数学建模生产计划有关问题解析

201数学建模生产计划
摘要
本文主要研究足球生产计划的规划问题。

对于问题一足球总成本包括生产成本与储存成本，又由于足球各月的生产成本、储存成本率及需求量已知，故各月足球的生产量对总成本起决定因素。

在此建立总成本与足球生产量之间的关系，运用Matlab求出了总成本的最优解。

对于问题二储存成本率的大小影响了储存成本的高低，要使总成本最低，在储存成本率变化的情况下必须不断调整足球各月生产量，我们在Matlab中运用散点法，取了501个点，进而对图形进行线性拟合，得出储存成本率减小时各月足球生产量的变化情况。

对于问题三考虑到储存容量不能用储存成本率直接由函数表达，因此在Matlab 采用散点法结合表格分析法对501个点进行分析可得到储存成本率为0.39%时，储存容量达到最大。

关键词：最优解散点法线性拟合表格分析法
问题的重述
皮革公司在6个月的规划中根据市场调查预计足球需求量分别是10,000、15,000、30,000、35,000、25,000和10,000，在满足需求量的情况下使总成本最低，其包括生产成本及库存成本。

根据预测，今后六个月的足球的生产单位成本分别是$12.50、$12.55、$12.70、$12.80、$12.85和$12.95，而每一个足球在每个月中的持有成本是该月生产成本的5%。

目前公司的存货是5,000，每个月足球最大产量为30,000，而公司在扣掉需求后，月底的库存量最多只能储存10,000个足球。

问题一、建立数学模型，并求出按时满足需求量的条件下，使生产总成本和储存成本最小化的生产计划。

问题二、如若储存成本率降低，生产计划会怎样变化？
问题三、储存成本率是多少时？储存容量达到极限。

问题的分析
问题一要求在足球的需求量一定的情况下，使生产总成本和储存成本最小。

又足球的生产成本和储存成本率已知，故只需要建立生产总成本和储存成本与各月足球的生产量之间的优化模型，运用Matlab即可求出足球生产总成本和储存成本的最优化组合。

问题二需要求出在生产总成本和储存成本最低的条件下，生产计划随储存成本率变化而变化的情况，即储存成本率降低，各月足球生产量的变化趋势。

因为生产总成本和储存成本与各月足球生产量并非线性关系，在此，我们采用散点法，在Matlab中求出总成本与各月足球生产量一系列的点，进而对其进行拟合，分析出生产计划随储存成本率变化而变化的情况。

问题三要求在储存容量达到极限时的成本率的大小。

根据各月生产率随持有费变化而变化的关系，可求得尽量使每个月的库存量达到最大，但因四月初只有1万件产品，四月产量只有3万件，而四月需求量为3.5万件，因而四月末库存只有0.5万件。

又直接建立储存容量与储存成本率的函数关系较为困难。

在此，采取表格分析法，将各月生产量随储存成本变化进一步细化，来取得当储存量达到极限时储存成本率的值。

问题的假设
1、公司预计需求量与实际需求量不影响公司的生产计划；
2、足球的月生产量均以万为单位；
符号约束
a：第i个月足球的生产成本（i=1,2， (6)
i
b：第i个月足球的储存量（i=1，2， (5)
i
c：第i个月足球的需求量(i=1，2， (6)
i
x：第i个月足球的生产量（i=1,2， (6)
i
r：储存成本率
W：足球生产的总成本
模型的建立与求解
设总成本=生产总成本+存储成本，即
[]6
1
()i i i i i i W x a x b ra ==++∑； （式5-1）
其中，i a 为第i 个月足球的生产成本、r 为储存成本率，数据在问题中均已给出。

i b 为第i 个月足球的储存量，其值为第i-1个月足球的储存量与其生产量之和减去第i-1个月的销售量。

即
111i i i i b b x c ---=+-,（i=2,3,…6）；（式5-2）
已给出第一个月的库存为0.5万件，即10.5b =；（式5-3）
又公司月底的库存量最多只能储存1万个足球，故1i b ≤；（式5-4） 公司每个月足球的最大产量是3万个，所以3i x ≤；（式5-5） 又第4各月足球的需求量为3.5万个，则40.5b ≥；（式5-6） 根据问题，可建立以下表格
一月 二月 三月 四月 五月 六月 单位成本 12.5 12.55 12.7 12.8 12.85 12.95 需求量（万）
10
15
30
35
25
10
（一）总成本最小值的求解
此问中，已给出r =0.5,将已知数据带入（5-1），可得
12345611223344556612.512.5512.712.812.8512.955%[12.5()12.55()12.7()12.8()12.85()12.95()]
W x x x x x x x y x y x y x y x y x y =+++++++++++++++++；（式5-7）
经化简得
12345616.317515.742515.26514.7314.1413.597516.08375W x x x x x x =+++++-；（式5-8） 其中：
1121231234123451234560.5 1.5;23;56;8.59.5;1112;1213;03,1,2,3,4,5,6;
i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x i ≤≤≤+≤
≤++≤≤+++≤≤++++≤≤+++++≤≤≤=
用MATLAB 求解得：（程序见附表）
[0.5,2,3,3,2.5,1]
162.4835
x W ==
即每月产量如下
使用Matlab绘制储存成本率r下降时各月产量散点图得：（程序见附录1）
图一：生产量随储存成本率变化总图
由于总图数据过于冗杂，因而进一步对总图进行了分解得到以下的分图：
00.51 1.52 2.53 3.54 4.55
储存成本
生
产
量(
万)
00.51 1.52 2.53 3.54 4.55
储存成本
生
产
量(
万)
00.51 1.52 2.53 3.54 4.55
储存成本
生
产
量(
万)
00.51 1.52 2.53 3.54 4.55
储存成本
生
产
量(
万)
00.51 1.52 2.53 3.54 4.55
储存成本
生
产
量(
万)
00.51 1.52 2.53 3.54 4.55
储存成本
生
产
量(
万)
图2：生产量随储存成本率变化总图
图1：生产量随存储成本变化图
由图可见，
1、当存储成本下降至1.1% ，二月份产量增加0.5万件，三月份产量减少0.5
万件，其他不变；
2、当存储成本下降至0.7%，三月份及五月份产量均增加0.5万件，四月份
及六月份产量均减少0.5万件，其他不变；
3、当存储成本下降至0.5%，四月份产量增加0.5万件，六月份产量减少0.5
万件，其他不变；
4、当存储成本下降至0.4%，一月份产量增加0.62万件，二月份产量减少0.62
万件，其他不变；
5、当存储成本下降至0.3%，一月份产量增加0.38万件，二月份产量减少0.38
万件，其他不变；
持有费r 一月份产量二月份产量三月份产量四月份产量五月份产量六月份产量5% 0.5 2 3 3 2.5 1
1.10% 0.5
2.5 2.5 3 2.5 1
0.70% 0.5 2.5 3 2.5 3 0.5 0.50% 0.5 2.5 3 3 3 0
0.40% 1.12 1.88 3 3 3 0
0.30% 1.5 1.5 3 3 3 0
表2：持有费改变时各月产量
（三）储存容量达到极限时，储存成本率的求解
某皮革公司生产足球，它必须确定每个月生产多少足球。

该公司决定以6个月为一个规划周期；根据市场调查，今后6个月的预计需求量分别是10,000、15,000、30,000、35,000、25,000和10,000.该公司希望按时满足这些需求量。

它目前的存货是5,000，该公司可以用该月的生产量来满足该月的需求量（公司有一整个月的时间来生产，而需求则在月底发生）；在每个月中，该公司的最大产量是30,000个足球，而公司在扣掉需求后，月底的库存量最多只能储存10,000个足球。

预测今后六个月的足球的生产单位成本分别是$12.50、$12.55、$12.70、$12.80、$12.85和$12.95；而每一个足球在每个月中的持有成本是该月生产成本的5%。

（这个成本包含了库存的成本和将货物搁置在仓库的成本。

）而足球的销售金额和这次的生产决策无关，因为不管销售的金额为何，该公司都打算尽可能满足顾客的需求，因此该公司希望确定使生产总成本和储存成本最低的生产计划。

建立数学模型，并求出按时满足需求量的条件下，使生产总成本和储存成本最小化的生产计划。

如果降低，生产计划会怎样变化？储存成本率是多少时？储存容量达到极限。