2016年01月16日江苏省南京市2015～2016学年度第一学期期末考试高二理科数学试题及参考答案

南京市2015－2016学年度第一学期高二期末调研数学卷(理科) 2016.01注意事项：1.本试卷共4页,包括填空题(第1题~第14题)、解答题(第15题~第20题)两部分.本试卷满分为100分,考试时间为100分钟.2.答题前,请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内.试题的答案写在答．题卡．．上对应题目的答案空格内.考试结束后,交回答题卡.一、填空题：本大题共14小题,每小题3分,共42分.请把答案填写在答．题卡．．相应位置．．．．上 1.命题：“∃x ∈Q ,x 2－8＝0”的否定是 ▲ .2.在平面直角坐标系xOy 中,若抛物线y 2＝2px 经过点(4,2) ,则实数p ＝ ▲ .3.在平面直角坐标系xOy 中,双曲线x 2－y 2＝1的渐近线方程是 ▲ .4.已知p ：0＜m ＜1,q ：椭圆x 2m ＋y 2＝1的焦点在y 轴上,则p 是q 的 ▲ 条件(用“充分不必要”,“必要不充分”,“充要”或“既不充分也不必要”填空). 5.函数f (x )＝x ＋sin x 的图象在点O (0,0) 处的切线方程是 ▲ .6.在空间直角坐标系中,已知A (1,0,0),B (4,－3,0),且AP →＝2PB →,则点P 的坐标是 ▲ .7.已知实数x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥0，x ＋y ≤2，则z ＝x －2y 的最大值是 ▲ .8.如图,在平面直角坐标系xOy 中,以正方形ABCD 的两个顶点A ,B 为焦点,且过点C 、D 的双曲线的离心率是 ▲ . 9.函数f (x )＝xe x (e 为自然对数的底数)的最大值是 ▲ .10.在平面直角坐标系xOy 中,已知点O (0,0),A (3,0),动点P 满足2PO ＝P A ,则点P 的轨迹方程是▲ .11.在平面直角坐标系xOy 中,已知抛物线y 2＝4x 上一点P 到点A (3,0) 的距离等于它到准线的距离,则P A ＝ ▲ .12.如图,在平面直角坐标系xOy 中,直线y ＝3x ,y ＝0,x ＝t (t ＞0)围成的△OAB 的面积为S (t ),则S (t )在t ＝2时的瞬时变化率是 ▲ .13.在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l ：x ＋y －3＝0和圆M ：x 2＋(y －m )2＝8.若圆M 上存在点P ,使得P 到直 线l 的距离为32,则实数m 的取值范围是 ▲ .14.已知函数y ＝x 3－3x 在区间[a ,a ＋1](a ≥0)上的最大值与最小值的差为2,则满足条件的实数a 的所有值是 ▲ .二、解答题：本大题共6小题,共计58分.请在答．题卡．．指定区域内．．．．．作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本题满分8分)在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C 过点(0,2),其焦点为F 1(－5,0),F 2(5,0). (1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知点P 在椭圆C 上,且PF 1＝4,求△PF 1F 2的面积.16.(本题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中,已知圆M 经过点A (1,0),B (3,0),C (0,1). (1)求圆M 的方程；(2)若直线l ：mx －2y －(2m ＋1)＝0与圆M 交于点P ,Q ,且 MP →·MQ →＝0,求实数m 的值.17.(本题满分10分)如图,在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,AB ＝22,AC ＝23,AA 1＝1,∠BAC ＝90°,D 为线段BC 的中点. (1)求异面直线B 1D 与AC 所成角的大小； (2)求二面角D －A 1B 1－A 的大小.18.(本题满分10分)A 、B 两地相距300 km,汽车从A 地以v km/h 的速度匀速行驶到B 地(速度不得超过60 km/h).已知汽车每小时．．．的运输成本由固定成本和可变成本组成,固定成本为250元,可变成本(单位：元)与速度v 的立方成正比,比例系数为11000.设全程的运输成本为y 元.(1)求y 关于v 的函数关系；(2)为使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶？19.(本题满分10分)A 1B 1C 1CAD B(第17题)在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C ：x 2m ＋8＋y 2m ＝1(m ＞0)的离心率为63.(1)求m 的值；(2)设点A 为椭圆C 的上顶点,问是否存在椭圆C 的一条弦AB ,使直线AB 与圆(x －1)2＋y 2＝r 2 (r ＞0)相切,且切点P 恰好为线段AB 的中点？若存在,求满足条件的所有直线AB 的方程和对应的r 的值；若不存在,说明理由.20.(本题满分10分)已知函数f (x )＝ln x .(1)若直线y ＝2x ＋p (p ∈R )是函数y ＝f (x )图象的一条切线,求实数p 的值. (2)若函数g (x )＝x －mx －2f (x ) (m ∈R )有两个极值点x 1,x 2,且x 1＜x 2.① 求实数m 的取值范围；② 证明：g (x 2)＜x 2－1.南京市2015－2016学年度第一学期高二期末调研数学参考答案及评分标准(理科) 2016.01说明：1.本解答给出的解法供参考.如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分.3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4.只给整数分数,填空题不给中间分数.一、填空题(本大题共14小题,每小题3分,共42分)1. x ∈Q ,x 2－8≠02.12 3.y ＝±x 4.充要5.y ＝2x6.(3,－2,0)7.28.2＋19.1e10.x 2＋y 2＋2x －3＝0 11.3 12.23 13.[－7,1]∪[5,13] 14.0和3－1二、解答题(本大题共6小题,共58分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.解(1)由题意可知,c ＝5,b ＝2,所以a 2＝b 2＋c 2＝9, ……………………………2分所以椭圆C 的标准方程为x 29＋y 24＝1. ……………………………4分(2)方法(一)由(1)可知,F 1F 2＝25,PF 1＋PF 2＝6,又PF 1＝4,所以PF 2＝2, ……………………………6分 所以PF 12＋PF 22＝F 1F 22,所以PF 1⊥PF 2,所以△PF 1F 2的面积为12×PF 1·PF 2＝4. ……………………………8分方法(二)由(1)可知e ＝53,设P (x 0,y 0), 因为PF 1＝4,所以3＋53x 0＝4,解得x 0＝35, ……………………………6分代入方程得15＋y 024＝1,解得|y 0|＝45,所以△PF 1F 2的面积为12×25×45＝4. ……………………………8分16.解(1)方法(一)设圆M 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0,则⎩⎪⎨⎪⎧D ＋F ＋1＝0，3D ＋F ＋9＝0，E ＋F ＋1＝0， …………………………… 2分 解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝－4，F ＝3．所以圆M 的方程x 2＋y 2－4x －4y ＋3＝0. …………………………… 4分 方法(二)线段AC 的垂直平分线的方程为y ＝x ,线段AB 的垂直平分线的方程为x ＝2,由⎩⎨⎧y ＝x ，x ＝2，解得M (2,2). …………………………… 2分 所以圆M 的半径r ＝AM ＝5,所以圆M 的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝5. …………………………… 4分 (2)因为MP →·MQ →＝0,所以∠PMQ ＝π2.又由(1)得MP ＝MQ ＝r ＝5, 所以点M 到直线l 的距离d ＝102. ……………………………8分 由点到直线的距离公式可知,|2m －4－2m －1|m 2＋4＝102, 解得m ＝± 6. …………………………… 10分17.解(1)以{AB →,AC →,AA 1→}为正交基底建立空间直角坐标系A －xyz . 因为AB ＝22,AC ＝23,AA 1＝1,所以A (0,0,0),B (22,0,0),C (0,23,0),A 1 (0,0,1),B 1(22,0,1).又D 为BC 的中点,所以D (2,3,0),B 1D →＝(－2,3,－1),AC →＝(0,23,0),从而cos<B 1D →,AC →>＝B 1D →·AC →|B 1D →|·|AC →|＝66×23＝22. …………………………… 3分因为<B 1D →,AC →>∈[0,π],故<B 1D →,AC →>＝π4,所以异面直线B 1D 与AC 所成角为π4. ……………………………5分(2)因为AC ⊥平面A 1B 1A ,所以平面A 1B 1A 的一个法向量n 1＝(0,1,0). 设平面DA 1B 1的一个法向量n 2＝(x ,y ,z ),因为 A 1B 1→＝(22,0,0),所以⎩⎪⎨⎪⎧n 2·B 1D →＝0，n 2·A 1B 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋3y －z ＝0，22x ＝0，所以x ＝0,z ＝3y .取y ＝1得n 2＝(0,1,3), ……………………………8分从而cos< n 1,n 2>＝ n 1·n 2 |n 1||n 2|＝12.因为二面角D －A 1B 1－A 的平面角为锐角,所以二面角D －A 1B 1－A 的大小为60°. ……………………………10分 18.解(1)由题意知y ＝(v 31000＋250)×300v ＝300(v 21000＋250v)(0＜v ≤60).…………………………… 4分(2)设f (v )＝v 21000＋250v,v ＞0,则f ′(v )＝v 500－250v2,由f ′(v )＝0得,v ＝50, ……………………………6分 当0＜v ＜50时,f ′(v )＜0,当50＜v ＜60时,f ′(v )＞0, …………………………8分 所以v ＝50时,f (v )取得最小值,即y 取得最小值.答：为使全程运输成本最小,汽车应以50 km/h 速度行驶. …………………………10分19.解(1)由题意a 2＝m ＋8,b 2＝m ,所以c 2＝a 2－b 2＝8. 又椭圆的离心率为63,所以8m ＋8＝23, 解得m ＝4. ……………………………3分 (2)由(1)知椭圆C 的方程为x 212＋y 24＝1,所以A (0,2).假设存在椭圆C 的一条弦AB 满足条件.方法(一)当AB 斜率不存在时,AB 的方程为x ＝0,显然符合题意,此时P (0,0),r ＝1. …………………………… 4分当AB 斜率存在时,设直线AB 的方程为y ＝kx ＋2, P (x 0,y 0),由⎩⎨⎧ x 2＋3y 2＝12， y ＝kx ＋2，消去y ,整理得,(1＋3k 2)x 2＋12kx ＝0, 解得x ＝0或x ＝－12k1＋3k 2, …………………………… 6分所以x 0＝－6k 1＋3k 2,y 0＝21＋3k 2. 由21＋3k 2－0－6k 1＋3k 2－1×k ＝－1,得3k 2＋4k ＋1＝0,解得k ＝－1或k ＝－13. …………………………… 9分所以直线AB ：y ＝－x ＋2,r ＝22,或直线AB ：y ＝－13x ＋2,r ＝102.综上,存在这样的弦AB .直线AB ：x ＝0,r ＝1；直线AB ：y ＝－x ＋2,r ＝22； 直线AB ：y ＝－13x ＋2,r ＝102. …………………………… 10分方法(二)设P (x 0,y 0),则B (2x 0,2y 0－2).因为B 在椭圆C 上,所以(2x 0)2＋3(2y 0－2)2＝12,即x 20＋3(y 0－1)2＝3,所以x 20＋3y 20－6y 0＝0. ① …………………………… 5分设M (1,0),则MP ⊥AB ,所以AB →·MP →＝0,即2x 0(x 0－1)＋(2y 0－4)y 0＝0,x 20＋y 20－x 0－2y 0＝0.② ………………………… 7分由①②,解得⎩⎨⎧x 0＝0，y 0＝0， 或⎩⎨⎧x 0＝0，y 0＝2，(舍) 或⎩⎨⎧x 0＝32，y 0＝32， 或⎩⎨⎧x 0＝32，y 0＝12．当点P 为(0,0)时,直线AB 方程为x ＝0,r ＝1； 当点P 为(32,32)时,直线AB 方程为y ＝－13x ＋2,r ＝102.当点P 为(32,12)时,直线AB 方程为y ＝－x ＋2,r ＝22.综上,存在这样的弦AB .直线AB ：x ＝0,r ＝1；直线AB ：y ＝－x ＋2,r ＝22； 直线AB ：y ＝－13x ＋2,r ＝102. …………………………… 10分20.解(1)方法(一)由题意知f ′(x )＝1x.设切点的坐标为(x 0,ln x 0),则1x 0＝2,解得x 0＝12.所以切点的坐标为(12,－ln2),代入直线y ＝2x ＋p ,解得p ＝－1－ln2.……………………………3分方法(二)由题意知f ′(x )＝1x.设切点的坐标为(x 0,ln x 0),则切线的方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0),即y ＝1x 0·x ＋ln x 0－1.又切线方程为y ＝2x ＋p ,则⎩⎪⎨⎪⎧1x 0＝2，p ＝ln x 0－1，解得p ＝－1－ln2. ………………………… 3分 (2)①g (x )的定义域为(0,＋∞),g ′(x )＝1＋m x 2－2x ＝x 2－2x ＋mx 2.由题意可知,关于x 的方程x 2－2x ＋m ＝0有两个不相等的正根,所以⎩⎨⎧m ＞0，△＝4－4m ＞0，解得0＜m ＜1. …………………………… 6分②由(1)可知0＜x 1＜1＜x 2＜2,m ＝2x 2－x 22,从而g (x 2)－(x 2－1)＝x 2－2ln x 2－1,1＜x 2＜2. ……………………………8分 设h (x )＝x －2ln x －1,x ＞0, 则h ′(x )＝1－2x ＝x －2x ,所以,当1＜x ＜2时,h ′(x )＜0, 从而h (x )在[1,2]上单调递减, 又1＜x 2＜2,所以g(x2)－(x2－1)＝x2－2ln x2－1＝h(x2)＜h(1)＝0,即g(x2)＜x2－1. ……………………………10分。