(全国通用)2017年高考数学大二轮专题复习 全真模拟试题1 理

2017年高考全真模拟试题(一)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，考试时间120分钟，满分150分．第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{x |y ＝x －4}，B ＝{x |－1≤2x －1≤0}，则(∁R A )∩B ＝( ) A ．(4，＋∞)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，4 D ．(1,4]答案 B解析 由题意得，A ＝[4，＋∞)，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，∴(∁R A )∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，故选B. 2．设复数z 1＝2－i ，z 2＝a ＋2i(i 是虚数单位，a ∈R )，若z 1·z 2∈R ，则a 等于( ) A ．1 B ．－1 C ．4 D ．－4答案 C解析 依题意，复数z 1z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i 是实数，因此4－a ＝0，a ＝4，选C.3．已知命题p ：若a <b ，则ac 2<bc 2；命题q ：∃x 0>0，使得x 0－1－ln x 0＝0，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∨(綈q )C ．(綈p )∧qD ．(綈p )∧(綈q )答案 C解析 依题意，对于p ，注意到当c ＝0时，ac 2＝bc 2，因此命题p 是假命题；对于q ，注意到当x 0＝1时，x 0－1－ln x 0＝0，因此命题q 是真命题，命题綈p 是真命题，p ∧q 是假命题，p ∨(綈q )是假命题，(綈p )∧q 是真命题，(綈p )∧(綈q )是假命题．综上所述，选C.4．某单位员工按年龄分为A ，B ，C 三组，其人数之比为5∶4∶1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，若C 组中甲、乙二人均被抽到的概率是145，则该单位员工总数为( )A ．110B ．100C ．90D ．80答案 B解析 设C 组有n 人，则1C 2n ＝145，n ＝10，∴共有10×(5＋4＋1)＝100人，故选B.5.设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，a 2－8a 5＝0，则S 8S 4的值为( )A.12B.1716 C ．2 D ．17答案 B解析 设{a n }的公比为q ，依题意得a 5a 2＝18＝q 3，因此q ＝12.注意到a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝q 4(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)，即有S 8－S 4＝q 4S 4，因此S 8＝(q 4＋1)S 4，S 8S 4＝q 4＋1＝1716，选B.6．若(x 2－a )⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 10的展开式中x 6的系数为30，则a 等于( )A.13B.12 C ．1 D ．2答案 D解析 依题意，注意到⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 10的展开式的通项公式是T r ＋1＝C r 10·x 10－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 10·x 10－2r，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 10的展开式中含x 4(当r ＝3时)、x 6(当r ＝2时)项的系数分别为C 310、C 210，因此由题意得C 310－a C 210＝120－45a ＝30，由此解得a ＝2，选D.7．[2016·陕西质量检测]如图，给出的是计算12＋14＋16＋…＋12016的值的程序框图，其中判断框内应填入的是( )A ．i ≤2021?B ．i ≤2019?C ．i ≤2017?D ．i ≤2015?答案 C解析 由题知，判断框内可填“i ≤2016？”或“i ≤2017？”或“i <2017？”或“i <2018？”，故选C.8．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π24的值为( )A ．－62 B ．－32C ．－22D ．－1答案 D解析 由图象可得A ＝2，最小正周期T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12－π3＝π，则ω＝2πT ＝2.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫7π6＋φ＝－2，得φ＝π3，则f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π24＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫11π12＋π3＝2sin 5π4＝－1，选项D 正确．9．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积为( )A.32π B.32C ．3πD ．3答案 A解析 由题意得，该几何体为四棱锥，且该四棱锥的外接球即为棱长为1的正方体的外接球，其半径为32，故体积为43π⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝32π，故选A. 10．设实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0x ＋y －1≤0x ≥－1，则x 2＋(y ＋2)2的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，17B ．[1,17]C ．[1，17] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，17 答案 A解析 画出可行域如图阴影部分所示，设x 2＋(y ＋2)2＝r 2，当圆过点A (－1,2)时，r 2取得最大值为(－1)2＋(2＋2)2＝1＋16＝17；当圆与直线x －y －1＝0相切时，r 取得最小值为|0－(－2)－1|1＋1＝12，则r 2＝12，∴x 2＋(y ＋2)2的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，17.11．已知点F 1、F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1的直线l与双曲线C 的左、右两支分别交于A 、B 两点，若|AB |∶|BF 2|∶|AF 2|＝3∶4∶5，则双曲线的离心率为( )A ．2B ．4 C.13D.15答案 C解析 由题意，设|AB |＝3k ，|BF 2|＝4k ，|AF 2|＝5k ，则BF 1⊥BF 2，|AF 1|＝|AF 2|－2a ＝5k －2a ，又|BF 1|－|BF 2|＝5k －2a ＋3k －4k ＝4k －2a ＝2a ，∴a ＝k ，∴|BF 1|＝6a ，|BF 2|＝4a ，又|BF 1|2＋|BF 2|2＝|F 1F 2|2，即13a 2＝c 2，∴e ＝c a＝13，故选C.12．已知定义在R 上的奇函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当－1≤x <0时，f (x )＝－log 12(－x )，则方程f (x )－12＝0在(0,6)内的所有根之和为( )A ．8B ．10C ．12D ．16答案 C解析 ∵奇函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴f (x )＝f (2－x )＝－f (－x )，即f (x )＝－f (x ＋2)＝f (x ＋4)，∴f (x )是周期函数，其周期T ＝4.又当x ∈[－1,0)时，f (x )＝－log 12 (－x )，故f (x )在(0,6)上的函数图象如图所示．由图可知方程f (x )－12＝0在(0,6)内的根共有4个，其和为x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝2＋10＝12，故选C.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)13．已知在(－1,1)上函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx 2，－1<x ≤0log 2(x ＋1)，0<x <1，且f (x )＝－12，则x 的值为________．答案 －13解析 通解：当－1<x ≤0时，由f (x )＝sin πx 2＝－12，解得x ＝－13；当0<x <1时，由f (x )＝log 2(x ＋1)＝－12，解得x ＝22－1，不符合题意，舍去，故x 的值为－13.优解：当－1<x ≤0时，f (x )＝sin πx 2＝－12，解得x ＝－13；当0<x <1时，f (x )＝log 2(x＋1)∈(0,1)，此时f (x )＝－12无解；故x 的值为－13.14．F 1，F 2分别为椭圆x 236＋y 227＝1的左、右焦点，A 为椭圆上一点，且＝12(＋)，＝12(＋)，则||＋||＝________.答案 6解析 设A (x 0，y 0)，则＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12(x 0－3)，12y 0，＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12(x 0＋3)，12y 0，∴||＋||＝12((x 0＋3)2＋y 2＋(x 0－3)2＋y 20)，又(x 0＋3)2＋y 20＋(x 0－3)2＋y 20为椭圆上的点到两焦点的距离之和，根据椭圆的定义知，其值为12，∴||＋||＝12×12＝6.15．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋a n ＋1＝12n (n ＝1,2,3，…)，则S 2n ＋3＝________.答案 43⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n ＋2解析 依题意得S 2n ＋3＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 2n ＋2＋a 2n ＋3)＝1＋14＋116＋…＋14n ＋1＝1－14n ＋21－14＝43⎝⎛⎭⎪⎫1－14n ＋2.16．已知实数a 、b 都是常数，若函数y ＝a |x －1|x ＋2＋b e 2x －1的图象在切点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12处的切线方程为3x ＋4y －2＝0，y ＝a |x －1|x ＋2＋b e 2x －1与y ＝k (x －1)3的图象有三个公共点，则实数k 的取值范围是________．答案 k <－14或k >0解析 当x <1时，y ＝a (1－x )x ＋2＋b e 2x －1，∴y ′＝－3a (x ＋2)2＋2b e 2x －1，∴y ′|x ＝0＝－3a 4＋2b e－1＝－34①，又y |x ＝0＝a 2＋b e －1＝12②，由①②得a ＝1，b ＝0，∴y ＝|x －1|x ＋2.∵y ＝|x －1|x ＋2与y ＝k (x －1)3的图象有三个公共点，∴|x －1|x ＋2－k (x －1)3＝0有三个根．x ＝1显然为方程的一个根，∴(x －1)3(x ＋2)|x －1|＝1k还有两个相异的根，即f 1(x )＝1k 与f 2(x )＝(x －1)3(x ＋2)|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2(x ＋2)，x >1－(x －1)2(x ＋2)，x <1的图象有两个不同的交点，在直角坐标系中画出图象，结合图象(图略)易得1k >－4，解得k <－14或k >0.三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．[2016·石家庄质检(二)](本小题满分12分)△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2b cos C ＋c ＝2a .(1)求角B 的大小；(2)若BD 为AC 边上的中线，cos A ＝17，BD ＝1292，求△ABC 的面积．解 (1)2b cos C ＋c ＝2a ，由正弦定理，得2sin B cos C ＋sin C ＝2sin A ， 因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ， 2sin B cos C ＋sin C ＝2(sin B cos C ＋cos B sin C )， sin C ＝2cos B sin C ，因为0<C <π，所以sin C ≠0， 所以cos B ＝12，因为0<B <π，所以B ＝π3.(2)解法一：在△ABD 中，由余弦定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫12922＝c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22－2c ·b 2cos A ，所以1294＝c 2＋b 24－17bc ，①在△ABC 中，c sin C ＝bsin B ，由已知得sin A ＝437，所以sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝5314，所以c ＝57b ，②由①②解得{ b ＝7，c ＝5， 所以S △ABC ＝12bc sin A ＝10 3.解法二：延长BD 到E ，使DE ＝BD ，连接AE ， 在△ABE 中，∠BAE ＝2π3，BE 2＝AB 2＋AE 2－2·AB ·AE ·cos∠BAE ，因为AE ＝BC ，所以129＝c 2＋a 2＋a ·c ，① 由已知得，sin A ＝437，所以sin C ＝sin(A ＋B )＝5314，c a ＝sin ∠ACB sin ∠BAC ＝58，② 由①②解得c ＝5，a ＝8，S △ABC ＝12c ·a ·sin∠ABC ＝10 3.18．[2016·东北三校一模](本小题满分12分)为调查市民对汽车品牌的认可度，在秋季车展上，从有意购车的500名市民中，随机抽取100名市民，按年龄情况进行统计得到下面的频率分布表和频率分布直方图．(1)求频率分布表中a 、b 的值，并补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计有意购车的这500名市民的平均年龄；(2)在抽出的100名市民中，按分层抽样法抽取20人参加宣传活动，从这20人中选取2名市民担任主要发言人，设这2名市民中“年龄低于30岁”的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．解 (1)由题表可知，a ＝100－5－20－30－10＝35，b ＝1.000－0.050－0.200－0.350－0.100＝0.300.补全的频率分布直方图如下：估计有意购车的这500名市民的平均年龄为12(45×0.05＋55×0.2＋65×0.35＋75×0.3＋85×0.1)＝33.5(岁)．(2)易知抽取的20人中，年龄低于30岁的有5人. 由题意知X 的可能取值为0,1,2，P (X ＝0)＝C 215C 220＝2138，P (X ＝1)＝C 15C 115C 220＝1538，P (X ＝2)＝C 25C 220＝238＝119.所以X 的分布列为E (X )＝0×2138＋1×1538＋2×19＝2.19.[2015·唐山一模](本小题满分12分)如图，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，PA ⊥底面ABCD ，∠PCD ＝90°，PA ＝AB ＝AC .(1)求证：AC ⊥CD ；(2)点E 在棱PC 上，满足∠DAE ＝60°，求二面角B －AE －D 的余弦值． 解 (1)证明：因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA ⊥CD ， 因为∠PCD ＝90°，所以PC ⊥CD ， 所以CD ⊥平面PAC ， 所以CD ⊥AC .(2)连接DE ，因为底面ABCD 是平行四边形，CD ⊥AC ，所以AB ⊥AC .又PA ⊥底面ABCD ，所以AB ，AC ，AP 两两垂直．如图所示，以点A 为原点，以为x 轴正方向，以||为单位长度，建立空间直角坐标系．则B (1,0,0)，C (0,1,0)，P (0,0,1)，D (－1,1,0)．设＝λ＝λ(0,1，－1)，则＝＋＝(0，λ，1－λ)，又∠DAE ＝60°，则cos 〈，〉＝12， 即λ2·2λ2－2λ＋1＝12，解得λ＝12. 则＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12，＝－＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，12，－12， 所以cos 〈，〉＝＝－63. 因为·＝0，所以⊥.又⊥，观察可知二面角B －AE －D 为钝角，故二面角B －AE －D 的余弦值为－63. 20.(本小题满分12分)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点(22，2)，且离心率为22，F 1，F 2是椭圆E 的左，右焦点．(1)求椭圆E 的方程；(2)若点A ，B 是椭圆E 上关于y 轴对称的两点(A ，B 不是长轴的端点)，点P 是椭圆E 上异于A ，B 的一点，且直线PA ，PB 分别交y 轴于点M ，N ，求证：直线MF 1与直线NF 2的交点G 在定圆上．解 (1)由条件得a ＝4，b ＝c ＝22，故椭圆E 的方程为x 216＋y 28＝1. (2)设B (x 0，y 0)，P (x 1，y 1)，则A (－x 0，y 0)．直线PA 的方程为y －y 1＝y 1－y 0x 1＋x 0(x －x 1)， 令x ＝0，得y ＝x 1y 0＋x 0y 1x 1＋x 0，故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，x 1y 0＋x 0y 1x 1＋x 0.同理可得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，x 1y 0－x 0y 1x 1－x 0. 所以＝⎝⎛⎭⎪⎫22，x 1y 0＋x 0y 1x 1＋x 0， ＝⎝⎛⎭⎪⎫－22，x 1y 0－x 0y 1x 1－x 0， 所以·＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，x 1y 0＋x 0y 1x 1＋x 0· ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，x 1y 0－x 0y 1x 1－x 0＝－8＋x 21y 20－x 20y 21x 21－x 20＝－8＋ x 21×8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 2016－x 20×8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 2116x 21－x 20＝－8＋8＝0，所以F 1M ⊥F 2N ，所以直线MF 1与直线NF 2的交点G 在以F 1F 2为直径的圆上.21.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x ＋x 2－2ax ＋1(a 为常数)．(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若存在x 0∈(0,1]，使得对任意的a ∈(－2,0]，不等式2m e a (a ＋1)＋f (x 0)>a 2＋2a ＋4(其中e 为自然对数的底数)都成立，求实数m 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝1x ＋2x －2a ＝2x 2－2ax ＋1x(x >0)，记g (x )＝2x 2－2ax ＋1. ①当a ≤0时，因为x >0，所以g (x )>1>0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增； ②当0<a ≤2时，因为Δ＝4(a 2－2)≤0，所以g (x )≥0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；③当a >2时，由⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，g (x )<0，解得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－22，a ＋a 2－22， 所以函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－22，a ＋a 2－22上单调递减，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－22，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－22，＋∞上单调递增． (2)由(1)知当a ∈(－2,0]时，函数f (x )在区间(0,1]上单调递增，所以当x ∈(0,1]时，函数f (x )的最大值是f (1)＝2－2a ，对任意的a ∈(－2,0]，都存在x 0∈(0,1]，使得不等式2m e a (a ＋1)＋f (x 0)>a 2＋2a ＋4成立，等价于对任意的a ∈(－2,0]，不等式2m e a (a ＋1)＋f (x 0)max >a 2＋2a ＋4都成立， 即对任意的a ∈(－2,0]，不等式2m e a (a ＋1)－a 2－4a －2>0都成立，记h (a )＝2m e a (a ＋1)－a 2－4a －2，由h (0)>0⇒2m >2⇒m >1， h ′(a )＝2m e a (a ＋1)＋2m e a －2a －4＝2(a ＋2)(m e a －1)，由h ′(a )＝0得a ＝－2或a ＝－ln m ，因为a ∈(－2,0]，所以2(a ＋2)>0， ①当1<m <e 2时，－ln m ∈(－2,0)，且a ∈(－2，－ln m )时，h ′(a )<0，a ∈(－ln m,0)时，h ′(a )>0，所以h (a )min ＝h (－ln m )＝ln m ·(2－ln m )>0， 所以a ∈(－2,0]时，h (a )>0恒成立；②当m ＝e 2时，h ′(a )＝2(a ＋2)(ea ＋2－1)，因为a ∈(－2,0]，所以h ′(a )>0， 此时h (a )在(－2,0]上单调递增， 且h (－2)＝2e 2e －2(－1)－4＋8－2＝0，所以a ∈(－2,0]时，h (a )>h (－2)＝0成立；③当m >e 2时，h (－2)＝－2m e 2＋2<0，h (0)＝2m －2>0， 所以存在a 0∈(－2,0)使得h ′(a 0)＝0，因此h (a )>0不恒成立．综上，m 的取值范围是(1，e 2].请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22.(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程已知平面直角坐标系xOy ，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α⎝ ⎛⎭⎪⎫t 为参数，0≤α<π且α≠π2，若以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＋2cos θ＝0.(1)写出直线l 和曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 相切，求tan α的值．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α，消去参数t 得y ＝tan α·(x －1)，所以直线l 的直角坐标方程为y ＝tan α·(x －1)．由ρsin 2θ＋2cos θ＝0，得ρ2sin 2θ＋2ρcos θ＝0，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入，解得曲线C 的直角坐标方程y 2＝－2x . (2)由(1)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝tan α·(x －1)，y 2＝－2x ， 化简得tan 2α·x 2＋2(1－tan 2α)x ＋tan 2α＝0， 则由Δ＝4(1－tan 2α)2－4tan 4α＝0，解得tan α＝±22. 23.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．(1)若函数y ＝f (x )的图象过原点，且|f (x )|≤1的解集为{x |－1≤x ≤3}，求f (x )的解析式；(2)若x ＝－1,0,1时的函数值的绝对值均不大于1，当x ∈[－1,1]时，求证：|ax ＋b |≤2.解 (1)由函数f (x )的图象过原点，得c ＝0，所以|f (x )|≤1可化为|ax 2＋bx |≤1，其解集为{x |－1≤x ≤3}，则由数形结合得|ax 2＋bx |＝1的解为x ＝－1或x ＝3，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪－b 24a ≤1， 解得a ＝－13，b ＝23或a ＝13，b ＝－23， 所以f (x )＝－13x 2＋23x 或f (x )＝13x 2－23x . (2)证明：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ |f (1)|＝|a ＋b ＋c |≤1|f (－1)|＝|a －b ＋c |≤1|f (0)|＝|c |≤1若证x ∈[－1,1]时，|ax ＋b |≤2，则只需证|a ＋b |≤2且|a －b |≤2，因为|a ＋b |＝|(a ＋b ＋c )－c |≤|a ＋b ＋c |＋|c |≤2，|a －b |＝|(a －b ＋c )－c |≤|a －b ＋c |＋|c |≤2，所以|ax ＋b |≤2.。