2014高考数学知识点专能提升随机变量及其分布列(含解析)
2014届高考数学总复习(考点引领+技巧点拨)第十一章 计数原理、随机变量及分布列第5课时 独立性及二项分布
《最高考系列 高考总复习》2014届高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）第十一章 计数原理、随机变量及分布列第5课时 独立性及二项分布1. (选修23P 59练习2改编)省工商局于2003年3月份，对全省流通领域的饮料进行了质量监督抽查，结果显示，某种刚进入市场的x 饮料的合格率为80%，现有甲、乙、丙3人聚会，选用6瓶x 饮料，并限定每人喝2瓶．则甲喝2瓶合格的x 饮料的概率是________．答案：0.64解析：记“第一瓶x 饮料合格”为事件A 1，“第二瓶x 饮料合格”为事件A 2，A 1与A 2是相互独立事件，“甲喝2瓶x 饮料都合格就是事件A 1、A 2同时发生，根据相互独立事件的概率乘法公式得P(A 1·A 2)＝P(A 1)·P(A 2)＝0.8×0.8＝0.64.2. (选修23P 63练习2改编)某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人恰有两次击中目标的概率为________．答案：54125解析：本题符合独立重复试验，是二项分布问题，所以此人恰有两次击中目标的概率为C 23(0.6)2·(1－0.6)＝54125.3. 甲、乙两地都位于长江下游，根据天气预报记录知，一年中下雨天甲市占20%，乙市占18%，假定在这段时间内两市是否降雨相互之间没有影响，则甲、乙两市同时下雨的概率为________．答案：0.036解析：设甲市下雨为事件A ，乙市下雨为事件B ，由题设知，事件A 与B 相互独立，且P(A)＝0.2，P(B)＝0.18，则P(AB)＝P(A)P(B)＝0.2×0.18＝0.036.4. (选修23P 63练习2改编)某单位组织4个部门的职工旅游，规定每个部门只能在韶山、衡山、张家界3个景区中任选一个，假设各部门选择每个景区是等可能的．则3个景区都有部门选择的概率是________．答案：49解析：某单位的4个部门选择3个景区可能出现的结果数为34.由于是任意选择，这些结果出现的可能性都相等.3个景区都有部门选择可能出现的结果数为C 24·3！(从4个部门中任选2个作为1组，另外2个部门各作为1组，共3组，共有C 24＝6种分法，每组选择不同的景区，共有3！种选法)，记“3个景区都有部门选择”为事件A 1，那么事件A 1的概率为P(A 1)＝C 24·3！34＝49. 5. 在4次独立试验中，事件A 出现的概率相同，若事件A 至少发生1次的概率是6581，则事件A 在一次试验中出现的概率是________．答案：13解析：设A 发生概率为P ，1－(1－P)4＝6581，P ＝13.1. 相互独立事件(1) 对于事件A 、B ，若A 的发生与B 的发生互不影响，则称A 、B 相互独立． (2) 若A 与B 相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B)．(3) 若A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立． (4) 若P(AB)＝P(A)P(B)，则A 、B 相互独立． 2. 二项分布如果在一次试验中某事件发生的概率是p ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是P(X ＝k)＝C k n p k q n －k，其中k ＝0，1，2，3，…，n ，q ＝1－p.于是得到随机变量X 的概率分布如下：nn n ＋…＋C k n p q ＋…＋n q 0中的第k ＋1项(k ＝0，1，2，…，n)中的值，故称随机变量X 为二项分布，记作X ～B(n ，p)．3. “互斥”与“相互独立”的区别与联系题型1 相互独立事件例1 A 高校自主招生设置了先后三道程序：部分高校联合考试、本校专业考试、本校面试．在每道程序中，设置三个成绩等级：优、良、中．若考生在某道程序中获得“中”，则该考生在本道程序中不通过，且不能进入下面的程序．考生只有全部通过三道程序，自主招生考试才算通过．某中学学生甲参加A 高校自主招生考试，已知该生在每道程序中通过的概率均为34，每道程序中得优、良、中的概率分别为p 1、12、p 2.(1) 求学生甲不能通过A 高校自主招生考试的概率；(2) 设ξ为学生甲在三道程序中获优的次数，求ξ的分布列．解：由题意，得11213,241,2p p p ìïï+=ïïíïï+=ïïïî解得p 1＝p 2＝14.(1) 设事件A 为学生甲不能通过A 高校自主招生考试，则P(A)＝14＋34×14＋34×34×14＝3764. 答：学生甲不能通过A 高校自主招生考试的概率为3764.(2) 由题意知：ξ＝0，1，2，3.P(ξ＝0)＝14＋12×14＋12×12×14＋12×12×12＝916，P(ξ＝2)＝14×14×14＋14×14×12＋14×12×14＋12×14×14＝764，P(ξ＝3)＝14×14×14＝164，∵i ＝03P (ξ＝i)＝1，∴P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝2)－P(ξ＝3)＝516. 故ξ的分布列为变式训练有一种闯三关游戏规则规定如下：用抛掷正四面体型骰子(各面上分别有1，2，3，4点数的质地均匀的正四面体)决定是否过关，在闯第n(n ＝1，2，3)关时，需要抛掷n 次骰子，当n 次骰子面朝下的点数之和大于n 2时，则算闯此关成功，并且继续闯关，否则停止闯关．每次抛掷骰子相互独立．(1) 求仅闯过第一关的概率；(2) 记成功闯过的关数为ξ，求ξ的分布列．解：(1) 记“仅闯过第一关的概率”这一事件为A ，则P(A)＝34·616＝932.(2) 由题意得，ξ的取值有0，1，2，3，且P(ξ＝0)＝14，P(ξ＝1)＝932，P(ξ＝2)＝34·1016·5464＝4051 024，P(ξ＝3)＝34·1016·1064＝751 024，即随机变量ξ的概率分布列为题型2 独立重复试验与二项分布例2 设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．(1) 求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率； (2) 求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；(3) 记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分布列．解：记A 表示事件：进入商场的1位顾客购买甲种商品；记B 表示事件：进入商场的1位顾客购买乙种商品；记C 表示事件：进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种；记D 表示事件：进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种．(1) C ＝A·B ＋A ·B，P(C)＝P(A·B ＋A ·B)＝P(A·B)＋P(A ·B)＝P(A)·P(B)＋P(A －)·P(B)＝0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.5.(2) D ＝A ·B ，P(D)＝P(A ·B)＝P(A )·P(B)＝0.5×0.4＝0.2， P(D)＝1－P(D)＝0.8.(3) ξ～B(3，0.8)，故ξ的分布列P(ξ＝0)＝0.23＝0.008；P(ξ＝1)＝C 13×0.8×0.22＝0.096；P(ξ＝2)＝C 23×0.82×0.2＝0.384；P(ξ＝3)＝0.83＝0.512.某中学在高一开设了数学史等4门不同的选修课，每个学生必须选修，且只能从中选一门．该校高一的3名学生甲、乙、丙对这4门不同的选修课的兴趣相同．(1) 求3个学生选择了3门不同的选修课的概率； (2) 求恰有2门选修课这3个学生都没有选择的概率；(3) 设随机变量X 为甲、乙、丙这三个学生选修数学史这门课的人数，求X 的分布列．解：(1) 3个学生选择了3门不同的选修课的概率：P 1 ＝A 3443＝38.(2) 恰有2门选修课这3个学生都没有选择的概率：P 2＝C 24·C 23·A 2243＝916.(3) X ＝0，1，2，3，则有P (ξ＝ 0 ) ＝3343＝2764；P (X ＝ 1) ＝C 13·3243＝2764；P (X ＝ 2 ) ＝C 23·343＝964；P (X ＝ 3 ) ＝C 3343＝164.∴ X 的概率分布表为：题型3 独立性及二项分布的应用例3 某商场为促销设计了一个抽奖模型，一定数额的消费可以获得一张抽奖券，每张抽奖券可以从一个装有大小相同的4个白球和2个红球的口袋中一次性摸出3个球，至少摸到一个红球则中奖．(1) 求一次抽奖中奖的概率；(2) 若每次中奖可获得10元的奖金，一位顾客获得两张抽奖券，求两次抽奖所得的奖金额之和X(元)的概率分布．解：(1) 设“一次抽奖中奖”为事件A ，则P(A)＝C 12C 24＋C 22C 14C 36＝1620＝45. 答：一次抽奖中奖的概率为45.(2) X 可取0，10，20，P(X ＝0)＝(0.2)2＝0.04，P(X ＝10)＝C 12×0.8×0.2＝0.32，P(X ＝20)＝(0.8)2＝0.64. X 的概率分布列为备选变式（教师专享）甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为12、a 、a(0＜a ＜1)，三人各射击一次，击中目标的次数记为ξ.(1) 求ξ的分布列及数学期望；(2) 在概率P(ξ＝i)(i ＝0、1、2、3)中，若P(ξ＝1)的值最大，求实数a 的取值范围． 解：(1) P(ξ)是“ξ个人命中，3－ξ个人未命中”的概率．其中ξ的可能取值为0、1、2、3.P(ξ＝0)＝C 01⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12C 02(1－a)2＝12(1－a)2；P(ξ＝1)＝C 11·12C 02(1－a)2＋C 01⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12C 12a(1－a)＝12(1－a 2)；P(ξ＝2)＝C 11·12C 12a(1－a)＋C 01⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12C 22a 2＝12(2a －a 2)； P(ξ＝3)＝C 11·12C 22a 2＝a22.所以ξ的分布列为ξ的数学期望为E(ξ)＝0×12(1－a)2＋1×12(1－a 2)＋2×12(2a －a 2)＋3×a 22＝4a ＋12.(2) P(ξ＝1)－P(ξ＝0)＝12[(1－a 2)－(1－a)2]＝a(1－a)；P(ξ＝1)－P(ξ＝2)＝12[(1－a 2)－(2a －a 2)]＝1－2a 2；P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝12[(1－a 2)－a 2]＝1－2a 22.由2(1)0,120,21202a a a a ìïïï- ïïïï-ï³íïïïï-ï³ïïïî和0＜a ＜1，得0＜a≤12， 即a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12.1. (2013·福建)某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为25，中奖可以得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ，求X≤3的概率．解：由已知得：小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，两人中奖与否互不影响，记“这2人的累计得分X≤3”的事件为A ，则A 事件的对立事件为“X＝5”，∵ P(X ＝5)＝23×25＝415，∴ P(A)＝1－P(X ＝5)＝1115.∴ 这两人的累计得分X≤3的概率为1115.2. (2013·山东理)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束，除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23，假设各局比赛结果相互独立．(1) 分别求甲队以3∶0，3∶1，3∶2胜利的概率；(2) 若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分、对方得1分．求乙队得分X 的分布列．解：(1) 记“甲队以3∶0胜利”为事件A 1，“甲队以3∶1胜利”为事件A 2，“甲队以3∶2胜利”为事件A 3，由题意，各局比赛结果相互独立，故P(A 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827，P(A 2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23＝827，P(A 3)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232×12＝427.所以，甲队以3∶0、3∶1、3∶2胜利的概率分别是827、827、427；(2) 设“乙队以3∶2胜利”为事件A 4，由题意，各局比赛结果相互独立，所以P(A 4)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232×⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝427.由题意，随机变量X 的所有可能的取值为0，1，2，3，根据事件的互斥性得 P(X ＝0)＝P(A 1＋A 2)＝P(A 1)＋P(A 2)＝1627，P(X ＝1)＝P(A 3)＝427，P(X ＝2)＝P(A 4)＝427，P(X ＝3)＝1－P(X ＝0)－P(X ＝1)－P(X ＝2)＝327.故X 的分布列为3. (2013·陕西理)在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．(1) 求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(2) X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X 的分布列． 解：(1) 设事件A 表示：观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手．观众甲选中3号歌手的概率为23，观众乙未选中3号歌手的概率为1－35.所以P(A)＝23·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＝415.因此，观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为415.(2) X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，则X 可取0，1，2，3. 观众甲选中3号歌手的概率为23，观众乙选中3号歌手的概率为35.当观众甲、乙、丙均未选中3号歌手时，这时X ＝0，P(X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－352＝475.当观众甲、乙、丙中只有1人选中3号歌手时，这时X ＝1，P(X ＝1)＝23·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23·35·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35·35＝8＋6＋675＝2075. 当观众甲、乙、丙中只有2人选中3号歌手时，这时X ＝2，P(X ＝2)＝23·35·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23·35·35＋23·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35·35＝12＋9＋1275＝3375. 当观众甲、乙、丙均选中3号歌手时，这时X ＝3，P(X ＝3)＝23·⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝1875.X 的分布列如下表：4. (2013·南京市、盐城市一模)某射击小组有甲、乙两名射手，甲的命中率为P 1＝23，乙的命中率为P 2，在射击比赛活动中每人射击两发子弹则完成一次检测，在一次检测中，若两人命中数相等且都不少于一发，则称该射击小组为“先进和谐组”．(1) 若P 2＝12，求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率；(2) 计划在2013年每月进行1次检测，设这12次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数为ξ，如果E(ξ)≥5，求P 2的取值范围．解：(1) 可得P ＝⎝⎛⎭⎪⎫C 12×23×13(C 12×12×12)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23×23⎝ ⎛⎭⎪⎫12×12＝13.(2) 该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率为P ＝⎝⎛⎭⎪⎫C 12×23×13[C 12×P 2×(1－P 2)]＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23×23P 22＝89P 2－49P 22，而ξ～B(12，P)，所以E(ξ)＝12P ，由E(ξ)≥5，知(89P 2－49P 22)×12≥5，解得34≤P 2≤1.1. 为保护水资源，宣传节约用水，某校4名志愿者准备去附近的甲、乙、丙三家公园进行宣传活动，每名志愿者都可以从三家公园中随机选择一家，且每人的选择相互独立．(1) 求4人恰好选择了同一家公园的概率；(2) 设选择甲公园的志愿者的人数为X ，试求X 的分布列． 解：(1) 设“4人恰好选择了同一家公园”为事件A.每名志愿者都有3种选择，4名志愿者的选择共有34种等可能的情况． 事件A 所包含的等可能事件的个数为3，∴ P(A)＝334＝127.即4人恰好选择了同一家公园的概率为127.(2) 设“一名志愿者选择甲公园”为事件C ，则P(C)＝13.4人中选择甲公园的人数X 可看作4次独立重复试验中事件C 发生的次数， 因此，随机变量X 服从二项分布．X 可取的值为0，1，2，3，4.P(X ＝i)＝C i 4⎝ ⎛⎭⎪⎫13i ⎝ ⎛⎭⎪⎫234－i ， i ＝0，1，2，3，4. X 的分布列为：2. 甲、乙两支足球队鏖战90分钟踢成平局，加时赛30分钟后仍成平局，现决定各派5名队员，每人射一点球决定胜负，设甲、乙两队每个队员的点球命中率均为0.5.(1) 不考虑乙队，求甲队仅有3名队员点球命中，且其中恰有2名队员连续命中的概率； (2) 求甲、乙两队各射完5个点球后，再次出现平局的概率．解：(1) 甲队3名队员射中，恰有2名队员连续命中的情形有A 23种，故所求的概率为P 1＝A 23×0.53×(1－0.5)2＝316.(2) 再次出现平局包括0∶0，1∶1，…，5∶5等6种可能性，故其概率为P 2＝[C 05×0.50×(1－0.5)5]2＋[C 15×0.51×(1－0.5)4]2＋…＋[C 55×0.55×(1－0.5)0]2＝36256. 3. 有一批数量很大的环形灯管，其次品率为20%，对这批产品进行抽查，每次抽出一件，如果抽出次品，则抽查中止，否则继续抽查，直到抽出次品，但抽查次数最多不超过5次．求抽查次数ξ的分布列．解：抽查次数ξ取1～5的整数，从这批数量很大的产品中每次抽取一件检查的试验可以认为是彼此独立的，取出次品的概率为0.2，取出正品的概率为0.8，前(k －1)次取出正品而第k 次(k ＝1，2，3，4)取出次品的概率：P(ξ＝k)＝0.8k －1×0.2，k ＝1，2，3，4.P(ξ＝5)＝0.84×0.2＋0.85＝0.4096. 所以ξ的概率分布列为：4. 电视台综艺频道组织的闯关游戏，游戏规定前两关至少过一关才有资格闯第三关，闯关者闯第一关成功得3分，闯第二关成功得3分，闯第三关成功得4分．现有一位参加游戏者单独闯第一关、第二关、第三关成功的概率分别为12、13、14，记该参加者闯三关所得总分为ξ.(1) 求该参加者有资格闯第三关的概率； (2) 求ξ的分布列和数学期望．解：(1) 设该参加者单独闯第一关、第二关、第三关成功的概率分别为p 1＝12，p 2＝13，p 3＝14，该参加者有资格闯第三关为事件A.则P(A)＝p 1(1－p 2)＋(1－p 1)p 2＋p 1p 2＝23.(2) 由题意可知，ξ的可能取值为0，3，6，7，10， P(ξ＝0)＝(1－p 1)(1－p 2)＝13，P(ξ＝3)＝p 1(1－p 2)(1－p 3)＋(1－p 1)p 2(1－p 3)＝14＋18＝38，P(ξ＝6)＝p 1p 2(1－p 3)＝18，P(ξ＝7)＝p 1(1－p 2)p 3＋(1－p 1)p 2p 3＝112＋124＝18，P(ξ＝10)＝p 1p 2p 3＝124，∴ ξ的分布列为事件的独立性中的注意问题： (1) 事件A 与B 独立是相互的，表明事件A(事件B)的发生对事件B(事件A)的发生没有产生影响．(2) 若事件A 、B 相互独立，则A 与B －，A －与B ，A －与B －也是相互独立的．(3) 两个事件的独立性可以推广到n(n>2)个事件的独立性，且若事件A 1、A 2、…、A n相互独立，则这n 个事件同时发生的概率P(A 1A 2…A n )＝P(A 1)P(A 2)…P(A n )．(4) 注意辨别两个事件互斥与两个事件独立的区别．请使用课时训练（A ）第5课时（见活页）.第11 页共11 页。
随机变量的函数分布例题和知识点总结
随机变量的函数分布例题和知识点总结在概率论与数理统计中，随机变量的函数分布是一个重要的概念。
理解和掌握它对于解决许多实际问题以及进一步深入学习概率统计知识都具有关键意义。
接下来，我们将通过一些例题来深入探讨随机变量的函数分布，并对相关知识点进行总结。
一、知识点回顾首先，让我们回顾一下一些基本概念。
随机变量是定义在样本空间上的实值函数，它将样本空间中的每个样本点映射到一个实数。
而随机变量的函数则是将随机变量作为自变量的函数。
在求随机变量的函数分布时，常用的方法有分布函数法和公式法。
分布函数法的基本步骤是：先求出随机变量函数的分布函数，然后对分布函数求导得到概率密度函数（如果存在的话）。
公式法适用于一些特定的情况，比如当随机变量是线性函数或者常见的简单函数时，可以直接使用相应的公式来求解。
二、例题解析例 1：设随机变量 X 服从区间 0, 1 上的均匀分布，求 Y ＝ 2X ＋ 1 的分布。
解：首先，X 的概率密度函数为：＄f_X(x) ＝＼begin{cases}1, ＆ 0 ＼leq x ＼leq 1 ＼＼ 0, ＆＼text{其他}＼end{cases}＄然后，我们来求 Y 的分布函数＄F_Y(y)＄。
当＄y ＜ 1$ 时，＄F_Y(y) ＝ 0$ ；当＄1 ＼leq y ＜ 3$ 时，＼＼begin{align}F_Y(y) ＆＝ P(Y ＼leq y)＼＼＆＝ P(2X ＋ 1 ＼leq y)＼＼＆＝ P(X ＼leq ＼frac{y 1}｛2}）＼＼＆＝＼int_{0}＾｛＼frac{y 1}｛2}｝ 1 dx\＼＆＝＼frac{y 1}｛2}＼end{align}＼当＄y ＼geq 3$ 时，＄F_Y(y) ＝ 1$ 。
所以，Y 的分布函数为：＄F_Y(y) ＝＼begin{cases}0, ＆ y ＜ 1 ＼＼＼frac{y 1}｛2}，＆ 1 ＼leq y ＜ 3 ＼＼ 1, ＆ y ＼geq 3\end{cases}＄对分布函数求导，得到 Y 的概率密度函数：＄f_Y(y) ＝＼begin{cases}＼frac{1}｛2}，＆ 1 ＼leq y ＜ 3 ＼＼ 0, ＆＼text{其他}＼end{cases}＄例 2：设随机变量 X 服从标准正态分布 N(0, 1)，求 Y ＝ X^2 的分布。
《走向高考》2014高三数学二轮专题复习课件：7-4随机变量及其分布列(理)
2．直接计算符合条件的事件的概率较繁时，可先间接地 计算对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率． 3．要准确理解随机变量取值的意义，准确把握每一个事 件所包含的基本事件，然后依据类型代入概率公式进行计算． 4．概率与统计知识结合的问题，先依据统计知识明确条 件，求出有关统计的结论，再将所求问题简化为纯概率及其分 布的问题，依据概率及其分布列、期望、方差的知识求解.
专题七
概率与统计
专题七
第四讲 随机变量及其分布列(理)
考向聚焦
3
高频考点
核心整合
4
课后强化作业
考向聚焦
考向分析 结合事件的互斥性、对立性、独立性以及古典概型．计数 原理考查离散型随机变量的分布列、 期望与方差的求解及实际 应用，以独立重复试验与二项分布、超几何分布、正态分布为 主．
命题规律 (1)以客观题形式考查超几何分布、正态分布、条件概率， 一般为容易题． (2)将互斥事件、独立事件、条件概率与离散型随机变量 的分布列、期望、方差糅合在一起，综合考查概率知识，难度 为中等．
[解析]
(1)当 X＝[100,130)时，
T＝500X－300(130－X) ＝800X－39000. 当 X∈[130,150]时， T＝500×130＝65000. 所以
800X－39000，100≤X<130， T＝ 65000，130≤X≤150.
(2)由(1)知利润 T 不少于 57000 元当且仅当 120≤X≤150. 由直方图知需求量 X∈[120,150]的频率为 0.7，所以下一 个销售季度内的利润 T 不少于 57000 元的概率的估计值为 0.7. (3)依题意可得 T 的分布列为 T P 45000 0.1 53000 0.2 61000 0.3 65000 0.4
高中数学高三分布列知识点
高中数学高三分布列知识点在高中数学的学习中，分布列是一个重要的概念和技巧，它用于描述随机试验中各个可能结果的概率分布。
分布列的研究可以帮助我们理解概率论的基本原理，并且可以应用于实际问题的解决。
一、概念和基本性质分布列是指随机试验的所有可能结果及其对应的概率。
在计算分布列时，我们需要确定试验的所有可能结果，并且计算每个结果出现的概率。
分布列具有以下基本性质：1. 概率的非负性：每个结果的概率都是非负数，不会出现负值。
2. 概率的和为1：所有结果的概率之和等于1，表示必然事件的发生。
3. 互斥性：不同结果之间是互斥的，即只能发生其中一个结果。
4. 可列性：试验的所有可能结果是可列的，即可以一一列举。
二、常见的分布列1. 二项分布：二项分布是一种离散的概率分布，适用于只有两个可能结果的试验。
二项分布的概率计算公式为P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)，其中n表示试验的次数，k表示成功的次数，p表示每次试验成功的概率。
2. 泊松分布：泊松分布是一种离散的概率分布，适用于描述单位时间（或空间）内某事件发生的次数的概率分布。
泊松分布的概率计算公式为P(X=k)=e^(-λ)λ^k/k!，其中λ表示单位时间（或空间）内事件的平均发生次数。
3. 几何分布：几何分布是一种离散的概率分布，适用于描述在独立重复试验中，试验成功之前所需的失败次数的概率分布。
几何分布的概率计算公式为P(X=k)=(1-p)^(k-1)p，其中p表示每次试验成功的概率。
4. 正态分布：正态分布是一种连续的概率分布，适用于描述大部分事物的分布情况。
正态分布的概率密度函数为f(x)=1/(σ√(2π))e^(-(x-μ)^2/(2σ^2))，其中μ表示均值，σ表示标准差。
三、应用实例分布列的应用非常广泛，下面我们通过几个实例来说明其实用性。
1. 投掷硬币问题：假设我们进行10次硬币的正反面投掷试验，每次成功的概率都是0.5。
高考数学知识点精讲常见随机变量的分布类型
高考数学知识点精讲常见随机变量的分布类型高考数学知识点精讲：常见随机变量的分布类型在高考数学中，随机变量的分布类型是一个重要的知识点，理解和掌握这些分布类型对于解决概率相关的问题至关重要。
下面我们就来详细讲解一下常见的随机变量分布类型。
首先，我们来认识一下什么是随机变量。
简单来说，随机变量就是把随机试验的结果用数字表示出来。
比如说掷骰子，我们可以定义随机变量 X 为骰子掷出的点数，那么 X 可能取值 1、2、3、4、5、6。
常见的随机变量分布类型主要有以下几种：一、离散型随机变量的分布1、两点分布两点分布是最简单的一种离散型随机变量分布。
比如抛一枚硬币，正面朝上记为1，反面朝上记为0，那么这个随机变量就服从两点分布。
其概率分布为 P(X ＝ 1) ＝ p，P(X ＝ 0) ＝ 1 p ，其中 0 ＜ p ＜ 1 。
2、二项分布二项分布在实际生活中有很多应用。
比如进行n 次独立重复的试验，每次试验只有两种结果（成功或失败），成功的概率为 p ，失败的概率为 1 p 。
那么成功的次数 X 就服从二项分布，记为 X ～ B(n, p) 。
二项分布的概率公式为：P(X ＝ k) ＝ C(n, k) p^k （1 p)＾（n k) ，其中 C(n, k) 表示从 n 个元素中选出 k 个元素的组合数。
举个例子，假设一批产品的次品率为 02，从这批产品中随机抽取10 个，那么抽到次品个数 X 就服从二项分布 B(10, 02) 。
3、超几何分布超几何分布与二项分布有点类似，但适用的场景略有不同。
超几何分布是从有限 N 个物件（其中包含 M 个指定种类的物件）中抽出 n 个物件，成功抽出指定种类物件的次数 X 就是超几何分布。
超几何分布的概率公式为：P(X ＝ k) ＝ C(M, k) C(N M, n k) ／C(N, n) 。
比如说在一个有 50 个球，其中 20 个红球，30 个白球的盒子中，随机抽取 10 个球，红球的个数 X 就服从超几何分布。
2014届高考数学总复习(考点引领+技巧点拨)第十一章 计数原理、随机变量及分布列第1课时分类加法分步乘法
《最高考系列 高考总复习》2014届高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）第十一章 计数原理、随机变量及分布列第1课时 分类加法计数原理与分步乘法1. (选修23P 8练习3改编)某班级有男生5人，女生4人，从中任选一人去领奖，有________种不同的选法．答案：9解析：不同选法种数共有N ＝5＋4＝9种． 2. (选修23P 8例4改编)书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书，从中任取数学书与语文书各一本，有________种不同的取法．答案：30解析：共有5×6＝30种不同取法．3. (选修23P 8练习5改编)5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有________种．答案：32解析：每位同学有2种不同的报名方法，故5位同学有25＝32种不同的报名方法． 4. (选修23P 9习题3改编)从甲地到乙地有2条路可通，从乙地到丙地有3条路可通；从甲地到丁地有4条路可通，从丁地到丙地有2条路可通．则从甲地到丙地共有________种不同的走法．答案：14解析：共有2×3＋4×2＝14种不同的走法．5. 如图，一环形花坛分成A 、B 、C 、D 四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为________．答案：84解析：分两类：A、C种同种花有4×3×3＝36种不同的种法； A、C种不同种花有4×3×2×2＝48种不同的种法．故共有36＋48＝84种不同的种法．1. 分类加法计数原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法．2. 分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法．3. 分类和分步区别，关键是看事件能否完成，事件完成了就是分类；必须要连续若干步才能完成的则是分步．分类要用分类计数原理将种数相加；分步要用分步计数原理，分步后要将种数相乘．[备课札记]题型1 分类计数原理例1满足A∪B＝{1，2}的集合A、B共有多少组？解：集合A、B均是{1，2}的子集：Æ，{1}，{2}，{1，2}，但不是随便两个子集搭配都行，本题尤如含A、B两元素的不定方程，其全部解分为四类：①当A＝Æ时，只有B＝{1，2}，得1组解；②当A＝{1}时，B＝{2}或B＝{1，2}，得2组解；③当A＝{2}时，B＝{1}或B＝{1，2}，得2组解；④当A＝{1，2}时，B＝Æ或{1}或{2}或{1，2}，得4组解．根据分类计数原理，共有1＋2＋2＋4＝9组解．变式训练如下图，共有多少个不同的三角形？解：所有不同的三角形可分为三类：第一类：其中有两条边是原五边形的边，这样的三角形共有5个；第二类：其中有且只有一条边是原五边形的边，这样的三角形共有5×4＝20个；第三类：没有一条边是原五边形的边，即由五条对角线围成的三角形，共有5＋5＝10个．由分类计数原理得，不同的三角形共有5＋20＋10＝35个．题型2 分步计数原理例2用五种不同颜色给图中四个区域涂色，每个区域涂一种颜色．(1) 共有多少种不同的涂色方法？(2) 若要求相邻(有公共边)的区域不同色，那么有多少种不同的涂色方法？解：(1) 每一个区域都有5种不同的涂色的方法，所以涂完四个区域共有5×5×5×5＝625种不同的涂色方法．(2) 若2号，4号区域同色，有5×4×3＝60种涂法；若2号，4号区域异色，有5×4×3×2＝120种涂法．所以共有60＋120＝180种涂法．备选变式（教师专享）用三种不同的颜色填涂下图3×3方格中的9个区域，要求每行、每列的三个区域都不同色，则不同的填涂方法共有________种．分析：将9答案：12解析：可将9个区域标号如图：用三种不同颜色为9个区域涂色，可分步解决：第一步，为第一行涂色，有3×2×1＝6种方法；第二步，用与1号区域不同色的两种颜色为4、7两个区域涂色，有2×1＝2种方法；剩余区域只有一种涂法．综上由分步计数原理可知共有6×2＝12种涂法．题型3 两个基本原理的联系例3某同学有12本课外参考书，其中有5本不同的外语书，4本不同的数学书，3本不同的物理书，他欲带参考书到图书馆去阅读．(1) 若从这些参考书中带一本去图书馆，有多少种不同的带法？(2) 若带外语、数学、物理参考书各一本，有多少种不同的带法？(3) 若从这些参考书中选2本不同学科的参考书带到图书馆，有多少种不同的带法？解：(1) 完成的事情是带一本书，无论是带外语书，还是带数学书、物理书，事情都已经完成，从而应用加法原理，结果为5＋4＋3＝12种．(2) 完成的事情是带三本不同学科的参考书，只有从外语、数学、物理中各选一本后，才能完成这件事，因此应用乘法原理，结果为5×4×3＝60种．(3) 要完成的这件事是带2本不同的书，先乘法原理，再用加法原理，结果为5×4＋5×3＋3×4＝47种选法．备选变式（教师专享）三边长均为整数，且最大边长为7的三角形的个数为_______． 答案：16解析：另两边长用x 、y 表示，且不妨设1≤x≤y≤7，要构成三角形，必须有x ＋y≥8. 当y 取值7时，x ＝1，2，3，…，7，可有7个三角形；当y 取值6时，x ＝2，3，4，5，6，可有5个三角形；当y 取值5时，x ＝3，4，5，可有3个三角形；当y 取值4时，x ＝4，可有1个三角形，所求三角形的个数合计为16个．1. (2013·山东理)用0，1，…，9这十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为________．答案：252解析：组成三位数的个数为9×10×10＝900.没有重复数字的三位数有C 19A 29＝648，所以有重复数字的三位数的个数为900－648＝252.2. (2013·福建理)满足a 、b∈{－1，0，1，2}，且关于x 的方程ax 2＋2x ＋b ＝0有实数解的有序数对(a ，b)的个数为________．答案：13解析：方程ax 2＋2x ＋b ＝0有实数解，分析讨论．① 当a ＝0时，很显然为垂直于x 轴的直线方程，有解．此时b 可以取4个值．故有4种有序数对；② 当a≠0时，需要Δ＝4－4ab≥0，即ab≤1.显然有3个实数对不满足题意，分别为(1，2)，(2，1)，(2，2)．∵ (a，b)共有16种实数对，故答案应为16－3＝13.3. 将字母a 、a 、b 、b 、c 、c ，排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有________种．答案：12解析：第一步先排第一列有A 33＝6，再排第二列，当第一列确定时，第二列有2种方法，如图，所以共有6×2＝12种． 4. (2013·四川理)从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为a ，b ，共可得到lga －lgb 的不同值的个数是________．答案：18解析：首先从1，3，5，7，9这五个数中任取两个不同的数排列，共有5×4＝20种排法．因为31＝93，13＝39，所以从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a、b，共可得到lga－lgb的不同值的个数是20－2＝18.1. 某赛季足球比赛的规则是：胜一场，得3分；平一场，得1分；负一场，得0分．一球队打完15场，积33分．若不考虑顺序，该队胜、负、平的情况共有________种．答案：3解析：利用加法原理，考虑胜11场、胜10场、胜9场等情况．2. 一栋7层的楼房备有电梯，在一楼有甲、乙、丙三人进了电梯，则满足有且仅有一人要上7楼，且甲不在2楼下电梯的所有可能情况种数有________________．答案：65解析：分两类：第一类，甲上7楼，有52种；第二类：甲不上7楼，有4×2×5种．故52＋4×2×5＝65.3. 现有5位同学准备一起做一项游戏，他们的身高各不相同．现在要从他们5个人当中选择出若干人组成A、B两个小组，每个小组都至少有1人，并且要求B组中最矮的那个同学的身高要比A组中最高的那个同学还要高．则不同的选法共有______种．答案：49解析：给5位同学按身高的不同由矮到高分别编号为1，2，3，4，5，组成集合M＝{1，2，3，4，5}．①若小组A中最高者为1，则能使B中最矮者高于A中最高者的小组B是{2，3，4，5}的非空子集，这样的子集有C14＋C24＋C34＋C44＝24－1＝15个，∴不同的选法有15个；②若A中最高者为2，则这样的小组A有2个：{2}、{1，2}，能使B中最矮者高于A中最高者的小组B是{3，4，5}的非空子集，这样的子集(小组B)有23－1＝7个，∴不同的选法有2×7＝14个；③若A中最高者为3，则这样的小组A有4个：{3}、{1，3}、{2，3}、{1，2，3}，能使B中最矮者高于A中最高者的小组B是{4，5}的非空子集，这样的子集(小组B)有22－1＝3个，∴不同的选法有4×3＝12个；④若A中最高者为4，则这样的小组A有8个：{4}、{1，4}、{2，4}、{3，4}、{1，2，4}、{1，3，4}、{2，3，4}、{1，2，3，4}，能使B中最矮者高于A中最高者的小组B只有{5} 1个，∴不同的选法有8个．∴ 综上，所有不同的选法是15＋14＋12＋8＝49个．4. 75 600有多少个正约数？有多少个奇约数？解：75 600的约数就是能整除75 600的整数，所以本题就是分别求能整除75 600的整数和奇约数的个数．由于 75 600＝24×33×52×7.(1) 75 600的每个约数都可以写成2i·3j·5k·7l的形式，其中0≤i≤4，0≤j≤3，0≤k≤2，0≤l≤1.于是，要确定75 600的一个约数，可分四步完成，即i，j，k，l分别在各自的范围内任取一个值，这样i有5种取法，j有4种取法，k有3种取法，l有2种取法，根据分步计数原理得约数的个数为5×4×3×2＝120个．(2) 奇约数中不含有2的因数，因此75 600的每个奇约数都可以写成3j·5k·7l的形式，同上奇约数的个数为4×3×2＝24个．在应用两个计数原理解决具体问题时，常用以下几种方法技巧：(1) 建模法：建立数学模型，将所给问题转化为数学问题，这是计数方法中的基本方法．(2) 枚举法：利用枚举法(如树状图，表格)可以使问题的分析更直观、清楚，便于发现规律，从而形成恰当的分类或分步的设计思想．(3) 直接法和间接法：在实施计算中，可考虑用直接法或间接法(排除法)，用不同的方法，不同的思路来验证结果的正误．(4) 分类计数原理和分步计数原理多数情形下是结合使用的，根据问题特点，一般是先分类再分步，某些复杂情形下，也可先分步再分类．分类要“不重不漏”，分步要“连续完整”．请使用课时训练（A）第1课时（见活页）.。
随机变量及其分布列知识点
随机变量及其分布列知识点随机变量是描述随机实验结果的数值，它可以是离散的（只能取一些离散的数值）或连续的（可以取所有的数值）。
随机变量可以用来描述实验结果的各种特征，如数量、位置、时间等。
离散随机变量的分布列是一个表格，列出了随机变量取各个值的概率。
概率可以通过实验或理论分析得出。
在计算机科学和统计学中，分布列通常被表示为一个数组或字典。
离散随机变量的分布列有以下几个重要性质：1. 概率和为1：所有随机变量取值的概率之和等于1，即P(X=x1) + P(X=x2) + ... + P(X=xn) = 12.非负性：概率永远不会为负数，即P(X=x)>=0，对于所有的x。
3.互斥性：不同取值的随机变量概率互不重叠，即P(X=x1)与P(X=x2)不重叠，对于所有的x1和x24.互斥性：如果随机变量取值是离散的，那么分布列是一个离散函数，概率只在取值点有定义。
如果随机变量是连续的，那么分布列是一个连续函数，概率在区间上有定义。
离散随机变量的分布列可以用于计算各种统计量，如期望值、方差、标准差等。
期望值是随机变量取值的加权平均，方差是随机变量取值偏离平均值的程度。
标准差是方差的平方根，用来度量随机变量的离散程度。
在实际应用中，离散随机变量的分布列可以用来描述概率分布、事件的发生概率等。
它可以用来解决各种问题，如生活中的投资决策、经济模型的拟合、产品质量控制等。
例如，一个骰子的随机变量可以描述它可能的取值为1、2、3、4、5或6，对应的分布列是[1/6,1/6,1/6,1/6,1/6,1/6]。
这个分布列可以用来计算骰子摇出特定点数的概率，以及求得骰子取值的期望值和方差。
另一个例子是二项分布，它描述了在一系列独立实验中成功次数的概率分布。
二项分布的随机变量是一个离散随机变量，它的分布列可以用来计算成功次数的概率和期望值。
连续随机变量的分布列被称为概率密度函数。
概率密度函数描述了随机变量取值的概率密度，而不是概率。
2014届高考人教A版数学(理)一轮复习讲义11.6离散型随机变量的分布列
第6讲离散型随机变量的分布列【2014年高考会这样考】1．在理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念的基础上，会求某些取有限个值的离散型随机变量的分布列．2．考查两点分布和超几何分布的简单应用.对应学生177考点梳理1．离散型随机变量的分布列(1)随机变量如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，随机变量常用字母X，Y，ξ，η等表示．(2)离散型随机变量对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．(3)分布列设离散型随机变量X可能取得值为x1，x2，…，x i，…x n，X取每一个值x i(i ＝1,2，…，n)的概率为P(X＝x i)＝p i，则称表为随机变量X(4)分布列的两个性质①p i≥0，i＝1,2，…，n；②p1＋p2＋…＋p n＝_1_.2．两点分布如果随机变量X的分布列为其中0<p<1，q＝1－p X服从参数为p的两点分布．3．超几何分布列在含有M件次品数的N件产品中，任取n件，其中含有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为：P(X＝k)＝C k M C n－kN－MC n N(k＝0,1,2，…，m)，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n、M、N∈N*，则称分布列【助学·微博】一类表格离散型随机变量的分布列实质是进行数据处理的一种表格．第一行数据是随机变量的取值；第二行数据是第一行数据代表事件的概率．利用离散型随机变量的分布列，很容易求出其期望和方差等特征值．两条性质(1)第二行数据中的数都在(0,1)内；(2)第二行所有数的和等于1.三种方法(1)由统计数据得到离散型随机变量分布列；(2)由古典概型求出离散型随机变量分布列；(3)由互斥事件、独立事件的概率求出离散型随机变量分布列．考点自测1．10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是()．A．取到产品的件数B．取到正品的概率C．取到次品的件数D．取到次品的概率解析A中取到的产品件数是一个常量而不是一个变量；B、D中的概率也是一个定值；而C中取到的次品数可能是0,1,2，是随机变量．答案 C2．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)等于()．A．0 B.12 C.23 D.13解析设X的分布列为即“X＝0”表示试验失败，“X＝1”表示试验成功，设失败率为p，则成功率为2p.由p＋2p＝1，得p＝1 3.答案 D3．(2013·银川模拟)一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值为()．A.27220 B.2755 C.1220 D.2125解析由题意取出的3个球必为2个旧球1个新球，故P(X＝4)＝C23C19C312＝27220.答案 A4．袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为X，则X的所有可能取值个数为()．A．25 B．10 C．7 D．6解析X的可能取值为1＋2＝3,1＋3＝4,1＋4＝5＝2＋3，1＋5＝6＝4＋2,2＋5＝7＝3＋4,3＋5＝8,4＋5＝9.答案 C5．(人教A版教材习题改编)一实验箱中装有标号为1,2,3,3,4的5只白鼠，若从中任取1只，记取到的白鼠的标号为Y，则随机变量Y的分布列是________．解析Y的所有可能值为1,2,3,4P (Y ＝1)＝15，P (Y ＝2)＝15， P (Y ＝3)＝25，P (Y ＝4)＝15. ∴Y 的分布列为答案对应学生178考向一 由统计数据求离散型随机变量的分布列【例1】► (2012·广东改编)某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]． (1)求图中x 的值；(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为ξ，求ξ的分布列及数学期望．[审题视点] (1)抓住总面积和为1即可算得x 的值．(2)ξ的可能取值为0,1,2，算出其概率，即可列出ξ的分布列，从而求出ξ的期望．解 (1)由频率分布直方图知(0.006×3＋0.01＋x ＋0.054)×10＝1，解得x ＝0.018.(2)由频率分布直方图知成绩不低于80分的学生人数为(0.018＋0.006)×10×50＝12，成绩在90分以上(含90分)的人数为0.006×10×50＝3. 因此ξ可能取0,1,2三个值．P (ξ＝0)＝C 29C 212＝611，P (ξ＝1)＝C 19·C 13C 212＝922，P (ξ＝2)＝C 23C 212＝122.ξ的分布列为故E (ξ)＝0×611＋1×922＋2×122＝12.求离散型随机变量的分布列的步骤：①确定离散型随机变量所有的可能取值，以及取这些值时的意义；②尽量寻求计算概率时的普遍规律；③检查计算结果是否满足分布列的第二条性质．【训练1】 (2011·北京改编)以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数甲组 乙组⎪⎪⎪⎪⎪⎪9 9 1 1 01 9 8 9分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学 (1)求这两名同学的植树总棵数Y 的分布列；(2)每植一棵树可获10元，求这两名同学获得钱数的数学期望．解 (1)分别从甲、乙两组中随机选取一名同学的方法种数是4×4＝16，这两名同学植树总棵数Y 的取值分别为17,18,19,20,21， P (Y ＝17)＝216＝18；P (Y ＝18)＝416＝14 P (Y ＝19)＝416＝14；P (Y ＝20)＝416＝14P(Y＝21)＝216＝1 8则随机变量Y的分布列是：(2)由(1)知E(Y)＝178＋184＋194＋204＋218＝19，设这名同学获得钱数为X元，则X＝10Y，则E(X)＝10E(Y)＝190.考向二由古典概型求离散型随机变量的分布列【例2】►(2012·浙江)已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和．(1)求X的分布列；(2)求X的数学期望E(X)．[审题视点] 本题是一道有关古典概型的题目，对变量的取值要做到不重不漏，计算要准确．解(1)由题意，得X取3,4,5,6，且P(X＝3)＝C35C39＝542，P(X＝4)＝C14·C25C39＝1021，P(X＝5)＝C24·C15C39＝514，P(X＝6)＝C34C39＝121，所以X的分布列为(2)由(1)知E(X)＝3P(X＝3)＋4P(X＝4)＋5P(X＝5)＋6P(X＝6)＝13 3.求随机变量分布列的关键是概率的计算，概率计算的关键是理清事件之间的关系，把实际问题中随机变量的各个值归结为事件之间的关系，求出事件的概率也就求出了这个随机变量的分布列．【训练2】(2012·安徽)某单位招聘面试，每次从试题库中随机调用一道试题，若调用的是A类型试题，则使用后该试题回库，并增补一道A类型试题和一道B类型试题入库，此次调题工作结束；若调用的是B类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束，试题库中现共有n＋m道试题，其中有n 道A类型试题和m道B类型试题，以X表示两次调题工作完成后，试题库中A类型试题的数量．(1)求X＝n＋2的概率；(2)设m＝n，求X的分布列和均值(数学期望)．解以A i表示第i次调题调用到A类型试题，i＝1,2.(1)P(X＝n＋2)＝P(A1A2)＝nm＋n·n＋1m＋n＋2＝n(n＋1)(m＋n)(m＋n＋2).(2)X的可能取值为n，n＋1，n＋2.P(X＝n)＝P(A1A2)＝nn＋n·nn＋n＝14，P(X＝n＋1)＝P(A1A2)＋P(A1A2)＝nn＋n·n＋1n＋n＋2＋nn＋n·nn＋n＝12，P(X＝n＋2)＝P(A1A2)＝nn＋n·n＋1n＋n＋2＝14，从而X的分布列是E(X)＝n×14＋(n＋1)×12＋(n＋2)×14＝n＋1.考向三由独立事件同时发生的概率求随机变量的分布列【例3】►(2012·四川)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为110和p.(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，求p的值；(2)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的概率分布列及数学期望E(ξ)．[审题视点] (1)依据题意及相互对立事件间的概率关系列出相关方程，通过解方程得出结论；(2)根据独立重复试验的相关概率公式列出相应的分布列，进而求出期望值．解 (1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C ，那么 1－P (C )＝1－110·p ＝4950，解得p ＝15. (2)由题意，P (ξ＝0)＝C03⎝ ⎛⎭⎪⎫1103＝11 000，P (ξ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫1102×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110＝271 000， P (ξ＝2)＝C 23×110×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1102＝2431 000，P (ξ＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1103＝7291 000.所以，随机变量ξ的概率分布列为故随机变量ξE (ξ)＝0×11 000＋1×271 000＋2×2431 000＋3×7291 000＝2710.解决随机变量分布列问题时，首先应先根据随机变量的实际意义，利用试验结果，找出随机变量的取值，再正确求出随机变量的各个取值对应的概率，同时要做到计算准确无误．【训练3】 (2013·中山期末)某校对新扩建的校园进行绿化，移栽香樟和桂花两种大树各2株，若香樟的成活率为45，桂花的成活率为34，假设每棵树成活与否是相互独立的．(1)求两种树各成活一株的概率；(2)设ξ表示成活的株数，求ξ的分布列及数学期望．解 (1)记“香樟成活一株”为事件A ，“桂花成活一株”为事件B .则事件“两种树各成活一株”即为事件A ·B .P (A )＝C 12·45×15＝825，P (B )＝C 12·34×14＝38，由于事件A 与B 相互独立，因此，P (A ·B )＝P (A )·P (B )＝325.(2)ξ表示成活的株数，因此ξ可能的取值有0,1,2,3,4. P (ξ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫152×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝1400；P (ξ＝1)＝C 12×45×15×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋C 12×34×14×⎝ ⎛⎭⎪⎫152＝7200； P (ξ＝2)＝325＋⎝ ⎛⎭⎪⎫452×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋⎝ ⎛⎭⎪⎫152×⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝73400；P (ξ＝3)＝C 12·45×15×⎝ ⎛⎭⎪⎫342＋C 12·34×14×⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝2150； P (ξ＝4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452×⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝144400＝925.ξ的分布列为因此，E (ξ)＝0×1400＋1×7200＋2×73400＋3×2150＋4×925＝3.1.对应学生179规范解答16——求解离散型随机变量分布列的答题技巧【命题研究】 通过对近三年高考试题分析可以看出，本部分在高考中主要考查独立事件的概率、离散型随机变量的概率分布、数学期望和方差的计算，以及概率统计在实际问题中的应用，题型以解答题为主．预测2014年高考仍会坚持以实际问题为背景，结合常见的概率事件，考查离散型随机变量的分布列、期望和方差的求法，一般属中等难度题目．【真题探究】► (本小题满分13分)(2012·天津)现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏． (1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率； (3)用X ，Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X －Y |，求随机变量ξ的分布列与数学期望 E (ξ)．[教你审题] (1)本题是一个古典概型，根据上述规则可分别求出每个人参加甲游戏和乙游戏的概率，然后再利用二项分布的概率公式求解．(2)4个人中参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数含“3人参加甲游戏”和“4人全部参加甲游戏”两个互斥事件，利用二项分布和互斥事件的概率公式可求解．(3)分析出ξ的所有可能取值，求出各值对应的概率，建立概率分布表，利用期望的定义式求解数学期望．[规范解答] 依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为13，去参加乙游戏的概率为23.设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件A i (i ＝0,1,2,3,4)，则P (A i )＝C i 4⎝ ⎛⎭⎪⎫13i ⎝ ⎛⎭⎪⎫234－i.(2分) (1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率P (A 2)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝827.(4分)(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B ，则B ＝A 3∪A 4，(5分) 由于A 3与A 4互斥，故P (B )＝P (A 3)＋P (A 4)＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫133⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝19.(7分)所以，这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为19.(8分)(3)ξ的所有可能取值为0,2,4，由于A 1与A 3互斥，A 0与A 4互斥，故P (ξ＝0)＝P (A 2)＝827，P (ξ＝2)＝P (A 1)＋P (A 3)＝4081， P (ξ＝4)＝P (A 0)＋P (A 4)＝1781.(10分) 所以ξ的分布列是(12分)随机变量ξ的数学期望E (ξ)＝0×827＋2×4081＋4×1781＝14881.(13分) [阅卷老师手记] 掌握离散型随机变量的分布列，需注意(1)分布列的结构为两行，第一行为随机变量X 所有可能取得的值；第二行是对应于随机变量X 的值的事件发生的概率．看每一列，实际上是：上为“事件”，下为事件发生的概率，只不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的．(2)要会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列的正误． (3)公式运用正确和计算准确是不失分的关键．概率、随机变量及其分布列与实际问题的结合题型在新课标高考中经常出现，其解题的一般步骤为：第一步：理解以实际问题为背景的概率问题的题意，确定离散型随机变量的所有可能值；第二步：利用排列、组合知识或互斥事件、独立事件的概率公式求出随机变量取每个可能值的概率；第三步：画出随机变量的分布列；第四步：明确规范表述结论．【试一试】(2012·江西)如图，从A1(1,0,0)，A2(2,0,0)，B1(0,1,0)，B2(0,2,0)，C1(0,0,1)，C2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点O两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量V(如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积V＝0)．(1)求V＝0的概率；(2)求V的分布列及数学期望E(V)．解(1)从6个点中随机选取3个点总共有C36＝20(种)取法，选取的3个点与原点在同一个平面内的取法有C13C34＝12(种)，因此V＝0的概率为P(V＝0)＝12 20＝3 5.(2)V的所有可能取值为0，16，13，23，43，因此V的分布列为由VE(V)＝0×35＋16×120＋13×320＋23×320＋43×120＝940.对应学生339A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．如果X 是一个离散型随机变量，那么下列命题中假命题是( )．.X 取每个可能值的概率是非负实数 .X 取所有可能值的概率之和为1.X 取某2个可能值的概率等于分别取其中每个值的概率之和 .X 在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和 解析 由离散型随机变量的性质，得p i ≥0，i ＝1,2，…n ，且 i ＝1np i ＝1.答案2．已知随机变量X 的分布列为P (X ＝i )＝i2a(i ＝1,2,3)，则P (X ＝2)等于 ( )． A.19B.16C.13D.14解析 ∵12a ＋22a ＋32a ＝1，∴a ＝3，P (X ＝2)＝22×3＝13.答案 C3．若随机变量X 的概率分布列为且p 1＝12p 2，则p 1等于( )． A.12B.13C.14D.16解析 由p 1＋p 2＝1且p 2＝2p 1可解得p 1＝13. 答案 B4．已知随机变量X 的分布列为：P (X ＝k )＝12k ，k ＝1,2，…，则P (2<X ≤4)等于( )． A.316B.14C.116D.516解析 P (2<X ≤4)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝123＋124＝316. 答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2012·上海虹口3月模拟)已知某一随机变量ξ的概率分布列如下，且E (ξ)＝6.3，则a ＝________.解析 由分布列性质知：0.5＋0.1＋b ＝1，∴b ＝0.4.∴E (ξ)＝4×0.5＋a ×0.1＋9×0.4＝6.3.∴a ＝7. 答案 76．(2013·泉州模拟)在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，写出这两次取出白球数η的分布列为________．解析 η的所有可能值为0,1,2.P (η＝0)＝C 12C 12C 14C 14＝14，P (η＝1)＝2C 12C 12C 14C 14＝12，P (η＝2)＝C 12C 12C 14C 14＝14.∴η的分布列为答案三、解答题(共25分)7．(12分)在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从此10张奖券中任抽2张，求： (1)该顾客中奖的概率；(2)该顾客获得的奖品总价值X 元的概率分布列．解 (1)该顾客中奖，说明是从有奖的4张奖券中抽到了1张或2张，由于是等可能地抽取，所以该顾客中奖的概率P ＝C 14C 16＋C 24C 210＝3045＝23.⎝ ⎛⎭⎪⎫或用间接法，即P ＝1－C 26C 210＝1－1545＝23. (2)依题意可知，X 的所有可能取值为0,10,20,50,60(元)，且P (X ＝0)＝C 04C 26C 210＝13，P (X ＝10)＝C 13C 16C 210＝25，P (X ＝20)＝C 23C 210＝115，P (X ＝50)＝C 11C 16C 210＝215，P (X ＝60)＝C 11C 13C 210＝115.所以X 的分布列为：8. (13分)(2012·江苏)设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0 ；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1. (1)求概率P (ξ＝0)；(2)求ξ的分布列，并求其数学期望E (ξ)．解 (1)若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有8C 23对相交棱，因此P (ξ＝0)＝8C 23C 212＝8×366＝411.(2)若两条棱平行，则它们的距离为1或2，其中距离为2的共有6对，故P (ξ＝2)＝6C 212＝111，于是P (ξ＝1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝2)＝1－411－111＝611， 所以随机变量ξ的分布列是因此E (ξ)＝1×611＋2B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2013·长沙二模)若离散型随机变量X 的分布列为：则常数c 的值为( )． A.23或13B.23 C.13D ．1解析⎩⎪⎨⎪⎧9c 2－c ≥0，3－8c ≥0，9c 2－c ＋3－8c ＝1，∴c ＝13.答案 C2．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X 次球，则P (X ＝12)等于( )．A ．C 1012⎝ ⎛⎭⎪⎫3810⎝ ⎛⎭⎪⎫582B ．C 912⎝ ⎛⎭⎪⎫389⎝ ⎛⎭⎪⎫58238C ．C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫589⎝ ⎛⎭⎪⎫382D ．C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫3810⎝ ⎛⎭⎪⎫582解析 “X ＝12”表示第12次取到红球，前11次有9次取到红球，2次取到白球，因此P (X ＝12)＝38C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫389⎝ ⎛⎭⎪⎫582＝C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫3810⎝ ⎛⎭⎪⎫582. 答案 D二、填空题(每小题5分，共10分)3．(2013·郑州调研)设随机变量X 的概率分布列为则P (|X －3|＝1)＝解析 由13＋m ＋14＋16＝1，解得m ＝14，P (|X －3|＝1)＝P (X ＝2)＋P (X ＝4)＝14＋16＝512. 答案 5124．甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)．若X 是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X 的所有可能取值是________．解析 X ＝－1，甲抢到一题但答错了，或抢到三题只答对一题；X ＝0，甲没抢到题，或甲抢到2题，但答时一对一错；X ＝1时，甲抢到1题且答对或甲抢到3题，且一错两对；X ＝2时，甲抢到2题均答对；X ＝3时，甲抢到3题均答对． 答案 －1,0,1,2,3 三、解答题(共25分)5．(12分)(2013·大连质检)某高中共派出足球、排球、篮球三个球队参加市学校运动会，它们获得冠军的概率分别为12，13，23. (1)求该高中获得冠军个数X 的分布列；(2)若球队获得冠军，则给其所在学校加5分，否则加2分，求该高中得分η的分布列．解 (1)∵X 的可能取值为0,1,2,3，取相应值的概率分别为 P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝19，P (X ＝1)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×23＝718，P (X ＝2)＝12×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×13×23＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×23＝718，P (X ＝3)＝12×13×23＝19. ∴X 的分布列为(2)∵得分η＝5X ＋∵X 的可能取值为0,1,2,3.∴η的可能取值为6,9,12,15，取相应值的概率分别为 P (η＝6)＝P (X ＝0)＝19，P (η＝9)＝P (X ＝1)＝718， P (η＝12)＝P (X ＝2)＝718，P (η＝15)＝P (X ＝3)＝19. ∴得分η的分布列为6. (13分)某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止．如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9.求在一年内李明参加驾照考试次数X 的分布列，并求李明在一年内领到驾照的概率．解X的取值分别为1,2,3,4.X＝1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，故P(X＝1)＝0.6.X＝2，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了，故P(X＝2)＝(1－0.6)×0.7＝0.28.X＝3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，故P(X＝3)＝(1－0.6)×(1－0.7)×0.8＝0.096.X＝4，表明李明第一、二、三次考试都未通过，故P(X＝4)＝(1－0.6)×(1－0.7)×(1－0.8)＝0.024.∴李明实际参加考试次数X的分布列为李明在一年内领到驾照的概率为1－(1－0.6)(1－0.7)(1－0.8)(1－0.9)＝0.997 6.。
2014届高考数学总复习课时讲义9712.1离散型随机变量的分布列
第十二章概率与统计●网络体系总览●考点目标定位1.了解离散型随机变量的意义，会求出某些简单的离散型随机变量的分布列.2.了解离散型随机变量的期望值、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望值、方差.3.会用随机抽样、系统抽样、分层抽样等常用的抽样方法从总体中抽取样本.4.会用样本频率分布估计总体分布.5.了解正态分布的意义及主要性质.6.了解线性回归的方法和简单应用.7.实习作业以抽样方法为内容，培养学生解决实际问题的能力.●复习方略指南在复习中，要注意理解变量的多样性，深化函数的思想方法在实际问题中的应用，充分注意一些概念的实际意义，理解概率中处理问题的基本思想方法，掌握所学概率知识的实际应用.1.把握基本题型应用本章知识要解决的题型主要分两大类：一类是应用随机变量的概念，特别是离散型随机变量分布列以及期望与方差的基础知识，讨论随机变量的取值范围，取相应值的概率及期望、方差的求解计算；另一类主要是如何抽取样本及如何用样本去估计总体.作为本章知识的一个综合应用，教材以实习作业作为一节给出，应给予足够的重视.2.强化双基训练主要是培养扎实的基础知识，迅捷准确的运算能力，严谨的判断推理能力.3.强化方法选择特别在教学中要掌握思维过程，引导学生发现解决问题的方法，达到举一反三的目的，还要进行题后反思，使学生在大脑记忆中构建良好的数学认知结构，形成条理化、有序化、网络化的有机体系.4.培养应用意识要挖掘知识之间的内在联系，从形式结构、数字特征、图形图表的位置特点等方面进行联想和试验，找到知识的“结点”.再有就是将实际问题转化为纯数学问题进行训练，以培养利用所学知识解决实际问题的能力.12.1 离散型随机变量的分布列一、知识梳理1.随机变量的概念如果随机试验的结果可以用一个变量表示，那么这样的变量叫做随机变量，它常用希腊字母ξ、η等表示.（1）离散型随机变量.如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，那么这样的随机变量叫做离散型随机变量.（2）若ξ是随机变量，η=aξ+b，其中a、b是常数，则η也是随机变量.2.离散型随机变量的分布列（1）概率分布（分布列）.设离散型随机变量ξ可能取的值为x1，x2，…，x i，…，ξ取i i iξx1x2…x i…P p1p2…p i…（2）二项分布.如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是P（ξ=k）=C p k q n－k.其中k=0，1，…，n，q=1－p，于是得到随机变量ξ的概率分布如下：ξ0 1 …k…nP C p0q n C p1q n－1…C p k q n－k…C p n q0我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B（n，p），其中n、p为参数，并记C p q －k=b（k；n，p）.特别提示二项分布是一种常用的离散型随机变量的分布.（3）. 几何分布：“”表示在第k次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把k次试验时事件A发生记为，事A不发生记为，那么.根据相互独立事件的概率乘法分式：于是得到随机变量ξ的概率分布列.1 2 3 …k …P q qp ……我们称ξ服从几何分布，并记，其中二、基础训练1.抛掷两颗骰子，所得点数之和为ξ，那么ξ=4表示的随机试验结果是DA.一颗是3点，一颗是1点B.两颗都是2点C.两颗都是4点D.一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点2.下列表中能成为随机变量ξ的分布列的是Cξ－1 0 1P0.3 0.4 0.4ξ 1 2 3P0.4 0.7 －0.1ξ－1 0 1P0.3 0.4 0.3ξ 1 2 3P0.3 0.4 0.43.已知随机变量ξ的分布列为P（ξ=k）=，k=1，2，…，则P（2<ξ≤4）等于AA. B. C. D.4.某批数量较大的商品的次品率为10%，从中任意地连续取出5件，其中次品数ξ的分布列为________.ξ0 1 2 3 4 5P0.950.5×0.940.1×0.930.01×0.92 4.5×0.140.15*6.如果ξ～B（20，），则使P（ξ=k）取最大值的k的值是________.解析：==×≥1，得k≤6.所以当k≤6时，P（ξ=k+1）≥P（ξ=k），当k＞0时，P（ξ=k+1）＜P（ξ=k），其中k=6时，P（ξ=k+1）=P（ξ=k），从而k=6或7时，P（ξ=k）取得最大值.答案：6或7三、例题剖析【例1】在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求：（1）不放回抽样时，抽到次品数ξ的分布列；（2）放回抽样时，抽到次品数η的分布列.特别提示求离散型随机变量分布列要注意两个问题：一是求出随机变量所有可能的值；二是求出取每一个值时的概率.【例2】一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取3只，以ξ表示取出的三只球中的最小号码，写出随机变量ξ的分布列.【例3】盒中装有一打（12个）乒乓球，其中9个新的，3个旧的（用过的球即为旧的），从盒中任取3个使用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数ξ是一个随机变量，求ξ的分布列.思考讨论若本题改为：若每次取1个，用完放回再取1个，用完再放回，再取1个用完放回，则怎样求此时ξ的分布列呢?【例4】（05年山东卷）袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时既终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用表示取球终止所需要的取球次数.（I）求袋中所有的白球的个数；（II）求随机变量的概率分布；（III）求甲取到白球的概率.〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓四、同步练习g3.1097 离散型随机变量的分布列1.袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量ξ，则ξ所有可能取值的个数是BA.5B.9C.10D.252.一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则P（ξ=12）等于BA.C（）10·（）2B.C（）9（）2·C.C（）9·（）2D.C（）9·（）23.现有一大批种子，其中优质良种占30%，从中任取5粒，记ξ为5粒中的优质良种粒数，则ξ的分布列是___ P（ξ=k）=C0.3k0.75－k，k=0，1，…，5_____.4.袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P（ξ≤6）=________.5.（2004年天津，理18）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛.设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数.（1）求ξ的分布列；（2）求ξ的数学期望；（3）求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率.6.（2003年高考·新课程）A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1、A2、A3，B队队员是B1、B2、B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：为ξ、η.（1）求ξ、η的概率分布；（2）求Eξ、Eη.7.金工车间有10台同类型的机床，每台机床配备的电动机功率为10 kW，已知每台机床工作时，平均每小时实际开动12 min，且开动与否是相互独立的.现因当地电力供应紧张，供电部门只提供50 kW的电力，这10台机床能够正常工作的概率为多大?在一个工作班的8 h内，不能正常工作的时间大约是多少?8.一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取3只，以ξ表示取出的3只球中的最大号，写出随机变量ξ的分布列.9.（2004年春季安徽）已知盒中有10个灯泡，其中8个正品，2个次品.需要从中取出2个正品，每次取出1个，取出后不放回，直到取出2个正品为止.设ξ为取出的次数，求ξ的分布列及Eξ.10.(05重庆卷)在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖。
2014届高考数学总复习(考点引领+技巧点拨)第十一章 计数原理、随机变量及分布列第3课时 二项式定理
《最高考系列 高考总复习》2014届高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）第十一章 计数原理、随机变量及分布列第3课时 二项式定理1. (选修23P 32练习5改编)在(x －3)10的展开式中，x 6的系数是________． 答案：1 890 解析：T r ＋1＝C r10x10－r(－3)r，令10－r ＝6，r ＝4，T 5＝9C 410x 6＝1 890x 6.2. (选修23P 32练习6改编)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 212的展开式的常数项是________．答案：495解析：展开式中，T r ＋1＝C r12x12－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2r ＝(－1)r C r 12x 12－3r ，当r ＝4时，T 5＝C 412＝495为常数项．3. (选修23P 35习题2改编)若C 23＋C 24＋C 25＋…＋C 2n ＝363，则自然数n ＝________． 答案：13解析：C 33＋C 23＋C 24＋C 25＋…＋C 2n ＝363＋1，C 34＋C 24＋C 25＋…＋C 2n ＝364，C 35＋C 25＋…＋C 2n ＝…＝C 3n ＋1＝364，n ＝13.4. (选修23P 36习题12改编)已知(1－2x)7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，那么a 1＋a 2＋…＋a 7＝________．答案：－2解析：设f(x)＝(1－2x)7，令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7＝(1－2)7＝－1，令x ＝0，得a 0＝1，a 1＋a 2＋…＋a 7＝－1－a 0＝－2.5. (选修23P 35习题10改编)在(x ＋y)n的展开式中，若第七项系数最大，则n 的值可能为________．答案：11，12，13解析：分三种情况：① 若仅T 7系数最大，则共有13项，n ＝12；② 若T 7与T 6系数相等且最大，则共有12项，n ＝11；③ 若T 7与T 8系数相等且最大，则共有14项，n ＝13，所以n 的值可能等于11，12，13.1. 二项式定理(a ＋b)n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n (n∈N)．这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a ＋b)n的二项展开式，其中的系数C r n (r ＝0，1，2，…，n)叫做第r ＋1项的二项式系数．式中的C r n a n －r b r叫做二项式展开式的第r ＋1项(通项)，用T r ＋1表示，即展开式的第r ＋1项；T r ＋1＝C r n a n －r b r．2. 二项展开式形式上的特点 (1) 项数为n ＋1.(2) 各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n. (3) 字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.(4) 二项式的系数从C 0n ，C 1n ，一直到C n －1n ，C nn . 3. 二项式系数的性质(1) 在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等． (2) 如果二项式的幂指数是偶数，中间项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大．(3) 二项式系数的和等于2n ，即C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n ＝2n.(4) 二项式展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即C 0n ＋C 2n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋…＝2n －1．[备课札记]题型1 二项式展开式的特定项例1 如果⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1x 3n的展开式中，第四项和第七项的二项式系数相等，求：(1) 展开式的中间项；(2) ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －124x n －1展开式中所有的有理项． 解：(1) ⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1x 3n展开式中，第四项和第七项的二项式系数分别是C 3n ，C 6n ，由C 3n ＝C 6n ，得n ＝9，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x 39展开式的中间项为第5项和第6项，即T 5＝(－1)4C 49(x －3)4(x 2)5＝126x 2，T 6＝(－1)5C 59(x －3)5(x 2)4＝－126x7.(2) 通项为T r ＋1＝C r 8(x)8－r ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－124x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r C r 8x 16－3r 4(r ＝0，1，2，…，8)，为使T r ＋1为有理项，必须r 是4的倍数，所以r ＝0，4，8，共有三个有理项，分别是T 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－120C 08x4＝x 4，T 5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－124C 48x ＝358x ，T 9＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－128C 88x －2＝1256x 2.变式训练 (1) 若(1＋x)n 的展开式中，x 3的系数是x 的系数的7倍，求n ；(2) 已知(ax ＋1)7(a≠0)的展开式中，x 3的系数是x 2的系数与x 4的系数的等差中项，求a ；(3) 已知(2x ＋x lgx )8的展开式中，二项式系数最大的项的值等于1 120，求x. 解：(1) C 3n ＝7C 1n ，n （n －1）（n －2）6＝7n ，即n 2－3n －40＝0.由n∈N *，得n ＝8.(2) C 57a 2＋C 37a 4＝2C 47a 3，21a 2＋35a 4＝70a 3，a ≠0，得5a 2－10a ＋3＝0 a ＝1±105. (3) C 48(2x)4(x lgx )4＝1 120，x 4(1＋lgx)＝1，所以x ＝1，或lgx ＝－1，x ＝110.题型2 二项式系数例2 已知(x 23＋3x 2)n的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992，求： (1) 展开式中二项式系数最大的项； (2) 展开式中系数最大的项．解：令x ＝1，则展开式中各项系数和为(1＋3)n ＝22n.又展开式中二项式系数和为2n，∴ 22n －2n＝992，n ＝5.(1) ∵ n＝5，展开式共6项，二项式系数最大的项为第3、4两项，∴ T 3＝C 25(x 23)3(3x 2)2＝90x 6，T 4＝C 35(x 23)2(3x 2)3＝270x 223.(2) 设展开式中第r ＋1项系数最大， 则T r ＋1＝C r 5(x 23)5－r (3x 2)r ＝3r C r5x 10＋4r 3，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧3r C r 5≥3r －1C r －15，3r C r 5≥3r ＋1C r ＋15， 72≤r ≤92，∴ r ＝4， 即展开式中第5项系数最大，T 5＝C 45(x 23)(3x 2)4＝405x 263.备选变式（教师专享）已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12n 的展开式中前三项的系数成等差数列．设⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12n＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n.求：(1) a 5的值；(2) a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋(－1)na n 的值； (3) a i (i ＝0，1，2，…，n)的最大值．解：(1) 由题设，得C 0n ＋14×C 2n ＝2×12×C 1n ，即n 2－9n ＋8＝0，解得n ＝8，n ＝1(舍)．T r ＋1＝C r 8x 8－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫12r，令8－r ＝5 r ＝3，所以a 5＝7.(2) 在等式的两边取x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 8＝1256. (3) 设第r ＋1的系数最大，则⎩⎪⎨⎪⎧12r C r 8≥12r ＋1C r ＋18，12r C r8≥12r －1C r －18，即⎩⎪⎨⎪⎧18－r ≥12（r ＋1），12r ≥19－r ，解得r ＝2或r ＝3.所以a i 系数最大值为7.题型3 二项式定理的综合应用例3 已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x n 展开式中的二项式系数的和比(3a ＋2b)7展开式的二项式系数的和大128，求⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1x n展开式中的系数最大的项和系数最小的项．解：2n －27＝128，n ＝8，⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x 8的通项T r ＋1＝C r 8(x 2)8－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r C r 8x 16－3r，当r ＝4时，展开式中的系数最大，即T 5＝70x 4为展开式中的系数最大的项；当r ＝3，或5时，展开式中的系数最小，即T 4＝－56x 7，T 6＝－56x 为展开式中的系数最小的项．备选变式（教师专享） 已知(2－3x)50＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 50x 50，其中a 0，a 1，a 2…，a 50是常数，计算(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 50)2－(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 49)2.解：设f(x)＝(2－3x)50，令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 50＝(2－3)50，令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…＋a 50＝(2＋3)50，(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 50)2－(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 49)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 50)(a 0－a 1＋a 2－…＋a 50) ＝(2－3)50(2＋3)50＝1.1. (2013·新课标Ⅱ)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝________． 答案：－1解析：已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x 2的系数为C 25＋a·C 15＝5，解得a ＝－1.2. (2013·天津理)⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 6的二项展开式中的常数项为________．答案：15解析：展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 6x 6－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x k ＝C k 6x6－32k(－1)k.由6－32k ＝0，得k＝4.所以常数项为T 4＋1＝C 46(－1)4＝15.3. (2013·大纲版理)(1＋x)3(1＋y)4的展开式中x 2y 2的系数是________． 答案：18解析：(x ＋1)3的展开式的通项为T r ＋1＝C r 3x r ，令r ＝2得到展开式中x 2的系数是C 23＝3.(1＋y)4的展开式的通项为T r ＋1＝C r 4y r ，令r ＝2得到展开式中y 2的系数是C 24＝6，(1＋x)3(1＋y)4的展开式中x 2y 2的系数是3×6＝18.4. (2013·辽宁理)使得⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x x n(n∈N ＋)的展开式中含有的常数项最小的n 为________．答案：5解析：展开式的通项公式为T k ＋1＝C k n (3x)n －k·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x k ＝C k n 3n －k xn －5k 2.由n －5k 2＝0，得n＝5k2，所以当k ＝2时，n 有最小值5.1. 若n 是奇数，则7n ＋C 1n 7n －1＋C 2n 7n －2＋…＋C n －1n 7被9除的余数是________． 答案：7解析：原式＝(7＋1)n －1＝(9－1)n－1＝9k －2＝9k′＋7(k 和k ′均为正整数)．2. 0.9915的近似值是___________．(精确到0.001) 答案：0.956解析：0.9915＝(1－0.009)5＝1－5×0.009＋10×(0.009)2－…≈1－0.045＋0.000 81≈0.956.3. 用二次项定理证明32n ＋2－8n －9能被64整除(n∈N )．证明：32n ＋2－8n －9＝9n ＋1－8n －9＝(8＋1)n ＋1－8n －9 ＝C 0n ＋18n ＋1＋C 1n ＋18n ＋…＋C n －1n ＋182＋C n n ＋18＋C n ＋1n ＋1－8n －9＝64(C 0n ＋18n －1＋C 1n ＋18n －2＋…＋C n －1n ＋1)＋8(n ＋1)＋1－8n －9＝M×64(记M ＝C 0n ＋18n －1＋C 1n ＋18n －2＋…＋C n －1n ＋1)． ∵ M 为整数，∴ 64M 能被64整除．4. (1) 在(1＋x)n的展开式中，若第3项与第6项系数相等，则n 等于多少？(2) ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x x ＋13x n的展开式奇数项的二项式系数之和为128，求展开式中二项式系数最大项．解：(1) 由已知得C 2n ＝C 5n n ＝7.(2) 由已知得C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝128，2n －1＝128，n ＝8，而展开式中二项式系数最大项是T 4＋1＝C 48(x x)4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 4＝70x 43x 2.一般地，对于多项式g(x)＝(px ＋q)n＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，则有： (1) g(x)的常数项的系数为g(0)； (2) g(x)的各项的系数和为g(1)；(3) g(x)的奇数项的系数和为12[g(1)＋g(－1)]；(4) g(x)的偶数项的系数和为12[g(1)－g(－1)]．请使用课时训练（A ）第3课时（见活页）.[备课札记]。
2014高考数学查缺补漏集中营概率、随机变量及其分布列
2014高考数学查缺补漏集中营：概率、随机变量及其分布列一、选择题(每小题5分，共25分)1．已知某一随机变量ξ的概率分布列如下，且E (ξ)＝6.3，则a 的值为( ).A ．5B ．6C ．7D ．82．甲、乙两人进行围棋比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为23，则甲以3∶1的比分获胜的概率为( )．A.827 B.6481 C.49 D.893．设随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，函数f (x )＝x 2＋4x ＋ξ没有零点的概率是12，则μ＝( )．A ．1B ．4C ．2D ．不能确定4．甲射击命中目标的概率是12，乙命中目标的概率是13，丙命中目标的概率是14.现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为( )．A.34B.23C.45D. 7105．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c (a ，b ，c ∈(0,1))，已知他投篮一次得分的数学期望为1(不计其他得分的情况)，则ab 的最大值为( )．A.148 B.124 C.112 D.16二、填空题(每小题5分，共15分)6．随机变量ξ服从正态分布N (40，σ2)，若P (ξ＜30)＝0.2，则P (30＜ξ＜50)＝________. 7．将一枚均匀的硬币抛掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为________． 8．盒中装有7个零件，其中2个是使用过的，另外5个未经使用．从盒中随机抽取2个零件，使用后放回盒中，记此时盒中使用过的零件个数为X ，则X 的数学期望E (X )＝________. 三、解答题(本题共3小题，共35分)9．(11分)甲，乙，丙三个同学同时报名参加某重点高校2012年自主招生，高考前自主招生的程序为审核材料和文化测试，只有审核过关后才能参加文化测试，文化测试合格者即可获得自主招生入选资格．因为甲，乙，丙三人各有优势，甲，乙，丙三人审核材料过关的概率分别为0.5,0.6,0.4，审核过关后，甲，乙，丙三人文化测试合格的概率分别为0.6,0.5,0.75.(1)求甲，乙，丙三人中只有一人通过审核材料的概率；(2)求甲，乙，丙三人中至少有两人获得自主招生入选资格的概率．10．(12分)乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．(1)求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率； (2)ξ表示开始第4次发球时乙的得分，求ξ的期望．11．(12分)某汽车驾驶学校在学员结业前对其驾驶技术进行4次考核，规定：按顺序考核，一旦考核合格就不必参加以后的考核，否则还需要参加下次考核．若小李参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为18的等差数列，他参加第一次考核合格的概率超过12，且他直到参加第二次考核才合格的概率 为932. (1)求小李第一次参加考核就合格的概率P 1；(2)求小李参加考核的次数X 的分布列和数学期望E (X )．参考答案1．C [由题意得0.5＋0.1＋b ＝1，得b ＝0.4，由4×0.5＋a ×0.1＋9×b ＝6.3，求得a 的值为7.]2．A [前三局中甲获胜2局，第四局甲胜，则P ＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23＝827.]3．B [根据题意函数f (x )＝x 2＋4x ＋ξ没有零点时，Δ＝16－4ξ＜0，即ξ＞4，根据正态密度曲线的对称性，当函数f (x )＝x 2＋4x ＋ξ没有零点的概率是12时，μ＝4.]4．A [设甲命中目标为事件A ，乙命中目标为事件B ，丙命中目标为事件C ，则目标被击中的事件可以表示为A ∪B ∪C ，即击中目标表示事件A 、B 、C 中至少有一个发生． ∴P (A ·B ·C )＝P (A )·P (B )·P (C ) ＝[1－P (A )]·[1－P (B )]·[1－P (C )]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝14. 故目标被击中的概率为1－P (A ·B ·C )＝1－14＝34.]5．B [由已知得3a ＋2b ＋0×c ＝1，即3a ＋2b ＝1，∴ab ＝16·3a ·2b ≤16⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋2b 22＝16×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝124，当且仅当3a ＝2b ＝12时取等号，即ab 的最大值为124.]6．解析 P (ξ＜30)＝P (ξ＞50)＝0.2，P (30＜ξ＜50)＝1－P (ξ＜30)－P (ξ＞50)＝0.6.答案 0.67．解析 正面出现的次数比反面出现的次数多，则正面可以出现4次，5次或6次，所求概率P ＝C 46⎝ ⎛⎭⎪⎫126＋C 56⎝ ⎛⎭⎪⎫126＋C 66⎝ ⎛⎭⎪⎫126＝1132.答案11328．解析 X 可能取值有2、3、4，P (X ＝2)＝C 22C 27＝121.P (X ＝3)＝C 12C 15C 27＝1021.P (X ＝4)＝C 25C 27＝1021.E (X )＝2×P (X ＝2)＋3×P (X ＝3)＋4×P (X ＝4)＝247.答案2479．解 (1)分别记甲，乙，丙通过审核材料为事件A 1，A 2，A 3记甲，乙，丙三人中只有一人通过审核为事件B ，则P (B )＝P (A 1A2A 3)＋P (A 1A 2A 3)＋P (A1A 2A 3)＝0.5×0.4×0.6＋0.5×0.6×0.6＋0.5×0.4×0.4＝0.38.(2)分别记甲，乙，丙三人中获得自主招生入选资格为事件C ，D ，E ，记甲，乙，丙三人中至少有两人获得自主招生入选资格为事件F ， 则P (C )＝P (D )＝P (E )＝0.3，∴P (F )＝C 23×0.32×0.7＋C 33×0.33＝0.189＋0.027＝0.216.10．解 记A i 表示事件：第1次和第2次这2次发球，甲共得i 分，i ＝0,1，2；A 表示事件：第3次发球，甲得1分；B 表示事件：开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2.(1)B ＝A 0·A ＋A 1·A ，P (A )＝0.4，P (A 0)＝0.42＝0.16，P (A 1)＝2×0.6×0.4＝0.48， P (B )＝P (A 0·A ＋A 1·A )＝P (A 0·A )＋P (A 1·A ) ＝P (A 0)P (A )＋P (A 1)P (A ) ＝0.16×0.4＋0.48×(1－0.4) ＝0.352.(2)P (A 2)＝0.62＝0.36. ξ的可能取值为0,1,2,3.P (ξ＝0)＝P (A 2·A )＝P (A 2)P (A )＝0.36×0.4＝0.144， P (ξ＝2)＝P (B )＝0.352，P (ξ＝3)＝P (A 0·A )＝P (A 0)P (A )＝0.16×0.6＝0.096， P (ξ＝1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝2)－P (ξ＝3)＝1－0.144－0.352－0.096 ＝0.408.E (ξ)＝0×P (ξ＝0)＋1×P (ξ＝1)＋2×P (ξ＝2)＋3×P (ξ＝3)＝0.408＋2×0.352＋3×0.096 ＝1.400.11．解 (1)由题意得(1－P 1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫P 1＋18＝932， ∴P 1＝14或58.∵P 1＞12，∴P 1＝58.(2)由(1)知小李4次考核每次合格的概率依次为58，34，78，1，所以P (X ＝1)＝58，P (X ＝2)＝932，P (X ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－58⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×78＝21256， P (X ＝4)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－58⎝⎛⎭⎪⎫1－34⎝⎛⎭⎪⎫1－78×1＝3256， 所以X 的分布列为∴E (X )＝1×58＋2×32＋3×256＋4×256＝256.。
随机变量及其分布例题和知识点总结
随机变量及其分布例题和知识点总结在概率论与数理统计中，随机变量及其分布是非常重要的概念。
理解和掌握随机变量及其分布对于解决各种概率问题至关重要。
下面，我们将通过一些具体的例题来深入理解相关知识点。
一、随机变量的概念随机变量是指定义在样本空间上的实值函数，它将样本空间中的每个样本点对应到一个实数。
随机变量可以分为离散型随机变量和连续型随机变量。
例如，抛一枚硬币，出现正面记为 1，出现反面记为 0，这里定义的变量就是一个离散型随机变量。
二、离散型随机变量及其分布离散型随机变量的取值是有限个或可列无限个。
常见的离散型随机变量分布有二项分布、泊松分布等。
例题 1：一批产品的次品率为 01，从中有放回地抽取 10 次，每次取一件，求抽到次品数 X 的概率分布。
解：这是一个二项分布问题，其中 n ＝ 10，p ＝ 01。
P(X ＝ k) ＝ C(10, k) × 01^k × 09^（10 k) ，k ＝ 0, 1, 2,， 10知识点：二项分布的概率质量函数为 P(X ＝ k) ＝ C(n, k) × p^k ×（1 p)＾（n k) ，其中 n 是试验次数，p 是每次试验成功的概率。
例题 2：某商店每月销售某种商品的数量服从泊松分布，平均每月销售 5 件。
求每月销售 3 件的概率。
解：设每月销售的商品数量为 X，λ ＝ 5P(X ＝ 3) ＝（e^（－5) × 5^3) ／ 3!知识点：泊松分布的概率质量函数为 P(X ＝ k) ＝（e^（λ) × λ^k)／ k! ，其中λ 是平均发生的次数。
三、连续型随机变量及其分布连续型随机变量的取值是连续的区间。
常见的连续型随机变量分布有均匀分布、正态分布等。
例题 3：设随机变量 X 在区间 a, b 上服从均匀分布，求 X 的概率密度函数。
解：概率密度函数 f(x) ＝ 1 ／（b a) ，a ≤ x ≤ b ；f(x) ＝ 0 ，其他。
2014高考复习：概率、随机变量及其分布列
2014高考复习：概率、随机变量及其分布列D【解析】 取面积为测度，则所求概率为P ＝S 图形DEBF S 矩形ABCD ＝2×1－π×12×14×22×1＝2－π22＝1－π4.【答案】 A4．(正态分布)已知随机变量ξ～N (u ，σ2)，且P (ξ<1)＝12，P (ξ>2)＝p ，则P (0<ξ<1)＝________.【解析】 由P (ξ<1)＝12可知，此正态分布密度曲线关于直线x ＝1对称，故P (ξ≤0)＝P (ξ≥2)＝P (ξ>2)＝p ，易得P (0<ξ<1)＝P (ξ<1)－P (ξ≤0)＝12－p .【答案】 12－p5．(随机变量的方差)(2013·上海高考)设非零常数d 是等差数列x 1，x 2，x 3，…，x 19的公差，随机变量ξ等可能地取值x 1，x 2，x 3，…，x 19，则方差Dξ＝________.【解析】由等差数列的性质，x＝S1919＝x1＋x192＝x10.∴Dξ＝119[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(x19－x)2]＝219d2(12＋22＋32＋…＋92)＝30d2.【答案】30d2古典概型与几何概型(1)(2013·广州质检)从个位数与十位数的数字之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是()A.49B.13C.29D.19 (2)(2013·湖南高考)已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ，使△APB 的最大边是AB ”发生的概率为12，则ADAB ＝( )A.12B.14C.32D.74 【思路点拨】 (1)按个位数为偶数或奇数分两类，求基本事件总数，找出个位数为0的基本事件数，利用古典概型求其概率．(2)由几何图形的对称性，要使△PAB 中的边AB 是最大边，则点P 在线段P 1P 3上(其中AB ＝BP 1或AB ＝AP 3)，如图所示，由已知概率定点P 1的位置，进而求AD AB 的值．【自主解答】 (1)个位数与十位数之和为奇数，则个位数与十位数中必一个奇数一个偶数，所以可以分两类．①当个位为奇数时，有5×4＝20(个)符合条件的两位数．②当个位为偶数时，有5×5＝25(个)符合条件的两位数．因此共有20＋25＝45(个)符合条件的两位数，其中个位数为0的两位数有5个，所以所求概率为P＝545＝19.(2)当△PAB中边AB最大，则点P在线段P1P3上(其中AB＝BP1或AB＝AP3)，如图所示．又事件发生的概率P＝P1P3CD＝12，则P1P3＝12CD，根据对称性知，DP1＝14CD，PC1＝34CD＝34AB，此时AB ＝BP 1，则AB 2＝AD 2＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫34AB 2， ∴AD 2＝716AB 2，则AD AB ＝74.【答案】 (1)D (2)D1．(1)本题(1)在计数时用了分类讨论的思想，其分类标准是个位数字是否为奇数．(2)有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，这常用到计数原理与排列、组合的相关知识．2．(1)第(2)小题求解的关键：①点P 1、P 3位置的探求；②等量关系AB ＝BP 1的确定．(2)几何概型中的基本事件是无限的，但其构成的区域却是有限的，因此可用“比例解法”求概率．在利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的大小确定．变式训练1 (1)(2013·上海高考)盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九个小球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是________(结果用最简分数表示)．(2)(2013·四川高考)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯．这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮．那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )A.14B.12C.34D.78【解析】 (1)从9个小球中任取两个，有n ＝C 29＝36种取法．设“两个球的编号之积为偶数”为事件A ，则A 表示“两球的编号之积为奇数”，且A 发生时，从编号为1,3,5,7,9中取出两个不同小球，有m ＝C 25＝10种取法．∴P (A )＝1－P(A )＝1－1036＝1318.(2)设两串彩灯同时通电后，第一次闪亮的时刻分别为x ，y ，则0≤x ≤4,0≤y ≤4，而事件A “它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒”，即|x －y |≤2，可行域如图阴影部分所示．由几何概型概率公式得P (A )＝42－2×⎝⎛⎭⎪⎪⎫12×2×242＝34. 【答案】 (1)1318(2)C 互斥事件与相互独立事件的概率某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为110和p.(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，求p的值．(2)求系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率．【思路点拨】(1)利用对立事件的概率求p的值；(2)转化为两个互斥事件的概率和：3次检测中仅发生一次故障，3次检测中均没发生故障．【自主解答】(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C，那么1－P(C)＝1－110·p＝4950，解得p＝15.(2)设“系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数”为事件D.“系统A在3次相互独立的检测中发生k次故障”为事件D k .则D ＝D 0＋D 1，且D 0、D 1互斥．依题意，P (D 0)＝C 03⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－1103，P (D 1)＝C 13·110⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－1102， 所以P (D )＝P (D 0)＋P (D 1)＝7291 000＋2431 000＝243250. 所以系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障次数的概率为243250.1．一个复杂事件若正面情况较多，反面情况较少，则一般利用对立事件进行求解．尤其是涉及到“至多”、“至少”等问题常常用这种方法求解(如本题第(1)问)．2．求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，看复杂事件能转化为几个彼此互斥的事件的和事件还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件，然后用概率公式求解(如本题第(2)问)．变式训练2(2013·陕西高考改编)在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求P(X≥2)的值．【解】(1)设A表示事件“观众甲选中3号歌手”，B表示事件“观众乙选中3号歌手”，则P (A )＝C 12C 23＝23，P (B )＝C 24C 35＝35. ∵事件A 与B 相互独立，A 与B 相互独立． 则A ·B 表示“甲选中3号歌手，且乙没选中3号歌手”．∴P (A B )＝P (A )·P (B )＝P (A )·[1－P (B )]＝23×25＝415. (2)设C 表示事件“观众丙选中3号歌手”，则P (C )＝C 24C 35＝35， 依题意，A ，B ，C 相互独立，A ，B ，C 相互独立．且AB C ，A B C ，A BC ，ABC 彼此互斥． 又P (X ＝2)＝P (AB C )＋P (A B C )＋P (A BC ) ＝23×35×25＋23×25×35＋13×35×35＝3375， P (X ＝3)＝P (ABC )＝23×35×35＝1875，∴P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝3375＋1875＝1725.独立重复试验与二项分布(2013·山东高考)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23，假设各局比赛结果相互独立．(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率；(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分，对方得1分．求乙队得分X的分布列及数学期望．【思路点拨】 (1)甲队3∶0获胜，相当于成功概率为23的三次独立重复试验三次成功，3∶1获胜，则前三局甲队胜两局且第四局甲队获胜；3∶2获胜，则前四局甲队胜两局且第五局甲队获胜．(2)乙队得分X ＝0,1，根据(1)的结果和对立事件概率之间的关系求出其概率分布，根据数学期望的公式计算其数学期望．【自主解答】 (1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A 1，“甲队以3∶1胜利”为事件A 2，“甲队以3∶2胜利”为事件A 3，由题意，各局比赛结果相互独立，故P (A 1)＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫233＝827， P (A 2)＝C 23⎝⎛⎭⎪⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－23×23＝827， P (A 3)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－232×12＝427. 所以甲队以3∶0胜利，以3∶1胜利的概率都为827，以3∶2胜利的概率为427. (2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A 4， 由题意，各局比赛结果相互独立，所以P (A 4)＝C 24⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－232⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12＝427. 由题意，随机变量X 的所有可能的取值为0,1,2,3，根据事件的互斥性得P (X ＝0)＝P (A 1＋A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)＝1627. 又P (X ＝1)＝P (A 3)＝427， P (X ＝2)＝P (A 4)＝427， P (X ＝3)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)－P (X ＝2)＝327， 故X 的分布列为 X 0 1 2 3P 1627 427 427 327 所以E (X )＝0×1627＋1×427＋2×427＋3×327＝79.1．(1)本题最易出现的错误是不能理解问题的实际意义，弄错事件之间的关系．(2)求解的关键是理解“五局三胜制”的含义，从而理清事件之间的关系．2．解决概率分布，应先明确是哪种类型的分布，然后代入公式，若随机变量X 服从二项分布，可直接代入二项分布的期望公式．变式训练3 (2013·福建高考)某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为25，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ，求X ≤3的概率；(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？【解】 (1)由已知得，小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，且两人中奖与否互不影响．记“这2人的累计得分X ≤3”的事件为A ， 则事件A 的对立事件为“X ＝5”． 因为P (X ＝5)＝23×25＝415，所以P (A )＝1－P (X ＝5)＝1－415＝1115，即这2人的累计得分X ≤3的概率为1115.(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X 1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X 2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E (2X 1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E (3X 2)．由已知可得，X 1～B (2，23)，X 2～B (2，25)，所以E (X 1)＝2×23＝43，E (X 2)＝2×25＝45，从而E (2X 1)＝2E (X 1)＝83，E (3X 2)＝3E (X 2)＝125. 因为E (2X 1)＞E (3X 2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大.离散型随机变量的均值与方差(2013·辽宁高考)现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．(1)求张同学至少取到1道乙类题的概率； (2)已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对每道甲类题的概率都是35，答对每道乙类题的概率都是45，且各题答对与否相互独立．用X 表示张同学答对题的个数，求X 的分布列和数学期望．【思路点拨】 (1)先求“张同学所取的3道题都是甲类题”的概率，利用对立事件求解．(2)易知随机变量X 取值为0,1,2,3，由相互独立事件的概率公式求X ＝i (i ＝0,1,2,3)的概率．【自主解答】 (1)设事件A ＝“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”，则有A ＝“张同学所取的3道题都是甲类题”．因为P (A )＝C 36C 310＝16，所以P (A )＝1－P (A )＝56. (2)X 所有的可能取值为0,1,2,3.P (X ＝0)＝C 02·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫350·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫252·15＝4125； P (X ＝1)＝C 12·⎝⎛⎭⎪⎪⎫351·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫251·15＋C 02⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫350·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫252·45＝28125；P (X ＝2)＝C 22·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫352·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫250·15＋C 12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫351·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫251·45＝57125； P (X ＝3)＝C 22·⎝⎛⎭⎪⎪⎫352·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫250·45＝36125.所以X 的分布列为：X1 2 3 P 4125281255712536125所以E (X )＝0×4125＋1×28125＋2×57125＋3×36125＝2.1．解题要注意两点：(1)随机变量X 取每一个值表示的具体事件的含义，(2)正确利用独立事件、互斥事件进行概率的正确计算．2．求随机变量的期望和方差的关键是正确求出随机变量的分布列，若随机变量服从二项分布，则可直接使用公式求解．变式训练4某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球．根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：奖级摸出红、蓝球个数获奖金额一等奖3红1蓝200元二等奖3红0蓝50元三等奖2红1蓝10元其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列与期望E(X)．【解】设A i(i＝0,1,2,3)表示摸到i个红球，B j(j＝0,1)表示摸到j个蓝球，则A i与B j相互独立．(1)恰好摸到1个红球的概率为P(A1)＝C13C24C37＝1835.(2)X的所有可能值为：0,10,50,200，且P(X＝200)＝P(A3B1)＝P(A3)P(B1)＝C33C37·13＝1 105，P(X＝50)＝P(A3B0)＝P(A3)P(B0)＝C33C37·23＝2 105，P(X＝10)＝P(A2B1)＝P(A2)P(B1)＝C23C14C37·13＝12 105＝435，P(X＝0)＝1－1105－2105－435＝67.综上可知，获奖金额X的分布列为X 01050200P 6743521051105从而有E(X)＝0×67＋10×435＋50×2105＋200×1105＝4(元)．从近两年的高考试题看，离散型随机变量的分布列、均值与方差是高考的热点，题型齐全，难度中等，不仅考查学生的理解能力与数学计算能力，而且不断创新问题情境，突出学生运用概率、期望与方差解决实际问题的能力．巧用概率公式求解期望问题(12分)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为12，且各件产品是否为优质品相互独立．(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品的检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X (单位：元)，求X 的分布列及数学期望．【规范解答】 (1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A 1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A 2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B 1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B 2，这批产品通过检验为事件A ，依题意有A ＝A 1B 1＋A 2B 2，且A 1B 1与A 2B 2互斥.2分∵P (A 1B 1)＝P (A 1)·P (B 1|A 1)＝C 34⎝⎛⎭⎪⎪⎫124·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫124＝164. P (A 2B 2)＝P (A 2)·P (B 2|A 2)＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫124·12＝132，∴P (A )＝P (A 1B 1)＋P (A 2B 2)＝164＋132＝364.6分(2)X 的可能值为400,500,800.且P (X ＝500)＝C 44⎝⎛⎭⎪⎪⎫124＝116，P (X ＝800)＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫123×12＝14， ∴P (X ＝400)＝1－⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤C 34(12)3·12＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫124＝1116. ∴随机变量X 的分布列为X 400 500 800 P1116 1161410分E (X )＝400×116＋500×116＋800×14＝506.25.12分【阅卷心语】易错提示 (1)题意不清，不能将事件A 转化为条件概率与互斥事件概率，错求P (A )．(2)忽视X＝400这一情形，或即使考虑X＝400，却不能利用对立事件求P(X＝400)，进而错求X的分布列与均值．防范措施(1)求某事件概率，首先理解题意，分清概率模型，恰当选择概率计算公式．本题是条件概率，应利用条件概率公式计算．(2)弄清X取每一个数值时事件的含义，这是正确求解的关键；活用概率分布的性质，可简化求P(X＝400)的思维过程．1．(2013·济南模拟)在区间[－2,4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为56，则m ＝________.【解析】由|x|≤m，知－m≤x≤m.∵P(|x|＜m)＝56，且x∈[－2,4]，可知，m＞2，－m＜－2，从而P (|x |＜m )＝m －(－2)4－(－2)＝56，∴m ＝3. 【答案】 32．假设某班级教室共有4扇窗户，在每天上午第三节课上课预备铃声响起时，每扇窗户或被敞开或被关闭，且概率均为0.5.记此时教室里敞开的窗户个数为X .(1)求X 的分布列；(2)若此时教室里有两扇或两扇以上的窗户被关闭，班长就会将关闭的窗户全部敞开，否则维持原状不变．记每天上午第三节课上课时该教室里敞开的窗户个数为Y ，求Y 的数学期望．【解】 (1)∵X 的所有可能取值为0,1,2,3,4，X ～B (4,0.5)，∴P (X ＝0)＝C 04(12)4＝116，P (X ＝1)＝C 14(12)4＝14， P (X ＝2)＝C 24(12)4＝38，P (X ＝3)＝C 34(12)4＝14， P (X ＝4)＝C 44(12)4＝116，∴X 的分布列为 X 0 1 2 3 4P 116 14 38 14 116(2)Y 的所有可能取值为3,4，则 P (Y ＝3)＝P (X ＝3)＝14，P (Y ＝4)＝1－P (Y ＝3)＝34，∴Y 的期望值E (Y )＝3×14＋4×34＝154.。
随机变量及其分布知识点整理
随机变量及其分布知识点整理一、离散型随机变量的分布列一般地，设离散型随机变量X 可能取的值为12,,,,,i n x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，X 取每一个值(1,2,,)i x i n =⋅⋅⋅的概率()i i P X x p ==，则称以下表格为随机变量X 的概率分布列，简称X 的分布列.离散型随机变量的分布列具有下述两个性质：（1）0,1,2,,i P i n =⋅⋅⋅≥ （2）121n p p p ++⋅⋅⋅+=1．两点分布如果随机变量X 的分布列为则称X 服从两点分布，并称=P(X=1)p 为成功概率.2．超几何分布一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件{}X k =发生的概率为：(),0,1,2,3,...,k n k M N M n NC C P X k k m C --==={}*min ,,,,,,m M n n N M N n M N N =≤≤∈其中且。
注：超几何分布的模型是不放回抽样二、条件概率一般地，设A,B 为两个事件,且()0P A >,称()(|)()P AB P B A P A =为在事件A 发生的条件下,事件B 发生的条件概率. 0(|)1P B A ≤≤如果B 和C 互斥，那么[()|](|)(|)P B C A P B A P C A =+U三、相互独立事件设A ，B 两个事件，如果事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响(即()()()P AB P A P B =),则称事件A 与事件B 相互独立。
()()()A B P AB P A P B ⇔=即、相互独立一般地，如果事件A 1,A 2,…,A n 两两相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即1212(...)()()...()n n P A A A P A P A P A =.注：(1)互斥事件：指同一次试验中的两个事件不可能同时发生；(2)相互独立事件：指在不同试验下的两个事件互不影响.四、n 次独立重复试验一般地，在相同条件下，重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验.在n 次独立重复试验中，记i A 是“第i 次试验的结果”，显然，1212()()()()n n P A A A P A P A P A ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ “相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其他试验的影响注: 独立重复试验模型满足以下三方面特征第一：每次试验是在同样条件下进行；第二：各次试验中的事件是相互独立的；第三：每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生.n 次独立重复试验的公式：n A X A p n A k 一般地，在次独立重复试验中，设事件发生的次数为，在每次试验中事件发生的概率为，那么在次独立重复试验中，事件恰好发生次的概率为()(1),0,1,2,...,.(1)k k n k k k n k n n P X k C p p C p q k n q p --==-===-其中，而称p 为成功概率.五、二项分布一般地，在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则()(1)0,1,2,,k k n k n P X k C p p k n -==-=⋅⋅⋅，此时称随机变量X 服从二项分布，记作~(,)X B n p ，并称p 为成功概率.六、离散随机变量的均值（数学期望）一般地，随机变量X 的概率分布列为则称1122()i i n n E X x p x p x p x p =+++++为X 的数学期望或均值，简称为期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.1．若，其中a b 常数，则Y 也是变量则()EY aE X b =+，即()()E aX b aE X b +=+2．一般地，如果随机变量X 服从两点分布，那么()=10(1)E X p p p ⨯+⨯-=即若X 服从两点分布，则()E X p =3．若~(,)X B n p ，则()E X np =七、离散型随机变量取值的方差和标准差一般地,若离散型随机变量x的概率分布列为2221122(())(())(())..n nDX x E X p x E X p x E X p XX=-+-+⋅⋅⋅+-则称为随机变量的方差的标准差1．若X服从两点分布，则()(1)D X p p=-2．若~(,)X B n p，则()(1)D X np p=-3．2()()D aX b a D X+=。
2014年高考数学一轮复习 热点难点精讲精析 11.3随机变量及其分布
2014年高考一轮复习热点难点精讲精析：11.3随机变量及其分布一、离散型随机变量及其分布列 （一）随机变量的概念 ※相关链接※1．所谓随机变量，就是试验结果和实数之间的一个对应关系。
这与函数概念在本质上是相同的，不同的是函数的自变量是实数，而随机变量的自变量是试验结果。
2．如果随机变量可能取的值为有限个，则我们能够把其结果一一列举出来。
3．随机变量是随机试验的结果数量化，变量的取值对应随机试验的某一个随机事件，在学习中，要注意随机变量与以前所学的变量的区别与联系。
※例题解析※〖例〗写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果。
（1）一个口袋中装有2个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为ξ。
（2）投掷两枚骰子，所得点数之和为X ，所得点数的最大值为Y 。
思路解析：（1）3个球中，可能有1个白球，也可能有两个，还可能没有。
（2）投掷结果为(,)i j ，其中16,16i j ≤≤≤≤且,i j N ∈。
利用投掷结果确定X ，Y 。
解答：（1）ξ可取0，1，2。
ξ=0表示所取3个球中没有白球；ξ=1表示所取3个球中有一个白球，2个黑球； ξ=2表示所取3个球鞋中有2个白球，1个黑球。
（1）X 的可能取值2，3，4，5，……，12。
Y 的可能取值为1，2，3，……，6。
若以(,)i j 表示先后投掷的两枚骰子出现的点数。
则X=2表示（1，1），X=3表示（1，2），（2，1），X=4表示（1，3），（2，2），（3，1），……，X=12表示（6，6）；Y=1表示（1，1），Y=2表示（1，2），（2，1），（2，2），Y=3表示（1，3），（2，3），（3，3），（3，1），（3，2），……，Y=6表示（1，6），（2，6），（3，6），……，（6，6），（6，5），……，（6，1）。
（二）离散型随机变量的分布列 ※相关链接※1．分布列可由三种形式，即表格、等式和图象表示。
2014高二数学总复习(10)选修2--3随机变量分布列
2014高二数学总复习（10）选修2—3系列第二章、离散型随机变量及其分布列知识点1离散型随机变量的分布列离散型随机变量的分布列：从函数的观点来看，离散型随机变量是其相应概率的函数，这个函数可以用列表法表示。
这个函数表叫做离散型随机变量的分布列。
设离散型随机变量ξ可能取的值为x 1, x 2，…，x i ，…，ξ取每一个值x i (i=1, 2,…)的概率P(ξ=x i )=p i ，则表ξ x 1 x 2 … x i … P p 1 P 2 … P i …称为随机变量ξ的概率分布 ，简称ξ的分布列．指出：（1）离散型随机变量的分布列具有下述两个性质： ① p i ≥0, i=1, 2, …； ② p 1+p 2+…+p i +…=1． （2）根据互斥事件的概率公式，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和（3）求离散型随机变量概率分布的步骤：① 找出随变量ξ的所有可能的取值x i (i=1, 2,…); ② 求出各取值的概率P(ξ=x i )=p i ； ③ 列出表格．（4）常见的离散型随机变量的分布列 知识点2 常见的分布列 (1)单点分布ξ a P 1即P(ξ=a)=1． (2)两点分布ξ 0 1P 1-pp 其中0<p<1．均值为E ξ=p ，方差为D ξ=p （1－p ）。
(3)二项分布在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是kn k k n n q p C k P -==)(ξ，（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）． 于是得到ξ的概率分布如下：ξ 0 1… …nPnn qp C 00 111-n n qp C …kn kknqp C - …0qp C n n n由于k n k k n qp C -恰好是二项展开式11100)(q p C q p C q p C q p C p q n n n k n k k n n n n n n +++++=+--中的各项的值，所以称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B (n ，p )，其中n ，p 为参数，并记k n k k n q p C -＝b (k ；n ，p )．（二项分布是一种常见的重要的离散型随机变量的分布）． (4)几何分布在独立重复试验中，某事件第一次发生时，所作试验的次数ξ也是一个正整数的离散型随机变量．“k ξ=”表示在第k 次独立重复试验时事件第一次发生.如果把k 次试验时事件A 发生记为k A 、事件A 不发生记为k A ，P(k A )=p ，P(k A )=q(q=1-p)，那么112311231()()()()()()()k k k k k P k P A A A A A P A P A P A P A P A q p ξ---====（k ＝0,1,2,…， p q -=1）．于是得到随机变量ξ的概率分布如下：ξ 123… k… Pp pq2q p…1k q p -…称这样的随机变量ξ服从几何分布，记作g (k ，p )= 1k q p -，其中k ＝0,1,2,…，p q -=1．知识点三：期望数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为ξ x 1 x 2 … x n … Pp 1p 2…p n…则称=ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的数学期望，简称期望数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平。
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随机变量及其分布列
(时间:60分钟满分:100分)
一、选择题(本大题共6小题,每小题6分,共36分)
1.已知P(ξ=1)=,P(ξ=-1)=,则D(ξ)等于()
A.2
B.4
C.1
D.6
2.同时掷3枚均匀硬币,恰好有2枚正面向上的概率为()
A.0.5
B.0.25
C.0.125
D.0.375
3.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次,记“硬币正面向上”为事件A,“骰子向上的点数是3”为事件B,则事件A,B中至少有一件发生的概率是()
A. B. C. D.
4.从1,2,3,4,5中任取2个不同的数,事件A=“取到的2个数之和为偶数”,事件B=“取到的2个数均为偶数”,则P(B|A)=()
A. B. C. D.
5.两个实习生每人加工一个零件,加工为一等品的概率分别为,两个零件是否加工为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为()
A. B. C. D.
6.设10≤x1<x2<x3<x4≤104,x5=105.随机变量ξ1取值x1,x2,x3,x4,x5的概率均为0.2,随机变量ξ2取值的概率也均为0.2.若记D(ξ1),D(ξ2)分别为ξ1,ξ2的方差,则()
A.D(ξ1)>D(ξ2)
B.D(ξ1)=D(ξ2)
C.D(ξ1)<D(ξ2)
D.D(ξ1)与D(ξ2)的大小关系与x1,x2,x3,x4的取值有关
二、填空题(本大题共3小题,每小题6分,共18分)
7.随机变量ξ的分布列如下:
其中a,b,c成等差数列,若E(ξ)=,则D(ξ)的值为.
8.设整数m是从不等式x2-2x-8≤0的整数解的集合S中随机抽取的一个元素,记随机变量ξ=m2,则ξ的数学期望E(ξ)=.
9.小王参加了2014年春季招聘会,分别向A,B两个公司投递个人简历.假定小王得到A公司面试的概率为,得到B公司面试的概率为p,且两个公司是否让其面试是独立的.记ξ为小王得到面试的公司个数.若ξ=0时的概率P(ξ=0)=,则随机变量ξ的数学期望E(ξ)=. 三、解答题(本大题共3小题,共46分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
10.(本小题满分15分)已知箱中装有4个白球和5个黑球,且规定:取出一个白球得2分,取出一个黑球得1分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3个球,记随机变量X为取出此3球所得分数之和.
(1)求X的分布列;
(2)求X的数学期望E(X).
11.(本小题满分15分)(2013·广东广州模拟,20)为了解某市民众对政府出台楼市限购令的情况,在该市随机抽取了50名市民进行调查,他们月收入(单位:百元)的频数分布及对楼市限购令赞成的人数如下表:
将月收入不低于55的人群称为“高收入族”,月收入低于55的人群称为“非高收入族”.
(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表,问能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“非高收入族”
(2)现从月收入在[15,25)和[25,35)的两组人群中各随机抽取两人进行问卷调查,记参加问卷调查的4人中不赞成楼市限购令的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列和数学期望.
附:K2=;
12.(本小题满分16分)“神舟十号”的顺利升空标志着我国火箭运载的技术日趋完善.为了确保发射万无一失,科学家对运载火箭进行了多项技术状态更改,增加了某项新技术.该项新技术要进入试用阶段前必须对其中三项不同指标甲、乙、丙进行通过量化检测.假设该项新技术的指标甲、乙、丙独立通过检测合格的概率分别为,指标甲、乙、丙检测合格分别记4分、2分、4分,若某项指标不合格,则该项指标记0分,各项指标检测结果互不影响.
(1)求该项技术量化得分不低于8分的概率;
(2)记该项技术的三个指标中被检测合格的指标个数为随机变量ξ,求ξ的分布列与数学期望. ##
1.C解析:E(ξ)=1×+(-1)×=0,
D(ξ)=12×+(-1)2×=1.
2.D解析:掷3枚均匀硬币,设正面向上的个数为X,则X服从二项分布,即X~B,
∴P(X=2)=··=0.375.
3.C解析:事件A,B中至少有一件发生的概率是
1-P(·)=1-.
4.B解析:∵P(A)=,P(AB)=,
∴P(B|A)=.
5.B解析:记两个零件中恰有一个一等品的事件为A,
则P(A)=.
6.A
7.解析:由题意知解得
∴D(ξ)=.
8.5解析:
所以E(ξ)=5.
9.解析:由题意,得P(ξ=2)=p,P(ξ=1)=(1-p)+ p=,
ξ的分布列为
由p=1,得p=.
所以E(ξ)=0×+1×+2×p=.
10.解:(1)由题意得X取3,4,5,6,且
P(X=3)=,
P(X=4)=,
P(X=5)=,
P(X=6)=.
所以X的分布列为
(2)由(1)知E(X)=3×+4×+5×+6×.
11.解:(1)
假设“非高收入族”与赞成楼市限购令没有关系,
则K2=
==6.272<6.635,
∴不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“非高收入族”赞成楼市限购令.
(2)由题意得随机变量ξ的所有取值为0,1,2,3,
P(ξ=0)=,
P(ξ=1)=,
P(ξ=2)=,
P(ξ=3)=,
∴随机变量ξ的分布列为
∴E(ξ)=0×+1×+2×+3×.
12.解:(1)记该项新技术的三个指标甲、乙、丙独立通过检测合格分别为事件A,B,C,则事件“得分不低于8分”表示为ABC+AC.
∵ABC与AC为互斥事件,且A,B,C彼此独立,
∴P(ABC+AC)=P(ABC)+P(AC)=P(A)P(B)P(C)+P(A)P()P(C)=.
(2)该项新技术的三个指标中被检测合格的指标个数ξ的取值为0,1,2,3.
∵P(ξ=0)=P()=,
P(ξ=1)=P(A C)
=,
P(ξ=2)=P(AB+AC+BC)
=,
P(ξ=3)=P(ABC)=,
∴随机变量ξ的分布列为
ξ0 1 2 3
P ∴E(ξ)=.。