江南“十校”2017届高三9月联考数学(理)

理科数学一、选择题：1.已知复数31z i=+，则z 为（ ）A ．32B ．2C ．2D ．32.已知集合(){}{}22|log 11,|230A x x B x x x =-<=--<，则“x A ∈”是“x B ∈”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3.将函数()2sin cos 1sin f x x x x =-+的图像经过恰当平移后得到一个偶函数的图像，则这个平移可以是（ ）A ．向左平移8π个单位 B ．向左平移4π个单位 C ．向右平移8π个单位 D ．向右平移4π个单位4.已知直线()200,0ax by a b -+=>>被圆222210x y x y ++-+=截得的弦长为2，则12a b+的最小值为A ．3B ．32．2．3+5.某几何体的三视图如图所示，则其外接球的表面积为（ ）A ．32πB ．16πC ．64πD ．48π6.已知平行四边形ABCD 中，012,1,60,3AB AD BAD AM AB ==∠==， 则MC MD 的值为（ ） A ．13- B ．49 C ．23 D ．197.执行如图所示的程序框图，如果输入的x 值是407，y 值是259， 那么输出的x 值是（ ）A ．2849B ．37C ．74D ．778.已知实数,x y 满足044220x y x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，则142y x z ⎛⎫= ⎪⎝⎭的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．29.已知双曲线()222210,0x ya b a b -=>>，则该双曲线的标准方程为（ ） A ．221128x y -= B ．221168x y -= C ．2211612x y -= D ．22184x y -= 10.已知a 为第三象限角，4tan 23α=-，则sin α的值为（ ） A． B． C ．．45- 11.一纸盒中有牌面为6，8，10的扑克牌各一张，每次从中取出一个张，依次记下牌面上的数字后放回，当三种牌面的牌全部取到时停止取牌，若恰好取5次牌时停止，则不同取法的种数为（ ）A ．60B ．48C ．42D ．3612.设定义在()0,+∞上的单调函数()f x ，对任意的()0,x ∈+∞都有()2log 3f f x x -=⎡⎤⎣⎦．若方程()()f x f x a '+=有两个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,+∞ B ．12,ln 2⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭ C ．13,2ln 2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．()3,+∞ 二、填空题13.已知二项式()13nx -的展开式中，第3项和第5项的二项式系数相等，则这个展开式的第4项为___________．14.已知,,a b c分别为ABC ∆三个内角A B C 、、sin cos 20A a B a --=，则B ∠=__________．15.已知定义在R 上的函数()f x 的图像关于y 轴对称，且满足()()2f x f x +=-，若当[]0,1x ∈时，()13x f x -=，则13log 10f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为_________．16.一个平面图形由红、黄两种颜色填涂，开始时，红色区域的面积为32，黄色区域的面积为12．现对图形的颜色格局进行改变，每次改变都把原有红色区域的13改涂成黄色，原有黄色区域的13改涂成红色，其他不变，经过4次改变后，这个图形中红色区域的面积是___________．三、解答题17.已知数列{}n a 满足()()2*111,1n n a na n a n n n N +==+++∈．（1）求证：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列；（2）若数列{}n b 满足121n n n n b a a ++=，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 18.（本小题满分12分）如图，四边形ABEF 为矩形，四边形CEFD 为直角梯形，//,CE DF EF FD ⊥，平面ABEF ⊥平面,CEFD P 为AD 的中点，且12AB EC FD ==．（1）求证：CD ⊥平面ACF ；（2）若2BE AB =，求二面角B FC P --的余弦值． 19.（本小题满分12分）某市有中型水库1座，小型水库3座，当水库的水位超过警戒水位时就需要泄洪．气象部门预计，今年夏季雨水偏多，中型水库需要泄洪的概率为25，小弄水库需要泄洪的概率为12，假设每座水库是否泄洪相互独立． （1）求至少有一座水库需要泄洪的概率；（2）设1座中型水库泄洪造成的损失量为2个单位，1座小型水库泄洪造成的损失量为1个单位，设ξ表示这4座水库泄洪所造成的损失量之和，求ξ的分布列及数学期望． 20.（本小题满分12分）已知12F F 、分别是椭圆()222210x y C a b a b+=>>：的左、P 在椭圆C 上，且点P 在x 轴上的正投影恰为1F ，在y 轴上的正投影为点0,3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭． （1）求椭圆C 的方程；（2）过1F 的直线l 与椭圆C 交于A B 、两点，过点P 且平行于直线l 的直线交椭圆C 于另一点Q ，问：四边形PABQ 能否成为平行四边形？若能，请求出直线l 的方程；若不能，请说明理由．21.（本小题满分12分）已知函数()24,0ln ,0x x t x f x x x x ⎧++<=⎨+>⎩其中t 是实数．设A B 、为该函数图像上的两点，横坐标分别为12,x x ，且12x x <．（1）若20x <，函数()f x 的图像在点A B 、处的切线互相垂直，求122x x -的最大值； （2）若函数()f x 的图像在点A B 、处的切线重合，求t 的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，四边形ABCD 中，//,AB DC AC BD 、交于点3,5E AE AC =，ABD ∠的角平分线交AC 于点F ．（1）求CDAB的值； （2）若12AF FC =，求证：2BD DC AB +=．23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线1C的参数方程为2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），曲线 2C 的极坐标方程为cos sin 40ρθθ-=．（1）求曲线1C 的普通方程和曲线 2C 的直角坐标方程；（2）设P 为曲线1C 上一点，Q 为曲线2C 上一点，求PQ 的最小值． 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()211f x x x =-++． （1）解不等式()4f x <；（2）若存在实数0x ，使得()02log f x <t 的取值范围．参考答案一、选择题二、填空题 13. 3540x - 14. 23π 15. 1027 16. 163162三、解答题17.（1）证明：由已知得，111n n a a n n +=++，即111n n a an n+-=+，*n N ∈， 故数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分∴()()()2122222222111111211223111n n n n S b b b n n n n ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-=-=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+++⎢⎥⎣⎦．．．．．12分18.（1）证明：∵AF EF ⊥，平面ABEF ⊥平面CEFD ，平面ABEF 平面CEFD EF =，∴AF ⊥平面CEFD ，从而AF CD ⊥． 设Q 为DF 的中点，连接CQ ． ∵四边形CEFD 为直角梯形，1,2EC FD FQ EC AB EF ====， ∴四边形CEFQ 为正方形，CQD ∆为等腰直角三角形． ∴090FCD ∠=，即CD FC ⊥． 又AFCF F =，∴CD ⊥平面ACF ．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）解：方法一（几何法）：连接EQ ，设EQEC O =，则FC EQ ⊥．∵//,//BE AF PQ AF ，∴BE ⊥平面,CEFD PQ ⊥平面CEFD ． ∴,BE FC PQ FC ⊥⊥， 又,BECE E PQ OQ Q ==，∴FC ⊥平面,BOE FC ⊥平面POQ ， ∴,FC OB FC OP ⊥⊥，故BOP ∠为二面角B FC P --的平面角． 设1AB =，则2,1,2BE PQ OB BP =====∴222cos 2OB OP BP BOP OB OP +-∠==，即二面角B FC P --．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 12分 方法二（向量法）：以F 为坐标原点，FE FD FA 、、所在直线分别为,y,z x 轴建立如图所示的空间直角 坐标系，设1AB =，则2,2BE FD ==．∴()()()()()()0,0,01,1,01,0,20,2,00,0,20,1,1F C B D A 、、、、、P ，故()()()1,1,01,0,20,1,1FC FB FP ===、、，设平面BFC 的一个法向量()1111,,n x y z =，则110,n 0n FC FB ==，∴1111020x y x z +=⎧⎨+=⎩，令11z =，则()12,2,1n =-． 同理可得，平面FCP 的一个法向量()21,1,1n =-．∴121212cos,333nnn nn n===-，由图可知，二面角B FC P--为锐二面角，故其余弦值为3．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分19．解：（1）至少有一座水库需要泄洪的概率是321371115240⎛⎫⎛⎫--⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．．．．．．．．．．3分（2）ξ的可能取值为0，1，2，3，4，5．()()()32133223213011;52402119111;52240212111121115252240PP CP Cξξξ⎛⎫⎛⎫==-⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫==-⨯⨯⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-+-⨯⨯⨯-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()23132112193115225240P Cξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯-+-⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；()22321134152220P Cξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()321155220Pξ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭．故ξ的分布列为故()312301234540404040202010Eξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．．．．．．．．．．．．．．．．12分20．解：（1）由题可得，P点坐标为c⎛-⎝⎭．∴2223413c a c a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得a b ==．故椭圆的方程为22132x y +=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）设直线l 的方程为()()111,,y k x A x y =+、()22,B x y ．由()221132y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得，()2222236360k x k x k +++-=，故22121222636,,2323k k x x x x k k -+=-=++．∴21231k x x+-==，故)2122123k AB x x k +=-=+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分∵,//P PQ AB ⎛- ⎝⎭， ∴直线PQ 的方程为()1y k x =+． 由()2213132yk x x y ⎧-=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得，()22223636033k x k k x k ⎛⎛+++++-= ⎝⎭⎝⎭，∵1P x =-，∴Q x =，∴24431P Q k PQ x x k -=-=+，若四边形PABQ 能成为平行四边形，则AB PQ =，∴2314k+=-，解得k=． 故符合条件的直线l 的方程为()13y x =-+，即10x ++=．．．．．．．．．．．．．．12分 21．解：（1）当20x <时，10x <．由已知()()121f x f x ''=-，∴()()1224241x x ++=-， 故121248x x =--+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分∴()()()122222112222224242x x x x x x ⎡⎤⎡⎤-=-++=-+++⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦， ∵122424x x +<+，∴1224024x x+<<+， ∴1222x x -≤224x =-时，等号成立， 故122x x -的最大值为2．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）由题意得，()()()()211221f x f x f x f x x x -''==-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分∵12x x <，∴120,0x x <>．∴()222111221ln 41241x x x x t x x x x +-+++=+=-， 解得()2111ln 23t x x =--+，令()()231ln 23,02g x x x x =--+-<<，则()2223g x x x '=-+．．．．．．．．．．8分 ∵0,230x x <+>，∴()0g x '<，故()g x 在3,02⎛⎫-⎪⎝⎭内单调递减．．．．．．．．．．．10分∴当3,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()01ln3g x g >=--， ∴1ln3t >--，即t 的取值范围为()1ln3,--+∞．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分22．（1）解：∵35AE AC =，∴32AE EC =． ∵//AB DC ，∴CEDAEB ∆∆， ∴23CD CE AB AE ==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）证明：分别过点D C 、作BF 的平行线交AB 的延长线于G H 、两点，则,ABF BGD EBF BDG ∠=∠∠=∠．∵BF 平分ABD ∠，∴ABF EBF ∠=∠，∴BGD BDG ∠=∠，∴BD BG =． 又∵//,//DG CH DC GH ，∴四边形CDGH 是平行四边形，∴DC GH =． ∴BD DC BG GH BH +=+=．∵//BF CH ，∴12AB AF BH FC ==，∴2BH AB =，∴2BD DC AB +=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 23．解：（1）由sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩消去参数θ得，曲线1C 的普通方程得22184x y +=．由cos sin 40ρθθ-=得，曲线2C 的直角坐标方程为40x --=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）设()P θθ，则点P 到曲线2C 的距离为44cos d πθ⎛⎫-+ ⎪===．．．．．．．．．．．8分 当cos 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，d 有最小值0，所以PQ 的最小值为0．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分24．解：（1）()3,112,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=--≤<⎨⎪⎪≥⎪⎩，当1x <-时，由()4f x <，得413x -<<-； 当112x -≤<时，由()4f x <得，112x -≤<； 当12x ≥时，由()4f x <得，1423x ≤<． 综上所述，不等式()4f x <的解集为44|33x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）由()f x 的图像可知，()min 1322f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．7分根据题意，有23log 2>>3t <-或3t >． 故实数t 的取值范围为()(),33,-∞-+∞．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分。