2013届高三人教A版文科数学一轮复习课时作业(53)直线与圆锥曲线的位置关系B)

y2＝2px，
∴y1y2＝－p2. p ∵BC∥x 轴，且点 C 在准线 x＝－ 上， 2 p ∴点 C 的坐标为 －2，y2. y2 2p y1 kCO＝ ＝ ＝ ＝kOA，故 AC 过原点 O. p y1 x1 － 2 15．[解答] (1)∵点 M 到(－ 3，0)，( 3，0)的距离之和是 4， ∴M 的轨迹 C 是长轴长为 4，焦点在 x 轴上，焦距为 2 3的椭圆， x2 其方程为 ＋y2＝1. 4 (2)将 y＝kx＋ 2代入曲线 C 的方程， 消去 y，整理得(1＋4k2)x2＋8 2kx＋4＝0.① 设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由方程①， 8 2k 4 得 x1＋x2＝－ ，x x ＝ .② 1＋4k2 1 2 1＋4k2 又 y1· y2＝(kx1＋ 2)(kx2＋ 2)＝k2x1x2＋ 2k(x1＋x2)＋2.③ → → 若以 PQ 为直径的圆过原点，则OP· OQ＝0， 所以 x1x2＋y1y2＝0， 6 将②、③代入上式，解得 k＝± . 2 6 6 又因 k 的取值应满足 Δ>0， 即 4k2－1>0(*)， 将 k＝± 代入(*)式知符合题意． ∴k＝± . 2 2 【难点突破】 16．[解答] (1)设 F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0)，因为|PF2|＝|F1F2|，所以 a－c2＋b2＝2c，整 c 2 c c c 1 1 理得 2 a ＋a－1＝0，得a＝－1(舍)，或a＝2，所以 e＝2.
图 K53－1 12．抛物线 y2＝4x 过焦点的弦的中点的轨迹方程是________． x2 y2 13．[2011· 连云港调研] 双曲线 2－ 2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线将平面划分为“上、 a b 下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(1,2)在“上”区域内，则双曲线离心率 e 的取值范 围是________．
14．(10 分)设抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点为 F，经过焦点 F 的直线交抛物线于 A、B 两 点，点 C 在抛物线的准线上，且 BC∥x 轴，证明：直线 AC 经过原点 O.
15．(13 分)[2011· 湖南四市九校联考] 在直角坐标系 xOy 中，点 M 到点 F1(－ 3，0)、 F2( 3，0)的距离之和是 4，点 M 的轨迹是 C，直线 l：y＝kx＋ 2与轨迹 C 交于不同的两点 P 和 Q. (1)求轨迹 C 的方程； (2)是否存在常数 k，使以线段 PQ 为直径的圆过原点 O？若存在，求出 k 的值；若不存 在，请说明理由．
a 3b ＝|OA|，所以点 C 的横坐标为 ，代入椭圆方程得纵坐标为 .因为∠OAB＝30° ， 2 2 3b 3 a 所以 ＝ × ，即 a＝3b，a2＝9a2－9c2， 2 3 2 2 2 所以 8a2＝9c2，所以离心率 e＝ . 3 2 12．y ＝2(x－1) [解析] 抛物线焦点为 F(1,0)，设弦的端点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点 y1－y2 y 2 P(x， y)， 则 y2 y2 ＝4x2， 作差得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)①.将 y1＋y2＝2y， ＝ 1＝4x1， x1－x2 x－1 y 代入①式，得 2y· ＝4， x－1 即 y2＝2(x－1)． b＋2a>0， 13．(1， 5) [解析] 双曲线的渐近线为 bx± ay＝0，依题意有 即 b<2a，所 b－2a<0， c 以 c2－a2<4a2，那么 e＝ < 5.又 e>1，所以 e∈(1， 5)． a p p 14．[解答] 证明：设过焦点 F 2，0的直线 AB 的方程为 x＝my＋2，A(x1，y1)，B(x2， y2)． p x＝my＋2， 由 消去 x，得 y2－2pmy－p2＝0，
难点突破
课时作业(五十三)B
【基础热身】 1．A [解析] 双曲线的右顶点到右焦点的距离最小，最小值为 2.故选 A. 2．B [解析] 当直线经过椭圆中心时，被椭圆截得的弦最长，将此时直线方程 y＝x 代 2 2 4 10 入椭圆方程，得弦的一个端点的坐标为 M ， ，于是弦长为 2|OM|＝ .故选 B. 5 5 5 3．C [解析] 抛物线的焦点为(1,0)，设弦 AB 所在的直线方程为 y＝－x＋1 代入抛物线 方程，得 x2－6x＋1＝0.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝6，x1x2＝1，由弦长公式，得|AB| ＝ 2×62－4×1＝8.故选 C. 4．y＝x [解析] 由题意知，抛物线 C 的方程 y2＝4x. y2 1＝4x1， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1≠x2， 2 y2＝4x2， y － y 4 1 2 2 y2 ＝ ＝1， 1－y2＝4(x1－x2)，所以 x1－x2 y1＋y2 l：y－2＝x－2，即 y＝x. 【能力提升】 5．C [解析] 因为直线 l 是抛物线的准线，根据抛物线的定义，圆心 M 到 F 的距离等 于 M 到抛物线准线 l 的距离．所以动圆 M 恒过抛物线的焦点 F(1,0)．故选 C. |－4| 6．B [解析] 依题意，圆心到直线的距离大于半径，即 >2，所以 m2＋n2<4， m2＋n2 x2 y2 该不等式表明点(m，n)在以原点为圆心，2 为半径的圆内，而这个圆又在椭圆 ＋ ＝1 内， 9 4 所以过点(m，n)的直线与椭圆有 2 个交点．故选 B. 7．C [解析] 由题意知△F1MF2 是直角三角形，且|F1F2|＝2c，∠MF2F1＝30° ， 2 2 2 2 2 c 2c c 4c c 4c 所以|MF1|＝ ，于是点 M 坐标为－c， .所以 2－ 2＝1，即 2－ 2 2 ＝1，将 a 3b a 3c －a 3 3 c 1 e＝ 代入，化简整理，得 3e4－10e2＋3＝0，解得 e2＝ (舍去)，或 e2＝3，所以 e＝ 3.故选 a 3 C. 8．A [解析] 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，将 y＝1－x 代入椭圆方程，得(a＋b)x2－2bx＋b x1＋x2 b b －1＝0，则 ＝ ，即线段 AB 中点的横坐标为 ，代入直线方程 y＝1－x 得纵坐 2 a＋b a＋b a a 3 标为 ，所以过原点与线段 AB 中点的直线的斜率为 ＝ .故选 A. b 2 a＋b 1 9．C [解析] 设直线 l 方程为 y＝kx，代入双曲线方程得(k2－1)x2＝1，∴x＝± 2 ， k －1 k y＝± 2 ， k －1 k 1 ∴两交点的坐标为 A 2 ， 2 ， k － 1 k －1 1 k B－ 2 ，－ 2 ， k －1 k －1 2 2k 2＝(2 2)2，解得 k＝± 3， 由两点间距离公式得，|AB|2＝ 2 2＋ 2 k －1 k －1 ∴倾斜角为 60° 或 120° . a2＋b2 c2 10．2 [解析] 依题意，S△A1A2B＝ab≤ ＝ ＝2，所以△A1A2B 面积的最大值为 2 2 2. 2 2 11. [解析] 设椭圆的半焦距为 c.因为四边形 OABC 为平行四边形， ∵BC∥OA， |BC| 3
所以|AB|＝
x ＝5c， 3 3 y ＝ 5 c.
2 2
8
8 3 3 不妨设 A c， B(0， － 3c)， c ， 5 5
8c2＋3 3c＋ 3c2 ＝16c. 5 5 5
5 于是|MN|＝ |AB|＝2c. 8 圆心(－1， 3)到直线 PF2 的距离 |－ 3－ 3－ 3c| 3|2＋c| d＝ ＝ . 2 2 |MN|2 2 因为 d2＋ 2 ＝4 ， 3 所以 (2＋c)2＋c2＝16，整理得 7c2＋12c－52＝0. 4 26 x2 y2 得 c＝－ (舍)，或 c＝2.所以椭圆方程为 ＋ ＝1. 7 16 12
课时作业(五十三)B [第 53 讲 直线与圆锥曲线的位置关系] [时间：45 分钟 分值：100 分] x2 y2 1．双曲线 － ＝1 上的点到双曲线的右焦点的距离的最小值是( ) 9 16 A．2 B．3 C．4 D．5 x2 2．斜率为 1 的直线被椭圆 ＋y2＝1 截得的弦长的最大值为( ) 4 2 5 4 10 4 5 2 10 A. B. C. D. 5 5 5 5 3．过抛物线 y2＝4x 的焦点作倾斜角为 135° 的弦 AB，则 AB 的长度是( ) A．4 B．4 2 C．8 D．8 2 4．设抛物线 C 的顶点为原点，焦点 F(1,0)，直线 l 与抛物线 C 相交于 A，B 两点，若 AB 的中点(2,2)，则直线 l 的方程为________． 能力提升 5．动圆 M 的圆心 M 在抛物线 y2＝4x 上移动，且动圆恒与直线 l：x＝－1 相切，则动 圆 M 恒过点( ) A．(－1,0) B．(－2,0) C．(1,0) D．(2,0) x2 y2 6．若直线 mx＋ny＝4 和圆 O：x2＋y2＝4 没有交点， 则过点(m，n)的直线与椭圆 ＋ ＝ 9 4 1 的交点个数为( ) A．至多 1 个 B．2 个 C．1 个 D．0 个 x2 y2 7．双曲线 2－ 2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是 F1，F2，过 F2 作倾斜角为 150° 的 a b 直线交双曲线左支于 M 点，若 MF1 垂直于 x 轴，则双曲线的离心率为( ) A. 6 B. 5 C. 3 D. 2 8．椭圆 ax2＋by2＝1 与直线 y＝1－x 交于 A、B 两点，过原点与线段 AB 中点的直线的 3 a 斜率为 ，则 的值为( ) 2 b 3 2 3 9 3 2 3 A. B. C. D. 2 3 2 27 9．过原点的直线 l 被双曲线 y2－x2＝1 截得的弦长为 2 2，则直线 l 的倾斜角为( ) A．30° 或 150° B．45° 或 135° C．60° 或 120° D．75° 或 105° x2 y2 10．已知双曲线 2－ 2＝1(a>0，b>0)的两个顶点分别为 A1、A2，一个虚轴端点为 B，若 a b 它的焦距为 4，则△A1A2B 面积的最大值为________． x2 y2 11．如图 K53－1，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 为椭圆 E： 2＋ 2＝1(a>b>0)的左顶 a b 点，B，C 在椭圆 E 上，若四边形 OABC 为平行四边形，且∠OAB＝30° ，则椭圆 E 的离心 率等于________． 基础热身
(2)由(1)知 a＝2c，b＝ 3c，可得椭圆方程为 3x2＋4y2＝12c2，直线 PF2 的方程为 y＝ 3 (x－c)． 2 2 2 3x ＋4y ＝12c ， A，B 两点的坐标满足方程组 消去 y 并整理，得 5x2－8cx＝0.解得 x1 y ＝ 3 x － c ，
x1＝0， 8 ＝0， x2＝ c.得方程组的解 5 y1＝－ 3c，
图 wenku.baidu.com53－2
x2 y2 16．(12 分)[2011· 天津卷] 设椭圆 2＋ 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P(a， a b b)满足|PF2|＝|F1F2|. (1)求椭圆的离心率 e； (2)设直线 PF2 与椭圆相交于 A，B 两点，若直线 PF2 与圆(x＋1)2＋(y－ 3)2＝16 相交于 5 M，N 两点，且|MN|＝ |AB|，求椭圆的方程． 8