江苏省2020届高考数学模拟试题(一)(原卷版)

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高考数学模拟试题-第16讲变化率与导数、导数的计算(原卷版)

第16讲变化率与导数、导数的计算学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________【基础巩固】1．（2022·全国·高三专题练习）若函数()()e ln 1axf x x =++，()04f '=，则a =( )A ．0B ．1C ．2D ．32．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()221sin 1x xf x x ++=+，其导函数记为()f x '，则()()()()389389389389f f f f ''++---=（） A ．2B ．2-C ．3D ．3-3．（2022·全国·高三专题练习）下列函数求导运算正确的个数为（）①)(333log xxe '=；①)(21log ln 2x x '=；①)(x xe e '=；①1ln x x '⎛⎫=⎪ ⎭⎝；①)(1x x xe e '=+． A ．1 B ．2 C ．3 D ．44．（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测）函数()2ln 1sin y x x =++的图象在0x =处的切线对应的倾斜角为α，则sin2α=（） A ．310B ．±310 C ．35D ．±355．（2022·湖北·黄冈中学模拟预测）已知a ，b 为正实数，直线y x a =-与曲线ln()y x b =+相切，则14a b+的最小值为（） A ．8B ．9C ．10D ．136．（2022·湖北·襄阳五中模拟预测）过点()1,2P 作曲线C ：4y x=的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为（） A ．280x y +-= B ．240x y +-=C ．240x y +-=D ．240x y +--=7．（2022·辽宁·沈阳二中模拟预测）函数()y f x =的图像如图所示，下列不等关系正确的是（）A ．()()()()02332f f f f ''<<<-B ．()()()()02323f f f f ''<<-<C ．()()()()03322f f f f ''<<-<D ．()()()()03232f f f f ''<-<<8．（2022·重庆一中高三阶段练习）已知偶函数()f x ，当0x >时，()()212f x x f x '=-+，则()f x 的图象在点()()2,2f --处的切线的斜率为（） A ．3-B ．3C ．5-D ．59．（2022·江苏·南京外国语学校模拟预测）若两曲线y =x 2-1与y =a ln x -1存在公切线，则正实数a 的取值范围为（） A ．(]0,2eB ．(]0,eC ．[)2,e +∞D ．(],2e e10．（多选）（2022·江苏·高三专题练习）下列求导数运算正确的有（） A ．(sin )cos x x '= B ．211()x x'=C ．31(log )3ln x x'=D ．1(ln )x x'=11．（多选）（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）下列曲线在x =0处的切线的倾斜角为钝角的是（）A ．曲线2sin y x x =-B ．曲线2sin y x x =-C ．曲线()2e xy x =-D ．曲线11e x y x -=+12．（2022·福建省福州格致中学模拟预测）已知函数()()()()20e 01x f x f x f x '=+--，则函数()f x =___________.13．（2022·广东·模拟预测）已知2ln ()1xf x x=+，则曲线在(1,1)处的切线方程为________． 14．（2022·北京市第一六一中学模拟预测）写出一个同时具有下列性质①①①的函数f (x )=___________： ①1212()()()f x x f x f x =：①当()0,x ∞∈+时，()0f x '>； ①()f x '是偶函数．15．（2022·全国·高考真题）曲线ln ||y x =过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________． 16．（2022·全国·高考真题）若曲线()e x y x a =+有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是________________．17．（2022·山东威海·三模）已知曲线212:e ,:2(0)x C y x C y x x a a =+=-++>，若有且只有一条直线同时与1C ，2C 都相切，则=a ________．18．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数ln y x x =. （1）求这个函数的导数；（2）求这个函数的图象在点1x =处的切线方程.19．（2022·全国·高考真题（文））已知函数32(),()f x x x g x x a =-=+，曲线()y f x =在点()()11,x f x 处的切线也是曲线()y g x =的切线． (1)若11x =-，求a ； (2)求a 的取值范围．【素养提升】1．（2022·湖北·模拟预测）若过点()(),0m n m <可作曲线3y x =-三条切线，则（） A ．30n m <<-B ．3n m >-C ．0n <D ．30n m <=-2．（2022·山东潍坊·三模）过点()()1,P m m ∈R 有n 条直线与函数()e x f x x =的图像相切，当n 取最大值时，m 的取值范围为（） A ．25e e m -<< B ．250e m -<< C ．10em -<<D ．e m <3．（多选）（2022·湖南·长沙市南雅中学高三阶段练习）已知函数()e xx f x =(e为自然对数的底数)，过点(,)a b 作曲线()f x 的切线.下列说法正确的是（）A ．当0a =时，若只能作两条切线，则24e b = B ．当0a =，24e b >时，则可作三条切线 C ．当02a <<时，可作三条切线，则24e e a a a b -<< D ．当2a =，0b >时，有且只有两条切线4．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（理））若曲线31:C y x =与曲线2:e (0)xC y a a =>存在2条公共切线，则a 的值是_________．5．（2022·河北邯郸·二模）已知点P 为曲线ln exy =上的动点，O 为坐标原点．当OP 最小时，直线OP 恰好与曲线ln y a x =相切，则实数a ＝___．。

2020年高考数学试卷(理科新课标Ⅰ)(原卷版)

13.若
x，y
满足约束条件
x
y
1
0,
则 z=x+7y的最大值为______________.
y 1 0,
14.设
a,
b
为单位向量，且
|
a
b
|
1
，则
|
a
b
|
______________.
15.已知
F
为双曲线
C
:
x2 a2
y2 b2
1(a 0,b 0) 的右焦点，A
为
C 的右顶点，B 为
2020 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若 z=1+i，则|z2–2z|=（）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 2
2.设集合 A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且 A∩B={x|–2≤x≤1}，则 a=（）
A. –4
B. –2
C. 2
D. 4
3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方
型的是（）
A. y a bx
B. y a bx2

2024年高考数学冲刺模拟卷(原卷版)

备战2024年高考数学模拟卷（新题型）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．在ABC 中，三个内角,,A B C 成等差数列，则()sin A C +=（）A．12B．2C．2D．12．若()20272i 3i z ⋅+=-，则z 的虚部为（）A．1-B．75C．1i 5-D．15-3．已知向量m 和n 都是非零向量，则“0m n > ”是“,m n 为锐角”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．数学中的数形结合也可以组成世间万物的绚丽画面，一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的产物，曲线C ：22322()16x y x y +=为四叶玫瑰线，下列结论正确的有（）（1）方程22322()16(0)x y x y xy +=<，表示的曲线在第二和第四象限；（2）曲线C 上任一点到坐标原点O 的距离都不超过2；（3）曲线C 构成的四叶玫瑰线面积大于4π；（4）曲线C 上有5个整点(横、纵坐标均为整数的点).A．（1）（2）B．（1）（2）（3）C．（1）（2）（4）D．（1）（3）（4）5．已知n S 为正项数列{}n a 的前n 项和．若121n n n S a S ++=-，且557S =，则4a =（）A．7B．15C．8D．166．如图所示，在边长为1⎫⎪⎪⎝⎭的正方形铁皮上剪下一个扇形和一个圆，使之恰好围成一个圆锥，则圆锥的高为（）131517197．甲、乙两人进行一场游戏比赛，其规则如下：每一轮两人分别投掷一枚质地均匀的骰子，比较两者的点数大小，其中点数大的得3分，点数小的得0分，点数相同时各得1分．经过三轮比赛，在甲至少有一轮比赛得3分的条件下，乙也至少有一轮比赛得3分的概率为（）A．209277B．210277C．211277D．2122778．已知函数()1ex x f x +=，若过()1,P t -可做两条直线与函数()f x 的图象相切，则t 的取值范围为（）A．4,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B．4e ⎧⎫⎨⎬⎩⎭C．40,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D．{}40,0e ⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知函数()cos 23cos f x x x x =-，则下列命题正确的是（）A．()f x 的最小正周期为π；B．函数()f x 的图象关于π3x =对称；C．()f x 在区间2ππ,36⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减；D．将函数()f x 的图象向左平移5π12个单位长度后所得到的图象与函数2sin 2y x =的图象重合．10．已知圆22:1O x y +=，圆22:()(1)4,R C x a y a -+-=∈，则（）A．两圆的圆心距OC 的最小值为1B．若圆O 与圆C 相切，则2a =±C．若圆O 与圆C 222a -<<D．若圆O 与圆C 211．大衍数列来源《乾坤诺》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程．已知大衍数列{}n a 满足10a =，11,,n n na n n a a n n +++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数，则（）A．46a =B．()221n n a a n +=++C．221,2,2n n n a n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数D．1234567820a a a a a a a a -+-+-+-=-第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．若,a b 均为不等于1的正数，且满足212,82n m a b a b ⎛⎫== ⎪⎝⎭，且，则122n m +=.13．已知椭圆1C ：221103x y +=与双曲线2C 有相同的左，右顶点A ，B ，过点A 的直线l 交1C 于点P ，交2C 于点Q ．若PBQ 为等边三角形，则双曲线2C 的虚轴长为．14．已知首项为12的正项数列满足{}n a 满足11n n n n a a ++=，若存在*N n ∈，使得不等式()()3(1)(1)0n n n n m a m a +--+-<成立，则m 的取值范围为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量i y （i =1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.xy w 821()i i x x =-∑821()i i w w =-∑81()()i i i x x y y =--∑81()()i i i w w y y =--∑46.6563 6.8289.8 1.61469108.8表中i w =，ˆw =1881i i w =∑（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx 与y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（Ⅲ）已知这种产品的年利润z 与x、y 的关系为z=0.2y-x.根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（ⅰ）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ⅱ）年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据11(,)u v ,22(,)u v ，……，(,)n n u v ,其回归线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：16．（15分）已知函数()()22ln f x x a x a x =+--.(1)当1a =时，求函数()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程；(2)当0a >时，若函数()()()2h x f x a x =+-在[]1,e 上的最小值为0，求实数a 的值.17．（15分）如图所示，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 为直角梯形，AD BC ∥，AB BC ⊥，侧面ABEF 为菱形，平面ABEF ⊥平面ABCD ，M 为棱BE 的中点．(1)若点N 为DE 的中点，求证：MN 平面ABCD ；(2)若12AB BC AD ==，60EBA ∠=︒，求平面MAD 与平面EFD 夹角的余弦值．18．（17分）已知抛物线2:2(0)C x py p =>上任意一点R 满足RF 的最小值为1（F 为焦点）.(1)求C 的方程；(2)过点(),1P t -的直线经过F 点且与物线交于M N ､两点，求证：211PF PM PN=+；(3)过F 作一条倾斜角为60 的直线交抛物线于A B ､两点，过A B ､分别作抛物线的切线.两条切线交于Q 点，过Q 任意作一条直线交抛物线于E H ､，交直线AB 于点G ，则QG QE QH ､､满足什么关系？并证明.19．（17分）给定正整数2n ≥，任意的有序数组()12,,,n x x x α=⋅⋅⋅，()12,,,n y y y β=⋅⋅⋅，定义：1122n n x y x y x y αβ⋅=++⋅⋅⋅+，α=(1)已知有序数组()2,1,0,1α=-，()1,0,1,0β=-，求α及αβ⋅；(2)定义：n 行n 列的数表A ，共计2n 个位置，每个位置的数字都是0或1；任意两行都至少有一个同列的数字不同，并且有只有一个同列的数字都是1；每一行的1的个数都是a ；称这样的数表A 为‘n a -表’．①求证：当4n =时，不存在‘n a -表’；②求证：所有的‘n a -表’的任意一列有且只有a 个1．。

高考逆袭卷01-2024年高考数学最后冲刺大题秒杀技巧及题型专项训练(新高考新题型专用)(原卷版)

2024年高考考前逆袭卷（新高考新题型）01数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）全国新高考卷的题型会有所调整，考试题型为8（单选题）＋3（多选题）＋3（填空题）＋5（解答题），其中最后一道试题是新高考地区新增加的题型，主要涉及集合、数列，导数等模块，以解答题的方式进行考查。

预测2024年新高考地区数列极有可能出现在概率与统计大题中，而结构不良型题型可能为集合或导数模块中的一个，出现在19题的可能性较大，难度中等偏上，例如本卷第19题。

第I 卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．已知样本数据12100,,,x x x 的平均数和标准差均为4，则数据121001,1,,1x x x ------ 的平均数与方差分别为（）A ．5,4-B ．5,16-C ．4,16D ．4,42．已知向量()1,2a = ，3b = ，2a b -= ，则向量a 在向量b 上的投影向量的模长为（）A ．6B ．3C ．2D ．53．已知在等比数列{}n a 中，23215a a +=，234729a a a =，则n n S a -=（）A ．1232n -⨯-B ．()11312n --C ．23n n ⨯-D ．533n ⨯-4．已知三棱锥A BCD -中，6,3,AB AC BC ===三棱锥A BCD -的体积为2，其外接球的体积为500π3，则线段CD 长度的最大值为（）A ．7B ．8C ．D ．105．一个信息设备装有一排六只发光电子元件，每个电子元件被点亮时可发出红色光､蓝色光､绿色光中的一种光.若每次恰有三个电子元件被点亮，但相邻的两个电子元件不能同时被点亮，根据这三个被点亮的电子元件的不同位置以及发出的不同颜色的光来表示不同的信息，则这排电子元件能表示的信息种数共有（）A ．60种B ．68种C ．82种D ．108种6．已知 1.12a -=，1241log log 33b c ==，，则（）A ．a b c ＜＜B ．c b a ＜＜C ．b a c ＜＜D ．b c a ＜＜7．纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通、安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert 提出铅酸电池的容量C 、放电时间t 和放电电流I 之间关系的经验公式：C I t λ=，其中λ为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert 常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为7.5A 时，放电时间为60h ；当放电电流为25A 时，放电时间为15h ，则该蓄电池的Peukert 常数λ约为（参考数据：lg 20.301≈，lg 30.477≈）（）A ．1.12B ．1.13C ．1.14D ．1.158．已知双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>与抛物线22:2(0)C y px p =>，抛物线2C 的准线过双曲线1C 的焦点F ，过点F 作双曲线1C 的一条渐近线的垂线，垂足为点M ，延长FM 与抛物线2C 相交于点N ，若34ON OF OM += ，则双曲线1C 的离心率等于（）A1+BCD1二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．在复平面内，下列说法正确的是（）A ．若复数1i 1i-=+z （i 为虚数单位），则741z =-B ．若复数z 满足z z =，则z ∈RC ．若120z z =，则10z =或20z =D ．若复数z 满足112z z -++=，则复数z 对应点的集合是以坐标原点O 为中心，焦点在x 轴上的椭圆10．设直线系:cos sin 1n m M x y θθ+=（其中0，m ，n 均为参数，02π≤≤θ，{},1,2m n ∈），则下列命题中是真命题的是（）A ．当1m =，1n =时，存在一个圆与直线系M 中所有直线都相切B ．存在m ，n ，使直线系M 中所有直线恒过定点，且不过第三象限C ．当m n =时，坐标原点到直线系M 中所有直线的距离最大值为1，最小值为2D ．当2m =，1n =时，若存在一点()0A a ，，使其到直线系M 中所有直线的距离不小于1，则0a ≤11．如图所示，一个圆锥SO 的底面是一个半径为3的圆，AC 为直径，且120ASC ∠=︒，点B 为圆O 上一动点（异于A ，C 两点），则下列结论正确的是（）A ．SAB ∠的取值范围是ππ,62⎡⎤⎢⎣⎦B ．二面角S BC A --的平面角的取值范围是ππ,62⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．点A 到平面SBC 的距离最大值为3D ．点M 为线段SB 上的一动点，当SA SB ⊥时，6AM MC +>第II 卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．设集合{}2|60A x x x =--<，{|}B x a x a =-≤≤，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是．13．已知三棱柱111ABC A B C -中，ABC 是边长为2的等边三角形，四边形11ABB A 为菱形，160A AB ∠=︒，平面11ABB A ⊥平面ABC ，M 为AB 的中点，N 为1BB 的中点，则三棱锥11C A MN -的外接球的表面积为.14．已知对任意()12,0,x x ∈+∞，且当12x x <时，都有：()212112ln ln 11a x x x x x x -<+-，则a 的取值范围是.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别a ，b ，c ，其中2,a b c =+=，且sin A C =.(1)求c 的值；(2)求tan A 的值；(3)求cos 24A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.16．（15分）如图，在三棱锥-P ABC 中，M 为AC 边上的一点，90APC PMA ∠=∠=︒，cosCAB ∠=2AB PC =PA =(1)证明：AC ⊥平面PBM ；(2)设点Q 为边PB 的中点，试判断三棱锥P ACQ -的体积是否有最大值？如果有，请求出最大值；如果没有，请说明理由.17．（15分）近年来，某大学为响应国家号召，大力推行全民健身运动，向全校学生开放了,A B 两个健身中心，要求全校学生每周都必须利用课外时间去健身中心进行适当的体育锻炼.(1)该校学生甲､乙､丙三人某周均从,A B 两个健身中心中选择其中一个进行健身，若甲､乙､丙该周选择A 健身中心健身的概率分别为112,,233，求这三人中这一周恰好有一人选择A 健身中心健身的概率；(2)该校学生丁每周六､日均去健身中心进行体育锻炼，且这两天中每天只选择两个健身中心的其中一个，其中周六选择A 健身中心的概率为12.若丁周六选择A 健身中心，则周日仍选择A 健身中心的概率为14；若周六选择B 健身中心，则周日选择A 健身中心的概率为23.求丁周日选择B 健身中心健身的概率；(3)现用健身指数[]()0,10k k ∈来衡量各学生在一个月的健身运动后的健身效果，并规定k 值低于1分的学生为健身效果不佳的学生，经统计发现从全校学生中随机抽取一人，其k 值低于1分的概率为0.12.现从全校学生中随机抽取一人，如果抽取到的学生不是健身效果不佳的学生，则继续抽取下一个，直至抽取到一位健身效果不佳的学生为止，但抽取的总次数不超过n .若抽取次数的期望值不超过23，求n 的最大值.参考数据：2930310.980.557,0.980.545,0.980.535≈≈≈.18．（17分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上下顶点分别为12,B B ，左右顶点分别为12,A A ，四边形1122A B A B 的面积为C 上的点到右焦点距离的最大值和最小值之和为6.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点()1,0-且斜率不为0的直线l 与C 交于,P Q （异于12,A A ）两点，设直线2A P 与直线1AQ 交于点M ，证明：点M 在定直线上.19．（17分）给定整数3n ≥，由n 元实数集合P 定义其随影数集{},,Q x y x y P x y =-∈≠∣.若()min 1Q =，则称集合P 为一个n 元理想数集，并定义P 的理数t 为其中所有元素的绝对值之和.(1)分别判断集合{}{}2,1,2,3,0.3,1.2,2.1,2.5S T =--=--是不是理想数集；（结论不要求说明理由）(2)任取一个5元理想数集P ，求证：()()min max 4P P +≥；(3)当{}122024,,,P x x x = 取遍所有2024元理想数集时，求理数t 的最小值.注：由n 个实数组成的集合叫做n 元实数集合，()()max ,min P P 分别表示数集P 中的最大数与最小数.。

08 动量定理及动量守恒定律高考真题分项详解(原卷版)

十年高考分类汇编专题08动量定理及动量守恒定律（2011-2020）目录题型一、动量与动量定理的综合应用 (1)题型二、动量守恒定律与能量的综合应用模型一（碰撞类） (4)题型三、动量守恒定律与能量的综合应用模型二（弹簧类） (9)题型四、动量守恒定律与能量的综合应用模型三（反冲类） (10)题型五、动量守恒定律与能量的综合应用模型四（子弹木块、板块类） (12)题型六、动量守恒定律与能量的综合应用模型五（轨道类） (13)题型七、实验:验证动量守恒定律 (15)题型一、动量与动量定理的综合应用1.（2020江苏）.一只质量为1.4kg的乌贼吸入0.1kg的水，静止在水中。

遇到危险时，它在极短时间内把吸入的水向后全部喷出，以2m/s的速度向前逃窜。

求该乌贼喷出的水的速度大小v。

2.（2020全国1）.行驶中的汽车如果发生剧烈碰撞，车内的安全气囊会被弹出并瞬间充满气体。

若碰撞后汽车的速度在很短时间内减小为零，关于安全气囊在此过程中的作用，下列说法正确的是（）A. 增加了司机单位面积的受力大小B. 减少了碰撞前后司机动量的变化量C. 将司机的动能全部转换成汽车的动能D. 延长了司机的受力时间并增大了司机的受力面积3.（2018全国2）高空坠物极易对行人造成伤害.若一个50 g的鸡蛋从一居民楼的25层坠下，与地面的撞击时间约为2 ms，则该鸡蛋对地面产生的冲击力约为（）A. 10 NB. 102 NC. 103 ND. 104 N4.（2018北京）2022年将在我国举办第二十四届冬奥会，跳台滑雪是其中最具观赏性的项目之一.某滑道示意图如下，长直助滑道AB与弯曲滑道BC平滑衔接，滑道BC高h=10 m，C是半径R=20 m圆弧的最低点，质量m=60 kg的运动员从A处由静止开始匀加速下滑，加速度a=4.5 m/s2，到达B点时速度vB=30 m/s.取重力加速度g=10 m/s2.（1）求长直助滑道AB的长度L；（2）求运动员在AB段所受合外力的冲量的I大小；（3）若不计BC段的阻力，画出运动员经过C点时的受力图，并求其所受支持力FN的大小.5.（2018江苏）如图所示，悬挂于竖直弹簧下端的小球质量为m，运动速度的大小为v，方向向下．经过时间t，小球的速度大小为v，方向变为向上．忽略空气阻力，重力加速度为g，求该运动过程中，小球所受弹簧弹力冲量的大小．6.（2017全国3）一质量为2 kg的物块在合外力F的作用下从静止开始沿直线运动。

2020届江苏高三高考数学全真模拟试卷07(解析版)

直线 AB 的方程为____________．
答案：x＋y－3＝0
解析：设圆心为 C，由题知 kAB·kCP＝－1，又 kCP＝2－1＝1，∴ kAB＝－1，∴ 直线 AB 的方程为 y＝ 1－0
－(x－1)＋2，即 x＋y－3＝0.
11. 在△ABC 中，BC＝2，A＝2π，则A→B·A→C的最小值为________． 3
抛物线 y2＝－4x 的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为________．
答案： y＝± 3x 解析：由题设知a2＝1，又易知双曲线焦点在 x 轴上，且 a＝1，所以 b2＝c2－a2＝3，从而双曲线方程为
c2
x2－y2＝1，所以双曲线渐近线方程为 y＝± 3x. 3
7. 在平面直角坐标系 xOy 中，若点 P(m，1)到直线 4x－3y－1＝0 的距离为 4，且点 P 在不等式 2x＋y≥3 表示的平面区域内，则 m＝________．答案：6 解析：由题知|4m－4|＝4，得 m＝6 或－4，∴ P(6，1)或 P(－4，1)．又 2x＋y≥3，∴ m＝6. 5
11
＝
a
[π
－ 1 x4＋4x3－12x2 25 3
＋12×104]，(10
分)
11
令 f(x)＝－ 1 x4＋4x3－12x2，则 25 3
f′(x)＝－
4
x3＋4x2－24x＝－4x
1 x2－x＋6 25
.
25
由 f′(x)＝0，解得 x＝0(舍去)或 x＝10 或 x＝15，(12 分)
列表如下：
a
a
14. 已知等比数列{an}的首项为4，公比为－1，其前 n 项和为 Sn，若 A≤Sn－ 1 ≤B 对 n∈N*恒成立，则 B

江苏省2023届新高考数学高三上学期9月期初考试试卷分类汇编：立体几何与空间向量(原卷版)

江苏省2023届新高考数学高三上学期9月期初考试试卷分类汇编：立体几何与空间向量一、小题部分1．(2023·江苏南京9月期初零模)已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，P 为上底面圆的圆心，AB 为下底面圆的直径， E 为下底面圆周上一点，则三棱锥P －ABE 外接球的表面积为 A.25π16 B. 25π4 C. 5π2D. 5π 2．(2023·江苏南京9月期初零模)(多选题)已知l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列选项中，“l ⊥m ”的充分条件有A ．α⊥β，l ⊥α，m ⊥βB ．α⊥β，l ⊥α，m ⊥βC ．α⊥β，l ⊥α，m ⊥βD ．α⊥β，l ⊥α，m ⊥β3．(2023·江苏9月百校第一次联考)(多选题)在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点M ，N 分别是棱A 1D 1，AB 的中点，则A ．异面直线MD 与AC 所成角的余弦值为15B ．MC 1⊥D 1NC ．四面体CAB 1D 1的外接球体积为43π D ．平面MNC 截正方体所得的截面是四边形4．(2023·江苏9月百校第一次联考)祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家，他于5世纪末提出了“幂势既同，则积不容异”的体积计算原理，即“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平而的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．现已知直线y ＝±2与双曲线x 2－y 2＝4及其渐近线围成的平面图形G 如图所示．若将图形G 被直线y ＝t (－2≤t ≤2)所截得的两条线段绕y 轴旋转一周，则形成的旋转面的面积S ＝ ▲ ；若将图形G 绕y 轴旋转一周，则形成的旋转体的体积V ＝ ▲ ．(本题第一空2分，第二空3分)5．(2023·江苏海安9月期初)已知圆锥的轴截面是斜边为23的直角三角形，该圆锥的体积为A．33π B．332π C．3π D．33π6．(2023·江苏海安9月期初)(多选题)在正方体中，已知M为棱的中点，N上底面的中心，下列图形中，PQ⊥MN的是7．(2023·江苏泰州中学9月期初)《算数书》是已知最早的中国数学著作，于上世纪八十年代出土，大约比现有传本的《九章算术》还要早近二百年．《算数书》内容丰富，有学者称之为“中国数学史上的重大发现”．在《算数书》成书的时代，人们对圆周率的认识不多，用于计算的近似数与真实值相比误差较大．如书中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一．此术相当于给出了圆锥的体积V的计算公式为136L2h，其中L和h分别为圆锥的底面周长和高，这说明，该书的作者是将圆周率近似地取为( ) A．3.00 B．3.14 C．3.16 D．3.20 8．(2023·江苏泰州中学9月期初)(多选题)《已知α，β是两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题正确的是( )A．若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥βB．若m⊥α，n∥α，则m⊥nC．若α∥β，m α，则m∥βD．若m∥n，α∥β，则m与α所成的角和n与β所成的角相等9．(2023·江苏镇江9月期初)四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是边长为1的菱形，侧棱长为2，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝60°，则线段A1C的长度是( )MDCBAPA ． 6B ．342C ．3D ．11 二、解答题部分1．(2023·江苏南京9月期初零模)(本小题满分12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，P A ⊥平面ABCD ，M 为PC 中点． (1)求证：P A ⊥平面MBD ；(2)若AB ＝AD ＝P A ＝2，⊥BAD ＝120°，求二面角B －AM －D 的正弦值．2．(2023·江苏9月百校第一次联考)(12分)在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，AD ⊥AB ，侧面P AB ⊥底面ABCD ，P A ＝PB ＝AD ＝12BC ＝2，且E ，F 分别为PC ，CD 的中点．(1)证明：DE ∥平面P AB ．(2)若直线PF 与平面P AB 所成的角为60°，求平面P AB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值．(第19题图)3．(2023·江苏海安9月期初)(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，△P AD是边长为2的等边三角形，AB⊥平面P AD，AB∥CD，且|AB|＞|CD|，|BC|＝|CP|，O为棱P A的中点．(1)求证：OD∥平面PBC；(2)若BC⊥PC，求平面PBC与平面P AD所成锐二面角的余弦值．4．(2023·江苏泰州中学9月期初)如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝t，M是线段EF的中点．(1)求证：AM∥平面BDE：(2)若线段AC上总存在一点P，使得PF⊥BE，求t的最大值．5．(2023·江苏南通上学期第一次调研9月)(12分)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，侧面AA1C1C是菱形，∠A1AC ＝60°，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2．(1)若D为A1C的中点，求证：AD⊥A1B；(2)求二面角A－A1C－B1的正弦值．6．(2023·江苏镇江9月期初)如图，在四棱锥S－ABCD中，SA⊥底面ABCD，底面ABCD 是梯形，AD∥BC，且AB⊥SD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝2．(1)求二面角B－SC－D的大小；(2)已知E为CD中点，问：棱SD上是否存在一点Q，使得BQ与AE垂直?若存在，请求出SQ的长；若不存在，请说明理由．。

2020届江苏省高三高考全真模拟(一)数学试题(含答案解析)

5．已知是定义在R上的奇函数．当时，，若，则实数t的值为_____________．
6．为了践行“健康中国”理念更好地开展群众健身活动，某社区对居民的健身情况进行调查，统计数据显示，每天健身时间（单位：min）在，，，，内的共有600人，绘制成如图所示的频率分布直方图，则这600名居民中每天健身时间在内的人数为_____________．
2020届江苏省高三高考全真模拟（一）数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．已知集合，，则 _____________．
2．已知复数（i为数单位）为纯虚数，则实数a的值为_____________．
（3）设，数列为数列的“偏差数列”，、且，若，（）对任意的恒成立，求的最小值．
21．已知矩阵，对应的变换把点变成点．
（1）求a，b的特征值；
（2）求矩阵M的特征值．
22．已知极坐标系的极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合．若曲线的极坐标方程为、直线的极坐标方程为．
（1）求函数的极值；
（2）若函数有2个不同的零点，求实数a的取值范围；
（3）若对任意的，恒成立，求实数a的最大值．
20．若数列，满足，则称数列是数列的“偏差数列”．
（1）若常数列是数列的“偏差数列”，试判断数列是否一定为等差数列，并说明理由；
（2）若无穷数列是各项均为正整数的等比数列，且，数列为数列的“偏差数列”，数列为递减数列，求数列的通项公式；
7．如图，在四棱锥中，四边形是矩形，平面，E为PD的中点，已知，，，则三棱锥的体积为_____________．

高考数学母题解密专题01 集合及其运算附解析(江苏专版)

专题01 集合及其运算【母题来源一】【2020年高考江苏】已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则AB =__▲___.【答案】{}0,2【解析】根据集合的交集即可计算.∵{}1,0,1,2A =-,{}0,2,3B =∴{}0,2A B =，故答案为：{}0,2.【名师点睛】本题考查了交集及其运算，是基础题型．【母题来源二】【2019年高考江苏】已知集合{1,0,1,6}A =-，{|0,}B x x x =>∈R ，则 A B = ▲ .【答案】{1,6}【解析】由题意利用交集的定义求解交集即可.由题意知，{1,6}A B =.【名师点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题.【母题来源三】【2018年高考江苏】已知集合{}0,1,2,8A =，{}1,1,6,8B =-，那么A B = ▲ ．【答案】{1，8}【解析】由题设和交集的定义可知：{}1,8A B =.【名师点睛】本题考查交集及其运算，考查基础知识，难度较小.（1）认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．（2）注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致错误．（3）防范空集．在解决有关,A B A B =∅⊆等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一定要先考虑∅时是否成立，以防漏解．【命题意图】（1）了解集合的含义.（2）理解两个集合的交集的含义，会求两个简单集合的交集.（3）能够正确处理含有字母的讨论问题，掌握集合的交集运算和性质.【命题规律】这类试题在考查题型上主要以填空题的形式出现，主要考查集合的基本运算，其中集合以描述法呈现．试题难度不大，多为低档题，从近几年江苏的高考试题来看，主要的命题角度有：（1）离散型或连续型数集间的交集运算；（2）已知集合的交集运算结果求参数．【答题模板】解答此类题目，一般考虑如下三步：第一步：看元素构成，集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键，即辨清是数集、点集还是图形集等；第二步：对集合化简，有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决；第三步：应用数形结合进行交、并、补等运算，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和韦恩图(Venn).【方法总结】（一）集合的基本运算及其表示：（1）交集：由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，即{|}A B x x A x B =∈∈且.（2）并集：由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，即|}{A B x x A x B =∈∈或.（3）补集：由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合，即{|}U A x x U x A =∈∉且.（二）与集合元素有关问题的解题方略：（1）确定集合的代表元素；（2）看代表元素满足的条件；（3）根据条件列式求参数的值或确定集合元素的个数.但要注意检验集合中的元素是否满足互异性.（三）集合间的基本关系问题的解题方略：（1）判断集合间基本关系的方法有三种：①列举观察；②集合中元素特征法，首先确定集合中的元素是什么，弄清楚集合中元素的特征，再判断集合间的关系；③数形结合法，利用数轴或韦恩图求解.（2）求集合的子集：若集合A 中含有n 个元素，则其子集个数为2n 个，真子集个数为21n -个，非空真子集个数为22n -个.（3）根据两集合关系求参数：已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图帮助分析，而且经常要对参数进行讨论．注意区间端点的取舍．注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解.（四）求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件．（1）离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn 图或交、并、补的定义求解；（2）点集的运算常利用数形结合的思想或联立方程组进行求解；（3）连续型数集的运算，常借助数轴求解；（4）已知集合的运算结果求集合，常借助数轴或Venn 图求解；（5）根据集合运算结果求参数，先把符号语言转化成文字语言，然后适时应用数形结合求解.1．（2020届江苏省苏州市吴江区高三下学期五月统考数学试题）已知集合{}1,2,3,4A =，集合{}4,5B =，则AB =______.【答案】{}4【解析】因为集合{}1,2,3,4A =，集合{}4,5B =，所以{}4A B ⋂=.故答案为：{}4.【点睛】本题主要考查集合的交集运算，熟记概念即可，属于基础题型.2．（江苏省无锡市、常州市2019-2020学年高三下学期5月联考数学试题）已知集合{}012M =,,，集合{}0,2,4N =，则M N ⋃=__________．【答案】{}0,1,2,4 【解析】集合{}012M =,,，集合{}0,2,4N =， ∴{}0,1,2,4M N ⋃=.故答案为：{}0,1,2,4.【点睛】本题考查并集及其运算，属于基础题.3．（江苏省盐城中学2020届高三下学期第一次模拟数学试题）已知集合{}13A x =-<<，{}|2=≤B x x ，则A B =_________ .【答案】(-1,2]【解析】由题意{|12}A B x x =-<≤故答案为：(1,2]-．【点睛】本题考查集合的交集运算，掌握交集概念是解题关键．4．（2020届江苏省七市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁)高三下学期第二次调研考试数学试题）已知集合{}1,4A =，{}5,7B a =-.若{}4A B ⋂=，则实数a 的值是______.【答案】9 【解析】集合{}1,4A =，{}5,7B a =-，{}4A B ⋂=，∴54a -=，则a 的值是9.故答案为：9【点睛】本题考查集合的交集，是基础题.5．（江苏省南京市金陵中学、南通市海安高级中学、南京市外国语学校2020届高三下学期第四次模拟数学试题）已知集合{}{}02,1,0,1,2M x x N =≤<=-，则MN =__________．【答案】{}0,1 【解析】因为{}{}02,1,0,1,2M x x N =≤<=-，所以{}0,1M N ⋂=. 6．（2020届江苏省高三高考全真模拟(六)数学试题）已知集合{1,0,2}A =-，{}0,1,2,3B =，则A B =______.【答案】{1,0,1,2,3}-【解析】由题意1,0,1{,2,}3A B =-．故答案为：{1,0,1,2,3}-．【点睛】本题考查集合的并集运算，属于简单题．7．（江苏省泰州市姜堰区、南通市如东县2020届高三下学期适应性考试数学试题）已知集合{1,3,}A a =，{4,5}B =.若{4}A B ⋂=，则实数a 的值为______.【答案】4【解析】{}4A B ⋂=4A ∴∈且4B ∈4a ∴=【点睛】本题考查了交集的定义，意在考查学生对交集定义的理解，属于基础题.8．（江苏省扬州中学2020届高三下学期6月模拟考试数学试题）集合{}0,3x A =，{}2,0,1B =-，若A B B ⋃=，则x =_________________．【答案】0【解析】∵A B B ⋃=，∴A B ⊆，又{}0,3x A =，{}2,0,1B =-，∴31x =，∴0x =，故答案为：0．【点睛】本题主要考查集合的并集运算的应用，属于基础题．9．（江苏省泰州中学2019-2020学年高三下学期4月质量检测数学试题）已知集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =>，则A B =______【答案】{|12}x x <<【解析】因为集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =>，所以{|12}A B x x =<<.故答案为：{|12}x x <<【点睛】本题主要考查集合的交集运算，属基础题.10．（江苏省扬州市2020届高三下学期6月最后一卷数学试题）已知集合2{1,0,}A a =-，{1,1}B =-，则A B B =，则实数a 的值是_______．【答案】±1【解析】因为AB B =，所以B A ⊆，又2{1,0,}A a =-，{1,1}B =-，所以21a =，解得1a =±.故答案为：±1【点睛】本题主要考查集合间的基本关系，属于基础题.11．（2020届江苏省苏州市三校高三下学期5月联考数学试题）设集合{2,0,1,2}=-A ，{}|10B x x =-<，则A B =___________.【答案】{}2,0-【解析】由已知，{}|1B x x =<，所以AB ={}2,0-. 故答案为：{}2,0-【点睛】本题考查集合的交集运算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.12．（江苏省盐城市2020届高三下学期第四次模拟数学试题）若集合{}A x x m =≤，{}1B x x =≥-，且{}A B m =，则实数m 的值为_______.【答案】1- 【解析】∵{}A x x m =≤，{}1B x x =≥-，且{}AB m =，∴1m =-，故答案为：1-．【点睛】本题主要考查集合的交集运算，属于基础题．13．（江苏省苏州市2019-2020学年高三上学期期中数学试题）已知集合{2,1,0,1,2}A =--，{|0}B x x =>，则A B =__________.【答案】{1,2} 【解析】集合{2,1,0,1,2}A =--，{|0}B x x =>，{1,2}A B ∴=，故答案为：{1,2}．【点睛】本题考查集合交集的运算，是基础题．14．（江苏省淮安市清浦中学2019-2020学年高三下学期5月阶段性检测数学试题）已知集合{}1,2A =，{}2,3B a a =+，若A B={1}⋂则实数a 的值为________ 【答案】1【解析】由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意，故答案为1．【点睛】（1）认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．（2）注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致错误．（3）防范空集．在解决有关,A B A B ⋂=∅⊆等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一定要先考虑∅时是否成立，以防漏解．15．（江苏省盐城市第一中学2020届高三下学期第一次调研考试数学试题）设全集{}0,1,2U =，集合{}0,1A =，则U C A =________．【答案】{}2【解析】{}{}0,1,2,0,1U A =={}2U C A ∴=故答案为：{}2【点睛】本题考查了补集的运算，属于基础题.16．（2020届江苏省苏州市常熟市高三阶段性抽测三数学试题）已知集合{}2A x x =≤，(){}40B x x x =-≤，则()A B =R ________.【答案】(]2,4 【解析】集合(){}{}4004B x x x x x =-≤=≤≤ 因为集合{}2A x x =≤ 所以{}2R A x x => 所以(){}(]242,4R A B x x ⋂=<≤=.故答案为：(]2,4.【点睛】本题考查解一元二次不等式，集合的补集、交集运算，属于简单题.17．（2020届江苏省南通市高三下学期5月模拟考试数学试题）已知集合{}1,2,3,4A =，{}2|log (1)2B x x =-<，则A B =____．【答案】{}2,3,4【解析】由题意可得：{}{}|014|15B x x x x =<-<=<< ，则{}2,3,4A B⋂=.如何学好数学做选择题时注意各种方法的运用，比较简单的自己会的题正常做就可以了，遇到比较复杂的题时，看看能否用做选择题的技巧进行求解（主要有排除法、特殊值代入法、特例求解法、选项一一带入验证法、数形结合法、逻辑推理验证法等等），一般可以综合运用各种方法，达到快速做出选择的效果。

2020届名校学术联盟新高考原创精准模拟考试(一)文科数学试卷

2020届名校学术联盟新高考原创精准模拟考试（一）文科数学试卷本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若，则复数z的虚部是A. 1B.C. 3D.【答案】B【解析】【分析】本题首先可以根据复数的运算法则对复数进行化简，将复数化简为的形式，再通过复数的虚部的相关概念即可得出结果。

【详解】，所以复数的虚部为。

【点睛】本题考查复数的相关性质，主要考查复数的运算法则以及虚部的相关概念，考查计算能力，提高了学生对于复数运算的掌握，是简单题。

2.设集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题首先可以通过解一元二次不等式计算出集合A，然后通过对数的性质计算出集合B，最后计算出，即可得出结果。

高考数学母题解密专题20 数列的综合(江苏专版)

专题20 数列的综合【母题来源一】【2020年江苏】已知数列的首项a 1=1，前n 项和为S n ．设λ{}*()∈n a n N 与k 是常数，若对一切正整数n ，均有成立，则称此数列为“λ–k ”数列．11111kk kn n n SS a λ++-=（1）若等差数列是“λ–1”数列，求λ的值； {}n a （2）若数列是”数列，且a n >0，求数列的通项公式；{}n a 2{}n a （3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列为“λ–3”数列，且a n ≥0?若存在，求λ的{}n a 取值范围；若不存在，说明理由，【母题来源二】【2019年江苏】定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M －数列”. （1）已知等比数列{a n }满足：，求证：数列{a n }为()n *∈N 245132,440a a a a a a =-+=“M －数列”；（2）已知数列{b n }满足:，其中S n 为数列{b n }的前n 项和． ()n *∈N 111221,n n n b S b b +==-①求数列{b n }的通项公式；②设m 为正整数，若存在“M －数列”{c n }，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有()n *∈N 成立，求m 的最大值．1k k k c b c +……【母题来源三】【2018年江苏】设是首项为，公差为d 的等差数列，是首项为{}n a 1a {}n b ，公比为q 的等比数列．1b （1）设，若对均成立，求d 的取值范围；110,1,2a b q ===1||n n a b b -≤1,2,3,4n =（2）若，证明：存在，使得对*110,,a b m q =>∈∈N d ∈R 1||n n a b b -≤均成立，并求的取值范围（用表示）．2,3,,1n m =+ d 1,,b m q【命题意图】近几年的高考试卷中经常出现以数列为载体的证明、探索等综合问题，这类问题不仅考查学生的分析问题、解决问题以及探索能力，而且给学生提供了创新思维的空间．【命题规律】数列一直是高考的热点，常以新定义为背景，与函数、方程、不等式等联系在一起综合考查，考查内容比较全面，解题时要注意基本运算、基本能力的运用，同时注意函数与方程、转化与化归等数学思想的应用. 【方法总结】1.等差数列的判定与证明的方法：（1）定义法：或是等差数列；1()n n a a d n +-=∈*N 1(2,)n n a a d n n --=≥∈⇔*N {}n a （2）定义变形法：验证是否满足； 11(2,)n n n n a a a a n n +--=-≥∈*N （3）等差中项法：为等差数列；{}122()n n n n a a a n a ++=+∈⇔*N （4）通项公式法：通项公式形如为常数为等差数列； (,n a pn q p q =+)⇔{}n a （5）前n 项和公式法：为常数为等差数列．2(,n S pn qn p q =+)⇔{}n a 注意：（1）若判断一个数列不是等差数列，只需找出三项，使得12,,n n n a a a ++122n n n a a a ++≠+即可；（2）如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法． 2.等比数列的判定与证明常用的方法：（1）定义法：为常数且数列是等比数列． 1n na q a +=(q 0)q ≠⇔{}n a （2）等比中项法：数列是等比数列．212(,0)n n n n a a a n a ++=⋅∈≠*N ⇔{}n a （3）通项公式法：数列是等比数列．(0,)n n a tq tq n =≠∈*N ⇔{}n a （4）前项和公式法：若数列的前项和，则该数列n n nn S Aq A =-+(0,0,1)A q q ≠≠≠是等比数列．其中前两种方法是证明等比数列的常用方法，而后两种方法一般用于选择题、填空题中．注意：（1）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．（2）只满足的数列未必是等比数列，要使其成为等比数列还需要()10n n a qa q +=≠10a ≠.3.数列求和的常用方法（1）公式法：直接利用等差数列、等比数列的前n 项和公式求和；（2）倒序相加法：如果一个数列{a n }的前n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和公式即是用此法推导的；（3）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的；（4）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和；（5）分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减；（6）并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和． 4.数列与函数综合（1）数列与函数的综合问题主要有以下两类：①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题； ②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形．（2）解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到递推数列，因此掌握递推数列的常用解法有助于该类问题的解决． 5.数列与不等式综合与数列有关的不等式的命题常用的方法有：比较法(作差作商)、放缩法、利用函数的单调性，其中利用不等式放缩证明是历年命题的热点．6.以数列为背景的不等式恒成立问题，多与数列求和相联系，最后利用函数的单调性求解.1．（江苏省盐城市第一中学2020届高三下学期6月第二次调研）对于若数列*,∀∈n N 满足则称这个数列为“数列”．{}n x 11,+->n n x x K （1）已知数列1，是“数列”，求实数的取值范围；21,+m m K m （2）是否存在首项为的等差数列为“数列”，且其前项和使得1-{}n a K n n S 恒成立?若存在，求出的通项公式；若不存在，请说明理由； 212n S n n <-{}n a（3）已知各项均为正整数的等比数列是“数列”，数列不是“数列”，若{}n a K 12n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭K 试判断数列是否为“数列”，并说明理由． 1,1+=+n n a b n {}n b K2．（2020届江苏省高三高考全真模拟（二））已知各项均为正数的两个数列，满{}n a {}n b 足，．且．11121n nn n a a a a +++=+-2212log log 1n n n a b b +=++111a b ==（1）求证数列为等差数列； {}n a （2）求数列的通项公式；{}n b （3）设数列，的前n 项和分别为，，求使得等式成立{}n a {}n b n S n T 236m m i S a T +-=的有序数对． ()(,),*m i m i N ∈3．（2020届江苏省高三高考全真模拟（九））已知各项均为正数的数列的前n 项和为{}n a ，．n S 111,2n n n a a a S +=⋅=（1）求数列的通项公式；{}n a（2）记，若集合中恰好有3个元素，求实数的取值范12n n n na ab +⋅={}*,nn b n N λ>∈λ围；（3）若，且，求证：数列为等差数列． 12n n n a c c +=+2341c c -={}n c4．（江苏省泰州市2020届高三下学期5月高考模拟）已知数列、、满足{}n a {}n b {}n c ，．2n n n b a a +=-12n n n c a a +=+（1）若数列是等比数列，试判断数列是否为等比数列，并说明理由； {}n a {}n c （2）若恰好是一个等差数列的前项和，求证：数列是等差数列；n a n {}n b （3）若数列是各项均为正数的等比数列，数列是等差数列，求证：数列是{}n b {}n c {}n a 等差数列．5．（江苏省南通市2020届高三下学期高考考前模拟卷（一））给定数列，若{}n P ，且，是数列的项，则称数列为“数列”．记数列*,m n N ∀∈m n ≠m n P P +{}n P {}n P C 的前项和为，且，都有．{}n a n n S n N ∀∈()12n n n a aS +=（1）求证：数列为等差数列；{}n a （2）若数列为“数列”，，，且，求所有的可能值；{}n a C 13a =*2a N ∈23a >2a （3）若也是数列的项，求证：数列为“数列”． n S {}n a {}n a C6．（江苏省盐城市滨海县八滩中学2020届高三下学期四模）对于数列，若从第二项{}n a 起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称为数列．{}n a P （1）若的前项和，试判断是否是数列，并说明理由；{}n a n 32nn S =+{}n a P（2）设数列是首项为、公差为的等差数列，若该数列是数列，求12310,,,,a a a a 1-d P 的取值范围；d （3）设无穷数列是首项为、公比为的等比数列，有穷数列，是从{}n a a q {}n b {}n c {}n a 中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，其所有项和分别为，，求是1T 2T {}n a P 数列时与所满足的条件，并证明命题“若且，则不是数列”． a q 0a >12T T ={}n a P7．（江苏省南京市金陵中学、南通市海安高级中学、南京市外国语学校2020届高三下学期第四次模拟）若存在常数，使对任意的，都有，则称数列为m ∈R *n ∈N 1n n a ma +≥{}n a 数列．()Z m （1）已知是公差为2的等差数列，其前n 项和为．若是数列，求的{}n a n S {}n S ()1Z 1a 取值范围；（2）已知数列的各项均为正数，记数列的前n 项和为，数列的前n 项{}n b {}n b n R {}2n b 和为，且． n T 2*34,n nn T R R n =+∈N ①求证：数列是等比数列；{}n b ②设，试证明：存在常数，对于任意的，数列()1n n nn c b b λλ-=+∈R m ∈R []2,3λ∈{}n c 都是数列．()Z m8．（江苏省淮安市楚中、新马、清浦、洪泽高中四校联考2019-2020学年高三上学期期中）已知数列和满足若为等比数列，且n a n b 123().n bn a a a a n N +⋅⋅=∈ n a ．1322,6a b b ==+（1）求和；n a n b （2）设，记数列的前项和为． 11n n nc a b =-n c n n S ①求；n S ②求正整数 k ，使得对任意均有． n N +∈k n S S ≥9．（江苏省连云港市赣榆区智贤中学2020届高三下学期高考适应性考试）已知数列{}n a的各项均为正数，其前n 项的积为，记，．n T 11b T =2)n b n =≥（1）若数列为等比数列，数列为等差数列，求数列的公比． {}n a {}n b {}n a （2）若，，且 11a =22a =()11(1),3n n n n na n a a a n ----=≥①求数列的通项公式．{}n b ②记，那么数列中是否存在两项，（s ，t 均为正偶数，且），使得ln n n c b ={}n c ,s t c c s t <数列，，，成等差数列？若存在，求s ，t 的值；若不存在，请说明理由． s c 8c t c10．（江苏省镇江市2020届高三下学期6月第三次模拟）各项为正数的数列如果满{}n a足：存在实数，对任意正整数n ，恒成立，且存在正整数n ，使得1k ³11n na k k a +≤≤或成立，则称数列为“紧密数列”，k 称为“紧密数列”的“紧密1n n a k a +=11n n a a k+={}n a {}n a 度”．已知数列的各项为正数，前n 项和为，且对任意正整数n ，{}n a n S （A ，B ，C 为常数）恒成立．2n n n S Aa Ba C =++（1）当，，时， 14A =12B =14C =①求数列的通项公式；{}n a ②证明数列是“紧密度”为3的“紧密数列”；{}n a （2）当时，已知数列和数列都为“紧密数列”，“紧密度”分别为，，0A ={}n a {}n S 1k 2k 且，，求实数B 的取值范围．如何学好数学1k []21,2k ∈做选择题时注意各种方法的运用，比较简单的自己会的题正常做就可以了，遇到比较复杂的题时，看看能否用做选择题的技巧进行求解（主要有排除法、特殊值代入法、特例求解法、选项一一带入验证法、数形结合法、逻辑推理验证法等等），一般可以综合运用各种方法，达到快速做出选择的效果。

2020届江苏省南通市如皋中学高三(创新班)下学期6月高考模拟数学试题(解析版)

2020届江苏省南通市如皋中学高三（创新班）下学期6月高考模拟数学试题一、填空题1．某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8.若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是________. 【答案】6【解析】将原问题转化为Venn 图的问题，然后结合题意确定这三天都开车上班的职工人数至多几人即可. 【详解】如图所示，（a +b +c +x ）表示周一开车上班的人数，（b +d +e +x ）表示周二开车上班人数，（c +e +f +x ）表示周三开车上班人数，x 表示三天都开车上班的人数，则有：1410820a b c x b d e x c e f x a b c d e f x +++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪++++++=⎩，即22233220a b c d e f x a b c d e f x ++++++=⎧⎨++++++=⎩，即212b c e x +++=，当0b c e ===时，x 的最大值为6，即三天都开车上班的职工人数至多是6. 故答案为：6 【点睛】本题主要考查Venn 图的应用，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．已知F 1，F 2分别是双曲线3x 2－y 2＝3a 2(a ＞0)的左、右焦点，P 是抛物线y 2＝8ax 与双曲线的一个交点，若|PF 1|＋|PF 2|＝12，则抛物线的准线方程为________．【答案】2x =-【解析】将双曲线方程化为标准方程得222213x y a a-=，抛物线的准线为2x a =-，联立22222138x y a ay ax⎧-=⎪⎨⎪=⎩，解得3x a =，即点P 的横坐标为3a ，而由1212122PF PF PF PF a ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得26PF a =-，∴2326PF a a a =+=-，解得1a =，∴抛物线的准线方程为2x =-，故答案为2x =-.3．已知实数a ，b 满足22182a b+=θθ+取最大值时，tan θ=________.【答案】1【解析】根据辅助角公式可得：()θθθϕ=+≤=2，进而可求得答案【详解】由22182a b +=得2284a b +=，利用辅助角公式可得：()θθθϕ=+≤=2，其中tan ϕ=0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.所以最大值为2，当且仅当22a b ==，()sin 1θϕ+=时成立，此时tan 1ϕ=，故4πϕ=，所以sin 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则24k πθπ=+，k Z ∈，则tan 1θ=，故答案为：1. 【点睛】本题考查三角函数的恒等变形，关键是利用辅助角公式化简，利用基本不等式求最值，属于中档题目.4．已知等差数列{}n a 满足：22158a a +=，则12a a +的最大值为________.【答案】5【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据22158a a +=，利用平方关系，设15,a a θθ==，则()12cos 5sin 22a a θθθϕ=+=++，再利用三角函数的性质求解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为22158a a +=，由22cos sin 1αα+=，设15,a a θθ==，则()211511cos 422a a d a a a θθ=+=+-=+，所以()12cos 5sin ,tan 722a a θθθϕϕ=+=+=+，当2,2k k Z πθϕπ+=+∈时，12a a +的最大值为5.故答案为：5. 【点睛】本题主要考查数列的通项公式，三角换元法的应用以及三角恒等变换，三角函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 5．已知函数()()212xxa f x x e e ax =--+只有一个极值点，则实数a 的取值范围为________.【答案】0a ≤或12a ≥【解析】首先对函数求导，观察得到'(0)0f =，并且将函数只有一个极值点转化为导数等于零只有一个根，结合图象得到结果.【详解】2()x x f x x e ae a '-=⋅+，函数()()212xxa f x x e e ax =--+只有一个极值点，即2()0x xf x x e ae a ='-⋅+=只有1个实根，且在根的两侧异号，可以求得'(0)0f =，令'()0f x =，得2(0)1xx x e a x e ⋅=≠-，则设2()(0)1xx x e a g x x e ⋅==≠-，求导2222222(1)(1)2[(1)(1)]()(1)(1)x x x x x x x x x e e e xe e x e x g x e e +--⋅--+==-'-，设2()(1)(1)xh x x ex =--+，222'()2(1)1(12)1x x x h x e x e x e =-+--=--，设()()u x h x ='，222()2(24)4xx x u x e x e xe '=-+-=-，可知当0x <时，'()0u x >，0x >时，'()0u x <，所以)'(h x 在(,0)-∞上单调增，在(0,)+∞上单调减，且'(0)0h =，所以'()0h x ≤恒成立，所以()h x 为减函数，且(0)0h =，所以当0x <时，'()0g x >，当0x >时，)'(0g x <，所以()g x 在(,0)-∞上单调增，在(0,)+∞上单调减，当0x >时，21,()0xeg x >>，当0x <时，21,()0x e g x <>画出()y g x =图象如图所示：可以确定22000(1)1lim ()lim lim 122x x x x x x x xe x e g x e e →→→+===-，因为函数()()212xxa f x x e e ax =--+只有一个极值点，且'(0)0f =，所以要求2(0)1xx x e a x e ⋅=≠-无解，所以0a ≤或12a ≥，故答案为：0a ≤或12a ≥. 【点睛】该题考查的是有关利用导数研究函数的性质，涉及到的知识点有利用导数研究参数的取值范围，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．其中将函数有一个极值点转化为方程只有一个根，结合图象得到结果，属于较难题目. 6．已知直线，若对任意，直线与一定圆相切，则该定圆方程为．【答案】【解析】试题分析：取特殊值，三条直线分别为，这三条直线只与圆都相切，经验证，对任意，直线都与这个圆相切.【考点】圆的切线.7．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>左焦点为F ，直线l 经过点F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线l 与双曲线的左支交于不同两点AB ，若2AF FB =u u u r u u u r，则该双曲线的离心率为________. 10【解析】由渐近线斜率设出直线l 方程，与双曲线方程联立消去x 得关于y 的二次方程，设1122(,),(,)A x y B x y ，由2AF FB =u u u r u u u r 得122y y =-，由韦达定理得12y y +，12y y ，由此可得,,a b c 的齐次等式，从而求得离心率．【详解】不妨设直线l 与渐近线b y x a=-垂直，即直线l 方程为()ay x c b =+，由2222()1a y x cb x y a b ⎧=+⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，得2222222222()b y bcy b c a y a b a a -+-=，即2222324()20c b a y ab cy a b --+=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则3122222()ab c y y c b a +=-①，2412222()a b y y c b a =-②，又2AF FB =u u u r u u u r，(,0)F c -，所以122y y =-③，③代入①得32222()ab y c a b =-，所以31224()ab y c a b =--，12,y y 代入②得 262422222228()()a b a b c a b c b a -=--，整理得22910c a =，所以c e a ==．．【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是设出直线l 方程，与双曲线方程联立消元后得一元二次方程，注意这里消去x 得y 的二次方程对解题有帮助，原因是由2AF FB =u u u r u u u r易得122y y =-，结合韦达定理可得关于,,a b c 的齐次式，从而求得离心率．8．用I M 表示函数sin y x =在区间I 上的最大值，若正数a 满足[][]0,,22a a a M M ≥，则a 的取值范围为________.【答案】513,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】根据正弦定理在[0,)+∞上的单调性求解．【详解】因为sin y x =在[0,]2π上单调递增，所以[0,]2a π∈，若2a π<，则存在0δ>，使得[,2]a a a δ+∈，且[0,]sin()a a M δ+>，不合题意，所以[0,]1a M =，所以由[][]0,,22a a a M M ≥得[,2]12a a M ≤，所以561326a a ππ⎧≥⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得513612a ππ≤≤．故答案为：513,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【点睛】本题考查新定义，考查正弦函数的单调性与最值，掌握正弦函数性质是解题基础，正确理解新定义是关键．9．四棱锥P ABCD -中，2PA BC CD ===，PB PC PD AB AD =====，则四棱锥P ABCD -的体积为________. 【答案】3【解析】连接,AC BD 交于点E ，通过证明平面PCD ⊥平面ABCD ，过P 作PO ⊥平面ABCD ，则O 在AC 上，连接,BO DO ，利用180AOD COD ∠+∠=︒，应用余弦定理求得各线段长，由P ABCD D PAC B PAC V V V ---=+可得体积．【详解】连接,AC BD 交于点E ，由,AB AD CB CD ==知AC BD ⊥，E 是BD 中点，又PB PD =，所以PE BD ⊥，又PE AC E =I ，所以BD ⊥平面PAC ，BD ⊂平面ABCD ，所以平面PCD ⊥平面ABCD ，过P 作PO ⊥平面ABCD ，则O 在AC 上，连接,BO DO ，则BO DO CO ===AO =设CO a =，则AO =222242cos 12a a COD a a+-∠==-， 222cos AOD ∠==因为cos cos AOD COD ∠=-∠2221a =-，由0a >，解得2a =，所以1AO =，2BO CO DO ===，PO =，11322PAC S AC PO =⨯=⨯=V ，DE BE = 1133P ABCD D PAC B PAC PAC PACV V V DE S BE S ---=+=⨯⨯+⨯⨯V V11333==．故答案为：3．【点睛】本题考查求四棱锥的体积，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．10．已知向量a r ，b r满足1a =r ，3b =r ，若存在不同的实数1λ，()2120λλλ≠，使得3i i i c a b λλ=+u r r r且()()()01,2i i c a c b i -⋅-==u r r u r r ，则12c c -u r u u r 的取值范围是________.【答案】(2,2222,23⎡⋃⎣【解析】设a b k ⋅=r r，()()0iic a c b -⋅-=u r r u r r 变形（数量积的运算）得12,λλ是方程26(3)4(3)0k x k x k +-++=的两根，利用韦达定理求得12λλ-，则12123c c a b λλ-=-+u r u u r r r可表示为k 的函数，由k 的范围可得结论，在题中注意k 的范围的确定．【详解】111(1)3c a a b λλ-=-+u r r r r ，111(31)c b a b λλ-=+-u r r r r ，设a b k ⋅=r r（33k -≤≤），由()()110c a c b -⋅-=u r r u r r得211()0c a b c a b -+⋅+⋅=u r r r u r r r ，整理得2116(3)4(3)0k k k λλ+-++=，同理2226(3)4(3)0k k k λλ+-++=，所以12,λλ是方程26(3)4(3)0k x k x k +-++=的两根，由120λλ≠得0k ≠，3k =-方程无解，故0k ≠且3k ≠-，8(3)(6)0k k ∆=+->，1223λλ+=，126(3)kk λλ=+，所以12λλ-===，3a b +===r r所以1212123c c a b λλλ-=-+=-=u r u u r r r33k -<≤且0k ≠得12c c -u r u u r的范围是[2,U ．故答案为：[2,U ．【点睛】本题考查平面向量的数量积，解题关键是设a b k ⋅=r r后通过数量积的运算把12,λλ是方程26(3)4(3)0k x k x k +-++=的两根，这样可用韦达定理求得12λλ-，从而求得目标12c c -u r u u r关于k 的函数．11．已知P 是椭圆2214x y +=上一动点，()2,1A -，()2,1B ，则cos APB ∠的最大值为________.【答案】4【解析】画出椭圆图形，设()00,P x y ，过P 作PH AB ⊥交AB 于H ，由正切和角公式用00,x y 表示出tan APB ∠，结合椭圆的方程化为0y 的表达式，利用换元法令01t y =-，将tan APB ∠转化为关于t 的函数式，讨论0t =与(]0,2t ∈两种情况，结合基本不等式即可求得tan APB ∠的最小值，再根据同角三角函数关系式即可求得cos APB ∠的最大值.【详解】根据题意，画出椭圆的图形如下图所示：设()00,P x y ，过P 作PH AB ⊥交AB 于H ，则002tan 1x AH APH PH y +∠==-，02tan 1x BH BPH PH y -∠==-，由正切和角公式可知()tan tan APB APH BPH ∠=∠+∠tan tan 1tan tan APH BPHAPH BPH∠+∠=-∠⨯∠()()()00000220000002241112214111x x y y y x x y x y y +-+---==+-----⨯--而()00,P x y 在2214x y +=上，所以220014x y +=，则220044x y =-，代入上式可得()()()()()00222200004141tan 1414y y APB y x y y --∠==-----由椭圆性质可知，[]01,1y ∈-，令[]01,0,2t y t =-∈，则()22244tan 38441t t APB t t t t ∠==-+---，[]0,2t ∈，当0t =时，tan 0APB ∠=，此时,cos 1APB APB π∠=∠=-，当(]0,2t ∈时，由基本不等式可知4tan 23443838APB t t ∠=≥=⎛⎫-+-++ ⎪⎝⎭，当且仅当43t t =，即233t =时取等号，此时cos APB ∠的值最大，因而22sin 23cos sin cos 1APBAPB APB APB ∠⎧=+⎪∠⎨⎪∠+∠=⎩，化简可得223cos 4APB -∠=，所以62cos APB -∠=，综上所述，可知cos APB ∠的最大值为624-，故答案为：624-. 【点睛】本题考查了椭圆标准方程和几何性质的综合应用，由正切和角公式及同角三角函数关系式的应用，由基本不等式确定最值，综合性强，属于难题.12．已知21a e b e -=-=r r r r ，1e =r ，则向量a b ⋅r r的最小值为________.【答案】14-【解析】1e =r ，不失一般性，设(1,0)e =r ，由21a e b e -=-=r r r r 知a b r r，的终点在两个圆上运动，设(2cos ,sin )(1+cos ,sin )a b a a b b =+=r r ，，化简(2cos )(1+cos )sin sin a b r r αβαβ++⋅=放缩后得到21114(cos )2444β--≥-得解.【详解】1e r Q =，不妨设(1,0)e =r(.)(.)a m n b c d ==r r ，，21a e r rQ -=，22(2)1m n \-+= 所以(,)A m n 在圆22(2)1x y -+=上运动 1b e r rQ -=，22(1)1c d \-+=所以(,)B c d 在圆22(1)1x y -+=上运动再令(2cos ,sin )A a a +，(1+cos ,sin )B b b(2cos ,sin )(1+cos ,sin )a b a a b b \=+=r r，， (2cos )(1+cos )sin sin a b r rαβαβ∴⋅+=+2cos +2cos +cos cos sin sin αβαβαβ+=+2cos +2cos +cos()αβαβ+=-2+2cos +2cos()cos 22βββα+-=224cos 2cos()cos4cos cos22222βββββα=+-≥-21114(cos)2444β=--≥- 故答案为：14- 【点睛】本题考查平面向量数量积最值问题.平面向量与几何综合问题的求解坐标法：把问题转化为几何图形的研究，再把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．13．三角形ABC 面积为S ，若2221054c a b +=，则2220156Sa b +的最大值是________.【答案】16【解析】由2221054c a b +=求出226cos 8a c B ac +=-，将22220156S a b ⎛⎫ ⎪+⎝⎭用a 和c 表示，并化简，再令22c t a =，得到关于t 的式子，构造函数，并利用导数求出22220156S a b ⎛⎫ ⎪+⎝⎭的最大值，进而得解. 【详解】由2221054c a b +=，得()22211054b c a =+， 2222222221(105)64cos 228a c c a a c b a c B ac ac ac+-++-+===-，()2222222240020156311sin 251052ac B S a b a c a ⎛⎫⨯⎪⎛⎫⎝⎭= ⎪+⎝⎭⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()2222221001cos 45152a c a c B -=⎛⎫+ ⎪⎝⎭()222222226464932a c a c a c ⎡⎤+⎢⎥-⎢⎥⎣⎦=⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 2222222261464932a c a c a c ⎡⎤⎛⎫+⎢⎥⎪⎢⎥⎝⎭-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，令22c t a =，则0t >，2222222(16)464203652181156916927342t t S t t a b t t t ⎡⎤+-⎢⎥-+-⎛⎫⎣⎦== ⎪+⎛⎫⎝⎭⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()223652181169274t t f t t t -+-=⎛⎫++ ⎪⎝⎭，则222314404()16927814t t f t t t ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭=⎛⎫++ ⎪⎝⎭'，令()0f 't =，解得32t =-（舍）或12t =，所以，当102t <≤时，'()0f t >，()f t 在10,2⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增；当12t >时，()0f t <'，()f t 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以，当12t =时，()f t 取得最大值，11365211142118123616927424f -⨯+⨯-⎛⎫== ⎪⎛⎫⎝⎭⨯⨯+⨯+ ⎪⎝⎭，即22220156S a b ⎛⎫ ⎪+⎝⎭的最大值为136，所以，2220156Sa b +的最大值是16. 故答案为：16.【点睛】本题考查余弦定理的应用、三角形的面积公式及利用导数研究函数的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想以及运算求解能力和逻辑推理能力，构造函数并掌握求极值的方法是求解本题的关键，难度较大.构造函数是求解导数问题的常用方法.14．已知数列{}n b 为首项为2正项等比数列，数列{}n c 为公差为3等差数列，数列{}n a 满足2n n n b a a +=-，12n n n c a a +=+，若11a =，则数列{}n a 前50项的和为________. 【答案】1275【解析】先根据等差与等比性质列方程组解得{}n b 与{}n c 通项公式，进而可求数列{}n a 通项公式，最后根据等差数列求和公式得结果.【详解】11a =Q 21,,2n n n b a a b +=-=, 13133,213b a a a a ∴=-=-∴=112112,3223n n n n n n n n n c a a c c a a a a +++++=+-=∴+--=Q 2123n n n a a a ++∴--= 3212232a a a a ∴--=∴= 4324234a a a a ∴--=∴=因此2422,b a a =-=数列{}n b 公比为211,2n b b b == 1212553(1)32n c a a c n n =+=∴=+-=+Q因此1232n n a a n ++=+212123542610n n n n a a n a a n ++++∴+=+∴+=+从而2438,n n a a n +-=+22n n n a a b +-==Q10050(150),12752n a n S +∴=== 故答案为：1275 【点睛】本题考查等差数列与等比数列通项公式以及等比数列求和公式，考查基本分析求解能力，属中档题.二、解答题15．如图，在△ABC 中，a b c ，，为A B C ，，所对的边，CD ⊥AB 于D ，且12BD AD c -=．（1）求证：sin 2sin()C A B =-；（2）若3cos 5A =，求tan C 的值．【答案】（1）见解析（2）4811-【解析】（1）由题意可得1cos cos 2a Bb Ac -=，由正弦定理，得1sin cos sin cos sin 2A B B A C -=，即可作出证明；（2）由（1）得3cos sin sin cos A B A B =，得到4sin 5A =，所以4tan 3A =，4tan 9B =，即可求解tan C 的值.【详解】（1）证明：因为12BD AD c -=，所以1cos cos 2a Bb Ac -=，由正弦定理，得1sin cos sin cos sin 2A B B A C -=，所以()sin 2sin C A B =-．（2）解：由（1）得，()()sin 2sin A B A B +=-，所以()sin cos cos sin 2sin cos cos sin A B A B A B A B +=-，化简，得3cos sin sin cos A B A B =．又3cos 5A =，所以4sin 5A=，所以4tan 3A =，4tan 9B =，所以()44tan tan 4839tan tan 441tan tan 11139A B C A B A B ++=-+=-=-=---⋅．【点睛】本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.16．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12A A AC =，D ，E ，F 分别为线段AC ，1A A ，1C B 的中点.（1）证明：//EF 平面ABC ；（2）证明：1C E ⊥平面BDE .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；【解析】（1）取BC 的中点G ，连结AG ，FG ，可证四边形AEFG 是平行四边形，得EF ∥AG ，即可证明结论；（2）根据已知可得22211EB C E C B +=，得出1C E BE ⊥，再由已知得BD AC ⊥，结合正三棱柱的垂直关系，可证BD ⊥平面11A ACC ，进而有1BD C E ⊥，即可证明结论.【详解】（1）如图，取BC 的中点G ，连结AG ，FG . 因为F 为1C B 的中点，所以FG ∥111,2C C FG C C =. 在三棱柱111ABC A B C -中，1A A ∥111,C C A A C C =，且E 为1A A 的中点，所以FG ∥,EA FG EA =. 所以四边形AEFG 是平行四边形.所以EF ∥AG . 因为EF ⊄平面ABC ，AG ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC .（2）因为在正三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，所以1A A BD ⊥.因为D 为AC 的中点，BA BC =，所以BD AC ⊥.因为1A A AC A =I ，1A A ⊂平面11A ACC ，AC ⊂平面11A ACC ，所以BD ⊥平面11A ACC .因为1C E ⊂平面11A ACC ，所以1BD C E ⊥. 根据题意，可得16EB C E AB ==，13C B AB =，所以22211EB C E C B +=.从而190C EB ∠=︒，即1C E EB ⊥.因为BD EB B =I ，BD ⊂平面BDE ，EB ⊂平面BDE ，所以1C E ⊥平面BDE .【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明直线与平面平行以及直线与平面垂直，注意空间垂直关系的相互转化，属于中档题.17．动圆P 过定点(2,0)A ，且在y 轴上截得的弦GH 的长为4. （1）若动圆圆心P 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程；（2）在曲线C 的对称轴上是否存在点Q ，使过点Q 的直线l '与曲线C 的交点S T 、满足2211||||QS QT +为定值？若存在，求出点Q 的坐标及定值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）24y x =.（2）存在点(2,0)Q ，定值为14. 【解析】（1）设(,)P x y ，由题意知：PA PG =，利用距离公式及弦长公式可得方程，化简可得P 的轨迹方程；（2）假设存在(,0)Q a ，设()11,S x y ､()22,T x y ，由题意知直线l '的斜率必不为0，设直线l '的方程，与抛物线联立，利用根与系数关系可求得()212222121121t a QS QT a t ++=+，当2a =时，上式221114QS QT +=，与1t 无关，为定值. 【详解】（1）设(,)P x y ，由题意知：PA PG =.当P 点不在y 轴上时，过P 做PB GH ⊥，交GH 于点B ，则B 为GH 的中点，122GB GH ∴==，PG ∴=又PA =Q ，=24(0)y x x =≠；当P 点在y 轴上时，易知P 点与O 点重合.(0,0)P 也满足24y x =，∴曲线C 的方程为24y x =.（2）假设存在(,0)Q a ，满足题意.设()11,S x y ､()22,T x y .由题意知直线l '的斜率必不为0，设直线l '的方程为()110x t y a t =+≠. 由124x t y a y x=+⎧⎨=⎩得21440y t y a --=.1214y y t ∴+=，124y y a ⋅=-. ()2121121242x x t y y a t a ∴+=++=+，2221212116x x y y a ⋅=⋅=.()()2222221111114(42)QS x a y x a x x a x a =-+=-+=+-+Q ，()()2222222222224(42)QT x a y x a x x a x a =-+=-+=+-+，()222221212(42)2QS QT x x a x x a ∴+=++-++()()22121212(42)22x x a x x x x a =++-+-+()()21212124222x x x x a x x a =+++--+ ()()22114244t a t =++， ()222221161QS QT a t ⋅=+.()()()()2222211122222222211424411221161t a t QS QT t a QS QT QS QT a t a t ++++∴+===⋅++，当2a =时，上式221114QS QT +=，与1t 无关，为定值. ∴存在点(2,0)Q ，使过点Q 的直线l '与曲线C 的交点S T 、满足2211QS QT +为定值14. 【点睛】本题考查轨迹方程、定值问题的求解，求轨迹方程，一般是求谁设谁的坐标然后根据题目等式直接求解即可，存在性与定值问题一般设存在，代入，结合韦达定理等知识消去参数求解，属于较难题型.18．某景区平面图如图1所示，A B C E D 、、、、为边界上的点．已知边界CED 是一段抛物线，其余边界均为线段，且,,3,8AD AB BC AB AD BC AB ⊥⊥===，抛物线顶点E 到AB 的距离7OE =．以AB 所在直线为x 轴，OE 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系．（1）求边界CED 所在抛物线的解析式；（2）如图2，该景区管理处欲在区域ABCED 内围成一个矩形MNPQ 场地，使得点M N 、在边界AB 上，点P Q 、在边界CED 上，试确定点P 的位置，使得矩形MNPQ 的周长最大，并求出最大周长．【答案】（1）217(44)4y x x =-+-≤≤；（2）点P 与点C 重合．最大值为22，【解析】（1）根据题意，设二次函数解析式为2(44)y ax c x =+-≤≤，代入点C 、E 坐标，即可求解参数；（2）根据题意结合（1）中抛物线解析式，设P 点坐标为21,74m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，利用坐标表达矩形的周长，根据二次函数性质，可求最值问题. 【详解】（1）根据对称性可知，1184,3,722OA OB AB BC OE ===⨯===， (4,3),(0,7)C E ∴，设边界CED 所在抛物线的解析式为2(44)y ax c x =+-≤≤，Q 抛物线的图象经过C ，E 两点，1637a c c +=⎧⎨=⎩，解得147a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴边界CED 所在抛物线的解析式为217(44)4y x x =-+-≤≤；（2）设P 点坐标为21,74m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， Q 四边形MNPQ 是矩形，2ON OM m ∴==，2174PN QM m ==-+， 24MN QP ON m ∴===，∴矩形MNPQ 的周长为： 222112()227414421(4)222MN PN m m m m m ⎛⎫+=-+=-++ ⎪⎝⎭=--+ 102-<Q ，开口向下， ∴当4m =时，矩形MNPQ 的周长有最大值，最大值为22，此时P 点坐标为(4,3)，即点P 与点C 重合．【点睛】本题考查待定系数法确定函数关系式，考查计算能力，考查运用二次函数模型解决实际问题，属于中等题型.19．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11(1)(,,0,1)1n n a q S a q R a q q-=∈≠≠- （1）求证：数列{}n a 是等比数列；（2）若*q N ∈，是否存在q 的某些取值，使数列{}n a 中某一项能表示为另外三项之和？若能求出q 的全部取值集合，若不能说明理由．（3）若q ∈R ，是否存在[3,)q ∈+∞，使数列{}n a 中，某一项可以表示为另外三项之和？若存在指出q 的一个取值，若不存在，说明理由．【答案】解：（1）见详解；（2）不存在；（3）不存在【解析】（1）由前n 项和公式，结合1n n n a S S -=-求出n a ，进而可得出结论成立；（2）根据4321n n n n a a a a =++得3421n n n n q q q q =++，不妨设4321n n n n >>>，两边同除以1nq ，再结合条件，即可得出结论；（3）同(2)，先设4321n n n n >>>，当3q ≥，结合条件验证不成立即可.【详解】（1）n=1时，11a S a ==， 2n ≥时，()1111n n n n n n a a S S q q aq q ---=-=-=-（n=1也符合） ()1n n a aq n N -+∴=∈，1n na q a +∴=，即数列{}n a 是等比数列．（2）若4321n n n n a a a a =++则()3421,2n n n n q q q q q N q =++∈≥可设4321n n n n >>>，两边同除以1n q 得：3141211n n n n n n q q q -----=因为左边能被q 整除，右边不能被q 整除，因此满足条件的q 不存在．（3）若4321n n n n a a a a =++则()3421,2n n n n q q q q q N q =++∈≥可设4321n n n n >>>，3q ≥Q ，334442111·33n n n n n n n q q q q q q q q --=≥≥>++，∴ 4321n n n n a a a a =++不成立．【点睛】本题主要考查等比数列，熟记等比数数列的性质和公式即可，属于常考题型.20．已知函数()()ln 0f x a x a =≠与212y x e =的图象在它们的交点(),P s t 处具有相同的切线.（1）求()f x 的解析式；（2）若函数()()()21g x x mf x =-+有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求()21g x x 的取值范围.【答案】（1）()ln f x x =；（2）1,0e ⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭【解析】（1）求得两个函数的导数，由公切线的斜率相同可得,a s 的方程；将切点代入两个函数，可得,a s 的方程；联立两个方程即可求得a 的值，进而得()f x 的解析式；（2）将()f x 的解析式代入并求得()g x '，由极值点定义可知1x ，2x 是方程2220x x m -+=的两个不等实根，由韦达定理表示出1212,x x x x +，结合12x x <可得121012x x <<<<.代入()21g x x 中化简，分离参数并构造函数()12ln h t t t t =-+，求得()h t '并令()0h t '=求得极值点，由极值点两侧符号判断单调性，并求得最小值，代入端点值求得最大值，即可求得()21g x x 的取值范围. 【详解】（1）根据题意，函数()()ln 0f x a x a =≠与212y x e =可知()a f x x '=，1y x e'=，两图象在点(),P s t 处有相同的切线，所以两个函数切线的斜率相等，即1a s e s⨯=，化简得s = 将(),P s t 代入两个函数可得2ln 2es a s =，综合上述两式可解得1a =，所以()ln f x x =.（2）函数()()()()2211ln g x x mf x x m x =-+=-+，定义域为()0,∞+， ()()22221m x x m x x g x x-+=-='+，因为1x ，2x 为函数()g x 的两个极值点，所以1x ，2x 是方程2220x x m -+=的两个不等实根，由根与系数的关系知121x x =+，122m x x =，()* 又已知12x x <，所以121012x x <<<<， ()()2222111ln g x x m x x x -+=，将()*式代入得()()2221221112ln g x x x x x x x -+=()()222222222121ln 12ln 1x x x x x x x x =-+-=-+-，令()12ln h t t t t =-+，1,12t ⎛⎫∈⎪⎝⎭， ()2ln 1h t t '=+，令()0h t '=，解得t =当12t ⎛∈ ⎝时，()0h t '<，()h t在12⎛ ⎝单调递减；当t ⎫∈⎪⎭时，()0h t '>，()h t在⎫⎪⎭单调递增；所以()min 11h t h ===， ()()1max ,12h t h h ⎧⎫⎛⎫<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭， ()11ln 20122h h ⎛⎫=-<= ⎪⎝⎭，即()21g x x的取值范围是1,0e ⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭. 【点睛】本题考查了导数的计算及几何意义，根据公切线求参数值，由导数研究函数的极值点、单调性与最值，构造函数法的综合应用，属于难题.。

江苏省2020届高考数学模拟试卷

高考数学模拟试题注意事项：1．本科目考试分试题卷和答题卷，考生必须在答题卷上作答．答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、学号、姓名；2．本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。

满分150分, 考试时间120分钟。

参考公式：如果事件A , B 互斥, 那么柱体的体积公式 P (A +B )=P (A )+P (B )V =Sh如果事件A , B 相互独立, 那么其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 P (A ·B )=P (A )·P (B )锥体的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p , 那么n V =13Sh 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 P n (k )=C kn p k (1－p )n -k (k = 0,1,2,…, n ) 球的表面积公式台体的体积公式S = 4πR 2 1()11223V h S S S S =+球的体积公式其中S 1, S 2分别表示台体的上、下底面积,V =43πR 3h 表示台体的高其中R 表示球的半径第Ⅰ卷（选择题，共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的．1．已知全集=R U ,集合{}0|>=x x A ，{}10|<<=x x B ，则()=B A C U ( ▲ ) A ．{}1|<x x B ． {}10|<<x x C ．{}0|≤x x D ．R 2．已知i 是虚数单位，复数2z i =-，则(12)z i ⋅+的共轭复数为( ▲ ) A ．2i + B ．43i + C ．43i - D ．43i -- 3．已知直线,,a b m ,其中,a b 在平面α内．则“,m a m b ⊥⊥”是“m α⊥”的( ▲ )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( ▲ ) A ． 3π B ．83π C ． 103π D ． 113π 5．记()()()77017211x a a x a x -=+++++，则0126a a a a +++的值为( ▲ )A ． 1B ． 2C ． 129D ． 21886．已知不等式组210,2,10,x y x x y -+≥⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域为D ，若函数|1|y x m =-+的图象上存在区域D 上的点，则实数m 的取值范围是( ▲ )A ． [2,1]-B ． 1[2,]2-C ． 1[0,]2D ． 3[1,]2-7．甲、乙、丙、丁四个人到A ，B ，C 三个景点旅游，每个人只去一个景点，每个景点至少有一个人去，则甲不到A 景点的方案有( ▲ ) A ． 18种 B ． 12种 C ． 36种 D ． 24种8．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>> 的右焦点为F ,椭圆C 上的两点,A B 关于原点对称，且满足0,||||2||FA FB FB FA FB ⋅=≤≤，则椭圆C 的离心率的取值范围是( ▲ )1]1,1)A B C D9．已知函数()()1ln 1,1{21,1x x x f x x -->=+≤，则方程()()()3204f f x f x ⎡⎤-+=⎢⎥⎣⎦的实根个数为( ▲ )A ． 3B ． 4C ． 5D ． 610．已知直三棱柱111ABC A B C -的侧棱长为6，且底面是边长为2的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱1AA , 1BB , 1CC 分别交于三点M , N , Q ,若MNQ ∆为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为( ▲ )A ． 2B ． 4C ．D ．第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共7小题, 多空题每小题6分，单空题每小题4分, 共36分．11．双曲线:C 2214x y -=的渐近线方程为___▲__，设双曲线过点(4,1),且与C 具有相同渐近线,则C 的方程为 ▲ ． 12．设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n +++-=．{}n a 的通项n a = ▲ ，数列的21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭前n 项和是 ▲ ． 13．随机变量X 的分布列如下：MA BCQDX －10 1 Pabc其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝1)＝ ▲ ，方差的最大值是 ▲ ．14．函数()()sin f x A x ωϕ=+ (0,0,π0)A ωϕ>>-<<的部分图像如图所示，则ϕ= ▲ ，为了得到()cos g x A x ω=的图像，需将函数()y f x =的图象最少向左平移 ▲ 个单位． 15．若实数,x y 满足114422xy xy ，则22xy S的取值范围是 ▲ ．16．已知24y x =抛物线，焦点记为F ，过点F 作直线l 交抛物线于,A B 两点，则2AF BF-的最小值为 ▲ ． 17．如图，在四边形ABCD 中， 1AB CD ==，点,M N 分别是边,AD BC 的中点，延长BA 和CD 交NM 的延长线于不同．．的两点,P Q ，则()·PQ AB DC -的值为 ▲ ．三、解答题：本大题共5小题, 共74分。

概率统计与期望方差分布列大题压轴练-高考数学重点专题冲刺演练(原卷版)

概率统计与期望方差分布列大题压轴练新高考数学复习分层训练（新高考通用）1．（2023秋·浙江·高三校联考期末）抽屉中装有5双规格相同的筷子，其中2双是一次性筷子，3双是非一次性筷子，每次使用筷子时，从抽屉中随机取出1双，若取出的是一次性筷子，则使用后直接丢弃，若取出的是非一次性筷子，则使用后经过清洗再次放入抽屉中，求：(1)在第2次取出的是非一次性筷子的条件下，第1次取出的是一次性筷子的概率；(2)取了3次后，取出的一次性筷子的个数（双）的分布列及数学期望；(3)取了(2,3,4n n =，…）次后，所有一次性筷子刚好全部取出的概率．2．（2022·江苏南京·南京市江宁高级中学校考模拟预测）2022年2月6日，中国女足在两球落后的情况下，以3比2逆转击败韩国女足，成功夺得亚洲杯冠军，在之前的半决赛中，中国女足通过点球大战6:5惊险战胜日本女足，其中门将朱钰两度扑出日本队员的点球，表现神勇．(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有12的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑出点球的个数X 的分布列和期望；(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙、丁4名女足队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外3人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外3人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n 次传球之前球在甲脚下的概率为n p ，易知121,0==p p ．①试证明14n p ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；②设第n 次传球之前球在乙脚下的概率为n q ，比较10p 与10q 的大小．3．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考开学考试）中国在第75届联合国大会上承诺，将采取更加有力的政策和措施，力争于2030年之前使二氧化碳的排放达到峰值，努力争取2060年之前实现碳中和（简称“双碳目标”），此举展现了我国应对气候变化的坚定决心，预示着中国经济结构和经济社会运转方式将产生深刻变革，极大促进我国产业链的清洁化和绿色化.新能源汽车､电动汽车是重要的战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用.为了解某一地区电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量y （单位：万台）关于x （年份）的线性回归方程为4.79459.2y x =-，且销量y 的方差为22545y s =，年份x 的方差为22x s =.(1)求y 与x 的相关系数r ，并据此判断电动汽车销量y 与年份x 的相关性强弱；(2)该机构还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表：性别购买非电动汽车购买电动汽车总计男性39645女性301545总计692190依据小概率值0.05α=的独立性检验，能否认为购买电动汽车与车主性别有关；(3)在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取3人，记这3人中，男性的人数为X ，求X 的分布列和数学期望.25≈；②参考公式：（i ）线性回归方程：ˆy bxa =+，其中()()()121ˆˆ,ni ii n i i x x yy b a y bxx x ==--==--∑∑；（ii ）相关系数：()()niix x y y r --=∑0.9r >，则可判断y 与x 线性相关较强.（iii ）()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.附表：α0.100.050.0100.001x α2.7063.8416.63510.8284．（2023·浙江·模拟预测）2022年卡塔尔世界杯决赛圈共有32队参加，其中欧洲球队有13支，分别是德国、丹麦、法国、西班牙、英格兰、克罗地亚、比利时、荷兰、塞尔维亚、瑞士、葡萄牙、波兰、威尔士．世界杯决赛圈赛程分为小组赛和淘汰赛，当进入淘汰赛阶段时，比赛必须要分出胜负．淘汰赛规则如下：在比赛常规时间90分钟内分出胜负，比赛结束，若比分相同，则进入30分钟的加时赛．在加时赛分出胜负，比赛结束，若加时赛比分依然相同，就要通过点球大战来分出最后的胜负．点球大战分为2个阶段．第一阶段：前5轮双方各派5名球员，依次踢点球，以5轮的总进球数作为标准（非必要无需踢满5轮），前5轮合计踢进点球数更多的球队获得比赛的胜利．第二阶段：如果前5轮还是平局，进入“突然死亡”阶段，双方依次轮流踢点球，如果在该阶段一轮里，双方都进球或者双方都不进球，则继续下一轮，直到某一轮里，一方罚进点球，另一方没罚进，比赛结束，罚进点球的一方获得最终的胜利．下表是2022年卡塔尔世界杯淘汰赛阶段的比赛结果：（）:（）法国”表示阿根廷与法国在常规比赛及加时赛的比分为33:，在点注：“阿根廷4332:战胜法国．球大战中阿根廷42(1)请根据上表估计在世界杯淘汰赛阶段通过点球大战分出胜负的概率．(2)根据题意填写下面的22 列联表，并通过计算判断是否能在犯错的概率不超过0.01的前提下认为“32支决赛圈球队闯入8强”与是否为欧洲球队有关．欧洲球队其他球队合计闯入8强未闯入8强合计(3)若甲、乙两队在淘汰赛相遇，经过120分钟比赛未分出胜负，双方进入点球大战．已知甲队球员每轮踢进点球的概率为p，乙队球员每轮踢进点球的概率为23，求在点球大战中，两队前2轮比分为2:2的条件下，甲队在第一阶段获得比赛胜利的概率（用p表示）．参考公式：22(),.()()()()n ad bc n a b c da b c d a c b dχ-==+++ ++++()2Pχα≥0.10.050.010.0050.001α 2.706 3.841 6.6357.87910.8285．（2022秋·江苏常州·高三校联考阶段练习）汽车尾气排放超标是全球变暖、海平面上升的重要因素．我国近几年着重强调可持续发展，加大在新能源项目的支持力度，积极推动新能源汽车产业发展，某汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行调查，得到下面的统计表：年份t20172018201920202021年份代码()2016x x t=-12345销量/y万辆1012172026(1)统计表明销量y与年份代码x有较强的线性相关关系，求y关于x的线性回归方程，并预测该地区新能源汽车的销量最早在哪一年能突破50万辆；(2)为了解购车车主的性别与购车种类（分为新能源汽车与传统燃油汽车）的情况，该企业心随机调查了该地区200位购车车主的购车情况作为样本其中男性车主中购置传统燃油汽车的有w名，购置新能源汽车的有45名，女性车主中有20名购置传统燃油汽车．①若95w=，将样本中购置新能源汽车的性别占比作为概率，以样本估计总体，试用（1）中的线性回归方程预测该地区2023年购置新能源汽车的女性车主的人数（假设每位车主只购买一辆汽车，结果精确到千人）；②设男性车主中购置新能源汽车的概率为p ，将样本中的频率视为概率，从被调查的所有男性车主中随机抽取5人，记恰有3人购置新能源汽车的概率为()f p ，求当w 为何值时，()f p 最大．附：ˆˆy bxa =+为回归方程，1221ˆniii nii x ynxy b xnx ==-=-∑∑，ˆˆay bx =-．6．（2022秋·江苏南通·高三校考期中）核酸检测也就是病毒DNA 和RNA 的检测，是目前病毒检测最先进的检验方法，在临床上主要用于新型冠状乙肝、丙肝和艾滋病的病毒检测.通过核酸检测，可以检测血液中是否存在病毒核酸，以诊断机体有无病原体感染.某研究机构为了提高检测效率降低检测成本，设计了如下试验，预备12份试验用血液标本，其中2份阳性，10份阴性，从标本中随机取出n 份分为一组，将样本分成若干组，从每一组的标本中各取部分，混合后检测，若结果为阴性，则判定该组标本均为阴性，不再逐一检测；若结果为阳性，需对该组标本逐一检测.以此类推，直到确定所有样本的结果.若每次检测费用为a 元，记检测的总费用为X 元.(1)当n =3时，求X 的分布列和数学期望.(2)比较n =3与n =4两种方案哪一个更好，说明理由.7．（2023秋·辽宁·高三校联考期末）2022年冬奥会由北京和张家口联合举办，其中冰壶比赛在改造一新的水立方进行.中国女子冰壶队作为东道主对奥运冠军发起冲击.奥运会冰壶比赛将分为循环赛､淘汰赛和决赛三部分，其中循环赛前三名晋级淘汰赛.在淘汰赛中，循环赛第一和第二的两支队伍先进行一场比赛，胜者晋级最后的决赛，负者与循环赛第三名再进行一场比赛，胜者晋级决赛，败者即为本届比赛的第三名.决赛决出比赛的第一名与第二名.(1)循环赛进行九轮比赛，每支队伍都需要与其余九支队伍各进行一场比赛.中国队的主要对手包括加拿大队､瑞士队､瑞典队､英国队.若循环赛的赛程完全随机排列，则中国队在前六轮之内完成与主要对手交锋的概率是多少？(2)若中国队以循环赛第二名的成绩进入淘汰赛，同时进入淘汰赛的还有排名第一的加拿大队和排名第三的瑞士队.过往战绩表明，中国队与加拿大队对战获胜的概率为40%，与瑞士队对战获胜的概率为60%，加拿大队战胜瑞士队的概率为70%.假定每场比赛胜负的概率独立.若以随机变量X 表示中国队最终获得的名次，求其分布列和数学期望.8．（2023·江苏宿迁·江苏省沭阳高级中学校考模拟预测）为丰富学生课外生活，某市组织了高中生钢笔书法比赛，比赛分两个阶段进行：第一阶段由评委给出所有参赛作品评分，并确定优胜者；第二阶段为附加赛，参赛人员由组委会按规则另行确定.数据统计员对第一阶段的分数进行了统计分析，这些分数X 都在[70,100)内，在以组距为5画分数的频率分布直方图（设“=Y 频率组距”)时，发现Y 满足*8109,16300,N ,55(1)11,161520n n Y n n X n k n n -⎧⎪⎪=∈<+⎨⎪-⋅>⎪-⎩.（1）试确定n 的所有取值，并求k ；（2）组委会确定：在第一阶段比赛中低于85分的参赛者无缘获奖也不能参加附加赛；分数在[)95,100的参赛者评为一等奖；分数在[90,95)的同学评为二等奖，但通过附加赛有111的概率提升为一等奖；分数在[85,90)的同学评为三等奖，但通过附加赛有17的概率提升为二等奖（所有参加附加赛的获奖人员均不降低获奖等级）.已知学生A 和B 均参加了本次比赛，且学生A 在第一阶段评为二等奖.（i ）求学生B 最终获奖等级不低于学生A 的最终获奖等级的概率；（ii ）已知学生A 和B 都获奖，记A B ，两位同学最终获得一等奖的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.9．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考模拟预测）某游戏中的角色“突击者”的攻击有一段冷却时间（即发动一次攻击后需经过一段时间才能再次发动攻击）.其拥有两个技能，技能一是每次发动攻击后有12的概率使自己的下一次攻击立即冷却完毕并直接发动，该技能可以连续触发，从而可能连续多次跳过冷却时间持续发动攻击；技能二是每次发动攻击时有12的概率使得本次攻击以及接下来的攻击的伤害全部变为原来的2倍，但是多次触发时效果不可叠加（相当于多次触发技能二时仅得到第一次触发带来的2倍伤害加成）.每次攻击发动时先判定技能二是否触发，再判定技能一是否触发.发动一次攻击并连续多次触发技能一而带来的连续攻击称为一轮攻击，造成的总伤害称为一轮攻击的伤害.假设“突击者”单次攻击的伤害为1，技能一和技能二的各次触发均彼此独立：(1)当“突击者”发动一轮攻击时，记事件A 为“技能一和技能二的触发次数之和为2”，事件B 为“技能一和技能二各触发1次”，求条件概率()P B A (2)设n 是正整数，“突击者”一轮攻击造成的伤害为2n 的概率记为n P ，求n P .10．（2023春·福建南平·高三校联考阶段练习）在上海举办的第五届中国国际进口博览会中，硬币大小的无导线心脏起搏器引起广大参会者的关注．这种起搏器体积只有传统起搏器的110，其无线充电器的使用更是避免了传统起搏器囊袋及导线引发的相关并发症．在起搏器研发后期，某企业快速启动无线充电器主控芯片试生产，试产期同步进行产品检测，检测包括智能检测与人工抽检．智能检测在生产线上自动完成，包含安全检测、电池检测、性能检测等三项指标，人工抽检仅对智能检测三项指标均达标的产品进行抽样检测，且仅设置一个综合指标，四项指标均达标的产品才能视为合格品．已知试产期的产品，智能检测三项指标的达标率约为99100，9899，9798，设人工抽检的综合指标不达标率为p （01p <<）．(1)求每个芯片智能检测不达标的概率；(2)人工抽检30个芯片，记恰有1个不达标的概率为()p ϕ，求()p ϕ的极大值点0p ；(3)若芯片的合格率不超过96%，则需对生产工序进行改良．以（2）中确定的0p 作为p 的值，判断该企业是否需对生产工序进行改良．11．（2023·福建莆田·统考二模）互花米草是禾本科草本植物，其根系发达，具有极高的繁殖系数，对近海生态具有较大的危害．为尽快消除互花米草危害，2022年10月24日，市政府印发了《莆田市互花米草除治攻坚实施方案》，对全市除治攻坚行动做了具体部署．某研究小组为了解甲、乙两镇的互花米草根系分布深度情况，采用按比例分层抽样的方法抽取样本．已知甲镇的样本容量12m =，样本平均数18x =，样本方差2119s =；乙镇的样本容量18n =，样本平均数36y =，样本方差2270s =．(1)求由两镇样本组成的总样本的平均数z 及其方差2S ；(2)为营造“广泛发动、全民参与”的浓厚氛围，甲、乙两镇决定进行一次“互花米草除治大练兵”比赛，两镇各派一支代表队参加，经抽签确定第一场在甲镇举行．比赛规则：每场比赛直至分出胜负为止，胜方得1分，负方得0分，下一场在负方举行，先得2分的代表队获胜，比赛结束．当比赛在甲镇举行时，甲镇代表队获胜的概率为35，当比赛在乙镇举行时，甲镇代表队获胜的概率为12．假设每场比赛结果相互独立.甲镇代表队的最终得分记为X ，求()E X ．参考数据：2222212183888,183623328,28.8829.44,1210.81399.68,187.2933.12⨯=⨯==⨯=⨯=．12．（2023·福建厦门·统考二模）移动物联网广泛应用于生产制造、公共服务、个人消费等领域．截至2022年底，我国移动物联网连接数达18.45亿户，成为全球主要经济体中首个实现“物超人”的国家．右图是2018-2022年移动物联网连接数W 与年份代码t 的散点图，其中年份2018-2022对应的t 分别为1~5．(1)根据散点图推断两个变量是否线性相关．计算样本相关系数（精确到0.01），并推断它们的相关程度；(2)(i)假设变量x 与变量Y 的n 对观测数据为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(xn ，yn )，两个变量满足一元线性回归模型2()0,()Y bx eE e D e σ=+⎧⎨==⎩（随机误差ii i e y bx =-）．请推导：当随机误差平方和Q ＝21ni i e =∑取得最小值时，参数b 的最小二乘估计．(ii)令变量,x t t y w w =-=-，则变量x 与变量Y 满足一元线性回归模型2()0,()Y bx eE e D e σ=+⎧⎨==⎩利用(i)中结论求y 关于x 的经验回归方程，并预测2024年移动物联网连接数．附：样本相关系数()()niit t r w w -=-∑，()25176.9i i w w=-=∑，()()5127.2iii t t w w =--=∑，5160.8ii w ==∑27.7≈13．（2022秋·山东潍坊·高三统考阶段练习）学校篮球队30名同学按照1，2，…，30号站成一列做传球投篮练习，篮球首先由1号传出，训练规则要求：第()128,m m m ≤≤∈N 号同学得到球后传给1m +号同学的概率为23，传给2m +号同学的概率为13，直到传到第29号（投篮练习）或第30号（投篮练习）时，认定一轮训练结束，已知29号同学投篮命中的概率为13，30号同学投篮命中的概率为67，设传球传到第()230,n n n ≤≤∈N 号的概率为n P ．(1)求4P 的值；(2)证明：{}()1228n n P P n +-≤≤是等比数列；(3)比较29号和30号投篮命中的概率大小．14．（2022秋·山东·高三校联考阶段练习）某公司在一种传染病毒的检测试剂品上加大了研发投入，其研发的检验试剂品α分为两类不同剂型1α和2α．现对其进行两次检测，第一次检测时两类试剂1α和2α合格的概率分别为34和35，第二次检测时两类试剂1α和2α合格的概率分别为45和23．已知两次检测过程相互独立，两次检测均合格，试剂品α才算合格．(1)设经过两次检测后两类试剂1α和2α合格的种类数为X ，求X 的分布列和数学期望；(2)若地区排查期间，一户4口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员逐一使用试剂品α进行检测，如果有一人检测呈阳性，则检测结束，并确定该家庭为“感染高危户”．设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为(01)p p <<且相互独立，该家庭至少检测了3个人才确定为“感染高危户”的概率为()f p ，若当0p p =时，()f p 最大，求0p 的值．15．（2022秋·山东青岛·高三统考期末）由mn 个小正方形构成长方形网格有m 行和n 列.每次将一个小球放到一个小正方形内，放满为止，记为一轮.每次放白球的频率为p ，放红球的概率为q ，1p q +=.(1)若2m =，12p q ==，记y 表示100轮放球试验中“每一列至少一个红球”的轮数，统计数据如表：n 12345y7656423026求y 关于n 的回归方程 ln y bna =+ ，并预测10n =时，y 的值；（精确到1）(2)若2m =，2n =，13p =，23q =，记在每列都有白球的条件下，含红球的行数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望；(3)求事件“不是每一列都至少一个红球”发生的概率，并证明：()()111nmm n p q -+-≥.附：经验回归方程系数：1221ˆki ii kii x y kx ybxkx ==-⋅=-∑∑，ˆˆay bx =-，51ln 53i i i n y =⋅=∑，ln 3.8y =.16．（2023·山东枣庄·统考二模）某市正在创建全国文明城市，学校号召师生利用周末从事创城志愿活动．高三（1）班一组有男生4人，女生2人，现随机选取2人作为志愿者参加活动，志愿活动共有交通协管员、创建宜传员、文明监督员三项可供选择．每名女生至多从中选择参加2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为12；每名男生至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为12．每人每参加1项活动可获得综合评价10分，选择参加几项活动彼此互不彩响，求(1)在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生的概率；(2)记随机选取的两人得分之和为X，求X的期望．17．（2022·湖北省直辖县级单位·湖北省仙桃中学校考模拟预测）治疗慢性乙肝在医学上一直都是一个难题，因为基本不能治愈，只是可以让肝功能正常，不可以清除病毒，而且发展严重后还具有传染性，所以在各种体检中肝功能的检查是必不可少的.在对某学校初中一个班上64名学生进行体检后，不小心将2份携带乙肝的血液样本和62份正常样本（都用试管独立装好的）混在了一起，现在要将它们找出来，试管上都有标签，采用将共64份样品采用混检的方式，先将其平均分成两组，每组32份，将每组的32份进行混检，若携带病毒的在同一组，则将这一组继续取两份平均分组的混合样本进行检验，若携带病毒的样本不在同一组，则将两组都继续平均分组混检下去，直到最后将两份携带病毒的样本找出为止（样品检验时可以很快出结果，每次含病毒的那一组进行平均分组时，每个含病毒的样本被分到任意一组的概率都是12，且互不影响），设共需检验的次数为X.(1)求随机变量X的分布列和期望；(2)若5岁以上的乙肝患者急性和慢性的比例约为91：，急性乙肝炎症治愈率可达9 10，没有治愈的会转为慢性乙肝，慢性乙肝炎症治愈率只有3100，在找出两个乙肝样本后通知其进行治疗，求两人最后至少有一人痊愈的概率o P.（结果保留两位有效数字）18．（2023春·江苏南京·高三南京市第一中学校考开学考试）为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对学生体育锻炼的经常性有影响，为此随机抽查了男女生各100名，得到如下数据：性别锻炼不经常经常女生4060男生2080(1)依据0.01α=的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；(2)从这200人中随机选择1人，已知选到的学生经常参加体育锻炼，求他是男生的概率；(3)为了提高学生体育锻炼的积极性，集团设置了“学习女排精神，塑造健康体魄”的主题活动，在该活动的某次排球训练课上，甲乙丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人.求第n 次传球后球在甲手中的概率.附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++α0.0100.0050.001x α 6.6357.87910.82819．（2022秋·湖北·高三黄冈中学校联考阶段练习）随机变量的概念是俄国数学家切比雪夫在十九世纪中叶建立和提倡使用的.切比雪夫在数论､概率论､函数逼近论､积分学等方面均有所建树，他证明了如下以他名字命名的离散型切比雪夫不等式：设X 为离散型随机变量，则()()()2P X E X λλ-λ为任意大于0的实数.切比雪夫不等式可以使人们在随机变量X 的分布未知的情况下，对事件X λλ-的概率作出估计.(1)证明离散型切比雪夫不等式；(2)应用以上结论，回答下面问题：已知正整数5n .在一次抽奖游戏中，有n 个不透明的箱子依次编号为1,2,,n ，编号为()1i i n 的箱子中装有编号为0,1,,i 的1i +个大小､质地均相同的小球.主持人邀请n 位嘉宾从每个箱子中随机抽取一个球，记从编号为i 的箱子中抽取的小球号码为i X ，并记1n i i X X i==∑.对任意的n ，是否总能保证()0.10.01P X n （假设嘉宾和箱子数能任意多）？并证明你的结论.附：可能用到的公式（数学期望的线性性质）：对于离散型随机变量12,,,,n X X X X 满足1n i i X X ==∑，则有()1()ni i E X E X ==∑.20．（2022秋·湖北十堰·高三校联考阶段练习）为了丰富孩子们的校园生活，某校团委牵头，发起同一年级两个级部A 、B 进行体育运动和文化项目比赛，由A 部、B 部争夺最后的综合冠军．决赛先进行两天，每天实行三局两胜制，即先赢两局的级部获得该天胜利，此时该天比赛结束．若A 部、B 部中的一方能连续两天胜利，则其为最终冠军；若前两天A 部、B 部各赢一天，则第三天只进行一局附加赛，该附加赛的获胜方为最终冠军．设每局比赛A 部获胜的概率为()01p p <<，每局比赛的结果没有平局且结果互相独立．(1)记第一天需要进行的比赛局数为X ，求()E X ，并求当()E X 取最大值时p 的值；(2)当12p =时，记一共进行的比赛局数为Y ，求()5P Y ≤．21．（2022秋·广东广州·高三广州市真光中学校考开学考试）某企业研发了一种新药，为评估药物对目标适应症患者的治疗作用和安全性，需要开展临床用药试验，检测显示临床疗效评价指标A 的数量y 与连续用药天数x 具有相关关系.随机征集了一部分志愿者作为样本参加临床用药试验，并得到了一组数据(),i i x y ，1,2,3,4,5i =，其中i x 表示连续用药i 天，i y 表示相应的临床疗效评价指标A 的数值.根据临床经验，刚开始用药时，指标A 的数量y 变化明显，随着天数增加，y 的变化趋缓.经计算得到如下一些统计量的值：5162i i y ==∑，()()5147i i i x xy y =--=∑，51 4.79i i u =≈∑，()251 1.615i i u u =-≈∑，()()5119.38i i i u u y y =--≈∑，其中ln i i u x =.(1)试判断y a bx =+与ln y a b x =+哪一个适宜作为y 关于x 的回归方程类型？并建立y 关于x 的回归方程；(2)新药经过临床试验后，企业决定通过两条不同的生产线每天8小时批量生产该商品，其中第1条生产线的生产效率是第2条生产线的两倍.若第1条生产线出现不合格药品的概率为0.012，第2条生产线出现不合格药品约概率为0.009，两条生产线是否出现不合格药品相互独立.（i ）随机抽取一件该企业生产的药品，求该药品不合格的概率；（ii ）若在抽查中发现不合格药品，求该药品来自第1条生产线的概率.参考公式：对于一组数据()()()1122,,,,,n n x y x y x y ⋅⋅⋅，其回归直线y a bx =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121n i i in i ix x y y b x x ==--=-∑∑ ，a y bx =-$$.22．（2022·广东深圳·统考二模）2022年北京冬奥会后，由一名高山滑雪运动员甲组成的专业队，与两名高山滑雪爱好者乙、丙组成的业余队进行友谊赛．约定赛制如下：业余队中的两名队员轮流与甲进行比赛．．．．．．．．．．．．，若甲连续赢两场．．．．．则专业队获胜；若甲连续输两场．．．．．则业余队获胜：若比赛三场还没有决出胜负，则视为平局，比赛结束．已知各场比赛相。

2020届高考全国卷1数学(理)模拟试卷含答案详解-202全国卷1数学

第 1 页共 8 页 2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学模拟试题卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合}02|{2<--=x x x A ，}log |{2m x x B >=，若B A ⊆，则实数m 的取值范围（）A ．]21,(-∞ B ．]4,0( C ．]1,21( D ．]21,0( 2. 若复数z 满足232z z i +=-，其中i 为虚数单位，则z=（）A ．1+2iB ．1﹣2iC ．﹣1+2iD ．﹣1﹣2i 3．在等差数列{}n a 中，810112a a =+，则数列{}n a 的前11项和11S =( ) A. 8 B. 16 C. 22 D. 444．某几何体的三视图如图（其中侧视图中的圆弧是半圆），则该几何体的表面积为A ．9214π+B ．8214π+C ．9224π+D ．8224π+5．若)()1(*3N n xx x n ∈+ 的展开式中存在常数项，则下列选项中n 可为( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．12 6．某地区高考改革，实行“3+1+2”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“1”指在物理、历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有( )A. 8种B. 12种C. 16种D. 20种7. 已知抛物线C: 28=x y ，定点A （0，2），B （0，2-），点P 是抛物线C 上不同于顶点的动点，则∠PBA 的取值范围为（） A. 0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦ B. 42，ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C. 0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 32，ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭8．若0>ω，函数)3cos(πω+=x y 的图象向右平移3π个单位长度后与函数x y ωsin =图象重合，则ω的最小值为A.211B.25C.21D. 23 9．抛掷两枚骰子，当至少有一枚5点或6点出现时，就说这次试验成功，则在9次试验中成功次数的均值为（）。

2020年江苏省高考数学试卷（含详细解析）

保密★启用前2020年江苏省高考数学试卷—.■总分得分注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上评卷人得分1.已知集合A=(—l,0,l,2},g=(0,2,3},则AC\B=.2.己知i是虚数单位，则复数Z=(l+i)(2-i)的实部.3.己知一组数据4.2劣3—",5,6的平均数为4,则。

的值是______.4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是______.5.如图是一个算法流程图.若输出)'的值为-2,则输入.1的值是•6.在平而直角坐标系X。

)，中，若双曲线竺-22=l(a>0)的一条渐近线方程为y=2^/52 x,则该双曲线的离心率是—・7.己知.汽心)是奇函数，当官时，门刁=指，则直罚的值是8.已知sin'U+a)=二.则sin2tz的值是____.439.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.己知螺帽的底面正六边形边长为2cm.高为2cm.内孔半轻为0.5cm.则此六角螺帽右坯的体枳是—cm.10,将函数y=3sin(2wf)的图象向右平移兰个单位长度，则平移后的图象中与y轴最46近的对称轴的方程是—.11.设｛叫｝是公差为，的等差数列，(加J是公比为g的等比数列.已知数列｛”〃+“｝的前〃项和/一〃+2〃一1(〃£FT),则d+q的值是12.已知5亍八寸=1(矽苗),则J2的最小值是________.13.在△ABC中，仙=4AC=3,ZBAC=90°,D在边8C上，延长AO到F,使得AP=9.14.在平而直角坐标系xOy中.己知,0),1△是圆G”+。

-或)・=36上的两个动点，满足PA=PB，则△用8而积的最大值是二、解答题评卷人得分15.在三棱柱ABC-A\B\C｝中，AB1AC.&C1平而ABC,E,F分别是AC,3C的中点......O...........O.....I-.....O.....滨......O............O ※※寒※※即※※田※※s?I※※II※※堞※※I※※群※※点※※军浓※（1）求证：段〃平而/IF i C i：（2）求证：平面AB.CL平而ABB,.16.在△ABC中,角A. B.C的对边分别为〃，b,c,己知”=3.c=JI b=45Q.1）⑴求sinC的值:4（2）在边8C上取一点。

副题01 分段函数与函数的图象(原卷版)

2020届高考数学23题对对碰【二轮精品】第一篇副题1 分段函数与函数的图像【副题考法】本热点考题类型为选择或填空题，考查分段函数的图象、性质及分段函数求值、函数的图象、分段函数求值、复合函数求值及利用图像性质研究函数的零点、方程的解，难度为容易题或中档题或选择填空题的压轴题，长为1-2个小题，每小题5分，共5到10分.【主题考前回扣】1.函数的图象(1)对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换.(2)在研究函数性质特别是单调性、值域、零点时，要注意结合其图象研究. (3)函数图象的对称性①若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，即f (x )＝f (2a －x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称；②若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝－f (a －x )，即f (x )＝－f (2a －x )，则y ＝f (x )的图象关于点(a ，0)对称.2.函数图象的基本变换 (1)平移变换y ＝f (x )――→h ＞0，右移h <0，左移y ＝f (x －h )， y ＝f (x )――→k ＞0，上移k <0，下移y ＝f (x )＋k . (2)伸缩变换y ＝f (x )――→0<ω<1，伸ω＞1，缩y ＝f (ωx )， y ＝f (x )――→0<A <1，缩A ＞1，伸y ＝Af (x )． (3)对称变换y ＝f (x )――→x 轴y ＝－f (x )， y ＝f (x )――→y 轴y ＝f (－x )，y ＝f (x )――→原点y ＝－f (－x )．3.函数零点①定义：对于函数)(x f y =，使0)(=x f 的实数x 叫函数)(x f y =的零点.②几个等价关系：方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点． ③函数零点的判定(零点存在性定理）：如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)()(<⋅b f a f ，那么，函数y ＝f (x )在区间（a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．【易错点提醒】1. 分段函数的图象，一定要准确看清楚分界点的函数值.2. 易混淆函数的零点和函数图象与x 轴的交点，不能把函数零点、方程的解、不等式解集的端点值进行准确互化.3. 图象变换的几个注意点. (1)混淆平移变换的方向与单位长度. (2)区别翻折变换：f(x)→|f(x)|与f(x)→f(|x|). (3)两个函数图象的对称.①函数y ＝f(x)与y ＝－f(－x)的图象关于原点成中心对称.②函数y ＝f(x)与y ＝f(－x)的图象关于直线x ＝0(y 轴)对称；函数y ＝f(x)与函数y ＝－f(x)的图象关于直线y ＝0(x 轴)对称.【副题考向】考向一分段函数【解决法宝】分段函数问题常见类型与解题策略：①求函数值，弄清自变量所在的区间，然后代入对应的解析式.求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算. ②求函数值域（最值）分别求出每个区间上的值域（最值），求并集（然后比较大小）.③解不等式，根据分段函数中自变量的取值范围，化为不等式组求解.④求参数，“分段处理”，采用代入法列出各区间上方程.例1 【2020·四川三台中学实验学校开学考】定义在R 上的函数()f x 满足()()()22,012,0x x f x f x f x x --⎧≤⎪=⎨--->⎪⎩，则()2019f =（）A ．1-B ．0C ．14-D ．1【分析】【解析】考向二作函数图象【解决法宝】作函数图像有两种方法，①描点法，在利用描点法作函数图像前，先研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、极值、最值和图像的发展趋势，根据图像与性质，取关键点如最值点、极值点、与坐标轴的交点，在坐标系中描出关键点，根据图像的变化趋势用平滑曲线连接关键点，即可得到函数的图像；②图象变化法，若函数的图象可以由常见函数通过平移、伸缩或对折变换得到，常用平移法，若是含由绝对值常化为分段函数处理.例2【2020·海原一中学期末】在同一直角坐标系中，函数11,log (02a x y y x a a ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭且1)a ≠的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【分析】【解析】考向三函数图像识别【解决法宝】在识别图像前，先研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、极值、最值和图像的发展趋势，根据图像与性质，结合特殊点与特殊值对函数的图像进行判断．例3 【2020·四川三台中学实验学校开学考试】函数(),,00,2s ()()in x xe ef x x xππ-+=∈-的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【分析】【解析】考向四函数零点与方程的解【解决法宝】1.函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的类型有：(1)函数零点值大致存在区间的确定；(2)零点个数的确定；(3)两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定. 2.判断函数零点个数的主要方法：(1)解方程f (x )＝0，直接求零点；(2)利用零点存在定理；(3)数形结合法：对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个能画出的函数图象交点问题.例4【2019·上海华师大二附中月考】已知函数2,01,()1,1.x x f x x x⎧⎪=⎨>⎪⎩若关于x 的方程1()()4f x x a a R =-+∈恰有两个互异的实数解，则a 的取值范围为A ．59,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．59,44⎛⎤⎥⎝⎦C ．59,{1}44⎛⎤⎥⎝⎦D ．59,{1}44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】【解析】【副题集训】1. 【2020·山东菏泽期末】设函数()f x 的定义域为R ，满足()()2 2 f x f x +=，且()()[]12,0,1ln(2),1,2x x f x x x +⎧∈⎪=⎨+∈⎪⎩则()f e =（）A ．12e +B ．2eC ．12e -D ．()ln 2e +2. 【2020·河南许昌期末】已知函数()()1222,1{log 1,1x x f x x x --≤=-+>，且()3f a =-，则()6f a -=（）A ．74-B ．54-C ．34-D ．14- 3.【2019届广东省东莞市期末】设函数，则满足的的取值范围是（） A ．B ．C ．D ．4. 【2020·山东枣庄八中月考】||4cos x y x e =-图象可能是（）A ．B ．C ．D ．5.【2020·陕西铜川期末】函数(01)xxa y a x=<<的图像的大致形状是（） A ． B ．C ．D ．6. 【2019届安徽皖东名校联盟第二次联】若函数图象与函数的图象关于原点对称，则（） A ． B ． C ．D ．7.【2020·甘肃天水一中期末】函数ln ||()x f x x x=+的图象大致为（） A ． B ．C ．D ．8. 【2020·山东聊城期中】已知函数(1)2y f x =+-是奇函数，21()1x g x x -=-，且()f x 与()g x 的图像的交点为11(,)x y ，22(,)x y ，，66(,)x y ，则126126x x x y y y +++++++=( )A ．0B ．6C ．12D ．189.【2019届辽宁省六校协作体期末】若函数且的值域是，则实数a 的取值范围是 A ．B ．C ．D ．10.【2020·湖南长沙一中期末】已知函数()22(1),0log ,0x x f x x x ⎧+⎪=⎨>⎪⎩，若方程f （x ）＝a 有四个不同的解x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1＜x 2＜x 3＜x 4，则()3122341x x x x x ++的取值范围为（） A ．（﹣1，+∞）B ．（﹣1，1]C ．（﹣∞，1）D ．[﹣1，1）11. 【2019届河南省驻马店市期末】已知函数在上的最大值为3，则实数的取值范围是（） A ．B ．C ．D ．12. 【2020·广东韶关期末】如图，已知函数()f x 的图象关于坐标原点对称，则函数()f x 的解析式可能是（）A ．2()ln f x x x =B ．()=ln f x x xC ．ln ()xf x x=D ．()xef x x=13.【2020·广东河源二中期中】函数()f x 的图像向右平移一个单位长度，所得图像与xy e =关于x 轴对称，则()f x =（） A ．1e x --B ．1e x +-C ．1e x ---D ．1e x -+-14.【2020·安徽六安一中月考】已知函数12 ,?0()21,0x e x f x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩，若方程()()220f x bf x ++=有8个相异实根，则实数b 的取值范围 A ．()4,2--B ．(4,22)--C ．()3,2--D ．(3,22)--15. 【2019届湖北省十堰市元月调研考】已知函数，若方程恰有5个不同的根，则的取值范围是（） A ．B ．C ．D ．16.【2020·广东月考】函数2()4(2)3xf x x x ⎛⎫=--+⋅ ⎪⎝⎭的零点个数为（） A ．0B ．1C ．2D ．317.【2019届福建省三明市期末】已知函数则__________．18.【2020·辽宁月考】已知函数()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞上的偶函数,当(0,)x ∈+∞时,2(1),02()(2)1,2x x f x f x x ⎧-<≤=⎨-+>⎩,则函数2()()()g x f x f x =-的零点个数为( ) A ．4B ．5C ．6D ．719.【2020河北廊坊一中期末】已知()f x 是偶函数,当0x ≥时,202()822x x f x x x ⎧≤<=⎨-≥⎩，，,若(1)(1)f a f -<-,则a 的取值范围是( )A ．()11-，B ．()()2024-，，C ．()()()3113-∞--+∞，，， D ．()(2)02(4)-∞-+∞，，，20.【2020·安徽淮安中学月考】设函数2019,0()2020,0x e x f x x -⎧+≤=⎨>⎩，则满足()23(2)f x f x -≤-的x 取值范围是______.21.【2019届山东省滨州市期末】已知函数若方程恰有4个不同的实根，且，则的取值范围为__________．22. 【2020·上海奉贤二中月考】己知函数()()110f x x x=->，若关于x 的方程()()2[]230f x mf x m +++=有三个不相等的实数解，则实数m 的取值范围为_________.。

2020年高考数学压轴填空题闯关：以圆或隐圆为背景的填空题(解析版+原卷版)

1第五关以圆或隐圆为背景的填空题（解析版）【名师综述】直线与圆是高中数学的C 级知识点，是高中数学中数形结合思想的典型体现．近年来，高考对直线与圆的命题，既充分体现自身知识结构体系的命题形式多样化，又保持与函数或不等式或轨迹相结合的命题思路，呈现出“综合应用，融会贯通”的特色，充分彰显直线与圆的交汇价值．类型一以动点轨迹为圆考查直线与圆、圆与圆位置关系典例1．【2020江苏南京初考】已知圆O ：x 2＋y 2＝4和圆O 外一点P (0x ，0y )，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，且∠AOB ＝120°．若点C (8，0)和点P 满足PO ＝λPC ，则λ的范围是_______．【答案】1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【解析】【分析】根据4PO =可知220016x y +=，利用PO PC λ=构造方程可求得0215x λ=-；根据044x -≤≤且0λ>可解不等式求得结果．【详解】120AOB ∠=o Q ，2OA OB ==,4cos60AO PO ∴==o，即220016x y +=，又PC =PO PC λ=，()22200816x y λ⎡⎤∴-+=⎣⎦且0λ>，解得：20225115x λλλ-==-， 220016x y +=Q ，044x ∴-≤≤，21454λ∴-≤-≤，解得：1,13λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，本题正确结果：1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦。

【名师点睛】本题考查直线与圆的综合应用问题，涉及到两点间距离公式的应用、点的轨迹方程的求解；关键是能够利用λ表示出动点的横坐标，从而根据横坐标范围构造不等式．【举一反三】【2020江苏常州期末考】在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：22222210x ax y ay a -+-+-=上存在点P 到点()0,1的距离为2，则实数a 的取值范围是______．【答案】11,01,22⎡⎤⎡+⋃⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦2【解析】【分析】根据题意，求得圆C 的圆心与半径，求出以点()0,1为圆心，半径为2的圆的方程，分析可得，若圆C ：22222210x ax y ay a -+-+-=上存在点P 到点()0,1的距离为2，则圆C 与圆()2214x y +-=有交点，结合圆与圆的位置关系分析可得答案．【详解】∵圆C ：22222210x ax y ay a -+-+-=，∴()()221x a y a -+-=，其圆心(),C a a ，半径1r =．∵点P 到点()0,1的距离为2，∴P 点的轨迹为：22(1)4x y +-=。

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