3复变函数的积分

C

C
4 4

第三章复变函数的积分

2. 积分的定义
定义 设(1)w  f ( z )
zD

y
z k 1
1

( 2)C为区域D内点A  点B 的一条光滑有向曲线 .
( 3)将 AB 任意分划成 个 n 小弧段 : A  z0 , z1 , , zn  B
(4) k  zk 1 zk
n k 1

C

f ( z )dz        
C1 C2

Cn

f ( z )dz

5)设C的长度为 , 函数f ( z )在C上满足 f ( z )  M L

C f ( z )dz  C

f ( z ) ds  ML  估值定理 .
8 8

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n

)zk I



C

即



C

f ( z )dz  lim  f ( k )z k  ( 3)
n  k 1

n

分割  取乘积 求和  取极限

 (1)若闭曲线C

记作 f ( z )dz
C
b C a

(2)C : t  [a, b], f ( z )  u(t ), 则 f ( z )dz   u(t )dt

 zdz   e
C1 0

0

 i

ie d  i  dt  i
i

0



2)C 2 : z  e i ,    0.

 zdz   e
C2 

 i

ie d  i  dt  i
i 
1717

0

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5 5

第三章复变函数的积分

若

( 2) 则称为f ( z )沿曲线 ( n   ) k 1 C从( A  B )的积分, 无论如何分割 ,  i 如何取 C 记作 f ( z )dz lim  0
k

 f (

1111

第三章复变函数的积分

设光滑曲线 : z  z( t )  x(t )  iy(t ) C

t :  

由曲线积分的计算法得



C

f ( z )dz  

 (终 )

 i
 

 (起)  (终 )  (起)

{u( x( t ), y( t )) x' ( t )  v ( x( t ), y( t )) y' ( t )}dt {v ( x( t ), y( t )) x' ( t )  u( x( t ) y( t )) y' ( t )}dt

第三章复变函数的积分

 2 i dz dz    n1 n 1  z0  r C (z  z ) z ( z  z0 ) 0 0

n0 n0



这个结果与半径 及z0无关, 这个结果 r 以后经常用到, 应记住.

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z
o
z0

r C x



2

0

i r n e in

 i 2 d  2i n0 0  d   i 2  n 0 (cos n  i sin n )d  0 n  0 r
1414

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k 1
n

 lim S n  lim  f ( k )z k  (  u( x , y )dx   v ( x , y )dy)
n  n  k 1 C C

k 1

 i (  v ( x , y )dx   u( x , y )dy)   f ( z )dz
C C C

C : z(t )  x(t )  iy(t ) (  t   ) (1)
z' (t )连续且z' ( t )  0

C   z平面上的一条光滑曲线 .
(因而可求长 ). 约定: C  光滑或分段光滑曲线
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2)C 2 : z  t
C C2 1 C3 1

2tdt  1

0  t  1 C 3 : z  1  it 0  t  1

 zdz   zdz   zdz 1 1   tdt   (1  it )idt   (  i )  1  i 2 2
0 0

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2 1
C



0

A

又解

 zdz  
C

( x  iy )( dx  idy)

  xdx  ydy i  ydx  xdy
C C

o

x

容易验证 右边两个积分都与路径 , , 无关
 连接OA的曲线C，其上积分: 
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C C


由积分定义得：
f ( z )dz
C

2)  kf ( z )dz  k  f ( z )dz
C

3)  [ f ( z )  g ( z )]dz   f ( z )dz   g ( z )dz
C C C

4) C  C1  C 2    C n (分段光滑曲线 )




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1010

第三章复变函数的积分

  u( x , y )dx  v ( x , y )dy  i[v ( x , y )dy  u( x , y )dy]
C



 f ( z )在C上连续, u( x , y ), v ( x , y ) 在C上连续 故 u( x , y )dx、 v ( x , y )dy、 





f [ z ( t )]z' ( t )dt  (6)
1212

第三章复变函数的积分

 x  3t ( 0  t  1) 例1 计 算Czdz OA :   y  4t 1 y zdz  (3  4i )t  (3  4i )dt 解



C

1 2  (3  4i )  tdt  ( 3  4i ) 0 2
2 2

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第三章复变函数的积分

1. 有向曲线
 x  x( t ) 设 C : (  t   )  y  y( t ) x' ( t )、y' ( t )  C [ ,  ], 且[ x' ( t )]2  [ y' ( t )]2  0
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6 6

第三章复变函数的积分

( 3)如果 f ( z )dz存在,一般不能写成 f ( z )dz.
C a

b

因为 f ( z )dz不仅与a , b有关, 与曲线C的形状 还
C

和方向有关。
特例：) 若C表示连接点 , b的任一曲线则 (1 a ,
S n   f ( k )zk   ( uk  ivk )( xk  iyk )
k 1 k 1 n n

  u( k , k )x k   v ( k , k )yk
k 1 k 1 n n

n

n

当  0时，均是 实函数的曲线积分 .

 i[ v ( k , k )x k   u( k , k )yk ] (5)

3 3

第三章复变函数的积分

C的方向规定 :
开曲线 : 指定起点 , 终点b, 若a  b为正, a 则b  a为负, 记作 C  ;

闭曲线: 正方向 观察者顺此方向沿 前进 C 一周, C的内部一直在观察者的 左边。

B(终点)
C

A(起点)
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  {u[ x(t ), y(t )]  i[v[ x(t ), y(t )]]}( x' (t )  iy' (t ))dt

  f [ z(t )]z' (t )dt




  f ( z )dz 
C
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C

1 f ( z )dz  ( 3  4i )2 2
1313

第三章复变函数的积分

dz 例2 计算 这里C表示以z0为中心, n1 C (z  z ) 0 r为半径的正向圆周 为整数. ,n

解 C : z  z0  re i

0    2

y

z  z0  re i


i 2 dz ire  d n1   n  1 i ( n  1 ) C (z  z ) 0 r e 0

k

zk
zk

z n 1

B

⌒

z1

o A

D x

⌒

作乘积 ( k )zk f

(5)作和式S n   f ( k )z k z k  z k  z k 1 , 记S k 为 z k 1 z k 的长度,   max {S k }
1 k  n ⌒

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CH 3 复变函数的积分
1、复变函数积分的概念
2、柯西-古萨基本定理

3、基本定理的推广
4、原函数与不定积分

5、柯西积分公式
6、解析函数的高阶导数

7、解析函数与调和函数的关系
1

第三章复变函数的积分

§3.1 复变函数积分的概念
   

1. 有向曲线

2. 积分的定义
3. 积分存在的条件及其计算法 4. 积分性质

1515

第三章复变函数的积分

例3 计 算 zdz 值 的
C

y

z0  1  i
C1

1)C  C 1  Oz 0 2)C  C 2  C 3 (见 图)

C3
C2

解 1)C1 : z  (1  i )t
1 C 0

0 t 1
1 0

o

x

 zdz   (t  it )(1  i )dt  
C C

记忆



C (u  iv)(dx  idy)
C



这个定理表明  f ( z )dz可通过二个二元 实变函数的 第二型曲线 积分来计算 .

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9 9

第三章复变Βιβλιοθήκη Baidu数的积分

证明 令z k  x k  iyk x k  xk  xk 1 yk  yk  yk 1  k   k  i k u( k , k )  uk v ( k , k )  v k

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1616

第三章复变函数的积分 例4 计算

C

1

zdz,  zdz的值, 其中
C2

C1是单位圆z  1的上半圆周 顺时针方向 , ; C 2 是单位圆z  1的下半圆周，逆时针方 . 向

解: 1)C1 : z  e i ,0     .

第三章复变函数的积分

4. 积分存在的条件及其计算法
定理 当f ( z )  u( x , y )  iv( x , y )在光滑曲线 C

上连续时, f ( z )必沿C可积,即 f ( z )dz存在.
C

且



C

f ( z )dz   udx  vdy  i  vdx  udy (4)
C C

 v( x , y )dx、 u( x , y )dy都存在! 
C C

推论1：当f ( z )是连续函数, C是光滑曲线时，

 f ( z )dz一定存在。 推论2： f ( z )dz可以通过两个二元实函 数的 c
c

线积分来计算。
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 dz  b  a
C

b2  a 2 Czdz  2

( 2 ) 若 C表 示 闭 曲 线则 ,

 dz  0,  zdz  0
C C

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7 7

第三章复变函数的积分

3. 积分性质
1) f ( z )dz   