2019-2020学年上海市嘉定区高一(上)期中数学试卷 (含答案解析)

2019-2020学年上海市嘉定区高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1. 若x >2m 2−3是−1<x <4的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是( )A. [−3,3]B. (−∞,−3]∪[3,+∞)C. (−∞,−1]∪[1,+∞)D. [−1,1]2. 下列命题中，一定正确的是( ) A. 若a >b ，且b ≠0，则a b >1B. 若a >b ，且ab ≠0，则1a <1bC. 若a >b ，且c >d ，则ac >bdD. 若a >b ，且c >d ，则a −d >b −c3. 不等式4x−2≤x −2的解集是( ) A. (−∞,0]∪(2，4]B. [0,2)∪[4，+∞)C. [2,4)D. (−∞,2]∪(4，+∞) 4. 已知集合A ={0,1}，B ={−1,0，a +2}，且A ⊆B ，则实数a =( )A. 0B. −1C. −2D. −3 二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）5. 设全集U ={3,4，5，6}，A ={3,5}，则∁U A =________________6. 不等式−x 2−4x +5>0的解集是________________．7. 将集合{x|(x +1)(x −2)(x 2−1)=0,x ∈R}用列举法表示为_______________．8. 已知非空集合M 满足：M ⊆{1,2,3,4,5}，且若x ∈M ，则6−x ∈M ，则满足条件的集合M 有__________个.9. 命题“若x >1，则(x −1)(x +3)>0”的等价命题是“______ ；它是______ 命题(填：“真”或“假”)．10. 设全集U ={1,2，3，4，5，6，7，8}，集合A ={1,2，3，5}，B ={2,4，6}，则图中阴影部分表示的集合为______ ．11. 设集合M ={2,0，x}，集合N ={0,1}，若N ⊆M ，则实数x =________．12. 《九章算术》第七章“盈不足”中第一题：“今有共买物，人出八，盈三钱；人出七，不足四，问人数物价各几何？”借用我们现在的说法可以表述为：有几个人合买一件物品，每人出8元，则付完钱后还多3元；若每人出7元，则还差4元才够付款.问他们的人数和物品价格？答：一共有_____人；所合买的物品价格为_______元．13. 不等式x 2+2x −3≥0的解集是__________14. 已知函数f (x )={−x,x ≤0,x 2−2x,x >0,则满足f(x)<1的x 的取值范围是________三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）15.解不等式组{3x−2x−6≤12x2−x−1>0．16.已知函数f(x)=ax2+2x+c(a,c∈N∗)满足：①f(1)=5；②6<f(2)<11．(1)求函数f(x)的表达式；(2)若对任意的x∈[1,2]，都有f(x)−2mx≥0恒成立，求实数m的取值范围．17.设集合A={x|−3≤x≤4}，B={x|2m−1<x<m+1}(1)当m=1时，求A∩B；(2)若B⊆A，求实数m的取值范围．18.已知集合A={x|(x−a)(x−3a)<0,a>0}，B={x|x=2t−2,2<t<3}．(1)若a=1，求A∩(∁R B);(2)已知p:x∈A，q:x∈B，若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．19.设集合A是一个由正整数组成的集合，并有如下性质：(i)1∈A；(ii)对任意x∈A，在A中去掉x后剩下元素的算术平均数是正整数．将具有这样性质的集合A称为创新集．(1)当集合A中的最大元素为5时，求所有的创新集A；(2)当集合A中的最大元素为2021时，求创新集A中元素个数的最大值．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据不等式的关系是解决本题的关键，为基础题．根据充分条件和必要条件的定义结合不等式之间的关系进行求解即可．【解答】解：x>2m2−3是−1<x<4的必要不充分条件，∴(−1,4)⊆(2m2−3,+∞)，∴2m2−3≤−1，解得−1≤m≤1，故选D．2.答案：D解析：【分析】本题主要考查不等关系与不等式、不等式性质，根据不等式性质举例逐一判断即可，属于基础题．【解答】解：对于A选项，当a>0且b<0时，ab<0<1，故A项错误；对于B选项，当a>0>b时，1a >0>1b，故B项错误;对于C选项，当a=2，c=−1，b=1，d=−2时，ac=bd=−2，故C项错误；对于D选项，因为a>b，c>d，所以a+c>b+d，所以a−d>b−c，故D项正确;故选D．3.答案：B解析：【分析】本题主要考查分式不等式的解法．【解答】解：①当x−2>0，即x>2时，不等式可化为(x−2)2≥4，所以x≥4，②当x−2<0，即x<2时，不等式可化为(x−2)2≤4，所以0≤x<2，综上，不等式的解集是[0,2)∪[4，+∞)．故选B．4.答案：B解析：解：集合A={0,1}，B={−1,0，a+2}，且A⊆B，可得a+2=1，解得a=−1．故选：B．利用集合的关系列出方程求解即可．本题考查集合的包含关系的应用，是基础题．5.答案：{4,6}解析：【分析】本题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．根据全集U及A，求出A的补集即可．【解答】解：∵全集U={3,4，5，6}，集合A={3,5}，∴∁U A={4,6}．故答案为{4,6}．6.答案：{x|−5<x<1}解析：【分析】本题是基础题，考查一元二次不等式的解法，考查计算能力．【解答】解：不等式−x2−4x+5>0化为：x2+4x−5<0，即(x+5)(x−1)<0，解得−5<x<1．所以不等式的解集为：{x|−5<x<1}．故答案为{x|−5<x<1}．7.答案：{1,−1,2}解析：本题考查集合的表示法．解方程得出方程的根，然后用列举法表示．【解答】解：因为(x+1)(x−2)(x2−1)=0，解得x=−1或x=2或x=±1，所以列举法得出的集合为{−1,1,2}．故答案为{−1,1,2}．8.答案：7解析：∵非空集合M⊆{1,2,3,4,5}，且若a∈S，则必有6−a∈M，那么满足上述条件的集合M可能为：{3}，{1,5}，{2,4}，{1,3,5}，{2,3,4}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}，共7个.9.答案：若(x−1)(x+3)≤0”，则x≤1；真解析：解：命题“若x>1，则(x−1)(x+3)>0”为真命题，其等价命题即命题的逆否命题，其逆否合理为：“若(x−1)(x+3)≤0”，则x≤1”，故答案为：“若(x−1)(x+3)≤0”，则x≤1”，真根据二次函数的图象和性质，可得命题“若x>1，则(x−1)(x+3)>0”为真命题，进而写出其逆否命题，可得答案．本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了四种命题，熟练掌握四种命题之间真假性的辩证关系是解答的关键．10.答案：{4,6}解析：解：由韦恩图可知阴影部分表示的集合为(C U A)∩B，∵全集U={1,2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1,2，3，5}，∴C U A={4,6，7，8}，又∵B={2,4，6}，∴(C U A)∩B={4,6}．故答案为：{4,6}由韦恩图可知阴影部分表示的集合为(C U A)∩B，根据集合的运算求解即可．本小题主要考查Venn图表达集合的关系及运算、Venn图的应用等基础知识，考查数形结合思想．属于基础题．解析：【分析】本题主要考查根据集合间的关系求参数的范文问题．由N ⊆M ，可得x 的值．【解答】解：由N ⊆M 得x =1．12.答案：7 ；53解析：解：设人数为x ，物品价格为y ，则{8x −y =37x −y =−4， 解得x =7，y =53．故答案为：7，53．本题考查了方程的应用，属于基础题．根据题意列出方程，再解方程即可；13.答案：{x|x ≤−3或x ≥1}解析： 不等式x 2+2x −3≥0可化为(x +3)(x −1)≥0，解得x ≤−3或x ≥1，∴不等式的解集是{x|x ≤−3或x ≥1}．14.答案：解析：【分析】 本题考查了一元二次不等式的解法，考查了分类讨论的数学思想方法，属中档题．【解答】解：因为函数f (x )={−x,x ≤0,x 2−2x,x >0,则f(x)<1等价于{x ≤0−x <1①或{x >0x 2−2x <1②． 解得①得−1<x ≤0，解②得0<x <1+√2√2．所以f(x)<1的x 的取值范围是(−1,1+√2).故答案为． 15.答案：解：由3x−2x−6≤1可得2x+4x−6≤0解可得，−2≤x <6 …(4分)由2x 2−x −1>0可得(2x +1)(x −1)>0解可得，x <−12或x >1 …(6分)所以，原不等式组的解为[−2,12)∪(1,6)…(8分)解析：分别求解分式不等式、二次不等式即可求解原不等式组本题主要考查了分式不等式及二次不等式的求解，属于基础试题16.答案：解：(1)由题知5=a+c+2，即c=3−a．又6<4a+c+4<11，所以−13<a<43．又a∈N∗，所以a=1，c=2，所以f(x)=x2+2x+2．(2)由已知得2(m−1)≤x+2x在x∈[1,2]上恒成立．因为当x∈[1,2]时，x+2x∈[2√2,3]，所以2(m−1)≤2√2，即m≤√2+1，所以实数m的取值范围为(−∞,√2+1]．解析：本题考查二次函数的性质及二次不等式恒成立，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力．(1)f(1)=5可得c=3−a.①，由6<f(2)<11，得6<4a+c+4<11，②联立①②可求得a，c，进而可得函数f(x)的解析表达式；(2)不等式f(x)−2mx≥0恒成立等价于2(m−1)≤x+2x 在[1,2]上恒成立．只需求出x+2x的最小值，进而即可求得结果．17.答案：解：(1)当m=1时，集合A={x|−3≤x≤4}，B={x|1<x<2}，∴A∩B={x|1<x<2}．(2)集合A={x|−3≤x≤4}，B={x|2m−1<x<m+1}B⊆A，当B=⌀时，2m−1≥m+1，解得m≥2，成立；当B≠⌀时，{2m−1≥−3m+1≤42m−1<m+1，解得−1≤m<2．综上，实数m 的取值范围是[−1,+∞)．解析：本题考查交集的求法，考查实数的取值范围的求法，考查交集、子集的定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．(1)当m =1时，集合A ={x|−3≤x ≤4}，B ={x|1<x <2}，由此能求出A ∩B ．(2)由B ⊆A ，知当B =⌀时，2m −1≥m +1，当B ≠⌀时，{2m −1≥−3m +1≤42m −1<m +1，由此能求出实数m的取值范围．18.答案：解：(1)若a =1，则A ={x|(x −1)(x −3)<0}=(1,3)，B ={x|x =2t−2,2<t <3}=(1，2)，所以∁R B =(−∞,1]∪[2,+∞)，所以A ∩(∁R B)=[2,3)．(2)因为a >0，所以A =(a,3a)，由(1)知，B =(1,2)．因为q 是p 的充分不必要条件，所以B ⫋A ，所以{a ≤13a >2或{a <13a ≥2，解得23≤a ≤1， 所以实数a 的取值范围为[23,1]．解析：本题主要考查集合的基本运算以及充分条件和必要条件的应用，利用不等式的性质是解决本题的关键．属于基础题．(1)当a =1时，求出集合A ，B ，根据集合的基本运算即可求A ∩(∁R B);(2)根据命题充分条件和必要条件的定义和关系，即可求实数a 的取值范围．19.答案：解(1)当集合A 中有2个元素时，A ={1,5}满足题意．当集合A 中有3个元素时，A{1,3，5}满足题意．当集合A 中有4个元素时，无满足题意的存在，当集合A 中有5个元素时，无满足题意的存在，综上A 的创新集为{1,5}，{1,3，5}．(2)设集合A 中的元素为1=x 1<x 2<x 3<···<x n =2021，1≤j ≤n ，均有y j =x 1+x 2+···+x n −x j n−1，对于任意1≤i≤j≤n，均有y1−y2=x j−x in−1⇒x j−x j−1n−1⇒x j−x j−1≥n−1，于是x n−x j≥(n−1)2由于(n−1)2≤2020则n≤45，又∵2021−1n−1∈N∗，即2020n−1∈N∗，⇒n=2,3,5,6,21⇒n≤21令x j=20j−19，1≤j≤20，x21=2021，则A为创新集，则创新集A中元素个数的最大值为21．解析：本题主要考查元素与集合的关系，属于较难题．(1)根据题中所给限制，即可得出相关创新集．(2)根据题中所给条件，即可推出其最大值．。