六年级奥数——蝴蝶模型 燕尾定理练习题 教案
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蝴蝶模型和燕尾定理练习题
1、如图，已知BD DC =，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30，求阴影部分面积
.
B
B
【解析】 题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比例的关系，由此我们可以
初步判断这道题不应该通过面积公式求面积. 又因为阴影部分是一个不规则四边形，所以我们需要对它进行改造，那么我们需要连一条辅助线，
(法一)连接CF ，因为，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30，
所以1103ABE ABC S S ==△△，1
152
ABD ABC S S ==△△．
根据燕尾定理，12ABF CBF S AE S EC ==△△，BD DC =1ABF ACF S BD
S CD
==△△,
所以1
7.54
ABF ABC S S ==△△，157.57.5BFD S =-=△，
所以阴影部分面积是30107.512.5--=．
(法二)连接DE ，由题目条件可得到1
103
ABE ABC S S ==△△，
112
10223
BDE BEC ABC S S S ==⨯=△△△，所以
11ABE BDE S AF FD S ==△△， 111111
2.5223232DEF DEA ADC ABC S S S S =⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯=△△△△，
而21
1032
CDE ABC S S =⨯⨯=△△．所以阴影部分的面积为12.5．
2、(2007年香港圣公会数学竞赛)如图所示，在ABC △中，12CP CB =，1
3
CQ CA =，BQ 与AP 相交于
点X ，若ABC △的面积为6，则ABX △的面积等于 ．
X
Q
P
A
B
C X
Q
P
A
B C
4
4
11
X
Q
P
C
B
A
【解析】 方法一：连接PQ ．
由于12CP CB =，1
3
CQ CA =，所以23ABQ ABC S
S =，11
26BPQ BCQ
ABC
S S S ==．
由蝴蝶定理知，21
:::4:136
ABQ BPQ ABC ABC AX XP S S S S ===，
所以44122
6 2.455255
ABX ABP ABC ABC S S S S ==⨯==⨯=．
方法二：连接CX 设1CPX S =△份，根据燕尾定理标出其他部分面积， 所以6(1144)4 2.4ABX S =÷+++⨯=△
3、如图所示，在四边形ABCD 中，3AB BE =，3AD AF =，四边形AEOF 的面积是12，那么平行四边形BODC 的面积为________．
O
F
E
D
C
B
A
68
4
6
21
O F E
D
C
B
A
【解析】 连接,AO BD ,根据燕尾定理::1:2ABO BDO S S AF FD ==△△,::2:1AOD BOD S S AE BE ==△△,设
1BEO S =△,则其他图形面积，如图所标，所以221224BODC AEOF S S ==⨯=.
4、ABCD 是边长为12厘米的正方形，E 、F 分别是AB 、BC 边的中点，AF 与CE 交于G ，则四边形
AGCD 的面积是_________平方厘米．
G
F
E D
C
B
A
G
F
E
D C
B
A
【解析】 连接AC 、GB ，设1AGC
S =△份，根据燕尾定理得1AGB S =△份，1BGC S =△份，则
11126S =++⨯=正方形（）份，314ADCG S =+=份，所以22126496(cm )ADCG S =÷⨯=
5、（2009年清华附中入学测试题）如图，四边形ABCD 是矩形，E 、F 分别是AB 、BC 上的点，且
13AE AB =，1
4CF BC =，AF 与CE 相交于G ，若矩形ABCD 的面积为120，则AEG ∆与CGF ∆的面积
之和为 ．
E
E
E
【解析】 (法1)如图，过F 做CE 的平行线交AB 于H ，则::1:3EH HB CF FB ==，
所以1
22
AE EB EH ==，::2AG GF AE EH ==，即2AG GF =，
所以12231
1033942AEG ABF ABCD S S S ∆∆=⨯⨯=⨯⨯=．
且22313342
EG HF EC EC ==⨯=，故CG GE =，则1
152CGF AEG S S ∆∆=⨯⨯=．
所以两三角形面积之和为10515+=． (法2)如上右图，连接AC 、BG ．
根据燕尾定理，::3:1ABG ACG S S BF CF ∆∆==，::2:1BCG ACG S S BE AE ∆∆==，
而1
602
ABC ABCD S S ∆==，
所以3321ABG S ∆=++，160302ABC S ∆=⨯=，2321BCG S ∆=++，1
60203ABC S ∆=⨯=，
则1103AEG ABG S S ∆∆==，1
54
CFG BCG S S ∆∆==，
所以两个三角形的面积之和为15．
6、两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示， 三个三角形的面积 分别是3，7，7，则阴影四边形的面积是多少？