，1），且∥，则cos2θ等于（）A．B． C．D．【考点】二倍角的余弦．【分析】根据向量平行时满足的条件，列出关系式，化简后得到sin2θ的值，然后把所求的式子利用二倍角的余弦函数公式化简后，将sin2θ的值代入即可求出值．【解答】解：∵∥，∴=，即sin2θ=，则cos2θ=1﹣2sin2θ=1﹣2×=．故选D7．已知实数a i，b i∈R，（i=1，2，…n），且满足a12+a22+…a n2=1，b12+b22+…b n2=1，则a1b1+a2b2+…+a n b n的最大值为（）A．1 B．2 C．n D．2【考点】二维形式的柯西不等式．【分析】由条件利用柯西不等式可得（a12+a22+…+a n2）•（b12+b22+…+b n2）=1≥（a1b1+a2b2+…+a n b n）2，由此求得a1b1+a2b2+…+a n b n的最大值．【解答】解：∵a12+a22+…+a n2=1，b12+b22+…+b n2=1，则由柯西不等式可得（a12+a22+…+a n2）•（b12+b22+…+b n2）≥（a1b1+a2b2+…+a n b n）2，即1×1≥（a1b1+a2b2+…+a n b n）2，故（a1b1+a2b2+…+a n b n）2的最大值为1，故a1b1+a2b2+…+a n b n的最大值为1，故选：A．8．明代程大位《算法统宗》卷10中有题：“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头儿盏灯？”你的答案是（）A．2盏B．3盏C．4盏D．7盏【考点】等比数列的前n项和．【分析】利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：设每层塔的灯盏数为a n，数列{a n}是公比为2的等比数列．由题意可得：，解得a1=3，故选：B．9．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，俯视图是圆心角为的扇形，则该几何体的侧面积为（）A．B．1+C．1+D．1++【考点】由三视图求面积、体积．【分析】三视图复原几何体是四分之一圆锥，根据数据计算即可．【解答】解：由三视图可知，该几何体是一个沿着对称轴切开的四分之一圆锥，该圆锥的母线l长，其侧面积为：•+2•=1+，故选：C．10．给出计算的值的一个程序框图如图，其中判断框内应填入的条件是（）A．i＞10 B．i＜10 C．i＞20 D．i＜20【考点】循环结构．【分析】结合框图得到i表示的实际意义，要求出所需要的和，只要循环10次即可，得到输出结果时“i”的值，得到判断框中的条件．【解答】解：根据框图，i﹣1表示加的项数当加到时，总共经过了10次运算，则不能超过10次，i﹣1=10执行“是”所以判断框中的条件是“i＞10”故选A11．已知双曲线Γ：﹣=1（a＞0，b＞0）的上焦点F（0，c）（c＞0），M是双曲线下支上的一点，线段MF与圆x2+y2﹣y+=0相切于点D，且|MF|=3|DF|，则双曲线Γ的渐近线方程为（）A．4x±y=0 B．x±4y=0 C．2x±y=0 D．x±2y=0【考点】双曲线的简单性质．【分析】由圆的方程求出圆心坐标，设出D的坐标，由题意列式求出D的坐标，结|MF|=3|DF|，求得M的坐标，再把M的坐标代入双曲线方程求得答案．【解答】解：由x2+y2﹣y+=0，得x2+（y﹣）2=，则该圆的圆心坐标为（0，），半径为．设切点D（x0，y0）（y0＞0），则由x2+y2﹣y+=0与（x0，y0﹣c）•（x0，y0﹣）=0，解得：x0=，y0=．∴D（，），由|MF|=3|DF|，得=3，得M（，﹣），代入双曲线Γ：﹣=1（a＞0，b＞0）整理得b=2a，∴双曲线Г的渐近线方程为y=±x．故选：D．12．设直线l1，l2分别是函数f（x）=图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，2）C．（0，+∞）D．（1，+∞）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设出点P1，P2的坐标，求出原分段函数的导函数，得到直线l1与l2的斜率，由两直线垂直求得P1，P2的横坐标的乘积为1，再分别写出两直线的点斜式方程，求得A，B两点的纵坐标，得到|AB|，联立两直线方程求得P的横坐标，然后代入三角形面积公式，利用基本不等式求得△PAB的面积的取值范围．【解答】解：设P1（x1，y1），P2（x2，y2）（0＜x1＜1＜x2），当0＜x＜1时，f′（x）=，当x＞1时，f′（x）=，∴l1的斜率，l2的斜率，∵l1与l2垂直，且x2＞x1＞0，∴，即x1x2=1．直线l1：，l2：．取x=0分别得到A（0，1﹣lnx1），B（0，﹣1+lnx2），|AB|=|1﹣lnx1﹣（﹣1+lnx2）|=|2﹣（lnx1+lnx2）|=|2﹣lnx1x2|=2．联立两直线方程可得交点P的横坐标为x=，∴|AB|•|x P|==．∵函数y=x+在（0，1）上为减函数，且0＜x1＜1，∴，则，∴．∴△PAB 的面积的取值范围是（0，1）． 故选：A ．二.填空题（每题5分，共20分）13．已知函数f （x ）=是（﹣∞，+∞）上的增函数，那么实数a 的取值范围是 （1，3] ．【考点】指数函数单调性的应用．【分析】由题意可得 a ＞1且 a 0≥3a ﹣8，由此求得实数a 的取值范围．【解答】解：∵函数是（﹣∞，+∞）上的增函数，∴a ＞1且 a 0≥3a ﹣8，解得 1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是（1，3]， 故答案为 （1，3]． 14．已知点 A （0，2）为圆M ：x 2+y 2﹣2ax ﹣2ay=0外一点，圆M 上存在点T 使得∠MAT=45°，则实数a 的取值范围是 ≤＜或≤ ． 【考点】圆的一般方程．【分析】化标准方程易得圆的圆心为M （a ，a ），半径r=a ，由题意可得1≥≥sin ∠MAT ，由距离公式可得a 的不等式，解不等式可得．【解答】解：化圆的方程为标准方程可得（x ﹣a ）2+（y ﹣a ）2=2a 2，∴圆的圆心为M （a ，a ），半径r=|a |，∴AM=，TM=|a |，∵AM 和TM 长度固定，∴当T 为切点时，∠MA T 最大，∵圆M 上存在点T 使得∠MAT=45°，∴若最大角度大于45°，则圆M 上存在点T 使得∠MAT=45°，∴=≥sin ∠MAT=sin45°=，整理可得a 2+2a ﹣2≥0，解得a ≥或a ≤，又=≤1，解得a ≤1，又点A（0，2）为圆M：x2+y2﹣2ax﹣2ay=0外一点，∴02+22﹣4a＞0，解得a＜1综上可得≤a＜1或a≤故答案为：≤a＜1或a≤15．长方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，E为AB的中点，CE=3，cos∠ACE=，且四边形ABB1A1为正方形，则球O的直径为4或．【考点】球的体积和表面积．【分析】设AB=2x，则AE=x，BC=，由余弦定理可得x2=9+3x2+9﹣2×3××，求出x，即可求出球O的直径．【解答】解：设AB=2x，则AE=x，BC=，∴AC=由余弦定理可得x2=9+3x2+9﹣2×3××，∴x=1或，∴AB=2，BC=2，球O的直径为=4，或AB=2，BC=，球O的直径为=．故答案为：4或．16．某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是0.8πr2分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米．已知每出售1mL饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm，则瓶子半径为1cm时，每瓶饮料的利润最小．【考点】根据实际问题选择函数类型．【分析】先确定利润函数，再利用求导的方法，即可得到结论．【解答】解：由于瓶子的半径为rcm，每出售1ml的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商制作的瓶子的最大半径为6cm，∴每瓶饮料的利润是y=f（r）=0.2×πr3﹣0.8πr2，0＜r≤6，令f′（r）=0.8πr2﹣0.8πr=0，则r=1，当r∈（0，1）时，f′（r）＜0；当r ∈（1，6）时，f ′（r ）＞0．∴函数y=f （r ）在（0，1）上单调递减，在（1，6）上单调递增， ∴r=1时，每瓶饮料的利润最小． 故答案为：1．三.解答题（共6题，共70分）17．已知数列a n 的各项为正数，前n 和为S n ，且．（1）求证：数列a n 是等差数列；（2）设，求T n ．【考点】等差关系的确定；数列的求和．【分析】（1）先根据a 1=求出a 1的值，再由2a n =2（S n ﹣S n ﹣1）可得，将其代入整理可得到（a n +a n ﹣1）（a n ﹣a n ﹣1﹣1）=0，再由a n +a n ﹣1＞0可得到a n ﹣a n ﹣1=1，从而可证明{a n }是等差数列．（2）先根据（1）中的{a n }是等差数列求出其前n 项和Sn ，进而可表示出数列b n 的通项公式，最后根据数列求和的裂项法进行求解即可． 【解答】解：（1），n=1时，，∴所以（a n +a n ﹣1）（a n ﹣a n ﹣1﹣1）=0， ∵a n +a n ﹣1＞0∴a n ﹣a n ﹣1=1，n ≥2， 所以数列{a n }是等差数列（2）由（1），所以∴=18．如图，矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 的交点为G ，AD ⊥平面ABE ，AE ⊥EB ，AE=EB=BC=2，F 为CE 上的点，且BF ⊥CE ． （Ⅰ） 求证：AE ⊥平面BCE ； （Ⅱ）求三棱锥C ﹣GBF 的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定． 【分析】（Ⅰ）利用线面垂直的性质及判定可得BC ⊥平面ABE ，可得BC ⊥AE ．再利用线面垂直的判定定理可得AE ⊥平面BCE ；（Ⅱ）由三角形的中位线定理可得：FG ∥AE ，．利用线面垂直的性质可得FG⊥平面BCE ．再利用“等体积变形”即可得出V C ﹣GBF =V G ﹣BCF 计算出即可． 【解答】（I ）证明：∵AD ⊥面ABE ，AD ∥BC ， ∴BC ⊥面ABE ，AE ⊂平面ABE ， ∴AE ⊥BC ．…又∵AE ⊥EB ，且BC ∩EB=B ，∴AE ⊥面BCE ．… （II ）解：∵在△BCE 中，EB=BC=2，BF ⊥CE ， ∴点F 是EC 的中点，且点G 是AC 的中点，…∴FG ∥AE 且． …∵AE ⊥面BCE ，∴FG ⊥面BCE ． ∴GF 是三棱锥G ﹣BFC 的高 …在Rt △BCE 中，EB=BC=2，且F 是EC 的中点．…∴．…19．某种商品在50个不同地区的零售价格全部介于13元与18元之间，将各地价格按如下方式分成五组：第一组[13，14）；第二组[14，15），…，第五组[17，18]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（Ⅰ）求价格在[16，17）内的地区数，并估计该商品价格的中位数（精确到0.1）；（Ⅱ）设m 、n 表示某两个地区的零售价格，且已知m ，n ∈[13，14）∪[17，18]，求事件“|m ﹣n |＞1”的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式；众数、中位数、平均数．【分析】（Ⅰ）价格在[16，17﹚内的频数为0.32，价格在[16，17﹚内的地区数为16，设价格中位数为x，由0.06+0.16+（x﹣15）×0.38=0.5，能计该商品价格的中位数．（Ⅱ）由直方图知，价格在[13，14）的地区数为3，价格在[17，18）的地区数为4，由此能求出事件“|m﹣n|＞1”的概率．【解答】解：（Ⅰ）价格在[16，17﹚内的频数为1﹣（0.06+0.08+0.16+0.38）=0.32，所以价格在[16，17﹚内的地区数为50×0.32=16，…设价格中位数为x，由0.06+0.16+（x﹣15）×0.38=0.5，解得：x≈15.7（元）估计该商品价格的中位数为15.7．（Ⅱ）由直方图知，价格在[13，14）的地区数为50×0.06=3，记为x、y、z，价格在[17，18）的地区数为50×0.08=4，记为A、B、C、D，若m，n∈[13，14）时，有xy，xz，yz 3种情况，若m，n∈[17，18）时，有AB，AC，AD，BC，BD，CD6种情况，m n13141718事件“|m﹣n|＞1”所包含的基本事件个数有12种，∴事件“|m﹣n|＞1”的概率P（|m﹣n|＞1）=．…20．已知点P在椭圆C： +=1（a＞b＞0）上，以P为圆心的圆与x轴相切于椭圆的右焦点F2，且•=2，tan∠OPF2=，其中O为坐标原点．（1）求椭圆C的方程；（2）已知点M（﹣1，0），设Q是椭圆C上的一点，过Q、M两点的直线l交y轴于点N，若=2，求直线l的方程；（3）作直线l1与椭圆D： +=1交于不同的两点S，T，其中S点的坐标为（﹣2，0），若点G（0，t）是线段ST垂直平分线上一点，且满足•=4，求实数t的值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题． 【分析】（Ⅰ）由已知条件推导出PF 2⊥OF 2，设r 为圆P 的半径，c 为椭圆的半焦距，由，，求出，再由点P在椭圆，求出a 2=4，b 2=2，由此能求出椭圆C 的方程．（Ⅱ）设直线l 的方程为y=k （x +1），由N （0，k ），Q （x 1，y 1），，能求出直线l的方程．（Ⅲ）由题意知椭圆D ：，设直线l 1的方程为y=k （x +2），把它代入椭圆D 的方程得：（1+4k 2）x 2+16k 2x +（16k 2﹣4）=0，利用韦达定理能求出满足条件的实数t 的值．【解答】（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由题意知，在△OPF 2中，PF 2⊥OF 2，由，得：，设r 为圆P 的半径，c 为椭圆的半焦距，∵，∴，又，，解得：，∴点P 的坐标为，…∵点P 在椭圆C ：上，∴，又a 2﹣b 2=c 2=2，解得：a 2=4，b 2=2，∴椭圆C 的方程为．…（Ⅱ）由（Ⅰ）知椭圆C 的方程为，由题意知直线l 的斜率存在，故设其斜率为k ， 则其方程为y=k （x +1），N （0，k ），设Q （x 1，y 1），∵， ∴（x 1，y 1﹣k ）=2（﹣1﹣x 1，﹣y 1），∴，…又∵Q 是椭圆C 上的一点，∴，解得k=±4，∴直线l 的方程为4x ﹣y +4=0或4x +y +4=0．…（Ⅲ）由题意知椭圆D ：，由S （﹣2，0），设T （x 1，y 1），根据题意可知直线l1的斜率存在，设直线斜率为k，则直线l1的方程为y=k（x+2），把它代入椭圆D的方程，消去y，整理得：（1+4k2）x2+16k2x+（16k2﹣4）=0，由韦达定理得，则，y1=k（x1+2）=，所以线段ST的中点坐标为，，（1）当k=0时，则有T（2，0），线段ST垂直平分线为y轴，∴，由，解得：．…（2）当k≠0时，则线段ST垂直平分线的方程为y﹣=﹣（x+），∵点G（0，t）是线段ST垂直平分线的一点，令x=0，得：，∴，由，解得：，代入，解得：，综上，满足条件的实数t的值为或．…21．已知函数．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对于∀x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，试求a的取值范围；（Ⅲ）记g（x）=f（x）+x﹣b（b∈R）．当a=1时，函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）求出函数的定义域，在定义域内，求出导数大于0的区间，即为函数的增区间，求出导数小于0的区间即为函数的减区间．（Ⅱ）根据函数的单调区间求出函数的最小值，要使f（x）＞2（a﹣1）恒成立，需使函数的最小值大于2（a﹣1），从而求得a的取值范围．（Ⅲ）利用导数的符号求出单调区间，再根据函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，得到，解出实数b的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）直线y=x+2的斜率为1，函数f（x）的定义域为（0，+∞），因为，所以，，所以，a=1．所以，，．由f'（x）＞0解得x＞2；由f'（x）＜0，解得0＜x＜2．所以f（x）的单调增区间是（2，+∞），单调减区间是（0，2）．（Ⅱ），由f'（x）＞0解得；由f'（x）＜0解得．所以，f（x）在区间上单调递增，在区间上单调递减．所以，当时，函数f（x）取得最小值，．因为对于∀x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，所以，即可．则．由解得．所以，a的取值范围是．（Ⅲ）依题得，则．由g'（x）＞0解得x＞1；由g'（x）＜0解得0＜x＜1．所以函数g（x）在区间（0，1）为减函数，在区间（1，+∞）为增函数．又因为函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，所以，解得．所以，b的取值范围是．[选修4-4．坐标系与参数方程]22．在直角坐标系中，曲线C的参数方程为，（ϕ为参数），直线l的参数方程为（t为参数）．以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为．（Ⅰ）求点P的直角坐标，并求曲线C的普通方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C的两个交点为A，B，求|PA|+|PB|的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（I）消参数即可得到普通方程，根据极坐标的几何意义即可得出P的直角坐标；（II）将l的参数方程代入曲线C的普通方程得出A，B对应的参数，利用参数得几何意义得出|PA|+|PB|．【解答】解：（Ⅰ），y=sin=，∴P的直角坐标为；由得cosφ=，sinφ=．∴曲线C的普通方程为．（Ⅱ）将代入得t2+2t﹣8=0，设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=﹣2，t1t2=﹣8，∵P点在直线l上，∴|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|==6．[选修4-5．不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x+3|．（1）解不等式f（x）≥8；（2）若不等式f（x）＜a2﹣3a的解集不是空集，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（1）求出函数f（x）的分段函数的形式，通过解各个区间上的x的范围去并集即可；（2）求出f（x）的最小值，得到关于a的不等式，解出即可．【解答】解：（1）f（x）=|x﹣1|+|x+3|=，当x＜﹣3时，由﹣2x﹣2≥8，解得x≤﹣5；当﹣3≤x≤1时，f（x）≤8不成立；当x＞1时，由2x+2≥8，解得x≥3．所以不等式f（x）≥8的解集为{x|x≤﹣5或x≥3}．（2）因为f（x）=|x﹣1|+|x+3|≥4，又不等式f（x）＜a2﹣3a的解集不是空集，所以，a2﹣3a＞4，所以a＞4或a＜﹣1，即实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）．2017年1月11日。
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衡阳市八中2017届高三第四次月考理科数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.） 1．a 为正实数，i 为虚数单位，a i +=2，则a=（ ）A ．2 BCD ．12．已知集合M ＝{1，2，3，4}，则集合P ＝{x|x ∈M ，且2x ∉M}的子集的个数为( ) A ．8 B ．4 C ．3 D ．23．下列关于命题的说法错误的是（ ）A ．命题“若x 2﹣3x +2=0，则x=2”的逆否命题为“若x ≠2，则x 2﹣3x +2≠0”B ．“a=3”是“函数f （x ）=log a x 在定义域上为增函数”的充分不必要条件C ．若命题p ：∃n ∈N ，3n ＞100，则￢p ：∀n ∈N ，3n ≤100D ．命题“∃x ∈（﹣∞，0），3x ＜5x ”是真命题4．已知数列{a n }是等比数列，且a 3=1，a 5a 6a 7=8，则a 9=（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 5．已知212sin 2cos 1=+αα，则=αtan （ ）A ．2B ．3C ．21D ．316．已知公差不为0的等差数列{}n a 满足134a ,a ,a 成等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则3253S S S S --的值为（ ）A ．2-B ．3-C ．2D ．37．已知3sin 5ϕ=，且(,)2πϕπ∈，函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于2π，则()4f π的值为（ ）A ．35-B ．45-C ．35D ．458．已知函数()log (4)1a f x x =+-(0,1)a a >?的图像恒过定点A ，若直线2-=+nym x （,0m n >）也经过点A ，则3m+n 的最小值为（ ） A ．16 B ．8 C ．26611+ D ．14 9．已知：函数())20162016log 20162xx f x x -=+-+，则关于x 的不等式()()314f x f x ++>的解集为（ ）A ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．()0,+∞D ．(),0-∞10．设m ＞1，在约束条件1y x y mx x y ì³ïï£íï+?ïî下，目标函数z=x +my 的最大值小于2，则m 的取值范围为（ ）A ．（1，1B ．（1)+?C ．（1，3）D ．（3，)+?11．已知函数22 x 0()2 x<0x f x x x ì-?ï=í+ïî 则不等式(())3 f f x £的解集为( )A. (-,1]B.(-,2]∞∞∞∞12．设函数()f x 在R 上存在导数()f x ¢，对任意的x ∈R ，有2()()f x f x x -+=，且(0,)()x f x x ¢??时，．若(2)()22f a f a a --?，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[1,)+?B ．(,1]-?C ．(,2]-?D ．[2,)+?二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）13．已知a =4，b =2，且2a b +=a 与b的夹角为___________.14．已知222,,,249a b c R a b c a b c ?+++则的最小值为___________.15.在直角坐标系中,已知点A(2,0)和B(3,4),若点C 在AOB Ð的平分线上,且OC=5,则OC=______________.16．设函数()(0)22x f x x x =>+，观察：1()()22xf x f x x ==+； 21()(())64xf x f f x x ==+； 32()(())148x f x f f x x ==+； 43()(())3016x f x f f x x ==+……根据以上事实，当n ∈N *时，由归纳推理可得：(1)n f = ．三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
） 17.（本小题满分10分）已知函数()1f x x =-．(1)解不等式()(4)8f x f x ++?； (2)1,1,0,a b a <<?且求证：f （ab ）＞|a |f（）． 18．（本小题满分12分）已知函数2π()cos 12f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，1()1sin 22g x x =+． （1）设0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，求0()g x 的值． （2）求函数()()()h x f x g x =+的单调递增区间．19.(本题满分12分)已知各项都不相等的等差数列{a n }的前六项和为60，且a 1=5． （1）求数列{a n }的通项公式a n 及前n 项和S n ； （2）若数列{}n b 满足11n n n b a a +=,求数列{}n b 的前n 项和T n ；（3）请指出当n 取何值时，5+n T n 取得最大值，并写出最大值。
（可不写理由！）20.(本题满分12分)若向量s i n ,s i n ),(c o s ,s i n )a x x b x x ωωωω==，其中0ω>，记函数1()2f x a b =⋅- ，若函数()f x 的图像上相邻两个极值点之间的距离是2162π+.（1）求()f x 的表达式；（2）设ABC ∆三内角A B C 、、的对应边分别为a b c 、、，若3a b +=，c =()1f C =，求ABC ∆的面积。
21.(本题满分12分)设等差数列{}n a 的前n 项和为n s ，且12,4224+==n n a a s s 。
（1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）设数列{}n b 的前n 项和为n T ，且321=++nn n a T ，又令)(2*∈=N n b c n n ，求数列{}n c 的前n 项和n R ．22．(本题满分12分)设函数2()ln f x x bx a x =-+．（1）若2b =，函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，且1x ＜2x ，求实数a 的取值范围； （2）在（Ⅰ）的条件下，证明：232ln 2()4f x +>-； （3）若对任意实数[1,2]b Î，都存在实数x Î（1，e ）（e 为自然对数的底数），使得()0f x <成立，求实数a 的取值范围．参考答案一、选择题：（共60分，每题5分）1． B 2． B 3． D 4． B 5． A 6. C 7． B 8． B9. A 令x x x x x g --+++=2016)1(log 2016)(22016,则()()314f x f x ++>等价于g(3x+1)+g(x) > 0,而显然g(x)= -g(-x),所以g(x)为奇函数，易知g(x)在定义域内单调递增，g(3x+1)>－g(x), 即g(3x+1)> g(－x)，由奇函数性质3x+1>-x ，x >41-10． A 解：∵m ＞1故直线y=mx 与直线x +y=1交于点，目标函数Z=x +my 对应的直线与直线y=mx 垂直，且在点，取得最大值其关系如下图所示：即，解得1﹣＜m ＜又∵m ＞1解得m ∈（1，）故选：A ．11． C 12． B 解：∵f （﹣x ）+f （x ）=x 2，∴f （x ）﹣x 2+f （﹣x ）﹣x 2=0，令g （x ）=f （x ）﹣x 2，∵g （﹣x ）+g （x ）=f （﹣x ）﹣x 2+f （x ）﹣x 2=0，∴函数g （x ）为奇函数．∵x ∈（0，+∞）时，f ′（x ）＞x ．∴x ∈（0，+∞）时，g ′（x ）=f ′（x ）﹣x ＞0，故函数g （x ）在（0，+∞）上是增函数， 故g （x ）在（﹣∞，0）上也是增函数，由f （0）=0，g(0)=0,可得g （x ）在R 上是增函数．f （2﹣a ）﹣f （a ）≥2﹣2a ，等价于f （2﹣a ）﹣≥f （a ）﹣，即g （2﹣a ）≥g （a ），∴2﹣a ≥a ，解得a ≤1，故选：B ．二、填空题：（共20分，每题5分）13． 120°。
14． 18.15.16．1()322n n N ?-三、解答题：（共70分，每题必需写出相应的步骤）17.解：（1）f （x ）+f （x +4）=|x ﹣1|+|x +3|=，当x ＜﹣3时，由﹣2x ﹣2≥8，解得x ≤﹣5； 当﹣3≤x ≤1时，f （x ）≤8不成立； 当x ＞1时，由2x +2≥8，解得x ≥3．所以，不等式f （x ）+f （x +4）≤4的解集为{x |x ≤﹣5，或x ≥3}．（2）f （ab ）＞|a |f （），即|ab ﹣1|＞|a ﹣b |．因为|a |＜1，|b |＜1，所以|ab ﹣1|2﹣|a ﹣b |2=（a 2b 2﹣2ab +1）﹣（a 2﹣2ab +b 2）=（a 2﹣1）（b 2﹣1）＞0， 所以|ab ﹣1|＞|a ﹣b |，故所证不等式成立． 18、解：（I ）由题设知1π()[1cos(2)]26f x x =++． 因为0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，所以0π26x +πk =， 即0 π2π6x k =-（k ∈Z ）． 所以0011π()1sin 21sin(π)226g x x k =+=+-．当k 为偶数时，01π13()1sin 12644g x ⎛⎫=+-=-= ⎪⎝⎭， 当k 为奇数时，01π15()1sin 12644g x =+=+=． （II ）1π1()()()1cos 21sin 2262h x f x g x x x ⎡⎤⎛⎫=+=++++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1π3113cos 2sin 2sin 2262222x x x x ⎫⎡⎤⎛⎫=+++=++⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭ 1π3sin 2232x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭． 当πππ2π22π232k x k -++≤≤，即5ππππ1212k x k -+≤≤（k ∈Z ）时， 函数1π3()sin 2232h x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭是增函数， 故函数()h x 的单调递增区间是5ππππ1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，（k ∈Z ）． 19.解：（1）各项都不相等的等差数列{a n }的前六项和为60，且a 1=5．所以60=6×5+，所以d=2，所以a n =2n +3，S n =n （n +4）（2）因为，所以所以T n ===，所以(3) 当n=3时,取最大值：440320.(本题满分12分)若向量s i n ,s i n ),(c o s ,s i n )a x x b x x ωωωω==，其中0ω>，记函数1()2f x a b =⋅- ，若函数()f x 的图像上相邻两个极值点之间的距离是2162π+.（Ⅰ）求()f x 的表达式；（Ⅱ）设ABC ∆三内角A B C 、、的对应边分别为a b c 、、，若3a b +=，c =()1f C =，求ABC ∆的面积。