常用力学知识

常用力学知识

材料力学

1 拉（压）杆内的应力

1.1

1.2斜截面；斜截面上各点处的总应力

cos cos cos a F F F p a a A A A

a

ασ=

=== 沿斜截面法线方向的正应力：

2cos cos a p a a ασσ== 沿斜截面切线方向的切应力：

2cos cos a p a a ασσ== 1.3胡克定律

N F l

l EA =

E 为弹性模量 1N

F l l E A E

σε=⇒= 横向切应变与纵向切应变的绝对值之比为一常数，称为横向变形因数或者泊松比

,ενε

=

1.4 拉压杆的强度条件

[],max

F

N A

σ≤ 2、材料的扭转 2.1薄壁圆筒扭转

A

dA r T τ=⎰

用平均半径0r 代替r ，壁厚为δ ，T 为扭矩

2A

dA A r πδ==⎰

202r T τπδ=

引进200A r π= 从而得切应力

几何方面

切应变γ和相距为l 的两端的相对扭转角ϕ之间的关系式：

剪切胡克定律

G τγ= G--称为材料的切变模量 钢材为80 GPa

2.2等直圆杆扭转 几何方面

d dx

ρϕ

γρ

= ρ--任意一点处的半径 物力方面

d G G dx

ρρϕτγρ== 静力学方面

A

dA T ρρτ=⎰

2

A

d G

dA T dx ϕρ=⎰ 引入截面的极惯性矩:2p A

dA ρI =⎰

p d T dx G ϕ=I 代入d G G dx

ρρϕτγρ==

通用公式 横截面周边上的各点处切应力最大值

引入扭转截面系数：P

P I W r

=

则有

圆截面极惯性矩

圆截面扭转截面系数

空心圆截面极惯性矩

空心圆截面扭转截面系数

对于剪切强度低于拉伸强度的材料，破坏是从杆的最外层沿横截面发生剪断产生的，对于剪切强度大于拉伸强度的材料，其破坏是由杆的最外层沿与杆轴线约成45度倾角的螺旋曲面发生拉断而产生的。 3弯曲应力

3.1梁横截面上的正应力 原理：由y

E E

σερ

== 和

1

z

M E ρ

=

I （Z E I 称为梁的弯曲刚度 ； z I 为横截面对中性轴z 的惯性矩） 则等直梁在纯弯曲时横截面上任一点处正应力的计算公式

推论：max

max z

My σ=

I 在横截面上离中性轴z 最远的各点处，正应力最大。 若令 max

z

z W y I =

称为弯曲截面系数 则：

梁正应力强度条件

[]max σσ≤ []m a x

Z

M W σ≤ 3.2梁截面上的切应力 原理：看右图, （1*111*

*

*

*

N z

A A A z

z z My dA dA y dA M

M F S σ==

==

I I I ⎰⎰⎰

*1211*

*

*

*

()N z A A A z z z

M dM y dA dA y dA M dM

M dM F S σ+==

==

I ++I I ⎰⎰⎰

''s bdx dF τ=

根据1**2'

00N x N s F F F dF =⇒--=∑

则*'

z z S dM dx b τ=⨯I 引进弯矩和剪力之间的微分关系s dM

F dx

= '

*s z

z F S b

τ=I 由切应力互等定理可知, 'ττ= ） 故有

（s F 为横截面上的剪力，*z S 为横截面上距中性轴为y 的横线以外的面积对中性

轴的静矩z I 为整个横截面对中性轴的惯性矩，b 为矩形截面的宽度）

由公式可以看出：中性轴任意一边的半个截面面积对中性轴的静矩*

z S 为最大，

所以中性轴上各点处的切应力最大 切应力实用简化计算公式：

A ——截面面积 梁切应力强度条件

[]max

ττ≤

4组合受力结构

4.1两相互垂直平面内的弯曲

横截面有两相互垂直的对称轴，且截面有棱角，则横截面上的最大正应力必发生的截面的棱角处。 4.2拉伸（压缩）与弯曲 4.2.1轴向受拉与弯曲

4.2.2偏心受拉（压）

确定中性轴位置

应力平面与横截面相交的直线（沿该线σ=0）就是中心轴。令0z ，0y 代表

中性轴上任意一点的坐标，则00221F

F y y

z y F z y A i i σ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭

=0 有中性轴方程

002210F F

y y

z y z y i i +

+=。利用在Y ,Z 轴上的截距确定。求得 2z y F

i a y =- ，2y z F i a z =- 其中z i ，y i 为截面对X 和Y 轴的惯性半径。

截面核心的确定。

当偏心拉（压）力F 的偏心距较小时，杆横截面上就可能不出现压（拉）应力。对于常用的混凝土构件、石砌体往往认为其拉伸强度为零，故在受偏心压力