2012.10微积分第2章 导数与微分

§3-1 导数的概念
二. 导数概念 3. 求导举例
求导( 函 )数 f 的三个步骤： (x)
1. 求函数增量y f(x x) - f(x);
y f(x x) - f(x) 2. 计算比值 ; x x
y f(x x) - f(x) 3. 求极限y lim lim . x 0 x x 0 x
大学生必修基础课程之一
第四讲 导数与微分
导数的概念
隐函数求导数
内容
导数的运算法则 复合函数求导数
提要
微分的概念 微分的应用
§3-1 导数的概念
内容提要
1
两个实例
2
导数的概念
3 可导与连续
4 求导举例
§3-1 导数的概念
一. 引出导数概念的两个实例 1 .变速直线运动的瞬时速度
设一物体作变速直线运动，其路程函数为 s=s(t)， 求该物体在 t0 时刻的瞬时速度.设在 t0 时刻物体的位置 为 s( t0 ).当经过 t0 + Δt 时刻获得增量 Δt 时，物体的位置 函数 s 相应地有增量 s s (t0 t ) s (t0 ), （如下图）
1 3 1 法线方程为： y 1 ( x 1) ， 即 y x . 2 2 2
§3-1 导数的概念
三. 可导与连续的关系
函数f (x )在点x0 处可导
y ( x ) y f ( x ) ( x ) lim f x 0 x x
f (x) 在点 x0 处的左导数：
f ( x0 Δx) f ( x0 ) Δy lim f ( x0 ) = lim ； Δx0 Δx Δx0 Δx
f ( x0 Δx) f ( x0 ) Δy lim f ( x0 ) = lim . Δx0 Δx Δx0 Δx
§3-1 导数的概念
二. 导数概念 3. 求导举例
例 1 求函数 y C （ C 是常数）的导数.
解： (1)求增量：因为 y C ，即不论 x 取什么值， y 的值总等于 C ，所以 y 0 ；
y (2)算比值： 0 ； x
y lim 0 0 . x 0 x x 0
y f ( x )x α(x )x lim y 0
x 0
这就是说, 函数 y f(x)在 x0 处可导 函数 y f(x)在 x0 处就连续。
§3-1 导数的概念
三. 可导与连续的关系
f ( x0 )存在 f ( x0 )存在，f ( x0 )存在 且 f ( x0 ) f ( x0 )
f (x) 在点 x0 处的右导数：
定理
§3-1 导数的概念
二. 导数概念 5. 导数的几何意义
函数 y f (x ) 在点 x0 处的导数 f ( x 0 ) 在几何上表示 函数所表示的曲线 L 在相应点 ( x0 , y0 ) 处的切线斜率.
练习： 判断正误，并将错误的 更正。 f(x) - f(0) (1) lim f (0) x0 x f(x0 ) - f(x0 - x) (2) lim f ( x0 ) x 0 x f(x0 4h) - f(x0 ) (3) lim f ( x0 ) h 0 h f(x0 h) - f(x0 - h) (4) lim f ( x0 ) h 0 h
2 cos ( x x ) x ( x x ) x sin 2 2
（2）计算比值：
y x
x x 2 cos( x ) sin . 2 2
2 cos( x
x x x ) sin sin 2 2 cos( x x ) 2 x x 2 . 2
y
L M0

Leabharlann Baidu
y f (x ) M
T
N

0
A
B
x
y f ( x0 x ) f ( x0 ) 割线M 0 M的斜率tan x x
取极限
割线斜率
？
切线斜率
在上式中，当x 0时， 动点M 定点M，割线M 0 M 切线MT
切线MT的斜率为 y tan lim tan lim x 0 x 0 x f ( x 0 x ) f ( x 0 ) lim x 0 x
O
s (t )
0
s (t
0
t)
s
于是可得到物体在这段时间内的平均速度：
s st 0 t st 0 v , t t
s st 0 t st 0 平均速度v , t t
取极限
平均速度
？
瞬时速度
在上式中，当 Δ t 很小时， v 可作为物体在 t0 时刻的瞬时 速度的近似值. 且 Δ t 越小， v 就越接近物体在 t0 时刻的瞬时 速度，即
y
L M0

y f (x ) M
T
N

0
A
B
x
§3-1 导数的概念
一. 引出导数概念的两个实例 1 .变速直线运动的瞬时速度 2 . 平面曲线的切线斜率
总结
上面两个实际例题的具体含义是很不 相同的。但是从抽象的数量关系来看， 它们的实质是一样的，都归结为：
当自变量的改变量趋向于0时，求函数的改变量 y 和自变量的改变量的比值的极限。即
f ( x0 Δx) f ( x0 ) Δy lim lim Δx0 Δx Δx0 Δx
存在，那么这个极限值称为函数 y f (x) 在点 x0 的导数. 并且说，函数 y f (x) 在点 x0 处可导，记作 f ( x0 ) ，
§3-1 导数的概念
二. 导数概念 1 .（点）导数的定义
如何求曲线的切线方程
曲线 L 上点 M ( x0 , y0 ) 处的切线方程就是 y y0 f ( x0 )( x x0 ) .
特别地，若 f ( x0 ) ，则切线垂直于 x 轴，切线 方程就是 x 轴的垂线 x x0 .
§3-1 导数的概念
二. 导数概念 5. 导数的几何意义
如何求曲线的切线方程
曲线 L 上点 M ( x0 , y0 ) 处的切线方程就是 y y0 f ( x0 )( x x0 ) .
借助于导数可以求 任意曲线的切线。
斜率 f 0 )是个常数， (x 千万别写成 函数f (x).
§3-1 导数的概念
二. 导数概念 5. 导数的几何意义
(3)取极限： y lim
即常数函数的导数等于零。
二. 导数概念
3. 求导举例
例2 求函数 y x 2 在任意点 x 处的导数.
解：在 x 处给自变量一个增量 Δx ， 相应的函数增量为 Δy f ( x Δx) f ( x) ( x Δx) 2 x 2 2 xΔx (Δx) 2 ,
点导数 f ( x0 ) 也记为:
y | x x0 ，
f ( x0 Δx) f ( x0 ) Δy lim 即 f ( x0 ) lim x0 Δx x0 Δx
df ( x) dy 或 ， dx xx0 dx xx
0
.
如果极限不存在， 我们说函数 y f (x) 在点 x0 处不可导.
x 0
lim
这种特殊的极限就叫做函数的导数。
x
§3-1 导数的概念
二. 导数概念 1 .（点）导数的定义
设函数 y f (x) 在点 x0 的某一邻域内有定义，当自变量 x 在 x0 处有增量 Δx (Δx 0, x0 Δx 仍在该邻域内)时，相应 地函数有增量 Δy f ( x0 Δx ) f ( x0 ) ， 如果 Δ y 与 Δ x 之比 Δy ，当 Δ x 0 时，极限 Δx
二. 导数概念 3. 求导举例
例 3 求函数 y sin x 的导数.（续）
x dy y x 2 lim lim cos( x ) （3） dx x0 x x0 x 2 2 x sin x 2 cos x , lim cos( x ) lim x0 2 x0 x 2 即 (sin x) cos x .用类似的方法，可求得余弦函数 y=cosx 的导数为： (cos x) sin x . sin
设曲线y f(x)的图形如右下图所示。 M 0 ( x0 , y0 )为 点 曲线上一定点，在曲线 上另取一点 M ( x0 x, y0 y )， 点M的位置取决于x，是曲线上一动点；
作割线M 0 M,设其倾角为，由图可知 割线M 0 M的斜率为 MN y tan M 0 N x f ( x 0 x ) f ( x 0 ) x
例 4 求抛物线 y x 2 在点(1,1)处的切线方程和法线方程.
解： 因为 y ( x 2 ) 2 x ，由导数的几何意义又知， 曲线 y x 2 在点(1,1)处的切线斜率为 y x1 2 x x1 2 . 故所求的切线方程为 y 1 2( x 1) , 即 y 2 x 1.
f ( x ) lim
y 1 1 lim x 0 x x 0 x x x 2 x
x3
f (3) f ( x )
f (3) (
0 3)
1 2 x
x3

1 2 3
§3-1 导数的概念
二. 导数概念 4. 左、右导数
Δy 2 x Δx , 于是 Δx
则
Δy lim lim (2 x Δx) 2 x ,即 ( x 2 ) 2 x . Δx0 Δx Δx 0
二. 导数概念
3. 求导举例
例 3 求函数 y sin x 的导数.
解： （1）计算增量：
y f ( x x ) f ( x ) sin( x x ) sin x ，
答案提示： (1)正确； (2)正确； (3)错误， 应为4 f ( x0 )； (4)错误， 应为2 f ( x0 ).
§3-1 导数的概念
二. 导数概念 2. 区间导数的定义
若函数 f ( x ) 在开区间(a,b)内每一点处都可导， 则称 函数 f ( x ) 在开区间内可导。
这时函数 y f ( x ) 对于(a,b)内每一个确定的 x ,都对应 着一个确定的导数 f ( x ) 。因此函数 f ( x ) 的导数仍可以看成 是自变量 x 的一个函数，称之为函数 f ( x ) 的导函数，简称为 f ( x ) 的导数。 dy df(x) 记为 f 或 y , , (x), dx dx f ( x x ) f ( x ) f ( x ) lim , x (a , b) . 即 x 0 x
二. 导数概念 求导练习
( x )，及f (3 )和 f (3 ) . 求函数 f ( x ) x的导数 f
解：y f ( x x ) f ( x ) x x x
y f ( x x ) f ( x ) x x x x x x x x ( x x x )
如果固定 x0 ，令 x0 Δx = x ，则当 Δx 0 时，有 x x0 ， 故函数在 x0 处的导数 f ( x0 ) 也可表为
f ( x0 ) lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) . x x0
§3-1 导数的概念
二. 导数概念 1 .（点）导数的定义
st0 t st0 s v(t0 ) lim v lim lim . t 0 t 0 t t 0 t
就是说，物体运动的瞬时速度是路程函数的增量和 时间的增量之比当时间增量趋于零时的极限.
§3-1 导数的概念
一. 引出导数概念的两个实例 2 . 平面曲线的切线斜率