3复变函数的积分
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C
C
4 4
第三章复变函数的积分
2. 积分的定义
定义 设(1)w f ( z )
zD
y
z k 1
1
( 2)C为区域D内点A 点B 的一条光滑有向曲线 .
( 3)将 AB 任意分划成 个 n 小弧段 : A z0 , z1 , , zn B
(4) k zk 1 zk
n k 1
C
f ( z )dz
C1 C2
Cn
f ( z )dz
5)设C的长度为 , 函数f ( z )在C上满足 f ( z ) M L
C f ( z )dz C
f ( z ) ds ML 估值定理 .
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n
)zk I
C
即
C
f ( z )dz lim f ( k )z k ( 3)
n k 1
n
分割 取乘积 求和 取极限
(1)若闭曲线C
记作 f ( z )dz
C
b C a
(2)C : t [a, b], f ( z ) u(t ), 则 f ( z )dz u(t )dt
zdz e
C1 0
0
i
ie d i dt i
i
0
2)C 2 : z e i , 0.
zdz e
C2
i
ie d i dt i
i
1717
0
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5 5
第三章复变函数的积分
若
( 2) 则称为f ( z )沿曲线 ( n ) k 1 C从( A B )的积分, 无论如何分割 , i 如何取 C 记作 f ( z )dz lim 0
k
f (
1111
第三章复变函数的积分
设光滑曲线 : z z( t ) x(t ) iy(t ) C
t :
由曲线积分的计算法得
C
f ( z )dz
(终 )
i
(起) (终 ) (起)
{u( x( t ), y( t )) x' ( t ) v ( x( t ), y( t )) y' ( t )}dt {v ( x( t ), y( t )) x' ( t ) u( x( t ) y( t )) y' ( t )}dt
第三章复变函数的积分
2 i dz dz n1 n 1 z0 r C (z z ) z ( z z0 ) 0 0
n0 n0
这个结果与半径 及z0无关, 这个结果 r 以后经常用到, 应记住.
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z
o
z0
r C x
2
0
i r n e in
i 2 d 2i n0 0 d i 2 n 0 (cos n i sin n )d 0 n 0 r
1414
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k 1
n
lim S n lim f ( k )z k ( u( x , y )dx v ( x , y )dy)
n n k 1 C C
k 1
i ( v ( x , y )dx u( x , y )dy) f ( z )dz
C C C
C : z(t ) x(t ) iy(t ) ( t ) (1)
z' (t )连续且z' ( t ) 0
C z平面上的一条光滑曲线 .
(因而可求长 ). 约定: C 光滑或分段光滑曲线
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2)C 2 : z t
C C2 1 C3 1
2tdt 1
0 t 1 C 3 : z 1 it 0 t 1
zdz zdz zdz 1 1 tdt (1 it )idt ( i ) 1 i 2 2
0 0
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2 1
C
0
A
又解
zdz
C
( x iy )( dx idy)
xdx ydy i ydx xdy
C C
o
x
容易验证 右边两个积分都与路径 , , 无关
连接OA的曲线C,其上积分:
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C C
由积分定义得:
f ( z )dz
C
2) kf ( z )dz k f ( z )dz
C
3) [ f ( z ) g ( z )]dz f ( z )dz g ( z )dz
C C C
4) C C1 C 2 C n (分段光滑曲线 )
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第三章复变函数的积分
u( x , y )dx v ( x , y )dy i[v ( x , y )dy u( x , y )dy]
C
f ( z )在C上连续, u( x , y ), v ( x , y ) 在C上连续 故 u( x , y )dx、 v ( x , y )dy、
f [ z ( t )]z' ( t )dt (6)
1212
第三章复变函数的积分
x 3t ( 0 t 1) 例1 计 算Czdz OA : y 4t 1 y zdz (3 4i )t (3 4i )dt 解
C
1 2 (3 4i ) tdt ( 3 4i ) 0 2
2 2
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第三章复变函数的积分
1. 有向曲线
x x( t ) 设 C : ( t ) y y( t ) x' ( t )、y' ( t ) C [ , ], 且[ x' ( t )]2 [ y' ( t )]2 0
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6 6
第三章复变函数的积分
( 3)如果 f ( z )dz存在,一般不能写成 f ( z )dz.
C a
b
因为 f ( z )dz不仅与a , b有关, 与曲线C的形状 还
C
和方向有关。
特例:) 若C表示连接点 , b的任一曲线则 (1 a ,
S n f ( k )zk ( uk ivk )( xk iyk )
k 1 k 1 n n
u( k , k )x k v ( k , k )yk
k 1 k 1 n n
n
n
当 0时,均是 实函数的曲线积分 .
i[ v ( k , k )x k u( k , k )yk ] (5)
3 3
第三章复变函数的积分
C的方向规定 :
开曲线 : 指定起点 , 终点b, 若a b为正, a 则b a为负, 记作 C ;
闭曲线: 正方向 观察者顺此方向沿 前进 C 一周, C的内部一直在观察者的 左边。
B(终点)
C
A(起点)
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{u[ x(t ), y(t )] i[v[ x(t ), y(t )]]}( x' (t ) iy' (t ))dt
f [ z(t )]z' (t )dt
f ( z )dz
C
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C
1 f ( z )dz ( 3 4i )2 2
1313
第三章复变函数的积分
dz 例2 计算 这里C表示以z0为中心, n1 C (z z ) 0 r为半径的正向圆周 为整数. ,n
解 C : z z0 re i
0 2
y
z z0 re i
i 2 dz ire d n1 n 1 i ( n 1 ) C (z z ) 0 r e 0
k
zk
zk
z n 1
B
⌒
z1
o A
D x
⌒
作乘积 ( k )zk f
(5)作和式S n f ( k )z k z k z k z k 1 , 记S k 为 z k 1 z k 的长度, max {S k }
1 k n ⌒
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CH 3 复变函数的积分
1、复变函数积分的概念
2、柯西-古萨基本定理
3、基本定理的推广
4、原函数与不定积分
5、柯西积分公式
6、解析函数的高阶导数
7、解析函数与调和函数的关系
1
第三章复变函数的积分
§3.1 复变函数积分的概念
1. 有向曲线
2. 积分的定义
3. 积分存在的条件及其计算法 4. 积分性质
1515
第三章复变函数的积分
例3 计 算 zdz 值 的
C
y
z0 1 i
C1
1)C C 1 Oz 0 2)C C 2 C 3 (见 图)
C3
C2
解 1)C1 : z (1 i )t
1 C 0
0 t 1
1 0
o
x
zdz (t it )(1 i )dt
C C
记忆
C (u iv)(dx idy)
C
这个定理表明 f ( z )dz可通过二个二元 实变函数的 第二型曲线 积分来计算 .
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第三章复变Βιβλιοθήκη Baidu数的积分
证明 令z k x k iyk x k xk xk 1 yk yk yk 1 k k i k u( k , k ) uk v ( k , k ) v k
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1616
第三章复变函数的积分 例4 计算
C
1
zdz, zdz的值, 其中
C2
C1是单位圆z 1的上半圆周 顺时针方向 , ; C 2 是单位圆z 1的下半圆周,逆时针方 . 向
解: 1)C1 : z e i ,0 .
第三章复变函数的积分
4. 积分存在的条件及其计算法
定理 当f ( z ) u( x , y ) iv( x , y )在光滑曲线 C
上连续时, f ( z )必沿C可积,即 f ( z )dz存在.
C
且
C
f ( z )dz udx vdy i vdx udy (4)
C C
v( x , y )dx、 u( x , y )dy都存在!
C C
推论1:当f ( z )是连续函数, C是光滑曲线时,
f ( z )dz一定存在。 推论2: f ( z )dz可以通过两个二元实函 数的 c
c
线积分来计算。
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dz b a
C
b2 a 2 Czdz 2
( 2 ) 若 C表 示 闭 曲 线则 ,
dz 0, zdz 0
C C
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第三章复变函数的积分
3. 积分性质
1) f ( z )dz