(完整)初中数学——数形结合思想(初二)
初中数学中的数形结合思想
初中数学中的数形结合思想“数缺形欠直观，形缺数难入微”，数形结合是解决数学问题最重要的数学思想方法之一.数形结合思想通过“以数助形，以形解数”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，它是数学的规律性和灵活性的有机结合.一、以数助形例1如图1，在平面直角坐标系中，A（1，1），B（5，1），C（1，4）是三角形ABC的三个顶点，求BC的长.这一题经过转化后实质上就是求平面上两点之间的距离.而在本题中△ABC是直角三角形，所以利用勾股定理可BC=AB2+AC2=5.这个问题实质上是利用数形结合的思想来推导在具体点的坐标下的两点之间的距离公式.利用同样的思想可以推导出平面上两点之间的距离公式：平面上点P1（x1，y1），P2（x2，y2），则P1P2=（x1-x2）2+（y1-y2）2.例2在直角坐标系中，已知直线l经过点（4，0），与两坐标轴围成的直角三角形的面积等于8，若一个二次函数的图象经过直线l与两坐标轴的交点，以x=3为对称轴，且开口向下，求这个二次函数的解析式，并求最大值.分析如果不画出图象，本题很难理解.由三角形的面积来确定点B的坐标时，就需要把几何问题化为代数问题，确定OB的长度后，由绝对值的双值性来决定点B的纵坐标.设直线l与x轴交点A（4，0），与y轴交点坐标B（0，m），则OA=4，OB=|m|.如由图，S△AOB=12OA?OB=12×4|m|=8，所以|m|=4.因此，B（0，4）或B′（0，-4）.由二次函数图象的对称轴为x=3，可知点A的对称点A′（2，0），则图象经过A、A′、B，或A、A′、B′.设抛物线的解析式为y=a（x-2）（x-4）.把点B或B′坐标代入，得a=12或a=-12.因为开口向下，所以，a=12不符合题意.故y=-12（x-2）（x-4），即y=-12（x-3）2+12，所以当x=3时，y最大=12.二、以形助数例3已知a、b均为正数，且a+b=2，求W=a2+4+b2+1的最小值.在本题中由求解式子的特点可以联想到构造直角三角形利用勾股定理进行处理.如图作线段ED，在ED上截取EP，DP，过点E作AC⊥ED，且使得AE=2，过点D作DB⊥ED，且使得DB=1.这种构图后可以得到两个直角三角形，所以可以使用勾股定理得到AP=a2+4，BP=（2-a）2+1，所以本题中求解的问题实质上就是求这两个直角三角形的斜边长之和最小.在图形中延长AE至点C，使得AE=EC，连接BC，由三角形两边之和大于第三边可知当B、P、C三点共线时，AP+BP 最短.所以W最小值就是线段BC的长度.下面求解a2+4+b2+1，延长BD至点F，使得DF=2，连接CF，此时构出一个直角三角形即△CBF，在这个直角三角形中CF=2，BF=3，所以W的最小值为13.例4如图4，在矩形ABCD中，AB=12 cm，BC=6 cm，点P沿AB边从A开始向点B以2 cm/s的速度移动；点Q沿DA 边从点D开始向点A以1 cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发，用t （s）表示移动的时间（0<t<6），那么：（1）当t=s 时，△QAP为等腰直角三角形.（2）若四边形QAPC的面积为S；S是否随着t的变化而变化？如果是写出它们之间的函数关系式；如果不是求出S的值.（3）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？分析第（1）题由“形”到“数”，第（2）题即函数问题，第（3）题“形”与“数”相结合，整个问题数形密切结合，知识点涉及了代数和几何两个方面.解（1）对于任何时刻t，AP=2t，DQ=t，QA=6-t.当QA=AP时，△QAP为等腰直角三角形，即6-t=2t，解得t=2 （s）.所以，当t=2 s时，△QAP为等腰直角三角形.（2）在△QAC中，QA=6-t，QA边上的高DC=12，所以S△QAC=12QA?DC=12（6-t）?12=36-6t.在△APC中，AP=2t，BC=6，所以S△APC=12AP?BC=12?2t×6=6t.所以S四边形QAPC=S△QAC+S△APC=（36-6t）+6t=36 （cm2）.由计算结果发现：在P、Q两点移动的过程中，四边形QAPC的面积始终保持不变.（也可提出：P、Q两点到对角线AC的距离之和保持不变）（3）根据题意，可分为两种情况来研究，在矩形ABCD 中：①当QA∶AB=AP∶BC时，△QAP∽△ABC，那么有（6-t）∶12=2t∶6，解得t=1.2 （s），即当t=1.2 s时，△QAP∽△ABC；②当QA∶BC=AP∶AB时，△PAQ∽△ABC，那么有（6-t）∶6=2t∶12，解得t=3 （s），即当t=3 s时，△PAQ∽△ABC.所以，当t=1.2 s或3 s时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似.“数无形不直观，形无数难入微”.总而言之，数形结合的思想在初中数学解题中，不仅能直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算推理，大大简化了解题过程.。
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数形结合思想“数（代数）”与“形（几何）”是中学数学的两个主要研究对象， 而这两个方面是紧密联系的． 体现在数学解题中， 包括“以数助形” 和“以形助数” 两个方面．“数”与“形”好比数学的“左右腿”．全面理解数与形的关系，就要从“以数助形”和“以形助数”这两个方面来体会．此外还应该注意体会“数”与“形”各自的优势与局限性，相互补充． “数缺形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事非． ”华罗庚的这四句诗很好地总结了“数形结合、优势互补”的精要， “数形结合”是一种非常重要的数学方法，也是一种重要的数学思想，在以后的数学学习中有重要的地位．一、以数助形要在解题中有效地实现“数形结合” ，最好能够明确“数”与“形”常见的结合点， ，从“以数助形”角度来看，主要有以下两个结合点： （1）利用数轴、坐标系把几何问题代数化（在高中我们还将学到用“向量”把几何问题代数化） ；（ 2）利用面积、距离、角度等几何量来解决几何问题，例如：利用勾股定理证明直角、利用三角函数研究角的大小、利用线段比例证明相似等．例 1、如图，在正△ ABC 的三边 AB 、BC 、 CA 上分别有点 D 、E 、F. 若 DE ⊥ BC ， C EF ⊥AC ，FD ⊥AB 同时成立，求点 D 在 AB 上的位置 .FE例 2、如图，△ ABC 三边的长分别是 BC=17，CA=18，AB=19. 过△ ABC 内的点 PAB向△ ABC 的三边分别作垂线 PD 、 PE 、 PF （ D 、 E 、 F 为垂足） . 若DABD CE AF 27.求： BD BF 的长 .FE例 3、已知 ABC 的三边长分别为 m 2n 2 、 2mn 及 m 2 n 2 （ m 、 n 为正PBC整数，且 m n ）。
求 ABC 的面积（用含 m 、 n 的代数式表示）。
D【海伦公式： 如果一个三角形的三边长分别是 a ，b ，c ，设 p a b ca)( p b)( p c) 。
新人教八年级 一次函数 数形结合思想
2k b 0, 0 b 2,
k 1, 解之得: b 2.
∴一次函数的关系式为y=x-2.
八年级 数学
第十九章
一次函数
章节复习
数学思想方法的归纳及应用
练习:
1.若直线y=kx+b经过第二、三、四象限，则k 过第一、三、四象限，则k 限，则k ，b . ，b ，b ；若经 ；若经过第一、二、三象
（两条射线）如图11-61所示，观察图象，回答下列ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ题.
（1）分别写出y1，y2与x之间的函数关系式；
（2）每月行驶路程等于多少时，租两家车的费用相同？
2.直线y=x+4和直线y=-x+4与x轴围成的三角形的面积是（ ） A.3 B.64 C.16 D.8
八年级 数学
第十九章 一次函数
章节复习
数学思想方法的归纳及应用
3.某单位急需用车，他们准备和一个体车主或一国营出租车公司中的一
家签订合同，设汽车每月行驶xkm，应付给个体车主的月租费是y1元，应付 给国营出租车公司的月租费是y2元，y1，y2分别与x之间的函数关系的图象
八年级 数学
第十九章
一次函数
数学思想方法的归纳及应用
数形结合法
数形结合法是指将数与形结合起来进行分析、研究、解决问题的一 种思想方法.数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍 的作用.
例1 如图11－55所示，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于 A，B两点，如果A点的坐标为A（2，0），且OA=OB，试求一 次函数的解析式. 解：设一次函数的关系式为y=kx+b(k,b为常数，且k≠0). ∵OA=OB，点A的坐标为(2，0), ∴点B的坐标为(0，-2). ∵点A，B的坐标满足一次函数的关系式y=kx+b，
初中数学课堂中的“数形结合”思想
初中数学课堂中的“数形结合”思想初中学生身心正处于少年到青年的过渡，其对知识的学习、接受正从被动学习向主动学习过渡、从感知性学习向理论性学习过渡、从分散学习向系统学习过渡。
这时学生受其社会阅历的局限，对知识的学习往往凭着个人兴趣、爱好；受其生理发展影响，对知识的学习一般持续时间有限；受其认知能力的限制，对知识的认知通常比较感性。
而初中阶段数学的学习有时是比较枯燥、抽象的，因而我们老师在课堂教学时需要考虑到学生的认知能力，将复杂问题适当简单化，将抽象问题适当具体化。
“数形结合”思想是一种非常重要的数学思想方法，教师课堂上适时地使用“数形结合”思想，可以将很抽象的数学问题形象化、具体化，将复杂的数学问题简单化、明了化，将枯燥的数学问题灵动化、兴趣化。
一、“数形结合”初见数学概念是人们对客观现象、数量关系、空间形式的认识和总结。
进入初中阶段，数学概念往往比较抽象，教师在概念教学时，如果能有意识地对抽象的数学予以直观具体的图形,那么往往可以更有效地帮助学生理解。
例如在七年级上册第一章向学生讲解棱柱的相关概念时，教师如果仅仅是语言叙述什么叫棱、什么是棱柱的侧棱，学生很难想象。
但是如果教师利用一个形象具体的物体，比如粉笔盒、六棱柱的月饼盒等，结合实物讲解，那么学生对棱柱的相关概念就会有非常直观的感受，从而顺利地接受和掌握。
“数形结合”思想不仅有助于学生理解几何概念，对于一些纯代数概念的理解和掌握也有很大帮助。
“绝对值”是有理数范围内一个非常重要的数学概念，它的建立将有理数数集缩小为非正数集，是后面学生学习集合和进行有理数运算的一个非常重要的载体。
而“绝对值”概念的建立是必须建立在“数形结合”思想之上的，它需要引导学生先在数轴上任意标出几个正数、几个负数和0，然后结合图形讲解、总结绝对值定义及其特点。
数学概念的学习是数学学习的基础，教学时要利用“数形结合”思想将复杂、抽象的概念赋予直观具体的形象，有效地强化学生对数学概念的理解，为学生后续学习打好基础。
初二数形结合题解题技巧
初二数形结合题解题技巧
1. 观察图形特点：首先要仔细观察数形结合题中的图形，寻找图形的特点和规律。
例如，图形的对称性、重复性、变化规律等。
2. 运用数学知识：根据题目所给条件和图形的特点，运用基本的几何知识和数学公式进行推理和计算。
如长度、面积、角度的计算等。
3. 利用图形的辅助线：当图形较为复杂时，可以尝试画一些辅助线来辅助解题。
通过引入辅助线，可以将问题转化为更简单的几何问题或代数问题解答。
4. 运用逻辑思维：通过分析题目中的条件和信息，利用逻辑推理思维，找到图形之间的联系和规律，从而推导出答案。
5. 多角度思考：解题时不要固守一种思维方式，可以尝试从不同角度思考问题，寻找多种可能性和解题思路。
6. 锻炼空间想象力：数形结合题通常涉及到对图形的空间变换和投影等概念，因此锻炼空间想象力能够帮助更好地理解和解决问题。
总之，解答数形结合题需要考虑到数学知识的应用，观察和分析图形特点，灵活运用解题技巧和思维方式，以及锻炼创造性和逻辑思维能力。
八年级数学数形结合的思想
内容：第二章小结与复习（1）课型：复习 时间： 学习目标：1、回顾和整理本章所学的知识内容，使学生对本章内容有全面的了解。
2、感受数形结合的思想。
3、在学习生活中获得成功的体会，增加学生学习数学的兴趣。
学习重点：建立本章知识结构和各知识简单应用。
学习难点：建立本章知识结构和各知识简单应用。
学习过程：一．学前准备：1、整理本章的知识结构图及数学思想。
本章主要的思想方法：⑴转化的思想：把复杂问题转化简单问题，把末知转化为已知的；⑵数形结合思想：勾股定理及其逆定理是数形结合的一个典型；⑶方程思想；通过勾股定理列方程是解决一些问题的重要方法；⑷分类思想：实数有两种分类方法，对于一个Rt △ABC ，在没有指明∠C ＝90°，还应考虑∠A ＝90°，∠B ＝90.本章从研究勾股定理入手，又探究了勾股定理的逆定理，寻找了勾股数，发现了勾股数的规律.应用勾股定理来引进了平方根、立方根，认识了一种新数——无理数；学习了无理数，把数的范围又扩充到实数，使有理数有关运算法则进一步的推广到实数，我们又学会了一种新的运算开方.2、回答课本第85页1、2、3、4、5的问题，并要求回答这些知识获得的过程。
二．自学、合作探究： （一）自学、相信自己：1.｜－32｜＝ ；31-＝ ；｜π－3.14｜＝ ； ｜2－1.42｜＝ .2. 3－2的相反数 ； 的相反数是310.3. 3641-的倒数是 ；32的负倒数是 .4.若实数m ，n 满足（m+n －2）2＋32+-m n ＝0，则2n －m －3= .5.绝对值等于本身的数是 ；一个数与它的绝对值的和为0，这个数是 .6.若｜a ｜＝3，b=3，则a+b ＝ .7.数轴上表示－3.14的点在表示－π的点的 边（填左、右）；表示－6的点到原点距离是 .8. 5－35-≈ （保留3个有效数字）.9.一直角三角形的两边分别为5和12，则斜边是 .10. a 、b 、c 为△ABC 三边长，b=2，且（2a －3）2+c 25-=0，则△ABC 的面积为 。
初中数学中的数形结合思想
初中数学中的数形结合思想在初中数学中，数形结合思想是解决问题的重要方法之一。
这种思想可以将图形性质问题转化为数量关系问题，或者将数量关系问题转化为图形性质问题，从而使问题更加具体化、简单化。
这种转换不仅可以提高教学质量，还可以有效地培养学生的思维素质，因此它是初中数学研究的关键所在。
数形结合思想对学生数学能力的培养非常重要，主要包括运算能力和解题能力。
数学思想是对数学知识的更高层次的概括和提炼，是培养学生数学能力的最重要的环节。
数形结合思想是初中数学研究中一个重要的数学思想，贯穿了数学教学的始终。
数形结合思想的核心是将数与形结合起来进行分析研究，通过图形的描述代数的论证来研究和解决数学问题。
它能够使复杂的问题简单化、抽象的问题具体化，将代数关系与几何图形的直观形象有机地结合起来。
在初中数学中，数形结合思想的应用主要体现在以下两个方面：一、有数思形数形结合，用形来解决数的问题和解决一些运算公式。
例如，利用数轴来讲解绝对值的概念、相反数的概念、有理数的加、减、乘、除运算等；用几何图形来推导平方差、平方和、完全平方公式以及多边形外角和定理；用函数的图像解决函数的最值问题、值域问题；用图形比较不等式的大小问题。
解这种类型题的关键是根据数结构特征构造出相应的几何图形，将概念形象化，复杂计算的问题简单化。
二、由形思数数形结合。
解决这类问题的关键是运用数的精确性来阐明形的某些属性，将图形信息转化为代数信息，利用数特征将图形问题转化为代数问题来解决。
这类问题在初中数学中也比较常见，例如用数表示角的大小和线段的大小，用数的大小比较角的大小和线段的大小；用有序实数对描述点在平面直角坐标系内的位置；用方程、不等式或者函数解决几何量的问题；用数来描述点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，直线与直线的位置关系。
在教学中，我们需要注意到任何一种解题思想方法都不是孤立的。
因此，我们需要根据具体的问题利用现有的教材，将不同的思想方法综合运用。
初中代数教学中的数形结合思想
初中代数教学中的数形结合思想数形结合思想是指通过数学符号和图形的相互转换，来帮助学生理解和解决数学问题的思维方式。
在初中代数教学中，数形结合思想可以帮助学生从图形的角度去理解代数表达式和方程式，通过代数符号的运算，也能够进一步推导和验证图形的性质和关系。
下面，我将就初中代数教学中的数形结合思想进行详细的阐述。
一、数形结合思想的基本理念数形结合思想是一种将抽象的代数符号与具体的图形形象相结合的学习方法。
通过将代数符号与具体的图形形象相对应，可以让学生更加直观地理解和解决问题。
数形结合思想的基本理念如下：2. 图形能够验证代数的推理。
通过对图形的观察和推理，可以验证代数的推理过程是否正确。
通过代数符号的运算，也可以推导和验证图形的性质和关系。
3. 数形结合思想是数学思维的重要组成部分。
数形结合思想能够激发学生的思维，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
通过数形结合思想，学生可以从不同的角度去理解和解决问题，培养学生的创造性思维。
1. 代数表达式与图形的转换在初中代数教学中，数形结合思想可以用于将代数表达式的含义转化为具体的图形形象。
学生可以通过画图的方式来理解和解释代数表达式的含义。
对于表达式2x+3，学生可以将x代表未知数，在坐标平面上画出直线y=2x+3，并通过图形的位置和斜率来解释和理解表达式的含义。
2. 图形的性质和关系的解释和验证数形结合思想也可以用于解释和验证图形的性质和关系。
在讲解线段、角、三角形等几何概念时，可以通过代数符号的运算来推导和验证图形的性质和关系。
对于两条平行线的性质，可以通过代数的角度来解释和验证其性质。
3. 解方程式的几何解释4. 几何问题的代数求解数形结合思想在初中代数教学中还可以用于几何问题的代数求解。
对于一道求解三角形面积的问题，可以通过代数的角度来求解。
通过将三角形的底和高表示为代数表达式，将其带入面积公式中，可以求解出三角形的面积。
2. 不足：数形结合思想在初中代数教学中也存在一定的不足之处。
初中代数教学中的数形结合思想
初中代数教学中的数形结合思想
数形结合思想是指在初中代数教学中，通过对数学内容的抽象表示和具体图形的展示
相结合，帮助学生更好地理解和掌握代数概念和运算方法的一种教学方法。
它可以促进学
生的空间想象力和逻辑思维能力的发展，提高数学学习的效果。
数形结合思想可以帮助学生理解代数中的符号和含义。
在学习代数中的代数式和方程时，学生可以通过图形的展示来理解各个变量和常数的含义，以及它们之间的关系。
可以
通过画图展示代数式中的各个变量表示什么，如何相互影响，从而理解代数式的意义和结
果的含义。
数形结合思想可以用于解决问题，并加深学生对代数方法的理解。
在解决实际问题时，通过将问题抽象为代数式或方程，再通过图形展示来求解，可以使学生更加直观地理解问
题的解决过程和结果。
在解决线性方程组时，学生可以先通过图形展示来确定方程组的解集，再通过代数方法求解，从而加深对线性方程组解集的理解。
数形结合思想可以帮助学生发现和总结代数中的规律和性质。
通过观察图形的展示和
变化，学生可以发现代数中的模式和规律，并通过归纳和推理来总结和证明这些性质。
在
研究等差数列和等比数列时，学生可以通过绘制图形来观察数列的特点，并通过数形结合
的思想来证明和总结数列的通项公式和性质。
数形结合思想可以促进学生的空间想象力和逻辑思维能力的发展。
通过观察和分析图形，学生需要运用空间想象力来理解图形的性质和关系，并通过逻辑思维来进行推理和证明。
这种综合运用不仅可以提高学生的数学解决问题的能力，也有助于学生培养思考和分
析的习惯。
初中代数教学中的数形结合思想
初中代数教学中的数形结合思想初中代数教学中，数学老师常常会注重数学概念的教学，而数形结合思想即是其中一种教学方式。
数形结合思想是一种将数学内容与几何图形相结合的教学方法，通过这种方法，学生可以更好地理解数学概念和规律，提高数学学习的兴趣和效果。
本文将从数形结合的理论依据、数形结合在代数教学中的应用以及数形结合思想对学生学习的影响等方面对这一教学方法进行探讨。
一、数形结合的理论依据数形结合思想的理论依据主要包括数学概念的直观理解、数学知识的全面应用以及数学思维的培养。
通过将数学概念与几何图形相结合，可以帮助学生更直观地理解抽象的数学概念。
通过绘制直角三角形的斜边与两条直角边之间的关系，可以更好地理解勾股定理。
数形结合思想能够促进学生全面应用数学知识的能力。
通过将代数式和方程式与几何图形相对应，可以激发学生的思维，帮助他们更好地理解数学知识。
数形结合思想有助于培养学生的数学思维，提高学生的数学解决问题的能力。
通过将代数和几何相结合，可以促使学生多角度、多层次地理解数学概念，培养他们的逻辑推理、分析问题和解决问题的能力。
二、数形结合在代数教学中的应用1、代数式与几何图形之间的对应关系在代数教学中，数形结合思想主要体现在代数式与几何图形之间的对应关系。
教师可以通过引导学生观察和分析各种数学概念与几何图形之间的联系，并通过练习和应用掌握代数式与几何图形之间的对应关系。
教师可以通过绘制直角三角形的三边长度与三边关系的对应，让学生理解勾股定理。
又如，教师可以通过绘制一次函数的图像与一次函数的代数式之间的对应关系，帮助学生理解一次函数的斜率与截距等概念。
2、解方程与几何问题的联系数形结合思想还体现在解方程与几何问题的联系上。
教师可以通过给定具体的几何问题，引导学生建立相应的方程，并通过解方程来解决几何问题。
教师可以引导学生通过建立一次方程来求解某一具体直角三角形的两条直角边的长度。
这样的教学方式不仅能够培养学生的数学建模能力，同时也能激发学生对数学问题的兴趣，提高数学学习的效果。
数学人教版八年级下册一次函数的数形结合思想
E点的坐标(1,1.5)或(7,-1.5)
B 4
x
E
O
1.5
1.5 E
问题5:求直线AB上是否存在一点F,使点F到y轴的 距离等0.6,若存在求出点F的坐标,若不存在,请说明 理由.
F点的坐标(0.6,1.7)或(-0.6,2.3)
问题6:
1 y x 2 在AB上是否存在一点G,使 2
1 问题3: y x 2 2
在x轴上是否存在一点P,使
S 3 ? PAB
若存在,请求出P点坐标,若不存在,请说明理由.
y A
2
P(1,0)或(7,0)
P
B 4
O
1
P 7
x
1 y x2 问题4:求直线AB 上是否存在一点E,使 2
y A
点E到x轴的距离等于1.5,若存在求出点E的坐标,若 不存在,请说明理由.
y A
1 SBOG SAOB 2
Байду номын сангаас
若存在,请求出G点坐标,若不存在,请说明理由.
2
G
G(2,1)或(6,-1)
B 4 x
O
问题7:
G
1 在AB上是否存在一点H,使 SAOH SAOB ? 4
若存在,请求出H点坐标,若不存在,请说明理由.
H(1,1.5)或(-1,2.5)
2 练习：直线 y x 2分别交x轴,y轴于A,B两 3
1.如图,直线AB与y轴,x轴交点分别为A(0,2) B(4,0)
问题1:求直线AB的解析式 及△AOB的面积.
2 y A B O 4 x
1 y x2 2
SAOB4
问题2: 当x满足什么条件时,y＞0,y＝0,y＜0,0＜x＜4 当x＜4时,y ＞ 0, 当x=4时,y = 0, 当x ＞4时,y ＜ 0, 当0＜ y＜2时, 0＜ x＜4
浅析初中数学教学中的数形结合思想
浅析初中数学教学中的数形结合思想数形结合思想是指在数学教学中，通过把数学的概念和方法与几何图形相结合，使学生能够通过观察几何图形的形状、大小、位置等特征，发现其中的数学规律，并运用数学方法进行推理和解决问题的一种教学方法。
一、激发学生学习兴趣。
数学是一门抽象的学科，许多概念和方法往往让学生感到枯燥乏味。
而通过数形结合思想，将抽象的概念转化成图形形式展示给学生，能够使学生更容易理解和接受，从而激发他们的学习兴趣。
在教学整数运算时，可以通过数线的形式，帮助学生理解正数和负数的概念，掌握其运算规律。
二、加深学生的记忆和理解。
数形结合思想能够帮助学生将抽象的概念转化成图形的形式，通过观察和感知图形，加深对数学知识的记忆和理解。
在教学平方根时，可以通过绘制正方形和边长的关系图，让学生观察其中的特点，并运用数学方法进行求解，加深对平方根的理解和记忆。
三、培养学生的空间想象能力。
数形结合思想在教学中强调几何图形的观察和分析，要求学生能够通过对图形的观察和分析，发现其中的数学规律和推理方法。
这对学生的空间想象能力有很大的要求，通过频繁的实践，学生的空间想象能力可以得到锻炼和提高。
在教学平面图形的性质时，通过观察和分析，学生可以发现平行四边形的性质，并运用数学方法进行证明，这就需要学生具备较强的空间想象能力。
数形结合思想是初中数学教学中一种有效的教学方法，能够激发学生学习兴趣，加深学生记忆和理解，培养学生的空间想象能力，提高学生的解决问题能力。
通过数形结合思想，可以使抽象的数学概念变得更加具体形象，有助于学生对数学知识的掌握和运用。
在初中数学教学中，应充分发挥数形结合思想的积极作用，提高教学质量和学生的学习效果。
探究初中数学教学中的数形结合思想
探究初中数学教学中的数形结合思想数形结合思想是指在数学教学过程中，通过运用几何图形与数学概念相结合的方法，帮助学生更加直观地理解和掌握数学知识。
在初中数学教学中，数形结合思想起到了重要的作用。
数形结合思想可以提高学生对数学概念的理解和记忆，使学生在实际操作中能够感受到抽象概念的具体含义。
在教学整数的加减法时，可以通过拿去温度表旁边的刻度来模拟正数和负数的加减法，让学生更加直观地理解正负数的概念，提高他们对整数加减法的掌握程度。
数形结合思想可以培养学生的动手能力和空间想象力。
数学中的很多概念和定理都需要依靠几何图形进行证明，通过画图展示数学问题，可以帮助学生形象地感受到问题的本质，培养他们的空间想象力和几何思维能力。
在教学三角形相似定理时，可以通过将两个相似的三角形重叠在一起，让学生发现相似三角形对应边的比例关系，进一步理解相似三角形的定义和性质。
数形结合思想还可以激发学生的兴趣和探究欲望。
在教学中，教师可以设计一些富有趣味性和探究性的问题，让学生通过观察图形、分析数据等方式进行探索和解决问题。
这样既能够提高学生的主动性和参与度，又能够引发他们对数学的兴趣，培养他们的创新思维和问题解决能力。
数形结合思想可以帮助学生建立数学与生活、实际应用之间的联系。
数学是一门抽象的学科，有时候学生难以将抽象的概念与实际生活相联系。
通过数形结合思想的教学方法，可以让学生在实际操作中体验到数学的应用，并将所学的知识与实际问题相结合。
在教学比例时，可以通过实际测量、制作图形等活动，让学生了解比例的概念在日常生活中的应用，如图纸的缩放、食谱的调整等。
初中代数教学中的数形结合思想
初中代数教学中的数形结合思想
数形结合思想是指在初中代数教学中将数学概念与几何图形相结合，通过图像的形式
帮助学生理解和掌握代数概念和运算规律。
这种思想是一种启发学生思维、激发学习兴趣
的有效教学方法。
数形结合思想的应用范围非常广泛，可以涉及到初中代数中的各个知识点。
对于一元
一次方程，可以用图像的形式解释方程的解是两条直线的交点；对于二次函数，可以通过
绘制函数图像来帮助学生理解函数的性质和特点；对于比例和相似，可以通过绘制几何图
形进行对比和观察，从而帮助学生理解比例和相似的概念和运用；对于平面几何中的应用题，可以通过建立坐标系和画出图形来分析和解决问题。
数形结合思想的具体实践包括以下几个方面：
教师可以通过引入几何图形的方式引起学生的兴趣。
在一元一次方程的教学中，可以
用几何图形解释方程的解是两条直线的交点，通过绘制直线图帮助学生理解和记忆方程的
概念和运算规律。
教师可以设计一些具体的实例来激发学生思维。
在解一元一次方程的问题时，可以先
通过绘制方程所对应的直线图来引导学生观察，然后再通过计算求解方程的解。
这样可以
让学生在具体问题中感受到数学知识的应用和实际意义。
教师还可以引导学生通过图像的变化来研究和总结代数运算规律。
在学习二次函数时，可以通过绘制函数图像来观察函数的对称性、最值点的位置等，从而帮助学生理解和记忆
函数的性质和特点。
教师还可以通过数形转换的方式帮助学生解决一些几何问题。
在平面几何中的题目中，可以通过建立坐标系和画出图形来分析和解决问题，这样既锻炼了学生的代数思维能力，
又培养了学生的几何直观。
探究初中数学教学中的数形结合思想
探究初中数学教学中的数形结合思想初中数学教学中的数形结合思想是指在数学教学中将数学知识与几何图形相结合，通过图形来帮助学生理解数学概念，加深对数学知识的认识和理解。
数形结合思想的运用可以激发学生的兴趣，提高学习效果。
下面我们就来探究一下初中数学教学中的数形结合思想。
数形结合思想可以帮助学生理解抽象的数学概念。
对于一些抽象的数学概念，学生往往很难形象地理解，容易产生死记硬背的现象。
而通过引入几何图形，可以将抽象的数学概念具象化，帮助学生更好地理解。
学习平面几何图形时，可以使用正方形、长方形等几何图形，来解释边长、面积等概念，通过图形的具体表现形式，学生可以直观地理解数学概念。
数形结合思想可以帮助学生建立数学模型。
在解决实际问题时，学生往往会遇到一些复杂的数学模型。
而通过运用数形结合思想，可以将实际问题转化为几何图形，进一步建立数学模型，有助于学生分析和解决问题。
在学习二次函数时，可以通过绘制抛物线的图形，来帮助学生理解二次函数的性质和变化规律，同时也可以用图形来解决实际问题，如求最值、求交点等。
通过将数学问题转化为几何图形，学生可以更好地理解问题，提高解决问题的能力。
数形结合思想可以加强学生的空间想象能力。
几何图形是空间的具象表现，学生在绘制和观察图形时，需要运用空间想象能力。
通过练习绘制几何图形、观察几何图形的性质等活动，可以锻炼学生的空间想象能力。
而良好的空间想象能力对于学习数学有着重要的作用，不仅能够帮助学生理解几何概念和性质，还能提高学生的思维能力，培养学生的创造力和创新能力。
数形结合思想可以激发学生的兴趣，提高学习效果。
对于很多学生来说，数学是一门枯燥的学科，容易产生学习兴趣不高的问题。
而通过引入几何图形，将抽象的数学概念转化为具象的图形，可以使数学问题变得更加有趣和形象，激发学生的学习兴趣。
学生在学习过程中，可以通过绘制图形、观察图形的性质等活动，参与到学习中来，积极主动地思考和探索，提高学习效果。
探究初中数学教学中的数形结合思想
探究初中数学教学中的数形结合思想数学教学是中小学教育中的重要一环，而数形结合思想作为数学教学的一种重要理念，对于学生的数学学习和思维能力的培养具有重要的作用。
在初中数学教学中，如何巧妙地将数和形进行结合，引导学生深入理解和灵活运用数学知识，是每位数学教师都需要思考和探索的问题。
本文将探究初中数学教学中的数形结合思想，探讨如何有效地运用这一思想提高数学教学的质量和效果。
数形结合思想是什么？数形结合思想是指在数学教学中，将数和形相结合，以形式化的数学符号和图形来表达问题、推理和结论，并通过图形化的表达来帮助学生更好地理解数学概念和知识。
数形结合思想是一种抽象与具体相结合的教学方法，可以帮助学生从具体形象的图形中感受数学规律和概念，从而增强学习的兴趣和主动性，提高学习效果。
数形结合思想在初中数学教学中的应用。
在初中数学教学中，数形结合思想可以应用于多个知识点和教学环节。
数形结合思想可以应用于几何知识的教学中。
在教学三角形的面积时，可以通过画图、计算和推理相结合的方式来深入学习和理解三角形的面积公式，并通过图形化的表达帮助学生更好地掌握和运用这一知识。
数形结合思想还可以应用于方程和函数的教学中。
在教学一元一次方程时，可以通过图形表示方程的解法，帮助学生直观地理解方程的解和解的意义。
数形结合思想还可以应用于概率和统计的教学中。
通过图形化的方式，可以帮助学生更好地理解和应用统计概率的知识，增强数学学习的趣味性和实用性。
如何有效地运用数形结合思想提高数学教学的效果。
在初中数学教学中，教师可以通过以下一些途径和方法，有效地运用数形结合思想提高数学教学的效果。
教师可以设计丰富多彩的教学内容和教学活动，运用多种形式的图形化表达方式来呈现数学内容，激发学生的学习兴趣。
教师可以引导学生自主探究和发现，鼓励学生通过图形化的表达来进行思考和解决问题，培养学生的数学思维和解决问题的能力。
教师可以在教学中注重培养学生的审美情趣和数学思维，让学生从美丽的图形中感受数学之美，激发学生对数学的喜爱和热情。
初中数学学习方法数形结合的思想
初中数学学习方法数形结合的思想
初中数学学习方法数形结合的思想
大千世界，“数”与“形”无处不在。
任何事物，剥去它的质的方面，只剩下形状和大小这两个属性，就交给数学去研究了。
初中数学的两个分支枣-代数和几何，代数是研究“数”的，几何是研究“形”的。
但是，研究代数要借助“形”，研究几何要借助“数”，“数形结合”是一种趋势，越学下去，“数”与“形”越密不可分，到了高中，就出现了专门用代数方法去研究几何问题的一门课，叫做“解析几何”。
在初三，建立平面直角坐标系后，研究函数的'问题就离不开图象了。
往往借助图象能使问题明朗化，比较容易找到问题的关键所在，从而解决问题。
在今后的数学学习中，要重视“数形结合”的思维训练，任何一道题，只要与“形”沾得上一点边，就应该根据题意画出草图来分析一番，这样做，不但直观，而且全面，整体性强，容易找出切入点，对解题大有益处。
尝到甜头的人慢慢会养成一种“数形结合”的好习惯。
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浅析初中数学教学中的数形结合思想
浅析初中数学教学中的数形结合思想
数形结合思想是指在初中数学教学中，将数学的抽象概念与几何图形相结合，通过图
形和实物的形象化呈现，使学生更好地理解和掌握数学知识。
在初中数学教学中，数形结
合思想的应用具有很大的教学价值。
数形结合思想可以帮助学生理解抽象概念。
许多数学概念对学生来说是比较抽象和难
以理解的，例如三角函数、平方根等。
通过将抽象概念与几何图形相结合，可以将抽象的
概念转化为具体的形象，使学生能够更加直观地理解和感知这些概念。
在教学三角函数时，可以通过绘制直角三角形、正弦曲线等几何图形来说明三角函数的定义和性质，从而帮助
学生更好地理解和掌握相关知识。
数形结合思想可以培养学生的几何思维能力。
几何思维是指通过几何图形的认识和构
造来解决问题的能力。
在初中数学教学中，数形结合思想可以帮助学生培养几何思维的能力。
通过将几何图形与数学知识相结合，鼓励学生从几何图形的特征和结构中寻找规律和
解决问题的思路，培养学生的逻辑思维和创造性思维能力。
在解决面积和体积的问题时，
可以通过切割和装配几何图形的方法来引导学生思考问题和解决问题，从而培养学生的几
何思维能力。
初中数学中的数形结合思想
初中数学中的数形结合思想摘要：数形结合思想是初中数学中很重要的一种思想方法，它主要是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题，它包含以形助数和以数解形两个方面。
本文从以形助数方面论述了数形结合思想在解题中的具体应用：构造几何图形解决代数问题，从而使复杂问题简单化、抽象问题具体化。
关键词：初中数学数形结合思想以形助数数与形是数学的两大支柱，它们是对立的，也是统一的。
数形结合思想，就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题，它包含以形助数和以数解形两个方面。
利用它可使复杂问题简单化、抽象问题具体化，它兼有数的严谨与形的直观之长，是一种基本的数学思想。
下面结合具体实例谈谈数形结合思想在解题中的应用：一、求最值问题例1：已知x＞0、y＞0，且x+y=10,求x2+4+y2+9的最小值。
解：如图1，作线段AB=10，在AB上截取AE=x，EB=y，过A作AC⊥AB，且AC=3，过B作BD⊥AB，且BD=2。
由勾股定理得：CE=x2+9，BE=y2+4，那么求x2+4+y2+9的最小值即求CE+ED的最小值。
如图1，延长CA至G，使AG=AC，连接GE，由三角形两边之和大于第三边知，G、E、D 三点共线时，GE+ED=DG最短。
作出图形，延长DB至F，使BF=AG，连接GF。
则在Rt△DGF中，DF=2+3=5，GF=AB=10，∴DG=DF2+GF2=102+52=55，∴CE+DE的最小值是55，即x2+4+y2+9的最小值是55。
二、判断方程根的个数问题例2：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图2所示，当0＜k＜3时，方程|ax2+bx+c|=k的根有____个。
解：作函数y=|ax2+bx+c|的图象如图3所示，当0＜k＜3时，直线y=k与函数图象有四个交点。
所以，方程y=|ax2+bx+c|=k的根有4个。
三、二次函数中三角形的面积问题例3：如图4，已知二次函数y=-x2+x+4的图象与y轴交于点A，与x轴交于B、C两点，点P为x轴上方的抛物线的一个动点，连接PA、PC，若所得△PAC的面积为S，则S取何值时，相应的点P有且只有2个？解：当x=0时y=4,所以A(0,4)；当y=0即-x2+x+4=0时，x1=-2，x2=8，所以B(-2，0)、C(8，0)，设P(a,-a2+a+4)①当0＜a＜8时，如图5所示，过点P作PD⊥x轴于点D。
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数形结合思想
“数（代数）”与“形（几何）”是中学数学的两个主要研究对象，而这两个方面是紧密联系的．体现在数学解题中， 包括“以数助形”和“以形助数”两个方面．“数”与“形”好比数学的“左右腿”．全面理解数与形的关系，就要从“以数助形”和“以形助数”这两个方面来体会．此外还应该注意体会“数”与“形”各自的优势与局限性，相互补充．“数缺形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事非．”华罗庚的这四句诗很好地总结了“数形结合、优势互补”的精要，“数形结合”是一种非常重要的数学方法，也是一种重要的数学思想，在以后的数学学习中有重要的地位．
一、以数助形
要在解题中有效地实现“数形结合”，最好能够明确“数”与“形”常见的结合点，，从“以数助形”角度来看，主要有以下两个结合点：（1）利用数轴、坐标系把几何问题代数化（在高中我们还将学到用“向量”把几何问题代数化）；（2）利用面积、距离、角度等几何量来解决几何问题，例如：利用勾股定理证明直角、利用三角函数研究角的大小、利用线段比例证明相似等． 例1、如图，在正△ABC 的三边AB 、BC 、CA 上分别有点D 、E 、F.若DE ⊥BC ，EF ⊥AC ，FD ⊥AB 同时成立，求点D 在AB 上的位置.
例2、如图，△ABC 三边的长分别是BC=17，CA=18，AB=19. 过△ABC 内的点P 向△ABC 的三边分别作垂线PD 、PE 、PF （D 、E 、F 为垂足）. 若27.BD CE AF ++=求：BD BF +的长. 例3、已知ABC ∆的三边长分别为22n m -、mn 2及22n m +（m 、n 为正
整数，且 n m >）。
求ABC ∆的面积（用含m 、n 的代数式表示）。
【海伦公式：如果一个三角形的三边长分别是a ，b ，c ，设2c b a p ++=，则))()((c p b p a p p S ---=。
】
例4、将如图的五个边长为1的正方形组成的十字形剪拼成一个正方形．
例5、如图，ABC ∆是一块锐角三角形余料，边80=AD 毫米，120=BC 毫 米，
要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC 上，其余两个定点分
别在AC AB ,上，设该矩形的长y QM =毫米，宽x MN =毫米．当x 与y
分别取什么值时，矩形PQMN 的面积最大？最大面积是多少？
例6、如图,点P 是矩形ABCD 内一点，3=PA ，PB=4，PC=5，求PD 的长．
A D
E F C B
A
P F
E D C B
2 12345-6-5-4-3-2-10B A
二、以形助数
几何图形在数学中所具有的最大的优势就是直观易懂，所以在谈到“数形结合”思想时，就更偏好于“以形助数”的方法，利用几何图形解决相关不易求解的代数问题。
几何图形直观的运用于代数中主要体现在几个方面：
（1）利用相关的几何图形帮助记忆代数公式，例如：完全平方公式与平方差公式；
（2）利用数轴及平面直角坐标系将一些代数表达式赋予几何意义，通过构造几何图形，进而帮
助求解相关的代数问题，或者简化相关的代数运算。
例1、在等腰ABC ∆中,5==AC AB ,6=BC ,P 是底边上任一点,求P 到两腰的距离的和． 例2、已知a 、b 均为正数，且2=+b a 。
求1422+++b a 的最小值。
例3、若将数轴折叠，使得A 点与－2表示的点重合，若数轴上M 、N 两点之间的距离为2012(M 在N
的左侧)，且M 、N 两点经过折叠后互相重合，则M 、N 两点表示的数分别是：M : N :
例4、数轴上标出若干个点，每相邻两点相距一个单位，点A ，B ，C ，D 分别表示整数a ，b ，c ，d ，
且d －2a ＝10，则原点在（ ）的位置
A . 点A
B . 点B
C .点C
D .点D
例5、已知关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －a ＞02－x ＞0
的整数解共有2个，则a 的取值范围是___________． 例6、如图一根木棒放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点A 重合，右端与点B 重合．
(1) 若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到B 点时，它的右端在数轴上所对应的数为20；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A 点时，则它的左端在数轴上所对应的数为5（单位：cm ），由此可得到木棒长为 cm ．
(2) 由题(1)的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题:
一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生；你若是我现在这么大，我已经125岁，是老寿星了，哈哈！”，请求出爷爷现在多少岁了？
例7、如图，图①是一块边长为1，周长记为P 1的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为12的
正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前
一块被剪掉正三角形纸板边长的12）后，得图③，④，…，记第n (n ≥3) 块纸板的周长为P n ，则
P n －P n －1= .
…
① ② ③ ④。