高等钢结构 杆系结构稳定理论

2
通解
y c = A sin kx + B cos kx
⎛ ⎜ 1 ≈ yo ⎜ ⎜1− P ⎜ PE ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠⎤
y = yc + yp
记 5 ql 4 yo = 384 EI
2
,
y max
2x
⎡ ⎥ ql ql ⎢ 5 Pl 2 1 = + Py max = 1 + ⎢ ⎥ ≈ Mo 8 8 ⎢ ⎞ 1− P 48 EI ⎛ ⎜1 − P P ⎟ ⎥ PE ⎢ E ⎠⎥ ⎝ ⎣ ⎦ 1 + 0.234 P PE kl 1 M eq = M o = βmM o, = M eq sec = M eq , 2 1− P 1 + 0.234 P PE PE
无支撑的纯框架——有侧移框架
无支撑 有侧移 反对称 强支撑 无侧移 对称
有支撑框架
强支撑框架 S b ≥ 3(1.2∑ N bi − ∑ N 0i ) —无侧移框架 弱支撑框架 Sb ≺ 3(1.2∑ N bi − ∑ N 0i ) 介于无侧移和有侧移框架之间
弱支撑 不对称
∑N 、 ∑N
bi
0i
分别为按无侧移框架和有侧移框架计算长度计算得到的轴压承载力。
无侧移多层刚架（强支撑）
节点A、B的平衡方程：
MAB + MAG + MAC + MAD = 0⎫ * * ⎧θA⎫ ⎧0⎫ ⎬→ ⎨ ⎬=⎨ ⎬ MBA + MBH + MBE + MBF = 0⎭ * * ⎩θB ⎭ ⎩0⎭
0 .6 4 k 1 k 2 + 1 .4 ( k 1 + k 2 ) + 3 , k1 = μ = 1 .2 8 k 1 k 2 + 2 ( k 1 + k 2 ) + 3
μ1 = ∞ μ2 = π
3
P cr = 2.884
EI h2
P cr = 2.719
μ1 = 4.138 μ2 = 2.069
EI h2
μ1 = μ2 =
π
1.166
= 2.694
无侧移情况：
P cr = 6.91
EI h2
Pcr = 9.87
EI h2
μ1 = 0.7 μ2 =∞
μ1 = ∞ μ 2 = 1.0
* 无支撑的纯框架可采用近似方法计算二阶弹性杆端弯矩
M II = M Ib + α 2i M Is
α 2i =
1 ∑ N • Δu 1− ∑H •h
一阶分析得到MIb
一阶分析得到MIs
2. 柱子稳定设计规定 * 无支撑的纯框架 采用一阶内力分析时，计算长度 μ 按有侧移框架取用； 采用二阶内力分析时，计算长度 μ 取1.0 * 有支撑框架 门槛侧移刚度：
M eq =
PE M o = βm M o , 1 + 0.234 P PE
β m ≈ 1 − 0.2 P P
E
多个集中荷载时，取 β m ＝1.0
(四) GB50017关于框架计算的若干规定
1. 框架结构的内力分析
∑ H ⋅h 0.1 的框架宜采用二阶弹性分析，在每层柱顶附加假想水平力H ni
* 一阶弹性分析； * 对 ∑ N ⋅ Δu
2
M eq = M1
⎛ M 2 ⎞ − 2 ⎛ M 2 ⎞ cos kl + 1 ⎜ M ⎟ ⎜ M ⎟ ⎝ ⎝ 1⎠ 1⎠ = βm M1 2 (1 − cos kl )
P = α PE
3.
Q = 0, q ≠ 0 时的构件最大弯矩
qx ( x − l ) y ''+ k y = , 2 EI 特解 y p = c1 x 2 + c2 x + c3
计算得到e*，回代入式进行整理后可得：
σ=
⎛ N ⎞ W ⎜1 − φ ⎟ N e ⎠ ⎝
≤ f
当柱子采用两个以上单元进行计算，并考虑Hni或杆身缺陷，可直接 按二阶最大内力验算强度（+挠度验算）来完成其稳定性计算。
（三）等效弯矩概念 1. 压弯构件的转角位移方程
记：k 2 =
MA + MB M P 2 x− A ， 平衡方程：y ''+ k y = EI EIl EI
（一）屈曲现象及分析理论 （二）计算长度概念 （三）等效弯矩概念 （四）GB50017关于框架计算的若干规定
（一）屈曲现象及分析理论
强支撑 对称失稳
无支撑 反对称失稳 一阶线性分析
弱支撑 不对称失稳
分枝型屈曲分析Æ弹性稳定问题 二阶弹性分析Æ弹性稳定问题
二阶弹塑性分析Æ弹塑性稳定问题
设计目的：外荷载≤PU。 设计方法： ①对各荷载组合进行二阶弹塑性分析,根据可靠度理论考虑抗 力分项系数。 ＃计算复杂，耗时，难以应用。 ＃抗力分项系数难以确定。 ②框架计算Æ一般构件计算Æ理想构件（理想内力+理想边界） ＃杆端内力 ⇐ 一阶线性分析＋等效弯矩系数 ＃构件长度 ⇐ 分枝型屈曲分析得出计算长度 理想构件＝等效弯矩＋计算长度 ＃计算设计简单易行 ＃通过考虑构件的抗力分项系数回避了结构整体的 抗力分项系数。
4. 结论和问题 第二类稳定问题必须采用二阶分析方法。 引入初始缺陷（规范通过假想力Hni考虑） + 二阶内力分析 + 验算截面强度（+挠度验算）。 现行规范方法通过计算长度系数概念避免了结构的二阶分析， 通过计算长度 + 一阶内力来进行框架柱和框架的稳定设计， 对无支撑框架也允许按计算长度系数为1 + 二阶内力进行稳 定设计。原因？——PΔ效应和Pδ效应。 当柱子仅采用一个单元进行计算 时，相当于未考虑Pδ效应及柱身缺 陷，所以应按Perry公式计算截面强 度，相当于取μ=1计算ϕ后进行构件 验算。
P cr =12.34
μ1 = 2.0 μ2 =1.0
EI h2
EI h2 μ1 = μ2 =1.0 P cr =19.74
＃与荷载分布有关； # 首先失稳柱子的计算长度取值合理。 其他不失稳柱子为该柱提供了0Æ∞的有利边界约束， 但其计算长度取值不合理（例如：P = 0,时μ＝∞ ）。
有侧移
无侧移
H ni =
a y Qi 250
0.2 +
1 ns
∑N ：所计算楼层轴力设计值之和 ∑H ：所计算楼层及以上各层水平力之和
Qi ：第i楼层总重力荷载设计值；ns：框架总层数，根号内数大于1时取1；αy：钢材强度影响系数。
——框架较柔，宜计算非线性效应，采用H考虑各类初始缺陷的影响 楼层处的侧向刚度：截面刚度+应力刚度 截面刚度：∑ H / Δu 应力刚度：∑ N / h （负值）
2
当 M 2 = M 1时 , M max = M 1
2 (1 − cos kl ) kl ql = M sec = M sec 1 eq sin 2 kl 2 2
令M1 ≠ M 2时的M max = M max , 2 (1 − cos kl ) = M1 2 sin kl
2
M eq
⎛M ⎞ ⎛M ⎞ ⎜ 2 M ⎟ − 2 ⎜ 2 M ⎟ cos kl + 1 ⎝ ⎝ 1⎠ 1⎠ sin 2 kl
＃有侧移: m1=2, m2=∞, (m1=2～∞, m2=1.814～2.694～∞) ＃无侧移: m1=0.7, m2=1.0,(m1=0.7～∞, m2=1～∞)
K=ib/ic 0.01
P2/P1 0.2 0.6 1.0
μ1
1.973
μ2
10.138
μ1’
2.300 3.078 3.739
μ2’
A
= M
m ax
0 ≤ kx ≤ π
2
时 , s i n k x为 正 ， c o s k x为 负 ⎞ cos kl + 1 ⎟ ⎠
M
M
B
m ax
B
⎞ + 2⎛M A ⎟ ⎜ M ⎠ ⎝ s in 2 k l
B
令 MB＝－M1，MA＝M2 MMAX 相等
M max = M 1
⎛M ⎞ ⎛M ⎞ ⎜ 2 M ⎟ − 2 ⎜ 2 M ⎟ cos kl + 1 ⎝ ⎝ 1⎠ 1⎠ 2 sin kl
π 2 EI ⇒P , μ= cr = 2 ( μl )
Ib Ic lb lc
π
P ×l EI
=
π
kl
∑
A
∑
A
, k2 =
∑
B
Ib Ic
lb lc
∑
B
有侧移多层框架（无支撑）
节点A、B弯矩和AB柱水平剪力平衡：
7.5k1k2 + 4 ( k1 + k2 ) + 1.52 μ= 7.5k1k2 + k1 + k2
M max
y max ≈ y o
1 1− P
PE
Mo
1 = Ql 4
1 − 0.2 P
⎛ 1 − 0.2 P PE 1 = Pymax + Ql = M o ⎜ ⎜ 4 ⎜ 1− P P ⎝ E
⎞ 1 + 0.234 P PE kl ⎟ = M sec = M eq eq ⎟ 2 1− P ⎟ PE ⎠
（二）计算长度概念 1、基本概念
lo = μ l Pcr =
π 2 EI
lo2
π 2 EI = 2 (μl )
原则：实际构件和理想构件(计算长度+理想边界)的屈曲荷载相等。
lo =
π
2
EI
Pc r
2、存在问题 有侧移情况：
Pcr = 3
P cr = 2.47
EI h2
EI h2 = 1.814