中考第一轮复习第18讲相似三角形

第18讲相似三角形,知识清单梳理)相似三角形的判定及性质1．判定方法(1)定义：对应角相等，对应边成比例．(2)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．(3)有两个角对应相等．(4)两边对应成比例，且夹角相等．(5)三边对应成比例．(6)直角三角形中，斜边和一条直角边对应成比例．2．性质(1)对应角__相等__，对应边__成比例__．(2)周长之比等于__相似比__；对应高线长之比、对应角平分线长之比、对应中线长之比都等于__相似比__．(3)面积之比等于__相似比的平方__．,云南省近五年高频考点题型示例)相似三角形的性质与判定【例】(2019曲靖中考)若△ADE∽△AC B，且ADAC＝23，DE＝10，则BC＝________．【解析】应用相似三角形对应边成比例的性质，注意顺序即可．【答案】151．(2019昆明中考)如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点(不与A，B重合)，对角线AC，BD 相交于点O，过点P分别作AC，BD的垂线，分别交AC，BD于点E，F，交AD，BC于点M，N.下列结论：①△APE≌△AME；②PM＋PN＝AC；③PE2＋PF2＝PO2；④△POF∽△BNF；⑤当△PMN∽△AMP时，点P是AB 的中点．其中正确的结论有( B )A．5个 B．4个 C．3个 D．2个,(第1题图)) ,(第2题图))2．(2019曲靖中考)如图，把一张三角形纸片ABC沿中位线DE剪开后，在平面上将△ADE绕着点E顺时针旋转180°，点D到了点F的位置，则S△ADE：S▱BCFD是( A )C ．1∶2D ．1∶13．(2019云南中考)如图，D 是△ABC 的边BC 上一点，AB ＝8，AD ＝4，∠DAC ＝∠B.如果△ABD 的面积为15，那么△ACD 的面积为( D )A ．15B ．10 C.152D ．5,(第3题图)) ,(第4题图))4．(2019云南中考)如图，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 上的点，若DE∥BC，AD AB ＝13，则AD ＋DE ＋AEAB ＋BC ＋AC ＝__13__．,近五年遗漏考点及社会热点与创新题)1.遗漏考点相似三角形的实际运用【例1】(2019兰州中考)如图，小明为了测量一凉亭的高度AB(顶端A 到水平地面BD 的距离)，在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC 等高的台阶DE(DE ＝BC ＝0.5 m ，A ，B ，C 三点共线)，把一面镜子水平放置在平台上的点G 处，测得CG ＝15 m ，然后沿直线CG 后退到点E 处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A ，测得EG ＝3 m ，小明身高1.6 m ，则凉亭的高度AB 约为( )A ．8.5 mB ．9 mC ．9.5 mD ．10 m【解析】根据题意容易知△ACG∽△FEG，用相似三角形的对应边成比例的性质即可解题． 【答案】A 2．创新题【例2】在四边形ABCD 中，∠B ＝90°，AC ＝4，AB ∥CD ，DH 垂直平分AC ，点H 为垂足．设AB ＝x ，AD ＝y ，则y 关于x 的函数关系用图象大致可以表示为( )ABCD【解析】先根据题意可得△DAH∽△CAB，再用相似三角形对应边成比例即可．【答案】D,课内重难点真题精练及解题方法总结)1.(2019眉山中考)“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为( B ) A．1.25尺B．57.5尺C．6.25尺D．56.5尺【方法总结】学会观察图形的已知条件，如对顶角相等，直角相等，两个角对应相等的三角形是相似三角形，将实际问题转化为相似问题求边长．,(第1题图)) ,(第2题图)) 2．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，下列说法中不正确的是( D )A．DE＝12BC B.ADAB＝AEACC．△ADE∽△ABC D．S△ADE∶S△ABC＝1∶23．如图，CD为⊙O的直径，弦AB交CD于点E，连接BD，OB.(1)求证：△AEC∽△DEB；(2)若CD⊥AB，AB＝8，DE＝2，求⊙O的半径．解：(1)∵∠AEC＝∠DEB，∠ACE＝∠DBE，∴△AEC∽△DEB；(2)设⊙O的半径为r，则CE＝2r－2.∵CD⊥AB，AB＝8，∴AE＝BE＝1 2AB＝4.∵△AEC∽△DEB，∴AEDE＝CEBE，即42＝2r－24，解得r＝5，即⊙O的半径为5.4．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，A是BDC︵的中点，AE⊥AC于A，与⊙O及CB的延长线交于点F，E，且BF︵＝AD︵.(1)求证：△ADC∽△EBA；(2)如果AB＝8，CD＝5，求tan∠CAD的值．解：(1)∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC＋∠ABC＝180°.又∵∠ABE＋∠ABC＝180°，∴∠CDA＝∠ABE.∵BF︵＝AD︵，∴∠DCA＝∠BAE.∴△ADC∽△EBA；(2)∵点A是BDC︵的中点，∴AB︵＝AC︵，∴AB＝AC＝8.∵△ADC∽△EBA，∴∠CAD＝∠AEC，DCAB＝ACAE，即58＝8AE，∴AE＝645，∵AE⊥AC，∴△AEC是直角三角形，∴tan∠CAD＝tan∠AEC＝ACAE＝8645＝58.请完成精练本第24页作业2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，在平行四边形ABCD 中，AB 4=，BAD ∠的平分线与BC 的延长线交于点E ，与DC 交于点F ，且点F 为边DC 的中点，DG AE ⊥，垂足为G ，若DG 1=，则AE 的边长为( )A ．23B ．43C ．4D ．82．若数a 使关于x 的不等式组至少有3个整数解，且使关于y 的分式方程＝2有非负整数解，则满足条件的所有整数a 的和是( ) A.14B.15C.23D.243．如图，已知矩形 AOBC 的三个顶点的坐标分别为 O(0，0)，A(0，3)， B(4，0)，按以下步骤作图：①以点 O 为圆心，适当长度为半径作弧， 分别交 OC ，OB 于点 D ，E ；②分别以点 D ，E 为圆心，大于12DE 的长为半径作弧，两弧在∠BOC 内交于点 F ；③作射线 OF ，交边 BC 于点 G ，则点 G 的坐标为( )A ．(4，43) B ．(43，4) C ．(53，4) D ．(4，53) 4．如图是洛阳市某周内日最高气温的折线统计图，关于这7天的日最高气温说法正确的是（ ）A.众数是28B.中位数是24C.平均数是26D.方差是85．已知△ABC，D是AC上一点，尺规在AB上确定一点E，使△ADE∽△ABC，则符合要求的作图痕迹是（）A. B.C. D.6．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数(0)kyxx=>的图象交矩形OABC的边AB于点D，交边BC于点E，且BE＝2EC．若四边形ODBE的面积为6，则k为（）A．3 B．4 C．6 D．127．不等式组21331563xxx+≥-⎧⎪-⎨--⎪⎩＞的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．8．如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1，连结AD1，BC1．若∠ACB ＝30°，AB＝1，CC1＝x，△ACD与△A1C1D1重叠部分的面积为s，则下列结论：①△A1AD1≌△CC1B②当x＝1时，四边形ABC1D1是菱形③当x＝2时，△BDD1为等边三角形④s＝32（x﹣2）2（0＜x＜2），其中正确的有（）A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个9．在去年的体育中考中，某校6名学生的体育成绩统计如下表： 成绩 17 18 20 人数231则下列关于这组数据的说法错误的是（ ） A ．众数是18B ．中位数是18C ．平均数是18D ．方差是210．如图，点P 是∠AOB 内任意一点，∠AOB ＝30°，OP ＝8，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，则△PMN 周长的最小值为（ ）A ．5B ．6C ．8D ．1011．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c ，其函数y 与自变量x 之间的部分对应值如表所示： x … ﹣1 2 3 … y…4…则可求得24b b ac+-（4a ﹣2b+c ）的值是（ ）A.8B.﹣8C.4D.﹣412．若不等式组无解，则m 的取值范围是（ ） A.B.C.D.二、填空题13．如图，已知半⊙O 的直径AB 为3，弦AC 与弦BD 交于点E ，OD ⊥AC ，垂足为点F ，AC=BD ，则弦AC 的长为________.14．化简(232128++的结果为_____.15．若m 为任意实数，则关于x 的一元二次方程211(3)(2)142x x m m ---=+实数根的个数为_______. 16．某校为了加强学生的综合体能素质，准备购买些体育用品，已知购买5个篮球和3个足球共需900元，购买3个篮球和5个足球共需860元，则篮球和足球的售价分别是多少元？设篮球的售价是x 元，足球的售价是y 元，依题意，可列出方程组为_____．17．用一组a ，b 的值说明命题“若a 2＞b 2，则a ＞b”是错误的，这组值可以是a=____，b=____． 18．如图，从多边形一个顶点出发作多边形的对角线，试根据下面几种多边形的顶点数、线段数及三角形多边形：顶点个数f1: 4 5 6 …线段条数e: 5 7 9 …三角形个数v1: 2 3 4 …三、解答题19．习题改编．原题：梯形ABCD，AD∥BC，∠B＝90°，∠DCB＝60°，BC＝4，AD＝2，△PMN，PM＝MN＝NP＝a，BC与MN 在一直线上，NC＝6，将梯形ABCD向左翻折180°．（1）向左翻折二次，a≥2时，求两图形重叠部分的面积；（2）向左翻折三次，重叠部分的面积等于梯形ABCD的面积，a的值至少应为多少？（3）向左翻折三次，重叠部分的面积恰好等于梯形ABCD的面积的一半，求a的值．20．已知关于x的不等式组523(-1), 138222x xx x a+>⎧⎪⎨≤-+⎪⎩有四个整数解,画出数轴求实数a的取值范围.21．如图所示，函数y1＝kx+b的图象与函数2myx=（x＜0）的图象交于A（a﹣2，3）、B（﹣3，a）两点．（1）求函数y1、y2的表达式；（2）过A作AM⊥y轴，过B作BN⊥x轴，试问在线段AB上是否存在点P，使S△PAM＝3S△PBN？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．22．如图，两根竹竿AB和AC斜靠在墙BD上，量得37ABD∠=︒，45ACD∠=︒，cmBC50=，求竹竿AB和AC的长(结果精确到0.1cm).(参考数据：sin370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan370.75︒≈，2 1.41≈).23．为更精准地关爱留守学生，某学校将留守学生的各种情形分成四种类型：A．由父母一方照看；B．由爷爷奶奶照看；C．由叔姨等近亲照看；D．直接寄宿学校．某数学小组随机调查了一个班级，发现该班留守学生数量占全班总人数的20%，并将调查结果制成如下两幅不完整的统计图．（1）该班共有名留守学生，B类型留守学生所在扇形的圆心角的度数为；（2）将条形统计图补充完整；（3）已知该校共有2400名学生，现学校打算对D类型的留守学生进行手拉手关爱活动，请你估计该校将有多少名留守学生在此关爱活动中受益？24．已知：如图，在菱形ABCD中，AB＝AC，点E、F分别在边AB、BC上，且AE＝BF，CE与AF相交于点G．（1）求证：∠FGC＝∠B；（2）延长CE与DA的延长线交于点H，求证：BE•CH＝AF•AC．25．如图，矩形CDEF两边EF、FC的长分别为8和6，现沿EF、FC的中点A、B截去一角成五边形ABCDE，P是线段AB上一动点，试确定AP的长为多少时，矩形PMDN的面积取得最大值．【参考答案】***一、选择题二、填空题1314．315．216．5390035860x y x y +=⎧⎨+=⎩17．3a =-， 1b =-18．f+v-e=1 三、解答题19．（1（2）8；（3）2)cm ．【解析】【分析】（1）因为∠DCB=60°，△PMN 也是等边三角形，这样容易知道△EGN 也是等边三角形，易求GN=2，所以求两图形重叠部分的面积就可以求出；（2）如图，等边三角形的边长MN=GN+HG+MH ，其中只要求MH ，利用已知解Rt △KHM 就可以了；（3）若现在重叠部分的面积等于直角梯形ABCD 的面积的一半，如图首先判断HG 的大小，梯形ABCD 的面积可以直接求出；然后设HG 为x ，根据已知条件可以得到关于x 的方程，解方程就可以得到题目的结果．【详解】解：（1）∵CB ＝4，CN ＝6，∴GN ＝2．又∵∠PNM ＝60°且∠EGN ＝60°，∴△EGN 为正三角形．∴△EGN 的高为h∴S △EGN ＝12（2）在直角梯形ABCD 中，∵CD ＝4，∠DCB ＝60°，∴AB ＝在Rt △KHM 中，tan30°＝MH KH，MH＝23×33＝2，∴MN＝2+4+2＝8；（3）S梯形ABCD＝12（2+4）•23＝63．当MP经过H点时，交D′G于F，则 S△HGF＝12×4×23＝43＞12S梯形ABCD．∴HG＜4，设HG＝x，则有h′＝3x．∴S公共部分＝12x•3x＝3x2．∴3x2＝33，解得：x＝23或﹣23（舍去）．∵GN＝2，∴等边三角形PNM的边长a为（23+2）cm．【点睛】本题考查了翻折变换及直角梯形的知识，难度较大，图形变换比较复杂，考查了等边三角形的性质，面积计算，也考查了解直角三角形的知识，综合性比较强，注意后面两问表述的重叠面积的大小．20．-3≤a<-2【解析】【分析】先分别解两个不等式，分别求出它们的解集，再根据不等式组有四个整数解列出关于a的不等式求解即可. 【详解】解:523(-1), 1382, 22x xx x a+>⎧⎪⎨≤-+⎪⎩①②解不等式①得:x>-52,解不等式②得:x≤a+4,∵不等式组有四个整数解,∴不等式组的解集在数轴上表示为:∴1≤a+4<2,解得:-3≤a<-2.【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分.不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解. 不等式组的解集在数轴上表示时，空心圈表示不包含该点，实心点表示包含该点.21．（1）14y x =+，23y x =-；（2）存在，P 53,22⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【解析】【分析】（1）把A 、B 两点坐标代入直线AB 解析式可求得A 、B 两点的坐标，再把B 点坐标代入反比例函数解析式可求得k ，可求得函数y 2的表达式；（2）设出P 点坐标为（x ，x ＋4），根据三角形的面积关系可得到关于x 的方程，可求得P 点坐标．【详解】解：（1）∵A 、B 两点在函数2m y x=（x ＜0）的图象上， ∴3（a ﹣2）＝﹣3a ＝m ，∴a ＝1，m ＝﹣3，∴A （﹣1，3），B （﹣3，1），∵函数y 1＝kx+b 的图象过A 、B 点， ∴331k b k b -+=⎧⎨-+=⎩， 解得k ＝1，b ＝4∴y 1＝x+4，y 2＝3x-； （2）由（1）知A （﹣1，3），B （﹣3，1），∴AM ＝BN ＝1，∵P 点在线段AB 上，∴设P 点坐标为（x ，x+4），其中﹣1≤x≤﹣3，则P 到AM 的距离为h A ＝3﹣（x+4）＝﹣x ﹣1，P 到BN 的距离为h B ＝3+x ，∴S △PBN ＝12BN•h B ＝12×1×（3+x ）＝12（x+3）， S △PAM ＝12AM•h A ＝12×1×（﹣x ﹣1）＝﹣12（x+1）， ∵S △PAM ＝3S △PBN ，∴﹣12（x+1）＝32（x+3），解得x ＝﹣52，且﹣1≤x≤﹣3，符合条件， ∴P （﹣52，32）， 综上可知存在满足条件的点P ，其坐标为（﹣52，32）．【点睛】本题主要考查一次函数和反比例函数的交点问题，在（1）中掌握交点坐标满足两函数解析式是解题的关键，在（2）中用P 点坐标分别表示出△PBN 和△PAM 的面积是解题的关键．22．竹竿AB 的长约为250.0cm ，竹竿AC 的长约为211.5cm .【解析】【分析】在Rt ΔACD 和Rt ΔABD 中，利用三角函数用AD 分别表示出CD 、AC 、BD 和AB 的长，根据BC+CD=BD 列出方程，可求出AD 的长，进而可得答案.【详解】∵在Rt ΔACD 中，AD tan ACD CD ∠=，AD sin ACD AC∠=，ACD 45∠=︒， ∴AD CD AD tan45==︒，AD AC 2AD sin45==︒. 在Rt ΔABD 中，AD tan ABD BD ∠=，AD sin ABD AB∠=，ABD 37∠=︒， ∴AD BD tan37=︒，AD AB sin37=︒， ∵BC CD BD +=，BC 50=，∴AD 50AD tan37+=︒. ∴50tan37AD 150.001tan37︒=≈-︒. ∴AC 2AD 211.5=≈，AD AB 250.0sin37=≈︒. 答：竹竿AB 的长约为250.0cm ，竹竿AC 的长约为211.5cm .【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键.23．（1）10，144；（2）详见解析；（3）96【解析】【分析】（1）依据C类型的人数以及百分比，即可得到该班留守的学生数量，依据B类型留守学生所占的百分比，即可得到其所在扇形的圆心角的度数；（2）依据D类型留守学生的数量，即可将条形统计图补充完整；（3）依据D类型的留守学生所占的百分比，即可估计该校将有多少名留守学生在此关爱活动中受益．【详解】解：（1）2÷20%＝10（人），410×100%×360°＝144°，故答案为：10，144；（2）10﹣2﹣4﹣2＝2（人），如图所示：（3）2400×210×20%＝96（人），答：估计该校将有96名留守学生在此关爱活动中受益．【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．24．（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）先利用菱形的性质判断△ABC为等边三角形得到∠B＝∠BAC＝60°，再证明△ABF≌△CAE得到∠BAF ＝∠ACE，然后利用角度代换可得到结论；（2）如图，先证明△BCE∽△DHC得到BE CECD CH，然后利用等线段代换可得到结论．【详解】（1）∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC，而AB＝AC，∴AB＝BC＝AC，∴△ABC 为等边三角形，∴∠B ＝∠BAC ＝60°，在△ABF 和△CAE 中AB CA B CAE BF AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABF ≌△CAE （SAS ），∴∠BAF ＝∠ACE ，∵∠FGC ＝∠GAC+∠ACG ＝∠GAC+∠BAF ＝∠BAC ＝60°，∴∠FGC ＝∠B ；（2）如图，∵四边形ABCD 为菱形，∴∠B ＝∠D ，AD ∥BC ，∴∠BCE ＝∠H ，∴△BCE ∽△DHC ， BE CE CDCH ∴=， ∵△ABF ≌△CAE ，∴CE ＝AF∵CA ＝CB ＝CD ，∴BE AF AC CH=， ∴BE•CH＝AF•AC．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；同时灵活运用相似三角形的性质进行几何计算．也考查了菱形的性质．25．当AP ＝52时，矩形PMDN 的面积取得最大值． 【解析】【分析】 延长MP ，交EF 于点Q ，设AP 的长x ，矩形PMDN 的面积为y ，由△APQ ∽△ABF 得到AQ ＝45x ，PQ ＝35x ，则y ＝PN·PM＝(45x ＋4)( 6－35x ) ＝2121224255x x -++，然后根据二次函数的性质求得当AP ＝52时，矩形PMDN 的面积取得最大值.【详解】解：延长MP，交EF于点Q．设AP的长x，矩形PMDN的面积为y．∵四边形CDEF为矩形，∴∠C＝∠E＝∠F＝90°．∵四边形PMDN为矩形，∴∠PMD＝∠MPN＝∠PND＝90°．∴∠PMC＝∠QPN＝∠PNE＝90°．∴四边形CMQF、PNEQ为矩形．∴MQ＝CF，PN＝QE，且PQ∥BF．∵EF、FC的中点分别为A、B，且EF＝8，CF＝6，∴AF＝4， BF＝3，∴AB＝5∵PQ∥BF，∴△APQ∽△ABF．∴AQ PQ APAF BF AB==．即435AQ PQ x==．解得AQ＝45x，PQ＝35x．∴PN＝QE＝AQ＋AE＝45x＋4，PM＝MQ－PQ＝6－35x．∴y＝PN·PM＝(45x＋4)( 6－35x) ＝2121224255x x-++．当x＝1255122225-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭时，y取得最大值．即当AP＝52时，矩形PMDN的面积取得最大值．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质以及二次函数的应用，根据相似三角形对应边成比例用AP的长表示出AQ和PQ是解题关键.2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．下列命题中真命题是（）A．若a2=b2,则a=b B．4的平方根是±2C．两个锐角之和一定是钝角 D．相等的两个角是对顶角2．如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B （﹣1，0），则①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＜0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中正确的个数是（）A.1B.2C.3D.43．如图，AB是⊙O的真径，点C、D在⊙O上，若∠ABD=50°．则∠BCD的度数为（）A．25°B．30°C．35°D．40°4．如果x1，x2是两个不相等的实数，且满足x12﹣2x1＝1，x22﹣2x2＝1，那么x1•x2等于（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣15．如图，直线y＝kx+b交坐标轴于A、B两点，则不等式kx+4＜0的解集是（）A.x＜﹣3B.x＞﹣3C.x＜﹣6D.x＞﹣66．如图所示的正三棱柱，它的主视图、俯视图、左视图的顺序是（）A.①③②B.②①③C.③①②D.①②③7．直线y=2x 关于x 轴对称的直线是（ ）A ．1y x 2=B ．1y x 2=-C ．y 2x =D ．y 2x =-8．联欢会主持人小亮、小莹、大明三位同学随机地站成一排，小亮恰好站在中间的概率是( )A ．16B ．12C ．13D ．239．下列运算正确的是（ ）A ．236a a a ⋅=B ．22423a a a +=C ．236(2)2a a -=-D ．422()a a a ÷-= 10．下列命题中是真命题的是（ ）A ．相等的圆心角所对的弧相等B ．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形C ．旋转对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角D ．圆的任意一条直径都是它的对称轴 11．如图，四边形ABCD 是半圆的内接四边形，AB 是直径，»»DCCB =．若110C ∠=︒，则ABC ∠的度数等于（ ）A ．55︒B ．60︒C ．65︒D ．70︒12．下列计算正确的是（ ）A ．a 2•a 2＝2a 4B ．（﹣a 2）3＝a 4C ．3a 2﹣6a 2＝﹣3a 2D ．（a ﹣3）2＝a 2﹣9 二、填空题13．如图，在∆ABC 中，AB=AC=10，E ，D 分别是AB ，AC 上的点，BE=4，CD=2，且BD=CE ，则BD=________________．14．已知一个正数的平方根是3x －2和5x －6，则这个数是_____．15．如图，小明自制一块乒乓球拍，正面是半径为8cm 的⊙O ，»AB ＝90°，弓形ACB （阴影部分）粘贴胶皮，则胶皮面积为_____．16．已知(－1，y 1)，(2，y 2)是直线y ＝2x ＋1上的两点，则y 1____y 2.(填“＞”“＝”或“＜”)17．要使二次根式在实数范围内有意义，则x 的取值范围是______． 18．分式方程2111x x x+=-+的解为_____． 三、解答题19．如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，以AB 为直径作O e ，交AC 于点D .过点D 作O e 的切线DE ，交BC 于点E .（1）求证：EB EC =.（2）填空：①当BAC ∠=_________︒时，CDE ∆为等边三角形；②连接OD ，当BAC ∠=_________︒时，四边形OBED 是菱形.20．先化简，再求值：222441,24x x x x x -+⎛⎫-÷= ⎪-⎝⎭其中 21．如图，已知：△ABC 的外接圆⊙O 的圆心O 在等腰△ABD 的底边AD 上，点E 为弧AB 上的一点，AB 平分∠EAD ，∠C ＝60°，AB ＝BD ＝3．（1）求证：BD 是⊙O 的切线；（2）求图中阴影部分的面积．22．如图，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数y ＝m x(x ＞0)的图象交于点P(n ，2)，与x 轴交于点A(－4,0)，与y 轴交于点C ，PB ⊥x 轴于点B ，点A 与点B 关于y 轴对称．(1)求一次函数、反比例函数的解析式；(2)求证：点C为线段AP的中点．23．已知二次函数y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣1（m为常数）．（1）证明：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；（2）当自变量x的值满足﹣3≤x≤﹣1时，与其对应的函数值y的最大值为﹣5，求m的值．24．如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥BC交AD于点E，连接BE，点F是BE上一点，连接CF．（1）如图1，若∠ECD＝30°，BC＝4，DC＝2，求tan∠CBE的值；（2）如图2，若BC＝EC，过点E作EM⊥CF，交CF延长线于点M，延长ME、CD相交于点G，连接BG交CM 于点N且CM＝MG，①在射线GM上是否存在一点P，使得△BCP≌△ECG？若存在，请指出点P的位置并证明这对全等三角形；若没有，请说明理由．②求证：EG＝2MN．25．为缓解某学校大班额现状，某市决定通过新建学校来解决该问题．经测算，建设6个小学，5个中学，需费用13800万元，建设10个小学，7个中学，需花费20600万元．（1）求建设一个小学，一个中学各需多少费用．（2）该市共计划建设中小学80所，其中小学的建设数量不超过中学建设数量的1.5倍．设建设小学的数量为x个，建设中小学校的总费用为y万元．①求y关于x的函数关系式；②如何安排中小学的建设数量，才能使建设总费用最低？（3）受国家开放二胎政策及外来务工子女就读的影响，预计在小学就读人数会有明显增加，现决定在（2）中所定的方案上增加投资以扩大小学的就读规模，若建设小学总费用不超过建设中学的总费用，则每所小学最多可增加多少费用？【参考答案】***一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 B B D D C A D C D CA C二、填空题13．21314．115．32+48π．16．＜17． 18．x ＝﹣3三、解答题19．（1）详见解析；（2）45BAC ∠=︒【解析】【分析】（1）根据切线的性质，证1C ∠=∠，得DE CE =，EB EC =.（2）根据等边三角形性质可推出；根据菱形性质进行分析即可.【详解】证明：（1）如图，连接OD .∵BE 是O e 的切线，DE 是O e 的切线，∴DE BE =，90B ODE ∠=∠=︒，∴90C A ∠+∠=︒，1290∠+∠=︒.∵OA OD =，∴2A ∠=∠，∴190A ∠+∠=︒，∴1C ∠=∠，∴DE CE =，∴EB EC =.（2）①若CDE ∆是等边三角形，∴60C ∠=°，∵90B ∠=︒，∴30BAC ∠=︒.②若四边形OBED 是菱形，∵90ODE B ∠=∠=︒，∴90AOD ∠=︒.∵AO OD =，∴45BAC ∠=︒.【点睛】考核知识点：切线的性质，多边形性质.掌握圆的基本性质是关键.20．2,1x x+ 【解析】【分析】先计算括号内的减法，然后把分式的除法转换为乘法的形式，通过约分将分式化为最简形式后，再把x 的值代入进行计算即可．【详解】解： 222441,4x x x x -+⎛⎫-÷ ⎪-⎝⎭ ()()()2222,2x x x x x +--=⋅- 2.x x+=当x 时，1= 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．21．（1）证明见解析；（2）2π . 【解析】【分析】（1）连接OB ，根据圆的基本性质，证OB ⊥BD ，即可得BD 是⊙O 的切线；（2）连接OE 、BE ，在Rt △OBD中，∠D ＝30°，BD ＝3，得OB E ，B 是半圆周的三等分点，得EB ∥AO ，证得S △ABE ＝S △OBE ，根据S 阴影＝S 扇形OEB 可得.【详解】（1）证明：连接OB ，∵∠C ＝60°，∴∠AOB ＝2∠C ＝120°，∵OA ＝OB ，∴∠BAO ＝∠ABO ＝30°，∴AB ＝BD ，∠BAO ＝∠D ＝30°，∴∠ABD ＝180°﹣∠BAO ﹣∠D ＝120°，∴∠OBD ＝∠ABD ﹣∠ABO ＝120°﹣30°＝90°，即OB⊥BD，∴BD是⊙O的切线；（2）连接OE、BE，在Rt△OBD中，∠D＝30°，BD＝3，∴OB＝3，∵AB平分∠EAD，∴∠EAB＝∠BAO＝30°，∴∠EOB＝∠BOD＝60°，∴E，B是半圆周的三等分点，又∵OE＝OB，∴△OBE是等边三角形，∴∠OEB＝∠AOE＝60°，∴EB∥AO，∴S△ABE＝S△OBE，∴S阴影＝S扇形OEB＝260(3)2ππ⨯⨯=．【点睛】考核知识点：扇形面积和切线性质.根据所求找出相应条件，是关键.22．（1）8yx=，114y x=+；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）由A、B关于y轴对称，可知B点坐标，进而知道P点坐标，就可求一次函数、反比例函数的解析式；（2）利用平行线等分线段定理可求证明．【详解】（1）∵A（-4，0），点A与点B关于y轴对称，∴B（4，0），∵PB⊥x轴于点B，∴P（4，2），把P（4，2）代入y=mx，求得m=8，∴y=8x．把A（-4，0）和P（4，2）代入一次函数y=kx+b中，4042k b k b -+⎧⎨+⎩＝＝ ∴141k b ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝∴y=14x+1． （2）∵PB ⊥x 轴，y 轴⊥x 轴，∴PB ∥y 轴，∵A 、B 关于y 轴对称，∴O 为AB 中点，∴点C 为线段AP 的中点．【点睛】本题运用了待定系数法求一次函数和反比例函数解析式的知识点，还运用了平行线分线段成比例定理的知识点，体现了数形结合的数学思想．23．（1）见解析；（2）m 的值为﹣5或1．【解析】【分析】（1）根据判别式的值得到△＝﹣4＜0，然后根据判别式的意义得到结论；（2）利用配方法得到y ＝﹣（x ﹣m ）2﹣1，则抛物线的对称轴为直线x ＝m ，讨论：当m ＜﹣3时，根据二次函数性质得到x ＝﹣3时，y ＝﹣5，所以﹣（﹣3﹣m ）2﹣1＝﹣5；当﹣3≤m≤﹣1时，x ＝m ，y 的最大值为﹣1，不合题意；当m ＞﹣1时，利用二次函数的性质得到x ＝﹣1时，y ＝﹣5，所以﹣（﹣1﹣m ）2﹣1＝﹣5，然后分别解关于m 的方程即可得到满足条件的m 的值．【详解】（1）证明：△＝4m 2﹣4×（﹣1）×（﹣m 2﹣1）＝﹣4＜0，所以﹣x 2+2mx ﹣m 2﹣1＝0没有实数解，所以不论m 为何值，该函数的图象与x 轴没有公共点；（2）解：y ＝﹣x 2+2mx ﹣m 2﹣1＝﹣（x ﹣m ）2﹣1，抛物线的对称轴为直线x ＝m ，当m ＜﹣3时，﹣3≤x≤﹣1，y 随x 的增大而减下，则x ＝﹣3时，y ＝﹣5，所以﹣（﹣3﹣m ）2﹣1＝﹣5，解得m 1＝﹣5，m 2＝﹣1（舍去）；当﹣3≤m≤﹣1时，x ＝m ，y 的最大值为﹣1，不合题意；当m ＞﹣1时，﹣3≤x≤﹣1，y 随x 的增大而增大，则x ＝﹣1时，y ＝﹣5，所以﹣（﹣1﹣m ）2﹣1＝﹣5，解得m 1＝1，m 2＝﹣3（舍去）；综上所述，m 的值为﹣5或1．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y ＝ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．24．（1）3；（2）①详见解析；②详见解析.【解析】【分析】(1)由平行四边形的性质和已知条件得出∠BCE＝∠CED＝90°，由直角三角形的性质得出DE＝12CD＝1，CE＝3，由三角函数定义即可得出结果；（2）①由等腰直角三角形的性质得出∠MCG＝∠MGC＝45°，由线段垂直平分线的性质得出CP＝CG，得出∠CPM＝∠CGM＝45°，求出∠PCG＝90°，得出∠BCP＝∠ECG，由SAS证明△BCP≌△ECG即可；②由全等三角形的性质得出BP＝EG，∠BPC＝∠EGC＝45°，得出∠BPG＝90°，证出BP∥MN，得出BN＝GN，MN是△PBG的中位线，由三角形中位线定理得出BP＝2MN，即可得出结论．【详解】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵CE⊥BC，∴CE⊥AD，∴∠BCE＝∠CED＝90°，∵∠ECD＝30°，DC＝2，∴DE＝12CD＝1，∴CE＝3，∴tan∠CBE＝3 CEBC；（2）①解：在射线GM上存在一点P，MP＝MG时，△BCP≌△ECG；理由如下：如图2所示：∵CM＝MG，∴△CMG是等腰直角三角形，∴∠MCG＝∠MGC＝45°，∵MP＝MG，EM⊥CF，∴CP＝CG，∴∠CPM ＝∠CGM ＝45°，∴∠PCG ＝90°，∴CP ⊥CG ，∵∠BCE ＝∠PCG ＝90°，∴∠BCP ＝∠ECG ，在△BCP 和△ECG 中，BC EC BCP ECG CP CG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCP ≌△ECG （SAS ）；②证明：由①得：△BCP ≌△ECG ，∴BP ＝EG ，∠BPC ＝∠EGC ＝45°，∴∠BPG ＝90°，∴BP ∥MN ，∵PM ＝GM ，∴BN ＝GN ，∴MN 是△PBG 的中位线，∴BP ＝2MN ，∴EG ＝2MN【点睛】本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、三角函数等知识；本题综合性强，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．25．（1）建设一个小学需800万元，一个中学需1800万元；（2）①y=＝﹣1000x+144000（0＜x≤48且x 是整数）；②中小学建设数量为：48个小学，32个中学；（3）每所小学最多可增加400万元的费用．【解析】【分析】(1)先设建设一个小学需x 万元，一个中学各需y 万元，根据建设6个小学，5个中学，需费用13800万元，建设10个小学，7个中学，需花费20600万元列出方程组，求出x ，y 的值即可；(2)①根据建设小学的总费用+建设中学的总费用＝y ，列式化简可得，根据小学的建设数量不超过中学建设数量的1.5倍列不等式可得x 的取值；②根据x 的取值可计算建设总费用最低时，中小学建设的数量；(3)根据建设小学总费用不超过建设中学的总费用，列不等式可得结论．【详解】(1)设建设一个小学需x 万元，一个中学各需y 万元，根据题意得：651380*********x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：8001800x y =⎧⎨=⎩， 答：建设一个小学需800万元，一个中学各需1800万元，(2)①∵建设小学的数量为x个，∴建设中学的数量是(80﹣x)个，x≤1.5(80﹣x)，x≤48，由题意得：y＝800x+1800(80﹣x)＝﹣1000x+144000(0＜x≤48且x是整数)；②∵﹣1000＜0，∴y随x的增大而减小，∴当x＝48时，y有最小值，此时中小学建设数量为：48个小学，32个中学；(3)设每所小学可增加a万元的费用，由题意得：48(800+a)≤1800×32，a≤400，则每所小学最多可增加400万元的费用．【点睛】本题考查了一次函数、二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，找出之间的数量关系，列出二元一次方程组和一元一次不等式组，注意x只能取整数．。