14.1.4 第3课时 多项式与多项式相乘
人教版八年级上14.1.4多项式与多项式相乘(第3课时)课文练习含答案(含答案)
第3课时 多项式与多项式相乘课前预习要点感知 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的________乘另一个多项式的________，再把所得的积________．(a ＋b)(p ＋q)＝____________．预习练习1－1 填空：(1)(a ＋4)(a ＋3)＝a·a ＋a ×3＋4×________＋4×3＝________；(2)(2x －5y)(3x －y)＝2x·3x ＋2x·________＋(－5y)·3x ＋(－5y)·________＝________________________________________________________________________.1－2 计算：(x ＋5)(x －7)＝____________；(2x －1)(5x ＋2)＝____________．当堂训练知识点1 直接运用法则计算1．计算：(1)(m ＋1)(2m －1); (2)(2a －3b)(3a ＋2b)；(3)(y ＋1)2; (4)a(a －3)＋(2－a)(2＋a)．2．先化简，再求值：(x －5)(x ＋2)－(x ＋1)(x －2)，其中x ＝－4.知识点2 多项式乘以多项式的应用3．若一个长方体的长、宽、高分别是3x －4，2x －1和x ，则它的体积是( )A ．6x 3－5x 2＋4xB ．6x 3－11x 2＋4xC ．6x 3－4x 2D ．6x 3－4x 2＋x ＋44．为参加市里的“灵智星”摄影大赛，小阳同学将同学们参加“义务献爱心”活动的照片放大为长为a 厘米，宽为34a 厘米的长方形形状，又精心在四周加上了宽2厘米的装饰彩框，那么小阳同学的这幅摄影作品照片占的面积是____________平方厘米．5．我校操场原来的长是2x米，宽比长少10米，现在把操场的长与宽都增加了5米，则整个操场面积增加了________平方米．知识点3(x＋p)(x＋q)＝x2＋(p＋q)x＋pq6．下列多项式相乘的结果为x2＋3x－18的是( )A．(x－2)(x＋9) B．(x＋2)(x－9)C．(x＋3)(x－6) D．(x－3)(x＋6)7．计算：(1)(x＋1)(x＋4); (2)(m－2)(m＋3)；(3)(y＋4)(y＋5); (4)(t－3)(t＋4)．课后作业8．(佛山中考)若(x ＋2)(x －1)＝x 2＋mx ＋n ，则m ＋n ＝( )A ．1B ．－2C ．－1D ．29．计算：(1)(m －2n)(－m －n)；(2)(x 3－2)(x 3＋3)－(x 2)3＋x 2·x ；(3)(－7x 2－8y 2)·(－x 2＋3y 2)；(4)(3x －2y)(y －3x)－(2x －y)(3x ＋y)．10．已知|2a ＋3b －7|＋(a －9b ＋7)2＝0，试求(14a 2－12ab ＋b 2)(12a ＋b)的值．11．若多项式(x 2＋mx ＋n)(x 2－3x ＋4)展开后不含x 3和x 2项，求m 和n 的值．12．一个正方形的一边增加3 cm ，相邻的一边减少3 cm ，得到的长方形的面积与这个正方形每一边减少1 cm 所得的正方形的面积相等，求这个长方形的面积．挑战自我13．由课本第100页的问题3可知，一些代数恒等式可以用平面几何图形的面积来表示，如：(2a＋b)(a＋b)＝2a2＋3ab＋b2，就可以用如图1的图形的面积表示．(1)请直接写出图形2表示的代数恒等式：________________________；(2)试画出一个几何图形，使它的面积表示为(a＋b)(a＋3b)＝a2＋4ab＋3b2.第3课时 多项式与多项式相乘要点感知 每一项 每一项 相加 ap ＋aq ＋bp ＋bq预习练习1－1 (1)a a 2＋7a ＋12 (2)(－y) (－y) 6x 2－17xy ＋5y 2 1－2 (1)x 2－2x －35 (2)10x 2－x －2 当堂训练1．(1)原式＝2m 2－m ＋2m －1＝2m 2＋m －1. (2)原式＝6a 2＋4ab －9ab －6b 2＝6a 2－5ab －6b 2. (3)原式＝(y ＋1)(y ＋1)＝y 2＋y ＋y ＋1＝y 2＋2y ＋1. (4)原式＝a 2－3a ＋4＋2a －2a －a 2＝－3a ＋4. 2.原式＝x 2＋2x －5x －10－x 2＋2x －x＋2＝－2x －8.当x ＝－4时，原式＝－2×(－4)－8＝0. 3.B 4.(34a 2＋7a ＋16) 5．(20x －25) 6.D 7.(1)原式＝x 2＋5x ＋4. (2)原式＝m 2＋m －6. (3)原式＝y 2＋9y ＋20. (4)原式＝t 2＋t －12. 课后作业8．C 9.(1)原式＝－m 2－mn ＋2mn ＋2n 2＝－m 2＋mn ＋2n 2. (2)原式＝x 6＋x 3－6－x 6＋x 3＝2x 3－6. (3)原式＝7x 4－21x 2y 2＋8x 2y 2－24y 4＝7x 4－13x 2y 2－24y 4. (4)原式＝3xy －9x 2－2y 2＋6xy －6x 2－2xy ＋3xy ＋y 2＝－15x 2＋10xy －y 2. 10.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋3b ＝7，a －9b ＝－7.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.原式＝18a 3＋b 3＝18×23＋13＝2. 11．原式＝x 4－3x 3＋4x 2＋mx 3－3mx 2＋4mx ＋nx 2－3nx ＋4n ＝x 4＋(m －3)x 3＋(4－3m ＋n)x 2＋(4m －3n)x ＋4n.∵多项式展开后不含x 3和x 2项，∴m －3＝0，4－3m ＋n ＝0.∴m ＝3，n ＝5. 12.设正方形的边长为x cm.依题意得(x ＋3)(x －3)＝(x －1)(x －1)．解得x ＝5.∴长方形的面积为(5＋3)×(5－3)＝16(cm 2)．挑战自我13．(1)(a ＋2b)(2a ＋b)＝2a 2＋5ab ＋2b 2 (2)如图所示.。
第1章 4 第3课时 多项式与多项式相乘
第3课时多项式与多项式相乘
知识点多项式乘以多项式精练版P11 1．多项式乘以多项式法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即(m＋n)(a＋b)＝ma ＋mb＋na＋nb.
2．多项式乘法分三步进行：(1)将多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项；(2)计算各个单项式相乘的积；(3)合并同类项，将各项按某一字母的升(降)幂排序．
温馨提示：(1)合并同类项之前，积的项数等于两多项式项数之积；(2)在运算过程中，两项相乘时，要连同它们前面的符号一起相乘来确定积的符号；(3)最后结果能合并同类项的一定要合并
例计算：(3a＋1)(2a－3)－(6a－5)(a－4)．
解析：根据整式混合运算的顺序和法则分别进行计算，再把所得结果合并即可．
解：原式＝6a2－9a＋2a－3－6a2＋24a＋5a－20＝22a－23.
注意：在计算时要注意混合运算的顺序和法则以及运算结果的符号．。
人教版八年级数学上册14.1.4.3《多项式与多项式相乘》教学设计
人教版八年级数学上册14.1.4.3《多项式与多项式相乘》教学设计一. 教材分析人教版八年级数学上册14.1.4.3《多项式与多项式相乘》是整式乘法的一个重要内容。
这部分内容主要让学生掌握多项式乘多项式的法则，并能灵活运用这个法则进行计算。
在学习了单项式乘单项式和多项式乘单项式的基础上，学生能够更好地理解和掌握多项式乘多项式的概念和方法。
二. 学情分析学生在学习这个知识点时，已经掌握了单项式乘单项式和多项式乘单项式的知识，具备了一定的数学基础。
但学生在应用多项式乘多项式的法则时，可能会出现混淆和错误。
因此，在教学过程中，需要引导学生明确多项式乘多项式的法则，并通过大量的练习来巩固这个知识点。
三. 教学目标1.让学生理解多项式乘多项式的概念，掌握多项式乘多项式的法则。
2.培养学生运用多项式乘多项式的法则进行计算的能力。
3.提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：掌握多项式乘多项式的法则，并能灵活运用。
2.难点：理解多项式乘多项式的法则，并在实际计算中运用。
五. 教学方法1.采用讲解法，引导学生理解多项式乘多项式的概念和法则。
2.采用练习法，让学生在实践中运用多项式乘多项式的法则。
3.采用小组合作法，让学生在小组讨论中解决问题，提高合作能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学PPT，展示多项式乘多项式的例子。
2.准备一些练习题，用于课堂练习和课后作业。
3.准备黑板，用于板书解题过程。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个具体的例子，引导学生回顾单项式乘单项式和多项式乘单项式的知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）展示多项式乘多项式的例子，引导学生观察和思考。
让学生尝试用自己的语言描述多项式乘多项式的过程，培养学生的数学表达能力。
3.操练（10分钟）让学生独立完成一些多项式乘多项式的练习题，教师巡回指导，及时纠正学生的错误。
这个环节可以让学生更好地理解和掌握多项式乘多项式的法则。
14.1.4(第3课) 多项式乘以多项式
多项式与多项式相乘的法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项 式的每一项分别乘以另一个多项式的 每一项，再把所得的积相加 在进行多项式乘法运算的推导过程 中运用了哪些数学思想方法？与同伴交 流。
运用了整体、转化和数形结合的数学思想。
【例1】计算：
回忆
１.单项式乘单项式的法则 ２.单项式乘多项式的法则
回忆
单项式乘以多项式计算法则
单项式与多项式相乘,就是 用单项式去乘多项式的每 一项,再把所得的积相加.
思路：单×多
分配律
单×单
回顾 & 思考
回顾与思考 如何进行单项式与多项式乘法的运算？ ① 将单项式分别乘以多项式的各项，
3、结果应化为最简式 {合并同类项}．
需要注意的几个问题
1.漏乘 2.符号问题 3.最后结果应化成最简形式.
辨一辨
2
判别下列解法是否正确， 若错请说出理由.
2
(2 x 3)(x 2) ( x 1)
解：原式
3x
2x 4x + 6 ( x 1)(x 1) 2 2 2x 4x + 6 ( x 2x + 1) 2 2 2x 4x + 6 x + 2x 1 2 x 2x + 5
2
( 2) x 2 xy 35 y
2
2
(3) 4m 9n
2 2
2 2
( 4) 4a + 12ab + 9b
你注意到了吗？
多项式乘以多项式，展 开后项数很有规律，在合并 同类项之前，展开式的项数 恰好等于两个多项式的项数 的积。
14.1.4多项式与多项式相乘(教案)
1.理论介绍：首先，我们要了解多项式相乘的基本法则。多项式相乘是指将两个或多个多项式的每一项分别相乘，然后将结果相加。这个法则在解决数学问题时非常重要，可以帮助我们简化计算过程。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。比如，(x + 2)与(x + 3)相乘，我们会得到x^2 + 5x + 6。这个案例展示了多项式相乘在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
14.1.4多项式与多项式相乘（教案）
一、教学内容
本节课选自教材第十四章第一节第四部分“14.1.4多项式与多项式相乘”。教学内容主要包括以下两部分：
1.多项式乘以多项式的法则：让学生掌握两个多项式相乘的基本法则，即分别将一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，然后将结果相加。
2.举例说明与练习：通过具体例题，让学生观察、分析多项式相乘的过程，总结出多项式乘法的关键步骤。同时，设计不同难度的练习题，巩固学生对多项式乘法的理解和运用。
本节课将围绕这些核心素养目标展开教学活动，旨在帮助学生全面提高数学素养，为今后的学习打下坚实基础。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-核心内容：多项式乘以多项式的法则及其应用。
-重点讲解：
-多项式乘法法则的推导：引导学生理解每一项的相乘原理，即分配律的应用。
-多项式乘法法则的表述：准确表述多项式乘法的步骤，强调每个步骤的重要性。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了多项式相乘的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对多项式相乘的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在数学学习中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
14.1.4 第3课时 多项式与多项式相乘
14.1.4 第3课时 多项式乘以多项式
多项式乘以多项式
问题1 (a+b)X= ?
(a+b)X=aX+bX
当X=m+n时, (a+b)X=?
(a+b)X=(a+b)(m+n)
14.1.4 第3课时 多项式乘以多项式
问题2 某地区在退耕还林期间，有一块原长m米，宽为a米的长方 形林区增长了n米，加宽了b米，请你表示这块林区现在的面积
如何进行多项式与多项式相乘的运算？
实际上，把(m+n)看成一个整体，有： (m+n)(a+b) = (m+n)a+(m+n)b
= ma+mb+na+nb
14.1.4 第3课时 多项式乘以多项式
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个
多项式的每一项，再把所得的积相加。
2
1
1
2
3
4
(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn
2.计算：(1)(x−3y)(x+7y)；
解: (x−3y)(x+7y),
= x2 +7xy −3yx− 21y2
= x2 +4xy-21y2；
(2)(2x + 5y)(3x−2y).
解:(2x +5 y)(3x−2y) =2x•3x −2x• 2y +5 y• 3x − 5y•2y =6x2−4xy + 15xy−10y2 = 6x2 +11xy−10y2.
整式的乘法 第3课时 多项式与多项式相乘课件-2023-2024学年人教版数学八年级上册
∴该正方形的面积与图1中长方形的面积的差是一个常数.
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6.如图，在长为3a＋2，宽为2b－1的长方形铁片上，挖去长为2a＋4，宽为b的小长
方形铁片，求剩余部分的面积.
解：剩余部分的面积为（3a＋2）（2b－1）－b（2a＋4）＝6ab－3a＋4b－2－
2ab－4b＝4ab－3a－2.
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基础逐点练
知识点三
能力提升练
素养拓展练
（x＋p）（x＋q）＝x2＋（p＋q）x＋pq
＝7a2－6ab－22b2.
（5）（2x－1）（3x2＋2x＋1）.
解：原式＝6x3＋4x2＋2x－3x2－2x－1
＝6x3＋x2－1.
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基础逐点练
能力提升练
素养拓展练
4.先化简，再求值：（3x＋1）（2x－3）－（6x－5）（x－4），其中x＝－2.
解：原式＝6x2－9x＋2x－3－6x2＋24x＋5x－20
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基础逐点练
能力提升练
素养拓展练
14.小明与小乐两人共同计算（2x＋a）（3x＋b），小明抄错为（2x－a）（3x＋
b），得到的结果为6x2－13x＋6；小乐抄错为（2x＋a）（x＋b），得到的结果
为2x2－x－6.
（1）式子中a，b的值各是多少？
解：（1）∵（2x－a）（3x＋b）＝6x2＋（2b－3a）x－ab＝6x2－13x＋6，
6
15
.
13.已知（x＋3）（x2＋ax＋b）的积中不含有x的二次项和一次项（a，b为常数）.
14.1.4 第3课时 多项式与多项式相乘
当堂测 评
1．[2018·武汉]计算(a－2)(a＋3)的结果是( B )
A．a2－6
B．a2＋a－6
C．a2＋6
D．a2－a＋6
【解析】 (a－2)(a＋3)＝a2＋3a－2a－6＝a2＋a－6.故选 B.
2．下列各式中错误的是( B ) A．(2a＋3)(2a－3)＝4a2－9 B．(3a＋4b)2＝9a2＋24ab＋4b2 C．(x＋2)(x－10)＝x2－8x－20 D．(x＋y)(x相乘的法则
法 则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式 的 每一项 ，再把所得的积 相加 ．
表达式：(a＋b)(m＋n)＝ am＋an＋bm＋bn(a，b，m，n 都表示整式)．
注 意：(1)运用多项式相乘的法则时，必须做到不重项、不漏项，因此计 算时应按一定的顺序进行；
7．[2017·武侯区校级月考]已知(x3＋mx＋n)(x2－6x＋8)展开式中不含 x3 和 x2 项，求 m，n 的值．
解：原式＝x5－6x4＋(m＋8)x3＋(n－6m)x2＋(8m－6n)x＋8n， 由题意得mn－＋68m＝＝0，0， 解得mn＝＝－－488，.
8．[2018 春·垦利区期末]如图 14-1-5，某市有一块长为(3a＋b) m，宽为(2a＋ b) m 的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像， 则绿化的面积是多少平方米？并求出当 a＝3，b＝2 时的绿化面积．
3．一幅宣传画的长为 a cm，宽为 b cm，把它贴在一块长方形木板上，四周 刚好留出 2 cm 宽的边框，则这块木板的面积是 (ab＋4a＋4b＋16)cm2.
14.1.4第3课时 多项式与多项式相乘 课件2024-2025学年人教版八年级数学上册
当 = 时， − + = ( ) .
∴ 这个盒子的体积为 ×= ( ) .
9. 欢欢与乐乐两人一起计算 ( + )( + ) .欢欢抄错为 ( − )( + ) ，得到的
结果为 − + ；乐乐抄错为 ( + )( + ) ，得到的结果为 − − .
定要合并同类项.
（1） (−+)(−+) ；
原式 = − − + = − + ；
（2） (+)( + +) .
原式 = + + + + += + + + .
变式 先化简，再求值： (+) − (−)(−) ，其中 = − .
解：原式 = + + − + −= + .
把 = − 代入，原式 = +=× (−)+= − .
例2 梯形的上底长为 ( + ) ，下底长为 ( − ) ，高为 ( + ) .求梯
形的面积.
【点拨】根据梯形的面积公式列式，然后依据多项式乘多项式的运算法则进行计
（1） 式子中 , 的值分别是多少？
解：根据题意可知， ( − )( + ) = + ( − ) − = − + ，
可得 − = − .①
又 ∵ ( + )( + ) = − − ，
即 + ( + ) + = − − ，
14.1.4 第3课时 多项式与多项式相乘
(3)(2a2－3a＋5)(3－a)．
解： (3)(2a2－3a＋5)(3－a) ＝6a2－2a3－9a＋3a2＋15－5a ＝－2a3＋9a2－14a＋15.
【归纳总结】多项式乘多项式谨记“循序追乘” 多项式乘多项式，先用第一个多项式的第一项乘第二个多项 式的每一项，再用第一个多项式的第二项乘第二个多项式的 每一项……依次类推． 检验方法是若第一个多项式有x项，第二个多项式有y项，则 去括号后应共有xy项．
__(_－_4_)___×10＝__a_2＋__6a_－_4_0____；
(2)(x－1)(x－2)＝x·___x_____＋x·_(_－_2_) ____＋(－1)·_x_______
＋
(－2)
x2－3x＋2
(3)(xy＋1)(xy－1)＝xy·_x_y____＋xy(·－_1_)____＋1·_xy_______＋ 1×___(－__1)___＝__x_2_y2_－_1____； (4)(2a＋1)(2a＋1)＝2a·__2a____＋2a·_1_____＋1·_2_a______＋ 1×____1____＝__4_a_2＋__4a_＋_1____．
例 3 教材补充例题 先化简，再求值：x(x＋2)－(x＋1)(x－ 1)，其中 x＝－12.
[解析] 先将式子利用整式乘法展开，合并同类项化简，然后再代 入计算．
解：原式＝x2＋2x－(x2－x＋x－1)＝x2＋2x－(x2－1)＝x2＋2x－x2＋1＝2x＋1. 当 x＝－12时，原式＝2×－12＋1＝－1＋1＝0.
2．观察上述计算过程填空： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的__每__一_项___乘另一个多 项式的__每__一_项___，再把所得的积__相__加____．
北师大版七年级数学下册《1.4 第3课时 多项式与多项式相乘》教学设计
北师大版七年级数学下册《1.4 第3课时多项式与多项式相乘》教学设计一. 教材分析北师大版七年级数学下册《1.4 第3课时多项式与多项式相乘》这一节主要是让学生掌握多项式与多项式相乘的运算法则，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
本节课的内容是在学生已经掌握了有理数的乘法、单项式乘以单项式的基础上进行的，是学生学习多项式除法、代数式求值等知识的基础。
二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和数学基础，对于单项式乘以单项式的运算法则已经有了一定的了解。
但是，多项式与多项式相乘的概念和运算法则对学生来说是一个新的知识点，需要通过实例演示和练习来让学生理解和掌握。
三. 教学目标1.让学生理解多项式与多项式相乘的概念和运算法则。
2.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3.培养学生的团队合作意识和交流表达能力。
四. 教学重难点1.教学重点：多项式与多项式相乘的概念和运算法则。
2.教学难点：多项式与多项式相乘的运算过程和规律。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，通过设置问题引导学生思考和探索。
2.使用多媒体教学，通过动画和图形来直观展示多项式与多项式相乘的过程。
3.采用分组讨论和合作交流的方式，让学生在团队合作中学习和进步。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.教学课件和教案。
3.练习题和答案。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引出多项式与多项式相乘的概念，激发学生的兴趣。
例如，求解方程组：x + 2 = 3(x - 1)让学生观察方程两边多项式的乘法过程，引导学生思考多项式与多项式相乘的意义。
2.呈现（10分钟）通过多媒体展示多项式与多项式相乘的运算法则，并用实例进行解释和演示。
例如，展示两个多项式相乘的过程，让学生观察和理解乘法法则的应用。
3.操练（10分钟）让学生分组进行练习，互相指导和讨论。
教师巡回指导，解答学生的问题。
例如，让学生分组计算以下多项式的乘积：(x + 2)(x - 3)(x^2 + 4x + 1)(x^2 - 4x + 1)4.巩固（10分钟）让学生进行一些多项式与多项式相乘的练习题，巩固所学知识。
1.4第3课时多项式与多项式相乘(教案)2023春七年级下册数学(北师大版)
2.能够运用多项式乘法解决实际问题，提高解决问题的能力。
-通过实际问题的引入，让学生感受多项式乘法在生活中的应用。
-设计相应的练习题，巩固所学知识，提高学生的实际操作能力。
二、核心素养目标
1.培养学生逻辑推理与数学抽象能力：通过学习多项式与多项式相乘的法则，让学生理解数学运算的规律性，提高数学抽象思维和逻辑推理能力。
此外，在学生小组讨论环节，有些学生表现得较为内向，不愿意主动发表自己的观点。为了鼓励这些学生积极参与，我将在后续的教学中，多给予他们一些关注和鼓励，提高他们的自信心。
2.培养学生数学建模与问题解决能力：结合实际问题的引入，让学生学会运用所学知识构建数学模型，培养解决实际问题的能力。
3.培养学生数学运算与数据分析能力：在设计练习题时，注重培养学生的运算准确性和速度，提高数据分析能力，为后续学习打下坚实基础。
4.培养学生合作交流与反思总结能力：通过小组讨论、课堂总结等环节，促进学生之间的交流与合作，培养学生自我反思和总结的能力。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解多项式相乘的基本概念。多项式相乘是指将两个或多个多项式通过分配律进行计算的过程。它是代数运算的基础，对于解决实际问题具有重要意义。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。比如，计算长为(x+2)米，宽为(x+3)米的长方形的面积。我们将通过多项式相乘来解决这个问题。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-多项式与多项式相乘的法则：这是本节课的核心内容，教师需引导学生掌握两个多项式相乘的步骤与方法，包括分配律的运用和合并同类项的技巧。
-实际问题的解决：通过将多项式乘法应用于解决具体问题，使学生理解数学知识的实际意义，提高数学建模能力。
14.1.4 第3课时 多项式与多项式相乘
(3) (x+y)(x2-xy+y2).
解：(1) 原式=3x·x+3x·2+1·x+1×2 =3x2+6x+x+2
结果中有同类项 的要合并同类项.
=3x2+7x+2 (2) 原式=x·x-x·y-8x·y+8y·y
=x2-9xy+8y2
计算时要注意符 号问题.
(3) (x+y)(x2-xy+y2).
解：原式＝a3+2a2b+4ab2－2a2b－4ab2－8b3－(a2－5ab)(a+3b)
＝a3－8b3－(a3＋3a2b－5a2b－15ab2) ＝a3－8b3－a3－3a2b＋5a2b＋15ab2
＝－8b3＋2a2b＋15ab2 当a＝－1，b＝1时， 原式＝－8×13＋2×(－1)2×1＋15×(－1)×12
②a=2,b=14或a=14,b=2，此时m=16; ③a=4,b=7或a=7,b=4，此时m=11. 综上所述，m的取值与a,b的取值有关，m的值为 29或16或11.
2
3
4
(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn
34
多项式乘多项式
①一个多项式固定不动，用另一个多项式的 每一项乘这个多项式的每一项，不能漏乘；
②相乘时每一项都包括前面的符号； ③先定符号再写数字或字母； ④最后结果要合并同类项
典例精析
例1 计算:(1)(3x+1)(x+2)；
(2)(x-8y)(x-y)；
导入新课
复习引入
1.如何进行单项式与多项式乘法的运算？ ① 将单项式分别乘以多项式的各项， ② 再把所得的积相加.
1.4 第3课时 多项式与多项式相乘
第3课时多项式与多项式相乘1．理解多项式乘以多项式的运算法则，能够按多项式乘法步骤进行简单的乘法运算；(重点)2．掌握多项式与多项式的乘法法则的应用．(难点)一、情境导入某地区在退耕还林期间，将一块长m米、宽a米的长方形林区的长、宽分别增加n米和b米．用两种方法表示这块林区现在的面积．学生积极思考，教师引导学生分析，学生发现：这块林区现在长为(m＋n)米，宽为(a＋b)米，因而面积为(m＋n)(a＋b)平方米．另外，如图，这块地由四小块组成，它们的面积分别为ma平方米，mb平方米、na平方米，nb平方米，故这块地的面积为(ma＋mb＋na＋nb)平方米．由此可得(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nb.今天我们就学习多项式乘以多项式．二、合作探究探究点一：多项式与多项式相乘【类型一】直接利用多项式乘多项式法则进行计算计算：(1)(3x＋2)(x＋2)；(2)(4y－1)(5－y)．解析：利用多项式乘以多项式法则计算，即可得到结果．解：(1)原式＝3x2＋6x＋2x＋4＝3x2＋8x＋4；(2)原式＝20y－4y2－5＋y＝－4y2＋21y－5.方法总结：多项式乘以多项式，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．【类型二】多项式乘以多项式的混合运算计算：(3a＋1)(2a－3)－(6a－5)(a－4)．解析：根据整式混合运算的顺序和法则分别进行计算，再把所得结果合并即可．解：(3a＋1)(2a－3)－(6a－5)(a－4)＝6a2－9a＋2a－3－6a2＋24a＋5a－20＝22a－23.方法总结：在计算时要注意混合运算的顺序和法则以及运算结果的符号．探究点二：多项式与多项式相乘的化简求值及应用【类型一】 多项式乘以多项式的化简求值先化简，再求值：(a －2b )(a ＋2ab ＋4b 2)－a (a －5b )(a ＋3b )，其中a ＝－1，b ＝1.解析：先将式子利用整式乘法展开，合并同类项化简，再代入计算．解：(a －2b )(a 2＋2ab ＋4b 2)－a (a －5b )(a ＋3b )＝a 3－8b 3－(a 2－5ab )(a ＋3b )＝a 3－8b 3－a 3－3a 2b ＋5a 2b ＋15ab 2＝－8b 3＋2a 2b ＋15ab 2.当a ＝－1，b ＝1时，原式＝－8＋2－15＝－21.方法总结：化简求值是整式运算中常见的题型，一定要注意先化简，再求值，不能先代值，再计算．【类型二】 多项式乘以多项式与方程的综合解方程：(x －3)(x －2)＝(x ＋9)(x ＋1)＋4.解析：方程两边利用多项式乘以多项式法则计算，移项、合并同类项，将x 系数化为1，即可求出解．解：去括号后得x 2－5x ＋6＝x 2＋10x ＋9＋4，移项、合并同类项得－15x ＝7，解得x ＝－715. 方法总结：解答本题就是利用多项式的乘法，将原方程转化为已学过的方程解答．【类型三】 多项式乘以多项式的实际应用千年古镇杨家滩的某小区的内坝是一块长为(3a ＋b )米，宽为(2a ＋b )米的长方形地块，物业部门计划将内坝进行绿化(如图阴影部分)，中间部分将修建一仿古小景点(如图中间的正方形)，则绿化的面积是多少平方米？并求出当a ＝3，b ＝2时的绿化面积．解析：根据长方形的面积公式，可得内坝、景点的面积，根据面积的差，可得答案． 解：由题意，得(3a ＋b )(2a ＋b )－(a ＋b )2＝6a 2＋5ab ＋b 2－a 2－2ab －b 2＝5a 2＋3ab (平方米)．当a ＝3，b ＝2时，5a 2＋3ab ＝5×32＋3×3×2＝63(平方米)，故绿化的面积是63平方米．方法总结：掌握长方形的面积公式和多项式乘多项式法则是解题的关键．【类型四】 根据多项式乘以多项式求待定系数的值已知ax ＋bx ＋1(a ≠0)与3x －2的积不含x 项，也不含x 项，求系数a 、b 的值．解析：首先利用多项式乘法法则计算出(ax 2＋bx ＋1)(3x －2)，再根据积不含x 2项，也不含x 项，可得含x 2项和含x 项的系数等于零，即可求出a 与b 的值．解：(ax 2＋bx ＋1)(3x －2)＝3ax 3－2ax 2＋3bx 2－2bx ＋3x －2.∵积不含x 2项，也不含x 项，∴－2a ＋3b ＝0，－2b ＋3＝0，解得b ＝32，a ＝94，∴系数a 、b 的值分别是94，32. 方法总结：解决此类问题首先要利用多项式乘法法则计算出展开式，合并同类项后，再根据不含某一项，可得这一项系数等于零，再列出方程解答．三、板书设计1．多项式与多项式的乘法法则：多项式和多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．2．多项式与多项式乘法的应用本节知识的综合性较强，要求学生熟练掌握前面所学的单项式与单项式相乘及单项式与多项式相乘的知识，同时为了让学生理解并掌握多项式与多项式相乘的法则，教学中一定要精讲精练，让学生从练习中再次体会法则的内容，为以后的学习奠定基础。
第3课时 多项式与多项式相乘
第3课时多项式与多项式相乘【教学目标】理解和掌握多项式与多项式相乘的法则，并能熟练运用法则进行计算.【教学重点】多项式与多项式相乘的法则及应用.【教学难点】准确计算出多项式与多项式相乘的结果.教学过程一、组织教学，复习提问1.复习单项式乘以单项式的运算法则.2.复习单项式乘以多项式的运算法则.二、创设情境，引入新课问题1：一块长方形的菜地，长为a，宽为m，现将它的长增加b，宽增加n，求扩大后菜地的面积.师生共同画出图形：师：根据题意，结合图形，请同学们求出面积.你有几种求法？说出你是怎样考虑的.生1：整体来求这块菜地的面积(a＋b)(m＋n).生2：这块菜地可以看成是4块小矩形的面积之和am＋bm＋an＋bn.师：这两位同学回答得非常好.于是就有：(a＋b)(m＋n)＝am＋bm＋an＋bn.上面的等式我们能否用语言表达出来？请同学们思考.(学生交流、讨论)师生共同总结得出多项式乘以多项式的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加.三、例题分析师：同学们，下面我们一起来做几个例题，巩固一下刚才学习的新知识.【例1】计算：(1)(－2x－1)(3x－2)(2)(ax＋b)(cx＋d)指名板演，教师评价.解：(1)(－2x－1)(3x－2)＝(－2x)·3x＋(－2x)·(－2)＋(－1)·3x＋(－1)×(－2)＝－6x2＋4x－3x＋2＝－6x2＋x＋2(2)(ax＋b)(cx＋d)＝ax·cx＋ax·d＋b·cx＋b·d＝acx2＋adx＋bcx＋bd【例2】(1)(a＋b)(a2－ab＋b2)(2)(y2＋y＋1)(y＋2)指名板演，其余学生在练习本上完成，教师巡视，对有困难的学生予以帮助.解：(1)(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a·a2－a·ab＋a·b2＋b·a2－b·ab＋b·b2＝a3＋b3(2)(y2＋y＋1)(y＋2)＝y3＋2y2＋y2＋2y＋y＋2＝y3＋3y2＋3y＋2四、巩固练习1.计算：(1)(3x－y)(3x＋y)解：原式＝9x2－y2(2)(2x－y)(4x2＋2xy＋y2)解：原式＝8x3－y3(3)(a－b)2解：原式＝a2－2ab＋b22.解方程：(x－3)(x＋8)＝(x＋4)(x－7)＋2(x＋5).解：x＝1指名板演，其余学生在练习本上完成.五、提升练习1.化简并求值：(x－y)(x－2y)－(3x－2y)(x－2y)，其中x＝4，y＝－1.解：原式＝－542.解方程：(3x－2)(2x－3)＝(6x＋5)(x－1).解：x＝11 12指名板演，教师评价.六、课堂小结1.用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，不要漏乘.2.计算结果中如果有同类项，一定要合并.。
人教版数学八年级上册14．1．4 （3） 多项式与多项式相乘 教案
14．1．4 （3）多项式与多项式相乘一.教学目标1．知识与技能探索多项式与多项式相乘的法则，并运用来进行运算．理解多项式乘以多项式的法则的三种数学语言的转换.2．过程与方法经历从形、数两个角度研究数学问题探究过程，体会数形结合、转化的思想；运用法则解决问题的过程，体会从一般到特殊的研究方法.3．情感态度与价值观（1）通过主动参与到多项式与多项式相乘探索过程，逐步形成独立思考、主动探索的习惯,提高抽象概括能力.（2）通过探索多项式与多项式相乘的法则,培养思维的批判性、严密性和初步解决问题的愿望与能力.二.教学重点与难点1.重点：多项式与多项式相乘的法则的探究及运算．2．难点：多项式与多项式相乘的法则的探究方法以及如何用三种语言表示法则.三.教学准备多媒体课件四.教学方法引导探究教学法教学过程（一）拼图游戏引入：请同学们用手中的长方形纸片拼成一个更大的长方形，并思考如何符号语言表示它的面积？数学的符号语言就是字母或者是式子来表示.现在让同学们来展示一下自己的作品。
好，我们看到有的同学拼成这样子的长方形，有的同学拼成这样子的长方形。
那一起来看一下。
先看这个比较小的长方形。
（黏在黑板上）如果我们给它的边分别用a，b，还有p来表示，那么，这个长方形的面积应该怎么表示呢？生：p(a+b) 对吗，从整体看我们可以表示成p(a+b)，还有其他表示吗？生：pa+pb 是不是也是对的？那从部分来看我们又可以看做pa+pb，那么我们从不同角度表示表示的图形面积是相等关系，即p(a+b)= pa+pb好，那么大家用符号语言表示完这个图形面积有没想起什么？生：这是不是我们用面积拼图得到上一节课的单项式乘以多项式的运算法则呢。
其实这就是单项式乘以多项式运算法则的图形语言和符号语言，那我们一起来回顾一下它的文字语言怎么表达？生：单项式乘以多项式等于，并把积相加.那我们会发现单项式乘以多项式中每一项，也就是单项式乘以多项式的问题我们最后都转化成单项式乘以单项式来解决.我们发现这个简单的图形中其实蕴含着不简单的思维.设计意图：从拼图游戏引入让学生拼图并计算面积，在复习单乘多的法则及法则的推导过程，同时直接让学生发现新知识，并类比推导多乘多法则.（二）类比探究好，现在我们来看一下这个比较大的长方形面积用符号语言应该怎么表示呢？如果我们给这小长方形的的边长分别标为a、b、p、q那么现在来看一下这个大长方形面积可以怎么表示？生：(a+b)(p+q)说说你的理由生：从整体来看（长乘以宽）还有没有其他的表示方法？生：a p + a q + b p+ b q那你又是怎么看的？看成四块面积之和（当然学生还可能看成两块面积之和），好，这是我们从不同角度用符号语言表示大正方形的面积，它们是相等的关系。
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课堂小结
• 多项式与多项式如何相乘?
拓展延伸
如果(x2+bx+8)(x2 – 3x+c)的结果中不含x2和x3的 项，求b、c的值。
解： ( x 2 bx 8)( x 2 3x c) x 4 3x3 cx 2 bx3 3bx 2 bcx 8 x 2 24 x 8c x 4 (3 b) x3 (c 3b 8) x 2 (bc 24) x 8c ∵结果中不含x 2和x3项 3 b 0 ∴ c 3b 8 0 b 3 解得： c 1
知识要点
多项式乘以多项式的法则 （本节课的重点）
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另 一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
2
(a+b)(m+n)= am+an+bm+bn
3 4
1
1
2
3
4
典例精析 例1 计算:
(1)（3x+1)(x+2) 解：原式=3x2+6x+x+2 =3x2+7x+2 (3) (x+y)(x2-xy+y2) 解： 原式=x3-x2y+xy2+x2y-xy2+y3 = x3+y3
解: 原式= -（x2 + 7xy −3xy − 21y2)
=-（x2 + 4xy-21y2）
=- x2 - 4xy + 21y2
当堂检测
• 课本 P102 练习 1
3.化简求值：
(1) x(5-x)+(x+1)(x-2) ，其中x=3. (2) (4x+3y)(4x-3y)+(2x+y)(3x-5y)，其中x=1,y=-2. (3) (a-2b)(a+3b)-(2a-b)(a-4b)，其中a=-1,b=2.
14.1 整式的乘法
第3课时 多项式与多项式相乘
复习引入 1.如何进行单项式与多项式乘法的运算？ ① 用单项式去乘多项式的每一项
② 再把所得的积相加.
2.进行单项式与多项式乘法运算时，要注意什么? ① 不能漏乘: 即单项式要乘遍多项式的每一项。 ② 去括号时注意符号的确定。
问题2 某地区在退耕还林期间，有一块原长m米，宽为a米的
长方形林区增长了n米，加宽了b米，请你表示这块林区现在的
面积?
b
ห้องสมุดไป่ตู้
a
m
n
(m+n)(a+b)
ma + mb + na+ nb
(m+n)(a+b)= ma + mb + na+ nb
上面的等式提供了多项式与多项式相乘的方法，你能证明它吗？ • 证明思路：将其中的一个多项式看做一个整体，然后运用单 项式与多项式相乘的法则。
注意
(2) (x-8y)(x-y) 解： 原式=x2-xy-8xy+8y2 =x2-9xy+8y
需要注意的几个问题:(1)注意符号;(2)不要漏乘;(3)最
后结果应化成最简形式.
2.计算：(1) -(x−3y)(x+7y)
解: 原式= (-x + 3y)( x +7y)
=-x2 -7xy +3xy +21y2 =-x2 - 4xy + 21y2
• 方法一: (m+n)(a+b)=(m+n)a+(m+n)b =ma+na+mb+nb
• 方法二: (m+n)(a+b)=(a+b)m+(a+b)n =am+bm+an+bn
• 总体上看， (a+b)(m+n)的结果可以看作是：由(a+b)中的每 一项乘以(m+n)的每一项，再把所得的积相加而得到的。