基于1阶Minkowski度量的多重分形谱算法
多重分形
基于多重分形与傅里叶描 述子的人脸识别研究
---韩涛
测试图像
预处理1 （多重分形） （傅里叶 描述子）
处理2 降低特征数 分类器
训练库
分类器的选取
比较直接也比较常用的分类方法是选择与待 分类对象距离最近的样本的类别为待分类对 象的类别。此方法构建的分类器即是最近邻 法分类器(Nearest Neighbor Classification , NNC)。设x, y为n维特征空间中的两个点。
2 d ( x, y ) || x y || ( xi y i ) i 1
简化轮廓线
因为从额头到鼻子，再到下颌已经包含了重要的面 部信息。 （1）选取鼻尖为大致中心点，保留额头区至下颌 区的轮廓线。（鼻尖点即为轮廓线上i值最大的点） （2）因为图像采取是受控源，下颌区大致位置在 图像的1/8左右区域，以此区域寻找轮廓线上点的切 线为45度的点。 以下颌点与鼻尖点为初始点以一定比例构造直角闭 合曲线。（达到与前方轮廓线构成闭合曲线的目的）
表示与描述
对一幅图像分割之后，接下来通常要对分割
区域加以表示与描述，以便使“自然状态的 像素”更适合计算机处理。 这里我们对性质特征感兴趣，采用了用于区 域处理的边界描述子—傅里叶描述子
傅里叶描述子
傅里叶描述子已在二维形状识
别中广泛应用。任何闭合的二 维曲线都可以用傅里叶描述子 来描述。由于曲线是闭合的， 该函数是以闭合曲线长度为周 期的周期函数。
n
1/ 2
一种简化的多重分形维数算法
关键词 ： 简化 ； 多重分形 维数； 算法
Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄ ｓ ： ｓ ｉ ｍｐ ｌ ｉ ｆ ｉ ｅ ｄ ； ｍｕ ｌ ｔ ｉ － ｆ ｒ ａ ｃ ｔ ａ ｌ ｄ ｉ ｍｅ ｎ ｓ ｉ ｏ ｎ ； ａ ｌ ｇ ｏ ｉｔ ｒ ｈ ｍ
中图分类号 ： Ｔ Ｐ ３ ０ １ ． ６
文献标识码 ： Ａ
文章编号 ： １ ０ ０ ６ － － ４ ３ １ １ （ ２ ０ １ ４） ０ ９ — ０ １ ８ １ — ０ ２
０ 引 言
雷 达 回 波 中通 常 包 含 有 大 量 与 目标 特 征 有 关 的 信 息
ｘ （ ８ ） ＝ Ｐ ＝ ｌ
由此进一步定义广义分形维数 Ｄ 为：
（ ２ ）
摘要 ：多重分形 维数可 以从不 同的层次上刻画信 号的几何特性 ， 从 而提取 不同信号 的信 号特征 。本文提 出了一种 改进 的多重分 形维数算法 ， 改变 了 传统 多重分形维数对 ｑ 维特征 进行 累 加 的计 算方 法， 在保证 算法计 算复 杂度基本不变的情况下， 增加 了 信号特征 的规律性和类 内聚集度 。仿 真结果表 明， 对于不通信 号的分 类， 改进算法具有 更好 的可分 离性 。
在 Ｄ 的求值过程 中， 取消 对不同区域 但是 ， 识 别 效 果 有 了 明显 的提 高 。 将 多 重 分形 谱 特 征 应 用 的算法进行 了改进 ， 的概率 的求和过程 ， 直接计算不 同层次信号 的多重分形特 到雷达 信号 的脉 内调制特征识别 中， 识别效果 显著 。给出 了计 算离散信号 的多重分形谱特征 的方法 ， 对 多重分形维 征 ， 即： 定义 函数 ｘ （ ８ ） 为： Ｘ （ ￡） ＝
Ｖａ ｌ ｕｅ Ｅｎｇ ｉ ｎ ｅ ｅ ｒ ｉ ｎ ｇ
【国家自然科学基金】_多重分形谱参数_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140802
推荐指数 7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2012年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34
2013年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46
2013年 科研热词 推荐指数 多重分形谱 4 时间序列 2 故障诊断 2 小波变换 2 多重分形 2 高温低周疲劳 1 路面纹理 1 路面工程 1 裂纹 1 表面电位 1 聚类 1 磨粒图像 1 电力系统 1 特征识别 1 特征提取 1 特征参数 1 滚动轴承 1 混凝土 1 核主分量分析 1 柴油机 1 故障特征提取 1 损伤 1 振动信号 1 振动与波 1 投资组合 1 广义维数均值 1 市场 1 奇异谱 1 多重分形谱参数 1 多重分形特征 1 多重分形消除趋势波动分析 1 多重分形去趋势波动分析 1 多重分形分析 1 多尺度分析 1 多尺度几何分析 1 去趋势波动分析 1 分时段 1 分形盒维数 1 分形特性 1 内燃机 1 伪相图 1 仿多重分形分析 1 价格 1 二次拟合 1 w-m分形曲面 1 curvelet变换 1
科研热词 推荐指数 多重分形 4 特征提取 2 故障诊断 2 多重分形谱参数 2 高光谱遥感 1 预测 1 铁谱技术 1 转矩 1 质量指数 1 计量学 1 磨粒图像 1 磨合过程 1 目标分类 1 滚动轴承 1 湿式离合器 1 流域 1 模型 1 推扫式高光谱成像仪 1 振动信号 1 常规雷达 1 山地城市 1 尺度函数 1 奇异谱 1 多重分形谱面积 1 多重分形谱 1 多重分形熵 1 多重分形去趋势波动分析 1 地理信息系统 1 地形学 1 去趋势波动分析 1 交通流 1 亚健康状态 1 不变性 1 三维地貌 1
基于Minkowski Sum的优化排样算法研究
术进行优化排样 ， 可以将材料 的利用率提高不少。
国内不少学 者在 近 十年来 对此 提 出了一些 算法 ， 如
“ 合并” 成工件 Ｃ 然后对 Ｃ进行普通单排。 ，
试探法、 平行线分割一步平移法 、 高度函数法 、 嵌套 排样 法等 。这些 算法 对利 用率做 出了一些 提高 ， 但
都 存在着 很大 的局 限性 ， 运算 量大 ， 如 计算 数据 多 ，
能达 到最 佳 的利 用 率 的 。如果 采用 Ｃ ＡＤ／ＡＥ技 Ｃ
１ ２ 排 样 方 式 ．
排 样单 元 由排样 方式 决定 ， 见 的排样方 式有 常 ４种 ， 普 通 单 排 、 通 双 排 、 头 单 排 和 对 头 双 即 普 对 排 。本 文算 法采 用 的是 先 将 需 要排 样 的工 件 Ａ， Ｂ
图 １ 平 面 点 集 的 Ｍ ｉｋｗｓ ｉ ｕ ｎ ｏ ｋ ｍ Ｓ
Ｍｉｋｗｓｉ ｕ 在 计 算 几 何 中主 要 应 用 于 机 ｎｏ ｋＳｍ 器人 的 运 动 规 划 中 ， 本 算 法 中 引 用 Ｍｉｋｗｓｉ 在 ｎｏ ｋ Ｓｍ 这 一概 念 ， ｕ 主要 考 虑到 多边 形 在其 Ｍｉｋｗｓｉ ｎｏ ｋ
Ｍｉ ｏ ｓｉ 记作 ｓ ④ Ｓ ） ｎ ｗ ｋ 和（ ｋ ｌ ２ 定义为 ｓ ④ Ｓ ｌ ２＝ ｛ Ｐ＋ｑｌ Ｐ∈Ｓ ， ｌｑ∈Ｓ ｝其 中 Ｐ＋ｑ表 示两 个 向量 ２，
Ｐ和ｑ的向量和。也就是说 ， Ｐ Ｐ ，ｙ ， 若 ＝（ ｘ Ｐ ）ｑ＝
（ ｑ ）贝 有 Ｐ＋ｑ＝（ ＋ｑ ， ｙ 。 ｑ ，ｙ ，０ Ｐ ＋ｑ ）
维普资讯
华 焱 陈文亮 基于 Ｍｉ ｏ ｓｉ ｕ ｎ ｗ ｋ Ｓ ｍ的优化排样算法研究 ｋ
时 的带 宽 和步距 有显 著 的优势 ， 此将 在 下一 章节 作
GeoExpl分形数据处理
1000
100
10
1 1
126
W
10
100
C (mg/kg)
916
Pb
100
1000
C (mg/kg)
100000 10000 1000 100 10 1
1000 1 100000
10000 1000 100 10 1
10000 10 10000
尺子、盒子改为元素含量 数学关系：NC~C的关系 分形模型：
含量与频数 含量与面积 含量与周长 其实质相同（含量与个数）
含量-总量法
韩东昱，龚庆杰，向运川。区域化探数 据处理的几种分形方法。地质通报， 2004，23（7）：714-719 原理： Nr~r 演变为 Nr’~r GeoExpl软件 不仅实现计算功能 而且帮助系统包含数学计算原理
D
应用实例4
适用于以下模型： 分形插值
作用： 模拟自然数据变化特征 随机性、确定性、区域结构性
李长江，麻土华，朱兴盛，等. 矿产勘查中的分形、混沌与ANN[M]. 北京：地质出版社，1999，1-140
图a 用四点插值法制作的陈蔡幅 1：5万铜含量分布图
图b 用分形插值法制作的陈 蔡幅1：5万铜含量分布图
应用实例3
适用于以下模型： 曲线分维计算 曲面分维计算
作用： 1、区分区域成矿元素与非成矿元素
按分维值D排序：一维图解 与变异系数联合：二维图解
D
分维值D
2.4 2.3 2.2 2.1 2.0
w sn mo bi ag as sb cu pb zn co ni v ti sr ba
2.5 2.4 2.3 2.2 2.1 2.0
基于数学形态学的分形维数计算及在轴承故障诊断中的应用
在机械设 备故 障诊 断 领 域 中 ， 人们 也 开 始 用 分 形 几 何 方法对 振动信 号进行分 析 ， 取得 了一定 的成果 。 并 分形 维数是 度 量 分 形 的重 要 指 标 ， 许 多 种 分 形 有 维 数可用来 刻划 信号 的复杂度 ， Ｈ ｕｄｒ 维 、 如 ａｓｏｆ 自相 似 ｆ
（． １ 军械工程学院 自行火炮教研室 ， 石家庄
摘 要 ：滚动轴承故 障信号是一种典型的非线性信 号 ， 分形几何为描述轴 承故 障信号 的特性提供了一个有力 的分
析工具 。基于数学形态学的分形维数是在 Ｍｉｋｗ ｋ —Ｂ ｕ ｎａｄ维数基础上拓展 的一种采用形态学操作计 算分形维数 ｎ ｏ ｓｉ ｏｌ ｇｎ ｉ 的新方法 。较详细的阐述 了基 于数学形态学 的分维数计算 方法 ， 比分析 了与传统盒维数 方法的 区别与联 系， 对 并对实 际 的滚动轴承正常 、 滚动体故障 、 内圈故障和外圈故障信号进行 了分析 ， 结果 表明 ， 于数学形态学 的分维数计 算方法具有 基 计算速度快 ， 估计准确稳定的特点 ， 为准确判断滚动轴 承故 障状态提供 了一种快速有效的新方法 。 关键词 ：分形 ； 数学形 态学 ； 滚动轴承 ； 故障诊断 ； 特征提取
数 、 维数在 连续信 号分 析具 有 一致 性 ， 在离 散信 号 盒 但
分析 中是不一样 的。基 于形态 学 操作 的方 法 由于采 用
小盒子数来对信号进行度量 ， 首先将 信号区域划分为 边 长 为 ｓ的网格 ， 算 覆 盖信 号 的 盒子 数 Ⅳ（ ， 信 计 ） 则
号 的分形 维数 可 由下 式得 到 ：
基于数学 形态 学 的分 形维 数 计算 方 法 由 Ｐ ａａ ．Ｍ ｒ． ｇｓ 次提 出的一种 利用 形态 学滤 波算 子 （ ｏ首 即腐 蚀 和膨 胀 ） 计信号分 形维 数 的方 法 ｊ文 献 ［ ］ 明 了利用 估 ， ６证
数据通信原理实验指导书
实验一编码与译码一、实验学时：2学时二、实验类型：验证型三、实验仪器：安装Matlab软件的PC机一台四、实验目的：用MATLAB仿真技术实现信源编译码、过失操纵编译码,并计算误码率。
在那个实验中咱们将观看到二进制信息是如何进行编码的。
咱们将要紧了解：1．目前用于数字通信的基带码型2．过失操纵编译码五、实验内容：1．经常使用基带码型（1）利用MATLAB 函数wave_gen 来产生代表二进制序列的波形,函数wave_gen 的格式是：wave_gen(二进制码元,‘码型’,Rb)此处Rb 是二进制码元速度,单位为比特/秒（bps）。
产生如下的二进制序列：>> b = [1 0 1 0 1 1];利用Rb=1000bps 的单极性不归零码产生代表b的波形且显示波形x，填写图1-1：>> x = wave_gen(b,‘unipolar_nrz’,1000);>> waveplot(x)（2）用如下码型重复步骤（1）（提示：能够键入“help wave_gen”来获取帮忙），并做出相应的记录：a 双极性不归零码b 单极性归零码c 双极性归零码d 曼彻斯特码(manchester)x 10-3x 10-3图1-1 单极性不归零码图1-2双极性不归零码x 10-3x 10-32．过失操纵编译码（1） 利用MATLAB 函数encode 来对二进制序列进行过失操纵编码, 函数encode 的格式是：A ．code = encode(msg,n,k,'linear/fmt',genmat)B ．code = encode(msg,n,k,'cyclic/fmt',genpoly)C ．code = encode(msg,n,k,'hamming/fmt',prim_poly)其中A ．用于产生线性分组码，B ．用于产生循环码，C ．用于产生hamming 码，msg 为待编码二进制序列，n 为码字长度，k 为分组msg 长度，genmat 为生成矩阵，维数为k*n ，genpoly 为生成多项式,缺省情形下为cyclpoly(n,k)。
基于ITK_MITK和MFC的医学图像分割与显示
第8卷 第19期 2008年10月167121819(2008)1925520204 科 学 技 术 与 工 程Science Technol ogy and Engineering Vol 18 No 119 Oct 12008Ζ 2008 Sci 1Tech 1Engng 1基于I TK 、M I TK 和M FC 的医学图像分割与显示胡宝平 董秀珍3 付 峰(第四军医大学生物医学工程系,西安710032)摘 要 I TK 是一个专门针对医学影像分割和配准的开发包,提供了几乎所有主流的医学影像分割和配准算法,但是它并没有实现可视化的功能。
M I TK 是由中国科学院自动化研究所开发的集成化的医学影像处理与分析C ++类库。
M I TK 具有一致接口、可复用、灵活高效等特点,但是其算法还不够丰富。
本文结合I TK 和M I TK 的特点,建立以V isual C ++6.0的MFC 为基础的用户界面,利用M I TK 解决I TK 的可视化问题。
并以Fast Marching 算法分割脑部二维D I COM 图像为例,介绍I TK 、M I TK 在M FC 下应用程序开发的过程。
关键词 I TK M I TK M FC D I C OM 图像分割 FastMarching 中图法分类号 TP311.11; 文献标志码 B2008年5月27日收到第一作者简介:胡宝平(1980—),男,硕士,研究方向:医学图像处理。
3通讯作者简介:董秀珍,博士生导师,研究方向:生物医疗工程及生物医学成像技术方面的研究。
Email:dongyang@f mmu .edu .cn 。
I TK 具有强大的医学图像分割和配准功能,目前采用Open Source 的形式支持发行,因此深受开发人员的青睐,它已经并且继续成为医学影像领域内的研究人员的一个分割和配准算法的仓库和基础[1]。
但是由于I TK 不具备可视化功能、缺乏灵活实用的用户界面,因此在应用I TK 进行图像处理后,必须借助VTK 或者Opengl 等图形用户接口软件包才能实现真正意义上的数据显示。
多重分形谱程序
多重分形谱程序多重分形谱（multifractal spectrum）是一种用于描述分形几何结构的方法。
分形几何是一种利用自相似性原理描述物体或图形的数学模型，具有在各种尺度上都具有相似性的特征。
多重分形谱可以揭示物体或图形在不同尺度上的分形特征，从而更全面地理解其内在结构。
多重分形谱的基本思想是通过计算不同尺度下的分形维数，从而得到一个描述分形结构的谱。
该谱可用于分析各个尺度上的分形特征，如分形维数量化了分形的粗糙程度和纹理的丰富性。
通过分析多重分形谱，可以揭示材料、图像等领域的复杂结构和非线性行为。
多重分形谱的计算步骤如下：1.选择一个合适的分形特征：多重分形谱适用于描述具有不同分形特征的物体，如分形纹理、分形信号等。
2.确定尺度：通过改变分析尺度，可以得到不同粗糙度下的分形特征。
通常使用尺度区间来表示不同的尺度。
3.计算分形维数：选择一个分形维数测量方法，如盒计数法、分形能量法等，计算不同尺度下的分形维数。
4.构建多重分形谱：将得到的分形维数按照尺度进行排序，并绘制成图谱。
多重分形谱通常呈现出一个上升或下降的曲线，反映了分形结构的变化趋势。
多重分形谱广泛应用于物理、材料科学、地质学、图像处理等领域，例如分析复杂材料的纹理特征、识别图像中的纹理类型等。
它不仅可以在定性上描述物体的分形特征，还可以量化分形结构的不同方面，如分形维数的变化范围、分形结构的复杂程度等。
多重分形谱在实际应用中也面临一些挑战和限制。
首先，计算多重分形谱需要大量的数据和计算资源，对于大规模数据和高分辨率图像可能存在计算效率问题。
其次，选择合适的分形维数测量方法对结果的准确性和可靠性有着重要影响，需要根据具体问题选择适合的方法。
总之，多重分形谱是一种重要的分形分析方法，能够揭示物体或图形在不同尺度上的分形特征。
通过分析多重分形谱，我们可以更全面地了解分形结构的内在性质和复杂行为，为材料科学、图像处理等领域的研究提供了一个有力的工具。
自相似性和分形维数在风场分析中的应用
自相似性和分形维数在风场分析中的应用通过探究风速时间序列的自相似性和分形维数,将分形学运用到湍流风场分析中,从风速时间序列的局部与整体关系和风速时间序列的分形维数2个角度解决选用湍流风谱模型时存在的盲目性问题。
选用某一风场风速时间序列,基于Kaimal、VonKarman、SMOOTH和NWTCUP湍流风谱模型得到风速时间序列,采用Hurst值验证风速时间序列的自相似性,用计盒维数法计算风速时间序列的分形维数。
结果表明:不同的湍流风谱模型具有不同的分形维数,湍流风谱模型可定量描述;风速时间序列内部波动不是随机的,是有自相似性的长程相关过程;分形维数与参考风速有关。
基于Sierpinski分形上的多分辨分析
下一共有 32 个三角形。如此不断继续下去，得到一个平面集列： S0 ⊃ S1 ⊃ S2 ⊃ ⊃ Sn ⊃ 可见 Sk 是由
3k
个边长为
1/2k
的正三角形组成。{Sk
}
的极限集
S
=
∩∞ k =0
Sk
称为
Sierpinski
(谢尔宾斯基)垫片，它是一个
著名的分形集[9] [10]。
Sk 的总面积为
3 4
S2
S3
S
Figure 1. Establishment of Sierpinski gasket 图 1. Sierpinski 垫的形成过程
Figure 2. MRA of Sierpinski gasket 图 2. Sierpinski 垫上的多分辨分析
我们发现 Vk 与 Wk 互不相交，说明分别定义在 Vk 与 Wk 上面的特征函数彼此正交，对于不同的子空间 Wk 与Wl ，它们之间彼此正交，即定义在它们上面的特征函数彼此正交。然而对于不同的子空间 Vk 与 Vl ， 并不是正交的，我们有 V0 = V1 ⊕W1 ，W1 是 V1 在 V0 中的正交补空间，依此类推，V1 = V2 ⊕W2 ，V2 = V3 ⊕W3 ， 因此= ， V0 V= 1 ⊕W1 V2 ⊕W= 2 ⊕W1
{ ( ) ( )} ( ) 2 jϕ1 2 j x − k ϕ 2 2 j y − l 。 对 于 二 元 函 数 f ( x, y) ， 引 入 记 号 f j;k,l ( x, y=) 2 j f 2 j x − k, 2 j y − l ， 记
{ } ϕ ( x, y) = ϕ1 ( x)ϕ 2 ( y) ，则 ϕ j;k,l ( x, y) : k,l ∈ Z 是Vj 的基底。
混沌时间序列的多重分形维数谱
混沌时间序列的多重分形维数谱
许清海
【期刊名称】《广西师范学院学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2003(020)002
【摘要】仅用一个分形维数来刻画混沌时间序列是不够的,必须用多重分形维数谱来描述混沌时间序列在不同层次的奇异测度.不同文献对沪指和深指的分形维数的计算结果相差甚大,其深层次的原因是混沌时间序列的多重分形维数谱的存在.本文对混沌时间序列多重分形维数的信息谱、奇异谱、动熵谱等问题进行探索,并简介其应用.
【总页数】4页(P25-28)
【作者】许清海
【作者单位】泉州师范学院,数学系,福建,泉州,362000
【正文语种】中文
【中图分类】O212.3;F832.51
【相关文献】
1.矿井涌水量时间序列的多重分形维数谱计算 [J], 唐依民;肖江;杨喜陶;沈洪远
2.混沌投资时间序列的分形维数谱 [J], 许清海
3.基于Z-ordering的多重分形维数及多重分形谱算法 [J], 闫光辉;马志程;刘利松;杜琳娜;杨霞霞
4.混沌投资时间序列的分形维数谱的相变 [J], 许清海
5.混沌投资时间序列的分形维数谱的异变 [J], 许清海
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基于分形维数和多目标遗传算法的特征选择
基于分形维数和多目标遗传算法的特征选择吴曼;张公让;刘恒【期刊名称】《计算机工程与应用》【年(卷),期】2015(000)011【摘要】In text categorization system, the characteristics of the advantages and disadvantages often greatly affect the design of classifier and performance. A feature subset selection algorithm is presented based on fractal dimension and with elitist strategy of fast non-dominated sorting genetic algorithm. In the algorithm, fractal dimension is used as an evaluation mechanism and NSGA-II algorithm will regard feature subset selection problem as a multi-objective optimization prob-lem to deal with. In order to analyze the validity of the results, the SVM algorithm is utilized to test Fudan University Cor-pus. The experimental results show that this method has good performance, it can effectively remove the invalid character and improve classification accuracy.%在文本分类系统中，特征的优劣往往极大地影响着分类器的设计和性能。
广义分形维数
广义分形维数广义分形维数是用来描述分形对象的维度的一个概念。
分形是一类具有自相似性质的几何图形，即它的一部分尺度与整体尺度相似。
广义分形维数是为了更准确地描述分形对象的复杂性而提出的概念。
在传统的几何学中，维数是用来描述一个几何图形的大小的概念。
例如，一条直线的维数是1，一个平面的维数是2，一个立体的维数是3。
但是对于分形对象来说，传统的维数概念并不适用，因为分形对象具有自相似性质，其维数不是整数。
为了解决这个问题，数学家引入了广义分形维数的概念。
广义分形维数可以分为Hausdorff维数和Minkowski维数两种。
Hausdorff 维数是用来描述一个分形对象的尺寸大小的概念，而Minkowski维数则是用来描述一个分形对象的形状复杂性的概念。
Hausdorff维数是由德国数学家Hausdorff在20世纪初提出的。
它是通过在分形对象上放置尺度不同的网格来计算的。
具体来说，我们可以通过在分形对象上放置一系列的正方形网格来计算Hausdorff维数。
然后，我们可以通过改变网格的尺度来计算不同尺度下的网格数目，并绘制出网格数目与网格尺度的关系图。
通过对这个关系图进行分析，我们可以得到分形对象的Hausdorff维数。
Minkowski维数是由波兰数学家Minkowski在19世纪末提出的。
它是通过计算分形对象的体积和周长之比来计算的。
具体来说，我们可以通过在分形对象上放置一系列的圆形网格来计算Minkowski维数。
然后，我们可以通过改变网格的半径来计算不同半径下的网格数目，并绘制出网格数目与网格半径的关系图。
通过对这个关系图进行分析，我们可以得到分形对象的Minkowski维数。
通过计算分形对象的Hausdorff维数和Minkowski维数，我们可以更准确地描述分形对象的复杂性。
这不仅对于理论研究具有重要意义，也对于实际应用有着广泛的应用价值。
例如，在图像处理和模式识别中，我们可以利用广义分形维数来描述和分析图像的复杂性，从而实现图像的自动识别和分类。
机器学习中的度量——向量距离
机器学习中的度量——向量距离机器学习是时下流⾏AI 技术中⼀个很重要的⽅向，⽆论是有监督学习还是⽆监督学习都使⽤各种“度量”来得到不同样本数据的差异度或者不同样本数据的相似度。
良好的“度量”可以显著提⾼算法的分类或预测的准确率，本⽂中将介绍机器学习中各种“度量”，“度量”主要由两种，分别为距离、相似度和相关系数，距离的研究主体⼀般是线性空间中点；⽽相似度研究主体是线性空间中向量；相关系数研究主体主要是分布数据。
本⽂主要介绍距离。
1 向量距离1.1 欧式距离¬——从勾股定理⽽来让我回忆⼀下中学时候学过的勾股定理，历史悠久的勾股定理告诉了如果在⼀个直⾓三⾓形中两条直⾓边分别为a 和b ，那么斜边c 和a 、b 的关系⼀定满⾜c 2=a 2+b 2图1 勾股定理图2 成书于宋⾦时期《测圆海镜》中的⼗五个勾股形从直观上将，图2中两个点距离是蓝线的长度，⽽使⽤勾股定理可以计算出如图2的两个数据点之间距离。
图3 可汗学院距离教程中样例根据勾股定理很容易求出上⾯两个点距离为如下式⼦表⽰：这个最直观的距离还有⼀个正式称呼，欧⼏⾥得距离(Euclidean distance)，上⾯是⼆维空间中欧式距离，更为⼀般的情况为：在笛卡尔坐标系(Cartesian Coordinates)中如果点x = (x1, x2,..., xn) 和点 y = (y1, y2, ..., yn) 是两个欧式空间的点，则点x 和点y 的欧式距离为:d Euclidean (x ,y )=d Euclidean (y ,x )=x 1−y 12+x 2−y 22+⋯+x n −y n 2=n∑i =1x i −y i 2 笛卡尔坐标系: ⼀种正交坐标系。
参阅图4，⼆维的直⾓坐标系是由两条相互垂直、相交于原点的数线构成的。
在平⾯内，任何⼀点的坐标是根据数轴上对应的点的坐标设定的图4 ⼀个直⾓坐标系1.2 曼哈顿距离¬¬——⾏⾛在纽约曼哈顿街道上曼哈顿距离(Manhattan distance)是由⼗九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创辞汇，⽤以标明两个点上在标准坐标系上的绝对轴距之总和。
基于GPU和能量函数的快速精确的等值面重建算法
基于GPU和能量函数的快速精确的等值面重建算法贾天奇;刘会超;郭希娟【摘要】Minkowski和算法能够精确地检测出若干子凸多面体之间是否发生碰撞，而凹多面体Minkowski和的边界只能用等值面来近似表示，等值面的生成通常需要计算数以百万计的体素，计算量比较大，耗时比较长，利用GPU的高速并行运算能力和浮点运算能力，加速等值面的形成，以达到实时生成等值面的效果。
提出一种能量函数，在不改变原有结构的同时优化等值面，使其更接近实际形状，从而实现凹多面体实时的和高精度的碰撞检测。
实验表明，提出的方法提高了等值面的绘制速度和绘制精度，从而提高了碰撞检测的精确性，尤其是在数据量比较大的情况下，效果更明显。
【期刊名称】《计算机应用与软件》【年(卷),期】2012(000)011【总页数】4页(P248-251)【关键词】Minkowski和;移动立方体;等值面;能量函数【作者】贾天奇;刘会超;郭希娟【作者单位】燕山大学体育学院河北秦皇岛066004;燕山大学信息科学与工程学院河北秦皇岛066004;燕山大学信息科学与工程学院河北秦皇岛066004【正文语种】中文【中图分类】TP300 引言在解决机器人的路径规划问题中，通常用多面体模型来模拟机器人与障碍物，多面体又分为凸多面体和凹多面体两种。
那么，机器人与障碍物之间的碰撞检测情况就转换为检测多个几何多面体之间的碰撞情况［1］。
目前，在三维空间中，科学技术人员已经提出了计算两个多面体的Minkowski和的多种不同方法，主要都是以计算Minkowski和的边界值为目标，并利用一些方法来表示它［2］。
其中，凸多面体的Minkowski和的计算方法已经比较成熟，而凹多面体的Minkowski和只能获得近似值，用抽取等值面的方法来高度近似Minkowski和的边界值［3］。
移动立方体MC(Marching Cubes)算法［4］作为一种有效的构造等值面的算法，使用三角面片作为中间几何图元的基本表达元素。
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２ ０ １２年 ７月
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基于 １阶 Ｍｉｋ ｗ ｋ 度量 的多重分形谱算法 ｎ ｏ ｓｉ
张 胜 ，方 向 ，张 卫 平
（ ． 放 军 理 工 大 学 工 程 兵 工 程 学 院 ， 苏 南 京 ２０ ０ ；． 放 军 国 际 关 系学 院 ５系 ，江 苏 南 京 ２ ０ ３ ） １解 江 １０ ７ ２ 解 １０ ９
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目前 常用 的过 零率检 测 方法 。
关键词 ：信息处 理技 术 ；预警 识别 ；多重分 形谱 ；坦 克噪 声
中 图分 类 号 ： Ｊ３ Ｔ４ 文 献标 志码 ： Ａ 文章 编号 ： ０ ０１ ９ （ ０ ２ ０ － ２ － １ ０ ． ３ ２ １ ） ７０ ２０ ０ ８ ４
Ａ ｕ ｔｆ ａ ｔ ｌＳｐ ｃ ｒ ｍ ｇ ｒｔ ｍ ｓ ｄ ｏ － ｒ ｉ ｏ ｋ ｅ ｓ ｅ Ｍ ｌｉｒ ｃ ａ ｅ ｔ ｕ Ａｌ ｏ ｉｈ Ｂａ ｅ ｎ １ Ｎｏ ｍ Ｍ ｎｋ ｗｓ ｉＭ ａ ｕｒ
摘 要 ： 对 目前广 义 维 数 多重 分 形 谱 算 法运 算 量 大 ， 以 用 于 预 警 识别 的现 状 ， 出 １阶 针 难 提 Ｍｉｋｗ ｋ 度 量 的多 重分形谱 算 法 ， ｎ ｏｓｉ 并将 该算 法用 于坦克 噪声 预警 识别试 验 。该 方 法根据广 义维 数
定 义本质 ， 通过 简化 测度 计算 ， 少运 算量 。试 验表 明 ， 算法在 信 噪 比较低 时， 警识 别性 能高 于 减 该 预
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０ 引言
为 了 降低 智 能雷 弹系 统 的功 耗 ， 系统 充 足 的 给 反 应时 间 ， 能雷 弹通 常必 须具备 预警 功能 ， 智 因此 预 警 识别算 法 的优 劣 直 接影 响 智 能 雷 弹 的作 战 效 能 。 目前坦 克 噪声识 别 的算 法很 多 ， 已经 由单一传 感 器 、