高考数学一轮复习归纳与类比练习含答案

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基本不等式及其应用-2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结(新高考通用)解析版

2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）第04练基本不等式及其应用（精练）1.了解基本不等式的证明过程．2.会用基本不等式解决简单的最值问题．3.理解基本不等式在生活实际问题中的应用．一、单选题1．（2022·全国·高考真题）已知910,1011,89m m m a b ==-=-，则（）A ．0a b >>B ．0a b >>C ．0b a >>D ．0b a>>二、多选题2．（2022·全国·高考真题）若x ，y 满足221+-=x y xy ，则（）A ．1x y +≤B ．2x y +≥-C ．222x y +≤D ．221x y +≥三、填空题3．（2023·天津·高考真题）在ABC 中，160BC A =∠= ，，11,22AD AB CE CD == ，记,AB a AC b ==，用,a b表示AE =；若13BF BC = ，则AE AF ⋅ 的最大值为．四、解答题4．（2022·全国·高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A BA B=++．(1)若23C π=，求B ；(2)求222a b c +的最小值．【A 级基础巩固练】一、单选题1．（23-24高二下·福建三明·阶段练习）若0x >，则22y x x=+的最小值是（）A ．B C ．4D ．22．（2024高二下·湖南株洲·学业考试）已知04x <<）A ．12B ．1C D ．33．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知02x <<，则()32x x -的最大值是（）A ．3-B ．3C ．1D ．6【答案】B【分析】利用基本不等式，直接计算即可.取得等号，满足题意4．（23-24高一下·河南周口·阶段练习）已知正数,a b 满足1ab =，则22(1)(1)T a b =+++的最小值为（）A ．4B ．6C ．8D ．165．（2023·湖南岳阳·模拟预测）若0,0a b >>且1a mb +=，若ab 的最大值为8，则正常数m =（）A ．1B ．2C ．3D ．46．（23-24高一下·云南丽江·开学考试）已知a ，b 为正数，41a b +=，则114a b+的最小值为（）A ．1B ．2C ．4D ．87．（23-24高一下·福建南平·期中）已知0a >，0b >，230a b +-=，则21a b++的最小值为（）A ．2B ．1C ．32D ．348．（23-24高一下·湖南衡阳·阶段练习）已知向量()2,1a m m =+，(),12b n =，若向量a ，b 共线且0m >，则n 的最大值为（）A ．6B ．4C ．8D ．39．（23-24高一下·浙江·期中）已知实数a ，b ，满足310ab +=（1b >），则31b a ++的取值范围是（）A ．()(),04,-∞⋃+∞B ．()4,+∞C ．(][),04,-∞+∞U D ．[)4,+∞10．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知0a >，0b >，2a b +=，则（）A ．01a <≤B ．01ab <≤C ．222a b +>D ．12b <<11．（2024·山东枣庄·一模）已知0,0a b >>，则“2a b +>”是“222a b +>”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件12．（23-24高一下·辽宁抚顺·阶段练习）已知,a b 均为正实数，240a b -+≤，则23a ba b++的最小值为（）A ．135B ．145C ．3D ．513二、多选题13．（2024高三·全国·专题练习）已知x ≥1，则下列函数的最小值为2的有（）A ．22xy x =+B ．2y =C ．13y xx=-D ．411y x x =-+14．（23-24高三上·云南楚雄·期末）已知正数a ，b 满足5a b ab +=，则（）A ．151a b+=B ．a 与b 可能相等C 6≥D ．a b +的最小值为6+【答案】BD15．（23-24高二下·浙江·期中）已知正数,a b 满足()()111a b --=，则下列选项正确的是（）A ．111a b+=B ．25ab b+³C ．4a b +≥D ．228a b +≤三、填空题16．（23-24高一上·北京·期中）已知()8233y x x x =+>，则当x =时，y 取最小值为．17．（2024·上海徐汇·二模）若正数a b 、满足1a b+=，则2a b +的最小值为.18．（2024·河南商丘·模拟预测）若正数,a b 满足232a b a b =+，则a 的最小值是．19．（23-24高二下·云南·阶段练习）设0,0m n >>，若直线:22l mx y +=过曲线11x y a -=+（0a >，且1a ≠）的定点，则11m n+的最小值为．20．（23-24高一上·广西百色·期末）若1x >，则2161x x x -+-的最小值为.21．（2023·湖南岳阳·模拟预测）如图，某人沿围墙CD 修建一个直角梯形花坛ABCD ，设直角边AD x =米，2BC x =米，若12AD AB BC ++=米，问当x =米时，直角梯形花坛ABCD 的面积最大．22．（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）已知02a <<，则2a a+-的最小值为．四、解答题23．（23-24高二下·全国·期中）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用32年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位；cm ）满足关系：()()161102C x x x =≤≤+，设()f x 为隔热层建造费用与32年的能源消耗费用之和．(1)求()f x 的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用()f x 达到最小，并求最小值．24．（23-24高一上·陕西渭南·阶段练习）已知0a >，0b >，0c >，求证：(1)6b c a c a ba b c+++++≥；(2)()()()2222226a b c b a c c a b abc +++++≥.25．（23-24高一上·浙江·期末）为了进一步增强市场竞争力，某公司计划在2024年利用新技术生产某款运动手表，经过市场调研，生产此款运动手表全年需投入固定成本100万，每生产x （单位：千只）手表，需另投入可变成本()R x 万元，且()228020,05064002015200,50x x x R x x x x ⎧++<<⎪=⎨+-≥⎪⎩，由市场调研知，每部手机售价0.2万元，且全年生产的手机当年能全部销售完.（利润=销售额-固定成本-可变成本）(1)求2024年的利润()W x （单位：万元）关于年产量x （单位：千只）的函数关系式．(2)2024年的年产量为多少（单位：千只）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？26．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）完成下列不等式的证明：(1)对任意的正实数a ，b ，c，证明：a b c ++(2)设a ，b ，c 为正实数，且1a b c ++=，证明：13ab ac bc ++≤.【B 级能力提升练】一、单选题1．（23-24高一下·辽宁葫芦岛·开学考试）已知0,0x y >>，且41x y +=，则2y xxy+的最小值为（）A ．5B ．C ．4D ．2．（2023·河南信阳·模拟预测）若51x -<<-，则函数()22f x x ++=+有（）A ．最小值1B ．最大值1C ．最小值1-D ．最大值1-所以函数()f x 有最大值1-.故选：D.3．（23-24高三下·浙江·阶段练习）已知实数x ，y 满足3x >，且2312xy x y +-=，则x y +的最小值为（）A ．1+B ．8C ．D ．1+4．（2024·辽宁·一模）已知20m n >>，则2m mm n n+-的最小值为（）A ．3+B ．3-C ．2+D ．25．（2024·全国·模拟预测）已知，则下列不等式中不成立．．．的是（）A ．01ab <<B ．122a b ->C >D ．114a b+>【答案】C【分析】对于AB ，利用对数函数的性质即可判断；对于CD ，利用对数的运算得到1a b +=，结合基本不等式即可判断.【详解】因为lg 2,lg5a b ==，所以lg 2lg 5lg101a b +=+==，6．（2024·辽宁大连·一模）若()()ln 0,01f x m n n x+=>>--奇函数，则41m n ++的最小值为（）.A ．65B ．95C ．4D ．57．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）故宫博物院收藏着一幅《梧桐双兔图》.该绢本设色画纵约176cm ，横约95cm ，挂在墙上最低点B 离地面194cm ，小兰身高160cm (头顶距眼睛的距离为10cm).为使观测视角θ最大，小兰离墙距离S 应为（）A．B ．94cm C．D ．76cm8．（2024·全国·模拟预测）已知0x >，0y >且1x y +=，则222211x y x y +++的最小值为（）A ．15B ．25C ．35D ．459．（23-24高二下·江苏苏州·阶段练习）为提高市民的健康水平，拟在半径为200米的半圆形区域内修建一个健身广场，该健身广场（如图所示的阴影部分）分休闲健身和儿童活动两个功能区，图中ABCD 区域是休闲健身区，以CD 为底边的等腰三角形区域PCD 是儿童活动区，P ，C ，D 三点在圆弧上，AB 中点恰好在圆心O ，则当健身广场的面积最大时，OB 的长度为（）A ．100米B ．150米C．米D．由于2AD BC OC ==-都是上底为21R t -，下底为所以，健身广场的面积S 从而，健身广场的面积最大的时候，恰好就是()22111tt t t t -+=-+=()223323223t t t +-+-≤=二、多选题10．（2023·浙江绍兴·二模）已知0a >，0b >，a b ab +=，则（）A ．1a >且1b >B ．4ab ≥C ．49a b +≤D ．11b ab+>11．（2024·全国·模拟预测）已知0a >，0b >且2a b+=，则下列说法正确的是（）A ．ab 有最小值4B ．a b +有最小值92C ．2ab a +有最小值D的最小值为12．（23-24高二下·江西宜春·期中）已知0,1a b a b >>+=．则下列结论正确的有（）A ．a 32B ．22122a b ++的最小值为C ．1422a b a b+的最小值为3D ．sin 1a b +<三、填空题13．（23-24高一下·河北保定·开学考试）若正数,m n 满足2212516m n +=，则mn 的最大值为．14．（23-24高一上·江苏扬州·期末）若1x >，1y >，10xy =，则lg lg x y 的最大值为.15．（2024·全国·模拟预测）已知1x >，0y >，且2x y +=，则11y x +-的最小值是．17．（2024·上海普陀·二模）若实数a ，b 满足20a b -≥，则24ab+的最小值为.18．（23-24高一上·浙江·期末）已知22321(,R)x xy y x y -+=∈，则222x y +的最小值为．四、解答题19．（2024·全国·二模）已知实数0,0a b >>，满足a b +=(1)求证：2224a b +≥；(2)求()()2211ab ab++的最小值.【答案】(1)证明见解析(2)1220．（23-24高一上·湖北武汉·阶段练习）已知0a >，0b >，且2a b +=．(1)求证：11413a b +≥+；(2)求证：42aab b+≥．21．（23-24高一下·甘肃白银·期中）养鱼是现在非常热门的养殖项目，为了提高养殖效益，养鱼户们会在市场上购买优质的鱼苗，分种类、分区域进行集中养殖．如图，某养鱼户承包了一个边长为100米的菱形鱼塘（记为菱形ABCD ）进行鱼类养殖，为了方便计算，将该鱼塘的所有区域的深度统一视为2米．某养鱼户计划购买草鱼苗、鲤鱼苗和鲫鱼苗这三种鱼苗进行分区域养殖，用不锈钢网将该鱼塘隔离成ABD ，DEFB ，CEF 三块区域，图中,BD EF 是不锈钢网露出水面的分界网边，E 在鱼塘岸边DC 上（点E 与D ，C 均不重合），F 在鱼塘岸边BC ．上（点F 与B ，C 均不重合）．其中△ECF 的面积与四边形DEFB 的面积相等，△DAB 为等边三角形．(1)若测得EC 的长为80米，求CF 的长．(2)已知不锈钢网每平方米的价格是20元，为了节约成本，试问点E ，F 应如何设置，才能使得购买不锈钢1.414=）22．（2023·贵州黔西·一模）设a，b，c均为正数，且1a b c++=，证明：(1)2221 3a b c++≥；(2)333a cb ac b abc++≥．23．（23-24高一上·山东·阶段练习）已知0a >，0b >．(1)若4a b -=，证明：471a b +≥+．(2)若8a b ab ++=，求a b +的最小值．(3)若229327a b ab ++=，求3a b +的最大值．【C 级拓广探索练】一、单选题1．（22-23高一上·江苏徐州·阶段练习）设正实数,,x y z 满足22-3+4-=0x xy y z ，则当xyz取得最大值时，212+-x y z 的最大值为（）A ．9B ．1C ．94D ．32．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）已知x 为正实数，y 为非负实数，且22x y +=，则1x y +++的最小值为（）A ．34B ．94C ．32D ．923．（2024·全国·模拟预测）设{}max ,,x y z 为,,x y z 中最大的数.已知正实数,a b ，记max 8,2M a b⎧=⎨⎩，则M 的最小值为（）A ．1B C ．2D ．44．（22-23高一上·河南·阶段练习）已知22321x xy y -+=(),R x y ∈，则22x y +的最小值为（）A 6B 6C ．6D ．6二、多选题5．（23-24高一上·福建泉州·期末）已知0,0,21x y x y >>+=，则（）A ．42x y +的最小值为B ．22log log x y +的最大值为3-C ．y x xy --的最小值为1-D ．22221x y x y +++的最小值为16正确；三、填空题6．（2023·山西·模拟预测）已知0,0a b >>，且122a b +=，则161211a b +--的最小值是.7．（23-24高三上·湖北荆州·阶段练习）已知实数,x y 满足22221x xy y -+=，则22x y -的最大值为.四、解答题8．（2023·全国·模拟预测）已知(),,0,x y z ∈+∞，且1x y z ++=．(1)1z>-；(2)求222544x y z xy yz xz +++++的最大值．，三式相加，可得：9．（23-24高一上·山东青岛·期末）某药品可用于治疗某种疾病，经检测知每注射t ml药品，从注射时间起血药浓度y（单位：ug/ml）与药品在体内时间x（单位：小时）的关系如下：162,06,89,618.2t xxyx t x⎧⎛⎫-≤≤⎪⎪-⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-<≤⎪⎪⎝⎭⎩当血药浓度不低于2ug/ml时才能起到有效治疗的作用，每次注射药品不超过2ml．(1)若注射1ml药品，求药品的有效治疗时间；(2)若多次注射，则某一时刻体内血药浓度为每次注射后相应时刻血药浓度之和．已知病人第一次注射1ml 药品，12小时之后又注射a ml药品，要使随后的6小时内药品能够持续有效消疗，求a的最小值．。

{北师大版}2020高考数学文科一轮复习课后练35《归纳与类比》附答案详析

8＝3； 7
若 a1a2…am＝2 016(m∈N*)，则 m 的值为( )
A．22 016＋2
B．22 016
C．22 016－2
D．22 016－4
4．(2019·新余模拟)我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割
之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣．”它体现了一种无限与有限的转化过程．比如在表达
a1a2a3a4a5a6＝log23·log34…log78＝llgg
3·lg 2 lg
Hale Waihona Puke 4…lg 3 lg8＝3； 7
若 a1a2…am＝2 016(m∈N*)，则 m 的值为( )
A．22 016＋2
B．22 016
C．22 016－2
D．22 016－4
C
[因为 a1a2…am＝log23log34…logm＋1(m＋2)＝llgg
中心．若 f(x)＝1x3－1x2＋3x－ 5 ，请你根据这一发现，
32
12
(1)求函数 f(x)的对称中心；
1
2
3
4
2 018
(2)计算 f 2 019 ＋f 2 019 ＋f 2 019 ＋f 2 019 ＋…＋f 2 019 .
-4-
解析
{北师大版}2020 高考数学文科一轮复习课后练
35《归纳与类比》
A．甲、丙
B．乙、丁
C．丙、丁
D．乙、丙
D [甲、乙两人说话矛盾，必有一对一错，如果丁正确，则丙也是对的，所以丁错误，可得丙正确，此时乙正确，故选 D.]
二、填空题
6．已知点 A(x1，x21)，B(x2，x22)是函数 y＝x2 的图像上任意不同的两点，依据图像可知，线段 AB 总是

2019—2020年北师大版高中数学选修1-2《归纳与类比》同步练习题及解析.docx

（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学选修1-23.1 归纳与类比（北京师大版选修1-2）建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、选择题（每小题8分，共24分）1.下列表述正确的是（）①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理.A．①②③B．②③④C．②④⑤D．①③⑤2.数列2，5，11，20，x，47，…中的x等于( )A．28 B．32C．33 D．273.类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出空间下列结论：①垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②垂直于同一个平面的两条直线互相平行；③垂直于同一条直线的两个平面互相平行；④垂直于同一个平面的两个平面互相平行.则正确的结论是（）A．①②B．②③C．③④D．①④二、填空题（每小题8分，共32分）4.一同学在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前120个圈中●的个数是.5.在公比为4的等比数列{b n }中，若T n 是数列{n }的前项积，则有T 20T 10，T 30T 20，T 40T 30仍成等比数列，且公比为4100；类比上述结论，在公差为3的等差数列{}中，若S n 是{a n }的前n 项和，则有________________________也成等差数列，该等差数列的公差为________．6．观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2 401，…，则72 011的末两位数字为________．7.观察下列各式：1＝1，2＋3＋4＝9，3＋4＋5＋6＋7＝25，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49，…，则由此可归纳出n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝________.三、解答题（每小题22分，共44分）8. 在数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前项和满足 S 2n ＝a n⎝ ⎛⎭⎪⎫S n －12. (1)求1S 2，1S 3，1S 4及1S n (不需证明)；(2)求数列{}的通项公式.9. 已知数列{a n }中，a 4＝28，且满足a n ＋1＋a n －1a n ＋1－a n ＋1＝n.(1)求a 1，a 2，a 3；(2)猜想{a n}的通项公式并证明．3.1 归纳与类比（北京师大版选修1-2）参考答案一、选择题1.D2.B3.B二、填空题4.145.S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 303006.437. (2n －1)2三、解答题8.解： (1)当n ≥2时，由a n ＝S n －S n －1和S 2n ＝a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫S n －12，得S 22＝(S 2－S 1)⎝ ⎛⎭⎪⎫S 2－12，得1S 2＝1＋2S 1S 1=1S 12+＝2＋11＝3，由S 23＝(S 3－S 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫S 3－12，得1S 3＝2＋1S 2＝5，由S 24＝(S 4－S 3)⎝ ⎛⎭⎪⎫S 4－12，得1S 4＝2＋1S 3＝7. 由S 2n ＝(S n －S n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫S n －12，得1S n ＝2＋1S n －1＝2n －1.(2)由(1)知，S n ＝12n －1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －1－12n －3＝－2(2n －1)(2n －3)，显然，a 1＝1不符合上述表达式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎨⎧ 1，n ＝1，－2(2n －1)(2n －3)，n ≥2.9.解：(1)a n ＋1＋a n －1a n ＋1－a n ＋1＝n.当n ＝3时，a 4＋a 3－1a 4－a 3＋1＝3.∵a 4＝28，∴a 3＝15；当n ＝2时，a 3＋a 2－1a 3－a 2＋1＝2.∵a 3＝15，∴a 2＝6；当n ＝1时，a 2＋a 1－1a 2－a 1＋1＝1.∵a 2＝6，∴a 1＝1.(2)猜想a n ＝n(2n －1)． ①当n ＝1时，a 1＝1，而a1＝1×(2×1－1)＝1，等式成立．②假设当n＝k时，等式成立，即a k＝k(2k－1)．则当n＝k＋1时，a k＋1＋a k－1 a k＋1－a k＋1＝k，a k＋1＋k(2k－1)－1a k＋1－k(2k－1)＋1＝k，整理，得(1－k)a k＋1＝－2k3－k2＋2k＋1＝(2k＋1)(1－k2)，a k＋1＝(1＋k)(2k＋1)＝(k＋1)[2(k＋1)－1]，等式也成立．综合①②可知，n∈N*时，等式成立．。

2022北师大版文科数学高考总复习练习：11-1归纳与类比 Word版含答案

第十一章推理与证明、算法、复数第1讲归纳与类比基础巩固题组(建议用时：30分钟)一、选择题1．(2022·西安八校联考)观看一列算式：1⊗1,1⊗2,2⊗1，1⊗3，2⊗2,3⊗1,1⊗4,2⊗3,3⊗2,4⊗1，…，则式子3⊗5是第()A．22项B．23项C．24项D．25项解析两数和为2的有1个，和为3的有2个，和为4的有3个，和为5的有4个，和为6的有5个，和为7的有6个，前面共有21个，3⊗5为和为8的第3项，所以为第24项，故选C.答案 C2．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的缘由是()A．使用了归纳推理B．使用了类比推理C．使用了“三段论”，但推理形式错误D．使用了“三段论”，但小前提错误解析由“三段论”的推理方式可知，该推理的错误缘由是推理形式错误．答案 C3．观看(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝()A．f(x) B．－f(x) C．g(x) D．－g(x)解析由已知得偶函数的导函数为奇函数，故g(－x)＝－g(x)．答案 D4．观看下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10等于()A．28 B．76 C．123 D．199解析观看规律，归纳推理．从给出的式子特点观看可推知，等式右端的值，从第三项开头，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a10＋b10＝123.答案 C5．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn＝nm”类比得到“a·b＝b·a”；②“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；③“(m·n)t＝m(n·t)”类比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”；④“t≠0，mt＝xt⇒m＝x”类比得到“p≠0，a·p＝x·p⇒a＝x”；⑤“|m·n|＝|m|·|n|”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”；⑥“acbc＝ab”类比得到“a·cb·c＝ab”．以上式子中，类比得到的结论正确的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4解析①②正确；③④⑤⑥错误．答案 B6．(2021·宜春一中月考)老师带甲、乙、丙、丁四名同学去参与自主招生考试，考试结束后老师向四名同学了解考试状况，四名同学回答如下：甲说：“我们四人都没考好”；乙说：“我们四人中有人考的好”；丙说：“乙和丁至少有一人没考好”；丁说：“我没考好”．结果，四名同学中有两人说对了，则四名同学中说对的两人是()A．甲，丙B．乙，丁C．丙，丁D．乙，丙解析甲与乙的关系是对立大事，二人说话冲突，必有一对一错，假如丁正确，则丙也是对的，所以丁错误，可得丙正确，此时乙正确．故答案为D.答案 D7．平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为() A．n＋1 B．2nC.n2＋n＋22D．n2＋n＋1解析1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；……；n条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋n(n＋1)2＝n2＋n＋22个区域，选C.答案 C8．如图，有一个六边形的点阵，它的中心是1个点(算第1层)，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，…，依此类推，假如一个六边形点阵共有169个点，那么它的层数为()A．6 B．7 C．8 D．9解析由题意知，第1层的点数为1，第2层的点数为6，第3层的点数为2×6，第4层的点数为3×6，第5层的点数为4×6，…，第n(n≥2，n∈N＋)层的点数为6(n－1)．设一个点阵有n(n≥2，n∈N＋)层，则共有的点数为1＋6＋6×2＋…＋6(n－1)＝1＋6＋6(n－1)2×(n－1)＝3n2－3n＋1，由题意得3n2－3n＋1＝169，即(n＋7)·(n－8)＝0，所以n＝8，故共有8层．答案 C二、填空题9．认真观看下面○和●的排列规律：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●○○○○○○●……若依此规律连续下去，得到一系列的○和●，那么在前120个○和●中，●的个数是________．解析进行分组○●|○○●|○○○●|○○○○●|○○○○○●|○○○○○○●|……，则前n组两种圈的总数是f(n)＝2＋3＋4＋…＋(n＋1)＝n(n＋3)2，易知f(14)＝119，f(15)＝135，故n＝14.答案1410．观看下列等式：13＝12,13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，……，依据上述规律，第n个等式为________．解析观看所给等式左右两边的构成易得第n个等式为13＋23＋…＋n3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n(n＋1)22＝n2(n＋1)24.答案13＋23＋…＋n3＝n2(n＋1)2411．(2021·重庆模拟)在等差数列{a n}中，若公差为d，且a1＝d，那么有a m＋a n＝a m＋n，类比上述性质，写出在等比数列{a n}中类似的性质：___________________________.解析等差数列中两项之和类比等比数列中两项之积，故在等比数列中，类似的性质是“在等比数列{a n}中，若公比为q，且a1＝q，则a m·a n＝a m＋n.”答案在等比数列{a n}中，若公比为q，且a1＝q，则a m·a n＝a m＋n12．已知点A(x1，ax1)，B(x2，ax2)是函数y＝a x(a＞1)的图像上任意不同两点，依据图像可知，线段AB总是位于A，B两点之间函数图像的上方，因此有结论ax1＋ax22＞ax1＋x22成立．运用类比思想方法可知，若点A(x1，sin x1)，B(x2，sin x2)是函数y＝sin x(x∈(0，π))的图像上任意不同两点，则类似地有________成立．解析对于函数y＝a x(a＞1)的图像上任意不同两点A，B，依据图像可知，线段AB总是位于A，B两点之间函数图像的上方，因此有结论ax1＋ax22＞a x1＋x22成立；对于函数y＝sin x(x∈(0，π))的图像上任意不同的两点A(x1，sin x1)，B(x2，sinx2)，线段AB总是位于A，B两点之间函数图像的下方，类比可知应有sin x1＋sin x22＜sinx1＋x22成立．答案sin x1＋sin x22＜sinx1＋x22力量提升题组(建议用时：15分钟)13．(2021·湖北八校二联)有6名选手参与演讲竞赛，观众甲猜想：4号或5号选手得第一名；观众乙猜想：3号选手不行能得第一名；观众丙猜想：1,2,6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜想：4,5,6号选手都不行能获得第一名．竞赛后发觉没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对竞赛结果，此人是()A．甲B．乙C．丙D．丁解析依据题意，6名选手竞赛结果甲、乙、丙、丁猜想如下表：1号2号3号4号5号6号甲不行能不行能不行能可能可能不行能乙可能可能不行能可能可能可能丙可能可能不行能不行能不行能可能丁可能可能可能不行能不行能不行能由表知，只有丁猜对了竞赛结果，故选D.答案 D 14．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种外形来争辩数．比如：他们争辩过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是()A．289 B．1 024 C．1 225 D．1 378解析观看三角形数：1,3,6,10，…，记该数列为{a n}，则a1＝1，a2＝a1＋2，a3＝a2＋3，…a n＝a n－1＋n.∴a1＋a2＋…＋a n＝(a1＋a2＋…＋a n－1)＋(1＋2＋3＋…＋n)⇒a n＝1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)2，观看正方形数：1,4,9,16，…，记该数列为{b n}，则b n＝n2.把四个选项的数字，分别代入上述两个通项公式，可知使得n都为正整数的只有1 225.答案 C15．若P0(x0，y0)在椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)外，过P0作椭圆的两条切线的切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在的直线方程是x0xa2＋y0yb2＝1，那么对于双曲线则有如下命题：若P0(x0，y0)在双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)外，过P0作双曲线的两条切线，切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在直线的方程是________．解析设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则P1，P2的切线方程分别是x1xa2－y1yb2＝1，x2xa2－y2yb2＝1.由于P0(x0，y0)在这两条切线上，故有x 1x 0a 2－y 1y 0b 2＝1，x 2x 0a 2－y 2y 0b 2＝1，这说明P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线x 0x a 2－y 0yb 2＝1上，故切点弦P 1P 2所在的直线方程是x 0x a 2－y 0yb 2＝1. 答案 x 0x a 2－y 0yb 2＝116．(2022·济南模拟)有一个奇数组成的数阵排列如下： 1 3 7 13 21 … 5 9 15 23 … … 11 17 25 … … … 19 27 … … … … 29 … … … … … … … … … … …则第30行从左到右第3个数是________．解析先求第30行的第1个数，再求第30行的第3个数．观看每一行的第一个数，由归纳推理可得第30行的第1个数是1＋4＋6＋8＋10＋…＋60＝30×(2＋60)2－1＝929.又第n 行从左到右的第2个数比第1个数大2n ，第3个数比第2个数大2n ＋2，所以第30行从左到右的第2个数比第1个数大60，第3个数比第2个数大62，故第30行从左到右第3个数是929＋60＋62＝1 051. 答案 1 051。

2019版高考数学(理科)一轮复习达标检测(五十五)推理3方法类比、归纳、演绎

高考达标检测（五十五）推理3方法——类比、归纳、演绎一、选择题1．下面几种推理是合情推理的是()①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③教室内有一把椅子坏了，则该教室内的所有椅子都坏了；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得出凸多边形的内角和是(n－2)·180°.A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③④解析：选A根据题意，依次分析4个推理：对于①，在推理过程中由圆的性质类比出球的有关性质，是类比推理；对于②，符合归纳推理的定义，即是由特殊到一般的推理过程，是归纳推理；对于③，不是合情推理，对于④，符合归纳推理的定义，即是由特殊到一般的推理过程，是归纳推理，所以是合情推理的是①②④.2．已知①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形．由①②③组合成“三段论”，根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是()A．正方形是平行四边形B．平行四边形的对角线相等C．正方形的对角线相等D．以上均不正确解析：选C由演绎推理三段论可得，“平行四边形的对角线相等”为大前提，“正方形是平行四边形”为小前提，则结论为“正方形的对角线相等”．3．将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为()13 5 791113151719212325272931………A．731 B．809C．852 D．891解析：选B由题意知，前20行共有正奇数1＋3＋5＋…＋39＝202＝400个，则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数，所以这个数是2×405－1＝809.4．某校高二(1)班每周都会选出两位“迟到之星”，在“迟到之星”人选揭晓之前，小马说：“两个人选应该在小赵、小宋和小谭三人之中产生”，小赵说：“一定没有我，肯定有小宋”，小宋说：“小马、小谭二人中有且仅有一人是迟到之星”，小谭说：“小赵说的对”．已知这四人中有且只有两人的说法是正确的，则“迟到之星”是()A．小赵、小谭B．小马、小宋C．小马、小谭D．小赵、小宋解析：选A小马说：“两个人选应该是在小赵、小宋和小谭三人之中产生”，如果小马说假话，则小赵、小宋、小谭说的都是假话，不合题意，所以小马说的是真话；小赵说：“一定没有我，肯定有小宋”是假话，否则，小谭说的是真话，这样有三人说真话，不合题意；小宋说：“小马、小谭二人中有且仅有一人是迟到之星”，是真话；小谭说：“小赵说的对”，是假话；这样，四人中有且只有小马和小宋的说法是正确的，且“迟到之星”是小赵和小谭．5．将正整数排列如下：123 45678910111213141516…则图中数2 018出现在()A．第44行第83列B．第45行第83列C．第44行第82列D．第45行第82列解析：选D由题意可知第n行有2n－1个数，则前n行的数的个数为1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2，因为442＝1 936,452＝2 025，且1 936＜2 018＜2 025，所以2 018在第45行，又第45行有2×45－1＝89个数，2 018－1 936＝82，故2 018在第45行第82列，选D.6．单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n幅图的蜂巢总数，则f(n)＝()A．3n2－3n＋1 B．3n2－3n＋2C．3n2－3n D．3n2－3n－1解析：选A由于f(2)－f(1)＝7－1＝6，f(3)－f(2)＝19－7＝2×6，f(4)－f(3)＝37－19＝3×6，f(5)－f(4)＝61－37＝4×6，…因此，当n≥2时，有f(n)－f(n－1)＝6(n－1)，所以f(n)＝[f(n)－f(n－1)]＋[f(n－1)－f(n－2)]＋…＋[f(2)－f(1)]＋f(1)＝6[(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1]＋1＝3n2－3n ＋1.又f(1)＝3×12－3×1＋1＝1，所以f(n)＝3n2－3n＋1.7．以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中的“杨辉三角形”．1 2 3 4 5 … 2 015 2 016 2 017 2 0183 57 9 …………4 031 4 033 4 03581216 ……………… 8 0648 0682028 …………………… 16 132………………………………该表由若干行数字组成，从第二行起，第一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为()A．2 019×22 015B．2 019×22 016C．2 018×22 017D．2 018×22 016解析：选B当第一行为2个数时，最后一行仅一个数，为3＝3×1＝3×20；当第一行为3个数时，最后一行仅一个数，为8＝4×2＝4×21；当第一行为4个数时，最后一行仅一个数，为20＝5×4＝5×22；当第一行为5个数时，最后一行仅一个数，为48＝6×8＝6×23；归纳推理得，当第一行为2 018个数时，最后一行仅一个数，为2 019×22 016.8．我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一直角边为股，斜边为弦．若a，b，c为直角三角形的三边，其中c为斜边，则a2＋b2＝c2，称这个定理为勾股定理．现将这一定理推广到立体几何中：在四面体O -ABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝90°，S为顶点O所对面的面积，S1，S2，S3分别为侧面△OAB，△OAC，△OBC的面积，则下列选项中对于S，S1，S2，S3满足的关系描述正确的为() A．S2＝S21＋S22＋S23B．S2＝1S21＋1S22＋1S23C．S＝S1＋S2＋S3D．S＝1S1＋1S2＋1S3解析：选A如图，作OD⊥BC于点D，连接AD，由立体几何知识知，AD⊥BC，从而S 2＝⎝⎛⎭⎫12BC ·AD 2＝14BC 2·AD 2＝14BC 2·(OA 2＋OD 2) ＝14(OB 2＋OC 2)·OA 2＋14BC 2·OD 2＝⎝⎛⎭⎫12OB ·OA 2＋⎝⎛⎭⎫12OC ·OA 2＋⎝⎛⎭⎫12BC ·OD 2 ＝S 21＋S 22＋S 23.二、填空题9．如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，那么对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，都有f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )n≤f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋…＋x n n .若y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是________．解析：由题意知，凸函数满足f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )n ≤f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋…＋x n n ，又y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，则sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin A ＋B ＋C 3＝3sin π3＝332. 答案：33210．(2018·湛江一模)如图，已知点O 是△ABC 内任意一点，连接AO ，BO ，CO ，并延长交对边于A 1，B 1，C 1则OA 1AA 1＋OB 1BB 1＋OC 1CC 1＝1，类比猜想：点O 是空间四面体A -BCD 内任意一点，连接AO ，BO ，CO ，DO ，并延长分别交平面BCD ，ACD ，ABD ，ABC 于点A 1，B 1，C 1，D 1，则有____________．解析：猜想：若O 为四面体A -BCD 内任意一点，连接AO ，BO ，CO ，DO ，并延长分别交平面BCD ，ACD ，ABD ，ABC 于点A 1，B 1，C 1，D 1，则OA 1AA 1＋OB 1BB 1＋OC 1CC 1＋OD 1DD 1＝1. 用等体积法证明如下：OA 1AA 1＋OB 1BB 1＋OC 1CC 1＋OD 1DD 1＝V O -BCD V A -BCD ＋V O -CAD V B -CAD ＋V O -ABD V C -ABD ＋V O -ABCV D -ABC ＝1. 答案：OA 1AA 1＋OB 1BB 1＋OC 1CC 1＋OD 1DD 1＝1 11．(2017·北京高考)某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：(ⅰ)男学生人数多于女学生人数； (ⅱ)女学生人数多于教师人数； (ⅲ)教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________． ②该小组人数的最小值为________．解析：令男学生、女学生、教师人数分别为x ，y ，z ，则z ＜y ＜x ＜2z .①若教师人数为4，则4＜y ＜x ＜8，当x ＝7时，y 取得最大值6.②当z ＝1时，1＝z ＜y ＜x ＜2，不满足条件；当z ＝2时，2＝z ＜y ＜x ＜4，不满足条件；当z ＝3时，3＝z ＜y ＜x ＜6，y ＝4，x ＝5，满足条件．所以该小组人数的最小值为3＋4＋5＝12. 答案：6 12 12．已知cos π3＝12，cos π5cos 2π5＝14， cos π7cos 2π7cos 3π7＝18， ……(1)根据以上等式，可猜想出的一般结论是________； (2)若数列{a n }中，a 1＝cos π3，a 2＝cos π5cos 2π5，a 3＝cos π7cos 2π7cos 3π7，…，前n 项和S n ＝1 0231 024，则n ＝________.解析：(1)从题中所给的几个等式可知，第n 个等式的左边应有n 个余弦相乘，且分母均为2n ＋1，分子分别为π，2π，…，n π，右边应为12n ，故可以猜想出结论为cos π2n ＋1cos 2π2n ＋1·…·cos n π2n ＋1＝12n (n ∈N *)．(2)由(1)可知a n ＝12n ，故S n ＝12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝1－12n ＝2n －12n ＝1 0231 024，解得n ＝10.答案：(1)cos π2n ＋1cos 2π2n ＋1·…·cos n π2n ＋1＝12n (n ∈N *)(2)10三、解答题13．在锐角三角形ABC 中，求证：sin A ＋sin B ＋sin C ＞cos A ＋cos B ＋cos C . 证明：∵△ABC 为锐角三角形， ∴A ＋B ＞π2，∴A ＞π2－B ，∵y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上是增函数， ∴sin A ＞sin ⎝⎛⎭⎫π2－B ＝cos B ，同理可得sin B ＞cos C ，sin C ＞cos A ， ∴sin A ＋sin B ＋sin C ＞cos A ＋cos B ＋cos C .14．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图中(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，向按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形．(1)求f (6)的值； (2)求f (n )的表达式；(3)求证：当n ≥2时，1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1＜32.解：(1)f (1)＝1， f (2)＝1＋4＝5， f (3)＝1＋4＋8＝13， f (4)＝1＋4＋8＋12＝25， f (5)＝1＋4＋8＋12＋16＝41， f (6)＝1＋4＋8＋12＋16＋20＝61. (2)∵f (2)－f (1)＝4＝4×1， f (3)－f (2)＝8＝4×2， f (4)－f (3)＝12＝4×3， f (5)－f (4)＝16＝4×4，由上式规律得出f (n ＋1)－f (n )＝4n . ∴f (n )－f (n －1)＝4×(n －1)， f (n －1)－f (n －2)＝4×(n －2)， f (n －2)－f (n －3)＝4×(n －3)， ……f (2)－f (1)＝4×1，∴f (n )－f (1)＝4[(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1]＝2(n －1)·n ， ∴f (n )＝2n 2－2n ＋1.(3)证明：当n ≥2时，1f (n )－1＝12n 2－2n ＝12⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ，∴1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1＝1＋12⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n＝1＋12⎝⎛⎭⎫1－1n ＝32－12n . 由于g (n )＝32－12n 为递增数列，即有g (n )≥g (1)＝1，且g (n )＜32，故1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1＜32.1．为弘扬中国传统文化，某校在高中三个年级中抽取甲、乙、丙三名同学进行问卷调查．调查结果显示这三名同学来自不同的年级，加入了不同的三个社团：“楹联社”“书法社”“汉服社”，还满足如下条件：(1)甲同学没有加入“楹联社”； (2)乙同学没有加入“汉服社”；(3)加入“楹联社”的那名同学不在高二年级； (4)加入“汉服社”的那名同学在高一年级； (5)乙同学不在高三年级．则甲同学所在的社团是( ) A ．楹联社 B ．书法社C ．汉服社D ．条件不足无法判断解析：选C 假设乙在高一，则由(4)知乙加入“汉服社”，与(2)矛盾，结合(5)知，乙在高二年级．根据(3)，可得乙加入“书法社”．根据(1)可知甲同学没有加入“楹联社”，可得甲同学所在的社团是汉服社.2．已知13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，若13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝3 025，则n ＝( ) A ．8 B ．9 C ．10D ．11解析：选C ∵13＋23＝32＝(1＋2)2， 13＋23＋33＝62＝(1＋2＋3)2， 13＋23＋33＋43＝102＝(1＋2＋3＋4)2，……∴13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2＝n2(n＋1)24.∵13＋23＋33＋43＋…＋n3＝3 025，∴n2(n＋1)24＝3 025，∴n2(n＋1)2＝(2×55)2，∴n(n＋1)＝110，解得n＝10.。

2021高考数学一轮复习课后限时集训39归纳与类比文北师大版

课后限时集训39归纳与类比建议用时：45分钟一、选择题1．下面四个推理,属于合情推理的是( )A．因为函数y＝sin x(x∈R)的值域为[－1,1],2x－1∈R,所以y＝sin(2x－1)(x∈R)的值域也为[－1,1]B．昆虫都有6条腿,竹节虫是昆虫,所以竹节虫有6条腿C．在平面中,对于三条不同的直线a,b,c,若a∥b,b∥c,则a∥c,将此结论放到空间中也是如此D．如果一个人在墙上写字的位置与他的视线平行,那么,墙上字迹离地面的高度大约是他的身高,凶手在墙上写字的位置与他的视线平行,福尔摩斯量得墙壁上的字迹距地面六尺多,于是,他得出了凶手身高六尺多的结论C[C中的推理属于合情推理中的类比推理,A,B,D中的推理都不是合情推理．]2．(2019·北京模拟)2018年科学家在研究皮肤细胞时发现了一种特殊的凸多面体, 称之为“扭曲棱柱”. 对于空间中的凸多面体, 数学家欧拉发现了它的顶点数、棱数与面数存在一定的数量关系．凸多面体顶点数棱数面数三棱柱69 5四棱柱812 6五棱锥610 6六棱锥7127A．14 B．16C．18 D．20C[由题意易知同一凸多面体顶点数、棱数与面数的规律为：棱数＝顶点数＋面数－2,所以12个顶点,8个面的扭曲棱柱的棱数＝12＋8－2＝18.故选C.]3．中国古代十进位制的算筹记数法在世界数学史上是一个伟大的创造．据史料推测,算筹最晚出现在春秋晚期战国初年．算筹记数的方法是：个位、百位、万位…的数按纵式的数码摆出；十位、千位、十万位…的数按横式的数码摆出,如7 738可用算筹表示为.1～9这9个数字的纵式与横式的表示数码如图所示,则3log 264的运算结果可用算筹表示为( )A BC DD [根据题意,3log 264＝36＝729, 用算筹记数表示为,故选D.]4．已知a n ＝log n ＋1(n ＋2)(n ∈N ＋),观察下列运算：a 1·a 2＝log 23·log 34＝lg 3lg 2·lg 4lg 3＝2； a 1·a 2·a 3·a 4·a 5·a 6＝log 23·log 34·…·log 78＝lg 3lg 2·lg 4lg 3·…·lg 8lg 7＝3；… 若a 1·a 2·a 3·…·a k (k ∈N ＋)为整数,则称k 为“企盼数”,试确定当a 1·a 2·a 3·…·a k＝2 019时,“企盼数”k 为( )A ．22 019＋2 B ．22 019C ．22 019－2D ．22 019－4C [a 1·a 2·a 3·…·a k ＝lg k ＋2lg 2＝2 019,lg(k ＋2)＝lg 22 019,故k ＝22 019－2.]5．甲、乙、丙、丁四名同学一起去向老师询问数学学业水平考试成绩等级．老师说：“你们四人中有2人A 等,1人B 等,1人C 等,我现在给甲看乙、丙的成绩等级,给乙看丙的成绩等级,给丙看丁的成绩等级”．看后甲对大家说：“我知道我的成绩等级了”．根据以上信息,则( )A ．甲、乙的成绩等级相同B ．丁可以知道四人的成绩等级C ．乙、丙的成绩等级相同D ．乙可以知道四人的成绩等级D [由题意,四个人所知的只有自己看到的,以及甲最后所说的话,甲知道自己的等级,则甲已经知道四个人等级,其甲、乙的成绩等级不一定是相同的,所以A 是不对的,乙、丙的成绩等级不一定是相同的,所以C 是不正确的,丁没有看任何人的成绩等级,所以丁不可能知道四人的成绩等级,所以B 是不对的,只有乙可能知道四人的成绩等级,所以D 是正确的．]6．图1是美丽的“勾股树”,它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到．图2是第1代“勾股树”,重复图2的作法,得到图3为第2代“勾股树”,以此类推,已知最大的正方形面积为1,则第n 代“勾股树”所有正方形的面积的和为( )图1 图2 图3A．n B．n2C．n－1 D．n＋1D[最大的正方形面积为1,当n＝1时,由勾股定理及图二知上面两小正方形面积和等于下面正方形面积1,∴正方形面积的和为2,依次类推,可得所有正方形面积的和为n＋1,故选D.]7．为了提高信息在传输中的抗干扰能力,通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设原信息为a1a2a3,传输信息为h1a1a2a3h2,其中h1＝a1a2,h2＝h1a3,运算规则为：00＝0,01＝1,10＝1,11＝0.例如：原信息为111,则传输信息为01111.传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错,则下列接收信息出错的是( ) A．01100 B．11010C．10110 D．11000D[A选项原信息为110,则h1＝a1a2＝11＝0,h2＝h1a3＝00＝0,所以传输信息为01100,A选项正确；B选项原信息为101,则h1＝a1a2＝10＝1,h2＝h1a3＝11＝0,所以传输信息为11010,B选项正确；C选项原信息为011,则h1＝a1a2＝01＝1,h2＝h1a3＝11＝0,所以传输信息为10110,C选项正确；D选项原信息为100,则h1＝a1a2＝10＝1,h2＝h1a3＝10＝1,所以传输信息为11001,D选项错误．故选D.]二、填空题8．将正奇数按如图所示的规律排列：13 5 79 11 13 15 1719 21 23 25 27 29 31……则2 019在第________行,从左向右第________个数．32 49[根据排列规律可知,第一行有1个奇数,第2行有3个奇数,第3行有5个奇数……可得第n 行有2n －1个奇数,前n 行总共有n 1＋2n －12＝n 2个奇数,当n ＝31时,共有n 2＝961个奇数,当n ＝32时,共有n 2＝1 024个奇数,所以2 019是第1 010个奇数,在第32行第49个数．]9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,则S 4,S 8－S 4,S 12－S 8,S 16－S 12成等差数列．类比以上结论我们可以得到一个真命题为：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ,则________成等比数列．T 4,T 8T 4,T 12T 8,T 16T 12[利用类比推理把等差数列中的差换成商即可．] 10．(2019·延安模拟)甲、乙、丙三位教师分别在延安、咸阳、宝鸡的三所中学里教不同的学科A ,B ,C ,已知：①甲不在延安工作,乙不在咸阳工作； ②在延安工作的教师不教C 学科； ③在咸阳工作的教师教A 学科； ④乙不教B 学科．可以判断乙工作的地方和教的学科分别是________,________.宝鸡 C [由③得在咸阳工作的教师教A 学科；又由①得乙不在咸阳工作,所以乙不教A 学科；由④得乙不教B 学科,结合③乙不教A 学科,可得乙必教C 学科,所以由②得乙不在延安工作,由①得乙不在咸阳工作；所以乙在宝鸡工作,综上,乙工作的地方和教的学科分别是宝鸡和C 学科. ]1. 二维空间中,圆的一维测度(周长)l ＝2πr ,二维测度(面积)S ＝πr 2；三维空间中,球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2,三维测度(体积)V ＝43πr 3,应用合情推理,若四维空间中,“超球”的三维测度V ＝8πr 3,则其四维测度W ＝( )A ．2πr 4B ．3πr 4C ．4πr 4D ．6πr 4A [二维空间中,圆的一维测度(周长)l ＝2πr ,二维测度(面积)S ＝πr 2,(πr 2)′＝2πr ,三维空间中,球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2,三维测度(体积)V ＝43πr 3,⎝ ⎛⎭⎪⎫43πr 3′＝4πr 2,四维空间中,“超球”的三维测度V ＝8πr 3,∵(2πr 4)′＝8πr 3,∴“超球”的四维测度W ＝2πr 4.故选A.]2．(2019·雅礼中学模拟)如图,将平面直角坐标系的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签：原点处标0,点(1,0)处标1,点(1,－1)处标2,点(0,－1)处标3,点(－1,－1)处标4,点(－1,0)处标5,点(－1,1)处标6,点(0,1)处标7,……,以此类推,则标2 0192的格点的坐标为( )A ．(1 010,1 009)B ．(1 009,1 008)C ．(2 019,2 018)D ．(2 018,2 017)A [点(1,0)处标1,即12；点(2,1)处标9,即32；点(3,2)处标25,即52；……,由此推断点(n ＋1,n )处标(2n ＋1)2,当2n ＋1＝2 019时,n ＝1 009,故标2 0192的格点的坐标为(1 010,1 009)．故选A.]3．对于实数x ,[x ]表示不超过x 的最大整数,观察下列等式： [1]＋[2]＋[3]＝3,[4]＋[5]＋[6]＋[7]＋[8]＝10,[9]＋[10]＋[11]＋[12]＋[13]＋[14]＋[15]＝21, ……按照此规律第n 个等式的等号右边的结果为________． 2n 2＋n [因为[1]＋[2]＋[3]＝1×3, [4]＋[5]＋[6]＋[7]＋[8]＝2×5,[9]＋[10]＋[11]＋[12]＋[13]＋[14]＋[15]＝3×7,……,以此类推,第n 个等式的等号右边的结果为n (2n ＋1),即2n 2＋n .]4．对于三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0),给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导数,f ″(x )是f ′(x )的导数,若方程f ″(x )＝0有实数解x 0,则称点(x 0,f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心．若f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512,则函数f (x )的对称中心为________,f ⎝⎛⎭⎪⎫12 019＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 019＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32 019＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫42 019＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0182 019＝________.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 2 018 [f ′(x )＝x 2－x ＋3,f ″(x )＝2x －1,由f ″(x )＝0,即2x －1＝0,解得x ＝12.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫123－⎝ ⎛⎭⎪⎫12×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋3×12－512＝1.由题中给出的结论,可知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＝2,即f (x )＋f (1－x )＝2. 故f ⎝⎛⎭⎪⎫12 019＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0182 019＝2,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 019＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0172 019＝2,f ⎝⎛⎭⎪⎫32 019＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0162 019＝2,……,f ⎝⎛⎭⎪⎫2 0182 019＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 019＝2.所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 019＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 019＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32 019＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫42 019＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0182 019＝12×2×2 018＝2 018.]1．“现代五项”是由现代奥林匹克之父顾拜旦先生创立的运动项目,包含射击、击剑、游泳、马术和越野跑五项运动．已知甲、乙、丙共三人参加“现代五项”．规定每一项运动的前三名得分都分别为a ,b ,c (a >b >c 且a ,b ,c ∈N ＋),选手最终得分为各项得分之和．已知甲最终得22分,乙和丙最终各得9分,且乙的马术比赛获得了第一名,则游泳比赛的第三名是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．乙和丙都有可能B [因为只有甲、乙、丙三人参赛,故射击击剑游泳马术越野跑总分甲 5 5 5 2 5 22 乙 1 1 1 5 1 9 丙222129显然4>3>1不符,因为即使五个第一名也不够22分．所以a ＝5,b ＝2,c ＝1.所以由上面可知,甲马术第二名,其余四个选项都是第一名,总共22分．由于丙马术第三名,记1分,所以其余四项均第二名,记2分,共9分．乙马术第一名,记5分,其余四项均第三名,记1分,共9分．所以选B.]2．某种平面分形图如图所示,一级分形图是由一点出发的三条线段,长度均为1,两两夹角为120°；二级分形图是从一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来的13的线段,且这两条线段与原线段两两夹角为120°,…,依此规律得到n 级分形图．(1)n 级分形图中共有________条线段； (2)n 级分形图中所有线段长度之和为________．(1)3×2n－3(n ∈N ＋) (2)9－9×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n(n ∈N ＋) [(1)由题图知,一级分形图中的线段条数为3＝3×2－3,二级分形图中的线段条数为9＝3×22－3,三级分形图中的线段条数为21＝3×23－3,按此规律,n 级分形图中的线段条数为a n ＝3×2n－3(n ∈N ＋)．(2)∵从分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来的13的线段,∴n 级分形图中第n 级的所有线段的长度和为b n ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n-1(n ∈N ＋),∴n 级分形图中所有线段长度之和为S n＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫230＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫231＋…＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n-1＝3×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n1－23＝9－9×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n(n ∈N ＋)．]。

集合-2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结(新高考通用)解析版

2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）第01练集合（精练）1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系，能用自然语言、图形语言、集合语言列举法或描述法描述不同的具体问题.2.理解集合间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.在具体情境中，了解全集与空集的含义.3.理解两个集合的并集、交集与补集的含义，会求两个简单集合的并集、交集与补集.能使用Venn 图表示集合间的基本关系及集合的基本运算.一、单选题1．（2023·全国·高考真题）设全集{}0,1,2,4,6,8U =，集合{}{}0,4,6,0,1,6M N ==，则U M N ⋃=ð（）A ．{}0,2,4,6,8B ．{}0,1,4,6,8C ．{}1,2,4,6,8D ．U2．（2023·全国·高考真题）已知集合{}2,1,0,1,2M =--，260N x x x =--≥，则M N ⋂=（）A ．{}2,1,0,1--B ．{}0,1,2C ．{}2-D ．{}2【答案】C【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N ，即可根据交集的运算解出．方法二：将集合M 中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．-3．（2023·全国·高考真题）设集合{}0,A a =-，{}1,2,22B a a =--，若A B ⊆，则=a （）．A ．2B ．1C ．23D ．1-4．（2023·全国·高考真题）设全集Z U =,集合{31,},{32,}M xx k k Z N x x k k Z ==+∈==+∈∣∣，()U M N ⋃=ð（）A ．{|3,}x x k k =∈Z B ．{31,}xx k k Z =-∈∣C ．{32,}xx k k Z =-∈∣D ．∅【答案】A【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出．【详解】因为整数集{}{}{}|3,|31,|32,x x k k x x k k x x k k ==∈=+∈=+∈Z Z Z Z ，U Z =，所以，(){}|3,U M N x x k k ==∈Z ð．故选：A ．5．（2023·全国·高考真题）已知等差数列{}n a 的公差为23π，集合{}*cos N n S a n =∈，若{},S a b =，则ab =（）A ．－1B ．12-C ．0D ．126．（2022·全国·高考真题）设全集{1,2,3,4,5}U =，集合M 满足{1,3}U M =ð，则（）A ．2M ∈B ．3M ∈C ．4M ∉D ．5M∉【答案】A【分析】先写出集合M ,然后逐项验证即可【详解】由题知{2,4,5}M =,对比选项知，A 正确,BCD 错误故选:A7．（2022·全国·高考真题）若集合{4},{31}M x N x x ==≥∣，则M N ⋂=（）8．（2022·全国·高考真题）已知集合{}{}1,1,2,4,11A B x x =-=-≤，则A B = （）A ．{1,2}-B ．{1,2}C ．{1,4}D ．{1,4}-【A 级基础巩固练】一、单选题1．（2024·北京丰台·一模）已知集合{}220A x x x =-≤，{}10B x x =->，则A B ⋃=（）A ．{}0x x ≥B ．{}01x x ≤<C ．{}1x x >D ．{}12x x <≤2．（2024·北京顺义·二模）设集合24U x x =∈≤Z ，{}1,2A =，则U A =ð（）A ．[]2,0-B ．{}0C ．{}2,1--D ．{}2,1,0--【答案】DA ．(]0,2B ．31,2⎛⎤ ⎥C ．()0,2D ．30,2⎛⎤4．（23-24高三下·四川成都·阶段练习）已知集合{}{}1,2,2,3A B ==，则集合{},,C z z x y x A y B ==+∈∈的子集个数为（）A ．5B ．6C ．7D ．85．（2024·陕西安康·模拟预测）已知集合{}{}3N 0log 2,21,Z A x x B x x k k =∈<<==+∈∣∣，则A B = （）A ．{}1,3,5,7B ．{}5,6,7C ．{}3,5D ．{}3,5,7【答案】D【分析】先求出集合A ，再根据交集的定义即可得解.【详解】{}{}{}3N0log 2N192,3,4,5,6,7,8A x x x x =∈<<=∈<<=∣∣，所以{}3,5,7A B = .故选：D.6．（23-24高三下·四川雅安·阶段练习）若集合{}2,1,4,8A =-，{}2,B x y x A y A =-∈∈∣，则B 中元素的最大值为（）A ．4B ．5C ．7D ．10【答案】C【分析】根据B 中元素的特征，只需满足()2max minx y-即可得解.【详解】由题意，()()222max maxmin817x y x y -=-=-=.故选：C7．（2024·四川成都·三模）设全集{}1,2,3,4,5U =，若集合M 满足{}1,4U M ⊆ð，则（）A ．4M ÎB ．1M ∉C ．2M ∈D ．3M∉8．（2024·河北沧州·模拟预测）已知集合{}4A x x =∈<N ，{}21,B x x n n A ==-∈，P A B =⋂，则集合P 的子集共有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．8个9．（2024·全国·模拟预测）若集合{}()(){}28,158A x x B x x x =∈<=+->-Z ，则()A B ⋂=R ð（）A ．{}0,1,2B ．{0x x ≤<C ．{1x x ≤≤D ．{}1,210．（2024·四川泸州·三模）已知集合2230A x x x =--<，{}0,B a =，若A B ⋂中有且仅有一个元素，则实数a 的取值范围为（）A ．()1,3-B ．(][),13,-∞-+∞C ．()3,1-D ．(][),31,-∞-⋃+∞11．（2024·北京东城·一模）如图所示，U 是全集，,A B 是U 的子集，则阴影部分所表示的集合是（）A ．AB ⋂B ．A B⋃C ．()U A B ⋂ðD ．()U A B ⋃ð【答案】D【分析】由给定的韦恩图分析出阴影部分所表示的集合中元素满足的条件，再根据集合运算的定义即可得解.【详解】由韦恩图可知阴影部分所表示的集合是()U A B ð.二、多选题12．（2024·甘肃定西·一模）设集合{}{}26,,A x x x B xy x A y A =-≤=∈∈∣∣，则（）A ．AB B= B ．Z B ⋂的元素个数为16C ．A B B⋃=D ．A Z I 的子集个数为64取值可能是（）A ．3-B ．1C ．1-D ．014．（2024·广西·二模）若集合M 和N 关系的Venn 图如图所示，则,M N 可能是（）A ．{}{}0,2,4,6,4M N ==B ．{}21,{1}M xx N x x =<=>-∣∣C ．{}{}lg ,e 5x M xy x N y y ====+∣∣D ．(){}(){}22,,,M x y x y N x y y x ====∣∣三、填空题15．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合{}22,4,10A a a a =-+，且3A -∈，则=a .【答案】3-【分析】根据题意，列出方程，求得a 的值，结合集合元素的互异性，即可求解.【详解】因为3A -∈，所以23a -=-或243a a +=-，解得1a =-或3a =-，当1a =-时，23a -=，243a a +=-，集合A 不满足元素的互异性，所以1a =-舍去；当3a =-时，经检验，符合题意，所以3a =-．故答案为：3-．16．（2024高三下·全国·专题练习）集合(){}22,2,,x y x y x y +<∈∈Z Z 的真子集的个数是.17．（23-24高一上·辽宁大连·期中）设{}50A x x =-=，{}10B x ax =-=，若A B B = ，则实数a 的值为.18．（2024·安徽合肥·一模）已知集合{}{}24,11A x x B x a x a =≤=-≤≤+∣∣，若A B ⋂=∅，则a 的取值范围是.【答案】()(),33,-∞-+∞ 【分析】利用一元二次不等式的解法及交集的定义即可求解.【详解】由24x ≤，得()()220x x -+≤,解得22x -≤≤，所以{}22A xx =-≤≤∣.因为A B ⋂=∅，所以12a +<-或12a ->，解得3a <-或3a >，所以a 的取值范围是()(),33,-∞-+∞ .故答案为：()(),33,-∞-+∞ .19．（2024高三·全国·专题练习）设集合(){}2|1A x x a =-<，且2A ∈，3A ∉，则实数a 的取值范围为．【答案】(]1,2【分析】首先解一元二次不等式求出集合A ，再根据2A ∈且3A ∉得到不等式组，解得即可.【详解】由()21x a -<，即11x a -<-<，解得11a x a -<<+，即(){}{}2|11|1A x x a x a x a =-<=-<<+，因为2A ∈且3A ∉，所以121213a a a -<⎧⎪+>⎨⎪+≤⎩，解得12a <≤，即实数a 的取值范围为(]1,2.故答案为：(]1,2四、解答题20．（23-24高一上·广东湛江·期末）已知集合()(){}230A x x x =-+≤，{}11B x a x a =-<<+，定义两个集合P ，Q 的差运算：{},P Q x x P x Q -=∈∉且．(1)当1a =时，求A B -与B A -；(2)若“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，求实数a 的取值范围．21．（2024高三·全国·专题练习）设M 是由直线0Ax By C ++=上所有点构成的集合,即{}(,)0M x y Ax By C =++=,在点集M 上定义运算“⊗”：对任意()11,,x y M ∈()22,,x y M ∈则()()11221212,,x y x y x x y y ⊗=+．(1)若M 是直线230x y -+=上所有点的集合,计算()()1,52,1⊗--的值．(2)对（1）中的点集M ,能否确定(3,)(,5)a b ⊗（其中,a b ∈R ）的值？(3)对（1）中的点集M ,若(3,)(,)0a b c ⊗<,请你写出实数a ,b ,c 可能的值．【B 级能力提升练】一、单选题1．（2024·全国·模拟预测）已知集合{}{}2210,2log 10M x x P x x =->=-<，则M P ⋂=（）A ．12x x ⎧<<⎨⎩B ．142x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭C ．{}4x <<D ．{}24x x <<2．（2024·宁夏银川·一模）设全集{0,1,2,3,4,5,6},{1,2,3,4,5},{Z 2}U A B x ===∈<，则集合{4,5}=（）A ．()U AB ⋂ðB ．()U A B ⋂ðC ．()U A B ∩ðD ．()()U U A B ⋂痧所以{}{}Z |041,2,3B x x =∈<<=，所以{}0,4,5,6U B =ð，所以(){}4,5U A B Ç=ð，故ABD 错误，故C 正确；故选：C3．（23-24高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知集合{}24xA x =>，集合{}B x x a =<∣，若A B ⋃=R ，则实数a 的取值范围为（）A ．(],2-∞B ．[)2,+∞C ．(),2-∞D ．()2,+∞【答案】D【分析】先求出集合A ，然后根据A B ⋃=R ，即可求解.【详解】由24x >，得2x >，所以()2,A =+∞，因为(),B a =-∞，A B ⋃=R ，所以2a >，故D 正确.故选：D.4．（23-24高一上·全国·期末）已知m ∈R ，n ∈R ，若集合{}2,,1,,0n m m m n m ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，则20232023m n +的值为（）A ．2-B ．1-C ．1D ．25．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）已知全集{}N |010U A B x x =⋃=∈≤≤，(){}1,3,5,7U A B ⋂=ð，则集合B 的元素个数为（）A ．6B ．7C ．8D ．不确定【答案】B【分析】由已知求出全集，再由(){}U 1,3,5,7A B ⋂=ð可知A 中肯定有1，3，5，7，B 中肯定没有1，3，5，7，从而可求出B 中的元素.【详解】因为全集{}{}N |0100,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10U A B x x =⋃=∈≤≤=，(){}1,3,5,7U A B ⋂=ð，所以A 中肯定有1，3，5，7，B 中肯定没有1，3，5，7，A 和B 中都有可能有0，2，4，6，8，9，10，且除了1，3，5，7，A 中有的其他数字，B 中也一定会有，A 中没有的数字，B 中也一定会有，所以{}0,2,4,6,8,9,10B =，故选：B6．（23-24高三下·甘肃·阶段练习）如果集合U 存在一组两两不交（两个集合交集为空集时，称为不交）的非空子集()*122,,,,k A A A k k ≥∈N ，且满足12k A A A U =U U L U ，那么称子集组12,,,k A A A 构成集合U 的一个k 划分．若集合I 中含有4个元素，则集合I 的所有划分的个数为（）A ．7个B ．9个C ．10个D ．14个二、多选题7．（2024·江苏泰州·模拟预测）对任意,A B ⊆R ，记{},A B x x A B x A B ⊕=∈⋃∉⋂，并称A B ⊕为集合,A B的对称差．例如：若{}{}1,2,3,2,3,4A B ==，则{}1,4A B ⊕=．下列命题中，为真命题的是（）A ．若,AB ⊆R 且A B B ⊕=，则A =∅B ．若,A B ⊆R 且A B ⊕=∅，则A B =C ．若,A B ⊆R 且A B A ⊕⊆，则A B ⊆D ．存在,A B ⊆R ，使得A B A B⊕≠⊕R R痧三、填空题8．（2024·浙江绍兴·二模）已知集合{}20A x x mx =+≤，1,13B m ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，且A B ⋂有4个子集，则实数m 的最小值是.9．（2024·湖南·二模）对于非空集合P ，定义函数()1,,P f x x P ⎧=⎨∈⎩已知集合{01},{2}A x x B x t x t=<<=<<∣∣，若存在x ∈R ，使得()()0A B f x f x +>，则实数t 的取值范围为.【C 级拓广探索练】一、单选题1．（2023·上海普陀·一模）设1A 、2A 、3A 、L 、7A 是均含有2个元素的集合，且17A A ⋂=∅，()11,2,3,,6i i A A i +⋂=∅= ，记1237B A A A A =⋃⋃⋃⋃ ，则B 中元素个数的最小值是（）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】A【分析】设1x 、2x 、L 、()4n x n ≥是集合B 互不相同的元素，分析可知4n ≥，然后对n 的取值由小到大进行分析，验证题中的条件是否满足，即可得解.【详解】解：设1x 、2x 、L 、()4n x n ≥是集合B 互不相同的元素，若3n =，则12A A ⋂≠∅，不合乎题意.①假设集合B 中含有4个元素，可设{}112,A x x =，则{}24634,A A A x x ===，{}35712,A A A x x ===，这与17A A ⋂=∅矛盾；②假设集合B 中含有5个元素，可设{}1612,A A x x ==，{}2734,A A x x ==，{}351,A x x =，{}423,A x x =，{}545,A x x =，满足题意.综上所述，集合B 中元素个数最少为5.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查集合元素个数的最值的求解，解题的关键在于对集合元素的个数由小到大进行分类，对集合中的元素进行分析，验证题中条件是否成立即可.二、多选题2．（2024·浙江宁波·二模）指示函数是一个重要的数学函数，通常用来表示某个条件的成立情况.已知U 为全集且元素个数有限，对于U 的任意一个子集S ，定义集合S 的指示函数()()U 1,1,10,S S x Sx x x S∈⎧=⎨∈⎩ð若,,A B C U ⊆，则（）注：()x Mf x ∈∑表示M 中所有元素x 所对应的函数值()f x 之和（其中M 是()f x 定义域的子集）.A ．1()1()A A x Ax Ux x ∈∈<∑∑B ．1()1()1()A B A A B x x x ⋂⋃≤≤C ．()1()1()1()1()1()A B A B A B x Ux Ux x x x x ⋃∈∈=+-∑∑D ．()()()11()11()11()1()1()A B C U A B C x Ux Ux Ux x x x x ⋃⋃∈∈∈---=-∑∑∑【答案】BCD【分析】根据()1S x 的定义()U 1,10,S x Sx x S ∈⎧=⎨∈⎩ð，即可结合选项逐一求解.【详解】对于A ，由于A U ⊆,所以1()1()1()1(),uA A A A x U x A x A x Ax x x x ∈∈∈∈=+=∑∑∑∑ð故1()1()A A x Ax Ux x ∈∈=∑∑，故A 错误，对于B ，若x A B ∈ ,则1()1,1()1,1()1A B A A B x x x ⋂⋃===，此时满足1()1()1()A B A A B x x x ⋂⋃≤≤，若x A ∈且x B ∉时，1()0,1()1,1()1A B A A B x x x ⋂⋃===，若x B ∈且x A ∉时，1()0,1()0,1()1A B A A B x x x ⋂⋃===，若x A ∉且x B ∉时，1()0,1()0,1()0A B A A B x x x ⋂⋃===，综上可得1()1()1()A B A A B x x x ⋂⋃≤≤，故B 正确，对于C ，()()()()()1()1()1()1()1()1()1()1()1()1()1()1()U UAB A B AB A B AB A B x Ux A B x B A x x x x x x x x x x x x ∈∈⋂∈⋂+-=+-++-∑∑∑痧()()()()1()1()1()1()1()1()1()1()U ABABABABx A B x A Bx x x x x x x x ∈⋂∈⋃++-++-∑∑ð()()()()()()()1()1()1()1()1()1()1()1()1()1()1()1()0U U U ABABABABABABx A B x A B x A B x B A x x x x x x x x x x x x ∈⋂∈⋃∈⋂∈⋂=+-++-++-+∑∑∑∑ð痧()()1()1()1()1()ABABx A B x x x x ∈⋃=+-∑而()1()1()1()1()U A B A BA B A Bx Ux A Bx A Bx A Bx x x x ⋃⋃⋃⋃∈∈⋃∈⋃∈⋃=+=∑∑∑∑ð，由于()()()U 1,10,A B x A Bx x A B ⋃∈⋃⎧=⎨∈⋃⎩ð，所以1()1()1()1()1()A B A B A B x x x x x ⋃+-=故()1()1()1()1()1()A B AB A B x U x Ux x x x x ⋃∈∈=+-∑∑,C 正确，()1()1()1()U UA B C U x Ux Ux A B C x x x ⋃⋃∈∈∈⋃⋃-=∑∑∑ð,当x A B C ∈⋃⋃时，此时()()()1,1,1A B C x x x 中至少一个为1，所以()()()11()11()11()0A B C x x x ---=，当()x A B C ∉⋃⋃时，此时()()()1,1,1A B C x x x 均为0，所以()()()11()11()11()1A B C x x x ---=，故()()()()()()()()11()11()11()11()11()11()1()UU A B C A B C A B C U x U x x A B C x x x x x x x ⋃⋃∈∈∈⋃⋃---=---=∑∑∑痧,故D 正确，故选：BCD【点睛】关键点点睛：充分利用()1S x 的定义()U 1,10,S x Sx x S ∈⎧=⎨∈⎩ð以及()x M f x ∈∑的定义，由此可得()x A B C ∉⋃⋃时，此时1(),1(),I ()A B C x x x 均为0，x A B C ∈⋃⋃时，此时1(),1(),I ()A B C x x x 中至少一个为1，结合()1S x 的定义化简求解.三、填空题3．（23-24高三上·江西·期末）定义：有限集合{}++,,N ,N i A x x a i n i n ==≤∈∈，12n S a a a =+++ 则称S 为集合A 的“元素和”，记为A .若集合(){}+12,,N ,N i P x x i i n i n +==+≤∈∈，集合P 的所有非空子集分别为1P ，2P ，…，k P ，则12k P P P +++=.四、解答题4．（2024·浙江台州·二模）设A ，B 是两个非空集合，如果对于集合A 中的任意一个元素x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 和它对应，并且不同的x 对应不同的y ；同时B 中的每一个元素y ，都有一个A 中的元素x 与它对应，则称f ：A B →为从集合A 到集合B 的一一对应，并称集合A 与B 等势，记作A B =.若集合A 与B 之间不存在一一对应关系，则称A 与B 不等势，记作A B ≠.例如：对于集合*N A =，{}*2N B n n =∈，存在一一对应关系()2,y x x A y B =∈∈，因此A B =.(1)已知集合(){}22,1C x y x y =+=，()22,|143x y D x y ⎧⎫=+=⎨⎬⎩⎭，试判断C D =是否成立?请说明理由；(2)证明：①()()0,1,=-∞+∞；②{}**N N x x ≠⊆.【答案】(1)成立，理由见解析(2)①证明见解析；②证明见解析5．（2024·北京延庆·一模）已知数列{}n a ，记集合()(){}*1,,...,1,,N i i j T S i j S i j a a a i j i j +==+++≤<∈.(1)若数列{}n a 为1,2,3，写出集合T ；(2)若2n a n =，是否存在*,N i j ∈，使得(),512S i j =？若存在，求出一组符合条件的,i j ；若不存在，说明理由；(3)若n a n =，把集合T 中的元素从小到大排列，得到的新数列为12,,...,,...m b b b ，若2024m b ≤，求m 的最大值．若正整数()221t h k =+，其中*N,N t k ∈∈，则当1221t k +>+时，由等差数列的性质可得：()()()()()()()22122...2221...21221...212t t t t t t t t t t t h k k k k k =+=+++=-+-+++-++++++-++，此时结论成立，当1221t k +<+时，由等差数列的性质可得：()()()()()()()()2121...2121...112...2t t h k k k k k k k k k =++++++=-+++-++++++++，此时结论成立，对于数列n a n =，此问题等价于数列1,2,3,...n 其相应集合T 中满足2024m b ≤有多少项，由前面证明可知正整数1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024不是T 中的项，所以m 的最大值为2013.。

2022北师大版文科数学高考总复习教师用书：11-1归纳与类比 Word版含答案

第1讲归纳与类比最新考纲 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简洁的推理，了解合情推理在数学发觉中的作用；2.了解演绎推理的重要性，把握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简洁推理；3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．知识梳理1．归纳推理：依据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个都有这种属性．我们将这种推理方式称为归纳推理．简言之，归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理．归纳推理的基本模式：a，b，c∈M且a，b，c具有某属性，结论：任意d∈M，d也具有某属性．2．类比推理：由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，依据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．类比推理的基本模式：A：具有属性a，b，c，d；B：具有属性：a′，b′，c′；结论：B具有属性d′.(a，b，c，d与a′，b′，c′，d′相像或相同)3．归纳推理和类比推理是最常见的合情推理，合情推理的结果不肯定正确．4．演绎推理(1)定义：从一般性的原理动身，推出某个特殊状况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所争辩的特殊状况；③结论——依据一般原理，对特殊状况作出的推断．诊断自测1．推断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT呈现(1)归纳推理得到的结论不肯定正确，类比推理得到的结论肯定正确．()(2)由平面三角形的性质推想空间四周体的性质，这是一种合情推理．()(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．()(4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就肯定正确．()解析(1)类比推理的结论不肯定正确．(3)平面中的三角形与空间中的四周体作为类比对象较为合适．(4)演绎推理是在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论肯定正确．答案(1)×(2)√(3)×(4)×2．数列2,5,11,20，x,47，…中的x等于()A．28 B．32 C．33 D．27解析5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9，推出x－20＝12，所以x＝32.答案 B3．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理()A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确解析f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确．答案 C4．(2021·陕西卷)观看下列等式1－12＝121－12＋13－14＝13＋141－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16……据此规律，第n个等式可为________．解析第n个等式左边共有2n项且等式左边分母分别为1,2，…，2n，分子为1，正负交替消灭，即为1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n；等式右边共有n项且分母分别为n＋1，n＋2，…，2n，分子为1，即为1n＋1＋1n＋2＋…＋12n.所以第n个等式可为1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n＝1n＋1＋1 n＋2＋…＋12n.答案1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n5．(教材改编)在等差数列{a n}中，若a10＝0，则有a1＋a2＋…＋a n＝a1＋a2＋…＋a19－n(n＜19，n ∈N＋)成立，类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b9＝1，则b1b2b3…b n＝________.答案b1b2b3…b17－n(n＜17，n∈N＋)考点一归纳推理【例1】 (1)(2022·山东卷)观看下列等式： ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3－2＝43×1×2；⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 4π5－2＝43×2×3；⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π7－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 6π7－2 ＝43×3×4；⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π9－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 8π9－2＝43×4×5；……照此规律，⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2n π2n ＋1－2＝________. (2)(2021·西安模拟)观看下列式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，……，依据上述规律，第n 个不等式应当为________．解析 (1)观看前4个等式，由归纳推理可知⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π2n ＋1－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2n π2n ＋1－2＝43×n ×(n ＋1)＝4n (n ＋1)3.(2)依据规律，知不等式的左边是n ＋1个自然数的平方的倒数的和，右边分母是以2为首项，1为公差的等差数列，分子是以3为首项，2为公差的等差数列，所以第n 个不等式应当为1＋122＋132＋…＋1(n ＋1)2<2n ＋1n ＋1.答案 (1)4n (n ＋1)3(2)1＋122＋132＋…＋1(n ＋1)2<2n ＋1n ＋1规律方法归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与数字有关的等式的推理．观看数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解． (2)与不等式有关的推理．观看每个不等式的特点，留意是纵向看，找到规律后可解． (3)与数列有关的推理．通常是先求出几个特殊现象，接受不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可．(4)与图形变化有关的推理．合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．【训练1】 (1)用火柴棒摆“金鱼”，如图所示，依据下面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为________．(2)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家争辩过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12n ，记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n ，正方形数 N (n,4)＝n 2，五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n ，六边形数 N (n,6)＝2n 2－n ……可以推想N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝____________.解析 (1)由题意知：图②的火柴棒比图①的多6根，图③的火柴棒比图②的多6根，而图①的火柴棒的根数为2＋6，∴第n 条小鱼需要(2＋6n )根． (2)三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n ＝n 2＋n 2，正方形数 N (n,4)＝n 2＝2n 2－0·n2，五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n ＝3n 2－n 2，六边形数 N (n,6)＝2n 2－n ＝4n 2－2n2，k 边形数 N (n ，k )＝(k －2)n 2－(k －4)n2，所以N (10,24)＝22×102－20×102＝2 200－2002＝1 000.答案 (1)2＋6n (2)1 000 考点二类比推理【例2】 (1)若数列{a n }是等差数列，则数列{b n }⎝ ⎛⎭⎪⎫b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n 也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为( ) A ．d n ＝c 1＋c 2＋…＋c n n B ．d n ＝c 1·c 2·…·c nnC ．d n ＝n c n 1＋c n 2＋…＋c n nnD ．d n ＝n c 1·c 2·…·c n (2)(2021·南昌二中月考)如图(1)所示，点O 是△ABC 内任意一点，连接AO ，BO ，CO ，并延长交对边于A 1，B 1，C 1，则OA 1AA 1＋OB 1BB 1＋OC 1CC 1＝1，类比猜想：点O 是空间四周体V －BCD 内的任意一点，如图(2)所示，连接VO ，BO ，CO ，DO 并延长分别交面BCD ，VCD ，VBD ，VBC 于点V 1，B 1，C 1，D 1，则有________________．解析 (1)法一从商类比开方，从和类比积，则算术平均数可以类比几何平均数，故d n 的表达式为d n ＝nc 1·c 2·…·c n .法二若{a n }是等差数列，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n (n －1)2d ，∴b n ＝a 1＋(n －1)2d ＝d 2n ＋a 1－d 2，即{b n }为等差数列；若{c n }是等比数列，则c 1·c 2·…·c n ＝c n 1·q 1＋2＋…＋(n －1)＝c n1·，∴d n ＝nc 1·c 2·…·c n ＝c 1·，即{d n }为等比数列，故选D.(2)利用类比推理，猜想应有OV 1VV 1＋OB 1BB 1＋OC 1CC 1＋OD 1DD 1＝1.用“体积法”证明如下：OV 1VV 1＋OB 1BB 1＋OC 1CC 1＋OD 1DD 1＝V O －BCD V V －BCD ＋V O －VCD V B －VCD ＋V O －VBD V C －VBD ＋V O －VBC V D －VBC ＝V V －BCDV V －BCD ＝1. 答案 (1)D (2)OV 1VV 1＋OB 1BB 1＋OC 1CC 1＋OD 1DD 1＝1规律方法 (1)进行类比推理，应从具体问题动身，通过观看、分析、联想进行类比，提出猜想．其中找到合适的类比对象是解题的关键．(2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等.【训练2】 (2021·安徽江淮十校三联)我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不行割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在2＋2＋2＋…中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，这可以通过方程2＋x ＝x 确定出来x ＝2，类似地不难得到1＋11＋11＋…＝( )A.－5－12B.5－12C.1＋52 D.1－52解析 1＋11＋11＋…＝x ，即1＋1x ＝x ，即x 2－x －1＝0，解得x ＝1＋52(x ＝1－52舍)，故1＋11＋11＋…＝1＋52，故选C.答案 C考点三演绎推理【例3】数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n (n ∈N ＋)．证明：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .证明 (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n ，∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . ∴S n ＋1n ＋1＝2·S n n ，又S 11＝1≠0，(小前提) 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论)(大前提是等比数列的定义，这里省略了) (2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)，∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)，(小前提)又a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) ∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)规律方法演绎推理是从一般到特殊的推理；其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，假如前提是明显的，则可以省略．【训练3】 (2022·全国Ⅱ卷)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．解析由丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”可知，丙为“1和2”或“1和3”，又乙说“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，所以乙只可能为“2和3”，所以由甲说“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，所以甲只能为“1和3”．答案 1和3[思想方法]1．合情推理的过程概括为从具体问题动身→观看、分析、比较、联想→ 归纳、类比→提出猜想2．演绎推理是从一般的原理动身，推出某个特殊状况的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论．数学问题的证明主要通过演绎推理来进行． [易错防范]1．合情推理是从已知的结论推想未知的结论，发觉与猜想的结论都要经过进一步严格证明． 2．演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，留意推理过程的严密性，书写格式的规范性．3．合情推理中运用猜想时不能凭空想象，要有猜想或拓展依据.基础巩固题组(建议用时：30分钟) 一、选择题1．(2022·西安八校联考)观看一列算式：1⊗1,1⊗2,2⊗1，1⊗3，2⊗2,3⊗1,1⊗4,2⊗3,3⊗2,4⊗1，…，则式子3⊗5是第( )A ．22项B ．23项C ．24项D ．25项解析两数和为2的有1个，和为3的有2个，和为4的有3个，和为5的有4个，和为6的有5个，和为7的有6个，前面共有21个，3⊗5为和为8的第3项，所以为第24项，故选C. 答案 C2．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的缘由是( ) A ．使用了归纳推理 B ．使用了类比推理C ．使用了“三段论”，但推理形式错误D ．使用了“三段论”，但小前提错误解析由“三段论”的推理方式可知，该推理的错误缘由是推理形式错误．答案 C3．观看(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝( ) A ．f (x ) B ．－f (x ) C ．g (x ) D ．－g (x )解析由已知得偶函数的导函数为奇函数，故g (－x )＝－g (x )．答案 D4．观看下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10等于()A．28 B．76 C．123 D．199解析观看规律，归纳推理．从给出的式子特点观看可推知，等式右端的值，从第三项开头，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a10＋b10＝123.答案 C5．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn＝nm”类比得到“a·b＝b·a”；②“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；③“(m·n)t＝m(n·t)”类比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”；④“t≠0，mt＝xt⇒m＝x”类比得到“p≠0，a·p＝x·p⇒a＝x”；⑤“|m·n|＝|m|·|n|”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”；⑥“acbc＝ab”类比得到“a·cb·c＝ab”．以上式子中，类比得到的结论正确的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4解析①②正确；③④⑤⑥错误．答案 B6．(2021·宜春一中月考)老师带甲、乙、丙、丁四名同学去参与自主招生考试，考试结束后老师向四名同学了解考试状况，四名同学回答如下：甲说：“我们四人都没考好”；乙说：“我们四人中有人考的好”；丙说：“乙和丁至少有一人没考好”；丁说：“我没考好”．结果，四名同学中有两人说对了，则四名同学中说对的两人是()A．甲，丙B．乙，丁C．丙，丁D．乙，丙解析甲与乙的关系是对立大事，二人说话冲突，必有一对一错，假如丁正确，则丙也是对的，所以丁错误，可得丙正确，此时乙正确．故答案为D.答案 D7．平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为() A．n＋1 B．2nC.n2＋n＋22D．n2＋n＋1解析1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；……；n条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋n(n＋1)2＝n2＋n＋22个区域，选C.答案 C8．如图，有一个六边形的点阵，它的中心是1个点(算第1层)，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，…，依此类推，假如一个六边形点阵共有169个点，那么它的层数为()A．6 B．7 C．8 D．9解析由题意知，第1层的点数为1，第2层的点数为6，第3层的点数为2×6，第4层的点数为3×6，第5层的点数为4×6，…，第n(n≥2，n∈N＋)层的点数为6(n－1)．设一个点阵有n(n≥2，n∈N＋)层，则共有的点数为1＋6＋6×2＋…＋6(n－1)＝1＋6＋6(n－1)2×(n－1)＝3n2－3n＋1，由题意得3n2－3n＋1＝169，即(n＋7)·(n－8)＝0，所以n＝8，故共有8层．答案 C二、填空题9．认真观看下面○和●的排列规律：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●○○○○○○●……若依此规律连续下去，得到一系列的○和●，那么在前120个○和●中，●的个数是________．解析进行分组○●|○○●|○○○●|○○○○●|○○○○○●|○○○○○○●|……，则前n组两种圈的总数是f(n)＝2＋3＋4＋…＋(n＋1)＝n(n＋3)2，易知f(14)＝119，f(15)＝135，故n＝14.答案1410．观看下列等式：13＝12,13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，……，依据上述规律，第n 个等式为________．解析观看所给等式左右两边的构成易得第n 个等式为13＋23＋…＋n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n (n ＋1)22＝n 2(n ＋1)24.答案 13＋23＋…＋n 3＝n 2(n ＋1)2411．(2021·重庆模拟)在等差数列{a n }中，若公差为d ，且a 1＝d ，那么有a m ＋a n ＝a m ＋n ，类比上述性质，写出在等比数列{a n }中类似的性质：___________________________.解析等差数列中两项之和类比等比数列中两项之积，故在等比数列中，类似的性质是“在等比数列{a n }中，若公比为q ，且a 1＝q ，则a m ·a n ＝a m ＋n .” 答案在等比数列{a n }中，若公比为q ，且a 1＝q ，则a m ·a n ＝a m ＋n12．已知点A (x 1，ax 1)，B (x 2，ax 2)是函数y ＝a x (a ＞1)的图像上任意不同两点，依据图像可知，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图像的上方，因此有结论ax 1＋ax 22＞a x 1＋x 22成立．运用类比思想方法可知，若点A (x 1，sin x 1)，B (x 2，sin x 2)是函数y ＝sin x (x ∈(0，π))的图像上任意不同两点，则类似地有________成立．解析对于函数y ＝a x (a ＞1)的图像上任意不同两点A ，B ，依据图像可知，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图像的上方，因此有结论ax 1＋ax 22＞a x 1＋x 22成立；对于函数y ＝sin x (x ∈(0，π))的图像上任意不同的两点A (x 1，sin x 1)，B (x 2，sin x 2)，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图像的下方，类比可知应有sin x 1＋sin x 22＜sin x 1＋x 22成立．答案sin x 1＋sin x 22＜sin x 1＋x 22力量提升题组 (建议用时：15分钟)13．(2021·湖北八校二联)有6名选手参与演讲竞赛，观众甲猜想：4号或5号选手得第一名；观众乙猜想：3号选手不行能得第一名；观众丙猜想：1,2,6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜想：4,5,6号选手都不行能获得第一名．竞赛后发觉没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对竞赛结果，此人是( ) A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁解析依据题意，6名选手竞赛结果甲、乙、丙、丁猜想如下表：1号 2号 3号 4号 5号 6号甲不行能不行能不行能可能可能不行能乙可能可能不行能可能可能可能丙可能可能不行能不行能不行能可能丁可能可能可能不行能不行能不行能由表知，只有丁猜对了竞赛结果，故选D.答案 D14．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种外形来争辩数．比如：他们争辩过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( ) A ．289 B ．1 024 C ．1 225 D ．1 378解析观看三角形数：1,3,6,10，…，记该数列为{a n }，则a 1＝1，a 2＝a 1＋2，a 3＝a 2＋3， …a n ＝a n －1＋n .∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝(a 1＋a 2＋…＋a n －1)＋(1＋2＋3＋…＋n )⇒a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，观看正方形数：1,4,9,16，…，记该数列为{b n }，则b n ＝n 2.把四个选项的数字，分别代入上述两个通项公式，可知使得n 都为正整数的只有1 225. 答案 C15．若P 0(x 0，y 0)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)外，过P 0作椭圆的两条切线的切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在的直线方程是x 0x a 2＋y 0y b 2＝1，那么对于双曲线则有如下命题：若P 0(x 0，y 0)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)外，过P 0作双曲线的两条切线，切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在直线的方程是________．解析设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则P 1，P 2的切线方程分别是x 1x a 2－y 1y b 2＝1，x 2x a 2－y 2yb 2＝1. 由于P 0(x 0，y 0)在这两条切线上，故有x 1x 0a 2－y 1y 0b 2＝1，x 2x 0a 2－y 2y 0b 2＝1，这说明P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线x 0x a 2－y 0yb 2＝1上，故切点弦P 1P 2所在的直线方程是x 0x a 2－y 0yb 2＝1. 答案 x 0x a 2－y 0yb 2＝116．(2022·济南模拟)有一个奇数组成的数阵排列如下： 1 3 7 13 21 … 5 9 15 23 … … 11 17 25 … … … 19 27 … … … … 29 … … … … … … … … … … …则第30行从左到右第3个数是________．解析先求第30行的第1个数，再求第30行的第3个数．观看每一行的第一个数，由归纳推理可得第30行的第1个数是1＋4＋6＋8＋10＋ (60)30×(2＋60)2－1＝929.又第n 行从左到右的第2个数比第1个数大2n ，第3个数比第2个数大2n ＋2，所以第30行从左到右的第2个数比第1个数大60，第3个数比第2个数大62，故第30行从左到右第3个数是929＋60＋62＝1 051. 答案 1 051。

2020版高考理数学一轮练习34归纳与类比

课时规范练34归纳与类比基础巩固组1.（2018河北衡水枣强中学期中，7）下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是（）① y=cos x （x € R ）是三角函数；②三角函数是周期函数；③y=cos x （x € R ）是周期函数.A.①②③B.②①③C.②③①D.③②①2. （2018安徽合肥一中冲刺，7）观察下图：1 2 3 4 3 4 5 6 7 4 56 7 8 9 10则第（）行的各数之和等于 2 0172.A.2 010B.2 018C.1 005D.1 0093. （2018河北辛集中学月考,10）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如:他们研究过图中的1,3,6,10，…,由于这些数能够表示成三角形这些三角形数从小到大形成一个数列 {a n },那么a 10的值为（ A.45B.55C.65D.664. （2018吉林梅河口五中期中，9）在一次体育兴趣小组的聚会中所示的6个椅子中就座，且相邻座位（如1与2,2与3）上的人要有共同的体育兴趣爱好，现已知这6人的体育兴趣爱好如下表所示,且小林坐在1号位置上则4号位置上坐的是（）A.小方B.小张C.小周D.小马5. （2018黑龙江哈尔滨二模,9）对大于或等于2的自然数的正整数幕运算有如下分解方式 22 =1+3,2,将其称为三角形数，由以上规律,则）,要安排6人的座位，使他们在如图根据上述分解规律，若m 2=1+3+5+- +11, n 3的分解中最小的正整数是 21,则m+n=)A.10B.11C.12D.136. (2018河南信阳一中模拟，9)若“ *”表示一种运算,满足如下关系:(1)1 * 1 =1;(2)( n +1)*1 =3(n*1)( n € N+),贝U n*1=( ) A.3 n-2 B.3 n+1C.3D.3 17.(2018河北衡水中学五模，8)下面推理过程中使用了类比推理方法，其中推理正确的个数是( )① “数轴上两点间距离公式为|AB|=,平面上两点间距离公式为|AB|= ” ,类比推出“空间内两点间的距离公式为|AB|= ”；② “代数运算中的完全平方公式 (a+b )2=a 2+2a • b+b 2”类比推出“向量中的运算 (a +b) 2=a 2+2a • b +b 2仍成立”；③ “平面内两条不重合的直线不平行就相交”类比到空间“空间内两条不重合的直线不平行就相交”也成立；④ “圆x 2+y 2=1上点P (x °, y °)处的切线方程为 X 0X+y °y=1” ,类比推出“椭圆=1(a>b>0)上点Rx °, y °) 处的切线方程为=1” .已知甲、乙、丙三人中恰好有1人说得不对，则报考了北京大学的是 ___________ .10. 设厶ABC 的三边长分别为 a , be , △ ABC 勺面积为S ,内切圆半径为r ,则r=;类比这个结论可知四面体ABCD 勺四个面的面积分别为 S 1, S, S, S,四面体ABCD 勺体积为V,内切球半径为 R 则 R ______ .11. (2018中山模拟,14)在厶ABC 中 ,不等式成立；在凸四边形ABC ［中 ,不等式成立；在凸五边形ABCDE 中 ,不等式成立…依此类推，在凸n 边形AA …A 中，不等式+…+> __________ 成立.12. (2018河北保定模拟,17)数列｛a n ｝的前n 项和记为S n ,已知a 1=1,a”1=S (n € N +).证明： (1)数列是等比数列；⑵ S+1=4a n .A.1B.2C.3& (2018福建三明一中期末,11)观察图形：则第30个图形比第27个图形中的“☆”多( A.59 颗B.60 颗C.87 颗9. (2018河北衡水一模,14)已知自主招生考试中学中的某一所大学，三人分别给出了以下说法：甲说：“我报考了清华大学，乙也报考了清华大学乙说：“我报考了清华大学，甲说得不完全对.” 丙说：“我报考了北京大学，乙说得对.”D.4 )D.89 颗,甲、乙、丙三人都恰好报考了清华大学、北京大,丙报考了北京大学.”综合提升组13. （2018 河南中原名校五联,10）老师在四个不同的盒子里面放了4 张不同的扑克牌, 分别是红桃A,梅花A, 方片A 以及黑桃A, 让小明、小红、小张、小李四个人进行猜测, 你们都只说对了一半 . ”则可以推测 , 第 4 个盒子里装的是（）A.红桃A 或黑桃AB.红桃A 或梅花AC.黑桃A 或方片AD.黑桃A 或梅花A14. （2018 湖南岳阳一模 ,9）将棱长相等的正方体按下图所示的形状摆放 ,从上往下依次为第 1层,第 2层，第3层，…,则第2 018层正方体的个数共有（）如图,我们知道，圆环也可以看作线段 AB 绕圆心0旋转一周所形成的平面图形，又圆环的面积S=n （戌-r 2）=（R-r ） X 2n X •所以，圆环的面积等于以线段 AB=R-r 为宽，以AB 中点绕圆心 0旋转一周所形成的圆的周长 2n X 为长的矩形面积•请你将上述想法拓展到空间，并解决下列问题：若将平面区域M=( x , y ) | (x-d )2+y 2w r 2｝(其中0<r<d )绕y 轴旋转一周，则所形成的旋转体的体积是.创新应用组16.(2018河北衡水模拟,14)将给定的一个数列｛a n ｝： a i ,a 2, a 3,…按照一定的规则依顺序用括号将它分组,则可以得到以组为单位的序列.如在上述数列中，我们将a i 作为第一组，将小明说 :第 1个盒子里面放的是梅花小红说 :第 2个盒子里面放的是梅花小张说 :第 4个盒子里面放的是黑桃小李说 :第 4个盒子里面放的是红桃 A 第3个盒子里面放的是方片 A A , 第 3 个盒子里放的是黑桃 A ; A , 第 2 个盒子里面放的是方片 A ; A , 第 3 个盒子里面放的是方片 A ;老师说: “小明、小红、小张、小李 A.2 018C.2 037 171 B.4 028D.2 009 010a2, a3作为第二组，将a4, a5, a6作为第三组，…,依次类推，第n组有n个元素(n€ N+),即可得到以组为单位的序列:(a i),( a2, a a),( a4,込a6),…,我们通常称此数列为分群数列•其中第1个括号称为第1群，第2个括号称为第2群,第3个数列称为第3群,…,第n个括号称为第n群,从而数列｛a n｝称为这个分群数列的原数列•如果某一个元素在分群数列的第m个群中，且从第m个括号的左端起是第k个，则称这个元素为第m群中的第k个元素.已知数列1,1,3,1,3,9,1, 3,9,27，…,将数列分群，其中，第1群为(1),第2群为(1,3),第3群为(1,3,3 2),…,以此类推.设该数列前n项和N=a+&+…+a n,若使得N»4 900成立的最小a n位于第m群,则m= )A.11B.10C.9D.817. (2018黑龙江仿真模拟四,14)已知命题：在平面直角坐标系xOy中，椭圆=1(a>b>0), △ ABC的顶点B 在椭圆上，顶点A, C分别为椭圆的左、右焦点，椭圆的离心率为e,则，现将该命题类比到双曲线中，△ ABC勺顶点B在双曲线上，顶点A C分别为双曲线的左、右焦点，设双曲线的方程为=1( a>0, b>0),双曲线的离心率为e,则有___________ .参考答案课时规范练34归纳与类比1. B根据“三段论”：“大前提”7“小前提”？“结论”可知：①y=cos x(x€ R)是三角函数是“小前提”；②三角函数是周期函数是“大前提”；③y=cos x(x €R)是周期函数是“结论”.故“三段论”模式排列顺序为②①③.故选B.2. D由图形知，第一行各数和为1;第二行各数和为9=32;第三行各数和为25=比第四行各数和为49=72,…，二第n 行个数之和为(2n-1)2, 令(2 n-1) 2=2 017 2? 2n-1=2 017，解得n=1 009,故选D.3. B a1=1, a2=1 +2, a3=1 +2+3, a4=1 +2+3+4,故ae=1+2+3+4+…+10=55,故选B.4. A 依据题意可得从1~6号依次为小林、小马、小李、小方、小周、小张，则4号位置上坐的是小方，故选A5. B •/ 帚=1+3+5+…+11=X 6=36, A m=6, V 23=3+5,3 3=7+9+11,4 3=13+15+17+19, A53=21+23+25+27+29, •••n3的分解中最小的数是21, A n3=53, n=5. A m+n心+5=11,故选B.6. D 由题设：①1*仁1,②(n +1)*1=3(n*1),则n*1=3(( n-1)*1) =3X3(( n-2)*1)=…=3n-1(1 *1)=3n-1.故选D7. C对于①,根据空间内两点间距离公式可知，类比正确；对于②,(a+b) 2=(a+b) • (a+b) =a2+a • b+b - a+b2=a+2a • b+b2,类比正确；对于③,在空间内不平行的两条直线,有相交和异面两种情况,类比错误；对于④,椭圆+=1(a>b>0)上点P(x o, y o)处的切线方程为+=1, 为真命题, 综合上述, 可知正确个数为 3 个, 故选C.8. C 设第n个图形"☆”的个数为a n,则a i=1,比=1+2=3, a3=1+2+3=6,a n=1+2+…+n=, •••第30个图形比第27个图形中的“☆”多的个数为：-=87.故选C.9. 甲、丙若甲说得不对, 则乙、丙说得对, 即乙一定报考了清华大学, 丙一定报考了北京大学, 甲只可能报考了北京大学. 若乙、丙说得不对, 则得出与“甲、乙、丙三人中恰好有i 人说得不对” 矛盾,所以报考了北京大学的是甲、丙. 所以填甲、丙.10. 三角形的面积类比四面体的体积, 三角形的边长类比四面体四个面的面积, 内切圆半径类比内切球的半径, 二维图形中的“ 2”类比三维图形中的“ 3” ,得R=.11. ( n€ NL, n》3) ■/ ++> =,+ + +》=，++++》=, …,+ —》(n€ N+, n》3).12. 证明(1) • a n+1 = S+1-S n, a n+1=S,. (n+2)S n=n(S n+1-S n), 即nS n+1=2(n+1)S n..=2 •,又=1工0,(小前提)故是以 1 为首项,2 为公比的等比数列. (结论)(2)由(1)可知=4 • (n》2),.S+1=4( n+1)・二4 ・・S n-1=4a n( n》2),(小前提)又a2=3S1=3, S2=a1+a2=1 +3=4=4a1,( 小前提).对于任意正整数n, 都有S n+1=4a n. (结论)13. A 因为四个人都只猜对了一半, 故有以下两种可能：(1) 当小明猜对第1个盒子里面放的是梅花A时,第3个盒子里面放的不是方片A则小李猜对第4个盒子里面放的是红桃A小张猜对第2个盒子里面放的是方片A,小红猜对第3个盒子里面放的是黑桃A；(2) 若小明猜对的是第3个盒子里面放的是方片A, 则第1 个盒子里面放的不是梅花A, 小红猜对第2个盒子里面放的是梅花A小张猜对第4个盒子里面放的是黑桃A小李猜对第3个盒子里面放的是方片A, 则第1 个盒子只能是红桃A, 故选A.14. C 设第n 层正方体的个数为a n,则a=1, a n-a n-1=n,所以a n-a 1=2+3+—+n,即a n=1+2+3+—+n=,n》2, 故a2 018=1 009 X 2 019 =2 037 171,故选C.15.2 n 2r2d平面区域M的面积为n r2,由类比知识可知：平面区域M绕y轴旋转一周得到的旋转体为实心的车轮内胎，旋转体的体积等于以圆(面积为n r2)为底，以O为圆心、d为半径、圆的周长2 n d为高的圆柱的体积，所以旋转体的体积V=n r2X 2 n d=2 n 2r 2d.16. B由题意得到该数列的前r组共有1+2+3+4—+r=个元素，其和为2 2 r- 1S=1+(1+3) +(1+3+32)+—+(1+3+32+—+3r-1)=,则r=9 时, S(45) ==14 757, r=10, S(55) =44 281 >14 900, 故使得N>14 900成立的最小值a位于第10群.故答案为B.点睛这个题目考查的是新定义题型, 属于数列中的归纳推理求和问题; 对于这类题目, 可以先找一些特殊情况, 总结一下规律,再进行推广,得到递推关系, 或者直接从变量较小的情况开始归纳得到递推关系.17. = 将该命题类比到双曲线中,因为△ ABC的顶点B在双曲线-=1(a>0,b>0)上，顶点A C分别是双曲线的左、右焦点,所以有|BA|-|BC|= 2a,所以==,由正弦定理可得==,所以=,故答案为=.3 =1+3+5,42=1+3+5+7,23 4=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19.。

2022高考数学一轮复习课时规范练34归纳与类比文含解析北师大版

课时规范练34 归纳与类比基础巩固组1.(2020安徽期末,文7)将正偶数排成如图所示的三角形数阵,其中第i行(从上向下)第j个(从左向右)的数表示为a ij(i,j∈N*),例如a32=10.若a ij=2 020,则i-j=()24 68101214161820……A.21B.22C.23D.252.(2020北京平谷二模,15)地铁某换乘站设有编号为A,B,C,D,E的五个安全出口,若同时开放其中的两个安全出口,疏散1 000名乘客所需的时间如下:则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是.3.(2020黑龙江大庆四中月考)“因为四边形ABCD是菱形,所以四边形ABCD的对角线互相垂直”,补充以上推理的大前提正确的是()A.菱形都是四边形B.四边形的对角线都互相垂直C.菱形的对角线互相垂直D.对角线互相垂直的四边形是菱形4.(2020安徽马鞍山二模,16)根据疾病防控的需要,某医院要从感染科抽调两名医生随省医疗队赴武汉参加抗疫工作,现有甲、乙、丙、丁、戊五名优秀医生申请作为志愿者参加.为确定最终驰援武汉的人选,医院领导组五位成员先各推荐两名人员,分别为“丁、戊”,“丙、戊”,“甲、乙”,“乙、戊”,“甲、丁”.根据最终入选名单发现五位领导中有一人推荐的两人都没有入选,其余四人推荐的人选中各有一人入选.根据以上信息判断,最后随省医疗队参加抗疫的两名医生是 .5.观察下列各式: ①cos π3+isin π3=12+√32i;②(cos π3+isin π3)2=-12+√32i;③(cos π3+isin π3)3=-1;④cos π3+isinπ34=-12−√32i; 根据以上规律可得(cos π3+isin π3)26= .6.在△ABC 中,不等式1A+1B+1C≥9π成立;在凸四边形ABCD 中,不等式1A+1B+1C+1D≥162π成立;在凸五边形ABCDE 中,不等式1A+1B+1C+1D+1E≥253π成立…依此类推,在凸n 边形A 1A 2…A n 中,不等式1A 1+1A 2+…+1A n≥ 成立.综合提升组7.下列推理不属于合情推理的是( )A.由1=12,1+3=22,1+3+5=32,…,得出1+3+5+…+(2n-1)=n 2B.由三角形的三条中线交于一点联想到四面体每一个顶点与对面重心连线交于一点C.老鼠、猴子与人在身体结构上有相似之处,某医药先在猴子身上试验,试验成功后再用于人体试验D.形如a n =cq n (cq ≠0)的数列{a n }为等比数列,则数列{-3n }为等比数列8.(2020北京高考模拟,10)某校高三年级举行了拔河比赛,在赛前三位老师对前三名进行了预测,于是有了以下对话,老师甲:“7班男生比较壮,7班肯定得第一名”.老师乙:“我觉得14班比15班强,14班名次会比15班靠前”.老师丙:“我觉得7班能赢15班”.最后老师丁去观看完了比赛,回来后说:“确实是这三个班得了前三名,且无并列,但是你们三人中只有一人预测准确”.那么,获得一、二、三名的班级依次为( ) A.7班、14班、15班 B.14班、7班、15班 C.14班、15班、7班D.15班、14班、7班9.(2020陕西延安一中月考)若数列{a n }是等差数列,则数列b n =a 1+a 2+…+a nn也为等差数列.类比这一性质可知,若正项数列{c n }是等比数列,且d n 也是等比数列,则d n 的表达式应为( ) A.d n =c 1+c 2+…+c nnB.d n =c 1·c 2·…·c nnC.d n =√c 1n+c 2n+…+c n nnnD.d n =√c 1·c 2·…·c n n10.在正整数数列中,由1开始依次按如下规则取到的项:第一次取1;第二次取2个连续的偶数2,4;第三次取3个连续的奇数5,7,9;第四次取4个连续的偶数10,12,14,16…,按此规律一直取下去,得到一个子数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16…,则在这个子数列中,第2 014个数为 .创新应用组11.已知函数f (x )=a x +a -x2,g (x )=a x -a -x 2(其中a>0,且a ≠1),(1)若f (1)·g (2)+f (2)·g (1)=g (k ),求实数k 的值;(2)能否从(1)的结论中获得启示,猜想出一个一般性的结论并证明你的猜想.参考答案课时规范练34 归纳与类比1.D 由题意知,这个数表的前n 行的偶数的个数为n(n+1)2,所以,前n 行的最后一个偶数为n (n+1),当n=44时,44×45=1980,当n=45时,45×46=2070,所以a ij =2020=1980+2×20,即2020是第45行的第20个偶数,所以i-j=45-20=25,故选D.2.D 同时开放AE ,需要200秒;同时开放DE ,需要140秒;所以D 疏散比A 快.同时开放AE ,需要200秒;同时开放AB ,需要120秒;所以B 疏散比E 快.同时开放AB ,需要120秒;同时开放BC ,需要220秒,所以A 疏散比C 快.同时开放BC ,需要220秒;同时开放CD ,需要160秒,所以D 疏散比B 快.综上所述,D 疏散最快.3.C 根据小前提和结论可知,大前提为菱形的对角线互相垂直.故选C.4.乙、丁因为五位领导中有一人推荐的两人都没有入选,其余四人推荐的人选中各有一人入选.设“丁、戊”两人都没入选,那么不含丁、戊的人选组合中还剩“甲、乙”,这与其余四人推荐的人选中各有一人入选矛盾.设“丙、戊”两人都没入选,那么不含丙、戊的人选组合中还剩“甲、乙”和“甲、丁”,由题意这两个组合中各有一人入选,则为“乙、丁”,符合题意.5.-12+√32i 观察题干中的四个等式可猜(cos π3+isin π3)n =cos n π3+isin n π3,将n=26代入,可得cos π3+isin π326=cos26π3+isin26π3=-12+√32i . 6.n 2(n -2)π(n ∈N +,n ≥3) ∵1A +1B +1C ≥9π=32π,1A +1B +1C +1D ≥162π=422π,1A +1B +1C +1D +1E ≥253π=523π,…,∴1A 1+1A 2+…+1A n≥n 2(n -2)π(n ∈N +,n ≥3).7.D A 选项中的推理过程是由特殊到一般,属于归纳推理,故A 错误;B,C 选项中的推理过程都是从特殊到特殊,均为类比推理,故B,C 错误;D 选项中,由形如a n =cq n (cq ≠0)的数列{a n }为等比数列,数列{-3n }满足这种形式,则数列{-3n }为等比数列,不属于归纳推理也不属于类比推理,故D 正确.故选D.8.C 假设甲预测准确,则乙和丙都预测错误,故14班名次比15班靠后,7班没能赢15班,故甲预测错误;假设乙预测准确,则甲和乙都预测错误,故7班不是第一名,14班名次比15班靠前,7班没能赢15班,则获得一、二、三名的班级依次为14班,15班,7班;假设丙预测准确,则甲和乙都预测错误,故7班不是第一名,14班名次比15班靠后,7班能赢15班,不合题意.综上,得一、二、三名的班级依次为14班,15班,7班.故选C. 9.D ∵数列{a n }是等差数列,则a 1+a 2+…+a n =na 1+(n -1)n 2d ,∴数列b n =a 1+a 2+…+a nn=a 1+n -12d 也为等差数列.∵正项数列{c n }是等比数列,设首项为c 1,公比为q , 则c 1·c 2·…·c n =c 1·c 1q ·…·c 1q n-1=c 1nq(n -1)n2,∴d n =√c 1·c 2·…·c n n=√c 1·c 1q ·…·c 1q n -1n=c 1q n -12,∴d n =√c 1·c 2·…·c n n是等比数列.故选D. 10.3 965 记该数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17,…为{a n },由题意可知各次取数的最后一个数依次为1,4,9,16,25,…,归纳得到,每一组的最后一个数依次为12,22,32,42,…,n 2,…,即第n 组最后一个数为n 2.由于1+2+3+…+61+62+63=2016,所以a 2014位于第63组倒数第三个,因为第63组最后一个数为632=3969,由组内的差为2,得a 2014=3969-4=3965. 11.解(1)f (1)·g (2)+f (2)·g (1)=a+a -12×a 2-a -22+a 2+a -22×a -a -12=a 3-a -1+a -a -34+a 3-a+a -1-a -34=a 3-a -32=g (3).∵函数g (x )是单调函数,∴k=3.(2)由g (3)=g (1+2)=f (1)·g (2)+f (2)·g (1), 猜想,g (x+y )=f (x )·g (y )+f (y )·g (x ). 证明:f (x )·g (y )+f (y )·g (x )=a x +a -x2×a y -a -y2+a y +a -y2×a x -a -x 2=a x+y +a y -x -a x -y -a -(x+y)4+a x+y -a y -x +a x -y -a -(x+y)4=a x+y -a -(x+y)2=g (x+y ),所以g (x+y )=f (x )·g (y )+f (y )·g (x ).。

2020版高考数学一轮复习课时规范练34归纳与类比理北师大版

课时规范练34 归纳与类比基础巩固组1.(2018河北衡水枣强中学期中,7)下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是()①y=cos x(x∈R)是三角函数;②三角函数是周期函数;③y=cos x(x∈R)是周期函数.A.①②③B.②①③C.②③①D.③②①2.(2018安徽合肥一中冲刺,7)观察下图:123 43456745678910……则第()行的各数之和等于2 0172.A.2 010B.2 018C.1 005D.1 0093.(2018河北辛集中学月考,10)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,例如:他们研究过图中的1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数,由以上规律,则这些三角形数从小到大形成一个数列{a n},那么a10的值为()A.45B.55C.65D.664.(2018吉林梅河口五中期中,9)在一次体育兴趣小组的聚会中,要安排6人的座位,使他们在如图所示的6个椅子中就座,且相邻座位(如1与2,2与3)上的人要有共同的体育兴趣爱好,现已知这6人的体育兴趣爱好如下表所示,且小林坐在1号位置上,则4号位置上坐的是()A.小方B.小张C.小周D.小马5.(2018黑龙江哈尔滨二模,9)对大于或等于2的自然数的正整数幂运算有如下分解方式:22=1+3,32=1+3+5,42=1+3+5+7,23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19.根据上述分解规律,若m2=1+3+5+…+11,n3的分解中最小的正整数是21,则m+n=()A.10B.11C.12D.136.(2018河南信阳一中模拟,9)若“*”表示一种运算,满足如下关系:(1)1*1=1;(2)(n+1)*1=3(n*1)(n∈N+),则n*1=()A.3n-2B.3n+1C.3nD.3n-17.(2018河北衡水中学五模,8)下面推理过程中使用了类比推理方法,其中推理正确的个数是()①“数轴上两点间距离公式为|AB|=,平面上两点间距离公式为|AB|=”,类比推出“空间内两点间的距离公式为|AB|=”;②“代数运算中的完全平方公式(a+b)2=a2+2a·b+b2”类比推出“向量中的运算(a+b)2=a2+2a·b+b2仍成立”;③“平面内两条不重合的直线不平行就相交”类比到空间“空间内两条不重合的直线不平行就相交”也成立;④“圆x2+y2=1上点P(x0,y0)处的切线方程为x0x+y0y=1”,类比推出“椭圆=1(a>b>0)上点P(x0,y0)处的切线方程为=1”.A.1B.2C.3D.48.(2018福建三明一中期末,11)观察图形:…则第30个图形比第27个图形中的“☆”多()A.59颗B.60颗C.87颗D.89颗9.(2018河北衡水一模,14)已知自主招生考试中,甲、乙、丙三人都恰好报考了清华大学、北京大学中的某一所大学,三人分别给出了以下说法:甲说:“我报考了清华大学,乙也报考了清华大学,丙报考了北京大学.”乙说:“我报考了清华大学,甲说得不完全对.”丙说:“我报考了北京大学,乙说得对.”已知甲、乙、丙三人中恰好有1人说得不对,则报考了北京大学的是.10.设△ABC的三边长分别为a,b,c,△ABC的面积为S,内切圆半径为r,则r=;类比这个结论可知,四面体ABCD的四个面的面积分别为S1,S2,S3,S4,四面体ABCD的体积为V,内切球半径为R,则R=.11.(2018中山模拟,14)在△ABC中,不等式成立;在凸四边形ABCD中,不等式成立;在凸五边形ABCDE中,不等式成立…依此类推,在凸n边形A1A2…A n中,不等式+…+≥成立.12.(2018河北保定模拟,17)数列{a n}的前n项和记为S n,已知a1=1,a n+1=S n(n∈N+).证明:(1)数列是等比数列;(2)S n+1=4a n.综合提升组13.(2018河南中原名校五联,10)老师在四个不同的盒子里面放了4张不同的扑克牌,分别是红桃A,梅花A,方片A以及黑桃A,让小明、小红、小张、小李四个人进行猜测:小明说:第1个盒子里面放的是梅花A,第3个盒子里面放的是方片A;小红说:第2个盒子里面放的是梅花A,第3个盒子里放的是黑桃A;小张说:第4个盒子里面放的是黑桃A,第2个盒子里面放的是方片A;小李说:第4个盒子里面放的是红桃A,第3个盒子里面放的是方片A;老师说:“小明、小红、小张、小李,你们都只说对了一半.”则可以推测,第4个盒子里装的是()A.红桃A或黑桃AB.红桃A或梅花AC.黑桃A或方片AD.黑桃A或梅花A14.(2018湖南岳阳一模,9)将棱长相等的正方体按下图所示的形状摆放,从上往下依次为第1层,第2层,第3层,…,则第2 018层正方体的个数共有()A.2 018B.4 028C.2 037 171D.2 009 01015.如图,我们知道,圆环也可以看作线段AB绕圆心O旋转一周所形成的平面图形,又圆环的面积S=π(R2-r2)=(R-r)×2π×.所以,圆环的面积等于以线段AB=R-r为宽,以AB中点绕圆心O旋转一周所形成的圆的周长2π×为长的矩形面积.请你将上述想法拓展到空间,并解决下列问题:若将平面区域M={(x,y)|(x-d)2+y2≤r2}(其中0<r<d)绕y轴旋转一周,则所形成的旋转体的体积是.创新应用组16.(2018河北衡水模拟,14)将给定的一个数列{a n}:a1,a2,a3,…按照一定的规则依顺序用括号将它分组,则可以得到以组为单位的序列.如在上述数列中,我们将a1作为第一组,将a2,a3作为第二组,将a4,a5,a6作为第三组,…,依次类推,第n组有n个元素(n∈N+),即可得到以组为单位的序列:(a1),(a2,a3),(a4,a5,a6),…,我们通常称此数列为分群数列.其中第1个括号称为第1群,第2个括号称为第2群,第3个数列称为第3群,…,第n个括号称为第n群,从而数列{a n}称为这个分群数列的原数列.如果某一个元素在分群数列的第m个群中,且从第m个括号的左端起是第k个,则称这个元素为第m群中的第k个元素.已知数列1,1,3,1,3,9,1,3,9,27,…,将数列分群,其中,第1群为(1),第2群为(1,3),第3群为(1,3,32),…,以此类推.设该数列前n项和N=a1+a2+…+a n,若使得N>14 900成立的最小a n位于第m群,则m=()A.11B.10C.9D.817. (2018黑龙江仿真模拟四,14)已知命题:在平面直角坐标系xOy中,椭圆=1(a>b>0),△ABC的顶点B在椭圆上,顶点A,C分别为椭圆的左、右焦点,椭圆的离心率为e,则,现将该命题类比到双曲线中,△ABC的顶点B在双曲线上,顶点A、C分别为双曲线的左、右焦点,设双曲线的方程为=1(a>0,b>0),双曲线的离心率为e,则有.参考答案课时规范练34 归纳与类比1.B根据“三段论”:“大前提”→“小前提”⇒“结论”可知:①y=cos x(x∈R)是三角函数是“小前提”;②三角函数是周期函数是“大前提”;③y=cos x(x∈R)是周期函数是“结论”.故“三段论”模式排列顺序为②①③.故选B.2.D由图形知,第一行各数和为1;第二行各数和为9=32;第三行各数和为25=52;第四行各数和为49=72,…,∴第n行个数之和为(2n-1)2,令(2n-1)2=2 0172⇒2n-1=2 017,解得n=1 009,故选D.3.B a1=1,a2=1+2,a3=1+2+3,a4=1+2+3+4,故a10=1+2+3+4+…+10=55,故选B.4.A依据题意可得从1~6号依次为小林、小马、小李、小方、小周、小张,则4号位置上坐的是小方,故选A.5.B∵m2=1+3+5+…+11=×6=36,∴m=6,∵23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19,∴53=21+23+25+27+29,∵n3的分解中最小的数是21,∴n3=53,n=5.∴m+n=6+5=11,故选B.6.D由题设:①1*1=1,②(n+1)*1=3(n*1),则n*1=3((n-1)*1)=3×3((n-2)*1)=…=3n-1(1*1)=3n-1.故选D.7.C对于①,根据空间内两点间距离公式可知,类比正确;对于②,(a+b)2=(a+b)·(a+b)=a2+a·b+b·a+b2=a2+2a·b+b2,类比正确;对于③,在空间内不平行的两条直线,有相交和异面两种情况,类比错误;对于④,椭圆+=1(a>b>0)上点P(x0,y0)处的切线方程为+=1,为真命题,综合上述,可知正确个数为3个,故选C.8.C设第n个图形“☆”的个数为a n,则a1=1,a2=1+2=3,a3=1+2+3=6,a n=1+2+…+n=,∴第30个图形比第27个图形中的“☆”多的个数为:-=87.故选C.9.甲、丙若甲说得不对,则乙、丙说得对,即乙一定报考了清华大学,丙一定报考了北京大学,甲只可能报考了北京大学.若乙、丙说得不对,则得出与“甲、乙、丙三人中恰好有1人说得不对”矛盾,所以报考了北京大学的是甲、丙.所以填甲、丙.10. 三角形的面积类比四面体的体积,三角形的边长类比四面体四个面的面积,内切圆半径类比内切球的半径,二维图形中的“2”类比三维图形中的“3”,得R=.11.(n∈N+,n≥3)∵++≥=,+++≥=,++++≥=,…,∴++…+≥(n∈N+,n≥3).12.证明 (1)∵a n+1=S n+1-S n,a n+1=S n,∴(n+2)S n=n(S n+1-S n),即nS n+1=2(n+1)S n.∴=2·,又=1≠0,(小前提)故是以1为首项,2为公比的等比数列.(结论)(2)由(1)可知=4·(n≥2),∴S n+1=4(n+1)·=4··S n-1=4a n(n≥2),(小前提)又a2=3S1=3,S2=a1+a2=1+3=4=4a1,(小前提)∴对于任意正整数n,都有S n+1=4a n.(结论)13.A因为四个人都只猜对了一半,故有以下两种可能:(1)当小明猜对第1个盒子里面放的是梅花A时,第3个盒子里面放的不是方片A,则小李猜对第4个盒子里面放的是红桃A,小张猜对第2个盒子里面放的是方片A,小红猜对第3个盒子里面放的是黑桃A;(2)若小明猜对的是第3个盒子里面放的是方片A,则第1个盒子里面放的不是梅花A,小红猜对第2个盒子里面放的是梅花A,小张猜对第4个盒子里面放的是黑桃A,小李猜对第3个盒子里面放的是方片A,则第1个盒子只能是红桃A,故选A.14.C设第n层正方体的个数为a n,则a1=1,a n-a n-1=n,所以a n-a1=2+3+…+n,即a n=1+2+3+…+n=,n≥2,故a2 018=1 009×2 019=2 037 171,故选C.15.2π2r2d 平面区域M的面积为πr2,由类比知识可知:平面区域M绕y轴旋转一周得到的旋转体为实心的车轮内胎,旋转体的体积等于以圆(面积为πr2)为底,以O为圆心、d为半径、圆的周长2πd为高的圆柱的体积,所以旋转体的体积V=πr2×2πd=2π2r2d.16.B由题意得到该数列的前r组共有1+2+3+4…+r=个元素,其和为S=1+(1+3)+(1+3+32)+…+(1+3+32+…+3r-1)=,则r=9时,S(45)==14 757,r=10,S(55)=44 281>14 900,故使得N>14 900成立的最小值a位于第10群.故答案为B.点睛这个题目考查的是新定义题型,属于数列中的归纳推理求和问题;对于这类题目,可以先找一些特殊情况,总结一下规律,再进行推广,得到递推关系,或者直接从变量较小的情况开始归纳得到递推关系.17.= 将该命题类比到双曲线中,因为△ABC的顶点B在双曲线-=1(a>0,b>0)上,顶点A、C分别是双曲线的左、右焦点,所以有|BA|-|BC|=2a,所以==,由正弦定理可得==,所以=,故答案为=.。

2022高三全国统考数学北师大版(理)一轮复习学案：7.3 归纳与类比含解析

7.3归纳与类比必备知识预案自诊知识梳理合情推理(1)归纳推理:根据一类事物中具有某种属性,推断该类事物中都有这种属性.我们将这种推理方式称为归纳推理.简言之,归纳推理是由到,由到的推理.归纳推理的基本模式:a,b,c∈M且a,b,c具有某属性.结论:任意d∈M,d也具有某属性.(2)类比推理:由于两类不同对象具有,在此基础上,根据的其他特征,推断也具有类似的其他特征,我们把这种推理过程称为类比推理.简言之,类比推理是由的推理.类比推理的基本模式:A:具有属性a,b,c,d;B:具有属性:a',b',c';结论:B具有属性d'.(a,b,c,d 与a',b',c',d'相似或相同)(3)合情推理:根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等),推测出某些结果的推理方式.归纳推理和类比推理是最常见的合情推理.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)归纳推理得到的结论不一定正确,类比推理得到的结论一定正确.()(2)归纳推理与类比推理都是由特殊到一般的推理.()(3)在类比时,平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.()(4)一个数列的前三项是1,2,3,那么这个数列的通项公式是a n=n(n∈N+).()2.下列说法正确的是()A.合理推理就是类比推理B.合情推理得到的结论一定是正确的C.合情推理得到的结论不一定正确D.归纳推理得到的结论一定是正确的3.如图,根据图中的数构成的规律,a表示的数是()A.12B.48C.60D.1444.(2020山东潍坊二模,3)甲、乙、丙三人中,一人是律师,一人是医生,一人是记者.已知丙的年龄比医生大;甲的年龄和记者不同;记者的年龄比乙小.根据以上情况,下列判断正确的是()A.甲是律师,乙是医生,丙是记者B.甲是医生,乙是记者,丙是律师C.甲是医生,乙是律师,丙是记者D.甲是记者,乙是医生,丙是律师5.(2020山西大同一中月考,理6)在等差数列{a n}中,若a n>0,公差d≠0,则有a4a6>a3a7.类比上述性质,在等比数列{b n}中,若b n>0,公比q≠0,则关于b5,b7,b4,b8的一个不等关系正确的是()A.b5b7>b4b8B.b7b8>b4b5C.b5+b7<b4+b8D.b7+b8<b4+b5关键能力学案突破考点归纳推理(多考向探究)考向1数的归纳【例1】(2020安徽寿县一中,文7)下面的数表为“森德拉姆筛”,其特点是表中的每行每列上的数都成等差数列,则第n行第n个数字是()A.n2-1B.(n+1)2+12 1 D.n2?2式的归纳【例2】观察下列各式:11+2=13,11+2+11+2+3=12,11+2+11+2+3+11+2+3+4=35,…,则11+2+11+2+3+…+11+2+…+12等于()A.56B.1112C.1113D.1213?3形的归纳【例3】(2020湖南大学附中9月摸底,理10)如图所示,在著名的汉诺塔问题中有三根针和套在一根针上的若干金属片,按下列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上:①每次只能移动一个金属片;②在每次移动过程中,每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面.将n个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为f(n),则f(6)=()A.61B.33D.65?解题心得1.归纳推理的一般步骤:(1)通过观察个别情况发现某些相同的性质.(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想).2.常见的归纳推理分为数、式的归纳和形的归纳两类:(1)与数字有关的等式的推理:观察数字的变化特点,找出等式左右两侧的规律及符号可解.(2)与式子有关的归纳推理:①与不等式有关的推理:观察每个不等式的特点,注意是纵向看,找到规律后可解;②与数列有关的推理:通常是先求出几个特殊项,采用不完全归纳法,找出数列的项与项数的关系,列出即可.(3)与图形变化有关的推理:合理利用特殊图形归纳推理得出结论,采用赋值检验法验证其真伪性.对点训练1(1)如下分组正整数对:第一组为{(1,2),(2,1)},第二组为{(1,3),(3,1)},第三组为{(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)},第四组为{(1,5),(2,4),(4,2),(5,1)},依此规律.则第30组第20个数对是()A.(12,20) B .(20,10)C .(21,11)D .(20,12)(2)对于大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”:23{35,33{7911,43{13151719,…,仿此,若m 3的“分裂数”中有一个是123,则m 为()A.9B.10C.11D.12(3)如图所示,由若干个圆点组成形如三角形的图形,每条边(包括两个端点)有n (n>1,n ∈N +)个点,每个图形总的点数记为a n ,则9a 2a 3+9a 3a 4+9a 4a 5+…+9a 2019a 2020=.考点类比推理【例4】(1)对于命题:如果O 是线段AB 上一点,则|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |·OB⃗⃗⃗⃗⃗ =0;将它类比到平面的情形是:若O 是△ABC 内一点,有S △OBC ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +S △OCA ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +S △OBA ·OC⃗⃗⃗⃗⃗ =0;将它类比到空间的情形应该是:若O 是四面体ABCD 内一点,则有.(2)我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式1+11+11+…中“…”即代表无限次重复,但原式却是个定值,它可以通过方程1+1x =x 求得x=1+√52,类似上述过程,则√6+√6+√6+…333()A.1B.2D.4?解题心得类比推理的关键及类型(1)类比推理是指依据两类数学对象的相似性,将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去.一般步骤:①找出两类事物之间的相似性或者一致性.②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(或猜想).(2)类比推理常见的情形有:平面与空间类比;低维与高维类比;等差数列与等比数列类比;运算类比(加与积,乘与乘方,减与除,除与开方);数的运算与向量运算类比;圆锥曲线间的类比等.对点训练2设a n =n (n+1),利用n (n+1)=n (n+1)(n+2)-(n -1)n (n+1)3求出数列{a n }的前n 项和S n =n (n+1)(n+2)3,设b n =n (n+1)(n+2),类比这种方法可以求得数列{b n }的前n 项和T n =.考点生活中的合情推理【例5】(1)(2020北京八中模拟二,10)为配合促销活动,某公司的四个商品派送点如图环形分布,并且公司给A ,B ,C ,D 四个派送点准备某种商品各50个.根据平台数据中心统计发现,需要将发送给A,B,C,D四个派送点的商品数调整为40,45,54,61,但调整只能在相邻派送点进行,每次调动可以调整1件商品.为完成调整,则()A.最少需要16次调动,有2种可行方案B.最少需要15次调动,有1种可行方案C.最少需要16次调动,有1种可行方案D.最少需要15次调动,有2种可行方案(2)(2020湖南长郡中学四模,文14)甲、乙、丙、丁四人进行一项益智游戏,方法如下:第一步,先由四人看着平面直角坐标系中方格内的16个棋子(如图所示),甲从中记下某个棋子的坐标;第二步,甲分别告诉其他三人:告诉乙棋子的横坐标,告诉丙棋子的纵坐标,告诉丁棋子的横坐标与纵坐标相等;第三步,由乙、丙、丁依次回答.对话如下:乙先说我无法确定,丙接着说我也无法确定.最后丁说我知道.则甲记下的棋子的坐标为.?解题心得在进行合情推理时,要依据一定的“规则”——已知条件、公式、法则、推理等.只有不断地观察、比较、分析、推理,才能得到正确的答案.对点训练3(1)(2020山东济南一模,5)某方舱医院医疗小组有七名护士,每名护士从周一到周日轮流安排一个夜班.若甲的夜班比丙晚一天,丁的夜班比戊晚两天,乙的夜班比庚早三天,己的夜班在周四,且恰好在乙和丙的正中间,则周五值夜班的护士为()A.甲B.丙C.戊D.庚(2)(2020陕西榆林一模,理5)关于甲、乙、丙三人参加高考的结果有下列三个正确的判断:①若甲未被录取,则乙、丙都被录取;②乙与丙中必有一个未被录取;③或者甲未被录取,或者乙被录取.则三人中被录取的是()A.甲B.丙C.甲与丙D.甲与乙1.合情推理(1)归纳推理是由特殊到一般的推理;(2)类比推理是由特殊到特殊的推理;(3)从推理的结论来看,合情推理的结论不一定正确,有待证明.2.在数学研究中,在得到一个新结论前,合情推理能帮助猜测和发现结论.在证明一个数学结论之前,合情推理常常能为证明提供思路与方向.数学结论的证明主要通过演绎推理来进行.7.3归纳与类比必备知识·预案自诊知识梳理(1)部分事物每一个部分整体个别一般(2)某些类似的特征一类对象另一类对象特殊到特殊考点自诊1.(1)×(2)×(3)×(4)×2.C合情推理包括类比推理和归纳推理,故A错误;由类比推理和归纳推理的概念可知,它们得到的结论不一定正确,故B,D错误,C正确.故选C.3.D 根据题意得,第n 行有n 个数,且当n ≥3时,每一行的第一个数与最后一个数都等于n ,中间每个数等于其肩上两个数的积,则a 所表示的数是12×12=144.故选D .4.C 由甲的年龄和记者不同,记者的年龄比乙小,得到丙是记者,从而排除B 和D;由丙的年龄比医生大且比乙小,得到乙不是医生,从而乙是律师,甲是医生.故选C.5.C 在等差数列{a n }中,由4+6=3+7时,有a 4a 6>a 3a 7,类比到等比数列{b n }中,由5+7=4+8时,有b 4+b 8>b 5+b 7,因为b 4+b 8-(b 5+b 7)=b 4+b 4q 4-b 4q-b 4q 3=b 4(1-q )+b 4q 3(q-1)=b 4(1-q )(1-q 3)=b 4(1-q )2(1+q+q 2)>0,所以b 4+b 8>b 5+b 7成立.故选C .关键能力·学案突破例1C 设第n 行第n 个数字是a nn ,由题意知,第n 行是首项为n+1,公差为n 的等差数列,所以a nn =(n+1)+(n-1)×n=n 2+1,故选C.例2C 11+2=13,11+2+11+2+3=12=24,11+2+11+2+3+11+2+3+4=35,…,则11+2+11+2+3+…+11+2+…+12=1113.故选C .例3C 由题设可得f (1)=1,求出f (2)=2×1+1=3,由于每次移动过程中,每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面,所以f (3)=2f (2)+1=7,f (4)=2f (3)+1=15,推导出f (n+1)=2f (n )+1,所以f (6)=63.故选C.对点训练1(1)C(2)C(3)20182019(1)由题意可知第一组的各个数字和为3,第二组各个数字和为4,第三组各个数字和为5,第四组各个数字和为6,…,第n 组各个数字和为n+2,且各个数对无重复数字,可得第30组各个数字和为32,则第30组第20个数对为(21,11).故选C.(2)由题意,从23到m 3,正好用去从3开始的连续奇数共2+3+4+…+m=(2+m )(m -1)2个, 123是从3开始的第123-32+1=61个奇数,当m=10时,用去了(2+10)×(10-1)2=54个奇数, 当m=11时,用去了(2+11)×(11-1)2=65个奇数,故m=11.故选C.(3)每个边有n 个点,把每个边的点数相加得3n ,这样角上的点数被重复计算了一次,故第n 个图形的点数为3n-3,即a n =3n-3,令S n =9a2a 3+9a 3a 4+9a 4a 5+…+9a 2019a 2020=11×2+12×3+…+12018×2019=1-12+12−13+…+12018−12019=20182019,故答案为20182019. 例4(1)V O-BCD ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +V O-ACD ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +V O-ABD ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +V O-ABC ·OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0(2)B(1)线段长度类比到空间为体积,再结合类比到平面的结论,可得空间中的结论为V O-BCD ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +V O-ACD ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +V O-ABD ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +V O-ABC ·OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0. (2)由题知√6+√6+√6+ (33)3√6+x 3=x 求出,因为√6+x 3=x ,解得x=2,所以√6+√6+√6+…3332.故选B. 对点训练2n (n+1)(n+2)(n+3)4类比题中的方法裂项可得, n (n+1)(n+2)=n (n+1)(n+2)(n+3)-(n -1)n (n+1)(n+2)4,则数列{b n}的前n项和T n=n(n+1)(n+2)(n+3).例5(1)A(2)(5,5)(1)根据题意A,B两处共需向C,D两处调15个商品,这15个商品应给D 处11个商品,C处4个商品,按照调动次数最少的原则,有以下两种方案: 方案一:A调动11个给D,B调动1个给A,B调动4个给C,共调动16次;方案二:A调动10个给D,B调动5个给C,C调动1个给D,共调动16次.故选A.(2)由题意,乙只知道棋子的横坐标,又无法确定,所以棋子必落在横坐标为2,5,6,7上,接下来丙知道棋子的纵坐标,又无法确定,所以棋子必落在纵坐标为0,1,3,4,5,7上,这些横纵坐标相等的点只有(5,5),所以丁说棋子的坐标为(5,5).对点训练3(1)D(2)D(1)因为己的夜班在周四,且恰好在乙和丙的正中间,所以乙可能在星期一,二,三,五,六,日,因为乙的夜班比庚早三天,所以乙可能在星期二,三,如果乙在星期三,则庚在周六,且丙在周五,庚比丙晚一天,但与甲的夜班比丙晚一天矛盾,则乙在周二,庚在周五,故选D.(2)若甲被录取,对于命题①,其逆否命题成立,即若乙、丙未全被录取,则甲被录取,命题②成立,则乙、丙有且只有一人录取,命题③成立,则乙被录取,三个命题能同时成立;若乙被录取,命题②成立,则丙未被录取,命题③成立,命题①成立,其逆否命题成立,即若乙、丙未全被录取,则甲被录取,三个命题能同时成立;若丙被录取,命题②成立,则乙未被录取,命题③成立,则甲未被录取,那么命题①就不能成立,三个命题不能同时成立.综上所述,甲与乙被录取.故选D.。

2019年高考数学一轮复习课时分层训练37 归纳与类比理北师大版

课时分层训练(三十七) 归纳与类比A组基础达标一、选择题1．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理( )A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确C[因为f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确．]2．如图643，根据图中的数构成的规律，得a表示的数是( )图643A．12B．48C．60D．144D[由题图中的数可知，每行除首末两数外，其他数都等于它肩上两数的乘积，所以a ＝12×12＝144.]3．(2017·陕西渭南一模)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如(如图644)：图644他们研究过图中的3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，故将其称为三角形数，由以上规律，知这些三角形数从小到大形成一个数列{a n}，那么a9的值为( )【导学号：79140206】A．45 B．55C．65 D．66B[第1个图中，小石子有3＝1＋2个，第2个图中，小石子有6＝1＋2＋3个，第3个图中，小石子有10＝1＋2＋3＋4个，…故第9个图中，小石子有1＋2＋3＋…＋10＝10×112＝55个，即a 9＝55，故选B.]4．如图645所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB →⊥AB →时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e 等于( )图A.5＋12B C.5－1 D A [设“黄金双曲线”方程为x 2a 2－y 2b2＝1，则B (0，b )，F (－c,0)，A (a,0)．在“黄金双曲线”中，→→→→a 2＝ac . 5钱成九十(意思是把你们两个手上的钱各分我一( ) A ．28钱 B ．32钱 C ．56钱D ．70钱B [设甲、乙、丙手上各有钱x ，y ，z ，则由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z 2＝90，y ＋x ＋z2＝70，z ＋x ＋y 2＝56，三式相加得x ＋y ＋z ＝108，则y ＋108－y2＝70，解得y ＝32，故选B.]二、填空题6．若P 0(x 0，y 0)在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)外，过P 0作椭圆的两条切线的切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在的直线方程是x 0x a 2＋y 0yb 2＝1，那么对于双曲线则有如下命题：若P (x 0，y 0)在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)外，过P 0作双曲线的两条切线，切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在直线的方程是________．x 0x a 2－y 0y b 2＝1 [类比椭圆的切点弦方程可得双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的切点弦方程为x 0x a 2－y 0y b2＝1.]7．观察下列等式：1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49 …照此规律，第n 个等式为________．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2 [由前4个等式可知，第n 个等式的左边第一个数为n ，且连续2n －1个整数相加，右边为(2n －1)2，故第n 个等式为n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2.]8．(2018·重庆调研(二))甲、乙、丙三人各从图书馆借来一本书，他们约定读完后互相交换．三人都读完了这三本书之后，甲说：“我最后读的书与丙读的第二本书相同．”乙说：“我读的第二本书与甲读的第一本书相同．”根据以上说法，推断乙读的最后一本书是________读的第一本书.【导学号：79140207】丙 [因为共有三本书，而乙读的第一本书与第二本书已经明确，只有丙读的第一本书乙还没有读，所以乙读的最后一本书是丙读的第一本书．] 三、解答题9．设f (x )＝13x ＋3，先分别求f (0)＋f (1)，f (－1)＋f (2)，f (－2)＋f (3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．[解] f (0)＋f (1)＝130＋3＋131＋3＝11＋3＋13＋3＝3－12＋3－36＝33，同理可得：f (－1)＋f (2)＝33， f (－2)＋f (3)＝33，并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于1. 归纳猜想得：当x 1＋x 2＝1时，均有f (x 1)＋f (x 2)＝33.10．已知O 是△ABC 并延长，分别交对边于A ′，B′，C ′，则OA ′AA ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＝1 OA ′AA ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＝S △OBC S △ABC ＋S △OCA S △ABC ＋△ABC △ABC请运用类比思想，对于空间中的四面体A BCD ，存在什么类似的结论，并用“体积法”证明．[解] 在四面体A BCD 中，任取一点O ，连接AO ，DO ，BO ，CO 并延长，分别交四个面于E ，F ，G ，H 点．则OE AE ＋OF DF ＋OG BG ＋OHCH＝1.证明：在四面体O BCD 与A BCD 中， OE AE ＝h 1h ＝13S △BCD ·h 113S △BCD ·h ＝V O BCDV A BCD.同理有OF DF ＝V O ABC V D ABC ；OG BG ＝V O ACD V B ACD ；OH CH ＝V O ABDV C ABD.所以OE AE ＋OF DF ＋OG BG ＋OHCH＝V O BCD ＋V O ABC ＋V O ACD ＋V O ABDV A BCD＝V A BCDV A BCD＝1. B 组能力提升11．给出以下数对序列：(1,1)； (1,2)(2,1)； (1,3)(2,2)(3,1)； (1,4)(2,3)(3,2)(4,1)； …记第i 行的第j 个数对为a ij ，如a 43＝(3,2)，则a nm ＝( ) A ．(m ，n －m ＋1) B ．(m －1，n －m ) C ．(m －1，n －m ＋1)D ．(m ，n －m )A [由前4行的特点，归纳可得：若a nm ＝(a ，b )，则a ＝m ，b ＝n －m ＋1，所以a nm ＝(m ，n －m ＋1)．]12．(2016·全国卷Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．1和3 [法一：由题意得丙的卡片上的数字不是2和3.若丙的卡片上的数字是1和2，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和3，满足题意；若丙的卡片上的数字是1和3，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和2，不满足甲的说法．故甲的卡片上的数字是1和3.法二：因为甲与乙的卡片上相同的数字不是2，所以丙的卡片上必有数字2.又丙的卡片上的数字之和不是5，所以丙的卡片上的数字是1和2.因为乙与丙的卡片上相同的数字不是1，所以乙的卡片上的数字是2和3，所以甲的卡片上的数字是1和3.] 13．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin 213°＋cos 217°－sin13°cos 17°；②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin18°cos12°；④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.【导学号：79140208】[解] (1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)法一：三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2αcos(30°－α)＝34.cos(30°－α) ＝2＋)2－sin α(cos 30° cos α＋sin 30°sin α) ＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2α ＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－14(1－cos 2α) ＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34.。

新高考数学理一轮总复习知能演练6.7数学归纳法(含答案详析)

一、选择题1＋ a ＋a 2＋＋ a n ＋1＝1－ an ＋21．利用数学概括法证明“(a ≠ 1， n ∈N ＋)”时，在考证 n1－ a＝ 1 建即刻，左侧应当是 ()A ． 1B ． 1＋ aC ． 1＋ a ＋a 2D ． 1＋ a ＋ a 2＋ a 3分析：选 C.当 n ＝ 1 时，左侧＝ 1＋ a ＋ a 2 ，应选 C.2．某个与正整数 n 相关的命题，假如当 n ＝ k(k ∈ N ＋， k ≥1)时，该命题建立，则必定可推适当 n ＝k ＋ 1 时，该命题也建立，现已知 n ＝ 5 时，该命题不建立，则有 ( )A ．当 n ＝4 时，该命题建立B ．当 n ＝ 6 时，该命题建立C ．当 n ＝ 4 时，该命题不建立D ．当 n ＝6 时，该命题不建立分析：选 C.由于当 n ＝k(k ∈N ＋， k ≥ 1)时，该命题建立，则必定可推适当n ＝ k ＋ 1 时，该命题也建立，因此当n ＝ 5 时，该命题不建立，则必定有 n ＝ 4 时，该命题不建立．3．设 f(n)＝ 1＋ 1 ＋＋ 1 ， n ∈ N * ，那么 f(n ＋ 1)－ f(n)＝ ()n ＋ 1 n ＋ 2 n ＋ n1 B. 1A.2n ＋ 1 2n ＋ 21 ＋ 1 D. 1 － 1C. 2n ＋ 2 2n ＋ 22n ＋ 1 2n ＋ 1分析：选 D.用数学概括法证明相关问题时，分清等式两边的组成状况是解题的重点．显然，当自变量取n 时，等式的左侧是n 项和的形式．f(n ＋ 1) － f(n) ＝1 ＋ 1 ＋＋ 1 ＋ 1－ 1 － 1n ＋ 1 ＋ 1 n ＋1 ＋2 n ＋ 1 ＋ n n ＋ 1 ＋ n ＋ 1 n ＋ 1 n ＋ 2－－1＝1 ＋ 1 － 1＝ 1 － 1 .n ＋ n 2n ＋ 1 2n ＋ 2 n ＋ 1 2n ＋ 1 2n ＋ 24．在数列 { a n }中，a 1＝ 1，且 S n ＝ n(2n － 1)a n ，经过求 a 2，a 3，a 4，猜想 a n 的表达式为 ()3A.n － 1 11n ＋ 1B.2n 2n ＋ 111 C.2n － 1 2n ＋ 1D.2n ＋ 1 2n ＋ 2分析：选 C.由 a 1＝ 1， S n ＝ n(2n － 1)a n ，3得 S 2＝ 2(2×2－ 1)a 2，即 a 1＋ a 2＝6a 2， ∴a 2＝ 1 ＝ 1 ，S 3＝ 3(2× 3－ 1)a 3，即 1＋ 15 3× 5 1 ＋ a 3＝ 15a 33 15.1 1 1 ∴a 3＝ 35＝5× 7，a 4＝7× 9.应选 C .5．以下代数式 (此中 k ∈ N * )能被 9 整除的是 ( )A ． 6＋ 6·7kB ． 2＋ 7k － 1C ． 2(2＋ 7k ＋1k)D ． 3(2＋ 7 )分析：选 D.(1) 当 k ＝ 1 时，明显只有 3(2＋ 7k)能被 9 整除．(2)假定当 k ＝ n(n ∈N *)时，命题建立，即 3(2＋ 7n) 能被 9整除，那么 3(2＋ 7n ＋1)＝ 21(2 ＋ 7n ) － 36.这就是说， k ＝ n ＋ 1 时命题也建立．由 (1)(2)知，命题对 k ∈N * 建立．二、填空题* 235n －16．用数学概括法证明当2是 31 的倍数时，当n ＝1 时n ∈ N时 1＋2＋2 ＋2 ＋＋原式为 ________，从 k → k ＋ 1 时需增加的项是 ____________．分析：把 n ＝ k ，n ＝ k ＋ 1 对比较即可得出．答案： 1＋ 2＋ 22＋ 23 ＋24 25k ＋ 25k ＋1＋ 25k ＋2＋ 25k ＋3＋ 25k ＋47．平面内有 n 个圆，此中每两个圆都订交于两点且任三个圆不订交于同一点，则该 n个圆分平面地区数 f(n)＝ ________.答案： n 2－ n ＋ 22f n ， f(1) ＝1(n ∈ N ＋)，猜想 f(n)的表达式为 ________．8． f(n ＋ 1)＝ f n ＋ 2分析： f(2) ＝ 2f 1＝ 2； f 1 ＋ 2 32× 2f(3) ＝ 2f 2 ＝ 3 2 ；2 ＝f 2 ＋ 2 43＋ 22f(4) ＝ 2f 3 ＝ 2× 4＝ 2 ；；猜想 f(n)＝ 2 .f 3 ＋ 2 2 5n ＋ 14＋ 2答案： f(n)＝ 2n ＋ 1 三、解答题9．用数学概括法证明：对全部大于 1的自然数，不等式1＋1311＋12n ＋ 1均建立．1＋ 2n － 1 >2 5 · ·1 45证明： (1) 当 n ＝ 2 时，左侧＝ 1＋ 3＝ 3；右侧＝ 2 .∵左侧>右侧，∴不等式建立．(2)假定 n ＝k(k ≥2，且 k ∈N * )时不等式建立，即1 112k ＋ 1 1＋3 1＋ 5 · ·1＋2k － 1 >2. 则当 n ＝ k ＋ 1 时，1111· ·1＋ 2k － 11＋2 k ＋1 － 11＋3 1＋ 5 > 2k ＋ 1 2k ＋ 2 2k ＋ 22 · ＝2k ＋ 1 2 2k ＋ 14k 2＋ 8k ＋ 4 4k 2 ＋8k ＋ 3＝>2 2k ＋ 12 2k ＋ 1 2k ＋3 2k ＋ 1 2 k ＋ 1 ＋1＝＝ 2.2 2k ＋ 1∴当n ＝ k ＋ 1 时，不等式也建立．由 (1)(2)知，关于全部大于 1的自然数 n ，不等式都建立．10．能否存在常数 a ， b ，c 使得等式 1·22＋2·32＋＋ n(n ＋ 1)2＝ n n ＋1( an 2＋ bn ＋ c)对12于全部正整数 n 都建立？并证明你的结论．解：假定存在切合题意的常数a ，b ，c ，在等式 1·22＋ 2·32＋＋ n(n ＋1) 2n n ＋ 1＝(an 2＋ bn ＋ c)中，121令 n ＝1，得 4＝6(a ＋ b ＋ c)①1令 n ＝2，得 22＝ 2(4a ＋ 2b ＋ c) ②令 n ＝3，得 70＝ 9a ＋ 3b ＋ c ③由①②③解得 a ＝ 3， b ＝11， c ＝ 10，于是，关于 n ＝1,2,3 都有 1·22＋ 2·32＋＋n(n ＋1)2n n ＋ 1＝(3n 2＋11n ＋10)(*) 式建立．12下边用数学概括法证明：关于全部正整数 n ， (*) 式都建立．(1) 当 n ＝ 1 时，由上述知， (*) 式建立．(2) 假定 n ＝k(k ∈N *)时， (*) 式建立，即 1·22＋ 2·32＋＋ k(k ＋ 1)2＝ k k ＋ 1 (3k 2＋ 11k ＋ 10)，12 那么当 n ＝ k ＋ 1 时， 1·22＋ 2·32＋＋k( k ＋ 1)2＋ (k ＋ 1)(k ＋ 2)2k k ＋ 1＝(3k 2＋ 11k ＋ 10)＋ (k ＋ 1)(k ＋ 2)212＝k ＋ 1 k ＋ 2 2＋ 5k ＋ 12k ＋ 24) 12(3k＝ k ＋ 1 k ＋ 2 [3(k ＋ 1)2＋ 11(k ＋1) ＋10] ，12 由此可知，当综上所述，当n ＝ k ＋ 1 时， (*) 式也建立．a ＝ 3,b ＝11，c ＝ 10 时题设的等式关于全部正整数n 都建立．一、选择题) 用数学概括法证明 (n ＋ 1)(n ＋ 2) · ·(n ＋ n)＝ 2n·1·3· ·(2n －1．(2013 上·海交大附中质检 1)，从 k 到 k ＋1，左侧需要增乘的代数式为 ( )A ． 2k ＋ 1B ． 2(2k ＋ 1) 2k ＋ 12k ＋ 3 C. k ＋ 1D.k ＋ 1 分析：选 B. 当 n ＝ k 时，左侧为 ( k ＋1)( k ＋2) ( k ＋k)，而当 n ＝ k ＋ 1 时，左侧＝ (k ＋ 2)(k＋ 3) (k ＋ k)( k ＋1＋ k)(k ＋ 1＋ k ＋ 1)＝ (k ＋2)(k ＋ 3) (k ＋k)(2 k ＋1)(2 k ＋2) ，2k ＋ 1 2k ＋ 2∴左侧增乘的式子为＝2(2k ＋ 1)．k ＋ 12． (2013 ·江调研九 )已知 1＋ 2× 3＋3× 2 3n －1n3 ＋4× 3 ＋＋ n × 3＝ 3 (na － b)＋ c 对全部 n∈ N * 都建立，则 a 、 b 、 c 的值为 ()1，b ＝ c ＝11A ． a ＝ 24 B ． a ＝ b ＝c ＝ 4C ． a ＝ 0，b ＝ c ＝ 1D ．不存在这样的a 、b 、 c4分析：选 A. ∵等式对全部 n ∈N * 均建立，∴n ＝1,2,3 时等式建立，即1＝ 3 a － b ＋ c1＋ 2× 3＝ 32 2a － b ＋ c，1＋ 2× 3＋ 3× 32＝ 33 3a － b ＋c3a － 3b ＋ c ＝1整理得18a － 9b ＋ c ＝ 7 ，81a － 27b ＋ c ＝3411解得 a ＝ 2， b ＝c ＝ 4. 二、填空题3．记凸 k 边形的内角和为 f( k)，则凸 k ＋ 1 边形的内角和 f(k ＋ 1)＝ f(k)＋ ________. 分析：由凸 k 边形变成凸 k ＋ 1 边形时，增加了一个三角形，故 f(k ＋ 1)＝ f(k)＋π.答案： πn ＞ n 2”时，验4． (2013 济·南调研 )用数学概括法证明“关于足够大的自然数n ，总有 2 证第一步不等式建立所取的第一个值n 0 最小应当是 ________．分析：将 n ＝ 2,3,4,5 分别代入考证，可得 n ＝ 2,3,4 时， 2n ≤ n 2，而 n ＝5 时， 25＞ 52. 答案： 5 三、解答题5．设数列 { a n } 知足 a 1＝ 2， a n ＋ 1＝ a n ＋1( n ＝ 1,2， )．a n(1)证明： a n ＞ 2n ＋1对全部正整数 n 都建立；(2)令 b n ＝a n(n ＝ 1,2， )，判断 b n 与 b n ＋ 1 的大小，并说明原因．n解： (1)证明：法一：当 n ＝ 1 时， a 1＝ 2＞ 2× 1＋ 1，不等式建立．假定当 n ＝ k(k ∈N * )时， a k ＞ 2k ＋ 1建立．那么当 n ＝ k ＋ 1 时， a k2＋ 1＝ a k2＋12＋ 2＞ 2k ＋ 3＋12＞2(k ＋ 1)＋ 1.kk∴当n ＝ k ＋ 1 时， a k ＋1＞ 2 k ＋ 1 ＋1建立．综上， a n ＞ 2n ＋ 1对全部正整数 n 都建立．法二：当 n ＝ 1 时， a 1＝ 2＞ 3＝ 2× 1＋1，结论建立．假定当 n ＝ k(k ∈N * )时结论建立，即 a k ＞2k ＋ 1.1那么当 n ＝ k ＋1 时，由函数 f(x) ＝x ＋ x (x ＞ 1)的单一递加性和概括假定，知 a k ＋ 1＝ a k ＋ 1＞ 2k ＋ 1＋1a k 2k ＋ 12k ＋1＋ 1 2k ＋ 2 ＝＝2k ＋ 1 2k ＋ 14k 2＋ 8k ＋ 42k ＋ 3 2k ＋ 1＝＞2k ＋ 12k ＋ 1＝ 2k ＋ 3＝ 2 k ＋1 ＋1.∴当n ＝ k ＋ 1 时，结论建立．综上可知， a n ＞2n ＋ 1对全部正整数 n 均建立．a n ＋1n ＋ 1 n ＋ 1b(2)∵ b n ＝a nn ＝ 1 n1＋2 ·a nn ＋ 1＜ 1＋ 1n ＝2 n ＋ 1n2n ＋ 1·2n ＋1 n ＋ 1n ＋ 12 n n ＋ 1n ＋ 1 2 － 1 ＝＝2 42n ＋ 11＜1.n ＋2故 b n ＋1＜ b n .。

【三维设计】高考数学一轮复习第5节归纳与类比我来演练

一、选择题1．推理“①矩形是平行四边形；②正方形是平行四边形；③正方形是矩形”中的小前提是( )A ．①B ．②C ．③D ．①和②解析：由演绎推理三段论可知，①是大前提；③是小前提；②是结论．答案：C2．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ①“mn ＝nm ”类比得到“a·b ＝b·a”；②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c ”； ③“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a·b )·c ＝a·(b·c )”； ④“t ≠0，mt ＝xt ⇒m ＝x ”类比得到“p≠0，a·p ＝x·p ⇒a ＝x ”； ⑤“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”； ⑥“ac bc ＝a b ”类比得到“a·c b·c ＝ab”．以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：只有①、②正确，其余错误，故选B. 答案：B3．(2012·西安五校第一次模拟)已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个数对是( )A ．(7,5)B ．(5,7)C ．(2,10)D ．(10,1)解析：和相同的整数对分为一组可得，第n 组中每一整数对的和为n ＋1，且有n 个整数对．这样前n 组一共有n n ＋12个整数对．注意到1010＋12<60<1111＋12.因此第60个整数对处于第11组的第5个位置，可得为(5,7)．答案：B4．(2012·汕头模拟)观察下列各式： 1＝12， 2＋3＋4＝32， 3＋4＋5＋6＋7＝52， 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72， …，可以得出的一般结论是( )A ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝n 2B ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2C ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －1)＝n 2D ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －1)＝(2n －1)2解析：可以发现：第一个式子的第一个数是1，第二个式子的第一个数是2，…，故第n 个式子的第一个数是n ；第一个式子中有1个数相加，第二个式子中有3个数相加，…，故第n 个式子中有2n －1个数相加；第一个式子的结果是1的平方，第二个式子的结果是3的平方，…，第n 个式子应该是2n －1的平方，故可以得到n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2.答案：B5．[文](2012·临沂模拟)已知x >0，由不等式x ＋1x≥2x ·1x ＝2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x2≥33x 2·x 2·4x 2＝3，…，我们可以得出推广结论：x ＋axn ≥n ＋1(n ∈N ＋)，则a ＝( )A ．2nB ．n 2C ．3nD ．n n解析：再续写一个不等式：x ＋33x 3＝x 3＋x 3＋x 3＋33x 3≥44x 3·x 3·x 3·33x3＝4，由此可得a ＝n n. 答案：D[理](2011·江西高考)观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625，57＝78 125，…，则52011的末四位数字为( ) A ．3 125 B ．5 625 C ．0 625D ．8 125解析：∵55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625， 59＝1 953 125,510＝9 765 625，…∴5n(n ∈Z ，且n ≥5)的末四位数字呈周期性变化，且最小正周期为4，记5n(n ∈Z ，且n ≥5)的末四位数字为f (n )，则f (2 011)＝f (501×4＋7)＝f (7)．∴52 011与57的末四位数字相同，均为8 125.答案：D 二、填空题6．若等差数列{a n }的公差为d ，前n 项的和为S n ，则数列{S n n }为等差数列，公差为d2.类似地，若各项均为正数的等比数列{b n }的公比为q ，前n 项的积为T n ，则数列{nT n }为等比数列，公比为________．解析：T n ＝b n1q (1)2n n ，nT n ＝b 1(q )n －1.答案：q7．(2012·杭州模拟)设n 为正整数，f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，观察上述结果，可推测一般的结论为________．解析：由前四个式子可得，第n 个不等式的左边应当为f (2n)，右边应当为n ＋22，即可得一般的结论为f (2n)≥n ＋22.答案：f (2n)≥n ＋22三、解答题8．平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：(1)三角形两边之和大于第三边；(2)三角形的面积S ＝12×底×高；(3)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的12；…请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论．解：由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为： (1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积； (2)四面体的体积V ＝13×底面积×高；(3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的14.9．观察下列等式：①sin 210°＋cos 240°＋sin10°cos40°＝34；②sin 26°＋cos 236°＋sin6°cos36°＝34.由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想．解：由①②可看出，两角差为30°，则它们的相关形式的函数运算式的值均为34.猜想：若β－α＝30°，则β＝30°＋α，sin 2α＋cos 2β＋sin αcos β＝34，也可直接写成sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝34.下面进行证明：左边＝1－cos2α2＋1＋cos 2α＋60°2＋sin αcos(α＋30°)＝1－cos2α2＋1＋cos2αcos60°－sin2αsin60°2＋sin α·(cos α·cos30°－sin αsin30°)＝12－12cos 2α＋12＋14cos2α－34sin2α＋34sin2α－1－cos2α4＝34＝右边．故sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝34.10．(2012·滨州模拟)设f (x )＝13x ＋3，先分别求f (0)＋f (1)，f (－1)＋f (2)，f (－2)＋f (3)，然后归纳出一个一般结论，并给出证明．解：f (0)＋f (1)＝130＋3＋13＋3＝11＋3＋13＋3＝3－12＋3－36＝33. 同理f (－1)＋f (2)＝33， f (－2)＋f (3)＝33. 由此猜想：当x 1＋x 2＝1时，f (x 1)＋f (x 2)＝33. 证明：设x 1＋x 2＝1，则f (x 1)＋f (x 2)＝13x 1＋3＋13x 2＋3＝3x 1＋3＋3x 2＋33x 1＋33x 2＋3＝3x 1＋3x 2＋233x 1＋x 2＋33x 1＋3x 2＋3＝3x1＋3x2＋2333x1＋3x2＋2×3＝3x1＋3x2＋2333x1＋3x2＋23＝33.故猜想成立．。

高三数学一轮总复习 124归纳与类比同步练习北师大版

12-4归纳与类比基础巩固一、选择题1．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝( ) A．f(x) B．－f(x) C．g(x) D．－g(x)[答案] D[解析] 本题考查了推理证明及函数的奇偶性内容，由例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，选D，体现了对学生观察能力，概括归纳推理的能力的考查．2．如图是今年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是( )[答案] A[解析] 该五角星对角上的两盏花灯依次按逆时针方向亮一盏，故下一个呈现出来的图形是A.3．(2012·江西理，6)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝( )A．28 B．76 C．123 D．199[答案] C[解析] 本题考查了归纳推理能力，∵1＋3＝4,3＋4＝7,4＋7＝11,7＋11＝18,11＋18＝29，…，47＋76＝123，故选C，解答本题时因为分析不出右边数字与前两式的数字关系，从而无从下手，导致无法解题或错选．4．给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＝0⇒a＝b”；②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋b i＝c＋d i⇒a＝c，b＝d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则a＋b2＝c＋d2⇒a＝c，b＝d”；③“若a，b∈R，则a－b>0⇒a>b”．类比推出：若a，b∈C，则a－b>0⇒a>b.其中类比结论正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 [答案] C[解析] ①②正确，③错误．因为两个复数如果不全是实数，不能比较大小．故选C. 5．(文)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2a n (n ≥2)，而a 1＝1，通过计算a 2、a 3、a 4，猜想a n ＝( )A.2n ＋1 2B.2n n ＋1C.22n－1D.22n －1[答案] B[解析] 由S n ＝n 2a n 知S n ＋1＝(n ＋1)2a n ＋1 ∴S n ＋1－S n ＝(n ＋1)2a n ＋1－n 2a n ∴a n ＋1＝(n ＋1)2a n ＋1－n 2a n ，∴a n ＋1＝nn ＋2a n (a ≥2)，当n ＝2时，S 2＝4a 2，又S 2＝a 1＋a 2，∴a 2＝a 13＝13，a 3＝24a 2＝16，a 4＝35a 3＝110.由a 1＝1，a 2＝13，a 3＝16，a 4＝110，猜想a n ＝2n n ＋1 ，故选B.(理)下列推理是归纳推理的是( )A ．A ，B 为定点，动点P 满足|PA |＋|PB |＝2a >|AB |，则P 点的轨迹为椭圆 B ．由a 1＝1，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积πr 2，猜想出椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的面积S ＝πabD ．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 [答案] B[解析] 由S 1，S 2，S 3猜想出数列的前n 项和S n 的表达式，是从特殊到一般的推理，所以B 是归纳推理．故应选B.6．(2012·皖南八校联考)为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a 0a 1a 2，a i ∈{0,1}(i ＝0,1,2)，传输信息为h 0a 0a 1a 2h 1，其中h 0＝a 0⊕a 1，h 1＝h 0⊕a 2，⊕运算规则为：0⊕0＝0,0⊕1＝1,1⊕0＝1,1⊕1＝0.例如原信息为111，则传输信息为01111，信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是( )A ．11010B ．01100C ．10111D ．00011[答案] C[解析] 对于选项C ，传输信息是10111，对应的原信息是011，由题目中运算规则知h 0＝0⊕1＝1，而h 1＝h 0⊕a 2＝1⊕1＝0，故传输信息应是10110.二、填空题7．在平面内有n (n ∈N ＋，n ≥3)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，若这n 条直线把平面分成f (n )个平面区域，则f (5)的值是________，f (n )的表达式是________．[答案] 16 f (n )＝n 2＋n ＋22[解析] 由题意，n 条直线将平面分成n n ＋12＋1个平面区域，故f (5)＝16，f (n )＝n 2＋n ＋22.8．(2012·陕西理，11)观察下列不等式 1＋122<32， 1＋122＋132<53， 1＋122＋132＋142<74， ……照此规律，第五个．．．不等式为__________________． [答案] 1＋122＋132＋142＋152＋162<116[解析] 本题考查了类比推理知识．从已知三个式子可以看出不等式右端的分母为左边最后一个数的分母的底数值，分子为奇数且为3,5,7,9,11，…，故应填1＋122＋132＋142＋152＋162<116.三、解答题9．(2012·福建理，17)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin 213°＋cos 217°－sin13°cos17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°；③sin 218°＋cos 212°－sin18°cos12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． [解析] 解法1：(1)选择②式，计算如下： sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15° ＝1－12sin30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos30°cos α＋sin30°sin α)2－sin α(cos30°cos α＋sin30°sin α) ＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34. 解法2： (1)同解法1.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝1－cos2α2＋1＋cos 60°－2α2－sin α(cos30°cos α＋sin30°sin α) ＝12－12cos2α＋12＋12(cos60°cos2α＋sin60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2α ＝12－12cos2α＋12＋14cos2α＋34sin2α－34sin2α－14(1－cos2α) ＝1－14cos2α－14＋14cos2α＝34. 能力提升一、选择题1．如图所示，把1,3,6,10,15,21，…这些数叫作三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形，试求第七个三角形数是( )A ．27B ．28C ．29D ．30 [答案] B[解析] a 1＝1，a 2＝a 1＋2，a 3＝a 2＋3，a 4＝a 3＋4， ∴a n －a n －1＝n ，∴a n ＝n ＋(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1＝n n ＋12，∴a 7＝7×82＝28.2．(文)下图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为“杨辉三角形”，根据图中的数构成的规律，a 所表示的数是( )A ．2B ．4C ．6D ．8[答案] C[解析] 因为其规律是a 为肩上两数之和，故a ＝3＋3＝6.(理)对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面各正三角形的( )A ．一条中线上的点，但不是中心B ．一条垂线上的点，但不是垂心C ．一条角平分线上的点，但不是内心D ．中心 [答案] D[解析] 边的中点对应于面的中心．二、填空题3．(2012·安师大附中期中)观察下图： 1 2 3 4 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 9 10 ……则第____________行的各数之和等于2 0132. [答案] 1 007[解析] 通过观察题图可发现规律：第n 行的第一个数为n ，且第n 行共有2n －1个连续的正整数，故由(2n －1)n ＋ 2n －1 2n －2 2×1＝(2n －1)2＝2 0132，得n ＝1 007.4．(文)观察下列不等式：1>12，1＋12＋13>1,1＋12＋13＋…＋17>32，1＋12＋13＋…＋115>2,1＋12＋13＋…＋131>52，…，由此猜想第n 个不等式为______________． [答案] 1＋12＋13＋…＋12n －1>n 2[解析] 由1>12，1＋12＋122－1>22，1＋12＋13＋…＋123－1>32， 1＋12＋13＋…＋124－1>42， 1＋12＋13＋…＋125－1>52，可猜想第n 个不等式为1＋12＋13＋…＋12n －1>n 2.(理)(2012·湖北文，17)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1,3,6,10，…记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }．可以推测：(1)b 2012是数列{a n }中的第________项； (2)b 2k －1＝________.(用k 表示) [答案] (1)5030 (2)5k 5k －1 2[解析] 本题考查数学归纳法．由前四组可以推知a n ＝n n ＋12，b 1＝a 4＝10，b 2＝a 5＝15，b 3＝a 9＝45，b 4＝a 10＝55，由此归纳b 2 012＝a 5 030.由b 1＝a 4＝4×52，b 3＝a 9＝9×102，b 5＝a 14＝14×152，由此归纳出b 2k －1＝5k 5k －12.通过特殊发现规律再拓展到一般．三、解答题5．(文)若函数f (x )＝e x ＋e －x 2，g (x )＝e x －e－x2，分别计算g (4)－2f (2)g (2)和g (6)－2f (3)g (3)的值，由此归纳出函数f (x )和g (x )的对于所有实数x 都成立的一个等式，并加以证明．[解析] g (4)－2f (2)g (2)＝0，g (6)－2f (3)g (3)＝0，由此归纳出g (2x )－2f (x )g (x )＝0，证明如下：g (2x )－2f (x )g (x )＝e 2x－e－2x2－2·e x ＋e －x 2·e x －e －x 2＝e 2x －e －2x2－e 2x －e－2x2＝0.(理)已知等差数列{a n }的公差d ＝2，首项a 1＝5. (1)求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)设T n ＝n (2a n －5)，求S 1，S 2，S 3，S 4，S 5；T 1，T 2，T 3，T 4，T 5，并归纳出S n 与T n 的大小规律．[解析] (1)由已知a 1＝5，d ＝2， ∴S n ＝5n ＋n n －12×2＝n (n ＋4)．(2)T n ＝n (2a n －5)＝n [2(2n ＋3)－5]， ∴T n ＝4n 2＋n .∴T 1＝5，T 2＝4×22＋2＝18，T 3＝4×32＋3＝39，T 4＝4×42＋4＝68，T 5＝4×52＋5＝105.S 1＝5，S 2＝2×(2＋4)＝12，S 3＝3×(3＋4)＝21， S 4＝4×(4＋4)＝32，S 5＝5×(5＋4)＝45.由此可知S 1＝T 1，当n ≥2时，S n <T n . 归纳猜想：当n ≥2，n ∈N 时，S n <T n .6．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫作等和数列，这个常数叫作该数列的公和．已知数列{a n }是等和数列，且a 1＝2，公和为5.(1)求a 18的值；(2)求该数列的前n 项和S n .[解析] (1)由等和数列的定义，数列{a n }是等和数列，且a 1＝2，公和为5，易知a 2n －1＝2，a 2n ＝3(n ＝1,2，…)，故a 18＝3.(2)当n 为偶数时，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝(a 1＋a 3＋…＋a n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a n ) ＝2＋2＋…＋2＋2个23＋3＋…＋32个3＝52n ；当n 为奇数时，S n ＝S n －1＋a n ＝52(n －1)＋2＝52n －12.综上所述：S n＝⎩⎪⎨⎪⎧52n n 为偶数，52n －12 n 为奇数 .7．如图1，若射线OM ，ON 上分别存在点M 1，M 2与点N 1，N 2，则S △OM 1N 1S △OM 2N 2＝OM 1OM 2·ON 1ON 2；如图2，若不在同一平面内的射线OP ，OQ 和OR 上分别存在点P 1，P 2，点Q 1，Q 2和点R 1，R 2，则类似的结论是什么？这个结论正确吗？说明理由．[解析] 类似的结论为VO －R 1Q 1P 1VO －R 2Q 2P 2＝OQ 1OQ 2·OP 1OP 2·OR 1OR 2.证明：过R 1作R 1M 1⊥平面P 1Q 1O ，过R 2作R 2M 2⊥平面OP 2Q 2，连接OM 1，易证平面OR 1M 1⊥平面OP 2Q 2且M 2应在OM 1上，所以有△R 1M 1O ∽△R 2M 2O ， ∴R 1M 1R 2M 2＝OR 1OR 2， VO －R 1P 1Q 1VO －R 2P 2Q 2＝13S △OP 1Q 1·R 1M 113S △OP 2Q 2·R 2M 2＝OP 1OP 2·OQ 1OQ 2·OR 1OR 2，∴类比得到的结论正确．。

数学一轮复习课后限时集训72归纳与类比理含解析

课后限时集训（七十二) 归纳与类比建议用时：25分钟一、选择题1．2018年科学家在研究皮肤细胞时发现了一种特殊的凸多面体，称之为“扭曲棱柱”。

对于空间中的凸多面体，数学家欧拉发现了它的顶点数、棱数与面数存在一定的数量关系．凸多面体顶点数棱数面数三棱柱695四棱柱8126五棱锥6106六棱锥7127根据上表所体现的数量关系可得有12个顶点,8个面的扭曲棱柱的棱数是（）A．14 B．16C．18 D．20C［由题意易知同一凸多面体顶点数、棱数与面数的规律为：棱数＝顶点数＋面数－2,所以12个顶点，8个面的扭曲棱柱的棱数＝12＋8－2＝18.故选C。

]2。

二维空间中,圆的一维测度（周长)l＝2πr，二维测度（面积)S＝πr2；三维空间中，球的二维测度（表面积）S＝4πr2,三维测度(体积）V＝错误!πr3，应用合情推理，若四维空间中，“超球"的三维测度V＝8πr3,则其四维测度W＝（)A．2πr4B．3πr4C．4πr4D．6πr4A［二维空间中，圆的一维测度(周长)l＝2πr,二维测度(面积）S＝πr2,(πr2)′＝2πr，三维空间中，球的二维测度(表面积)S＝4πr2，三维测度(体积）V＝错误!πr3，错误!′＝4πr2，四维空间中，“超球"的三维测度V＝8πr3，∵(2πr4)′＝8πr3，∴“超球”的四维测度W＝2πr4.故选A。

］3．中国古代十进位制的算筹记数法在世界数学史上是一个伟大的创造．据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年．算筹记数的方法是:个位、百位、万位…的数按纵式的数码摆出；十位、千位、十万位…的数按横式的数码摆出，如7 738可用算筹表示为。

1～9这9个数字的纵式与横式的表示数码如图所示，则3log264的运算结果可用算筹表示为(）A BC DD［根据题意，3log264＝36＝729，用算筹记数表示为，故选D。

］4．已知a n＝log n＋1(n＋2）（n∈N＊），观察下列运算：a1·a2＝log23·log34＝错误!·错误!＝2；a1·a2·a3·a4·a5·a6＝log23·log34·…·log78＝错误!·错误!·…·错误!＝3；…若a1·a2·a3·…·a k(k∈N*）为整数，则称k为“企盼数”,试确定当a1·a2·a3·…·a k＝2 019时，“企盼数"k为（)A．22 019＋2 B．22 019C．22 019－2 D．22 019－4C[a1·a2·a3·…·a k＝错误!＝2 019，lg(k＋2)＝lg 22 019，故k＝22 019－2.]5．甲、乙、丙、丁四名同学一起去向老师询问数学学业水平考试成绩等级．老师说：“你们四人中有2人A等，1人B等，1人C等，我现在给甲看乙、丙的成绩等级，给乙看丙的成绩等级,给丙看丁的成绩等级”．看后甲对大家说：“我知道我的成绩等级了”．根据以上信息,则(）A．甲、乙的成绩等级相同B．丁可以知道四人的成绩等级C．乙、丙的成绩等级相同D．乙可以知道四人的成绩等级D[由题意,四个人所知的只有自己看到的，以及甲最后所说的话，甲知道自己的等级，则甲已经知道四个人等级，其甲、乙的成绩等级不一定是相同的，所以A是不对的，乙、丙的成绩等级不一定是相同的，所以C是不正确的,丁没有看任何人的成绩等级，所以丁不可能知道四人的成绩等级，所以B是不对的，只有乙可能知道四人的成绩等级，所以D是正确的．] 6．大于1的自然数的三次幂可以分解成若干个奇数的和，比如23＝3＋5，33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19，…,按此规律，可得453的分解和式中一定不含有()A．2 069 B．2 039C．2 009 D．1 979D［根据题中规律，443可以分解成44个奇数的和，443的分解和式中最后一个奇数是44×45－1＝1 979，所以453＝1 981＋1 983＋…＋2 069。

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第1讲归纳与类比一、选择题1.(2016·西安八校联考)观察一列算式：1⊗1，1⊗2，2⊗1，1⊗3，2⊗2，3⊗1，1⊗4，2⊗3，3⊗2，4⊗1，…，则式子3⊗5是第()A.22项B.23项C.24项D.25项解析两数和为2的有1个，和为3的有2个，和为4的有3个，和为5的有4个，和为6的有5个，和为7的有6个，前面共有21个，3⊗5为和为8的第3项，所以为第24项，故选C.答案 C2.命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是()A.使用了归纳推理B.使用了类比推理C.使用了“三段论”，但推理形式错误D.使用了“三段论”，但小前提错误解析由“三段论”的推理方式可知，该推理的错误原因是推理形式错误.答案 C3.观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝()A.f(x)B.－f(x)C.g(x)D.－g(x)解析由已知得偶函数的导函数为奇函数，故g(－x)＝－g(x).答案 D4.观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10等于()A.28B.76C.123D.199解析观察规律，归纳推理.从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a 10＋b 10＝123. 答案 C5.由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn ＝nm ”类比得到“a ·b ＝b ·a ”；②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ”；③“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )”；④“t ≠0，mt ＝xt ⇒m ＝x ”类比得到“p ≠0，a ·p ＝x ·p ⇒a ＝x ”；⑤“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a ·b |＝|a |·|b |”；⑥“ac bc ＝a b ”类比得到“a ·c b ·c ＝a b ”.以上式子中，类比得到的结论正确的个数是( )A.1B.2C.3D.4解析 ①②正确；③④⑤⑥错误.答案 B6.(2017·宜春一中月考)老师带甲、乙、丙、丁四名学生去参加自主招生考试，考试结束后老师向四名学生了解考试情况，四名学生回答如下：甲说：“我们四人都没考好”；乙说：“我们四人中有人考的好”；丙说：“乙和丁至少有一人没考好”；丁说：“我没考好”.结果，四名学生中有两人说对了，则四名学生中说对的两人是( )A.甲，丙B.乙，丁C.丙，丁D.乙，丙解析甲与乙的关系是对立事件，二人说话矛盾，必有一对一错，如果丁正确，则丙也是对的，所以丁错误，可得丙正确，此时乙正确.故答案为D. 答案 D7.平面内有n 条直线，最多可将平面分成f (n )个区域，则f (n )的表达式为( )A.n ＋1B.2nC.n 2＋n ＋22D.n 2＋n ＋1解析1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；……；n条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋n（n＋1）2＝n2＋n＋22个区域，选C.答案 C8.如图，有一个六边形的点阵，它的中心是1个点(算第1层)，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，…，依此类推，如果一个六边形点阵共有169个点，那么它的层数为()A.6B.7C.8D.9解析由题意知，第1层的点数为1，第2层的点数为6，第3层的点数为2×6，第4层的点数为3×6，第5层的点数为4×6，…，第n(n≥2，n∈N＋)层的点数为6(n－1).设一个点阵有n(n≥2，n∈N＋)层，则共有的点数为1＋6＋6×2＋…＋6(n－1)＝1＋6＋6（n－1）2×(n－1)＝3n2－3n＋1，由题意得3n2－3n＋1＝169，即(n＋7)·(n－8)＝0，所以n＝8，故共有8层.答案 C二、填空题9.仔细观察下面○和●的排列规律：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●○○○○○○●……若依此规律继续下去，得到一系列的○和●，那么在前120个○和●中，●的个数是________.解析进行分组○●|○○●|○○○●|○○○○●|○○○○○●|○○○○○○●|……，则前n组两种圈的总数是f(n)＝2＋3＋4＋…＋(n＋1)＝n（n＋3）2，易知f(14)＝119，f(15)＝135，故n＝14.答案 1410.观察下列等式：13＝12，13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，……，根据上述规律，第n 个等式为________.解析观察所给等式左右两边的构成易得第n 个等式为13＋23＋…＋n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n （n ＋1）22＝n 2（n ＋1）24. 答案 13＋23＋…＋n 3＝n 2（n ＋1）24 11.(2017·重庆模拟)在等差数列{a n }中，若公差为d ，且a 1＝d ，那么有a m ＋a n ＝a m ＋n ，类比上述性质，写出在等比数列{a n }中类似的性质：_________________________________________________________________. 解析等差数列中两项之和类比等比数列中两项之积，故在等比数列中，类似的性质是“在等比数列{a n }中，若公比为q ，且a 1＝q ，则a m ·a n ＝a m ＋n .” 答案在等比数列{a n }中，若公比为q ，且a 1＝q ，则a m ·a n ＝a m ＋n12.已知点A (x 1，ax 1)，B (x 2，ax 2)是函数y ＝a x (a ＞1)的图像上任意不同两点，依据图像可知，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图像的上方，因此有结论ax 1＋ax 22＞a x 1＋x 22成立.运用类比思想方法可知，若点A (x 1，sin x 1)，B (x 2，sin x 2)是函数y ＝sin x (x ∈(0，π))的图像上任意不同两点，则类似地有________成立.解析对于函数y ＝a x (a ＞1)的图像上任意不同两点A ，B ，依据图像可知，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图像的上方，因此有结论ax 1＋ax 22＞a x 1＋x 22成立；对于函数y ＝sin x (x ∈(0，π))的图像上任意不同的两点A (x 1，sin x 1)，B (x 2，sin x 2)，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图像的下方，类比可知应有sin x 1＋sin x 22＜sin x 1＋x 22成立.答案 sin x 1＋sin x 22＜sin x 1＋x 2213.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.比如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )A.289B.1 024C.1 225D.1 378解析观察三角形数：1，3，6，10，…，记该数列为{a n }，则a 1＝1，a 2＝a 1＋2，a 3＝a 2＋3，…a n ＝a n －1＋n .∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝(a 1＋a 2＋…＋a n －1)＋(1＋2＋3＋…＋n )⇒a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2，观察正方形数：1，4，9，16，…，记该数列为{b n }，则b n ＝n 2.把四个选项的数字，分别代入上述两个通项公式，可知使得n 都为正整数的只有1 225. 答案 C14.(2017·青岛模拟)若数列{a n }的通项公式为a n ＝1（n ＋1）2(n ∈N ＋)，记f (n )＝(1－a 1)(1－a 2)…(1－a n )，试通过计算f (1)，f (2)，f (3)的值，推测出f (n )＝________.解析 f (1)＝1－a 1＝1－14＝34，f (2)＝(1－a 1)(1－a 2)＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19＝23＝46，f (3)＝(1－a 1)(1－a 2)(1－a 3)＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116＝58，推测f (n )＝n ＋22n ＋2.答案 n ＋22n ＋215.若P 0(x 0，y 0)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)外，过P 0作椭圆的两条切线的切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在的直线方程是x 0x a 2＋y 0y b 2＝1，那么对于双曲线则有如下命题：若P 0(x 0，y 0)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)外，过P 0作双曲线的两条切线，切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在直线的方程是________. 解析设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则P 1，P 2的切线方程分别是x 1x a 2－y 1y b 2＝1，x 2x a 2－y 2y b 2＝1.因为P 0(x 0，y 0)在这两条切线上，故有x 1x 0a 2－y 1y 0b 2＝1，x 2x 0a 2－y 2y 0b 2＝1，这说明P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线x 0x a 2－y 0y b 2＝1上，故切点弦P 1P 2所在的直线方程是x 0x a 2－y 0y b 2＝1. 答案 x 0x a 2－y 0y b 2＝116.(2017·郑州模拟)如图所示，一回形图，其回形通道的宽和OB 1的长均为1，且各回形线之间或相互平行、或相互垂直.设回形线与射线OA 交于A 1，A 2，A 3，…，从点O到点A 1的回形线为第1圈(长为7)，从点A 1到点A 2的回形线为第2圈，从点A 2到点A 3的回形线为第3圈…，依此类推，第8圈的长为________.解析第1圈的长为2(1＋2)＋1＝7，第2圈的长为2(3＋4)＋1＝15，第3圈的长为2(5＋6)＋1＝23，则第n 圈的长为2[(2n －1)＋2n ]＋1＝8n －1，当n ＝8时，第8圈的长度为8×8－1＝63.答案 63。